Tresses sur les surfaces et invariants d'entrelacs

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Tresses sur les surfaces et invariants d’entrelacs

Paolo Bellingeri

To cite this version:

Paolo Bellingeri. Tresses sur les surfaces et invariants d’entrelacs. Mathématiques [math]. Université

Joseph-Fourier - Grenoble I, 2003. Français. �tel-00002853�

Lalistedesremer iementsquisuitestsommaireetloind'êtreexhaustive.Jem'ex usepar avan eauprès de eux quej'ai oublié etleurassurequemapenséeva aussiverseux.

Lepremiergroupederemer iementsestprofessionel.Jeremer ied'abordmesdire teurs, LouisFunaretVladSergies u, pour lesoutien,humain etmathématique,pendant toutmon séjour à l'Institut Fourier, depuis mon arrivée en DEA. Le premier ours de Topologie que j'aisuivi à Grenoble était un ours de Christine Les op surl'integrale deKontsevi h.Je suis heureuxde laretrouveràlan etje laremer ie d'avoira epté de faire partie dujury.

Je remer ie Thomas Fiedler et Luis Paris d'avoir a epté d'être mes rapporteurs; leur remarques, onseils etsuggestionsont étéfondamentals et omplémentaires. Je lesremer ie aussi de me faire l'honneur de faire partie du jury. C'est grâ e à Luis Paris que j'ai onnu leGDR de tresses dont je fais partie depuis presque quatre ans. Dans e ontexte j'ai onnu plusieurs experts de tresses ave lesquels j'ai dis uté et ollaboré à maintes reprises. Parmi eux, je remer ie Nuno Fran o, Eddy Godelle, Patri k Dehornoy, Juan González-Meneses et BertWiest.

Je tiens à remer ier l'Institute Simion Stoilow pour l'a ueil reçu pendant mon séjour à Bu arest,enparti ulierBarbuBer eanuetStefanPapadimapourleursremarques,suggestions eten ouragements.

Ma thèse ainsi que mes re her hes sont aussi le fruit d'autres dis ussions, à l'intérieur ou a l'extérieur de l'Institut Fourier; sans les iter tous, je tiens à remer ier Roland Ba her, Mi hael Eisermann, Emmanuel Ferrand, Soa Lambropoulou, Hugh Morton, Marta Rampi- hinietMohammedUludag.Depuisquelquesannéesj'aileplaisirdeparti iperàdesprojetsde vulgarisationdemathématiques,enItalieetenFran e.Jeremer ieMariaDedò,SimonettaDi Sieno,Sylvestre Gallot,Mar elMoralesetCristina Turrinideleur onan eetenthousiasme. Jen'oubliepaslasuperbeéquipedel'InstitutFourier,toutparti ulièrementl'impe able Arlette,Bruno, Corinne, MyriametJanni k, ainsiquetousles amisthésards etpost-do que j'airen ontrépendant esannées.Unepenséeparti ulièrevasansdouteauxnouvellesmamans Hélène etSophie et aux in ontournables Constantin, Fran, Guillaume, Matthieu, Stéphane, Torsten etXavier.

Ledernierremer iement,leplusimportant,vaàmafemme,Anneli,etàmafamille italo-polonaise. Leursoutienetleurpatien e onstituent lepilier entral demon travail.

Avant propos

Le groupe de tresses B n

, introduit par Artin en 1926 ([1℄), joue un rle remarquable dans plusieurs domainesdesmathématiques, en parti ulier danslathéoriedesn÷uds.

Les Théorèmes d'Alexander et de Markov établissent une orrespondan e entre n÷uds (et entrela s)ettresses.Pluspré isémentdeuxentrela ssontisotopessietseulementsilestresses quilesreprésententsontreliéesparunesuitedemouvementsélémentairesdanslatour[

n2 B

n . Celaimpliquequelare her hedesinvariantsd'entrela s orrespondàla onstru tiondestra es deMarkov surla tour de [

n2 C[B

n

℄, 'est-à-dire, desfamilles de fon tionnelles linéaires qui vérient les onditionsdu théorèmedeMarkov.Cette onstru tion restalongtemps purement théorique,jusqu'auxannées80etàladé ouvertedupolynmedeJones([58℄).La onstru tion algébrique de e polynme est basée sur ladénition (indu tive) d'une tra e de Markov sur lesalgèbres deHe ke ([23℄),quisont desquotientsdedimension niedesalgèbresdesgroupes detresses.

Lestravauxde Jones onduisent à laquestion naturellesuivante:

Peut-on dénird'autresinvariantsd'entrela s ave des onstru tionsanaloguesaupolynme deJones (etsonextension, lepolynme HOMFLY-PT)?

Le premier résultat de ette thèse (dansl'ordre hronologique) est une réponse armative à ettequestion.Pluspré isémentdansle hapitre5nousnousintéressonsauxalgèbresdeHe ke ubiques,quisontd'autresquotientsdesalgèbresdesgroupesdetresses.Ensuivantl'appro he deJones,nous onstruisonsdeuxnouveauxinvariantsd'entrela sdansR

3

.Cesinvariants, dif-férentsdesinvariantsHOMFLY-PT etdeKauman, sont ré ursivement al ulablesetdénis univoquement par deuxrelations skein(gure1).

L'autresujetde ettethèseestl'étudedestresseset,plusgénéralement,destressessingulières surles surfa es.Étantdonnéeunesurfa e F onpeutdénirlegroupedetresses B(n;F) ave une onstru tion analogue à elle de B

n

([42 ℄). Ces groupessont une généralisation naturelle dugroupefondamentaldelasurfa eF etilssontliésauxMapping lassgroups etàlathéorie desespa esde ongurations([17 ℄). Unsous-grouperemarquable deB(n;F)estlegroupe de tressespuresP(n;F),qui estlenoyau de laproje tionde B(n;F) danslegroupesymétrique ànéléments.

Nous exhibons de nouvelles présentations, simples, pour les groupes de tresses et de tresses puressurlessurfa es.CesprésentationssontdesextensionsdeprésentationsusuellesdeB

n et dugroupe fondamental de lasurfa e. Le nombrede générateurs etrelations estinférieur aux autres présentations onnues et, à notre onnaissan e, le as d'une surfa e à bord (de genre g1) estnouveau danslalittérature.

L'intérêtpourlesgroupesdetressesestégalementmotivéparlare her hed'invariants d'entre-la s sur les 3-variétés. En eet, il existe une généralisation du théorème de Markov pour les 3-variétés ([86℄), qui relie les entrela s de la variété M ave les tresses sur la surfa e F, où F est la surfa e asso iée à la dé omposition à livre ouvert de M ([73 ℄). Nous étendons aux

tra e de Markov surun ertainquotient de l'algèbre deB(n;F).

Les tresses singulières sont des tresses ayant un nombre ni de points doubles. Les tresses singulièresànbrinssurledisque,ave la ompositionusuellede hemins,formentlemonoïde SB

n

, appelé monoïde de tresses singulières à n brins surle disque. Le monoïde SB(n;F) de tresses singulières à n brins sur une surfa e F, a été introduit dans [48℄ an de dénir des invariantsdetypeni([4℄)pourlestressessurlessurfa es.Nousobtenonsqu'ilseplongedans ungroupeetqueleproblèmedumot estrésolubledansSB(n;F).Cesrésultatsdé oulent de la ara térisation des entralisateurs de e monoïde, que nous obtenons en généralisant des te hniquesde Fenn,Rolfsen etZhu pourSB

n .

Nousdétaillonsnosrésultatsdansles paragraphessuivants.

Tresses sur les surfa es

Dans le premier hapitre nous démontrons des nouvelles présentations pour les groupes de tressesB(n;F).

Théorème1. (Théorème1.1.1)

SoitF unesurfa e orientabledegenre g1etave p omposantesdebord.Legroupe B(n;F) admetla présentation suivante.

 Générateurs:  1 ;:::; n 1 ;a 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g ;z 1 ;:::;z p 1 :  Relations:

 Relations detresses,i.e.  i  i+1  i =  i+1  i  i+1 ;  i  j =  j  i pourji jj2:  Relations mixtes: (R 1) a r  i = i a r (1rg; i6=1); b r  i = i b r (1r g; i6=1); (R 2)  1 1 a r  1 1 a r =a r  1 1 a r  1 1 (1rg);  1 1 b r  1 1 b r =b r  1 1 b r  1 1 (1rg); (R 3)  1 1 a s  1 a r =a r  1 1 a s  1 (s<r);  1 1 b s  1 b r =b r  1 1 b s  1 (s<r);  1 1 a s  1 b r =b r  1 1 a s  1 (s<r);  1 1 b s  1 a r =a r  1 1 b s  1 (s<r); (R 4)  1 1 a r  1 1 b r =b r  1 1 a r  1 (1 rg); (R 5) z j  i = i z j (i6=n 1;j=1;:::;p 1); (R 6)  1 1 z i  1 a r =a r  1 1 z i  1 (1rg; i=1;:::;p 1; n>1);  1 1 z i  1 b r =b r  1 1 z i  1 (1 rg; i=1;:::;p 1; n>1); (R 7)  1 1 z j  1 z l =z l  1 1 z j  1 (j =1;:::;p 1; j<l); (R 8)  1 1 z j  1 1 z j =z j  1 1 z j  1 1 (j=1;:::;p 1):

de tresses d'Artin et de  1

(F). Nousrenvoyons au hapitre 1 et au Théorème 1.1.2 pour les présentations orrespondantauxsurfa esferméesetauxThéorèmes1.5.2and1.5.3pourle as desurfa esnonorientables.Lapreuveestinspiréed'unepreuvedeMoritapourlaprésentation d'ArtindeB

n

([71℄).Nousobtenonsensuiteune présentation pourP(n;F),dansle asd'une surfa eorientable.Cetteprésentationestuneextensiondelaprésentation lassiquedugroupe detresses pures P n B n ([17℄). Théorème2.(Théorème 1.6.1)

Soit F une surfa e orientable de genre g  1 ave p > 0 omposantes de bord. Le groupe P(n;F) admetla présentation suivante:

 Générateurs: fA i;j j1i2g+p+n 2;2g+pj 2g+p+n 1;i<jg:  Relations: (PR 1) A 1 i;j A r;s A i;j =A r;s si(i<j<r<s)ou(r+1<i<j <s); ou(i=r+1<j<sr<2g paireet r2g); (PR 2) A 1 i;j A j;s A i;j =A i;s A j;s A 1 i;s si(i<j<s); (PR 3) A 1 i;j A i;s A i;j =A i;s A j;s A i;s A 1 j;s A 1 i;s si(i<j<s); (PR 4) A 1 i;j A r;s A i;j =A i;s A j;s A 1 i;s A 1 j;s A r;s A j;s A i;s A 1 j;s A 1 i;s si(i+1<r<j<s)ou (i+1=r <j<s r<2g impaire et r>2g); (ER 1) A 1 r+1;j A r;s A r+1;j =A r;s A r+1;s A j;s A 1 r+1;s sir<2g paire; (ER 2) A 1 r 1;j A r;s A r 1;j =A r 1;s A j;s A 1 r 1;s A r;s A j;s A r 1;s A 1 j;s A 1 r 1;s si r<2g impaire :

LeThéorème 1.6.2 fournit unrésultat analogue pourles surfa esorientablesfermées. Legroupe detresses puresP

n

est unproduitsemi-dire tde P n 1

etde F n

,legroupe librede rangn,oùl'a tioninduitedeP

n 1

surl'abelianisédeF n

esttriviale.OnditalorsqueP n estun produitquasi-dire t deP n 1 etdeF n .Par onséquent, T 1 d=0 I(P n ) d =f0getI(P n ) d =I(P n ) d+1 estunZ-modulelibrepourtoutd0,oùI

k

estlapuissan ek-ièmedel'idéald'augmentation de ZP

n

. Ce résultat est fondamental dans la théorie de Vassilev pour les entrela s dans R 3 (voir[74℄).

Le groupe K n

(F), qui est la lture normale de P n

dans P(n;F), est étudié dans [48 ℄. On démontre que K

n

(F) est un produit quasi-dire t iteré de groupes libres de rang inni et on onstruitun invariant universelde typenipour lestresses surune surfa e fermée.

NousintroduisonslegroupeY(n;F),déni ommela lturenormaledansP(n;F)deP(n;E), oùEestlasurfa eobtenueenenlevantlesansesdeF.NousobtenonsqueY(n;F),qui ontient

Par onséquent, T 1 d=0 I(Y(n;F)) d =f0getI(Y(n;F)) d =I(Y(n;F)) d+1

estunZ-modulelibre pourtoutd0.D'autrepart,lorsqueF estunesurfa edegenreg1àbord,P(n;F)estun produit semi-dire titeréde groupes libresde rangni, maisiln'est pasquasi-dire t, à ause desrelations (ER1)et(ER2)dansleThéorème 2 (voir se tion1.6.3).

Nousremarquonsaussiquelarelation (R4)dansleThéorème 1impliquequ'iln'existepasun invariantuniverselmultipli atif detypenipourlestressessurlessurfa esdegenre1([7 ℄).

Graphes et présentations de tresses

Dansle hapitre 2 nouspoursuivonslare her he deprésentationspour lesgroupesde tresses surles surfa es.Sergies u([84 ℄)adémontré quel'on peutasso ier àtoutgrapheà nsommets surleplan( onnexe,sans bou les niinterse tions) uneprésentation pourlegroupede tresses B

n

.Cerésultataétéensuitegénéralisépourdesautres famillesde graphes.Lesprésentations ainsi obtenues sont en général très redondantes mais elles permettent de relier les relations des tresses à la géométrie du graphe. En parti ulier, les présentations par graphes ont été utilisées dansle problème de onjugaison pour B

n

([18 ℄) et dansle problème de plongement desmonoidesde tresses positivesdansB

n ([53 ℄).

Nous allons don onsidérer le as des graphes sur une surfa e F et des groupes de tresses orrespondant. Nous démontrons que l'on peut asso ier à tout graphe à n sommets sur la sphère ( onnexe, sans bou les et interse tions) une présentation pour le groupe de tresses sur la sphère B(n;S

2

) (Théorème 2.2.1) et nous déduisons quelques résultats sur les auto-morphismes de B(n;S

2

) (Corollaire 2.3.1). Nous démontrons aussi que Out(B(n;S 2 )) est isomorpheàZ 2 Z 2

,pour n4 (Proposition2.4.2). Lesautomorphismes 1 ; 2 deB(n;S 2 ) dénis par  1 ( j ) =  1 j pour j = 1;:::;n 1 et  2 ( j ) =  j U pour j = 1;:::;n 1, où U = ( 1


 n 1 ) n

est le générateur du entre de B(n;S 2

), sont des représentants pour les générateursde Out(B(n;S

2 )).

Tresses singulières sur les surfa es

Dansle hapitre 3,nousétudionslemonoïdedetressessingulières,SB(n;F).Lesgénérateurs deB(n;F),leur inverses, plusdes générateurs singuliers

1 ;:::

n 1

,qui orrespondent àdes tresses ave un point double, forment un ensemble de générateurs pour SB(n;F). Nous dé-montronsquelestressessurlessurfa essatisfontunepropriétéanalogueauxtressessingulières surledisque([40 ℄).

Théorème3.(Théorème 3.3.2)

Pourtout x2SB(n;F), les propriétés suivantes sontéquivalentes: 1.  j x=x k , 2.  r j x=x r k ; pourquelques r 2Znf0g, 3.  r j x=x r k ; pourtout r 2Z, 4.  j x=x k ;

5.  j

x=x k

; pourquelques r 2Znf0g.

L'idéedelapreuveestde onsidérerlestresses ànbrinssurlasurfa eF ommedesmapping lasses de lasurfa e F nP,où P estun ensemble de n points distin ts. En parti ulier, dans les Théorèmes 3.3.1 and 3.3.2 on traduit les relations du Théorème 3 en termes d'a tion de tressessurles lasses d'isotopiesd'ar s(unar estunplongement del'intervalleunitaire ave extremitésdansP).Comme appli ation duThéorème 3 etd'unepropriétéde rédu tionpour lestressessingulières(Lemme3.4.2),ondéduitdespreuvessimplespourlesrésultatssuivants: Théorème4.(Théorème 3.4.1)

Le monoïde SB(n;F) se plonge dans un groupe. Théorème5.(Théorème 3.5.2)

Le problème du mot pour SB(n;F) est résoluble.

Algèbres de He ke sur les surfa es

Dansle hapitre 4nousrappelons quelquesdénitionset onstru tions lassiques(algèbresde He ke, tra es de Markov et onstru tion algébrique du polynome d'HOMFLY-PT) qui nous seront utiles dans le hapitre 5, et nous introduisons les algèbres de He ke sur la surfa e F ommelequotient H n (q;F)=C[B(n;F)℄ =(  2 j +(1 q) j q; j=1;:::;n 1); où j

sontlesgénérateursusuelsdesgroupesdestresses.Nous onstruisonunetra edeMarkov pour le asq =1.

Théorème6.(Théorème 4.1.1)

Soitb l'ensemble des lasses de onjugaison de  1 (F) etb 0 =b f1g. Soit S(Cb 0 ) l'algèbre tensoriellesymétriquedeC b  0

.Pourtoutz2C, ilyaune(unique)familleT n defon tionnelles linéaires T n :H n (1;F)!S(Cb 0 ) telles que  T n (xy)=T n (yx) 8x;y2H n (1;F);  T n+1 (x n )=zT n (x) 8x2H n (1;F);  T n+1 ( n


 1 A 1


 n x)= b AT n (x) 8x2H n (1;F) 8A2B(1;F);  T n (1)=1; où b

A dénote la lassede onjugaison de A2B(1;F)  =

1 (F). Nouspensonsque e résultats'étendauxalgèbresH

n

(q;F)(voiraussi[78℄).Toutefois,les al- ulssont bienplus ompliqués etl'utilisation d'unordinateur semblené essaire. Nous remar-quonsque esalgébresontétépré édemmentétudiéesdansle asparti ulierF =S

1

I ([66 ℄, [77 ℄). En suivant l'appro he de Jones, une tra e de Markov ainsique l' invariant d'entrela s orrespondant ont été ainsi onstruits dans le as du tore solide F I. Le module de skein pour letore solideavait étépré édemment al ulépar Turaev ([87 ℄, [88℄).

Dans le hapitre 5 on onsidère une autre généralisation desalgèbres de He ke eton dénit deuxnouveauxinvariantspolynomiauxquisont al ulablesré ursivementetquisontdiérents depolynmesd'HOMFLY-PTetKauman. NousrappelonsquelepolynmedeJones vérie larelationskein(d'é heveau)suivante:

t 1 V ! tV ! =(t 1=2 t 1=2 )V 0  1 A

Enautrestermes,on onsidèretroisentrela save lemêmediagramme(mêmeproje tionsurle plan)saufauvoisinagedu roisementrepresentéengure.Etantdonnéundiagrammeplanaire d'un noeud, on peut hanger ertains roisements pour obtenir un nouveau diagramme qui représente lediagramme trivial. De ette manière on peut utiliser larelation skein i-dessus pourun al ulré ursifdeV.Enremplaçantlefa teur(t

1=2 t

1=2

)parxonobtientl'invariant HOMFLY-PT.OnpeutremarquerquelarelationquidénitlepolynmedeHOMFLY-PTest quadratique.En eet,enrajoutant un roisementpositifonobtient larelation skeinsuivante:

V 0  1 A =xtV ! +t 2 V 0  1 A

Le polynme deKauman est l'autreextension onnue du polynmede Jones etil estdéni parles relations skeinsuivantes surles diagrammesnon orientés.

 ! + ! =z  ! + !!    =a( )

Quelquesmanipulations élémentairesmontrent que vérie unerelation skein ubique:

 0 B  1 C A =( 1 a +z) 0  1 A ( z a +1) 0  1 A +( 1 a ) 0  1 A

On a ré emment démontré que ette relation ne peut pas être omplète, 'est-à-dire, elle n'estpassusantepour un al ulré ursif de ([31 ℄). La re her he d'unsystème omplet de relationsskeindontune ubique,estparti ulièrement intéressanteetdi ile.En ollaboration ave L.Funar ([8 ℄)nous avonsobtenu deuxnouveauxinvariants ubiques.

Théorème7.(Théorème 5.1.1) Ils existent deux invariants I

(;) et I

(z;Æ)

qui sontuniquement dénis par les deux relations skein en gure 1 ( et par leur valeur sur le noeud trivial qui est traditionellement 1). Ces invariants prennentvaleurs dans

Z[;;(2  2 ) =2 ;( 2 +2) =2 ℄ (H (;) ) ;

w

-2

+H

+

w

=

A

w

w

w

w

_+M

w

w

w

w

+D

+C

+B

+B

-1

2

2

2

2

3

3

=

w

-1

w

w

w

-1

4

+P

+O

+N

+M

+L

+L

+I

2

+

3

w

α

β

+F

+F

+E

+G

w

+G

w

+H

w

+E

w

Figure1:Les relations skein.

etrespe tivement Z[z =2 ;Æ =2 ℄ (P (z;Æ) ) ; où 12f0;1g est le nombre de omposantes mod 2 et

H (;) := 8 6 8 5  2 +2 4  4 +36 4  34 3  3 +17 3 +8 2  5 +32 2  2 36 4 +38+8 6 17 3 +8; etrespe tivement P (z;Æ) :=z 23 +z 18 Æ 2z 16 Æ 2 z 14 Æ 3 2z 9 Æ 4 +2z 7 Æ 5 +Æ 6 z 5 +Æ 7 : I ion denote par (Q) l'idéal engendré par l'élément Q dans l'algèbre respe tive. Les polynmes A;B;C ;::;P orrespondant à I

(;)

sont donnés i-dessous. Pour obtenir les oe ients asso iés à I

(z;Æ)

, il sut de faire le hangement de variable w = ( z 4 =(Æz)) 1=2 , = (z 7 +Æ 2 )=(z 4 Æ) et =(Æ z 2 )=z 3 dansletableau 1.

w=(( +2)=(2  )) A=( ) B =( 2  2 ) C =( 2  2 ) D=(1+2+ 2  2  3 ) E =(1++ 2  2  3 ) F =(1+2  3 ) G=( 3 2 2 2 ) H =( 3 2 2 2 + 2 ) I =( 4  3  2 2 2  3) L=(2 3 +3 2  2  3  2 ) M =( 4 2 3 2 + 2 ) N =(1+4+3 2  2  3  4  3 ) O =(1+3+3 2  2  3  4 ) P =(3 2  5 2 3 2 +4 3 ) Tableau1

La preuve du Théorème est une extension de l'appro he de Jones et elle est detaillée dans les se tions 1, 2 et 3 du hapitre 5. La première des relations skeins i-dessus provient de onsidérationssurlesquotients ubiquesdesalgèbresdegroupesde tressesC[B

n

℄.Ondénit l'algèbre deHe ke ubiquepar analogie ave les algèbresde He ke lassiques(voir[23℄):

H(Q;n)=C[B n ℄=(Q( j ); j=1;:::;n 1); oùQ( j )= 3 j  2 j  j 1; ; 2C.

Notrebutest de onstruirdestra esde Markovsurlatourd'algèbres deHe ke ubiques,qui dénissent desinvariantspour lesentrela s.La diéren eentreles algèbresde He ke usuelles et elles ubiquesestde lamêmenature que elleentre lesgroupesde Coxetersphériques(et don nis)et euxhyperboliques(engénéral innis).Eneet,pourQ(0)6=0ona(voir[28 ℄):

 dim C

H(Q;3)=24,etH(Q;3)estisomorpheàl'algèbredugroupetétraédral<2;3;3> d'ordre 24(i.e. SL(2;Z

3 )).  dim

C

H(Q;4)=648, etH(Q;4) estisomorphe à l'algèbre du groupe G 25

,selon la las-si ation de Shepard-Todd ([85℄).

 H(Q;5)estl'algèbredeHe ke y lotomiquedugroupeG 32

,quiestd'ordre155520.Ilest onje turéque ettealgèbreestlibrededimension nie, equiimpliquerait,enutilisant le théorèmede déformation deTits, qu'elleest isomorphe àl'algèbre de G

32 .  dim

C

H(Q;n)=1pour n6.

En parti ulier ladénition dire te d'une tra e sur H(Q;n), n 6 seheurte au problème de ladimension innie.

Pourresterjustementdansun ontextededimensionnieonintroduitlesquotientsK n

(; ), enrajoutant une relation deplus quivit dansH(Q;3).La formeexa te de ette relation est:  2  2 1  2 +A 2 1  2 2  2 1 +B  1  2 2  2 1 +B  2 1  2 2  1 +C  2 1  2  2 1 +D 1  2 2  1 +E  1  2  2 1 + E  2 1  2  1 + F  2 2  2 1 +F  2 1  2 2 + G 2  2 1 + G 2 1  2 +H  2 2  1 + H  1  2 2 + I  1  2  1 + L 2  1 +L 1  2 +M  2 1 +M  2 2 +N  1 +O  2 +P =0 oùA;B;:::;P sontles polynmesdu tableau 1.

RemarqueLesalgèbresK n

(; ) sontde dimension niepour toutn.

On donne une expli ation intuitive du hoix de ette relation. L'algèbre H(Q;3) est semi-simple(pour Qgénérique) etsedé ompose ommeC

3 M 3 2 M 3 ,oùM m

matri esmm. Sionquotiente par lefa teur C M 2

M 3

on obtient l'algèbre deHe ke usuelle H

q

(3). De même l'algèbre de Birman-Wenzl qui est liée au polynme de Kauman, s'obtient en passant au quotient par C M

2 2

. Dans notre as, on prend le quotient par C 3

. Notrerésultat prin ipal estune onséquen e immédiatedu résultat te hnique i-dessous: Théorème 8. (Théorème 5.1.2) Il y a exa tement quatre valeurs de (z;

b

z) pour lesquelles il existe une (unique) tra e de Markov T sur la tour K



(; ) ave les paramètres (z;z),b 'est-à-dire:

1. T(xy)=T(yx), pour toutx;y2K n (; ), et toutn. 2. T(x n 1 )=zT(x), pour toutx2K n (; ), et tout n. 3. T(x 1 n 1 )= b zT(x), pour toutx2K n (; ), et tout n. Le premier ouple (z; b z) est z=(2  2 )=(+4); bz= ( 2 +2)=(+4); etla tra e asso iée est T

; :K n (; )!Z[;;1=(+4)℄=(H (;) ).

Les trois autres solutions ne sont pas des fon tions rationnelles et 'est plus onvenable de onsidérer ;  et

b

z omme fon tions de z;Æ, où Æ =z 2

(z+1). Plus pré isément on a une tra e de Markov T (z;Æ) :K  (; )!Z[z 1 ;Æ 1 ℄=(P (z;Æ) ); où =(Æ z 2 )=z 3 ; = (z 7 +Æ 2 )=(z 4 Æ); zb= z 4 =Æ: Idée de la preuve.- D'abord tout élément de K

n+1

(;) peut être é rit omme ombinaison linéaire d'éléments du type a

 n

, où a;b 2 K n

(; ) et  = f0;1;2g. Ce i implique que une tra e de Markovsur K

n

(;) s'étend d'une manière unique à une tra e de Markov sur K

n+1

(; ).La partie ompliquée on erne don l'existen e d'unetelletra e de Markov. Notreméthode,fortement inspirée de[11℄,estune amélioration de elleutiliséedans[43 ℄. Ondénitungraphegéantdontlessommetssontlesélémentsdusemi-groupeabélienengendré par le groupe libre à n 1 générateurs. Les arêtes orrespondent aux éléments qui dièrent par exa tement une relation parmi les relations qui dénissent K

n

(; ). One donne une orientation sur les arêtes, en hoisissant un pro essus de rédu tion des mots, sauf pour les arêtes orrespondant aux ommutations: a

i  j b ! a j  i

b (j i j j> 1), qui restent non orientées.

Onprouveque,parrapportàl'ordrepartielainsidéni,ilsexistentdesélémentsminimaux (peut-être plusieurs) dans haque omposante onnexe du graphe. Ensuite on onsidère la suite as endante de graphes qui modélise les fon tionnelles sur la tour d'algèbres K

 (;) satisfaisantles onditions2.)et3.) i-dessus.L'uni itédesélémentsminimauxpourlaréunion degraphes estéquivalenteà unnombrenid'obstru tions.

Plus pré isément on montre quetoute fon tionnelle ommeavant qui est biendénie sur K

4

(;) admet une extension à tous les K n

(; ), n  5. Si l'on rajoute maintenant la ondition de ommutativité 1.) (pour en faire une tra e de Markov) on montre à nouveau qu'onpeutseramenerà la ommutativité dansK

4 (; ).

En parti ulier es obstru tions sont en nombre ni, e qui nousa permis de les traiter à l'aide d'un ordinateur. Les valeurs des paramètres se trouvent en utilisant la ommutativité

3

àl'idéal engendré par lepolynme H (;)

(etrespe tivement P (z;Æ)

). 

Maintenant,étant donnéeune tra e deMarkovT ondénit uninvariantpour lesentrela s à l'aidede laformule standard:

I(x)=  1 zbz n 1 2  b z z  e(x) 2 T(x); oùx2B n

estunetressedontla ltureestl'entrela sLete(x)estlasommedesexposantsde x.OntrouveainsilesinvariantsI

(;) etI

(z;Æ)

duThéorème7.Des al ulsexpli itesmontrent que:

 Cesinvariantsdistinguentlesn÷udsave auplus10 roisements,ayantlemêmeinvariant HOMFLY-PT.

 I (;)

= I

( ; )

pour les n÷uds amphi hirals etI (;)

déte te la hiralité de tous les n÷udsave auplus10 roisements,dontla hiralitén'estpasdete téeparlespolynmes de Kauman etHOMFLY-PT etle2- ablesde HOMFLY-PT.

 Tout omme HOMFLY-PT, Kauman et leurs 2- ables, les invariants I (;)

et I (z;Æ) semblent ne pasdistinguer les n÷udsmutants.

Il est très di ile, à l'état a tuel, de omprendre à quel point es polynmes dièrent des polynmesusuelles deKaumanetHOMFLY-PT.Enparti ulier,onseposelaquestionsiles indéterminationsengendrées par lespolynmesH etP sont essentielles.

Conje ture.Il ya une tra e deMarkovsur H(Q;n)à valeurs dans uneextension algébrique deZ[;℄ qui relève la tra e de Markov sous-ja ente à I

(;) .

Remarquons que les polynmes H et P dénissent des ourbes algébriques planes non ra-tionelles, don on ne peut pas expli iter une variable. Dans l'Appendi e du hapitre 5 on donne un tableau ave les valeursdespolynmesI

(;0)

(K) etI (0;)

(K) pour tous les n÷uds ave au plus8 roisements.

1 Braids on surfa es 5

1.1 Presentations forsurfa e braid groups . . . 5

1.2 Preliminaries . . . 7

1.2.1 Fadell-Neuwirth brations . . . 7

1.2.2 Geometri interpretations of generatorsand relations . . . 8

1.3 Outline of theproofof Theorem1.1.1 . . . 9

1.3.1 The indu tiveassertion . . . 9

1.3.2 The existen eof ase tion . . . 10

1.3.3 End of theproof . . . 13

1.4 Proof ofTheorem 1.1.2 . . . 14

1.4.1 About these tion . . . 14

1.4.2 Proof ofLemma 1.4.1 . . . 14

1.5 Other presentations andremarks . . . 15

1.5.1 Braids onp-pun tured spheres . . . 15

1.5.2 Braids onnon-orientable surfa es . . . 16

1.5.3 González-Meneses' presentations . . . 17

1.5.4 Appli ations. . . 19

1.6 Surfa e purebraidgroups . . . 20

1.6.1 Presentations forsurfa e purebraid groups . . . 20

1.6.2 Remarks on thenormal losureof P n inP(n;F) . . . 23

1.6.3 Almost-dire t produ ts. . . 24

2 Braid presentations via graphs 27 2.1 Introdu tion . . . 27

2.2 Sphere braidgroups presentations via graphs . . . 28

2.2.1 Denitions andStatement of theMainTheorem . . . 28

2.2.2 Geometri interpretation ofrelations . . . 30

2.3 Proof ofTheorem 2.2.1 . . . 31

2.3.1 Preliminaries . . . 31

2.3.2 Indu tive steps . . . 34

2.3.3 Automorphisms andisometries . . . 36

2.4 The outerautomorphisms groupof B(n;S 2 ) . . . 37

3 Singular braids 39 3.1 Denitions andresults . . . 39

3.2.2 Braids andar s . . . 42

3.2.3 Isotopyinvariants. . . 43

3.3 Statements of MainTheorems . . . 44

3.3.1 Centralisers ofB(n;F) . . . 44

3.3.2 Singular ribbons . . . 45

3.3.3 Centralisers onSB(n;F) . . . 46

3.4 Themonoid SB(n;F)embedsina group . . . 47

3.4.1 Extended singular braids. . . 47

3.4.2 Singular braidsembed inextendedsingular braids . . . 49

3.5 Theword problem issolvable . . . 50

3.6 Monoidpresentations . . . 51

4 Generalized He ke Algebras 55 4.1 Introdu tion . . . 55

4.2 Preliminaries . . . 56

4.2.1 Markov tra es. . . 56

4.2.2 Algebrai onstru tion of HOMFLY-PT polynomial. . . 57

4.3 Proof ofTheorem 4.1.1 . . . 58

5 Cubi He ke algebras and new invariants for links 65 5.1 Introdu tion . . . 65

5.1.1 A short history . . . 65

5.1.2 The main result. . . 66

5.1.3 Cubi He kealgebras. . . 68

5.1.4 Outline of theproof . . . 69

5.1.5 Properties ofthe invariants . . . 70

5.2 Markovtra es onK n (;) . . . 72

5.2.1 A basefor the ubi He ke algebra H(Q;3) . . . 72

5.2.2 The homogeneousquotient ofrank 3 . . . 72

5.2.3 Uniqueness ofMarkovtra e on K n (; ). . . 73

5.3 CPC Obstru tions . . . 75

5.3.1 The pentagonal ondition . . . 75

5.3.2 The olored pentagon ondition: thedenition of n . . . 77

5.3.3 The bi oloured graph  n (H): thesub-moduleH . . . 79

5.4 The omputation ofobstru tions . . . 90

5.4.1 Commutativityobstru tions . . . 90

5.4.2 The CPC obstru tionsfor n=4 . . . 92

5.5 The existen eof Markovtra es . . . 93

5.5.1 Statements . . . 93

5.5.2 Proof ofTheorem 5.5.1. . . 93

5.5.3 Proof ofTheorem 5.5.2. . . 94

5.5.4 Corollaries. . . 95

5.6 The invariants. . . 96

5.6.1 The denitionof I (;) . . . 96

5.6.2 The ubi albehaviour . . . 97

5.6.3 Chiralityand otherproperties ofI (;) . . . 97

5.6.4 The denitionof I . . . 98 5.6.5 Comments. . . 99 5.7 Appendix . . . 99

Braids on surfa es

1.1 Presentations for surfa e braid groups

LetF be anorientable surfa eand letP =fP 1

;:::;P n

g be asetof ndistin t pointsofF.A geometri braid on F basedat P is ann-tuple =(

1 ;:::; n ) of paths i :[0;1℄!F su h that  i (0)=P i ; i=1;:::;n;  i (1)2P; i=1;:::;n;  1 (t);:::; n

(t)aredistin t pointsof F for all t2[0;1℄.

The usual produ t of paths denes a group stru ture on the set of braids up to homotopies among braids. This group, denoted B(n;F), does not depend on the hoi e of P and it is alledthe braid group on n strings on F. On the other hand, let be F

n F = F

n

n
, where
is the big diagonal, i.e. the n-tuples x = (x

1 ;:::x n ) for whi h x i = x j for some i 6= j. There is a natural a tion of 

n on F

n

F by permuting oordinates. We all the orbit spa e ^ F n F =F n F= n

onguration spa e.ThenthebraidgroupB(n;F)isisomorphi to 1 ( ^ F n F). We re all that the pure braid group P(n;F) on n strings on F is the kernel of the natural proje tionofB(n;F)inthepermutationgroup

n

.Thisgroupisisomorphi to 1

(F n

F).The rstaimofthis hapteristo give(new)presentations forbraidgroupson orientable surfa es. A p-pun tured surfa e of genus g  1 is the surfa e obtained by deleting p points on a losed surfa eof genus g1.

Theorem 1.1.1 Let F be an orientable p-pun tured surfa e of genus g 1, withp1. The group B(n;F) admitsthe followingpresentation (see also Se tion 1.2.2):

 Generators: 1 ;:::; n 1 ;a 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g ;z 1 ;:::;z p 1 :  Relations:

 Braidrelations, i.e.  i  i+1  i =  i+1  i  i+1 ;  i  j =  j  i forji jj2:

(R 1) a r  i = i a r (1rg; i6=1); b r  i = i b r (1r g; i6=1); (R 2)  1 1 a r  1 1 a r =a r  1 1 a r  1 1 (1rg);  1 1 b r  1 1 b r =b r  1 1 b r  1 1 (1rg); (R 3)  1 1 a s  1 a r =a r  1 1 a s  1 (s<r);  1 1 b s  1 b r =b r  1 1 b s  1 (s<r);  1 1 a s  1 b r =b r  1 1 a s  1 (s<r);  1 1 b s  1 a r =a r  1 1 b s  1 (s<r); (R 4)  1 1 a r  1 1 b r =b r  1 1 a r  1 (1 rg); (R 5) z j  i = i z j (i6=1;j=1;:::;p 1); (R 6)  1 1 z i  1 a r =a r  1 1 z i  1 (1rg; i=1;:::;p 1; n>1);  1 1 z i  1 b r =b r  1 1 z i  1 (1 rg; i=1;:::;p 1; n>1); (R 7)  1 1 z j  1 z l =z l  1 1 z j  1 (j =1;:::;p 1; j<l); (R 8)  1 1 z j  1 1 z j =z j  1 1 z j  1 1 (j=1;:::;p 1):

Theorem 1.1.2 Let F be a losed orientable surfa e of genus g  1. The group B(n;F) admitsthe followingpresentation:

 Generators: 1 ;:::; n 1 ;a 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g :  Relations:

 Braidrelations as in Theorem1.1.1.  Mixed relations: (R 1) a r  i = i a r (1r g; i6=1); b r  i = i b r (1rg; i6=1); (R 2)  1 1 a r  1 1 a r =a r  1 1 a r  1 1 (1rg);  1 1 b r  1 1 b r =b r  1 1 b r  1 1 (1r g); (R 3)  1 1 a s  1 a r =a r  1 1 a s  1 (s<r);  1 1 b s  1 b r =b r  1 1 b s  1 (s<r);  1 1 a s  1 b r =b r  1 1 a s  1 (s<r);  1 1 b s  1 a r =a r  1 1 b s  1 (s<r); (R 4)  1 1 a r  1 1 b r =b r  1 1 a r  1 (1r g); (TR ) [a 1 ;b 1 1 ℄


[a g ;b 1 g ℄= 1  2


 2 n 1


 2  1 ; where [a;b℄:=aba

1 b

1 .

We mayassume that Theorem 1.1.1 provides also a presentation for B(n;F), when F is an orientable surfa e withp boundary omponents. We re all that the rst presentations of

Shimada ([63 ℄). Re ently González-Meneses redu ed signi antly the number of generators ([46 ℄). Our presentation hasthesame number of generators than González-Meneses'one, but it uses the standard generators of the fundamental group of the surfa e and the number of relationsissmaller. At our knowledge,the aseofpun tured surfa esisnewintheliterature. Ourproofis inspiredbyMorita's ombinatorial prooffor the lassi alpresentation of Artin's braidgroup([71 ℄). Wewill explain thisapproa h whileproving Theorem 1.1.1.Afterthatwe will show how to make this te hnique t for obtaining Theorem 1.1.2. We remark that our argument isquiteshorter than previousones, sin e we donot need apresentation for surfa e pure braid groups. In Se tion 1.5 we give presentations for braid groups on non orientable surfa es.

1.2 Preliminaries

1.2.1 Fadell-Neuwirth brations

ThemaintooloneusesistheFadell-Neuwirthbration,withitsgeneralisationand orrespond-ingexa t sequen es. Asobserved in[34 ℄, ifF is a surfa e ( losedor pun tured, orientable or not),themap :F

n F !F n 1 F dened by (x 1 ;:::;x n )=(x 1 ;:::;x n 1 ) isabrationwithberFnfx

1 ;:::;x

n 1

g.Theexa thomotopysequen eofthebrationgives ustheexa t sequen e

 2 (F n F)! 2 (F n 1 F)! 1 (F nfx 1 ;:::;x n 1 g) !P(n;F)!P(n 1;F)!1:

Sin e a pun tured surfa e (with at least one pun ture) has the homotopy type of a one dimensional omplex,wededu e

 k (F n F)  = k (F n 1 F)  =


 = k (F); k3 and  2 (F n F) 2 (F n 1 F)


 2 (F): IfF isanorientablesurfa e andF 6=S

2

,allhigher homotopygroupsaretrivial.Thus,ifF is anorientablesurfa edierentfromthespherewe an on ludethatthereisanexa tsequen e

(PBS) 1 ! 1 (F nfx 1 ;:::;x n 1 g) !P(n;F)  !P(n 1;F)!1; where isthemap thatforgets thelast path pointedat x

n .

Theproblemoftheexisten eofase tionfor (PBS)hasbeen ompletelysolvedin[52℄.It ispossible to showthat admitsa se tion, whenF haspun tures. Ontheother hand,when F is a losed orientable surfa e of genus g2,(PBS) splits ifand only ifn=2.An expli it se tionisshown in[17 ℄ inthe ase ofthetorus.

Let F be an orientable surfa e. Let e

B(n;F) be the group with the presentation given in Theorem 1.1.1 or Theorem 1.1.2 respe tively. The geometri interpretation for generators of

e

B(n;F), when F is a losed surfa e of genus g  1 is the same as in [46 ℄, ex ept that we represent F as a polygon L of 4g sides with the standard identi ation of edges (see also Se tion 1.5.3). We an onsider braids as paths on L, whi h we draw with the usual over and under information at the rossing points. Figure 1.1presents thegenerators of

e B(n;F) realizedasbraids on L.

P

_i

P

_i+1

a

α

α

i

_i

β

α

β

i

i

i

i

i

β

b

_i

a

_i

b

_i

σ

_i

P

_n

P

₁

P

n

P

₁

Figure1.1: Generators asbraids (forF an orientable losed surfa e). Notethatinthebraida

i

(respe tivelyb i

) theonlynontrivialstringistherstone,whi h goes throughthe wall 

i

( the wall  i

). Remark alsothat  1

:::; n 1

are the lassi al braid generatorson thedisk.

β

_r

α

r

β

_r

β

_r

β

r

α

_r

α

_r

α

_r

00

11

0

1

00

11

0

1

Figure 1.2: Geometri interpretation for relation (R4) in Theorem 1.1.1; homotopy between  1 1 a r  1 1 b r

(on theleft) and b r  1 1 a r  1

(on theright).

It is easy to he k that therelations above hold inB(n;F). The non trivial strings of a r and

i

wheni6=1,maybe onsideredto bedisjoint and then(R 1) holds inB(n;F).Onthe otherhand, 1 1 a r  1 1

is thebraid whose theonly nontrivial stringis these ondone, whi h goes through the the wall 

r

and disjoint from the orresponding non trivial string of a r . Then 1 1 a r  1 1 anda r

ommute.Similarlywehavethat 1 1 b r  1 1 andb r ommuteand (R 2) is veried. The ase of (R 3) is similar. Figure 1.2 presents a sket h of a homotopy between  1 1 a r  1 1 b r and b r  1 1 a r  1 .Thus,(R 4) holds inB(n;F). Let s r (respe tively t r ) be the rst string of a r (respe tively b r ), for r = 1;:::;2g, and onsiderallthepathss

1 ;t 1 ;:::;s g ;t g

.We utLalongthem andwe gluethepie esalongthe edgesofL.Weobtain anew fundamental domain (seeFigure1.3, for the aseof asurfa e of genus 2), alledL 1 ,withvertexP 1 .OnL 1 itis learthat[a 1 ;b 1 1 ℄


[a g ;b 1 g ℄is equivalent to

P

1

P

1

P

1

P

1

P

1

P

1

P

1

P

1

P

1

1

t

1

t

1

t

s

₂

s

₂

s

₂

2

t

2

t

2

t

1

α

β

₁

α

2

β

₂

1

α

β

₁

α

₂

β

₂

α

1

s

s

s

1

1

α

2

β

β

1

2

1

Figure 1.3:The fundamental domain L 1 .

P

₁

P

1

g

n

P

1

P

t

t

s

₁

1

thebraidofFigure1.4,equivalent tothebraid 1  2 ::: 2 n 1 ::: 2  1

andthen(TR)isveried inB(n;F).

Thereisananalogousgeometri interpretationofgeneratorsof e

B(n;F),forF anorientable p-pun turedsurfa e.Thedenitionofgenerators

i ;a

j ;b

j

isthesame asabove.We onlyhave toadd generatorsz

i

,where theonlynon trivialstringistherst one,whi hisa looparound the i-th pun ture (Figure 1.5). As above, relations an be easily he ked on orresponding paths(Figure 1.6).

Remarkthataloopoftherststringaroundthep-th pun ture anberepresentedbythe geometri braid orresponding to theelement

[a 1 ;b 1 1 ℄


[a g ;b 1 g ℄ 1 1


 1 n 1


 2 1 z 1


z p 1 : Therefore,onehasnaturalmorphisms

n : e B(n;F)!B(n;F).Weprovethat n area tually isomorphisms.

1.3 Outline of the proof of Theorem 1.1.1

1.3.1 The indu tive assertion

We outline theideas of theproof for F a surfa e of genus g with one pun ture.One applies an indu tionon thenumber n of strands.For n=1,

e B(1;F) = 1 (F) =B(1;F), then  1 is anisomorphism.

Consider thesubgroupB 0

(n;F)= 1

( n 1

) andthemap :B

0

P

_i

P

_n

P

₁

r

r

r

r

α

β

α

a

P

_n

P

₁

r

r

r

r

α

β

β

b

σ

i

P

_i+1

P

1

γ

p

i

γ

γ

1

P

_n

z

i

Figure 1.5:Generators asbraids (forF an orientable surfa e withp pun tures).

whi h forgets the last string. Now, let e B 0 (n;F) be the subgroup of e B(n;F) generated by a 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g ; 1 ;:::; n 2 ; 1 ;:::; n 1 ;! 1 ;:::;! 2g ;where  j =  n 1


 j+1  2 j  1 j+1


 1 n 1 ( n 1 = 2 n 1 ); ! 2r 1 =  1 n 1


 1 1 a r  1


 n 1 r=1;:::;g; ! 2r =  1 n 1


 1 1 b r  1


 n 1 r =1;:::;g: We onstru tthefollowing diagram:

e B 0 (n;F) ~  ! e B(n 1;F) B 0 (n;F)  nj e B 0 (n;F) #  !B(n 1;F)  n 1 # Themap ~  isdened as 1 n 1  njB 0 (n;F)

.It is well dened, sin e  n 1

isan isomorphism by the indu tive assumption, and it is onto. In fa t,

~ (a i ) = a i ; ~ (b i ) = b i for i = 1;:::;g and ~ ( j )= j for j =1;:::;n 2.

1.3.2 The existen e of a se tion The morphism

~

 has got a natural se tion s : e B(n 1;F) ! e B 0 (n;F) dened as: s( j ) =  j ;s(a i )=a i ;s(b i )=b i for j=1;:::;n 2 andi=1;:::;2g.

P

₁

P

2

γ

1

P

₁

P

2

γ

_l

γ

γ

_j

γ

_l

1

γ

_j

Figure 1.6: The braids  1 1 z j  1 and  1 1 z j  1 1

. The non trivial string of  1 1 z j  1 an be onsidered disjoint from the non trivial string of z

l

, for j < l.Similarly,the braid  1 1 z j  1 1 ommutes withthebraidz

j .

Remark1.3.1 Geometri ally this se tion onsists of adding a straight strand justto the left of the pun ture.

Givena groupGanda subsetG of elementsofGwesethGi for thesubgroupofGgenerated byG andhhGiifor the subgroupof G normallygenerated byG.From nowon,given a;b two elementsof agroupG, we seta

b =b 1 aband b a=bab 1 . Lemma 1.3.1 LetG =f 1 ;:::; n 1 ;! 1 ;:::;! 2g g. Then Ker( ~ )=hGi. Proof: We set  =  1


 n 1 =  n 1


 2  2 1  2


 n 1 and =  1  1  =  1 n 1


 1 2  2 1  2


 n 1

. By onstru tion we have hGi  Ker( ~

). The existen e of a se tion s implies that Ker(

~

) = hhGii. In fa t, suppose that there is su h x 2 Ker( ~

) that x 2= hhGii. Thus, thereis a word x 0 6=1on generators a 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g ; 1 ;:::; n 2 ;of e B 0 (n;F) su hthat ~ (x 0

)=1,be auseallothergeneratorsof e B 0

(n;F)areinhGi.Thisisfalse,sin ex 0 =s( ~ (x 0 )). ToprovethathGi isnormal,weneedtoshowthath

;

h2hGiforallgenerators of e B 0

(n;F) andfor all h2G.

i) Let be the lassi al braid generator  j ,j =1;:::;n 2.It is lear that   j i and  j  i (i = 1;:::;n 1) belong to h 1 ;:::; n 1

i, sin e it is already true in lassi al braid groups ([71 ℄,[83 ℄). Ontheotherhand, !

 j i = j ! i =! i (i=1;:::;2g). ii) Let = a r or = b r

(r = 1;:::;g). Commutativity relations imply  j =  j =  j (j=2;:::n 1). Notethat a r  1 = ! 1 2r 1 and  ar 1 =  1 1 ! 2r 1 for r=1;:::;g; br  1 = ! 1 2r and  b r 1 =  1 1 !2r for r=1;:::;g: Weshowonlytherstequation(theotherissimilar).Byiteratedappli ationof[a

r ; 1 a 1 r  1 ℄= 1we obtain: a r  1 = n 1


 2 a r  1 a 1 r a r  1 a 1 r  1  1 1  1 2


 1 n 1 = = n 1


 2 a r  1 a 1 r  1 a 1 r  1 a r  1 1  1 2


 1 n 1 = = n 1


 2  1 a 1 r  1  1 a r  1 1  1 2


 1 n 1 = ! 1 2r 1 :

Seta 2;s = 1 a s  1

for s=1;:::;gandrespe tively b 2;s = 1 b s  1 for s=1;:::;g.Inthe samewayasabovewend that:

(R C1) ( 2 1 ) ar = a 2;r ( 2 1 ) (r=1;:::;g); ( 2 1 ) br = b2;r ( 2 1 ) (r=1;:::;g); (R C2) ar ( 2 1 )=( 2 1 ) a2;r 2 1 (r=1;:::;g); br ( 2 1 )=( 2 1 ) b2;r 2 1 (r=1;:::;g): Now, remark thatrelations (R 3) and (R 4)imply thefollowing relations:

(R 3 0 ) a r  1 a s  1 1 = 1 a s  1 1 a r (r<s); b r  1 a s  1 1 = 1 a s  1 1 b r (r<s); a r  1 b s  1 1 = 1 b s  1 1 a r (r<s); b r  1 b s  1 1 = 1 b s  1 1 b r (r<s); (R 4 0 ) a r  1 1 b r  1 1 = 1 b r  1 1 a r (1r g); Relations(R C1);(R C2);(R 3 0 );(R 4 0

) ombinedwithrelations (R 2);(R 3);(R 4) give: ar a 2;s =a 2;s (s<r); br a 2;s =a 2;s (s<r); a r b 2;s =b 2;s (s<r); b r b 2;s =b 2;s (s<r); a ar 2;r = a 2;r  2 1 a 2;r (1rg); b b r 2;r = b2;r 2 1 b 2;r (1rg); a r a 2;r =  2 1 a 2;r (1rg) ; br b 2;r =  2 1 b 2;r (1rg); a ar 2;s = [a 2;r ; 2 1 ℄ (a 2;s ) (r<s); b a r 2;s = [a2;r; 2 1 ℄ (b 2;s ) (r<s); a b r 2;s = [b2;r; 2 1 ℄ (a 2;s ) (r<s); b br 2;s = [b 2;r ; 2 1 ℄ (b 2;s ) (r<s); ar a 2;s = [ 2 1 ;a 1 2;r ℄ (a 2;s ) (s<r); br a 2;s = [ 2 1 ;b 1 2;r ℄ (a 2;s ) (s<r); ar b 2;s = [ 2 1 ;a 1 2;r ℄ (b 2;s ) (s<r); b r b 2;s = [ 2 1 ;b 1 2;r ℄ (b 2;s ) (s<r); b a r 2;r =(a 2;r  2 1 a 1 2;r )b 2;r [ 2 1 ;a 2;r ℄ (1rg); a r b 2;r = 2 1 b 2;r [a 1 2;r ; 2 1 ℄ (1rg); br a 2;r =a 2;r  2 1 (1rg); a b r 2;r =a 2;r b 2;r  2 1 b 1 2;r (1r g):

A onsequen e oftheseidentitiesand relation(R 1) isthat! i ; ar ! i ;! i ; br ! i 2hGi,for i;r= 1;:::;g. 

Lemma 1.3.2 Setalsof! 1 ;:::;! 2g ; 1 ;::: n 1 ginB 0 (n;F)forf n (! 1 );:::; n (! 2g ); n ( 1 ); ::: n ( n 1

)g. ThenKer() isfreely generated by f! 1 ;:::;! 2g ; 1 ;:::;  n 1 g. Proof: Thediagram

P(n;F)  !P(n 1;F) B 0 (n;F) # \  ! B(n 1;F) # \

is ommutative and thekernels of horizontal maps are the same. Asstated inSe tion 1.2.1, Ker() =  1 (F n fP 1 ;:::;P n 1 g;P n

). If the fundamental domain is hanged as in Fig-ure 1.7 and the non trivial strings of !

j ;

i

are onsidered as loops of the fundamental group of F n fP 1 ;:::;P n 1 g based on P n , it is lear that  1 (F n fP 1 ;:::;P n 1 g;P n ) = h! 1 ;:::;! 2g ; 1 ;::: n 1 j;i. 

P

n

P

_n

P

_n

P

_n

P

_n

P

n

P

n

P

n

4

ω

₂

ω

₁

ω

2

ω

1

ω

ω

3

ω

₄

ω

3

τ

1

P

₁

ω

₂

ω

₃

ω

₄

ω

1

asloopsofthe fundamentalgroup.

Lemma 1.3.3  nj e B 0 (n;F) is an isomorphism.

Proof: From the previous Lemmas it follows that the map from Ker( ~

) to Ker() is an isomorphism.The Five Lemmaand theindu tive assumption on lude theproof. 

1.3.3 End of the proof Inorder to showthat 

n

is an isomorphism, let us remark rst that it is onto. In fa t, from Lemma1.3.3 itfollowsthattheimageof

e

B(n;F) ontains P n

and ontheotherhand e B(n;F) surje ts on 

n

. Sin e the index of B 0

[ e

B(n;F): e

B (n;F)℄n. Consider theelements  j = j


 n 1 (we set  n =1) in e B(n;F). We laim that S i  i e B 0 (n;F) = e

B(n;F). We only have to show that for any (positive or negative)generator g of

e

B(n;F) and i=1;:::;n there existsj =1;:::;n and x2 e B 0 (n;F) su hthat g i = j x:

Ifg isa lassi al braid,thisresultiswell-known([24 ℄).Other ases omealmostdire tlyfrom the denition of !

j

. Thus every element of e

B(n;F) an be written in the form  i e B 0 (n;F). Sin e 1 i  j = 2 e B 0

(n;F) for i6=j we aredone. 

The previous proof holds also for p > 1. This time e B 0 (n;F) is the subgroup of e B(n;F) generated by a 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g ; 1 ;:::; n 2 ;  1 ;:::; n 1 ; ! 1 ;:::;! 2g ;  1 ;:::; p 1 where  j ;! r

aredened asabove and j = 1 n 1


 1 1 z j  1


 n 1 .  1.4 Proof of Theorem 1.1.2

1.4.1 About the se tion

The steps of the proof are thesame. We set again B 0 (n;F) =  1 ( n 1 ). Let e B 0 (n;F) be thesubgroupof e B(n;F)generated bya 1 ;:::;a g ;b 1 ;:::;b g ; 1 ;:::; n 2 ; 1 ;:::; n 1 ;! 1 ;:::; ! 2g ; where  j ;! r

are dened as above. Remark that  1

2 hGi sin e from (TR) relation, the following relation  1 =[! 1 ;! 1 2 ℄


[! 2g 1 ;! 1 2g ℄ 1 n 1


 1 2 ; holdsin e B 0

(n;F).WhenF isa losed surfa ethe orresponding ~

hasnose tion(see Se tion 1.2.1).Nevertheless,weare ableto prove theanalogous ofLemma 1.3.1 (see se tion1.4.2). Lemma 1.4.1 Let F be a losed surfa e. Then Ker(

~ ) is generated by f! 1 ;:::; ! 2g ; 2 ;:::;  n 1 g.

Thefollowing Lemma isanalogous to Lemma 1.3.2. Lemma 1.4.2 Let F be a losed surfa e and set also f!

1 ;:::;! 2g ; 2 ;:::; n 1 g in B 0 (n;F) forf n (! 1 );:::; n (! 2g ); n ( 2 );:::; n ( n 1

)g.Ker()isfreelygeneratedbyf! 1 ;:::;! 2g ; 2 ;:::;  n 1 g. Let j = j


 n 1 (where n

=1). Wemay on lude by he king thatfor anygenerator g of

e

B(n;F) (orits inverse) and i=1;:::;n there existsj=1;:::;n andx2 e B 0 (n;F) su h that g i = j x;

whi h is asub- aseof previous situation. 

1.4.2 Proof of Lemma 1.4.1

To on lude the proof of Theorem 1.1.2, we give the demonstration of Lemma 1.4.1. Let us beginwiththefollowing Lemma.

2 n 1 1 2g hGi isnormal in e B 0 (n;F)

Proof: It su es to onsider relations inLemma 1.3.1. Remark thatfrom relations shown in Lemma 1.3.1,itfollows alsothat theset

f  j 1 jj=1;:::n 1; word onf! 1 1 ;:::;! 1 2g gg; isasystemof generators for hh

1 ;:::; n 1 iihh n 1 ii. 

Inorder to proveLemma 1.4.1,let us onsider thefollowing diagram

Ker ~   i ! e B 0 (n;F) ~  ! e B(n 1;F)      ~  0 Æ Ker ~  0 t n #  i 0 ! e B 0 (n;F)=hh n 1 ii q n # In this diagram q n

is the natural proje tion, ~  0 is dened by ~  0 Æq n = ~  and t n is dened by i 0 Æt n = q n Æi. Sin e t n

is well dened and onto we dedu e that Ker(t n ) = hh n 1 ii. Now, ~  0

has a natural se tion s : e B(n 1;F) ! e B 0 (n;F)=hh n 1 ii dened as s(a i ) = [a j ℄, s(b i )=[b j ℄ands( j )=[ j ℄,where[x℄isarepresentativeofx2 e B 0 (n;F)in e B 0 (n;F)=hh n 1 ii. Thus, using the same argument as in Lemma 1.3.1, we derive that Ker(

~  0 ) = hhK ii, where K=f[! 1 ℄;:::;[! 2g ℄;[ 2 ℄;:::[ n 1

℄g.FromLemma1.4.3itfollowsthathK i=hhK ii.Moreover, sin e i 2hh n 1 iifor i=1;:::;n 2,Ker( ~  0 )=h[! 1 ℄;:::;[! 2g ℄i. From theexa t sequen e

1!hh n 1 ii! Ker( ~ )!Ker( ~  0 )!1 it follows that the set f!

1 ;:::;!

2g

g and a system of generators for hh n 1

ii form a sys-tem of generators for Ker(

~

). From the remark in Lemma 1.4.3 it follows that Ker( ~ ) = h 2 ;:::; n 1 ;! 1 ;:::;! 2g i. 

1.5 Other presentations and remarks

1.5.1 Braids on p-pun tured spheres We re allthattheexa t sequen e

1 ! 1 (F nfP 1 ;:::;P n 1 g;P n ) !P(n;F)  !P(n 1;F)!1 holdsalso whenF =S

2

([35 ℄). Thus, previous arguments mayberepeatedinthe ase ofthe sphere,to obtain a newproof for thewell-known presentation of braid groups on the sphere asquotients of lassi al braid groups. When F is a p-pun tured sphere, our argument leads tothefollowing result.

sentation:  Generators: 1 ;:::; n 1 ;z 1 ;:::;z p 1 :  Relations:

 Braidrelations, i.e.  i  i+1  i =  i+1  i  i+1 ;  i  j =  j  i forji jj2:  Mixed relations: (R 1) z j  i = i z j (i6=1;j=1;:::;p 1); (R 2)  1 1 z j  1 z l =z l  1 1 z j  1 (j =1;:::;p 1; j<l); (R 3)  1 1 z j  1 1 z j =z j  1 1 z j  1 1 (j =1;:::;p 1);

We remarkthatthis presentation oin ides withthepresentation shownin[66℄.

1.5.2 Braids on non-orientable surfa es

Previouste hniques an be usedinthe ase of non-orientable surfa esto prove thefollowing Theorems.

Theorem 1.5.2 Let F be a non-orientable p-pun tured surfa e of genus g 1, withp 1. The group B(n;F) admits the following presentation:

 Generators: 1 ;:::; n 1 ;a 1 ;:::;a g ;z 1 ;:::;z p 1 :  Relations:

 Braidrelations, i.e.  i  i+1  i =  i+1  i  i+1 ;  i  j =  j  i forji jj2:  Mixed relations: (R 1) a r  i = i a r (1rg; i6=1); (R 2)  1 1 a r  1 1 a r =a r  1 1 a r  1 (1rg); (R 3)  1 1 a s  1 a r =a r  1 1 a s  1 (s<r); (R 4) z j  i = i z j (i6=1;j=1;:::;p 1); (R 5)  1 1 z i  1 a r =a r  1 1 z i  1 (1rg; i=1;:::;p 1; n>1); (R 6)  1 1 z j  1 z l =z l  1 1 z j  1 (j =1;:::;p 1; j<l); (R 7)  1 1 z j  1 1 z j =z j  1 1 z j  1 1 (j=1;:::;p 1):

admitsthe followingpresentation:  Generators: 1 ;:::; n 1 ;a 1 ;:::;a g :  Relations:

 Braidrelations as in Theorem1.1.1.  Mixed relations: (R 1) a r  i = i a r (1r g; i6=1); (R 2)  1 1 a r  1 1 a r =a r  1 1 a r  1 (1 rg); (R 3)  1 1 a s  1 a r =a r  1 1 a s  1 (s<r); (TR ) a 2 1


a 2 g = 1  2


 2 n 1


 2  1 :

We give only a geometri interpretation for thegenerators. To represent a braidin F we onsiderthesurfa e asapolygon of2g sidesasinFigure1.8, andwe make anadditional ut: denethepath easintheleft handoftheFigure1.8and utthepolygon alongit. WegetF representedasintheright handsideof thesame gure,where we analso seehowwe hoose thepointsP

1 ;:::;P

n

.We showgenerators inFigure1.9. Generators j

and z j

areas above. For all r = 1;:::;g, the braid a

r

onsists on the rst string passing through the r-th wall, whiletheotherstringsaretrivialpaths.Relations anbeeasilyverieddrawing orresponding braids.The relation (TR) in Theorem 1.5.3 is shownin [46℄. We remark thatTheorem 1.5.3 provides alsoa presentation for braidgroups ontheproje tive plane(see also[90 ℄).

0

0

1

1 00

00

11

11

00

00

11

11

0

0

1

1

₀

0

1

1

e

α

_g-1

α

_g-1

α

α

_α

α

α

g

g

₁

1

2

α

₂

e

e

α

_g

α

g

α

₁

α

₁

P

₁

P

_n

Figure1.8: Representation ofa non-orientable surfa e F.

1.5.3 González-Meneses' presentations

Let F be a losed orientable surfa e of genus g  1. Using the same arguments outlined in previousSe tions we mayprovide another presentation forB(n;F).

Theorem 1.5.4 Let F be a losed orientable surfa e of genus g  1. The group B(n;F) admitsthe followingpresentation:

 Generators: 1 ;:::; n 1 ;b 1 ;:::;b 2g :

0

0

1

1 0

1 0

1

₀

0

1

1 0

1 0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1 0

1 0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

₀

0

1

1

a

_r

e

e

α

r

α

r

P

1

σ

_i

e

e

P

1

P

_n

e

e

P

1

P

i

P

i+1

P

n

P

_n

j

z

j

Figure1.9: Generatorsasbraids (forF anon-orientable surfa e).

 Relations:

 Braidrelations as in Theorem1.1.1.  Mixed relations: (R 1) b r  i = i b r (1r2g;i6=1); (R 2) b s  1 1 b r  1 1 = 1 b r  1 1 b s (1s<r2g); (R 3) b r  1 1 b r  1 1 = 1 1 b r  1 1 b r (1r2g); (TR ) b 1 b 1 2 :::b 2g 1 b 1 2g b 1 1 b 2 :::b 1 2g 1 b 2g = 1  2


 2 n 1


 2  1 :

A losed orientable surfa e F of genus g  1 is represented as a polygon L of 4g sides, whereoppositeedgesareidentied.Figure1.10givesageometri interpretationofgenerators. Relations an beeasily veried on orrespondingbraids.

P

_i

σ

P

_i+1

i

α

1

n

α

P

P

i

i

b

_i

Figure 1.10:Generators asbraids (forF an orientable losed surfa e). Thepresentation inTheorem 1.5.4 is lose to González-Meneses' presentation.

Theorem 1.5.5 ([46 ℄)LetF bea losedorientablesurfa eofgenusg1.ThegroupB(n;F) admitsthe followingpresentation:

 Generators: 1 ;:::; n 1 ;a 1 ;:::;a 2g :

(1)  i  i+1  i = i+1  i  i+1 ; (2)  i  j = j  i forji jj2; (3) [a r ;A 2;s ℄=1 (1r;s2g; r 6=s); (4) [a r ; i ℄=1 (1r2g;i6=1); (5) [a 1 :::a r ;A 2;r ℄= 2 1 (1r 2g); (6) a 1 :::a 2g a 1 1 :::a 1 2g = 1  2


 2 n 1


 2  1 ; where A 2;r = 1 1 (a 1 :::a r 1 a 1 r+1 :::a 1 2g ) 1 1 : Remarkthatthegeometri interpretationofb

j

orrespondstothebraidgeneratora j

when j is odd and respe tively to a

1 j

, when j is even. Tedious omputations show that relations inTheorem 1.5.4 (after repla inggenerators b

j

'switha j

's) implyrelations inTheorem 1.5.5. In the same way, Theorem 1.5.3 an be also veried dire tly, he king that the relations in Theorem 1.5.3 imply all relations ofthe González-Meneses' presentation for braid groups on nonorientable losed surfa es in[46℄.However, we remark thatthe presentation inTheorem 1.5.3is simpler and withlessrelations than González-Meneses' one.

Ontheotherhand,itseemsdi ultto give analgebrai proofof theequivalen e between presentation inTheorem 1.1.2 andpresentation inTheorem 1.5.5.

1.5.4 Appli ations

We on lude this Se tion with some remarks. Let F be a surfa e, possibly with boundary. Consider a onne ted subsurfa e EF,su h thatevery boundary omponent ofE eitheris aboundary omponentofF orliesintheinteriorofF.WesupposealsothatE ontains P.It isknown([75 ℄)thatthenaturalmap

n

:B(n;E)!B(n;F)indu edbythein lusionE F is inje tive if and only if F nE does not ontain a disk D

2

. We may provide an analogous hara terisation about surje tion.

Proposition 1.5.1 Let F be a surfa e of genus g1 withp0 boundary omponents, and letE be asubsurfa e of F.The natural map

n

:B(n;E)!B(n;F) indu ed by thein lusion EF issurje tive if andonlyif F nE is a disjointunion of disks.

Proof: WhenEisobtainedfromF removingkdisks,thenaturalmap n

:B(n;E)!B(n;F) isonto andTheorems 1.1.1,1.1.2,1.5.2 and1.5.3give ades riptionofKer(

n

).Remarkthat thenaturalmorphism

1 : 1 (E;P 1 )! 1 (F;P 1 )

is a surje tion if and only if F nE is a disjoint union of disks. Now onsider a pure braid p 2 P(n;F) as a n-tuple of paths (p 1 ;:::;p n ) and let  : P(n;F) !  1 (F) n be the map denedby(p)=(p 1 ;:::;p n

).The following ommutative diagramholds P(n;E)  ! 1 (E) n P(n;F) ( n ) jP(n;E) #  ! 1 (F) n 1 


 1 #

n

jP(n;E)

1 notsurje tive.Thus,sin e

1 n

(P(n;F))belongstoP(n;E),itfollowsthat n

isnotsurje tive onB(n;F)when

1

isnot surje tive. 

Remark1.5.1 The fa t that the natural map n

: B(n;E) ! B(n;F) is onto when E is obtained from F removing k disks an also be obtained from the remark that B(n;E) is a subgroupofB(n+k;F)andthatthemap

n

orresponds totheusualproje tionB(n+k;F)! B(n;F). The existen e of a braid ombing in B(n+k;F) ([66℄) implies the laim.

Proposition 1.5.2 Let F be a orientable surfa e of genus g1, possibly withboundary. Let N

n

(F) be the normal losure of B n inB(n;F).The quotientB(n;F)=N n (F) isisomorphi to H 1

(F), the rsthomology group of the surfa e F. Proof: It issu ient to repla eall 

j

with1 inTheorems 1.1.1 and 1.1.2. 

1.6 Surfa e pure braid groups

Severalpresentationsforsurfa ebraidgroupsareknown,whenF isa losedsurfa eoraholed disk([46 ℄, [52℄, [66℄,[82 ℄). In Theorem 1.6.1 we provide a presentation for purebraid groups onorientable surfa eswithboundary.This presentation is lose to thestandard presentation ofthe purebraid groupP

n

on thedisk. We provide also the analogous presentation for pure braidgroups onorientable losed surfa es.

1.6.1 Presentations for surfa e pure braid groups

Theorem 1.6.1 Let F be an orientable surfa e of genus g 1 with p >0 boundary ompo-nents.P(n;F) admits the following presentation:

 Generators: fA i;j j1i2g+p+n 2;2g+pj 2g+p+n 1;i<jg:  Relations: (PR 1) A 1 i;j A r;s A i;j =A r;s if(i<j<r<s)or(r+1<i<j <s); or(i=r+1<j<s foreven r<2g or r2g); (PR 2) A 1 i;j A j;s A i;j =A i;s A j;s A 1 i;s if (i<j<s); (PR 3) A 1 i;j A i;s A i;j =A i;s A j;s A i;s A 1 j;s A 1 i;s if (i<j<s); (PR 4) A 1 i;j A r;s A i;j =A i;s A j;s A 1 i;s A 1 j;s A r;s A j;s A i;s A 1 j;s A 1 i;s if (i+1<r<j<s)or (i+1=r<j <sfor odd r<2g or r>2g); (ER 1) A 1 r+1;j A r;s A r+1;j =A r;s A r+1;s A j;s A 1 r+1;s if reven andr<2g; (ER 2) A 1 r 1;j A r;s A r 1;j =A r 1;s A j;s A 1 r 1;s A r;s A j;s A r 1;s A 1 j;s A 1 r 1;s if roddandr <2g:

n from [15 ℄. Let

e

P(n 1;F) be the group dened by above presentation. We give in Figure 1.11 a pi ture of orresponding braids on the surfa e. Let h = 2g+p 1.In respe t of the presentation for B(n;F)given inTheorem 1.1.1,theelementsA

i;j

arethefollowing braids:  A i;j = j h


 i+1 h  2 i h  1 i+1 h


 1 j h ,fori2g+p ;  A i;j = j


 1 z 1 i 2g  1 1


 1 j h ,for 2g<i<2g+p ;  A 2i;j = j


 1 a 1 g i+1  1 1


 1 j h ,for 1ig ;  A 2i 1;j = j h


 1 b 1 g i+1  1 1


 1 j h ,for 1ig .

Therelations(PR1),:::,(PR4) orrespondtothe lassi alrelationsforP n

.Thenewrelations arise when we onsider two generators A

2i;j , A

2i 1;k

, for 1  i g and j 6=k. They orre-spondtotwo loopsbasedat twodierent pointswhi hgo aroundthesame handle. Relations (ER1)and(ER2) an beveried byexpli itpi turesor usingrelationsinTheorem1.1.1.The

0

1

0

1

0

1

0

1

A

_1,2g+p

2g+1,2g+p+1

A

1

p-1

g

1

1

2

n

A

2g+p+1, 2g+p+n-1

2g,2g+p

A

Figure 1.11: Geometri interpretation of A i;j

. We mark again with A i;j

the only non trivial stringofthebraid A

i;j

te hniquetoprovethat(PR 1);:::;(ER 2)isa ompletesystemofrelationsforP(n;F)iswell known([46 ℄, [52 ℄,[66 ℄,[82 ℄). Asshownin[57 ℄,given anexa t sequen e

1!A!B !C !1; andpresentationshG A ;R A iandhG C ;R C

i,we anderiveapresentationhG B ;R B iforB,where G B

isthesetofgeneratorsG A

and osetrepresentativesofG C

.TherelationsR B

aregivenby theunionof three sets. Therst orresponds to relations R

A

,and these ond one to writing ea hrelationinC intermsof orresponding osetrepresentativesasanelementofA.Thelast set orrespondsto thefa t thatthe a tion under onjugation ofea h oset representative of generatorsofC(andtheirinverses)onea hgeneratorofAisanelementofA.We anapplythis resulton(PBS)sequen e.Thepresentationis orre tforn=1.Byindu tion,supposethatfor n 1,

e

P(n 1;F)  =

P(n 1;F). ThesetofelementsA

i;2g+n+p 1

(i=1;:::;2g+n+p 2) is a system of generators for 

1 (F n fP 1 ;:::;P n 1 g;P n ). To show that (PR 1);:::;(ER 2) isa omplete systemof relations for P(n;F) it su es to prove that relations R

P(n;F) are a onsequen eofrelations(PR 1);:::;(ER 2).Sin e

1 (FnfP 1 ;:::;P n 1 g;P n )isafreegroupon thegivengenerators,wejusthaveto he kthese ond andthethirdsetofrelations. Consider as oset representative for the generator A

i;j

in P(n 1;F) the generator A i;j

in P(n;F). Relationsliftdire tlytorelationsinP(n;F).Thea tionofA

1 i;j on 1 (FnfP 1 ;:::;P n 1 g;P n ) maybe dedu edfrom thatofA

i;j

.Infa t, relations (PR2)and (PR3)imply that A i;j A i;2g+n+p 1 A j;2g+n+p 1 =A i;2g+n+p 1 A j;2g+n+p 1 A i;j ;

A i;j A i;2g+n+p 1 A 1 i;j =A 1 j;2g+n+p 1 A i;2g+n+p 1 A j;2g+n+p 1 ; forall i<j <2g+n+p 1).It follows that

A s;j A i;2g+n+p 1 A 1 s;j 2hA 1;2g+n+p 1 ;:::;A 2g+n+p 2;2g+n+p 1 i; forall s<j<2g+n+p 1.

Thus we have proved that hA

1;2g+n+p 1 ;:::;A

2g+n+p 2;2g+n+p 1

i is a normal subgroup andthatalso thethird setof relations ofR

P(n;F)

isa onsequen eof (PR 1);:::;(ER 2).  Inthesame waywe an prove thefollowing Theorem.

Theorem 1.6.2 Let F be an orientable losed surfa e of genus g  1. P(n;F) admits the followingpresentation:  Generators:fA i;j j1i2g+n 1;2g+1j2g+n;i<jg:  Relations: (PR 1) A 1 i;j A r;s A i;j =A r;s if (i<j<r<s)or(r+1<i<j<s); or(i=r+1<j <sfor even r<2g orr >2g); (PR 2) A 1 i;j A j;s A i;j =A i;s A j;s A 1 i;s if(i<j<s); (PR 3) A 1 i;j A i;s A i;j =A i;s A j;s A i;s A 1 j;s A 1 i;s if(i<j<s); (PR 4) A 1 i;j A r;s A i;j =A i;s A j;s A 1 i;s A 1 j;s A r;s A j;s A i;s A 1 j;s A 1 i;s if(i+1<r <j<s)or (i+1=r <j<sfor odd r<2g orr >2g); (ER 1) A 1 r+1;j A r;s A r+1;j =A r;s A r+1;s A j;s A 1 r+1;s ifreven andr <2g; (ER 2) A 1 r 1;j A r;s A r 1;j =A r 1;s A j;s A 1 r 1;s A r;s A j;s A r 1;s A 1 j;s A 1 r 1;s ifrodd andr<2g; (TR ) [A 1 2g;2g+k ;A 2g 1;2g+k ℄


[A 1 2;2g+k ;A 1;2g+k ℄= 2g+k 1 Y l =2g+1 A l ;2g+k   2g+n Y j=2g+k+1 A 2g+k;j k=1;:::;n:

Remark1.6.1 Let E be a holed disk. Theorem 1.6.1 provides a presentation for P(n;E) ([66℄). Let us re all that P(n;E) is a (proper) subgroup of P

n+k

, where k is the number of holesin E.

Remark1.6.2 We re all that P n

embeds in P(n;F) ([75℄) and thus P n isisomorphi to the subgroup hA i;j j2g+1i<j2g+ni;

n P n =hA i;j j2g+pi<j2g+p+n 1i;

when F is a surfa e with p > 0 boundary omponents. Consider the sub-surfa e E obtained removing g handlesfromF.The group P(n;E) embedsin P(n;F) ([75℄)andit isisomorphi tothe subgroup hfA i;j j2g+1i<j 2g+ng[fA 2k 1;l ;A 1 2k;l A 1 2k 1;l A 2k;l j 1k g;2g+1l2g+ngi; whenF isa losed surfa e andrespe tively to the subgroup

hfA i;j j2g+1i2g+p+n 2; 2g+pj2g+p+n 1; i<jg[ [fA 2k 1;l ;A 1 2k;l A 1 2k 1;l A 2k;l j1kg;2g+pl2g+p+n 1gi; whenF isa surfa e withp>0 boundary omponents.

Remark1.6.3 When F is a surfa e with genus, from relation (ER1) we dedu e that gener-ators A

i;j

for 2g+pi<j 2g+n+p 1, whi h generate a subgroup isomorphi to P n

, are redundant. Then Theorem 1.6.1 provides a (homogeneous) presentation for P(n;F) with (2g+p 1)n generators.

1.6.2 Remarks on the normal losure of P n

in P(n;F)

As orollary of previous presentations we give an easy proofof a well-known fa t on K n

(F), thenormal losureof lassi alpurebraid groupP

n inP(n;F) ([45 ℄). Lemma 1.6.1 Let:P(n;F)! 1 (F) n

be themap dened by (p)=(p 1

;:::;p n

).LetF be a losed orientable surfa e possibly withboundary. Let K

n

(F) be the normal losure of P n in P(n;F). Then Ker()=K n (F):

Proof: We outline the ase of a surfa e F with boundary. The in lusion K n

(F)  Ker() is obvious. The quotient group

P(n;F) K

n (F)

is isomorphi to thegroup b

P(n;F) with generators fA

i;j

j1i2g+p 1; 2g+pj2g+p+n 1g and relations f[A i;j

;A k;l

℄=1;j 6=lg. Themorphism  indu es anisomorphism between

b P(n;F) and  1 (F) n . 

Proposition 1.6.1 LetF be anorientable surfa epossiblywithboundary. WhenF isatorus [P(n;F);P(n;F)℄=K

n (F): Otherwise the stri tin lusionholds:

[P(n;F);P(n;F)℄K n

(F): Proof: The in lusion K

n

(F)  [P(n;F);P(n;F)℄ follows from relation (ER1). Suppose that [P(n;F);P(n;F)℄ = K

n

(F) =Ker() for g > 1. It follows that

P(n;F) Ker() is abelian. This is falsesin e  1 (F) n

is notabelian for g>1.Letw2[P(n;F);P(n;F)℄. Thesum ofexponents A

i;j

in w must be zero. The proje tion of (w) on any oordinate is the sub-word of w onsistingof the generators asso iated to orresponding strand. Sin e thesum of exponents iszero, ifF isa torus thisproje tion istrivialand the laimfollows.