J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
M. V
AN DER
P
UT
Les courbes de Shimura
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
1, n
o1 (1989),
p. 89-102
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_89_0>
© Université Bordeaux 1, 1989, tous droits réservés.
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Les
courbes
de
Shimura.
par M. VAN DER PUT
Introduction
L’importance
des courbes modulairesXo(N)
pourl’arithmétique
est bienconnue
depuis
longtemps.
La variété de JacobiJo(N)
deXo(N)
possède
également
despropriétés arithmétiques.
On
s’intéresse,
parexemple,
à la "réduction modulop"
(p
étant un nombrepremier)
deXo(N).
Dans le casspécial
N =p , la réduction modulo p de
Xo(p)
est une courbe totalementdégénérée.
Cettepropriété implique
queXo(p)0 Qp
est une courbe de Mumford. Il existe alors un ouvertanalytique
S2 de
fDi
0Qp
et un sous-groupediscret,
sanstorsion,
detype
fini,
r dePGL(2,
Qp)
tel que :Cettte uniformisation
p-adique
n’est pas connueexplicitement.
Par contrel’uniformisation
complexe
Xo(N)
0 C =ro(N)BHUpointes}
estexplicite.
Cet
exposé
a pour butd’expliquer
la situationanalogue
pour les courbesde Shimura
Sd, j (§2).
L’idée de ces courbes estproche
des courbes modulaires. est donnée par une uniformisationcomplexe.
Sd, f
estl’espace
des modules de certaines surfaces abéliennes. Pour un nombrepre-mier p,
pld,
la réductionSd, f
0Fp
est une courbe totalementdégénérée.
L’uniformisation
p-adique
deSd, f
0Qp
estexplicitement
décrite par le théorème deCerednik
et Drinfeld(§3).
On donne une indication de ladémonstration.
Un lien entre la variété de Jacobi de
Sd, f
et certainsJo(N) a
été découvertpar K. Ribet
(§4).
Ce lien est unepartie
essentielle de sa démonstrationde : "La
conjecture
deTaniayama-Weil
implique
le dernier théorème de P. de Fermat" .Finalement,
rien dans cetexposé
n’estoriginal
saufpeut-être
les erreurs.1.
Algèbres
dequaternions
surQ.
Une
algèbre
dequaternions
D sur uncorps k
est unealgèbre
simple
(i.e.
il n’existe pas d’idéaux bilatères différents de0)
avec centre = k etdimk D
= 4. Dans le cas oùcar k ~ 2,
Dpossède
une base~1,
el, e2,e3}
sur J~ telle que lamultiplication
est donnée par les formules :Exemples :
1.1 k = R. Il existe deux
possibilités :
D =M(2
x2,
R)
et D = le corpsdes
quaternions
deHamilton,
donné par a = b = -1.1.2 k =
Qp.
Il y a encore deuxpossibilités :
D =M(2
x2,Qp)
et D=le corps non commutatif
qu’on
peut
décrire comme suit : D =Qp21
+Qp2U
avecrègles
demultiplication
u2
= p ; Àu =uFr(.~)
pour À
EQp2.
On aécrit ici
Qp2
pourl’unique
extension non ramifiée dedegré
2 deQp
et Frpour l’action de Frobenius sur
Qp2 .
1.3 Soit D une
algèbre
dequaternions sur Q
et v uneplace
(alors
vest un nombre
premier
ou bien v =oo).
On dit que D est ramifiée en v siD 0
Q,
est un corps non commutatif. Le nombre desplaces
ramifiées estpair.
Enoutre,
pour tout ensemble fini deplaces
S de cardinalitépaire,
il existe une
algèbre
dequaternions unique
(à
isomorphisme
près)
avec Scomme ensemble des
places
ramifiées. Le discriminant d d’unealgèbre
dequaternions
D/Q
est donné par :le
signe
+équivaut
à "D n’est pas ramifiée en oo~~.1.4
Exemples.
Le discriminant deM(2
x2,Q)
est 1. Le discriminant ducorps H
desquaternions
de Hamilton surQ(
avec a = b= -1)
estégal
à -2.
1.5 Soit
D/Q
unealgèbre
dequaternions
avec discriminant d et soitf
EZ, f >
0 et (d, f ) = 1.
Un ordre deichler 0 C D de niveauf
est un sous-anneau deD,
libre de rang 4 comme Z-module,
tel que :*
pour
Zp
estl’unique
ordremaximalIp2[u]
du corps noncommu-tatif
*
On note que
" f
= 1 ~ estéquivalent
à "l’ordre d’Eichler est maximal." Pour d >0,
il existe une seule classe deconjugaison
d’ordres d’Eichler deniveau
f
dans D. Pour d0,
les ordres d’Eichler de niveauf
dans Dforment un nombre fini de classes de
conjugaison.
2. Définitions de la courbe de Shimura
Soit
D /Q
unealgèbre
dequaternions
indéfinie(i.e.
d >0)
et soit B C Dun ordre d’Eichler de niveau
f .
Mors 0* C(D
®R)* ~ GL(2, R)
opère
surn
= C - R. La courbe de Shimuracomplexe
Sd, f
0 C est définie commequotient
Pour d >
1,
cequotient
est une surface deRiemann,
connexe etcompacte.
Le groupe 8*
possède
des éléments avec un déterminantnégatif.
Alors :Pour d =
1,
lequotient
estégal
àro(/)BH.
Cequotient
n’est pascompact
et la
compactification
est la courbe modulairecomplexe
Xo ( f )
0 C. 8* estassocié au
problème
suivant de modules :2.1 Les surfaces abéliennes A avec les structures
supplémentaires :
(1)
i : B ~End(A)
(2)
un sous-groupe B CA( f ~ :
={lespoints
d’ordref
deA}
tel que B estun 0-module
cyclique
d’ordref.
(3)
l’application 0
c..4End(A)
->End(TeA)
=M(2
x2, -)
a lapropriété
2.2
Remarques :
1)
Pour d = 1 on retrouvele problème
usuel de modules associé àXo( f ).En
ll s’ensuit que A =
El
xE2
= leproduit
de deux courbeselliptiques.
Enplus,
El
etE2
sontisogènes
d’ordref.
Dans la suite on supposera que d > 1.
2)
La condition(2)
de(2.1)
est une structure de niveauf .
La condition(3)
de(2.1)
est un peutechnique.
Cette condition estsuperflue
enca-ractéristique
0.3)
On suppose d > 1.D’après
un théorème de Drinfeld[1],
leproblème
de modules
(2.1)
possède
comme solution un schémaSd, f
detype
fini etprojectif
surZ(1/f).
Pourf >
3,
le schémaSd,f
représente
le foncteurassocié à
(2.1).
2.3 Montrons maintenant que
8*Bn
représente
leproblème
de modules(2.1)
sur C. On fixe une immersion 0 ~
M(2
x2,
R)
et on associe à z E C - Rle réseau °
Le
quotient
A(z)
=C2/A(z)
est apriori
un toreanalytique.
Utilisant lanorme réduite de D on
produit
unepolarisation
surA(z).
AlorsA(z)
estune surface abélienne sur C. L’immersion i : 6
End(A(z))
est évidente./
Le sous-groupe
B(z)
deA(z)
est donnépar (J
A(z).
On a construit ainsi une famille
(A(z), i(z), B(z))
sur C-R. Cette famillepossède
une (J*-action naturelle et il n’est pas difficile de montrer que lequotient
par 9* est une famille universelle(pour
les structures(2.1))
au-dessus de la courbe
0*BSl.
Celajustifie
la notation C pour3. Le théorème de
Cerednik
et DrinfeldD’abord on donne un énoncé faible
(et
légèrement
faux)
de ce théorème.Utilisons les notations suivantes :
L’espace
topologique n (pour
latopologie
induite parCp)
possède
unestructure
d’espace analytique
connexe surCp.
Dans un autrelangage 0
est un schéma formel surZp.
Le groupePGL(2, Qp)
opère
sur fi. Soit r unsous-groupe discret et
co-compact
dePGL(2,
Qp).
Alors Lequotient
I‘BSZ
existe comme courbeanalytique
propre surQp
etI‘BSZ
est alors unecourbe
algébrique
surQp.
En d’autres termesI‘BSZ
est un schéma formel surZp,
propre, detype
fini,
de dimension relative 1. AlorsrBSZ
est lecomplété
formel d’une courbeprojective
surZp
parrapport
à la fibrespéciale "p
= 0"3.1
THÉORÈME
(Cerednik,
Drinfeld[1]).
Supposons
pld.
AlorsSd,¡0Fp =
la réduction deSd, j
modulo p est totalementdégénérée.
Il existe unsous-groupe
discret,
co-compact
r dePGL(2,
provenant
d’unealgèbre
dequaternions
D’,
tel que rB 0
estisomorphe
à 0Zp
Dans les pages suivantes onprécisera
l’énoncé(3.1).
3.2
L’algèbre
dequaternions
D’ est obtenue de D enéchangeant
p et oo. Cela veut dire que le discriminant d’ de D’ estégal
à d’ =-d/p.
Soit 0’ C D’ un ordre d’Eichler de niveau
f
(en
général
0’ n’estplus
unique
àconjugaison
près).
Alors le grouper(comme
sous-groupe deest
égal
à :Le théorème
d’approximation
pour les groupesalgébriques
sur Q
implique
que r est discret etco-compact.
Posons
r+ =
{y
E ru1
0 rrzod2},
où vp est la valuation additive deQp.
3.3 Le schéma formel S2 est associé à l’immeuble de Bruhat-Tits 0 de
PGL(2, Qp).
Cet immeuble est un arbrequ’on
peut
décrire comme suit.Les sommets de A sont les classes
d’équivalence
[M]
desZp-réseaux
M deQp2(i.e.
Qp2
est l’extension non ramifiée dedegré
2 deQp
etM C
Qp2
est unZp-sous-module,
libre de rang2).
L’équivalence
Mi - M2
signifie
Ml
=pnM2
pour certain n E Z. Les arêtes de A sont despaires
[M2 ]}
telles queM2
CMi
etFp.
Pour el, e2 Earbre
régulier
avec valencep + 1.
On associe à à un schéma formel11,
lo-calement de
type
fini. Soit b =~
e1, e2 >, e1, pe2>}
une arête de A . On écritXl, X2
pour les coordonnéshomogènes
parrapport à
e2 ~.
Alorsn( 6)
est lespectre
formel d’unanneau
complet
pour latopologie
p-adique :
Cet anneau est le
complété p-adique
de l’anneauA
chaque
sommet v =[
el, e2>]
on associeS2(v)
= lespectre
formel del’anneau
complet
Alors n est obtenu comme recollement des
n( 6)
suivant l’arbre A. Pourdeux arêtes
bl,
b2
ayant v
comme sommet commun on recolle etSt(b2 )
sur l’ouvert commun
St(v).
Les formules
explicites
ci-dessus montrent queIl s’ensuit
que fl 0 Fp
est un arbre de droites(i.e.
desPl 0
Fp).
Legraphe
sous-groupe r de
PGL(2,
Qp)
est discret etco-compact
si et seulement siles stabilisateurs de r sur Li sont finis et que
rBà
est ungraphe
fini.Pour un tel r il est facile de vérifier que le
quotient
est un schémaformel de
type
fini. Deplus,
est constitué de droites rationnellessur
Fp
et lessingularités
de(rBO)
0Fp
sont despoints
doubles ordinaires. Legraphe
dual de(rBO)
(DFp
s’identifie àI‘B0.
3.4 Le "twist" de F’robeni us. Le
quotient
TBSZ
n’est pas tout à fait cequ’il
faut dans le théorème(3.1).
Il fautincorporer
un "twist" de Frobenius.On utilise les notations suivantes :
Zp2
des entiersde Qp2
Zpoo =
W (Fp)= (le
complété
de)
l’extension nonramifiée,
maximale deZp.
Fr= l’action de Frobenius sur
Zp2
etZpoo.
le schéma formel déduit de 0 par l’extension de scalaires
ZP
Clpoo.
Le groupe r =
01 p
opère
surH0Zpoo
par la formule(abus
deP
langage t) :
3.5 La version correcte de
(3. 1)
est :Les schémas formels sur
Zpy Sd-f 0 Zp
et sontisomorphes.
3.6 Variation sur(3.5).
On note que
où
est
l’image
der+
dansPGL(2, Qp).
Le grouper/r+
=f 1,
opère
surpar et sur
Zp2
par Fr.Alors
Sd,¡ 0 Zp
est un twist de Frobenius de donné parEn
particulier
Zpz - ((r+~~52) ~
Zp2.
Celacorrige
l’énoncé(3.1).
Soit G legraphe
dual deFp.
Cela veut dire : les sommets de Gsont les
composantes
irréductibles deFp
et les arêtes de G sont lespoints
doubles deSd,¡ 0
Fp.
Alors G estisomorphe
à et l’action de Frobenius sur G s’identifie à l’action de w surUtilisant cette
description
de G onpeut
déterminer lescorps I( J
Qp
pour
lesquels
Sd,f(li )
n’est pas vide.([2]).
3.7 Variation sur 52. Le schéma formel S2
peut
être vu comme éclatementde la
façon
suivante :Soit
S21
l’éclatement dePl 0
Zp
en les(p
+1)
points
rationels de la fibrespéciale
Pl 0 Fp.
EnsuiteS22
est l’éclatement def2l
en lespoints
rationels denI
0Fp
et ainsi de suite.Soit
f2~
= nouvelles droitesexceptionnelles}.
Alors S2 = lim
f2
comme schéma formel.n
3.8 L’idée de la démonstration de
(3.1)
et(3.5).
l’ensemble des classes
d’isomorphisme
destriplets
(A, i, B)
tels que:(1)
A est une surface abélienne surFp
(2) i : 0
~End(A)
(3) B C A
[f]
(4)
les conditions de(2.1).
{0, 1, 2}.
Qp =
Tp(A)
0Qp
et alors r = 0. On dit dans ce cas là que A estsupersingulière.
Soit ap le schéma en groupes fini donné par ap = et
t ~ t ~ 1
+ 1 ® t(la
comultiplication).
D’après
F. Oort il y a deuxpossibilités
pour une surface abéliennesupersingulière.
(i)
A cr E x E avec E une courbeelliptique
supersingulière
fixée .(ii)
E x E/
M où M est un sous-groupe de E x Eisomorphe
à ap*Les familles de surfaces abéliennes
supersingulières
sont étudiées dans[3].
On considère le groupe formel A de A. Comme A est
supersingulière
cela coïncide avec le groupe
p-divisible
de A. Cequi précède
montre que ~ Gi,i
x/
M oùGi,i
est le groupe formel standard de dimension1 et hauteur 2 et où M est
isomorphe
a ap.On utilise maintenant la
propriété
fonctorielle deSd, j 0 Zp
vu commeschéma formel sur
Zp.
Celareprésente
lestriplets
(A, i, B)
sur des schémasX où
p est
nilpotent.
Pour un tel schéma onpeut
remplacer
A par songroupe formel
Â.
Utilisant un théorème de Serre et
Tate,
à savoir :"il existe unebijection
entre l’ensemble des relèvements d’un schéma abélien et l’ensemble des relèvements de son groupe
p-divisible",
on constate quereprésente
les familles de groupes formels G avec 0-action et structure de niveau
f
(sur
un X oùp est nilpotent)
telles que(*)
On considère maintenantl’espace
des déformations de(8, Gl,l
x/ M).
D’après
Drinfeld cet espace de déformations estégal
à Au dessus de cet espace il existe une famille(0,
G).
Legroupe r =
(8’[1/p])*
opère
sur(0, G)
et Lafamille,
divisée par l’action der,
est une famille universelle sur Cela montre quePour la
partie
(*)
il n’existe pas de référenceexplicite.
Remarquons
finalement que le lien entre 0 et 0’(ou
bien D etD’)
est donné par le suivant. Prenons le cas A = E xE,
alorsfinalement que le lien entre 0 et 0’
(ou
bien D etD’)
est donné par le suivant. Prenons le cas A = E xE,
alorsoù est l’ordre maximal de
l’algèbre
dequaternions
H_ p
avecdis-criminant -p. Un calcul
explicite
montre alors queEndo
(A)
s’identifie à e’3.9 Le
graphe
dual]P+ Bà
de ®Fp
en termes del’arithmétique
de 0’ et D’.La méthode est la suivante. L’immeuble de Bruhat-Tits A
peut
êtreidentifié à l’arbre des 0’-idéaux à
gauche
de D’(modulo
pl).
Un 0’-idéal àgauche
M de D’ est normalisé si M 0ZI
=8’ ~ Z~
pour p. De~Mz ~ ~
est une arête si l’ordre deM1 /M2
estégal
àp2 .
Ensuite I‘ =
(0’[llp])*
opère
parmultiplication
àgauche.
L’ensemble(rB0)o
des sommets derBL1
est fini et son cardinal = h = le nombre desclasses de 0’.
A
chaque arête y
E onpeut
donner unelongueur
1(y) >
1. Soita le
point
doublecorrespondant
à y. Alors lecomplété
de l’anneau local en apossède
la formeZpoo
[ [X, Y] ]/(Xy -
pn).
Par définition1(y)
= n.On
peut
montrer que1(y)
= l’ordre du stabilisateur de y.Les nombres h et sont connus par des formules d’Eichler.
3.10 Un
exemple.
Soit p un nombre
premier,
p - lmod.l2. Onprend
d =2p
etf
= 1.Alors d’-=
-2 , D’ = l’algèbre
desquaternions
deHamilton,
h(B’)
= 1 et~(9~)*~ =
24.Alors =
{X, X’}.
Un calcul montre queLe groupe
(0’)*/f +- 11,
stabilisateur
du sommet(8’~
E(~)o,
permute
leset
4. Le théorème de Ribet
4.1 La variété de Jacobi d’une courbe admissible
Soit
C III (1
un nombrepremier)
une courbe admissible. Cela veut dire:(i)
C 0
QI
est une courbeprojective,
connexe etnon-singulière.
(ii)
Lessingularités
deC 0 Fi
sont despoints
doubles ordinaires. Alors la variété de Jacobi depossède
un modèle minimal de NéronOn sait que la condition "C admissible"
implique
que Jpossède
uneréduction stable. Cela veut dire que la
composante
(J 0
FL)°
de l’élémentneutre de
J 0
F,,
est une extension d’une variété abélienneA/FI
par untore
T/F,,.
Il existe donc une suite exacte de groupes
algébriques
Le groupe des caractères de T sera
appelé
le groupe des caractères deC 0
Qg.
Soit G legraphe
dual deC 8
FI.
Onpeut
montrer que le groupedes caractères de
C 0
QI
estcanoniquement
isomorphe
àHl(G, Z).
Le théorèmesuivant,
montré parRibet, complète
la démonstration(pro-posée
par G.Frey
et J.P.Serre)
de :"La
conjecture
deTaniayama-Weil implique
le dernier théorème de Fer-mat".4.2
THÉORÈME
(K.
Ribet87/88).
Soientp ~
q des nombrespremiers
et M > 1 un entier avec
(M, pq)
= 1 . SoientY,
L et X les groupes descaractères des courbes
Qp,
Xo(Mg) 0
Qq .
où naturelle veut dire que les
morphismes
commutent avec l’action desopérateurs
de Hecke surY,
L et X .DÉMONSTRATION.
Y ~
Hi
(graphe
dual deSpq,M
(DFp,
Z)
etd’après Drinfeld-Cerednik
ce
graphe
dual est oùil = l’immeuble de Bruhat- Tits de
PGL(2,
Qp);
est un ordre d’Eichler de niveau dans
=
l’algèbre
desquaternions sur Q
ramifiée enf oo, ql.
On fait maintenant une traduction de à et
r+~0.
Fixonsîo
=(Eo, Bo) E
Xo(M)(Fq),,.
C’est-à-dire,
Eo
est une courbeelliptique
su-persingulière
surF q
etBo
est un sous-groupecyclique
deEo
d’ordre M.Alors
End(Co)
=On pose
Vp(Co)
:=Tp(Eo) 0
Qp ;
c’est un espace vectoriel de dimension2 sur
Qp.
On considère des
paires
(î, a)
avec î E eta E
Q
tel que a induit unisomorphisme
T«S)
---+ Tl(£O)
pour p.
(Pour 1
= q il faut lire pourT9
le module de Dieudonné de la courbeelliptique
enquestion).
La condition sur a est
équivalente
à :La
paire
(f, a)
induit un réseaua(Tp(C»
CVp(£o)
(modulo
pa),
et doncun élément de
(0)0.
L’image
dans(rB0)o
nedépend
pas du choix de a. Onobtient ainsi une
bijection
Xo(M)(Fq)ss
={
classes desCI
~(rB0)o.
Ledegré
d’un a pour unepaire
(C, a)
est unepuissance
de p. En faisant la distinction entre lespuissances
paires
et lespuissances impaires
lr+BA.
Soit
Ml ~
M2
une arête de A. Pour un choix convenable despaires
(£1,a1), (C2, a2 )
cela veut dire :On
peut
supposer dans ce casdegré
cxl = etdegré
a2 =p impair.
Il s’ensuit
qu’une
arête(orientée)
der + Bd
est une classed’isomorphie
d’une
isogénie
À :Si
-C2
dedegré
p. Parce queCl =
(Ei , B1 )
etE2 =
(E2,B2), a
définit un élément(Ei ,
À-l(B2»
EXo(Mp)(Fq)ss.
Ontrouve ainsi une
bijection
entre(r+ B0)1
et Deplus
toutesles arêtes de
lr+BA
ont une orientation fixée.Soit G un
graphe fini,
connexe où pourchaque
arête z est donnée uneorientation par l’ordre
z(O),
z(1)
des sommets de z. Il existe une suiteexacte :
où les
morphismes
sont :et
Dans notre cas
spécial
Y =Hl(G, Z) , (G)l
=XO(MP)(Fq),,
et(G)o
est la réunion
disjointe
de deuxcopies
deNous comparons cela avec la réduction
Xo(Mpq) ~ FQ.
Cette courbe adeux
composantes,
chacuneisomorphe
àXo(Mp) 0
F9.
Lespoints
doubles de la réduction sont obtenus en identifiant lespoints
deXo(Mp)(F9)ss
dedeux
composantes
par la loi x Hx(P)
=Fr(x).
Cette
description
deXo(Mp) 0 F9
montre que L : :=Hl
(le
graphe
dual de
Fq, Z)
s’identifie au sous-groupe des éléments dedegré
0 de Demême,
X :=Hl
(le
graphe
dual deXo(Mq) ~ F q, Z)
s’identifie au sous-groupe des éléments dedegré
0 deLe
morphisme
a ci-dessus satisfaita(Y)
C L et l’on trouveainsi la suite exacte du théorème
(4.2).
L’action desopérateurs
de Heckesur
Y,
L et X se traduit facilement en termes deXo(M)(Fq)ss,’
l’onpeut
vérifier que la suite exacte(4.2)
est naturelle.Finalement,
il faut admettre une faiblesse dans la démonstration. Lescomposantes
irréductibles de la courbe ®Fp
sont définies surFp2
aulieu de
Fp.
Cela ne semble pastrop
gêner.
BIBLIOGRAPHIE
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