janvier 2018
1. CURRICULUMVITÆ. . . .2
Données personnelles . . . .2
Diplômes . . . .2
Postes occupés . . . .2
2. RECHERCHE SCIENTIFIQUE. . . .3
Thématiques . . . .3
Place dans mon unité . . . .3
Publications . . . .3
Recherches antérieures . . . .10
Recherches en cours . . . .20
Projets de recherche . . . .32
3. ENSEIGNEMENT,FORMATION ET DIFFUSION DE LA CULTURE SCIENTIFIQUE. . . .33
Encadrement de thèse . . . .33
Participation à l’enseignement . . . .34
Animation scientifique . . . .40
Vulgarisation . . . .41
Travaux d’expertise . . . .41
4. TRANSFERT TECHNOLOGIQUE,RELATIONS INDUSTRIELLES ET VALORISATION. . . .43
Contrats de recherche . . . .43
Autres contacts industriels . . . .44
5. ENCADREMENT,ANIMATION ET MANAGEMENT DE LA RECHERCHE. . . .45
Direction . . . .45
Administration scientifique . . . .46
Information Scientifique et Technique . . . .46
Serveurs Web et informatique . . . .49
1. Curriculum Vitae
Données personnelles
Date de naissance : 25 mars 1969
Lieu de naissance : Suresnes (Hauts-de-Seine) Nationalité : Française
Situation familiale : mariée, 2 enfants nés le 21 juillet 2004 Adresse professionnelle :
Laboratoire Jean Kuntzmann CS 40700,
38058 Grenoble Cedex 9 tel : 04 57 42 17 09
e-mail :Brigitte.Bidegaray@univ-grenoble-alpes.fr
Page web :http://ljk.imag.fr/membres/Brigitte.Bidegaray/
Diplômes
2001 : Habilitation à Diriger des Recherches
Contributions à l’électromagnétisme dans le domaine temporel. Modélisation classique et quantique en optique non linéaireprésentée par Pierre DEGONDet soutenue le 3 octobre 2001 à l’Université Paul Sabatier devant le jury composé de Naoufel BENABDALLAH, Antoine BOURGEADE, Jean-Pierre CROISILLE, Pierre DEGOND, Jean-Michel GHIDAGLIA, Laurence HALPERN, Jean-Claude SAUTet Jean-Paul VILA. 1994 : Doctorat
Étude qualitative d’équations d’ondes dispersivesdirigée par Jean-Claude SAUT, soutenue le 24 mai 1994 à l’Université Paris Sud devant le jury composé de Fabrice BETHUEL, Thierry CAZENAVE, Jean-Michel GHIDAGLIA, Jean GINIBRE, Jean-Claude GUILLOTet Jean-Claude SAUT.
1991 : Agrégation
Agrégation de mathématiques, option analyse numérique. 1991, rang 42e.
Postes occupés
2007– Chargée de Recherche CNRS, Laboratoire Jean Kuntzmann, CNRS UMR 5224, Grenoble.
2001–2006 Chargée de Recherche CNRS, Laboratoire de Modélisation et de Calcul, CNRS UMR 5523, Grenoble.
1995–2001 Chargée de Recherche CNRS, laboratoire Mathématiques pour l’Industrie et la Physique, CNRS UMR 5640, Toulouse.
1992–1995 Allocataire Moniteur Normalien, Université de Cergy-Pontoise.
1988–1992 Élève fonctionnaire de l’École Normale Supérieure de Cachan.
2. Recherche scientifique
Thématiques et mobilité thématique
Depuis le début de ma carrière je me consacre à l’étude deséquations aux dérivées partielles pour la physique. Le fait de s’intéresser à tous les maillons de l’étude mathématique d’un phénomène physique est une approche à laquelle je suis particulièrement attachée. J’ai développé cette méthodologie autour de l’élec- tromagnétisme non linéaire avec une dominante actuellement en optique non linéaire classique et quantique.
Mon activité comprend ainsi lamodélisation, l’analyse mathématiquedes modèles obtenus ainsi que leur simulation numérique. Récemment ces études se sont élargies à deux autres champ d’application : lemicro- magnétismeet lesmilieux granulaires.
Depuis plus de dix ans, j’ai en parallèle abordé le domaine de recherche totalement disjoint que constitue letraitement du signal pour les systèmes asynchrones. Les premières études ont tout d’abord été pure- ment pratique avec le développement d’algorithmes efficaces pour traiter des échantillons non uniformes.
Ce thème s’enrichit actuellement par de l’analyse mathématique et statistique, l’extension aux systèmes as- servis, et des collaborations industrielles.
Place dans mon unité
Je suis membre de l’équipe Équations aux Dérivées Partielles (EDP) du Laboratoire Jean Kuntzmann. J’ai dirigé cette équipe de janvier 2007 à mars 2012, date à laquelle j’ai transmis le flambeau à Emmanuel MAITRE, pour pouvoir me consacrer à la direction de l’Unité Mixte de Service MI2S, que j’ai assuré d’avril 2012 à décembre 2016. L’équipe EDP, qui vient de se restructurer pour laisser une autonomie au thème du calcul des variations, comporte huit permanents avec des thématiques diverses. Dans cette équipe, deux autres personnes traitent comme moi des applications à la physique : Clément JOURDANAet Stéphane LABBÉ. J’ai évidemment de nombreuses autres interactions avec les autres membres de mon équipe, et j’ai déjà collaboré avec d’autres personnes au LJK, notamment Guillaume JAMES(équipe BIPOP), Jérôme LELONGet Marianne CLAUSEL(équipe DAO) et Frédérique LEBLANC(équipe IPS).
Publications
A – Revues à comité de lecture
[A.1] Brigitte BIDÉGARAY,On a nonlocal Zakharov equation.Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Appli- cations,25(3), 247–278 (1995).
[A.2] Brigitte BIDÉGARAY,Invariant measures for some partial differential equations.Physica D,82(4), 340–364 (1995).
[A.3] Luc BERGÉ, Brigitte BIDÉGARAYet Thierry COLIN,A perturbative analysis of the time–envelope approxi- mation in strong Langmuir turbulence.Physica D,95(2/4), 351–379 (1996).
[A.4] Brigitte BIDÉGARAY,On the Cauchy problem for systems occurring in nonlinear optics. Advances in Diffe- rential Equations,3(3), 473–496 (1998).
[A.5] Brigitte BIDÉGARAY, The Cauchy Problem for Schrödinger–Debye equations.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences,10(3), 307–315 (2000).
[A.6] Brigitte BIDÉGARAY, Antoine BOURGEADEet Didier REIGNIER,Introducing physical relaxation terms in Bloch equations.Journal of Computational Physics,170(2), 603–613 (2001).
[A.7] Christophe BESSEet Brigitte BIDÉGARAY,Numerical study of self-focusing solutions to Schrödinger–Debye system.Mathematical Modelling and Numerical Analysis,35(1), 35–55 (2001).
[A.8] Christophe BESSE, Brigitte BIDÉGARAYet Stéphane DESCOMBES,Order estimates in time of splitting me- thods for the nonlinear Schrödinger equation.SIAM Journal on Numerical Analysis,40(1), 26–40 (2002).
[A.9] Brigitte BIDÉGARAYet Jean-Michel GHIDAGLIA,Multidimensional corrections to cell-centred finite volume methods for Maxwell equations.Applied Numerical Mathematics,44(3), 281–298 (2003).
[A.10] Brigitte BIDÉGARAY,Time discretizations for Maxwell–Bloch equations.Numerical Methods for Partial Differential Equations,19(3), 284–300 (2003).
[A.11] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, François CASTELLAet Pierre DEGOND,From the Bloch model to the rate equations.Discrete and Continuous Dynamical Systems A,11(1), 1–26 (2004).
[A.12] Christophe BESSE, Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Antoine BOURGEADE, Pierre DEGOND et Olivier SAUT,A Maxwell–Bloch model with discrete symmetries for wave propagation in nonlinear crystals: an applica- tion to KDP.Mathematical Modelling and Numerical Analysis,38(2), 321–344 (2004).
[A.13] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, François CASTELLA, Éric DUMASet Marguerite GISCLON,From Bloch model to the rate equations II: the case of almost degenerate energy levels.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences,14(12), 1785–1817 (2004).
[A.14] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Jean-Claude SAUT,On the propagation of an optical wave in a photore- fractive medium.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences,17(11), 1883–1904 (2007).
[A.15] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Stability of FD–TD schemes for Maxwell–Debye and Maxwell–Lorentz equa- tions.SIAM Journal on Numerical Analysis,46(5), 2551–2566 (2008).
[A.16] Laurent FESQUETet Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,IIR Digital Filtering of Non-uniformly Sampled Si- gnals via State Representation.Signal Processing,90(10), 2811–2821 (2010).
[A.17] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Positiveness and Pauli exception principle in raw Bloch equations for quan- tum boxes.Annals of Physics,325(10), 2090–2102 (2010).
[A.18] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,Non-uniform filter interpolation in the frequency do- main.Sampling Theory in Signal and Image Processing,10(1–2), 17–35 (2011).
[A.19] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Éric DUMASet Guillaume JAMES,From Newton’s cradle to the discrete p-Schrödinger equation.SIAM Journal on Mathematical Analysis,45(6), 3404–3430 (2013).
[A.20] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Kole KEITA,A nonlinear Bloch model for Coulomb interaction in quantum dots.Journal of Mathematical Physics,55(2), 021501 (2014).
[A.21] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Quentin JOUETet Stéphane LABBÉ,Static ferromagnetic materials: from the microscopic to the mesoscopic scale.Communications in Contemporary Mathematics,16(1), 1350013 :1–
24 (2014).
[A.22] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Marianne CLAUSEL.Data driven sampling of oscillating signals.Sam- pling Theory in Signal and Image Processing,13(2), 175–187 (2014).
soumises :
[A.23] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Éric DUMAS,Impact of Metallic Interface Description on Sub-wavelength Cavity Mode Computations.15 pages.
[A.24] Marc E. SONGOLO et Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Nonstandard finite difference schemes for the two- level Bloch model.21 pages.
B – Conférences invitées dans des congrès
[I.1] Brigitte BIDÉGARAY,Analyse mathématique et numérique des équations de Schrödinger–Debye,in Progrès récents autour des équations de Schrödinger non linéaires, Orsay, novembre 1998.
[I.2] Brigitte BIDÉGARAY,Modèles d’interaction radiation–matière en milieu résonnant,in 5e rencontre du non- linéaire, Paris, mars 2002.
[I.3] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Numerical stability for linear dispersive media via computer algebra,in 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM2011), Vancouver, BC, Canada, juillet 2011. Minisymposium "Numerical Methods for Electromagnetic Wave Propagation in Dispersive Media".
[I.4] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Quantum models for laser-matter interaction,in Mathematical Methods and Models in Laser Filamentation (Filamentation2014), Montréal, Québec, Canada, mars 2014.
[I.5] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Compression and signal processing using level-crossing sampling,in 5th In- ternational Conference on Computational Harmonic Analysis (ICCHA5), Nashville, USA, mai 2014.
[I.6] Laurent FESQUET, Tugdual LEPELLETER, Amani DARWISH, Taha BEYROUTHYet Brigitte BIDÉGARAY- FESQUET,Mitigating the data-deluge by an adequate sampling for low-power systems,in 5th International Conference on Computational Harmonic Analysis (ICCHA5), Nashville, USA, mai 2014.
[I.7] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Éric DUMASet Guillaume JAMES,An asymptotic model for small amplitude solutions to Newton’s cradle,in SIAM Conference on Nonlinear Waves and Coherent Structures, Cam- bridge, Royaume-Uni, août 2014. Minisymposium "Nonlinear Dynamics of Granular Crystals".
[I.8] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Noise and offset in the IIR filtering of event-based sampled data,in First IEEE International Conference on Event-based Control, Communication, and Signal Processing (EBCCSP 2015), Cracovie, Pologne, juin 2015.
C – Actes de colloques à comité de lecture
[P.1] Brigitte BIDÉGARAY,On a nonlocal Zakharov equation.in Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS’92), Dubna, Russie. 348–355, ed. Makhankov et al., World Scientific (1993).
[P.2] Brigitte BIDÉGARAYet Jean-Michel GHIDAGLIA,Second order corrections to the finite volume upwind scheme for the 2D Maxwell equations.in Finite Volumes For Complex Applications II (FVCA’99), Duisbourg, Allemagne. 483–490, ed. Vilsmeier et al., Hermes (1999).
[P.3] Brigitte BIDÉGARAY, Antoine BOURGEADE, Didier REIGNIER et Richard ZIOLKOWSKI, Multi-level Maxwell–Bloch simulations. Fifth international conference on mathematical and numerical aspects of wave propagation (Waves 2000), Santiago de Compostela, Espagne. 221–225, ed. Bermúdez et al., SIAM (2000).
[P.4] Brigitte BIDÉGARAY,Modèles d’interaction radiation–matière en milieu résonnant.in Compte-rendus de la 5e Rencontre du non linéaire 2002, Paris. 1–6, ed. Pomeau et al., Non linéaire Publications, Orsay (2002).
[P.5] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Von-Neumann stability analysis of FD-TD methods in complex media.in 7th International Symposium on Electric and Magnetic Fields (EMF 2006), Aussois. 16/1–4, ed. Meunier et al., CD-ROM (2007).
[P.6] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,A non local Schrödinger model for the propagation of waves in a photorefractive medium.in 8th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Waves 2007), Reading, Angleterre. 318–320, ed. Biggs et al. (2007).
[P.7] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,A fully non-uniform approach to FIR filtering.in 8th International Conference on Sampling Theory and Applications (SampTa’09), Marseille, France. 1–4, CD-ROM (2009).
[P.8] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Éric DUMAS,Impact of Metallic Interface Description on Sub-wavelength Cavity Mode Computations.in 9th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Waves 2009), Pau, France. 394–395, ed. Barucq et al., INRIA (2009).
[P.9] Laurent FESQUET, Gilles SICARD et Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Targeting ultra-low power consump- tion with non-uniform sampling and filtering.in IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS2010) , Paris, France. 3585–3588, IEEE (2010).
[P.10] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,Non-uniform filter design in the log-scale.9th Inter- national Conference on Sampling Theory and Applications (SampTa’11), Singapour, 2011.
[P.11] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET et Marianne CLAUSEL. Levelcrossing sampling of strongly monoHölder functions. 10th International Conference on Sampling Theory and Applications (SampTa’13), Brême, Allemagne. 193–196, EURASIP (2013).
[P.12] Jean SIMATIC, Laurent FESQUETet Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Correctly Sizing FIR Filter Architec- ture in the Framework of Non-uniform Sampling.11th International Conference on Sampling Theory and Applications (SampTa’15), Washington DC, USA. 269–273, IEEE (2015).
[P.13] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Noise and offset in the IIR filtering of event-based sampled data.1st Inter- national Conference on Event-Based Control, Communication, and Signal Processing (EBCCSP 2015), Cracovie, Pologne. IEEE (2015).
[P.14] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET.Levels, peaks, slopes... which sampling for which pur- pose ?2nd International Conference on Event-Based Control, Communication, and Signal Processing (EBCCSP 2016), Cracovie, Pologne. IEEE (2016).
[P.15] Fairouz ZOBIRI, Nacim MESLEMet Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Event-Based Sampling Algorithm for Setpoint Tracking Using a State-Feedback Controller.2nd International Conference on Event-Based Control, Communication, and Signal Processing (EBCCSP 2016), Cracovie, Pologne. IEEE (2016).
[P.16] Fairouz ZOBIRI, Nacim MESLEMet Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Event-Triggered Stabilizing Control- lers Based on an Exponentially Decreasing Threshold.3rd International Conference on Event Based Control, Communication, and Signal Processing (EBCCSP 2017), Funchal, Portugal. IEEE (2017).
D – Publications dans des revues sans comité
[a.1] Brigitte BIDÉGARAY,Étude d’équations intervenant en optique non linéaire.C. R. Acad. S. Série I,319(4), 361–364 (1994).
E – Communication à des congrès, symposium
[C.1] Brigitte BIDÉGARAY.The Cauchy Problem for the Maxwell–Bloch equations.European Conference on Non- linear Optics and Guided Waves, Edimbourg, Ecosse, août 1994.
[C.2] Brigitte BIDÉGARAY et Jean-Michel GHIDAGLIA.Une méthode de volumes finis 2-D pour les équations de Maxwell.29ème congrès national d’analyse numérique, Larnas, Ardèche, mai 1997.
[C.3] Brigitte BIDÉGARAY.Étude analytique et numérique du système de Schrödinger–Debye.30e congrès national d’analyse numérique, Arles, mai 1998.
[C.4] Brigitte BIDÉGARAYet Jean-Michel GHIDAGLIA.Multidimensional corrections to the upwind scheme for the 2D Maxwell equations.Eighth International Conference on Hyperbolic Problems – Theory, Numerics, Applications, Magdebourg, Allemagne, mars 2000.
[C.5] Brigitte BIDÉGARAY.Simulation des équations de Maxwell–Bloch en optique quantique.1er congrès SMAI (SMAI 2001), Pompadour, Corrèze, mai 2001.
[C.6] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Stabilité de schémas aux différences finies pour la propagation de la lumière dans les milieux complexes.38e congrès national d’analyse numérique, Guidel, Morbihan, mai 2006.
[C.7] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Quantum modeling of laser–quantum dots interaction.Session CIRM 2008 du GDR MOAD, Grenoble, octobre 2008.
[C.8] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Nonlinear Bloch equations for laser-quantum dot interactions.2nd Interna- tional Workshop on Laser–Matter Interaction (WLMI2010), Porquerolles, septembre 2010.
[C.9] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Éric. DUMAS.Impact of metallic interface description on sub-wavelength cavity mode computations.Polaritons, Surface plasmons, Resonances : Sub-wavelength interaction in op- tics (Polaritons 2011), Marseille, avril 2011.
[C.10] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET.Non-Uniform Filter Design in the Log-Scale.9th in- ternational conference on Sampling Theory and Applications (SampTa’11), Singapour, mai 2011.
[C.11] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Kole KEITA. Modeling Coulomb interactions in a quantum box Bloch model.3rd International Workshop on Laser–Matter Interaction (WLMI 2012), Porquerolles, juin 2012.
[C.12] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET et Frédérique LEBLANC.Recalage de courbes non uniformément échan- tillonnées.6e Biennale Française des Mathématiques Appliquées et Industrielles (SMAI 2013), Seignosse, mai 2013.
[C.13] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Éric DUMAS et Guillaume JAMES,Un modèle asymptotique pour les so- lutions de faible amplitude du berceau de Newton,in Congrès National d’Analyse Numérique, Carry-le- Rouet, avril 2014.
[C.14] Ghislain PICARD, Ludovic BRUCKER, Florent DUPOND, Alexandre ROY, Nicolas CHAMPOLLION, Laurent ARNAUD, Michel FILY, Alain ROYER, Alexandre LANGLOIS, Henning LOEWE et Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Snow micro-structure to micro-wave modeling, in Microstructure in Snow Micro- wave Radiative Transfer Workshop (MICROSNOW), Reading, Angleterre, août 2014.
[C.15] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent TESTARD,Traitement de signaux non uniformes : application en électronique,in 7e Biennale Française des Mathématiques Appliquées et Industrielles, Les Karellis, juin 2015.
[C.16] Lucie ALBARET, Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Pierre HÉBERT, Fabrice JOUANOT, Alireza MOUSSAEI
et Marie-Christine ROUSSET,PerSCiDO_Grenoble_Alpes : Principes et fonctionnalités d’une plateforme ou- verte de partage de jeux de données,in Archives ouvertes et bases de publications : exploration et analyse des sources de données pour la recherche et ses environnements, Paris, mai 2016.
[C.17] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Nacim MESLEM et Fairouz ZOBIRI,Suivi de trajectoire évènementiel,in 8e Biennale Française des Mathématiques Appliquées et Industrielles, La Tremblade, juin 2017.
F – Séminaires, workshops
[W.1] Brigitte BIDÉGARAY.Singularités des schémas dispersifs d’après Estep, Loss et Rauch.Groupe de travail dispersif, Orsay, novembre 1991.
[W.2] Brigitte BIDÉGARAY.Singularités des schémas dispersifs.Séminaire du CMLA, Cachan, février 1992.
[W.3] Brigitte BIDÉGARAY.Une mesure invariante pour une équation de Schrödinger non linéaire, d’après Zhidkov.
Groupe de travail dispersif, Orsay novembre 1992.
[W.4] Brigitte BIDÉGARAY.Problème de Cauchy pour une équation de Zakharov non linéaire.Séminaire du CMLA, Cachan, décembre 1992.
[W.5] Brigitte BIDÉGARAY.Mesures invariantes pour des systèmes hamiltoniens.Séminaire du CMLA, Cachan, janvier 1994.
[W.6] Brigitte BIDÉGARAY.Mesures invariantes pour des systèmes hamiltoniens. Séminaire du laboratoire de Mathématiques Appliquées, Bordeaux, février 1994.
[W.7] Brigitte BIDÉGARAY.Le Problème de Cauchy pour des Équations de l’Optique non linéaire.Séminaire du laboratoire MIP, Toulouse, mars 1995.
[W.8] Brigitte BIDÉGARAY.Le Problème de Cauchy pour des Équations de l’Optique non linéaire.Séminaire d’ana- lyse numérique (St Jérome), Marseille, mars 1995.
[W.9] Brigitte BIDÉGARAY.Résolution des équations de Maxwell dans un milieu non homogène par une méthode de volumes finis.Groupe de travail numérique, Cachan, avril 1995.
[W.10] Brigitte BIDÉGARAY.Le Problème de Cauchy pour des Équations de l’Optique non linéaire.Séminaire du laboratoire de Mathématiques Appliquées, Bordeaux, octobre 1995.
[W.11] Brigitte BIDÉGARAY.Une méthode de volumes finis avec flux exacts pour la résolution des équations de Maxwell.Groupe de travail ’Transport’, Toulouse, novembre 1995.
[W.12] Brigitte BIDÉGARAY.Existence de solutions aux équations de Maxwell–Bloch.Groupe de travail, CEA- CESTA, décembre 1995.
[W.13] Brigitte BIDÉGARAY. Un théorème d’existence d’ondes solitaires dans les réseaux (d’après G. Friesecke et J.A.D. Wattis).Journées ’Propagation non linéaire guidée’, GDR POAN, Dijon, mars 1996.
[W.14] Brigitte BIDÉGARAY. Existence d’ondes solitaires sur des réseaux (d’après G. Friesecke et J.A.D. Wattis).
Séminaire du laboratoire MIP, Cachan, mais 1996.
[W.15] Brigitte BIDÉGARAY. Existence d’ondes solitaires sur des réseaux (d’après G. Friesecke et J.A.D. Wattis).
Séminaire du laboratoire MIP, Toulouse, juin 1996.
[W.16] Brigitte BIDÉGARAY.Modélisation en optique non linéaire.Groupe de travail, Toulouse, juin 1996.
[W.17] Brigitte BIDÉGARAY.Développements asymptotiques pour les équations d’Euler.Groupe de travail ’Trans- port’, Toulouse, avril 1997.
[W.18] Brigitte BIDÉGARAY.Modélisation de milieux Kerr avec retard en optique non linéaire.Groupe de travail
’Transport’, Toulouse, janvier 1998.
[W.19] Brigitte BIDÉGARAY.Analyse mathématique et numérique des équations de Schrödinger–Debye.Journées Bordeaux-Pau-Toulouse, Anglet, juin 1999.
[W.20] Brigitte BIDÉGARAY.Analyse mathématique et numérique des équations de Schrödinger–Debye.Groupe de travail ’Transport’, Toulouse, novembre 1999.
[W.21] Brigitte BIDÉGARAY, Antoine BOURGEADEet Didier REIGNIER.Modèles de relaxation pour les équations de Bloch.Groupe de travail ’Transport’, Toulouse, novembre 1999.
[W.22] Brigitte BIDÉGARAY. Mesures invariantes pour NLS. Séminaire Analyse Numérique, Orsay, février 2000.
[W.23] Christophe BESSE et Brigitte BIDÉGARAY. Approximation numérique de solutions du système de Schrödinger–Debye.Workshop du GDR EAPQ, Garchy, avril 2000.
[W.24] Brigitte BIDÉGARAY.Introduction de termes de relaxation dans les équations de Maxwell–Bloch.Séminaire Équations aux Dérivées Partielles, Grenoble, mai 2000.
[W.25] Brigitte BIDÉGARAY.Mehrdimensionale Verbesserungen von Finite-Volumen Verfahren zur Approximation vom 2D Maxwell Gleichungen.Institut für Analysis und Numerik, Magdebourg, Allemagne, juin 2000.
[W.26] Brigitte BIDÉGARAY.Le modèle de Maxwell–Bloch en Optique quantique. Groupe de Travail Équations aux Dérivées Partielles et Applications, Lyon, octobre 2000.
[W.27] Brigitte BIDÉGARAY.De Maxwell–Bloch à Schrödinger non linéaire : une hiérarchie de modèles en optique quantique.Séminaire d’Analyse Numérique (GTN, 4 heures), Orsay, janvier 2001.
[W.28] Brigitte BIDÉGARAY.Approche microscopique de la propagation des faisceaux laser par résolution des équa- tions de Maxwell–Bloch.Journée de modélisation en optique, Bordeaux, avril 2001.
[W.29] Brigitte BIDÉGARAY.Approche microscopique de la propagation des faisceaux laser par résolution des équa- tions de Maxwell–Bloch.Séminaire Propagation, CEA-Saclay, juin 2001.
[W.30] Brigitte BIDÉGARAY.Relaxations en optique quantique. Problèmes mathématiques et numériques.Séminaire Équations aux Dérivées Partielles, Rennes, janvier 2002.
[W.31] Brigitte BIDÉGARAY.Modèles d’interaction radiation–matière en milieu résonnant.Séminaire de l’équipe mixte CEA-CNRS Nanophysique et Semiconducteurs, CEA Grenoble, février 2002.
[W.32] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET. Modèles quantiques pour l’interaction laser–matière en mode résonnant.
Workshop du GDR EAPQ, Marseille, avril 2002.
[W.33] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Des équations de Bloch aux équations de taux.Séminaire de l’équipe EDP, La Grave, avril 2003.
[W.34] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Modélisation mathématique en optique classique et quantique.Rencontres LPM2C/LMC Nanosciences, Grenoble, mai 2003.
[W.35] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Modélisation de matériaux photoréfractifs. Journées EDP Rhône–Alpes, Saint–Étienne, novembre 2006.
[W.36] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Automatisation de l’analyse de stabilité linéaire : une illustration en électro- magnétisme, Séminaire POems, INRIA Rocquencourt, janvier 2007.
[W.37] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Propagation d’un laser dans un matériau photoréfractif, Séminaire de phy- sique mathématique, Institut Fourier, Grenoble, février 2007.
[W.38] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Un modèle de type Schrödinger pour la propagation dans les milieux photo- réfractifs, Séminaire Analyse numérique et E.D.P., Orsay, janvier 2008.
[W.39] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Automatisation de l’analyse de stabilité linéaire : une illustration en électro- magnétisme, Séminaire MAD, Grenoble, avril 2008.
[W.40] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Quantum modeling of laser–quantum dots interaction, Session CIRM 2008 du GDR MOAD, Grenoble, octobre 2008.
[W.41] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Un modèle de type Schrödinger pour la propagation dans les milieux photo- réfractifs, Séminaire de Mathématiques appliquées, Saint-Étienne, mars 2010.
[W.42] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Impact de la description des interfaces métalliques sur le calcul de mode de cavité sub-longueur d’onde, MAD Circus, Grenoble, juin 2010.
[W.43] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET, Éric DUMASet Guillaume JAMES.Modèles asymptotiques du berceau de Newton, MAD Circus, Grenoble, juin 2014.
[W.44] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Maxwell–Bloch models for laser–matter interactions, Colloquium du La- boratoire Charles Coulomb, Montpellier, mars 2015.
[W.45] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET.Traitement du signal évènementiel (ou "Je travaille dans l’évènementiel"), MAD Circus, Grenoble, juin 2017.
G – Livres et ouvrages
[L.1] Brigitte BIDÉGARAYet Lionel MOISAN,Petits problèmes de Mathématiques Appliquées et de Modélisation.
145 pages. Collection Scopos 9, Springer (2000).
[L.1bis] Jean-Michel GHIDAGLIA, François SAUVAGEOT, Brigitte BIDÉGARAYet Lionel MOISAN,L’Intégrale de Scopos, Mathématiques, Classes de spéciales. Petits problèmes d’analyse/Petits problèmes de géométrie et d’al- gèbre/Petits problèmes de mathématiques appliquées et de modélisation.Collection Scopos 4/7/9, Springer (2000).
[L.2] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Hiérarchie de modèles en optique quantique. De Maxwell–Bloch à Schrödinger non linéaire.XIV+175 pages. Collection Mathématiques et Applications 49, Springer (2006).
H – Chapitres dans les ouvrages
[CL.1] Laurent FESQUETet Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Digital filtering with non-uniformly sampled data : from the algorithm to the implementation,in Marek MISKOWICZed., Event-Based Control and Signal Pro- cessing, CRC Press, 2015.
soumis :
[CL.2] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,A new synthesis approach for non-uniform filters in the log-scale: proof of concept.12 pages, 2017.
I – Logiciels
[S.1] Brigitte BIDÉGARAY,Code de résolution des équations de Maxwell bi-dimensionnelles par approche volumes- finis avec corrections multidimensionnelles(2000).
[S.2] Brigitte BIDÉGARAY,Code de résolution des équations de Maxwell–Bloch uni-dimensionnelles, multi-niveaux (2001).
[S.3] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,SPASS V1.0: Signal Processing for Asynchronous Si- gnal Systems(2006).
[S.4] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,NAUtil: von Neuman Analysis Utilities. V1.0(2006).
[S.5] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,SPASS V2.0: Signal Processing for Asynchronous Si- gnal Systems(2010).
[S.6] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUETet Laurent FESQUET,SPASS V2.1: Signal Processing for Asynchronous Si- gnal Systems(2012). Déposé à l’APP sous l’IDDN : FR.001.080019.000.S.P.2012.000.31235.
J – Autres : Rapports techniques
[R.1] Brigitte BIDÉGARAY,Calcul formel de corrections multi-dimensionnelles pour des schémas volumes-finis collo- calisés pour les équations de Maxwell.Rapport technique, MIP 01.13 (2001).
[R.2] Brigitte BIDÉGARAY-FESQUET,Analyse de von Neumann de schémas aux différences finies pour les équations de Maxwell–Debye et de Maxwell–Lorentz.Rapport technique, LMC-IMAG 1077-M (2005).
Recherches antérieures
1. Physique des plasmas . . . .10
2. Mesures invariantes et quasi-récurrence . . . .11
3. Optique non linéaire et quantique . . . .11
4. Analyse numérique . . . .18
1. Physique des plasmas (1991–1995)
L’équation de Zakharov non locale a été dérivée dans le contexte de la turbulence de Langmuir qui est l’un des phénomènes rencontrés en physique des plasmas. Cette équation peut s’écrire sous la forme
( iϕt+ ∆ϕ = ∇∆−1∇.(nϕ), 1
λ2ntt−∆n = ∆|ϕ|2.
Son étude est naturellement liée à celle du système local correspondant (où∇∆−1∇.est remplacé par l’iden- tité) et à l’équation cubique de Schrödinger qui en est la limite formelle quandλtend vers l’infini.
J’ai réalisé deux travaux sur cette équation. Le premier consistait à étudier le problème de Cauchy pour la version non locale de cette équation dans le prolongement d’études effectuées dans le cadre local. Le deuxième concerne la justification de l’approximation d’enveloppe lentement variable qui est la dernière des étapes de la dérivation de ce modèle.
1.1. Problème de Cauchy pour le système non local (1991–1992) Publications associées : [A.1], [P.1], [W.4].
Seul le système local avait été étudié. Il s’agissait donc de voir quels résultats peuvent être prolongés au cas non local qui est le vrai cas physique. J’ai obtenu des résultats d’existence et d’unicité pour leproblème de Cauchy pour cette équation dans divers espaces de Sobolev. J’ai tout d’abord considéré des solutions faibles en modifiant la preuve de Tohru OZAWAet Yoshio TSUTSUMI1faite dans le contexte local. J’ai ensuite prouvé que le problème de Cauchy est bien posé pour des solutions plus régulières en utilisant l’équivalent non lo- cal d’une transformation due à Steven H. SCHOCHET et Michael I. WEINSTEIN2 transformant le système étudié en la perturbation dispersive d’un système hyperbolique. La présence du terme non local introduit de nombreuses difficultés supplémentaires qui ne se résolvent que grâce à la manipulation délicate de com- mutateurs. Dans le cas de ces solutions régulières, j’ai justifié rigoureusement lepassage à la limitequand λtend vers l’infini dans ces équations. Les solutions du système de Zakharov non local tendent alors vers celles de l’équation de Schrödinger cubique.
1.2. Étude de l’approximation d’enveloppe (1994–1995)
Collaborateurs : Luc BERGÉ(CEA) et Thierry COLIN(MAB, Bordeaux).
Publication associée : [A.3].
Il s’agit de l’étude du problème de Cauchy local en temps pour le système
1
ω2Ett−2iEt+ ∆E = −nE, 1
c2ntt−∆n = ∆|E|2.
1. Tohru OZAWAet Yoshio TSUTSUMI,Existence and Smoothing Effect of Solutions for the Zakharov Equations,Publ. Res. Inst. Math. Sci., 28(3), 329–361 (1992).
2. Steven H. SCHOCHETet Michael I. WEINSTEIN,The Nonlinear Schrödinger Limit of the Zakharov Equations Governing Langmuir Tur- bulence,Communications in Mathematical Physics,106, 569–580 (1986).
Une première partie consiste à dériver cette équation et à préciser les hypothèses physiques qui corres- pondent exactement àω → ∞etc → ∞, ce qui demande de dégager plusieurs échelles de temps. Ensuite, nous montrons que le problème est bien posé localement en temps dans des espaces de Sobolev suffi- samment réguliers (algèbres). Le but étant de faire tendreω ou cvers+∞, toute la difficulté réside dans l’écriture d’estimations uniformes enω ou en c. Ceci demande d’utiliser finement les propriétés régulari- santes de l’équation des ondes et actuellement nous ne savons pas effectuer des estimations uniformes à la fois enωet enc. Enfin, nous obtenons desrésultats de convergencedans ces mêmes espaces lorsquecouω tendent vers+∞(ce deuxième cas étant nettement plus délicat), ainsi qu’un théorème d’existence globale en dimension 1 d’espace àc etω fixés siω est suffisamment grand. Des cas particuliers de cette équation avaient déjà été étudiés. En effet, si on prendω=∞, on retrouve l’équation de Zakharov et si on posec=∞ on obtient l’approximation d’enveloppe pour l’équation de Schrödinger cubique, étudiée par Luc BERGÉet Thierry COLIN3.
2. Mesures invariantes et quasi-récurrence (1992–1993)
Publications associées : [A.2], [W.3,W.5,W.6,W.22].
La motivation de ce travail est d’expliquer le phénomène de récurrence de Fermi–Pasta–Ulam. Ce phé- nomène, observé aussi bien numériquement qu’expérimentalement, est le retour de certains systèmes phy- siques à un état proche de leur état initial et ce périodiquement en temps. Pour appréhender de manière théo- rique ce phénomène de quasi-récurrence, on construit desmesures gaussiennes sur l’espace des phasesqui restent invariantes par le flot associé à l’équation considérée. La construction de ces mesures est également intéressante en soi. Une telle construction s’applique à différentssystèmes hamiltoniens en dimension un comme l’équation de Schrödinger non linéaire ou l’équation des ondes. Comme on observe ce phénomène numériquement, et donc pour des espaces de phases de dimension finie, j’ai particulièrement étudié le cas de la dimension finie. On traite alors le cas des méthodes de type Galerkin, quelques schémas aux diffé- rences finies ainsi que des méthodes spectrales ou pseudo-spectrales pour les équations de Schrödinger non linéaire, des ondes et de Zakharov. Il faut rapprocher ce travail de ceux de Peter E. ZHIDKOV4 5et de ceux de Jean BOURGAIN6qui sont semblables. De tels résultats s’obtiennent grâce à une théorie d’existence et d’uni- cité globales en temps dans des espaces relativement grands (telsL2) et avec des données périodiques aux bords. Ces résultats ont été obtenus par Jean BOURGAINpour des équations telles Schrödinger non linéaire, Korteweg–de Vries ou Zakharov.
3. Optique non linéaire et quantique (1993–)
La fin de ma thèse a été consacrée à l’étude de deux systèmes issus de l’optique non linéaire. C’est le thème principal de mon habilitation à diriger des recherches et a des prolongements dans mes recherches actuelles.
3.1. Problème de Cauchy pour les systèmes de Schrödinger–Debye et de Schrödinger–Bloch (1993–1996) Publications associées : [A.4,A.5], [L.1], [a.1], [C.1], [W.7,W.8,W.10,W.18,W.19,W.20].
L’étude conjointe de ces deux systèmes vient de la grande similitude de leur aspect algébrique mais notre prototype, le système de Schrödinger–Debye,
Az+At−i∇21A+inA= 0, τ nt+n=ε|A|2,
(qui modélise la propagation d’une onde électromagnétique en approximation paraxiale dans un milieu Kerr avec retard) s’est avéré à la fois très complexe à étudier, comme l’ont révélé des études ultérieures, et bien
3. Luc BERGÉet Thierry COLIN,A singular perturbation problem for an envelope equation in plasma physics,Physica D,84(3/4), 437–459 (1995).
4. Peter E. ZHIDKOV,On invariant measures for some infinite-dimensional dynamical systems,Annales de l’Institut Henri Poincaré, Phy- sique Théorique,62(3), 267–287 (1995).
5. Peter E. ZHIDKOV,Korteweg–de Vries and Nonlinear Schrödinger Equations : Qualitative Theory,Lecture Notes in Mathematics, vo- lume 1756, Springer (2001).
6. Jean BOURGAIN,Periodic Nonlinear Schrödinger Equation and Invariant Measure,Communications in Mathematical Physics,166(1), 1–26 (1994).
plus simple que celui de Schrödinger–Bloch à deux niveaux
Az+At−i∇21A+A=iL, Lt+γ1L=iAN,
Nt+γ2(N−N0) =i(A∗L−AL∗),
qui modélise la propagation d’une onde électromagnétique en approximation paraxiale dans un milieu décrit par les équations de Bloch (dont il était question ci-dessus) dans le cas où les atomes sont supposés n’avoir que deux niveaux d’énergieintéressants.
J’ai démontré l’existence et l’unicité de solutions pour leproblème de Cauchy. J’utilise pour cela une méthode de point fixe dans différents cadres fonctionnels. Il s’agit tout d’abord de considérer des solutions régulières, à savoir appartenant àL∞(0, T;Hs(R2))oùsest suffisamment grand pour que l’espace de So- bolevHssoit une algèbre. Dans le cas de l’équation de Schrödinger–Debye, j’étudie également le cas de la régularitéH1etL2, c’est-à-dire des solutions faibles. Si on passe formellement à lalimite dans l’équation de Schrödinger–Debye quandτtend vers 0, on obtient l’équation cubique de Schrödinger. J’ai montré qu’un tel passage est bien licite aussi bien pour des solutions régulières que pour des solutions faibles. Mon atten- tion s’est également portée sur des systèmes particuliers, où l’on néglige différents termes dans les équations.
C’est le cas de l’hypothèse d’approximation adiabatique que je développe. Ces équations ont déjà été étu- diées mais sous des angles très différents (solitons, attracteurs) en considérant des conditions aux bords périodiques en une dimension et en négligeant parfois des termes dans l’équation. Je considère l’espaceR3 entier, ce qui fait intervenir l’aspect dispersif de ces équations.
Tous les théorèmes que j’ai montrés sur les équations de Schrödinger–Debye et Schrödinger–Bloch sont aisément généralisables à toute une famille de systèmes faisant intervenir un plus grand nombre d’équations du même type et qui correspondent à des modélisations physiques souvent plus réalistes (par exemple, plus de deux niveaux d’énergie).
Les espaces dans lesquels ces solutions faibles du système de Schrödinger–Debye étaient étudiées dans ce premier article permettaient certes de conserver la régularité initiale pour l’enveloppe du champAmais pas pour l’autre variablen. Nous voulions remédier à ceci notamment pour pouvoir démontrer la convergence de schémas numériques. En effet, l’étude duproblème de Cauchy global ou de l’explosion en temps fini pour ces équations semble hors de portée actuellement. En effet, les méthodes classiques de prolongement global en temps (méthodes d’énergie) ou les méthodes de démonstration d’explosion (méthode du Viriel, solutions auto-similaires) se semblent pas s’adapter au cas présent, malgré l’aspect inoffensif des équations.
C’est pourquoi une direction de recherche consiste à pronostiquer le comportement des solutions par une étude numérique (cf.infra).
Une nouvelle analyse dans d’autres espaces fonctionnels du système de Maxwell–Debye a été effectuée utilisant une forme intégrale s’inspirant des méthodes utilisées pour le système de l’équation des ondes non linéaire. La régularité des données initiales est alorsH2pour l’enveloppeAetL4pour la variablen. En cela, le présent résultat n’est ni meilleur ni moins bon que les résultats précédents, il est seulement plus adapté à une analyse mathématique des schémas numériques.
N.B. : Alors que j’avais utilisé les termes d’équations de Maxwell–Debye et Maxwell–Bloch dans mon pre- mier article et à l’encontre des usages de la littérature de la communauté des physiciens, j’ai été amenée à utiliser le terme d’équation de Schrödinger–Debye et de Schrödinger–Bloch dans mes publications ulté- rieures pour mieux correspondre à la nature mathématique des équations et aussi pour éviter la confusion avec le cas où c’est bien l’équation de Maxwell qui est couplée avec un modèle pour le milieu.
3.1. Simulation numérique du système de Schrödinger–Debye (1996–2000) Collaborateur : Christophe BESSE(MIP, Toulouse).
Publications associées : [A.7], [I.1], [C.3], [W.18,W.19,W.20,W.23].
Je m’intéresse aux équations de l’optique non linéaire et utilise plus particulièrement comme prototype l’équation de Schrödinger–Debye. Cette équation résulte du couplage de l’équation de Schrödinger avec une équation différentielle ordinaire qui décrit l’évolution retardée de l’indice du milieu optique considéré.
(
iAt+1
2∆A=νA, τ νt+ν=ε|A|2.
Ce prototype, qui initialement devait relever d’une étude rapide permettant d’aborder ensuite des mo- dèles plus compliqués (comme celui de Schrödinger–Bloch), s’est avéré receler des difficultés insoupçonnées.
L’analyse du problème de Cauchy local en temps avait fait l’objet d’études préalables décrites ci-dessus.
L’étude du comportement en temps long est quant à elle très difficile. L’absence de quantité conservée fait échouer toutes les méthodes basées sur l’énergie et la non linéarité considérée (physique) est justement celle qui est critique pour l’équation de Schrödinger non linéaire classique. Devant l’échec (que l’on espère temporaire) des méthodes d’analyse, nous nous sommes tournés vers des simulations numériques pour pouvoir prédire le comportement. Ces simulations ont fait l’objet d’une étude depuis fin 1996 et d’une col- laboration avec Christophe BESSE(MIP) à partir de fin 1998 et ne se sont également pas avérées très aisées.
En effet, il faut être assuré d’avoir des méthodes robustes pour que les phénomènes observés reflètent les propriétés de l’équation et non du schéma choisi. C’est pourquoi nous avons développé de front plusieurs schémas de philosophies différentes : des schémas de typeCrank–Nicolson, un schéma derelaxationet un schéma desplit-step (pas fractionnaires) basé sur une transformée de Fourier. On démontre pour ces sché- mas l’existence de solutions à la semi-discrétisation en temps et laconvergencede celle-ci vers les solutions du système continu. Par ailleurs, nous nous sommes attachés à étudier lespropriétés de conservation des schémas.
Les résultats numériques semblent montrer qu’il y a des solutions qui explosent en temps fini comme pour l’équation de Schrödinger cubique. C’est donc ce genre de résultat qu’il convient de rechercher du point de vue théorique.
FIGURE1 – Simulation du blow-up en 1D par un schéma de type relaxation (gauche) et un schéma de type splitting (droite) — extrait de [A.7].
3.2. Modélisation de matériaux photoréfractifs (1994–2007) Collaborateur : Jean-Claude Saut (Orsay).
Publications associées : [A.14], [P.6], [W.35,W.37,W.38,W.41].
Contexte. Suite à des réunions sous l’égide du GDRPropagation d’Ondes Aléatoires et/ou Non linéaires, je me suis intéressée à la modélisation dematériaux photoréfractifs, et plus précisément à la compréhension (et à la correction) des asymptotiques réalisées par les physiciens. Ce problème est particulièrement difficile car il met en présence de nombreux petits paramètres. Leur valeur semble cruciale pour les expériences et les différents dispositifs expérimentaux aujourd’hui existants nécessiteraient presque des modèles distincts.
Réalisations. Nous avons commencé par expliciter clairement la suite complexe d’asymptotiques né- cessaires pour passer du modèle mésoscopique de Kukhtarev7 au modèle macroscopique de Zozulya–
Anderson8 . Des bribes incomplètes et éparses de cette dérivation existaient dans la littérature physique.
7. N.V. KUKHTAREV, V.B. MARKOW, S.G. ODOLUV, M.S. SOSKINet V.L. VINETSKII,Holographic storage in electrooptic crystals,Ferroe- lectrics,22, 949–960 (1979).
8. Alex A. ZOZULYAet Dana Z. ANDERSON,Propagation of an optical beam in a photorefractive medium in the presence of a photogalvanic nonlinearity or an externally applied electric field,Physics Review A,51, 1520–1531 (1995).
La justification rigoureuse de ce modèle (et éventuellement d’autres modèles utilisés pour les simulations numériques de photoréfractifs) est un travail qui est certainement difficile et à coup sûr très fastidieux. Nous obtenons alors un système qui sert de base de départ, toujours dans la littérature physique, pour l’analyse linéaire de la stabilité de solitons.
Cependant, le système obtenu est particulièrement mal formulé rendant difficile l’approche mathéma- tique mais aussi l’approche numérique dont les résultats intéressent les physiciens en raison du coût des expérimentations et de la fragilité des cristaux en question. Une fois ce constat fait, ce thème de recherche a reposé une bonne dizaine d’années, jusqu’à ce qu’un changement de variables (évident une fois qu’on l’a trouvé) permette de réécrire le système sous la forme du couplage d’une équation de Schrödinger non linéaire avec une équation de type elliptique
(
iAt+1
2∆A=a∂xϕA,
div((1 +|A|2)∇ϕ) =∂x(|A|2).
En dimension 1, l’équation se ramène à une équation de Schrödinger non linéaire saturée que l’on peut généraliser en dimension quelconque et pour lequel nous savons étudier leproblème de CauchydansL2et H1par exemple. Nous donnons des résultats d’existence et de non existence d’ondes solitaires.
En dimension 2, il y a une analogie évidente avec un système de Davey–Stewartson elliptique–elliptique, mais on ne peut pas transposer les résultats classiques9 pour étudier le problème de Cauchy. Nous avons pu cependant réaliser une étude du problème de Cauchy dansH2ainsi que des résultats de non existence d’ondes solitaires.
Perspectives. Beaucoup reste à faire sur le sujet des photoréfractifs. Pour avancer de manière raisonnable, il serait souhaitable de pouvoir encadrer un étudiant en thèse sur ce sujet à Orsay ou à Grenoble. Le problème de Cauchy doit être étendu à des espaces fonctionnels permettant des limites non nulles en l’infini. Ceci correspondrait mieux à la physique permettant de générer des solitons sombres et de plus c’est un sujet à la mode pour les équations de type Schrödinger non linéaire.
Du calcul numérique doit être également réalisé. La nature du problème nécessitera certainement de coupler différentes méthodes de calcul pour chacune des équations constituant le système à discrétiser. Des codes ont déjà été réalisés par des physiciens en se basant sur des systèmes d’équations créés ad-hoc et avec des coûts de calcul exorbitants et disproportionnés. Par une analyse numérique soigneuse, on peut espérer traiter le système que nous avons dérivé et à des coûts de calcul bien moindres.
Le système pour l’instant considéré ne s’applique qu’à des matériaux photoréfractifs isolants pour les- quels la seule espèce considérée dans le modèle mésoscopique de départ sont des électrons. D’autres ma- tériaux semi-conducteurs nécessitent un modèle à deux espèces (des électrons et des ions). De tels modèles introduisent des phénomènes de mémoire qui donnent certainement lieu à des équations très intéressantes à étudier d’une point de vue mathématique. Malheureusement, le modèle macroscopique correspondant reste à dériver, et cela promet d’être fastidieux.
3.3. Modèle de Maxwell–Bloch dans les matériaux isotropes (1996–2000) Cadre : collaboration contractuelle avec le CEA/CESTA.
Collaborateurs : Antoine BOURGEADE(CEA) et Pierre DEGOND(MIP, Toulouse).
Doctorant : Didier REIGNIER.
Publications associées : [A.6,A.10], [I.2], [P.3,P.4], [C.5], [W.12,W.16,W.21,W.24,W.26,W.27,W.28,W.29, W.30,W.31,W.32,W.34], [L.2], [S.2].
L’introduction de mon habilitation est en grande partie un travail de synthèse dans cette thématique. Une revue sur les différents niveaux de modélisation en optique quantique donnant une plus large part à la description d’autres contributions est parue chez Springer : Hiérarchie de modèles en optique quantique. De Maxwell–Bloch à Schrödinger non linéaire,collection Mathématiques et Applications 49 (2006). Il s’agit à l’ori- gine des notes d’un cours Post-DEA que j’ai donné en janvier 2001 à Orsay. Outre le fait qu’il englobe des thèmes plus généraux que ceux que j’ai développés moi-même, il comporte également des preuves détaillées
9. Jean-Michel GHIDAGLIA, Jean-Claude SAUT,On the initial value problem for the Davey–Stewartson systems,Nonlinearity,3, 475–506 (1990).
de certains résultats au niveau DEA qui n’auraient pas leur place dans des articles de recherche. Certains cas tests ne se trouvent que dans ce document ainsi que l’étude détaillée des équations de taux.
Je m’intéresse plus particulièrement aumodèle de Maxwell–Bloch qui est le modèle le plus précis pour lamodélisation semi-classique de l’interaction onde–matière. Les axes de recherche les plus avancés sont l’étude des différents modèles physiques, la simulation numérique à partir de ce modèle. Au stade de tra- vaux en cours ou de projet de recherche, on trouve l’étude d’asymptotiques dans différents régimes avec la détermination physique des limites de validité des approximations résultant de ces asymptotiques. Ces études asymptotiques sont aussi bien théoriques que numériques.
Le modèle de Maxwell–Bloch décrit la propagation d’une onde électromagnétique (modélisée par les équations de Maxwell) à travers un milieu décrit du point de vue quantique par les équations de Bloch. La variable des équations de Bloch est la matrice densitéρdont les termes diagonaux décrivent les probabilités de présence d’un électron (population) dans un état quantique donné, et les termes extra-diagonaux les cohérences entre deux niveaux d’énergie donnés. Le couplage entre ces deux systèmes se fait par l’expression de la polarisation en fonction de la matrice densité. Les équations sont les suivantes :
ε0∂tE = ∇ ×B−∂tP,
∂tB = −∇ ×E, P = NaTr(pρ),
∂tρjk = −iωjkρjk− i
~E·[p, ρ]jk+Q(ρ)jk.
L’objectif premier était de réaliser des codes uni- et bidimensionnels pour ces équations. De telles réa- lisations existaient déjà10 11 mais dans des cadres assez restreints (deux niveaux d’énergie ou uniquement les populations), et il s’est avéré rapidement que le modèle couramment utilisé dans les simulations nu- mériques devait être modifié. Une étude théorique a été menée sur la forme que devait revêtir leterme de relaxation Q(ρ)jk introduit pour décrire phénoménologiquement les effets d’émission spontanée, de colli- sion, effet Doppler,. . . Celle-ci a abouti à la détermination de conditions suffisantes que devaient vérifier cet opérateur pour que la matrice densité ait des propriétés physiques naturelles de positivité. Les conditions trouvées sont simples et recouvrent tous les cas cités dans la littérature physique. Une fois, le problème du modèle physique résolu, il s’est également avéré que le schéma numérique temporel habituellement utilisé pour les équations de Bloch, à savoir le schéma de Crank–Nicolson, était mis en défaut dès que le nombre de niveaux considérés dépassait deux. On a alors développé une méthode basée sur unsplittingqui conserve toutes les propriétés physiques du modèle que l’on avait recherchées dans la détermination des coefficients de l’opérateur de relaxation. Ce nouveau schéma se trouve être plus efficace et se prête plus à la parallélisa- tion.
FIGURE2 – Positivité et conservation de la trace pour trois classes de schéma approchant les équations de Bloch — extrait de [A.6].
10. Amit S. NAGRAet Robert A. YORK,FDTD Analysis of Wave Propagation in Nonlinear Absorbing and Gain Media,IEEE Transactions on Antennas Propagation,46(3), 334–340 (1998).
11. Richard W. ZIOLKOWSKI, John M. ARNOLDet Daniel M. GOGNY,Ultrafast pulse interaction with two-level atoms,Physics Review A, 52(4), 3082–3094 (1995).
Uncode unidimensionnel utilisant ces progrès théoriques a été développé. L’introduction rigoureuse des termes de relaxation permet de modéliser de manière réaliste des phénomènes physiques variés qui étaient hors de portée auparavant (transfert de cohérence, cavité laser, effet Raman,. . .). Lecouplage tem- porel des équations de Maxwell et de Bloch était réalisé auparavant par une méthode que je qualifie de fortement couplée dans la mesure où il était nécessaire d’effectuer un point fixe sur l’ensemble des variables.
En choisissant de manière plus pertinente le temps de discrétisation de chaque variable, on peut découpler le système sans altérer les résultats. Ceci permet des gains de temps substantiels et permet une parallélisa- tion efficace de l’algorithme. Uncode bidimensionnela été réalisé par Didier REIGNIERdans le cadre de sa thèse. Il utilise une approchevolumes finissur des maillages de Delaunay–Voronoï.
FIGURE3 – (Gauche) Effet Raman dans un matériau amorphe — extrait de [P.4]. (Droite) Effet du choix de la méthode de splitting sur le traitement de termes raides dans le couplage Maxwell–Bloch— extrait de [A.10].
Les prolongements de cette étude concernent tout d’abord la recherche demodèles asymptotiquespour d’une part permettre des calculs plus efficaces et d’autre part mieux comprendre les limites des différents modèles en optique non linéaire. L’autre axe de recherche, à la fois antagoniste et complémentaire, traite de la complexification du modèle pour des matériaux non isotropes : cristaux, milieux auto-organisés,. . . (cf.
infra).
D’autres équipes s’intéressent à ce modèle principalement à Bordeaux et Rennes. La particularité de mes travaux est de s’intéresser à des phénomènes transitoires loin de l’équilibre thermodynamique, ce qui com- plexifie les analyses asymptotiques notamment.
3.4. Modèles asymptotiques (1997–2004)
Cadre : ACI JeunesMéthodes haute-fréquence pour les EDO et les EDP. Applications(ACI JC 1036).
Collaborateurs : Pierre DEGOND(MIP, Toulouse), François CASTELLA(IRMAR, Rennes), Éric DUMAS(Ins- titut Fourier, Grenoble) et Marguerite GISCLON(LAMA, Chambéry).
Publications associées : [A.11,A.13], [W.33].
Le modèle de Maxwell–Bloch est le modèle plus précis auquel on peut penser dans le cadre de la description semi-classique de l’interaction onde–laser, mais il n’est pas raisonnablement envisageable de l’utiliser pour décrire des phénomènes ayant lieu sur des distances longues. En effet, il faut entre vingt et cent points par longueur d’onde (suivant les cas tests) pour modéliser précisément un phénomène et la longueur d’onde correspond typiquement à celle d’une transition au niveau atomique. Il est donc nécessaire de développer desmodèles asymptotiques pour les équations de Maxwell (équation de Schrödinger) et/ou sur les équa- tions de Bloch (équations de taux, modèles non linéaires), de les justifier rigoureusement et de déterminer numériquement les domaines de validité. La grande variété des asymptotiques possibles et des domaines d’applications rend un tel programme très vaste.
Nous avons dans un premier temps uniquement considéré les équations de Bloch. Une analyse à deux échelles de temps sous éclairement monochromatique permet de mettre en évidence une équation de relaxa-
tion vers un équilibre thermodynamique (modèle de type équation maîtresse de Pauli) dont la dynamique dépend de la fréquence de l’onde excitatrice et qui ne décrit que l’évolution des populations. La justification rigoureuse de cette dérivation passe par une asymptotique à un temps sur le modèle des travaux réalisés par François CASTELLApour passer de l’équation de von Neumann à l’équation de Boltzmann quantique12.
L’équation de Bloch de départ s’écrit sous la forme
ε2∂tρnm=−(iωnm+γnm)ρnm+iε[E(t/ε2)·p, ρnm] +ε2Q(ρ)nm1(n=m).
La position desεnous indique que l’on s’intéresse à des phénomènes en temps longO(1/ε2). Le couplage avec le champ est faible (enO(ε)) mais celui-ci oscille rapidement. Enfin les relaxations extra-diagonales (en O(1)) dominent les relaxations diagonales (enO(ε2)) qui vont uniquement jouer un rôle en temps long.
On commence par trouver une équation qui ne porte que sur les populations, c’est-à-dire les termes dia- gonauxρnn, puis on la simplifie grâce à des techniques de moyennisation pour les équations différentielles ordinaires. Le résultat obtenu dans le cas monochromatique est le même que par une analyse à deux échelles de temps, mais une variété assez importante d’ondes est traitée par l’analyse à un temps. On obtient asymp- totiquement une équation du typeéquation de tauxen temps long
∂tρnn=X
k
(σnkρkk−σknρnn).
Dans un deuxième temps, on s’est intéressé à des milieux dans lesquels on a desstructures hyperfines d’énergie. C’est le cas dans les cristaux et aussi des boîtes quantiques. On regarde alors quelles modifications apporter à l’étude précédente. L’équation est maintenant
ε2∂tρnm=−(iωε;nm+γε;nm)ρnm+iε[E(t/ε2)·p, ρnm] +ε2Q(ρ)nm1(n=m),
oùωε;nm=ωnm+εpδnmetγε;nm=εµγnm. Pour pouvoir mener à bien l’étude, il faut se restreindre au cas où 0≤µ <1/2. Les relaxations extra-diagonales doivent donc rester prépondérantes. Par ailleurs, pour pouvoir conclure, il faut se restreindre au cas d’un champr-chromatique. Une discussion sur le rapportp/µpermet alors de déterminer différents comportements asymptotiques à la limiteε→0. Les coefficients de tauxσnk dépendent dans ce cas deεet on distingue deux comportements : celui dans la couche limite et celui sur des temps plus longs. On se retrouve alors dans le cadre de l’étude de la dynamique des équations de taux décrite ci-dessous.
3.5. Dynamique des équations de taux (2003)
Malgré leur simplicité (cf. ci-dessus), de nombreuses questions se posaient à propos des équations de taux.
En l’absence de champ magnétique, on en connaît un état d’équilibre qui est l’équilibre thermodynamique du système. Cet équilibre est-il unique même en présence de champ ? Le système tend-il vers état d’équilibre en temps long ? Que dire du cas du nombre infini de niveaux ? La réponse à ces questions est en général positive, mais les états d’équilibre dépendent dans une certaine mesure des données initiales. Le cas de la dimension infinie, couvert par la dérivation asymptotique du modèle, recèle des difficultés spécifiques. En particulier, les équilibres algébriques du système, ne font en général pas partie des états admissibles (énergie finie), d’où une dynamique en temps long plus complexe.
Je n’ai pas écrit d’article spécifique sur ce sujet, mais un chapitre de mon livre y est consacré.
3.6. Modèles quantiques de milieux anisotropes (2000–2003)
Collaborateurs : Pierre DEGONDet Christophe BESSE(MIP, Toulouse) et Antoine BOURGEADE(CEA).
Doctorant (co-encadrement) : Olivier SAUT. Publication associée : [A.12].
Les études théoriques et numériques que j’avais précédemment réalisé pour le modèle de Maxwell–Bloch s’appliquenta priorià tout type de matériau qu’il soit isotrope ou anisotrope. Cependant, le fait de pouvoir se restreindre à une géométrie unidimensionnelle (correspondant à l’axe de propagation du laser) et de ne pas considérer systématiquement des niveaux dégénérescents est spécifique aux matériaux isotropes.
12. François CASTELLA,From the Von-Neumann Equation to the Quantum Boltzmann Equation in a Deterministic Framework,Journal of Statistical Physics,104(1/2), 387–447 (2001).
