Comportement mécanique des matériaux quasi-fragiles sous sollicitations cycliques : de l’expérimentation numérique au calcul de structures.

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numérique au calcul de structures.

Maxime Vassaux

To cite this version:

Maxime Vassaux. Comportement mécanique des matériaux quasi-fragiles sous sollicitations cycliques : de l’expérimentation numérique au calcul de structures.. Génie civil. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2015. Français. �NNT : 2015DENS0010�. �tel-01159295�

ENSC-2015/569

TH`ESE DE DOCTORAT

DE L’´ECOLE NORMALE SUP´ERIEURE DE CACHAN

Pr´esent´ee par

Maxime Vassaux

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’´ECOLE NORMALE SUP´ERIEURE DE CACHAN

Domaine

M´ECANIQUE - G´ENIE M´ECANIQUE - G´ENIE CIVIL

Sujet de la th`ese

Comportement m´

ecanique des mat´

eriaux

quasi-fragiles sous sollicitations cycliques :

de l’exp´

erimentation num´

erique au calcul de

structures.

Soutenue `a Cachan le 13 mars 2015 devant le jury compos´e de :

Alain Sellier Professeur, Universit´e Paul Sabatier Pr´esident

Pierre Rossi Directeur de Recherche, IFSTTAR Rapporteur

Fr´ed´eric Victor Donz´e Professeur, Universit´e Joseph Fourier Rapporteur

Sylvie Michel-Ponnelle Ing´enieur-Chercheur, EDF Examinatrice

Arnaud Delaplace Charg´e de Recherche, Lafarge Examinateur

Benjamin Richard Ing´enieur-Chercheur, CEA Encadrant

Fr´ed´eric Ragueneau Professeur, ENS-Cachan Encadrant

Alain Millard Ing´enieur-Chercheur, CEA Directeur

LMT-Cachan

Table des mati`

eres

Table des mati`eres i

Table des figures v

Liste des tableaux xi

Introduction g´en´erale 1

1 Contexte soci´etal . . . 2

2 D´emarche scientifique . . . 3

3 Organisation . . . 4

1 ´Etat de l’art et motivations 7 1 Introduction . . . 8

2 M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles . . . 8

2.1 Cons´equences de la fissuration sous chargement monotone . . . 9

2.2 Cons´equences de la fissuration sous chargement cyclique . . . 15

3 L’exp´erimentation num´erique . . . 21

3.1 Une d´emarche multi-´echelle . . . 21

3.2 Compl´ementarit´e de l’exp´erimentation num´erique . . . 23

4 M´ethodes de mod´elisation pour l’exp´erimentation num´erique . . . 25

4.1 M´ethodes issues de la m´ecanique des milieux continus . . . 26

4.2 M´ethodes issues de la m´ecanique des solides ind´eformables . . . 28

4.3 Discussion . . . 29

5 Synth`ese . . . 31

2 Description et d´eveloppements d’une mod´elisation fine 33 1 Introduction . . . 34

2 Philosophie de mod´elisation fine . . . 35

3 Description du mod`ele discret . . . 36

3.1 Maillage et forme des particules . . . 36

3.2 Interactions entre particules . . . 39

3.3 M´ecanisme de rupture . . . 45

4.1 R´esolution lin´eaire s´equentielle de l’´evolution de la fissuration . . . 47

4.2 R´esolution implicite de l’´equilibre . . . 48

4.3 Particules ind´ependantes . . . 57

4.4 Algorithme de r´esolution global . . . 60

5 Comportement `a la rupture et fragilit´e . . . 62

5.1 Aspects statistiques . . . 63

5.2 Formulation du crit`ere de rupture . . . 64

5.3 Surface de chargement `a la rupture . . . 68

6 Synth`ese . . . 69

3 Mise en œuvre d’une mod´elisation fine et exp´erimentation num´erique 71 1 Introduction . . . 72

2 Identification des param`etres . . . 72

2.1 Taille des particules . . . 72

2.2 Elasticit´e . . . .´ 73

2.3 Rupture . . . 74

2.4 Frottement . . . 75

3 Illustration de la proc´edure d’identification . . . 76

3.1 Calibration . . . 77

3.2 Validation . . . 79

4 Etude de cas de fissuration complexes . . . .´ 86

4.1 Fissuration en mode mixte I/II . . . 86

4.2 Fissuration en mode II . . . 90

5 Etude de l’efficacit´e de l’algorithme de r´esolution . . . .´ 93

6 Exp´erimentation num´erique en traction cyclique uni-axiale . . . 98

6.1 Etude de l’influence d’une perturbation . . . 101´

6.2 Simulation d’un essai complet avec rotation de l’´eprouvette . . . 106

7 Synth`ese . . . 108

4 Formulation et caract´erisation d’une mod´elisation macroscopique 111 1 Introduction . . . 112

2 Etat de l’art des approches continues de la fissuration . . . 113´

2.1 Initiation et propagation de la fissuration . . . 113

2.2 Fermeture de la fissuration . . . 119

3 D´efinition d’un formalisme de mod´elisation continue . . . 129

3.1 Thermodynamique des processus irr´eversibles . . . 129

3.2 D´ecomposition de la contrainte totale . . . 132

3.3 Application `a la th´eorie de l’endommagement . . . 133

4 Mod´elisation de la d´egradation de la matrice . . . 138

4.1 Mod`ele initial . . . 139

4.2 Am´eliorations . . . 139

4.3 Energie de fissuration et m´ethodes de r´egularisation . . . 141´

Table des mati`eres iii

5 Mod´elisation du caract`ere unilat´eral frottant des fissures . . . 148

5.1 D´efinition du comportement m´ecanique des fissures . . . 149

5.2 Caract´erisation de la fonction de fermeture . . . 149

5.3 Ajout d’un m´ecanisme dissipatif . . . 152

5.4 Comportement cyclique sous chargement multi-axial . . . 156

6 Algorithme d’int´egration du mod`ele continu . . . 158

7 Synth`ese . . . 160

5 Identification num´erique d’une mod´elisation macroscopique et applica-tion au calcul de structures 163 1 Introduction . . . 164

2 Strat´egie d’identification de la mod´elisation continue . . . 164

2.1 Identification des mod´elisations de l’endommagement . . . 165

2.2 Identification de la mod´elisation des effets cycliques . . . 174

3 Application au calcul d’un voile en b´eton arm´e . . . 176

3.1 Descriptif de l’essai . . . 177 3.2 Mod´elisation et calibration . . . 179 3.3 R´esultats . . . 181 4 Synth`ese . . . 188 Conclusions et perspectives 191 1 R´ealisations et perspectives . . . 192 1.1 Mod´elisation discr`ete . . . 192 1.2 Mod´elisation continue . . . 194 1.3 Exp´erimentation num´erique . . . 196

1.4 Effets hyst´er´etiques et incompatibilit´e g´eom´etrique . . . 196

2 Synth`ese finale . . . 197

Table des figures

1.1 R´eponse contrainte-d´eformation en traction uni-axiale [Terrien, 1980]. . . . 9

1.2 Mise en ´evidence par ´emission acoustique de la fissuration lors d’un

char-gement de traction [Maji et Shah, 1988]. . . 10

1.3 R´eponse contrainte-d´eformation en compression uni-axiale [Ramtani, 1990]. 11

1.4 D´eveloppement de la fissuration et de la compaction en compression. . . . 11

1.5 Surface de chargement `a la rupture du b´eton normalis´ee par rapport `a la

r´esistance en compression. . . 12

1.6 Ph´enom`ene de dilatance observ´e en compression uni-axiale [Ramtani, 1990]. 13

1.7 Influence du diam`etre de l’´eprouvette sur la r´esistance en traction [Van Vliet

et Van Mier, 2000]. . . 14

1.8 Influence du taux de chargement sur la r´esistance en traction [Rossi et al.,

1994]. . . 15

1.9 Mise en ´evidence de l’effet unilat´eral [Mazars et al., 1990]. . . 16

1.10 R´eponse contrainte-d´eformation `a un chargement uni-axial cyclique. . . 17

1.11 Analyse par corr´elation d’image du champ de d´eplacement vertical lors de

la fermeture d’une fissure [Nouailletas, 2013]. . . 18

1.12 Fissure soumise `a des cycles de charge-d´echarge [Mihai et Jefferson, 2011]. 19

1.13 D´eformations locales dans un VER de b´eton apr`es s´echage mesur´ees par

corr´elation d’images [Hilaire, 2014]. . . 20

1.14 Flexion induite par la propagation asym´etrique de la fissuration lors d’un

essai de traction directe. . . 24

1.15 Description d’une discontinuit´e par la E-FEM et la X-FEM, et

modifica-tions associ´ees des foncmodifica-tions de forme [Jir´asek et Belytschko, 2002]. . . 27

1.16 Mod`ele discret d’une ´eprouvette rompue et profil de fissuration mesur´e

[Delaplace, 2008]. . . 30

2.1 Arrangement volumique optimal dans un carr´e d’une quantit´e n de cercles

[Nurmela et ¨Osterg˚ard, 1997]. . . 37

2.2 Influence de l’al´ea a de la position du centre des particules [D’Addetta, 2004]. 38

2.3 Etapes successives de la g´en´eration du maillage [Delaplace, 2008] (de gauche´

`a droite) : g´en´eration des centres, triangulation de Delaunay, diagramme

de Voronoi, intersection du diagramme de Voronoi et du contour. . . 38

2.5 Deux particules li´ees par une coh´esion de type poutre (r´eseau de poutres). 40

2.6 Deux particules en contact. . . 42

2.7 Non-lin´earit´e g´eom´etrique de contact induite par la forme des particules. . 49

2.8 Non-lin´earit´e m´ecanique de contact induite par l’aspect unilat´eral : ´evolutions normalis´ees de l’effort de contact normal et de la raideur. . . 50

2.9 Influence du pr´edicteur sur la convergence de l’algorithme. . . 54

2.10 Mouvement des deux particules en contact ´etudi´ees. . . 55

2.11 Influence de la relaxation num´erique et de la taille de l’incr´ement de char-gement sur l’´evolution normalis´ee de l’effort de contact. . . 56

2.12 Influence de la relaxation num´erique lorsque le contact est rompu pour une discr´etisation pseudo-temporelle fine. . . 57

2.13 Illustration de la proc´edure de parcours en largeur des particules. . . 58

2.14 Sch´ema de l’algorithme de r´esolution global. . . 61

2.15 D´egradation en compression avec supports adh´erents. . . 63

2.16 Influence de la variabilit´e des seuils de rupture sur la r´eponse en traction uni-axiale normalis´ee par rapport `a la limite ´elastique. . . 64

2.17 Forme des crit`eres de rupture de type Rankine. . . 65

2.18 Forme des crit`eres de rupture de type Mohr-Coulomb. . . 66

2.19 Influence de la formulation du crit`ere de rupture sur la r´eponse en com-pression uni-axiale normalis´ee par rapport `a la limite ´elastique. . . 67

2.20 Faci`es de fissuration finaux en compression uni-axiale avec supports adh´erents. 67 2.21 Surfaces de chargement `a la rupture normalis´ees. . . 69

3.1 Influence de la densit´e de particules sur les propri´et´es ´elastiques macrosco-piques. . . 73

3.2 Influence des param`etres ´elastiques des poutres sur les propri´et´es ´elastiques macroscopiques. . . 74

3.3 Influence du coefficient de frottement sur la r´eponse en compression sous confinement lat´eral de 10 MPa. . . 76

3.4 Dispositif de l’essai de flexion trois-points [Gr´egoire et al., 2013]. . . 77

3.5 Influence des param`etres de rupture sur la r´eponse normalis´ee en flexion trois-points. . . 78

3.6 Influence des param`etres de rupture sur la r´eponse en flexion trois-points. . 78

3.7 Influence du facteur d’´echelle du seuil en rotation λθcr sur la r´eponse au fendage. . . 79

3.8 Influence de la taille de l’´eprouvette sur la r´eponse en flexion trois-points entaill´e au cinqui`eme de la hauteur : exp´erimental (pointill´e), simulation (plein). . . 80

3.9 Influence de la longueur initiale de l’entaille sur la r´eponse d’une ´eprouvette de 0.35 m par 0.10 m en flexion trois-points : exp´erimental (pointill´e), simulation (plein). . . 80

3.10 Faci`es de fissuration d’une poutre entaill´ee `a mi-hauteur. . . 81

Table des figures vii

3.12 Variabilit´e de la r´eponse en flexion trois-points. . . 82

3.13 Influence de la densit´e du maillage sur la dispersion des chargements au pic. 83 3.14 Description sch´ematique de l’application de conditions aux limites

partiel-lement restreintes. . . 84

3.15 Influence des conditions aux limites simul´ees sur la r´eponse en compression

uni-axiale. . . 85

3.16 Influence des conditions aux limites sur le faci`es de fissuration d’un essai

de compression uni-axiale. . . 85

3.17 Dispositif des essais des poutres de Schlangen. . . 86

3.18 R´eponses simul´ees (plein) et exp´erimentales (pointill´e) des poutres de

Schlan-gen [1993] avec appuis glissants. . . 87

3.19 Faci`es de fissuration simul´es et exp´erimentaux des poutres de Schlangen

[1993] avec appuis glissants. . . 88

3.20 Influence de l’adh´erence des appuis sur la r´eponse des poutres de Schlangen

[1993] simplement entaill´ees. . . 89

3.21 Influence de l’adh´erence des appuis sur la r´eponse des poutres de Schlangen

[1993] doublement entaill´ees. . . 89

3.22 Faci`es de fissuration pour les poutre simplement entaill´ee. . . 90

3.23 Faci`es de fissuration pour une poutre de Schlangen [1993] doublement

en-taill´ee. . . 90

3.24 Dispositif et faci`es de fissuration de l’essai de cisaillement de Fenwick et

Paulay [1968]. . . 91

3.25 R´eponse `a l’essai de cisaillement de Fenwick et Paulay [1968] : exp´erimental

(pointill´e), simulation (plein). . . 92

3.26 Agrandissement de la zone pr´e-fissur´ee pour une ouverture de fissure

im-pos´ee `a cw= 0.00006 mm. . . 92

3.27 Faci`es de fissuration pour une ouverture de fissure impos´ee `a cw= 0.00032

mm. . . 93

3.28 Influence de l’incr´ement de chargement sur la r´eponse en compression

uni-axiale. . . 95

3.29 Influence de l’incr´ement de chargement sur le faci`es de fissuration en

com-pression uni-axiale. . . 96

3.30 Influence de l’incr´ement de chargement sur l’´energie dissip´ee par fissuration

en compression uni-axiale. . . 96

3.31 Influence de l’incr´ement de chargement sur l’´energie dissip´ee par friction

en compression uni-axiale. . . 97

3.32 Influence de l’incr´ement de chargement sur le temps de calculs et sur le

r´esidu. . . 98

3.33 Dimensions, mod´elisation de l’essai de traction cyclique uni-axial de

Nouaille-tas [2013]. . . 99

3.34 Trajets de chargement en d´eformation impos´ees. . . 100 3.35 R´eponse d’un essai uni-axial cyclique. . . 101

3.36 ´Evolutions de l’´energie dissip´ee par friction et du nombre de contacts au cours d’un essai uni-axial cyclique simul´e sans perturbation. . . 101 3.37 Configuration d’un essai uni-axial cyclique avec une rotation de l’´eprouvette.102 3.38 R´eponse simul´ee lors d’un essai uni-axial cyclique avec une rotation de

l’´eprouvette. . . 103

3.39 ´Evolutions de l’´energie dissip´ee par friction et du nombre de contacts au

cours d’un essai uni-axial cyclique simul´e avec une rotation de l’´eprouvette. 103 3.40 Sch´ematisation de la cons´equence de la relaxation, induite par fissuration,

de contraintes internes auto-´equilibr´ees. . . 104 3.41 R´eponse simul´ee lors d’un essai uni-axial cyclique avec une perturbation

locale. . . 104

3.42 ´Evolutions de l’´energie dissip´ee par friction et du nombre de contacts au

cours d’un essai uni-axial cyclique simul´e avec une perturbation locale. . . 105

3.43 ´Evolution de la rotation maximale de la partie sup´erieure de l’´eprouvette

en fonction des cycles de charge-d´echarge d’apr`es Nouailletas [2013]. . . 107 3.44 R´eponse compl`ete simul´ee lors d’un essai uni-axial cyclique avec une

rota-tion de l’´eprouvette quantifi´ee par Nouailletas [2013]. . . 107

4.1 D´ecomposition du probl`eme de fissuration [Pens´ee et al., 2002]. . . 116

4.2 Description d’un point de Gauss dans un mod`ele microplans [Baˇzant et al.,

2000]. . . 118

4.3 Evolution de la contrainte en fonction de l’ouverture de fissure pour des´

mod`eles empiriques. . . 121

4.4 Description du mod`ele de comportement rh´eologique de Duda et Konig

[1991]. . . 122

4.5 Evolution de la contrainte norm´ee en fonction de l’ouverture de fissure dans´

chaque s´erie du mod`ele rh´eologique de Duda et Konig [1991]. . . 122

4.6 R´eponse compl`ete du mod`ele de comportement rh´eologique de Duda et

Konig [1991]. . . 123

4.7 R´eponse du mod`ele de Richard et Ragueneau [2013]. . . 125

4.8 Evolution de la contrainte en fonction de l’ouverture de fissure donn´ee par´

un op´erateur relais. . . 126

4.9 Distribution des op´erateurs relais en fonction du couple de contraintes (σc,

σo) associ´e [Mertens, 2009]. . . 126

4.10 R´eponse d’un mod`ele de Preisach-Mayergoyz [Minga, 2013]. . . 127 4.11 Dispositif des essais de comparaison entre les mod`eles discret et continu. . 144

4.12 Analyse de sensibilit´e des r´eponses en compression pure `a k0. . . 145

4.13 Analyse de sensibilit´e des r´eponses en cisaillement simple `a k0. . . 146

4.14 Analyse de sensibilit´e des surfaces de chargement `a la rupture `a k0. . . 147

4.15 Influence de ǫfmax sur l’´evolution de la proportion de fissures referm´ees lors

d’une d´echarge. . . 150 4.16 R´eponse du mod`ele sans dissipation ´energ´etique associ´ee `a la friction. . . . 151 4.17 R´eponse du mod`ele complet. . . 154

Table des figures ix

4.18 ´Evolution des variables d’´etat du mod`ele complet lors d’un cycle de

charge-d´echarge. . . 155

4.19 Fissure `a deux instants de la fermeture. . . 156

4.20 Influence de l’ajout de la consid´eration des effets cycliques sur les compor-tements `a la rupture. . . 157

4.21 Diagramme de l’algorithme de r´esolution local du mod`ele continu. . . 159

5.1 Evolution moyenne des ´energies lors d’un essai de traction. . . 166´

5.2 Faci`es de fissuration en traction pour ǫ= 3.0 × 10−3. . . 166

5.3 R´eponses en traction des mod`eles continus et discret. . . 168

5.4 Histogrammes des ´energies ´elastiques et dissip´ees des 200 r´ealisations de l’essai de traction. . . 169

5.5 Influence de la forme de la distribution des seuils de rupture sur la r´eponse moyenne de traction. . . 171

5.6 Influence de la forme de la distribution des seuils de rupture sur la varia-bilit´e du pic d’´energie ´elastique et de l’´energie de fissuration en traction. . 172

5.7 Evolution moyenne des ´energies de fissuration obtenues avec le mod`ele dis-´ cret selon l’essai. . . 173

5.8 Analyse de sensibilit´e de l’´evolution de la fonction ϑ au param`etre α0. . . . 174

5.9 Analyse de sensibilit´e de l’´evolution de la proportion de fissures ferm´ees au niveau de chargement maximal appliqu´e : ϑ (trait plein), Discret (trait pointill´e) . . . 175

5.10 Analyse de sensibilit´e de l’´evolution de l’´energie dissip´ee par friction au param`etre µ0 lors d’un cycle de charge-d´echarge-recharge. . . 176

5.11 Dimensions du voile en b´eton arm´e du benchmark ConCrack [Rivillon et Gabs, 2011]. . . 177

5.12 ´Evolution des chargements impos´es en effort. . . 178

5.13 Influence du type d’´el´ement fini retenu pour les armatures sur la r´eponse `a un chargement monotone pour hc = 0.10 m et le d´eplacement mesur´e (9 - 10). . . 179

5.14 Maillage du voile en b´eton arm´e du benchmark ConCrack pour une dimen-sion de maille de hc= 0.1 m. . . 180

5.15 Influence de la formulation et du d´eplacement ´etudi´e sur la r´eponse `a un chargement monotone pour une taille d’´el´ement fini hc = 0.10 m. . . 182

5.16 Vue du voile central `a la fin de l’essai [Rivillon et Gabs, 2011]. . . 183

5.17 Influence de la formulation sur la r´epartition de la d´eformation longitudi-nale dans le voile en b´eton pour un effort de 4.2 MN . . . 184

5.18 R´eponse `a un chargement cyclique non-altern´e. . . 185

5.19 ´Energie dissip´ee `a chaque d´echarge lors d’un chargement cyclique non-altern´e.185 5.20 R´epartition de la d´eformation plastique axiale dans les armatures pour un chargement de 5.1 MN. . . 186

5.22 R´epartition de la d´eformation longitudinale dans le voile en b´eton avec

hc = 0.03 m (l´egende, voir fig. 5.17f). . . 187

5.23 ´Energie dissip´ee `a chaque inversion du chargement lors d’un chargement

Liste des tableaux

3.1 Valeur des param`etres identifi´es sur le b´eton de la campagne d’essais de

Gr´egoire et al. [2013]. . . 79

3.2 Valeur des param`etres identifi´es sur le b´eton de la campagne d’essais des

poutres de Schlangen [1993]. . . 87

3.3 Valeur des param`etres identifi´es sur le b´eton de la campagne d’essais de

Fenwick et Paulay [1968]. . . 91

3.4 Valeur des param`etres identifi´es sur le b´eton de Vonk [1992]. . . 94

3.5 Valeur des param`etres identifi´es sur le b´eton de la campagne d’essais de

Nouailletas [2013]. . . 99

5.1 Moyenne et coefficient de variation des r´esultats de l’essai de traction. . . . 169

5.2 Propri´et´es moyennes mesur´ees des mat´eriaux [Rivillon et Gabs, 2011]. . . . 178

Introduction g´

en´

erale

Sommaire

1 Contexte soci´etal . . . 2 2 D´emarche scientifique . . . 3 3 Organisation . . . 4

1

Contexte soci´

etal

Qu’il s’agisse des premiers ouvrages en b´eton de la Rome antique ou encore d’ouvrages en pierre de taille du Paris de la Renaissance, de tous temps, les mat´eriaux quasi-fragiles ont ´et´e employ´es dans l’´elaboration de structures du g´enie civil. Aujourd’hui plus que jamais, les mat´eriaux quasi-fragiles sont les mat´eriaux de construction par excellence, `a la fois des plus “´ecologiques”, mais surtout excessivement faciles `a mettre en œuvre.

Aussi populaires qu’ils puissent ˆetre, les mat´eriaux quasi-fragiles sont pourtant complexes. Leur simple comportement m´ecanique r´esulte du couplage d’une multitude de ph´enom`enes d’origines physiques diff´erentes. Les mat´eriaux quasi-fragiles vieillissent, pour le meilleur (am´elioration des propri´et´es au jeune ˆage) et pour le pire (fluage pouvant induire une perte de pr´econtrainte sur le long terme) ; interagissent avec leur environnement,

chimi-quement (r´eaction alcali-silicate, r´eaction sulfatique interne) et m´ecanichimi-quement. `A cela

s’ajoutent, des ph´enom`enes li´es `a une forte h´et´erog´en´eit´e (retrait de la pˆate de ciment et incompatibilit´es de d´eformations, effets d’´echelles), et `a la teneur en eau (pression ca-pillaire). Une liste non-exhaustive qui illustre le d´efi, des plus stimulants, que repr´esente la compr´ehension et la mod´elisation du comportement m´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles. Relever ce d´efi est une n´ecessit´e afin d’optimiser la construction des ouvrages en mat´eriaux quasi-fragiles ; et ce, en assurant leur performance structurale, conditionn´ee par des crit`eres choisis relatifs `a l’int´egrit´e, ou plus sp´ecifiquement pour l’industrie nucl´eaire, `a l’´etanch´eit´e structurale.

Comprendre l’origine et les cons´equences de la d´egradation et de la fissuration est un

des enjeux cl´es de ce d´efi. Ce travail a ´et´e entrepris depuis le d´ebut du xxe _{sicle, il est}

toujours d’actualit´e. Aujourd’hui, en revanche, il s’´etend `a des chargements m´ecaniques plus sophistiqu´es. Multi-axialit´e et cyclicit´e sont deux traits caract´eristiques d’une solli-citation sismique. L’´etude du comportement m´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles dans de telles conditions n’est pas, `a proprement parler, nouvelle. Mais compte tenu des r´ecents ´ev´enements survenus au Japon ou en Ha¨ıti, l’int´erˆet pour les chargements multi-axiaux et cycliques s’intensifie.

Lorsqu’une structure est soumise `a une onde sismique, une certaine quantit´e d’´energie lui est fournie. Afin de retourner dans un ´etat d’´equilibre, la structure doit dissiper cette ´energie. L’initiation et la propagation de fissures sont un moyen d’y parvenir, malheureu-sement elles sont aussi une cause de l’effondrement de cette structure. Contrairement `a l’acier seul, les mat´eriaux quasi-fragiles renforc´es, subissent une perte de capacit´e structu-rale progressive, ils laissent donc apparaˆıtre des signes avant-coureurs de l’effondrement, pouvant s’av´erer salvateurs pour les usagers de la structure. Par ailleurs, au caract`ere diffus de la fissuration, s’ajoutent les m´ecanismes hyst´er´etiques initi´es sous chargements cycliques, capables de dissiper une quantit´e importante d’´energie. Bien que l’´energie volu-mique dissip´ee par un mat´eriau quasi-fragile soit tout de mˆeme plus faible que celle d’un acier, les volumes mis en jeu `a l’´echelle de la structure sont sensiblement diff´erents. Dans le contexte du g´enie parasismique, leur utilisation laisse donc apparaˆıtre certains avantages.

D´emarche scientifique 3

Afin d’en quantifier la contribution `a l’amortissement structural, il devient n´ecessaire d’ˆetre en mesure de mod´eliser le comportement m´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles sous chargement mutli-axial et cyclique.

2

D´

emarche scientifique

La valeur ajout´ee d’´etudes de structures compl`etes du g´enie civil est conditionn´ee par le d´eveloppement de m´ethodes de mod´elisation en mesure de reproduire, mais surtout de pr´edire, le comportement m´ecanique des mat´eriaux les constituant. L’objectif de cette th`ese est de contribuer `a l’am´elioration des m´ethodes de mod´elisation des mat´eriaux quasi-fragiles, et tout particuli`erement sous chargement cyclique.

Afin de simuler la r´eponse d’une structure, celle-ci est discr´etis´ee en ´el´ements dont le comportement m´ecanique est connu et peut ˆetre mod´elis´e. Or les structures du g´enie ci-vil sont de taille cons´equente, il est donc n´ecessaire de d´evelopper des mod`eles capables de reproduire le comportement m´ecanique du mat´eriau, sur une dimension suffisamment

grande, pour pouvoir r´eduire le nombre de ces ´el´ements, et ainsi limiter les coˆuts de

calculs. La dimension du volume associ´e `a un ´el´ement est choisie de mani`ere `a pouvoir consid´erer le mat´eriau comme homog`ene, il est appel´e volume ´el´ementaire repr´esentatif (VER). La notion de VER peut ˆetre illustr´ee en imaginant une succession de pr´el`evements de mat´eriau d’un volume donn´e dans un volume de taille infinie. Plus le mat´eriau est in-trins`equement h´et´erog`ene, plus la taille du VER est importante. Ainsi une relation de com-portement identique est attribu´ee aux ´el´ements de discr´etisation de la structure. Une telle mod´elisation fond´ee sur la th´eorie de la m´ecanique des milieux continus et s’appuyant sur la m´ethode des ´el´ements finis (FEM) est, ici, appel´ee mod´elisation “macroscopique”. En revanche, il va de soit que, pour traduire l’ensemble des m´ecanismes physiques se ma-nifestant, la complexit´e d’un mod`ele de comportement m´ecanique croˆıt avec la dimension des ´el´ements auxquels il est associ´e. En effet, les combinaisons possibles de m´ecanismes, certes simples `a des ´echelles inf´erieures, sont nombreuses. Dans la suite de ce manuscrit, chaque manifestation sur la r´eponse d’un VER, d’une combinaison de m´ecanismes sur-venus `a une ´echelle inf´erieure, est qualifi´ee de ph´enom`ene macroscopique. Concernant les mat´eriaux quasi-fragiles, fortement h´et´erog`enes, la dimension d’un VER est de l’ordre du d´ecim`etre. De nombreuses campagnes exp´erimentales, ont ´et´e et sont toujours n´ecessaires pour appr´ehender le comportement d’un tel volume. Mais des lacunes persistent en re-gard notamment du comportement sous chargements cycliques et multi-axiaux. Plutˆot que d’emprunter, la voie de l’exp´erimentation en laboratoire, affichant des complexit´es qui lui sont propres, cette ´etude propose de tirer parti de simulations `a une ´echelle inf´erieure `a celle du VER, pour tenter de combler une partie de ce manque de connaissances.

`

A une telle ´echelle, il devient int´eressant d’adapter la th´eorie m´ecanique employ´ee, et la m´ethode num´erique associ´ee, en fonction du mat´eriau d´ecrit. Une mod´elisation ici dite “fine”, fond´ee sur la m´ecanique des solides ind´eformables, m´elangeant m´ethode des

´el´ements discrets (DEM) et r´eseaux de poutres, est donc retenue. Les mat´eriaux quasi-fragiles sont ainsi assimil´es `a un empilement de grains rigides, coh´esif, ayant une forte propension `a se d´ecomposer.

La pr´esente th`ese propose une d´emarche de mod´elisation `a deux ´echelles reposant sur l’utilisation d’un mod`ele discret et d’un mod`ele continu, qui, sur la base de quelques donn´ees exp´erimentales permet de remonter jusqu’`a la r´eponse de structures soumises `a une sollicitation sismique. Cette d´emarche de mod´elisation est illustr´ee tout au long des six chapitres qui constituent ce manuscrit.

3

Organisation

Ce manuscrit s’articule autour de six chapitres, au sein desquels une d´emarche de mod´elisa-tion des mat´eriaux quasi-fragiles `a deux ´echelles est justifi´ee, d´evelopp´ee et mise en œuvre.

Le premier chapitre fournit une justification des choix de d´emarche et de m´ethodes de mod´elisation, au travers d’une revue bibliographique g´en´erale. Il constitue un ´etat de l’art des connaissances sur le comportement m´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles sollicit´es en chargement monotone ou en chargement cyclique, des d´emarches multi-´echelles cou-plant mod´elisations fine et macroscopique, et des m´ethodes de mod´elisation num´erique fines aptes `a reproduire explicitement les h´et´erog´en´eit´es g´eom´etriques du mat´eriau, et notamment la fissuration.

Le second chapitre d´ecrit le mod`ele de comportement fin, nomm´e DEAP2D, fond´e sur les m´ethodes des ´el´ements discrets et r´eseaux de poutres, initialement d´evelopp´e au LMT-Cachan. Les d´eveloppements effectu´es lors de cette th`ese y sont aussi pr´esent´es. Ces d´eveloppements concernent d’une part l’introduction du contact et la modification de l’algorithme de r´esolution de l’´equilibre m´ecanique dans l’objectif de simuler des charge-ments cycliques, et d’autre part la description de la fissuration d’un r´eseau de poutres, et plus particuli`erement le choix d’un crit`ere de rupture adapt´e `a des chargements multi-axiaux.

Le troisi`eme chapitre illustre l’utilisation et valide la mod´elisation fine, discr`ete, des mat´eriaux quasi-fragiles ainsi d´evelopp´ee. La relative simplicit´e du processus d’identi-fication du mod`ele est d’abord mise en avant, puis la validation de la description de la rupture choisie, et de l’algorithme de r´esolution ´elabor´e, est effectu´ee. Enfin une analyse d´etaill´ee de la simulation d’un essai de traction cyclique uni-axiale, et des m´ecanismes `a l’origine des ph´enom`enes macroscopiques observ´es est propos´ee.

Le quatri`eme chapitre ´etablit la formulation de la mod´elisation macroscopique, continue, de la fissuration dans les mat´eriaux quasi-fragiles. Il d´ebute par une ´etude bibliographique d´ecompos´ee en deux parties : la mod´elisation des ph´enom`enes de d´egradation du mat´eriau, associ´es `a l’initiation de la fissuration ; et la mod´elisation des ph´enom`enes observ´es sous

Organisation 5

chargement cyclique, associ´es au caract`ere unilat´eral de la fissuration. `A l’issue de cette

´etude, un formalisme physique, fond´e sur les principes de la thermodynamique des pro-cessus irr´eversibles, est retenu pour la formulation de mod`eles de comportement continus ph´enom´enologiques, simples et robustes. En faisant interagir les mod´elisation discr`etes et continues, des propositions de mod´elisation des diff´erents ph´enom`enes macroscopiques li´es `a la fissuration sont effectu´ees. Ces propositions sont r´ealis´ees, de mani`ere `a s’inscrire dans le formalisme retenu et sur la base d’observations issues de simulations discr`etes. Finalement un mod`ele continu, en mesure de reproduire les ph´enom`enes macroscopiques associ´es `a l’initiation et `a la fermeture de la fissuration, est d´efini.

Le cinqui`eme chapitre continue de mettre en avant l’interaction entre les mod´elisations discr`etes et continues, et pousse l’utilisation de la seconde jusqu’au calcul de structures. Une strat´egie d’identification du mod`ele continu `a partir du mod`ele discret est d’abord ´etablie. Et ensuite, des simulations de la r´eponse d’une structure du g´enie civil sujette `a des chargements cycliques sont r´ealis´ees avec le code de calcul Cast3M d´evelopp´e par le SEMT du DM2S au CEA-Saclay. Afin de d´emontrer l’efficacit´e de la d´emarche de mod´elisation `a deux ´echelles propos´ee ; il est v´erifi´e que le mod`ele macroscopique formul´e est capable de reproduire non seulement l’´etat de d´egradation de la structure sous un chargement donn´e, mais aussi d’´evaluer correctement la dissipation ´energ´etique induite par le mat´eriau, et donc par extrapolation la contribution `a l’amortissement structural.

Chapitre 1

´

Etat de l’art et motivations

Sommaire

1 Introduction . . . 8 2 M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles . . . 8 2.1 Cons´equences de la fissuration sous chargement monotone . . . 9 2.2 Cons´equences de la fissuration sous chargement cyclique . . . 15 3 L’exp´erimentation num´erique . . . 21 3.1 Une d´emarche multi-´echelle . . . 21 3.2 Compl´ementarit´e de l’exp´erimentation num´erique . . . 23 4 M´ethodes de mod´elisation pour l’exp´erimentation num´erique . 25 4.1 M´ethodes issues de la m´ecanique des milieux continus . . . 26 4.2 M´ethodes issues de la m´ecanique des solides ind´eformables . . . 28 4.3 Discussion . . . 29 5 Synth`ese . . . 31

1

Introduction

La formulation de mod`eles de comportement n´ecessite une connaissance d´etaill´ee des m´ecanismes influen¸cant la r´eponse du mat´eriau `a d´ecrire. L’´etude des ph´enom`enes macro-scopiques exhib´es par ce mat´eriau est une ´etape importante pour d´evelopper ces connais-sances. En ce qui concerne les mat´eriaux quasi-fragiles, celles-ci sont d´ej`a nombreuses, une description non-exhaustive en est fait dans la premi`ere partie de ce chapitre.

Cependant des essais, dans une multitude de configurations de plus en plus complexes, doivent encore et toujours ˆetre r´ealis´es. Pour plusieurs raisons, et notamment un meilleur contrˆole de l’essai, l’acc`es `a de nouvelles quantit´es observables, ainsi qu’une ´economie mat´erielle, il est fait le choix de remplacer une part de l’exp´erimentation en laboratoire par de l’exp´erimentation num´erique. Les d´etails de ce choix, parmi d’autres d´emarches multi-´echelle sont explicit´es dans la seconde partie de ce chapitre.

D`es lors qu’une d´emarche d’exp´erimentation num´erique est retenue, un choix de mod`ele num´erique s’impose. L’exp´erimentation num´erique ne peut ˆetre conduite avec des mod`eles macroscopiques, comme ceux formul´es pour le calcul de structure. L’objectif ´etant de comprendre la ph´enom´enologie du mat´eriau, un mod`ele fin, `a une ´echelle inf´erieure est n´ecessaire. Plusieurs possibilit´es de m´ethodes de mod´elisation num´erique sont explor´ees dans la troisi`eme partie de ce chapitre.

2

M´

ecanique des mat´

eriaux quasi-fragiles

Le comportement des mat´eriaux quasi-fragiles, h´et´erog`enes dans le cas du b´eton ou des roches, est complexe et multi-physique. De nombreux ph´enom`enes peuvent ˆetre observ´es `a l’´echelle macroscopique lorsqu’un volume ´el´ementaire repr´esentatif (VER) de mat´eriau est sollicit´e.

Afin de d´evelopper des mod`eles capables de pr´edire le comportement m´ecanique d’un mat´eriau, la connaissance de sa ph´enom´enologie est primordiale. La qualit´e d’un mod`ele de comportement m´ecanique est ´evalu´ee par rapport `a sa capacit´e `a pr´edire et `a repro-duire ces ph´enom`enes. La ph´enom´enologie du comportement macroscopique du mat´eriau `a mod´eliser est exploit´ee afin d’orienter et de valider la formulation des mod`eles pr´esent´es dans ces travaux. En avoir une connaissance approfondie semble donc n´ecessaire.

Comprendre l’origine des ph´enom`enes macroscopiques et d´eterminer les m´ecanismes sous-jacents permet d’en am´eliorer la description. Dans le cas d’une mod´elisation fine, ces m´ecanismes peuvent ˆetre introduits directement dans le mod`ele. Dans le cas d’une mod´eli-sation macroscopique, le choix de la formulation (plasticit´e, endommagement, autre) peut ˆetre adapt´e. N´eanmoins, il n’est pas n´ecessaire de consid´erer l’int´egralit´e du comporte-ment m´ecanique quel que soit le cas de chargecomporte-ment. Certains ph´enom`enes macroscopiques

M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles 9

la robustesse, les ph´enom`enes en question peuvent ˆetre n´eglig´es. `A titre d’exemple, dans

le cas de structures en b´eton renforc´ees et de chargements sismiques, les ph´enom`enes ma-croscopiques li´es `a la d´egradation compl`ete du mat´eriau en compression peuvent ne pas ˆetre consid´er´es dans une mod´elisation macroscopique.

Les ph´enom`enes macroscopiques observ´es exp´erimentalement lors de la sollicitation d’un VER de mat´eriau quasi-fragile sont en grande partie, de pr`es ou de loin, des cons´equences de la fissuration, qu’elle soit diffuse ou localis´ee. Une revue des ph´enom`enes macrosco-piques connus est ici propos´ee.

Les ph´enom`enes observ´es sous chargement monotone ne seront que bri`evement d´etaill´es, puisqu’il ne font pas l’objet principal de ces travaux. Au contraire les ph´enom`enes observ´es sous chargement cyclique seront plus longuement pr´esent´es.

2.1

Cons´

equences de la fissuration sous chargement monotone

2.1.1 Perte de rigidit´e et adoucissement

Un essai de traction uni-axiale met en avant les ph´enom`enes de perte de rigidit´e et d’adou-cissement pr´esent´es par les mat´eriaux quasi-fragiles.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 D´eformation (×10−4) C on tr ai n te (M P a)

Figure 1.1: R´eponse contrainte-d´eformation en traction uni-axiale [Terrien, 1980].

Avant d’atteindre le pic de r´esistance de l’´eprouvette, la fissuration est diffuse. Des micro-fissures apparaissent en de multiples endroits de l’´eprouvette, principalement induites par une concentration de contraintes `a proximit´e de d´efauts ou de pores. Dans cette premi`ere phase, d’un point de vue macroscopique l’´eprouvette de mat´eriau semble peu affect´ee par la fissuration, la r´eponse uni-axiale du mat´eriau reste d’ailleurs quasiment lin´eaire (fig. 1.1). Apr`es avoir atteint le pic de r´esistance de l’´eprouvette, la fissuration se localise. Les cons´equences de la fissuration sont alors plus visibles, la rigidit´e (raideur s´ecante)

de la r´eponse uni-axiale se d´egrade. Cette perte de rigidit´e s’observe sur les r´esultats d’exp´erience de Terrien [1980]. La r´ealisation de cycles de charge-d´echarge, `a niveau de d´egradation constant (lignes en pointill´es, fig. 1.1), met en ´evidence une diminution de la pente de la r´eponse contrainte-d´eformation.

La fissuration se d´eveloppe dans des plans orthogonaux `a la direction de chargement (mode I). En cons´equence, en chacun de ces plans, la section capable de transmettre des efforts assurant la coh´esion du mat´eriau est r´eduite, ce qui explique la perte de rigidit´e. La propagation de la fissuration provoque aussi une instabilit´e de l’´eprouvette accompagn´ee d’un comportement adoucissant. Une fois le pic de r´esistance initial atteint, l’´evolution de la contrainte en fonction de la d´eformation est d´ecroissante. L’instabilit´e du comportement des mat´eriaux quasi-fragiles est la cons´equence de la diminution du pic de r´esistance de l’´eprouvette avec la propagation de la fissuration.

Les deux types de fissuration mentionn´es pr´ec´edemment peuvent ˆetre mis en ´evidence par une technique de mesure par ´emission acoustique [Maji et Shah, 1988]. La figure 1.2 met en ´evidence l’apparition de vides (fissures) chacun repr´esent´e par une croix sur les diff´erents sch´emas. Des micro-fissures apparaissent d’abord de mani`ere diffuse avant de localiser et former une macro-fissure.

Figure 1.2: Mise en ´evidence par ´emission acoustique de la fissuration lors d’un

charge-ment de traction [Maji et Shah, 1988].

2.1.2 Dissym´etrie du comportement en traction et en compression

Le pic de r´esistance en compression est g´en´eralement estim´e une dizaine de fois sup´erieur au pic de r´esistance en traction. De plus, bien qu’il soit fortement d´ependant des conditions aux limites de l’essai (frettage des supports) et de l’´elancement de l’´eprouvette test´ee, le comportement post-pic en compression est moins fragile que le comportement post-pic en traction (fig. 1.3).

M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles 11 −30 −20 −10 0 −40 −20 0 D´eformation (×10−4) C on tr ai n te (M P a)

Figure 1.3: R´eponse contrainte-d´eformation en compression uni-axiale [Ramtani, 1990].

Une perte de rigidit´e moins importante est observ´ee en compression. La dissym´etrie des r´eponses observ´ees en traction et en compression s’explique par la diff´erence des m´ecanismes impliqu´es. En compression la fissuration est la cons´equence de l’effet Poisson (fig. 1.4). Les extensions locales ne sont plus directes, mais induites. La fissuration se

propage ainsi colin´eairement `a la direction de chargement, d’o`u une influence moindre,

dans un premier temps, sur la perte de raideur de l’´eprouvette.

L’adoucissement, moins prononc´e qu’en traction, est att´enu´e par l’´ecrasement de la poro-sit´e du mat´eriau (fig. 1.4). La compaction se manifeste `a l’´echelle macroscopique par un comportement plastique durcissant, ce qui contraste avec la fragilit´e d’un comportement endommageant.

2.1.3 Comportement bi-axial

Deux campagnes exp´erimentales, plus [Lee et al., 2004] ou moins [Kupfer et al., 1969] r´ecentes font foi en mati`ere de comportement bi-axial. Ces campagnes d’essais donnent une id´ee assez semblable de la forme de la surface de chargement `a la rupture. Elles mettent aussi en ´evidence une l´eg`ere d´ependance de la forme de la surface `a la r´esistance

en compression fc du b´eton (fig. 1.5).

−1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

Contrainte principale I normalis´ee

C on tr ai n te p ri n ci p al e I I n or m al is ´ee Lee (fc= 30 MPa) Lee (fc= 39 MPa) Kupfer (fc= 19 MPa) Kupfer (fc= 31 MPa) Kupfer (fc= 59 MPa)

Figure 1.5: Surface de chargement `a la rupture du b´eton normalis´ee par rapport `a la

r´esistance en compression. `

A noter l’absence du cisaillement (−1/ + 1) pur pour les trajets de chargements ´etudi´es

lors de ces deux campagnes exp´erimentales. Il n’existe d’ailleurs que peu, si ce n’est aucun r´esultat exp´erimental de la r´eponse en cisaillement pur jusqu’`a la rupture d’une ´eprouvette de mat´eriau quasi-fragile.

2.1.4 Dilatance

La dilatance est observ´ee principalement en compression, elle se manifeste par une aug-mentation du coefficient de Poisson apparent du mat´eriau, lorsque la fissuration se d´evelop-pe (fig. 1.6). La d´eformation transversale est mesur´ee lors de l’essai de compression uni-axiale pr´esent´e en figure 1.3. Le rapport des d´eformations transversale et axiale de l’´eprouvette est initialement constant. Ce rapport ´evolue peu jusqu’`a l’instant auquel la

M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles 13

d´eformation axiale associ´ee au pic de r´esistance est atteinte (fig. 1.3), soit −2.5×10−3. D`es

lors, le ph´enom`ene de dilatance se manifeste.

La coalescence de fissures colin´eairement `a la direction de chargement facilite l’expansion lat´erale de l’´eprouvette de mat´eriau : des bandes de mat´eriau se forment, menant `a une diminution de la rigidit´e transverse de l’´eprouvette, alors que la rigidit´e axiale reste peu affect´ee. −3 −2 −1 0 0 2 4 6 D´eformation axiale (×10−3) D ´ef or m at io n tr an sv er sa le (× 10 − 3 )

(a) ´evolution de la d´eformation transversale

−3 −2 −1 0 0 2 4 D´eformation axiale (×10−3) C o effi ci en t d e P oi ss on effe ct if

(b) ´evolution du coefficient de Poisson effectif

Figure 1.6: Ph´enom`ene de dilatance observ´e en compression uni-axiale [Ramtani, 1990].

2.1.5 Anisotropie induite par le chargement

Une fissure est d´elimit´ee par deux surfaces libres de contraintes et de normales oppos´ees, elle poss`ede donc une orientation sp´ecifique. Les propri´et´es du mat´eriau ne sont ainsi pas affect´ees par le d´eveloppement de la fissuration de mani`ere isotrope. L’orientation est d´etermin´ee par plusieurs facteurs, et en particulier la direction du chargement. Bien que pour la plupart des mat´eriaux quasi-fragiles, le comportement m´ecanique puisse ˆetre consid´er´e initialement isotrope, la d´egradation induite par chargement m´ecanique peut conduire `a une certaine anisotropie.

2.1.6 Effets d’´echelle

Selon les dimensions d’un volume de mat´eriau, les propri´et´es m´ecaniques de ce dernier, mˆeme adimensionnelles, varient. La r´ealisation de deux essais de traction en tous points identiques, `a l’exception des dimensions de l’´eprouvette. Par exemple une ´eprouvette d’une taille donn´ee et une seconde dont toutes les dimensions sont doubl´ees, l’´elancement de l’´eprouvette est donc pr´eserv´e, ne conduira pas aux mˆemes valeurs de contraintes limites (´elastique ou `a la rupture). De plus grandes dimensions d’´eprouvettes conduisent `a une

plus faible r´esistance (fig. 1.7). Selon la dimension de l’´eprouvette, l’origine de l’effet d’´echelle n’est pas identique [Baˇzant, 1999].

5 10 15 20 25 1.3 1.4 1.5 1.6 Diam`etre (mm) C on tr ai n te (M P a)

Figure 1.7: Influence du diam`etre de l’´eprouvette sur la r´esistance en traction [Van Vliet

et Van Mier, 2000].

D’une part, l’effet d’´echelle est attribu´e `a un effet purement statistique [Rossi et Richer, 1987], pour de petites dimensions. Les mat´eriaux quasi-fragiles ne sont pas des mat´eriaux homog`enes, et parmi les h´et´erog´en´eit´es incluses se trouvent des d´efauts et des pores. Ces derniers sont des zones privil´egi´ees pour l’amorce de fissures. Statistiquement, plus le volume de mat´eriau est important, plus la quantit´e de d´efauts et de pores est impor-tante. De fait, la propagation de fissures est facilit´ee par l’augmentation du volume de mat´eriau.

D’autre part, l’effet d’´echelle est attribu´e `a un effet ´energ´etique d´eterministe [Baˇzant et Novak, 2000], pour de plus grandes dimensions. Cet effet d’´echelle est expliqu´e par la m´ecanique lin´eaire ´elastique de la rupture.

2.1.7 Effets de vitesse

La vitesse de chargement, autrement dit le temps ´ecoul´e pour atteindre un chargement donn´e, influence certaines propri´et´es m´ecaniques des mat´eriaux quasi-fragiles. Diverses ´etudes [Watstein, 1953; Reinhardt et al., 1990] ont notamment mis en ´evidence qu’une augmentation de la vitesse de chargement est accompagn´ee par :

— une augmentation des contraintes limites ;

— une augmentation de la d´eformation au pic de r´esistance ; — une augmentation du module d’´elasticit´e.

L’augmentation de la vitesse de chargement implique donc une dissipation ´energ´etique plus importante, la phase de fissuration diffuse est plus importante.

M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles 15

Inversement, pour une vitesse de chargement r´eduite, voire nulle, donc pour un charge-ment maintenu constant (fluage), il est possible d’observer la rupture pour une contrainte inf´erieure `a la contrainte limite mesur´ee pour un chargement consid´er´e quasi-statique. La d´ependance du comportement m´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles `a la vitesse de chargement s’explique par la pr´edominance de m´ecanismes diff´erents selon l’ordre de

grandeur de la vitesse d’application. `A faible vitesse de chargement, le comportement

visqueux du mat´eriau (fluage) pr´edomine [Baˇzant et Gettu, 1992] ; le mat´eriau continue

de se d´eformer malgr´e une contrainte appliqu´ee constante. `A forte vitesse de chargement,

en revanche, les effets inertiels pr´edominent [Bischoff et Perry, 1991], ils s’opposent `a la d´eformation induite par le chargement ; par exemple lors d’un essai de compression uni-axiale un effet de confinement lat´eral est observ´e. Enfin, `a vitesse de chargement in-term´ediaire, le comportement visqueux de l’eau libre pr´esente dans les vides du mat´eriau pr´edomine [Rossi, 1991] ; l’eau libre exerce une force de rappel sur les parois oppos´ees des vides, s’opposant donc `a leur expansion, ph´enom`ene connu sous le nom d’effet Ste-fan.

10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 3.5

4 4.5

Taux de chargement (GPa.s−1)

C on tr ai n te (M P a)

Figure 1.8: Influence du taux de chargement sur la r´esistance en traction [Rossi et al.,

1994].

N´eanmoins, ´etant donn´e les vitesses auxquelles sont appliqu´es les chargement dans la pr´esente ´etude, les effets de vitesse dans les mat´eriau quasi-fragiles seront n´eglig´es. L’hy-poth`ese de chargements quasi-statiques sera d’ailleurs retenue dans le cadre de la mod´elisa-tion fine.

2.2

Cons´

equences de la fissuration sous chargement cyclique

Dans le cadre de calculs de structures, le comportement m´ecanique sous chargement cy-clique peut ˆetre associ´e et limit´e `a la r´eponse du mat´eriau en chargement uni-axial al-tern´e, soit une succession de tractions endommageantes et de compressions ´elastiques. De

prime abord, des effets plus complexes li´es au cisaillement pur d’une fissure ne sont pas consid´er´es.

2.2.1 Effet unilat´eral et d´eformations r´esiduelles

Si les ph´enom`enes observ´es sous chargement monotone sont tous caus´es, directement ou indirectement, par l’ouverture de fissures, les ph´enom`enes observ´es sous chargement cyclique sont tous caus´es par leur fermeture.

L’effet unilat´eral est le nom attribu´e au ph´enom`ene de reprise de rigidit´e observ´e lors d’un passage en compression suite `a un premier chargement de traction endommageant (fig. 1.9).

La reprise de rigidit´e, donc l’effet unilat´eral, est la cons´equence du contact initi´e entre les deux surfaces d’une fissure lorsque l’´eprouvette est d´echarg´ee. La section du mat´eriau capable de transmettre une sollicitation, pr´ealablement r´eduite par la propagation de la fissuration lors du chargement de traction, tend `a nouveau vers sa valeur initiale, saine, lorsque le mat´eriau est d´echarg´e, puis comprim´e.

Dans le cas particulier d’une fissure sollicit´ee en mode II, soit en cisaillement, il n’est pas fait mention d’effet unilat´eral dans la litt´erature. En revanche, il est plutˆot fait mention du ph´enom`ene d’engr`enement des granulats (aggregate interlocking) [Walraven, 1980], auquel est associ´e la r´ecup´eration d’une part de la rigidit´e initiale lors de chargement altern´e. −3 −2 −1 0 1 2 −6 −4 −2 0 D´eformation (×10−4) C on tr ai n te (M P a)

Figure 1.9: Mise en ´evidence de l’effet unilat´eral [Mazars et al., 1990].

Des essais cycliques uni-axiaux effectu´es sur un plus grand nombre de cycles [Reinhardt et Cornelissen, 1984; Nouailletas, 2013] mettent en ´evidence la progressivit´e de l’effet unilat´eral : les fissures ne se ferment ni simultan´ement, ni instantan´ement (fig. 1.10).

M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles 17

L’´evolution de la rigidit´e apparente du mat´eriau, d’une valeur affaiblie vers sa valeur initiale, est continue.

En parall`ele, des d´eformations r´esiduelles sont observ´ees. Lors d’une d´echarge, `a la suite d’un chargement de traction endommageant, le mat´eriau ne retourne pas `a un ´etat de contraintes et de d´eformations nulles.

La transition progressive de l’effet unilat´eral et l’apparition de d´eformations r´esiduelles sont expliqu´ees par un unique m´ecanisme. Lorsque le mat´eriau est d´echarg´e, des incom-patibilit´es g´eom´etriques des surfaces de part et d’autre des fissures sont observ´ees. Au-trement dit, les profils topologiques des deux surfaces ne correspondent plus. L’analyse par corr´elation d’images d’une fissure (fig. 1.11) met en ´evidence ces incompatibilit´es g´eom´etriques. Dans le cas d’une fermeture parfaite, le champ de d´eplacement (repr´esent´e par le gradient de couleur) est lisse et continu. Dans le cas pr´esent, des gradients du champ de d´eplacement importants et inhomog`enes sont observ´es, mˆeme apr`es la fermeture de la fissure. Ceci traduit la pr´esence de contraintes localis´ees, et donc d’un contact entre des topologies non-concordantes des surfaces de la fissure.

0 5 10 15 −4 −2 0 2 4 D´eformation (×10−4) C on tr ai n te (M P a)

(a) [Reinhardt et Cornelissen, 1984]

0 5 10 15 −4 −2 0 2 4 D´eformation (×10−4) C on tr ai n te (M P a) (b) [Nouailletas, 2013]

Figure 1.10: R´eponse contrainte-d´eformation `a un chargement uni-axial cyclique.

En r´esum´e, des d´eformations r´esiduelles apparaissent mais ne sont pas irr´eversibles, au sens des d´eformations plastiques. Les d´eformations r´esiduelles sont simplement la cons´equence des incompatibilit´es topologiques des surfaces des fissures, dont l’origine n’est pas encore clairement ´etablie dans la litt´erature. D`es lors que ces incompatibilit´es g´eom´etriques sont effac´ees, les d´eformations r´esiduelles ne se manifestent plus.

(a) fissure ouverte (b) amorce du contact (c) fissure ferm´ee

min. max.

Figure 1.11: Analyse par corr´elation d’image du champ de d´eplacement vertical lors de

la fermeture d’une fissure [Nouailletas, 2013].

2.2.2 Effets hyst´er´etiques

Les incompatibilit´es en front de fissures sont responsables d’un troisi`eme ph´enom`ene ma-croscopique : la g´en´eration de boucles d’hyst´er´esis (fig. 1.10). Les effets hyst´er´etiques sont tr`es souvent le signe de la pr´esence de frottement, et d’une dissipation ´energ´etique associ´ee. Dans le cas d’un chargement cyclique uni-axial, c’est effectivement ce dont il

s’agit. `A l’amorce de la fermeture des fissures, en cons´equence de la non-concordance des

surfaces des fissures, des contacts sur des plans inclin´es sont initi´es propices au glissement (fig. 1.12).

Bien que l’origine lointaine des effets hyst´er´etiques (incompatibilit´es g´eom´etriques) ne soit pas remise en cause, il est possible d’envisager une origine directe diff´erente. En effet, dans un contexte diff´erent, celui de la m´ecanique des roches, l’origine des effets hyst´er´etiques observ´es sur un joint rocheux irr´egulier, rugueux [Goodman, 1976] est attribu´ee non pas `a de la friction, mais `a l’´ecrasement des asp´erit´es des surfaces des fissures. L’´ecrasement se produit suite aux concentrations de contraintes localis´ees aux extr´emit´es des asp´erit´es entrant en contact. Ainsi bien que le chargement global n’exc`ede pas la r´esistance en compression du mat´eriau, ces localisation de contraintes entraˆınent des ruptures localis´ees (´ecrasements).

Il a d’ailleurs ´et´e observ´e que la reprise de rigidit´e d’un mat´eriau sous chargement cy-clique, l’effet unilat´eral, est d’autant plus soudaine que la r´esistance en compression du mat´eriau est ´elev´ee [Duffaut et Homand, 2000]. Puisque le fait d’augmenter la r´esistance en compression influence effectivement les ph´enom`enes macroscopiques observ´es sous charge-ment cycliques, l’implication du m´ecanisme d’´ecrasecharge-ment des asp´erit´es est mis ´evidence, lui-mˆeme directement influenc´e par la r´esistance en compression du mat´eriau.

N´eanmoins, cette hypoth`ese qui consiste `a expliquer les effets hyst´er´etiques par l’´ecrase-ment des asp´erit´es, impliquerait qu’`a endommagel’´ecrase-ment constant, ceux-ci s’estompent ra-pidement apr`es quelques cycles. En effet, si aucune nouvelle fissure ne se d´eveloppe, la proportion d’asp´erit´es restantes apr`es plusieurs cycles de charge-d´echarge tend `a devenir

M´ecanique des mat´eriaux quasi-fragiles 19

nulle. Dans le cas d’un joint rocheux, l’att´enuation rapide des effets hyst´er´etiques a ´et´e observ´ee par Bandis et al. [1983] en pratique apr`es trois cycles.

En revanche, il est tout aussi possible que des effets hyst´er´etiques caus´es par de la friction s’att´enuent `a mesure des cycles de charge-d´echarge, en consid´erant l’´erosion des surfaces de frottement. Des observations r´ecentes effectu´ees par Crambuer [2013], lors d’un essai de flexion trois-points altern´ee sur des poutres en b´eton, appuient davantage cette hypoth`ese. Ainsi de mani`ere g´en´erale, il n’est pour l’instant pas contest´e que dans le cas du b´eton, les effets hyst´er´etiques sont principalement expliqu´es par un m´ecanisme de friction. Quoi qu’il en soit, et ´etant donn´e le manque de consensus dans la litt´erature, il serait donc int´eressant de pouvoir analyser plus en d´etails le comportement sous chargement cyclique du b´eton pour ´eclaircir le type de m´ecanisme directement `a l’origine des effets hyst´er´etiques.

Perturbation

Zone de friction

Figure 1.12: Fissure soumise `a des cycles de charge-d´echarge [Mihai et Jefferson, 2011].

2.2.3 Incompatibilit´es g´eom´etriques

Bien que les ph´enom`enes macroscopiques observ´es sous chargement cycliques aient fait l’objet de nombreuses recherches, l’origine d’incompatibilit´es g´eom´etriques des surfaces de fissures justifiant de ces ph´enom`enes l’est en revanche beaucoup moins. Diverses explica-tions peuvent ˆetre trouv´ees dans la litt´erature. D’un cˆot´e, l’hypoth`ese d’incompatibilit´es g´en´er´ees par une perturbation locale, au niveau de la fissure, en opposition. D’un autre cˆot´e, l’hypoth`ese d’une perturbation globale introduite par une sollicitation m´ecanique ext´erieure incontrˆol´ee.

Une perturbation locale se justifie principalement de deux mani`eres :

— comme une cons´equence du comportement au jeune ˆage du b´eton : le retrait [Brif-faut et al., 2013] ;

— comme une cons´equence de la pr´esence partielle d’eau libre dans les pores du mat´eriau : dans le cas de roches, une d´ependance des effets hyst´er´etiques au degr´e de saturation du mat´eriau a ´et´e observ´ee [Van Den Abeele et al., 2002].

Dans les deux cas, un champ de contraintes h´et´erog`ene auto-´equilibr´e est pr´esent dans le volume de mat´eriau ´etudi´e. La figure 1.13 met ´evidence la pr´esence ce champ h´et´erog`ene, elle illustre la r´epartition de d´eformations locales, apr`es s´echage, obtenues par corr´elation d’images [Hilaire, 2014].

La propagation de la fissuration dans le volume, cr´ee des surfaces libres de contraintes et induit la relaxation d’une partie des contraintes internes. La r´e-´equilibration de ces contraintes vient alors perturber la position des surfaces de la fissure venant de s’ouvrir, et conduit aux incompatibilit´es g´eom´etriques constat´ees. Toujours dans le contexte des perturbations locales, une troisi`eme justification pourrait ˆetre la pr´esence dans les fissures de d´ebris de mati`ere, d´etach´es du volume principal de mat´eriau lors de l’initiation de la fissuration. Ces d´ebris, libres de d´eplacements dans le vide form´e par la fissure, seraient alors responsable d’incompatibilit´es g´eom´etriques.

(a) m´esostructure du VER (b) trace des d´eformations locales

Figure 1.13: D´eformations locales dans un VER de b´eton apr`es s´echage mesur´ees par

corr´elation d’images [Hilaire, 2014].

Une perturbation globale, moins souvent propos´ee, affecte directement les conditions aux limites. Dans le cas d’un chargement uni-axial, il s’agirait par exemple d’un d´esaxage du v´erin appliquant la sollicitation, cons´equence d’une propagation non-sym´etrique de la fis-suration et observ´e exp´erimentalement, entre autres, par Hordijk et al. [1987]. L’hypoth`ese d’une perturbation globale est appuy´ee par l’´etude sous chargement cyclique d’un joint rocheux. Gentier [1987] a montr´e que des cycles de pr´e-chargement permettent d’att´enuer les effets hyst´er´etiques. Ces cycles ont pour effet de r´ealigner les deux blocs constituant le joint rocheux et donc de diminuer la perturbation globale introduite dans les conditions aux limites.

L’exp´erimentation num´erique 21

3

L’exp´

erimentation num´

erique

Les mat´eriaux quasi-fragiles peuvent ˆetre qualifi´es de complexes, d’une part en raison de leur comportement fortement adoucissant, et d’autre part en raison de leur forte h´et´erog´en´eit´e structurelle. Ces deux caract´eristiques impliquent une forte propension des mat´eriaux quasi-fragiles `a pr´esenter des discontinuit´e de champs de d´eplacement ou de d´eformation, et rendent difficile une mod´elisation `a l’´echelle du VER, l’´echelle `a laquelle le

mat´eriau doit ˆetre consid´er´e comme homog`ene. Ce type de mod`ele est qualifi´e de mod`ele

macroscopique, par opposition au terme mod`ele fin employ´e par la suite, et trouve

son utilit´e pour la simulation de r´eponses de structures compl`etes.

La formulation de mod`eles constitutifs macroscopiques, directement `a partir de r´esultats exp´erimentaux requiert une quantit´e d’informations importante, comme il a pu l’ˆetre

remarqu´e dans la partie pr´ec´edente, ce qui rend le processus trop coˆuteux en termes

d’essais en laboratoire. De plus cette d´emarche pr´esente encore de nombreuses lacunes qualitativement parlant. Ainsi pour contourner le probl`eme, des m´ethodes dites multi-´

echelle sont employ´ees, et n´ecessitent le d´eveloppement de mod`eles de comportement `a

une ´echelle inf´erieure. Ce type de mod`ele est qualifi´e de mod`ele fin.

3.1

Une d´

emarche multi-´

echelle

Une d´emarche multi-´echelle consiste `a reproduire le comportement d’un mat´eriau `a l’aide

de plusieurs mod`eles. `A chaque ´echelle d’int´erˆet, un mod`ele est associ´e. Le passage par une

´echelle de mod´elisation inf´erieure permet de r´eduire la complexit´e des ´equations employ´ees. Les ph´enom`enes d’influence, et donc `a reproduire, sont d’autant plus simples et moins nombreux que l’´echelle diminue. Le retour `a une ´echelle sup´erieure de mod´elisation est ensuite n´ecessaire pour permettre la r´ealisation de calculs de structures compl`etes, dans des temps de calculs raisonnables.

Dans le cadre de ces travaux, seulement deux niveaux de mod´elisation sont utilis´es, s’ap-puyant sur les mod`eles qualifi´es de fin et de macroscopique. Cependant, le nombre de

mod`eles exploit´es dans une d´emarche multi-´echelle n’est pas toujours aussi limit´e. `A titre

d’exemple, une succession de trois mod`eles ont ´et´e utilis´es par Qian [2012] pour d´ecrire un VER de b´eton. Les mod`eles permettent de d´ecrire des ´echelles allant de la pˆate de ciment, en passant par le mortier, pour remonter jusqu’au b´eton. Ainsi `a partir de connaissances sur les phases consid´er´ees comme homog`enes constituant le b´eton (pˆate de ciment,

granu-lats) Qian [2012] extrapole les propri´et´es d’un VER de b´eton. `A noter que, si les ´equations

utilis´ees `a l’´echelle de la pˆate de ciment sont amplement simplifi´ees par rapport `a celles employ´ees pour d´ecrire le comportement d’un VER de b´eton, l’obtention des propri´et´es du mat´eriau `a une ´echelle aussi fine, en revanche, est fortement complexifi´ee.

Il n’existe pas une unique d´emarche multi-´echelle, les diff´erentes approches sont nuanc´ees par la mani`ere dont elles font dialoguer les diff´erents mod`eles relatifs `a chaque ´echelle.

Dans un premier temps, il est possible de distinguer un groupe de d´emarches multi-´echelle, pour lesquelles les diff´erents mod`eles sont sollicit´es au sein d’un mˆeme calcul [Belytschko et Song, 2010] :

— un couplage fort des mod`eles, ou utilisation simultan´ee [Guidault et al., 2007] : Cette d´emarche multi-´echelle s’appuie sur les m´ethodes de d´ecomposition de do-maines. La structure compl`ete est d´ecompos´ee en deux types de dodo-maines. D’un cˆot´e, les domaines mod´elis´es par un mod`ele macroscopique, dans lesquels les ph´e-nom`enes complexes, ou fortes non-lin´earit´es, n’ont qu’une faible chance de se ma-nifester. De l’autre cˆot´e, les domaines mod´elis´es par le mod`ele fin, dans lesquels un fort niveau de d´etail est requis. L’´equilibre entre les deux types de domaines est assur´e par l’introduction d’une interface, les variables associ´ees `a chaque domaine n’´etant pas n´ecessairement identiques ;

— un couplage faible des mod`eles, ou utilisation hi´erarchique (m´ethodes FE2) [Feyel et Chaboche, 2000] : Cette d´emarche multi-´echelle remplace l’emploi de lois consti-tutives complexes par un calcul `a partir du mod`ele fin. Les mod`eles fin et ma-croscopique sont utilis´es en alternance. Un ´etat de sollicitation mama-croscopique est d’abord d´etermin´e par un calcul r´ealis´e avec le mod`ele macroscopique. L’´etat de sollicitation en chaque point de Gauss est ensuite transmis au mod`ele fin. Un nou-veau calcul est effectu´e avec ce dernier pour les conditions aux limites transmises. L’´etat de sollicitation obtenu dans le mod`ele fin est finalement homog´en´eis´e, pour permettre d’actualiser l’´etat de sollicitation en chaque point de Gauss du mod`ele macroscopique.

`

A ce premier groupe de d´emarches multi-´echelle, s’ajoutent deux autres types, pour les-quels les mod`eles fin et macroscopique sont employ´es s´epar´ement :

— une utilisation en post-traitement [Oliver-Leblond et al., 2013] : Le mod`ele fin est utilis´e `a la suite d’un premier calcul complet effectu´e `a l’aide du mod`ele macro-scopique. Le mod`ele fin est utilis´e comme un outil de post-traitement du r´esultat obtenu par le mod`ele macroscopique. Dans une zone restreinte, zone dans laquelle se manifestent les discontinuit´es (fissures) un second calcul est effectu´e `a l’aide du mod`ele fin exploitant les conditions aux limites extraites du calcul effectu´e avec le mod`ele macroscopique. Il est ainsi possible d’extraire des donn´ees difficilement accessibles par l’interm´ediaire du mod`ele macroscopique, telles que l’ouverture de

fissures. `A la diff´erence d’une utilisation hi´erarchique, l’alternance entre les mod`eles

macroscopique et fin, n’est effectu´ee qu’une seule fois, lorsque le calcul sur la base du mod`ele macroscopique est achev´e. Il n’y a donc pas de retour des informations obtenues `a l’aide du mod`ele fin vers le mod`ele macroscopique ;

— une utilisation en pr´e-traitement [Delaplace et Desmorat, 2007] : Appel´ee “exp´eri-mentation num´erique”, cette d´emarche consiste `a remplacer une part des essais en laboratoire par des simulations. En accordant une certaine confiance `a la fid´elit´e du mod`ele, il est possible d’exploiter les r´esultats de cette exp´erimentation num´erique pour d´evelopper et identifier le mod`ele macroscopique, ensuite utilis´e pour le calcul

L’exp´erimentation num´erique 23

de structure.

Dans ces travaux de th`ese, une d´emarche d’exp´erimentation num´erique est adopt´ee. Dans le paragraphe qui suit, les avantages d’une telle d´emarche multi-´echelle sont mis en avant, relativement `a une d´emarche d’exp´erimentation en laboratoire.

3.2

Compl´

ementarit´

e de l’exp´

erimentation num´

erique

Une des limites `a l’enrichissement et `a l’utilisation de mod`eles continus macroscopiques est leur besoin cons´equent en essais de plus en plus complexes.

Concernant leur utilisation, il est principalement question d’essais r´ep´etitifs servant `a l’identification des param`etres du mod`ele. L’h´et´erog´en´eit´e des mat´eriaux quasi-fragiles, notamment celle des roches ou du b´eton, n’est que tr`es peu contrˆol´ee. Or la m´eso-structure influence significativement la valeur que prennent les param`etres mat´eriaux d’un mod`ele ; ainsi il est souvent n´ecessaire d’avoir `a r´e-identifier ces param`etres d’un jeu d’´eprouvettes de mat´eriau `a un autre.

Concernant leur enrichissement, il s’agit d’un besoin, certes moindre, d’essais de ca-ract´erisation. Dans la section 2, il a ´et´e mis en ´evidence qu’une grande partie de la ph´enom´enologie des mat´eriaux quasi-fragiles a d´ej`a ´et´e appr´ehend´ee, toutefois il reste encore des configurations de chargement qui n’ont pas ou peu ´et´e explor´ees (chargements cycliques, chargements multi-axiaux) et ce, principalement `a cause du caract`ere fragile de ces mat´eriaux qui pose des probl`emes de contrˆole de l’exp´erience. De plus, mˆeme si les ph´enom`enes sont quantifi´es, les m´ecanismes en cause ne sont pas n´ecessairement assimil´es. C’est notamment le cas pour les incompatibilit´es g´eom´etriques auxquelles est attribu´ee l’origine des d´eformations r´esiduelles et des effets hyst´er´etiques observ´es sous chargement cyclique. La cause de ces incompatibilit´es n’est pas encore clairement expliqu´ee.

Finalement, qu’il s’agisse d’identification ou de caract´erisation, les besoins exp´erimentaux sont importants. Mais l’exp´erimentation num´erique n’a pas pour seule vocation de servir comme simple substitut `a l’exp´erimentation en laboratoire. Au-del`a d’un investissement moindre en temps et en ressources mat´erielles, l’exp´erimentation num´erique permet de lever des obstacles auxquels l’exp´erimentation en laboratoire est confront´ee de mani`ere r´ecurrente, comme :

— garantir la reproductibilit´e des essais et des r´esultats ;

— ´etudier des cas de chargement n´ecessitant un dispositif complexe ; — ´evaluer des quantit´es difficilement accessibles.

Pour les mat´eriaux quasi-fragiles, les essais de traction illustrent bien ces obstacles. Dans le cas d’un chargement uni-axial, les conditions aux limites en r´egime post-pic sont dif-ficilement contrˆolables. D`es lors que la fissuration ne se propage pas sym´etriquement, de la flexion peut ˆetre induite dans l’´eprouvette, il n’est alors plus possible de parler de