Utilitaire de Calcul Elémentaire en Aéronautique

Utilitaire de Calcul Elémentaire en Aéronautique

Table des matières

SE1

1. Module «Baromètre» 2

2. Module «Température» 3

3. Module «Mach» 3

4. Module «Calculs de vitesses» 3

5. Module «Conversions» 5

6. Module «Changement de repère» 5

SE2 7. Module «Payload-Range» 14

8. Module «Polaire» 17

9. Module «Polaire (Application)» 20

10. Module «Radar» 22

SE3 11. Module «Trigonométrie sphérique - Triangles sphériques» 25

12. Module «Trigonométrie sphérique - Calcul des latitudes des vertex Nord et Sud» 27

13. Module «Trigonométrie sphérique (Application) - Calcul de la distance qui sé- pare deux points du globe» 28

14. Annexes 29

Acronymes

ISO: Organisation internationale de normalisation International Standard Organisation

QFE: Pression atmosphérique au sol à un niveau donné dit base (l’aérodrome) Atmospheric Pressure (Q) at Field Elevation

QNH: Pression atmosphérique au niveau de la mer dans les conditions de l’atmosphère standard Atmospheric Pressure (Q) at Nautical Height

1. Module «Baromètre»

L’atmosphère standard correspond à l’atmosphère de référence, ou ISO. Il correspond à l’at- mosphère de la zone tempérée Europe (France, Italie, Espagne, Autriche).

Les valeurs de pression, de température et de masse volumique de l’air au niveau de la mer en conditions standards sont:

• Pression statique:

• Température:

• Masse volumique de l’air:

Le module permet, selon que l’on se trouve ou non dans les conditions atmosphériques stan- dards, de connaître la pression atmosphérique à une altitude donnée (en fonction du QNH ou du QFE).

Lorsqu’on considère le niveau de la mer comme altitude de référence z0, pour un gradient ver- tical de température de 0,65 kelvins pour 100 mètres:

avec z l’altitude exprimée en mètres (inférieure à 11 kilomètres) et p(z) la pression atmosphé- rique exprimée en hectopascals.

Ps = 101325Pa

T = 15 273 15+  = 288 15K

 = 1 225kg m  ^–3

p z  1013 25 1 0 0065 z 288 15 ---

 – 

 ^{5 255}



=

Sur le module, pour un QFE donné, la pression est donnée par la relation:

et pour le QNH, la pression est donnée par la relation:

avec z l’altitude exprimée en mètres (inférieure à 11 kilomètres), p(z) la pression atmosphérique exprimée en pascals, le QFE/QNH exprimé en pascals et la masse volumique de l’air exprimée en kilogrammes par mètre cube.

2. Module «Température»

Ce module constitue la loi de variation de la température de l’air entre Z = 0m (niveau de la mer) et Z = 47 000m lorsqu’on est en atmosphère standard.

3. Module «Mach»

(a) est la vitesse du son dans l’air. Il s’agit de la vitesse des ondes sonores. Cette vitesse dépend de la température:

γ est le coefficient adiabatique et vaut 1,4. Pour l’air R vaut 288J/kg/K.

avec (a) en

La vitesse (V) en mètres par seconde d’un avion est égale au nombre de Mach (M) multiplié par la célérité du son, (a).

Tableau 1: Loi de variation de la température de l’air

Altitude Variation de température (Norme ISO) Atmosphère 32km à 47km La température augmente de 2.8°C/km.

Stratosphère 20km à 32km La température augmente de 1°C/km.

11km à 20km La température reste constante. T=-56.5°C

0km (SLVL) à 11km La température diminue de 6.5°C/km. Troposphère

p z  QFE 9 8  z 9 8  40000 20000+z

20000 ---

 

 

ln





  

 

 –



 +

=

p z  QNH 12 z 12 40000 20000+z 20000 ---

 

 

 ln

 

 

 – +

=

a = RT

a = 20 1 T

m s ^–1

V = M a

4. Module «Calculs de vitesses»

La vitesse propre d’un avion est sa vitesse par rapport à l’air. On observe que:

Exemple d’application:

Sachant que la vitesse propre de l’avion est de 360 nœuds, qu’il va vers le Sud et qu’il y a un vent de 40 nœuds en provenance du Sud-Sud-Est, combien de temps mettra l’avion pour par- courir une distance de 750 milles marins ?

Le vent provient du Sud-Sud-Est donc va vers le Nord-Nord-Ouest (cf. Rose des vents).

Calcul :

Les mouvements des masses d’air et leurs consistances étant connus avec imprécision, les pa- ramètres de nos calculs sont arrondis pour éviter précisément un trop grand écart avec la réa- lité selon les objectifs d’approximation à atteindre. Suivant ce principe, nous avons:

V_s = V V+ _w

Vs = V V+ _wcosX

et

D’où

Nous obtenons une vitesse sol de 323 nœuds.

Calcul du temps de parcours:

Donc on obtient un temps de 2 heures et quelques minutes.

Donc pour parcourir 750 milles marins, l’avion mettra 2 heures et 19 minutes exactement.

5. Module «Conversions»

On trouve dans ce module la possibilité de faire des conversions de distances, de températures et de vitesses. Se référer à l’ANNEXE 2 et l’ANNEXE 3 de ce manuel.

6. Module «Changement de repère»

La Terre est ronde, mais nous nous déplaçons sur un petit espace, et nous considérons donc sa surface comme plane. On cherche les coordonnées de la vitesse propre dans le repère terrestre.

X = –180+22 5 = –1575 V = 360kt

V_w = 40kt

V_s = 360 40+  cos–1575 = 323kt

t d

V_s

--- 750

323--- 2 32

= = =

750 = 323 2 104 +

minutes 104 60

323---

  

  19

= =

Méthode de calcul du passage d’un repère à un autre:

Voici ci-dessous une représentation du repère terrestre:

Repère terrestre:

Voici ci-dessous une représentation du repère avion :

G est le centre de gravité de l’avion sur l’illustration précédente.

Repère avion:

Gxz est le plan de symétrie de l’avion.

L’axe X correspond à l’axe du fuselage. L’axe Y va vers la droite dans le sens de la marche (du Vol). L’axe Z complète le trièdre.

Ox₀y₀z₀ B₀i₀ j₀ k₀

G_xyz B i j k   

Soit

le vecteur vitesse propre de l’avion.

Nous avons:

Donc

Et

Par identification, (1):

(2):

(3):

V

VB₀V = x₀i₀+y₀j₀+z₀k₀ V B V = xi yj zk+ +

iB₀i = a_ii₀+a_jj₀+a_kk₀ jB₀j = b_ii₀+b_jj₀+b_kk₀ kB₀k = c_ii₀+c_jj₀+c_kk₀

V = x a _ii₀+a_jj₀+a_kk₀+y b _ii₀+b_jj₀+b_kk₀+z c _ii₀+c_jj₀+c_kk₀

V = xa_ii₀+xa_jj₀+xa_kk₀+yb_ii₀+yb_jj₀+yb_kk₀+zc_ii₀+zc_jj₀+zc_kk₀

V = xa_i+yb_i+zc_ii₀+xa_j+yb_j+zc_jj₀+xa_k+yb_k+zc_kk₀

x₀ = xa_i+yb_i+zc_i

y₀ = xa_j+yb_j+zc_j

z₀ = xa_k+yb_k+zc_k

RAPPEL COURS DE MATHEMATIQUES : MULTIPLICATION DE 2 MATRICES Les matrices constituent l’outil par excellence à utiliser pour passer des composantes d’un vec- teur dans un repère donné, aux composantes de ce vecteur dans un autre repère.

Le schéma suivant représente le format (lignes/colonnes) d’une matrice résultant de la multi- plication de deux matrices mères A et B. Cet exemple est généralisable aux opérations entre ma- trices de toutes dimensions.

Une matrice est un tableau de x lignes et de y colonnes.

Une matrice se note:

Un terme d’une matrice se note:

i est le numéro de la ligne et j le numéro de la colonne.

Les deux schémas qui suivent représentent la méthode à appliquer pour multiplier deux ma- trices entre elles. Cet exemple est généralisable aux opérations entre matrices de toutes dimen- sions.

(A):

A_xy

a_ij

(B):

Remplissage de la première case (ligne 1, colonne 1) de la matrice résultante

Formule d’un produit de matrices :

FIN DU RAPPEL SUR LES MATRICES

Nous avons déterminé l’outil à utiliser: les matrices.

Méthode (les 3 matrices de passage):

On connaît les composantes de la vitesse propre de l’avion dans le Repère Avion. On veut connaître les composantes de la vitesse propre de l’avion dans le Repère Terrestre.

Les rotations permettant de passer du repère avion au repère terrestre et inversement utilisent des angles qui sont l’Assiette, l’Azimut et le Gîte:

• Ψ: azimut. Elle est supérieure à zéro si l’avion vas vers l’Est et nulle si il va vers le Nord strictement.

• θ: assiette. Elle est supérieure à zéro si l’avion va vers le haut.

• Φ1 : gîte. Il est supérieur à zéro si l’aile droite est dirigée vers le bas.

B_pmA_mn = C_pn

c_ij b_ika_kj

k=1 m





=

Représentation graphique:

Appelons

la base du repère terrestre et

la base du repère 1 (G X1, Y1, Z1). Pour passer de B0 à B1, on prend en compte l’Azimut.

B0 I₀ J₀ K₀

B1 I₁ J₁ K₁

On appelle [Ψ] la matrice de passage de B0 à B1.

Nous avons alors:

Avec

Voici ci-dessous le schéma correspondant à la matrice de passage [Ψ]:

On retrouve bien avec le schéma:

(1):

(2):

(3):

Nous nous situons maintenant dans la Base B1. Nous devons maintenant tenir compte de l’As- siette pour passer à la base:

B1

  =   B0



  cos sin 0

 sin

– cos 0

0 0 1

=

I₁ = cos  I₀+ sin  J₀

J₁ 

---2+

 

  I₀ 

2---+

 

 

sin

 + J₀

cos

=

K₁ = K₀

B2

I₂ J₂ K

=

On appelle [θ] la matrice de passage de B1 à B2.

Nous avons alors:

avec

Voici ci-dessous le schéma correspondant à la matrice de passage [θ]:

Nous nous situons maintenant dans la base B2. Nous devons maintenant tenir compte du Gîte pour passer à la base:

Il s’agit du repère avion.

On appelle [Φ1] la matrice de passage de B2 à B. Nous avons alors:

avec

B2 =   B1



  cos 0 –sin

0 1 0



sin 0 cos

=

B I J K

=

 B = 1B2

1

  1 0 0

0 cos1 sin1 0 –sin1 cos1

=

Voici ci-dessous le schéma correspondant à la matrice de passage [Φ1]:

Maintenant que nous connaissons [B], nous connaissons les composantes de la vitesse propre de l’avion dans le repère terrestre.

Nous avons:

et

La somme des termes facteurs de correspond à la composante de la vitesse sur

La somme des termes facteurs de correspond à la composante de la vitesse sur

Et enfin, la somme des termes facteurs de correspond à la composante de la vitesse sur

Conclusion : Ce calcul étant long, il est facile de commettre des erreurs, d’où l’intérêt du logi- ciel.

xI yJ zK _B

xa_iI₀+xa_jJ₀+xa_kK₀ yb_iI₀+yb_jJ₀+yb_kK₀

zc_iI₀+zc_jJ₀+zc_kK_{0 B0}



V = xa_iI₀+yb_iI₀+zc_iI_{0 B0}+ xa_jJ₀+yb_jJ₀+zc_jJ_{0 B0}+ xa_kK₀+yb_kK₀+zc_kK_{0 B0}

I₀

J₀

K₀

7. Module «Payload-Range»

Exemple de calcul pour un modèle d’avion donné:

Détails touchant le fret :

Diagramme correspondant:

MTOW est la masse maximum de l’avion au décollage et OWE la masse de l’avion à vide.

« Container largué » équivaut à « container en moins ».

La possibilité est donnée de connaître la position de chaque point du diagramme. Cela permet pour une distance donnée de savoir quelle charge au maximum l’on peut emporter. Pour cela il faut que dans le menu « Fichier », le bouton « Afficher la position du curseur » soit sélectionné (automatique au démarrage). Mais le module permet d’aller plus loin. Lorsqu’on vend un avion, on vend des performances. Le système de repérage (5 points maximum) sert à comparer les per- formances de différents avions. Un point (n tonnes de charge/X milles marins parcourus au maximum) situé dans le domaine de mission d’un avion peut ne pas l’être sur un autre avion et inversement. Le point (n, X) constitue une mission réalisable s’il se trouve à l’intérieur de la courbe de Payload-Range (vert, fuchsia, rouge, vert) et inversement s’il se trouve à l’extérieur.

Nous pouvons placer un point de mêmes coordonnées sur deux Payload-Range et voir quel avion peut remplir cette mission ou lequel s’en rapproche le plus (en regardant sur quel tracé le point se rapproche le plus de la courbe).

Mode d’emploi :

• Cliquer sur « Repérage »,

• Cliquer sur « Activer repérage de points sur Graph. »,

• Cliquer sur le Graph pour faire une croix sur le point sélectionné (il se stocke alors dans le tableau).

• Pour effacer un point aller dans « Repérage » et cliquer sur « Revenir en arrière ».

Vous avez la possibilité d’enregistrer le graphique avec vos points.

Il s’agit d’un module simple d’utilisation. Modélisez facilement votre propre avion.

Attention : Si le graphique que vous obtenez ne présente pas l’aspect général du diagramme ci- dessus, c’est que le cas que vous présentez est impossible.

Principe:

Lorsque l’avion emporte une charge moins lourde ou procède au largage d’une partie de sa charge, sa consommation en carburant diminue. Cela lui permet donc de parcourir une distance plus importante. Au cours du vol, plus le poids de carburant emporté diminue en fonction de la consommation, plus la consommation de carburant diminue.

Les charges indiquées sur le diagramme concernent le poids du fret additionné au poids des pas- sagers du vol. Se référer à l’ANNEXE 5 pour la méthode de calcul des distances franchissables.

8. Module «Polaire»

La polaire permet de mettre en évidence les caractéristiques de l'aile (d’un profil aérodynamique plus largement). Pour la tracer, on augmente l'incidence de l’aile et on reporte sur le graphique les valeurs de Cz (coefficient de portance) et Cx (coefficient de trainée) correspondantes.

On constate que Cz connaît un maximum. A partir d’une valeur de Cx donnée, la portance n'équilibre plus le poids de l’avion. L'avion décroche. Cela correspond à la partie décroissante de la courbe. Se référer à l’ANNEXE 4 pour de plus amples informations sur utilisation des coefficients de portance et de trainée.

Chaque profil a une polaire particulière correspondante. Sur la polaire on relève 4 points essentiels :

• Le point de décrochage

• Le taux de chute de l'aile minimum • La finesse maximale

• Et la vitesse maximale

Exemple de tracé de la polaire:

La finesse d’un avion:

La finesse est une caractéristique aérodynamique. Elle représente la possibilité de l'avion à pla- ner. C’est un rapport d’efficacité du profil.

La finesse conditionne la distance en plané franchissable en fonction de l'altitude.

La finesse maximale des planeurs modernes varie de 40 à 60 selon les modèles. Les avions ont généralement des finesses comprises entre 8 et 15, rarement plus de 20. Les avions de ligne ont des finesses comprises entre 15 et 20.

f C_z C_x --- R_z

R_x ---

= =

; ; ;

; ;

Module de calcul de la finesse maximale et de tracé de polaires de Cockpit v1.37 :

Ce module est maintenant amélioré.

Il permet de connaître la valeur de chaque point de la courbe représentée grâce au moyen de déplacement de curseur sur courbe mis en place.

9. Polaire (Application)

D’autres modules sont présents sur le logiciel à «Polaire». Ces éléments sont détaillés ici. Les modules en question permettent de calculer la surface ailaire d’un profil convexe et également de calculer entre autres la poussée minimale totale des moteurs pour assurer une croisière. Sur le schéma ci-dessous, la surface ailaire est délimitée par deux traits en amont et en aval des ailes.

Méthode de calcul de la poussée minimale nécessaire pour assurer la croisière:

Nous disposons de la relation (Polaire) suivante:

(Cx1):

(Cz1):

(finesse):

Cx = a b Cz+  ²

Cx1 = 2a

Cz1 a

b---

=

avec M, la masse de l’avion (en tonnes) et Tmin en newtons.

Méthode de calcul de la vitesse de l’avion correspondante à la poussée minimale :

avec M, la masse de l’avion (en tonnes), ρ, la masse volumique de l’air correspondante à l’al- titude de croisière (en kilogrammes par mètre cube) et S, la surface de la voilure de l’avion (en mètres carrés) et VTmin en mètres par seconde.

Méthode de calcul de la vitesse maximale de l’avion dans ces conditions (altitude, masse vo- lumique de l’air et masse de l’avion):

avec

On doit utiliser la valeur minimale de X pour ce calcul.

Ici, Vmax est en mètres par secondeet est calculée avec la poussée totale maximale de l’avion en conditions Standards, Tmax (en décanewtons), ρ, la masse volumique de l’air correspon- dante à l’altitude de croisière (en kilogrammes par mètre cube), S, la surface de la voilure de l’avion (en mètres carrés) et M, la masse de l’avion (en tonnes).

T_min M10³9 8 ---f

=

V_Tmin 2M10³9 8

S Cz1 ---

=

V_max 2M10³9 8

S X ---

=

X 10T_max T_max²10²–2 9 8  M10³²a b 2 9 8  M10³b

---

=

10. Module «Radar»

Le module radar (voir schéma représentatif ci-après) est composé de deux sous-modules:

• Le sous-module «Plan de Vol», • Et le sous-module «Détection».

Premier type d’application - Plan de Vol:

Pour le module Plan de Vol, dans le cas d’un avion A partant de l’hémisphère Nord, en direction du Nord, le cap maximum franchi est 90°N. En direction du Sud, jusqu’à latitude 90°S, les in- formations sont à prendre sans interprétation. Au delà de cette latitude, il faut faire le calcul d’une nouvelle étape. Pour un avion A partant de l’hémisphère Sud, en direction du Sud, le cap maximum franchi est 90°S. En direction du Nord, jusqu’à latitude 90°N, les informations sont à prendre sans interprétation. Au delà de 90°N, il faut faire le calcul d’une nouvelle étape.

Pour le calcul du point d’arrivée, la vitesse maximale de l’avion admise est de 2500 nœuds et le temps de vol admis est illimité en minutes.

Deuxième type d’application - Détection:

Détection

Pour le module Détection, dans le cas d’un avion A partant de l’hémisphère Nord en direction du Nord, le cap du pôle Nord peut être dépassé dans la limite de 200 milles marins. La distance Radar-Avion (RA) maximale est de 200 milles marins (portée du radar). En suivant cette route,

après le cap du pôle Nord, l’avion se trouvera toujours dans l’hémisphère Nord.

Dans le cas d’un avion A partant de l’hémisphère Sud en direction du Sud, le cap du Pôle Sud peut être dépassé dans la limite de 200 milles marins. La distance Radar-Avion (RA) maximale reste de 200 milles marins. L’avion se trouvera toujours dans l’hémisphère Sud en suivant cette route après le cap du pôle Sud.

Méthode du module «Plan de Vol»:

On note A(Lx°, Ly’, Lz’’ N/S; Mx°, My’, Mz’’ W/E) la position de l’avion.

On note R(Dx°, Dy’, Dz’’ N/S; Ex°, Ey’, Ez’’ W/E) la position du radar. Avec le pôle Nord, ces 2 points forment un triangle sphérique.

Nous avons en nombres décimaux A(L N/S, M W/E) et R(D N/S, E W/E), les positions de A et de R avec L et D des latitudes et M et E des longitudes en degrés. La position du pôle Nord est PN (90°N, 0°W).

Soit RA la distance qui sépare les 2 points. Nous connaissons RA et les coordonnées de R. Nous connaissons aussi la distance RPN (latitude connue) et l’angle (PNRA).

Le radar peut détecter des avions au Nord-Est, au Nord-Ouest, au Sud-Est et au Sud-Ouest. Il existe des caps (latitude 90°N, 0°N, 90°S, longitude 0°E, 180°E/W) où les règles de calcul évo- luent. Au franchissement de ces caps, on utilisera RA de façon différente.

Exemple :

On se trouve au point (latitude 0°N, longitude 179°E) et on va vers l’Est avec RA=80NM. A cette latitude (latitude 0°N), un degré de longitude vaut 60 milles marins. On ajoute donc à 179°E, 60 milles marins (un degré de longitude). Ensuite la règle de calcul change (bascule- ment). On retranche les 20 milles marins restants (20 minutes de longitude) au cap 180°W. On se trouve donc au point (latitude 0°N, longitude 179°40’W).

Il faut utiliser les outils de la trigonométrie sphérique pour obtenir la position du point A : dis-

11. Module «Trigonométrie sphérique - Triangles sphériques»

Méthode du moyen intermédiaire de calcul de distances sur sphères (technique):

En pratique, on connait les coordonnées de 2 points A et B, donc les distances AC et BC (en degrés de latitude) et l'angle (ACB) (C:Pôle Nord). (ACB) est compris entre 0,01° et 179.99°.

Calcul de l’angle (ABC) en degrés :

ABCˆ

  180

---

 

  Arc

ACB ---180

sin 

 

BC ---180 sin

AC ---180 tan

---

 

 

 

 

 

BC ---180

cos 

  ACB

---180

cos 

 

–

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 tan

=

Remarque: (ABC) est l’angle en face du côté AC.

Si (ABC) < 0, on ajoute 180° pour avoir la valeur de l’angle correspondante.

Calcul de l’angle (BAC) en degrés :

Remarque: (BAC) est l’angle en face du côté BC.

Si (BAC) < 0, on ajoute 180° pour avoir la valeur de l’angle correspondante.

Calcul de la distance AB avec (ACB) et (ABC) en degrés:

AB est en degrés de latitude tout comme AC et BC.

Cette formule sert pour le calcul de la distance séparant 2 points du Globe terrestre et pour le module radar.

AB en NM vaut AB calculé ici multiplié par 60 milles marins. En effet un degré de latitude vaut 60 milles marins sur Terre.

Le rayon de la sphère (Terre ou autre) vaut en degrés de latitude:

BACˆ

  180

---

 

  Arc

ACB ---180

sin 

 

AC ---180 sin

BC ---180 tan

---

 

 

 

 

 

AC ---180

cos 

  ACB

---180

cos 

 

–

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 tan

=

AB 180

---

 

  Arc

BC ---180

sin 

 

ABC ---180 sin

ACB ---180 tan

---

 

 

 

 

 

BC ---180

cos 

  ABC

---180

cos 

 

–

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 tan

=

180 ---

12. Module «Trigonométrie sphérique - Calcul des latitudes des vertex Nord et Sud»

Ce module calcule la latitude des vertex Nord et Sud de la trajectoire d’un satellite en révolution autour de la Terre et passant à la verticale des points A et B.

Le schéma ci-dessous représente la route orthodromique passant par A et B, le vertex Nord étant le point de latitude maximale de cette trajectoire, le plus proche du pôle Nord et le vertex Sud étant le point de cette trajectoire qui est le plus proche du pôle Sud.

Le plan formé par la trajectoire du satellite a une inclinaison constante par rapport à l’axe pas- sant par les pôles Nord et Sud du Globe terrestre.

Méthode de calcul des vertex Nord et Sud:

On commence par déterminer l’angle A au sein du triangle sphérique formé par le pôle Nord, A et B.

On calcule également la distance entre le pôle Nord et A en degrés de latitude. C’est la distance APN.

Nous avons alors

les coordonnées en degrés de la latitude des vertex Nord et Sud de la trajectoire du satellite.

PNXN 90 180

--- arc

A ---180

 

  APN

---180

 

 

 sin sin

1 A

---180

 

  APN

---180

 

 

 sin

sin 

 ²

–

---

 

 

 

 

 

 

 tan

 

 

 

 

 

 

–

=

13. Module «Trigonométrie sphérique (Appl.) - Calcul de la distance qui sépare deux points du globe»

Calculons la distance entre Paris et New-York à l’aide de Cockpit:

Remarque: Un degré de latitude équivaut à 60 minutes de latitude. De même pour la longitude.

Coordonnées de Paris : Latitude 48°51’N | Longitude 2°21’E Coordonnées de New-York : Latitude 40°43’N | Longitude 74°00’W

D’après le calcul réalisé par Cockpit, la distance au niveau de la mer entre ces deux points est de 5833 kilomètres.

Attention : La distance qui sépare deux points de latitudes 90°N ou 90°S est égale à zéro quelles que soient les longitudes des deux points. Ces deux points sont identiques.

Exemple :A : 90°N 23°W et B : 90°N 23°E. La distance entre ces deux points vaut zéro. En ef- fet, on se trouve au sommet du Globe terrestre au pôle Nord et ces deux points sont les mêmes.

A=B.

Tout est une histoire de représentation du Globe terrestre. Il ne faut pas oublier que la Terre est

14. Annexes

ANNEXE 1 - FORMULE DU TRIANGLE DES VITESSES Références: Extrait cours aéronautique

Il est établi par observation que:

Soit

et

deux vecteurs unitaires.

Nous considérons que l’avion est peu dévié par le vent et pénètre l’air. Par simplification nous prenons B égale à zéro.

A. Étude du cas de figure ci-dessus dans le plan horizontal

Par projection des vecteurs vitesses sur le vecteur X0, les produits scalaires, nous obtenons donc la relation suivante:

Or,

V_s = V V+ w

X₀

Y0

V X ₀+VwX₀ = VsX₀ = 0

Vsin B +V_wsin–180+A = Vsin B –V_wsin A = 0

 B

sin V_w sin A ---V

=

 B sin

lim = 0

et sin(A) appartient à l’ensemble [-1;1], et V différent de zéro.

Nous avons la limite de B tend vers zéro si et seulement si, (1): il n’y a pas de vent.

(2): V est très supérieur à la vitesse du vent.

(3): il y a un vent de face ou d’arrière aligné sur le vecteur vitesse propre.

Par ailleurs, si B est nulle, A est égale à A’.

Par projection sur le vecteur Y0, les produits scalaires, nous obtenons la relation suivante:

Nous avons donc:

(-180° + A) étant l’angle entre le vecteur vitesse du vent et la route vraie de l’avion.

Nous retenons:

Il s’agit d’une simplification nous donnant, dans le cas d’un vent favorable, une estimation de l’effet maximal du vent sur la norme du vecteur vitesse sol, Vs, à partir de la vitesse propre. Pour un vent défavorable, nous avons une estimation de l’effet minimal du vent sur la norme, Vs.

Tous les cas de figure sont traités sur Cockpit (cf. Rose des vents).

B. Calcul Soit:

Nous avons:

et

Ce résultat confirme le choix de l’utilisation de notre formule.

V Y ₀+VwY₀ = VsY₀

Vcos B +V_wcos–180+A = V_s cos 0

Vcos 0 +V_wcos–180+A = V_s cos 0 V V+ _wcos–180+A = V_s

V V+ _wcosV_sV_w = V_s

V_w = 40kt V = 360kt A = 159 5

 B

sin V_wsin A

---V 40sin159 5 

---360 0 0389

= = =

 B

cos = 1–sin B ² = 1–0 0015  = 0 9984 1

La déviation de la trajectoire du vecteur vitesse sol par rapport au vecteur vitesse propre est de 2,23 degrés dans cette configuration. Cette petite déviation à un impact important sur un long trajet.

C. Le théorème d’Al-Kashi

Énoncée: Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur opposée à un angle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces mêmes côtés et du cosinus de l'angle.

La vitesse sol exacte est donnée par la relation suivante:

D. Météo

Les radars aéroportés ont une portée de 180 milles marins mais sont généralement réglés pour scruter l’environnement immédiat de l’avion, soit 30 à 80 milles marins. La bande d’émission/

réception est la bande X de longueur d’onde 3 cm pour une fréquence de 12500 mégahertz. Les radars permettent de suivre le cisaillement des vents, les conditions météorologiques.

AC² = AB²+BC²–2AB BC cosB AB² = AC²+BC²–2AC BC cosC BC² = AB²+AC²–2AB AC cosA

V_s = V²+V_w² –2VV_wcosV V w

ANNEXE 2 - UNITES

Références: Encyclopédie libre Wikipédia

A. Le mille marin (Nautical Mile - NM)

Sachant que la Terre est ronde, il a été convenu de diviser les méridiens en 180 degrés de 60 minutes. La minute de degré de méridien correspond à un mille marin. Un méridien mesurant 20 003,9315 kilomètres, l’équivalent d’un mille marin en mètres est le suivant:

Par convention:

B. Le nœud (Knot - kt)

Il s’agit d’une unité de mesure de vitesse utilisée dans l’aéronautique. Le nœud correspond à la distance de un mille marin parcourue en une heure.

C. Le kelvin (Kelvin - K)

Kelvin est le nom d’un physicien britannique (1824-1907) d’origine irlandaise donné à l’unité de température thermodynamique du Système international (SI). William Thomson, connu sous le nom de Lord Kelvin, 1er baron Kelvin est reconnu pour ses travaux en thermodynamique.

Le kelvin est une mesure absolue de la température, définie par le troisième principe de la ther- modynamique selon lequel à la température de zéro kelvin, l’entropie d’un système est nulle.

A une certaine température thermodynamique de référence, le point triple de l’eau, où

coexistent les états solide, liquide et gazeux de l’eau, on a choisi de fixer le kelvin à 1/273,16.

La conversion degré Celsius/kelvin est donnée par la relation:

avec T la température en kelvin et t la température en degrés Celsius.

1NM 20003931 5 180 60

--- 1852 21m

= =

1NM = 1852 00m

1kt 1NM

---1h 1852m 3600s

--- 0 514ms ^–1

= = =

T = t+273 15

D. Le pied (Feet - ft)

Le pied est une unité de longueur. Cette unité de mesure est l’une des plus anciennes de l’his- toire de l’humanité. Le pied correspond à la longueur d’un pied humain.

Sur Cockpit, le choix a été fait de faire des arrondis au millième pour les unités utilisées dans le module conversions:

E. Le mètre (Meter - m)

Le mètre est l’unité de longueur du Système international. La distance de un mètre est définie depuis 1983 comme la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant une du- rée:

F. Le kilogramme (Kilogram - kg)

Le kilogramme est l'unité de base de masse dans le Système international d'unités, définie à par- tir de la constante de Planck (h) de la physique quantique depuis mai 2019.

G. Le newton (Newton - N)

Le newton est défini comme étant l'unité de mesure de la force. Cette unité de mesure a été nom- mée ainsi en l'honneur d'Isaac Newton (1642-1727), physicien, mathématicien, philosophe, as- tronome, alchimiste, pour ses travaux en mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation universelle et la création du calcul infinitésimal. Newton a développé une théorie sur la décom- position de la lumière blanche en un spectre visible à l’aide d’un prisme. L’astronome a égale- ment inventé le télescope à réflexion (miroir concave). Le newton est défini comme étant la force nécessaire pour accélérer une masse de un kilogramme à un mètre par seconde au carré.

H. La seconde (Second - s)

La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133 (Résolution 1 de la 13e réunion de la CGPM - 1967/1968).

1ft = 0 3048m

1ft = 0 305m

1seconde 299792458 ---

I. La minute (Minute - min)

La minute est une unité de mesure des durées correspondant à 60 secondes.

J. L’heure (Hour - h)

L’heure est une unité de mesure des durées correspondant à 3 600 secondes.

K. Le pascal (Pascal - Pa)

Le pascal est l'unité de pression ou de contrainte du Système international d'unités qui vient du nom du physicien français Blaise Pascal (1623-1662) qui a contribué à l’étude des fluides.

avec 1mCE étant la différence de pression exercée par l’eau franchissant un mètre de colonne d’eau.

avec ρ, la masse volumique de l’eau, qui vaut 1000 kilogrammes par mètre cube à la tempéra- ture de 277,15 kelvins. On a également g, l’accélération de la pesanteur. La valeur normale de la pesanteur g vaut 9,806 65 mètres par seconde au carrée.

L. Le bar (Bar - bar)

Le bar est une unité de mesure de la pression qui équivaut à 100 000 pascals qui ne fait pas partie du Système international d'unités.

M. La tonne (Ton - t)

La tonne est une unité de masse.

N. Le hertz (Hertz - Hz)

Le hertz est l’unité dérivée de fréquence qui fait partie du Système international. Ce nom pro- vient du physicien allemand Heinrich Hertz (1857-1894) renommé pour avoir découvert les ondes hertziennes. Le hertz correspond à la mesure de la fréquence de répétition d'un événement

1jour = 1440min

1jour = 24h

10⁵Pa10 197mCE

p =  g h

1t = 1000kg

ANNEXE 3 - CONVERSIONS

Références: Manuel «Visa pour la prépa 2018-2019» - Éditions DUNOD

A. La conversion de distances

Pour convertir des unités de longueur (en mètre), il faut s’aider du tableau suivant:

Exemple:

B. La conversion de surfaces ou aires

Pour convertir des aires (en mètre carré), il faut s’aider du tableau suivant:

Exemple:

Tableau 2: Longueurs en mètre

km hm dam m dm cm mm

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

km hm dam m dm cm mm

0, 1 2 3

Tableau 3: Surfaces en mètre carré

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

0 1 2, 3 0

123mm = 12 3cm = 0 123m

12 3m ² = 0 123dam ² = 1230dm²

C. La conversion de masses

Pour convertir des masses (en gramme), il faut s’aider du tableau suivant:

D. La conversion de pressions

Pour convertir des pressions (en pascal), il faut s’aider du tableau suivant:

E. La conversion de forces

Pour convertir des forces (en newton), il faut s’aider du tableau suivant:

F. La conversion de volumes

Pour convertir des volumes (en mètre cube), il faut s’aider du tableau suivant:

Exemple:

Tableau 4: Masses en gramme

kg hg dag g dg cg mg

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

Tableau 5: Pressions en pascal

kPa hPa daPa Pa dPa cPa mPa

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

Tableau 6: Forces en newton

kN hN daN N dN cN mN

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

Tableau 7: Volumes en mètre cube

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

123m³ = 0 123dam ³ = 123000dm³

G. Les préfixes du système international

ANNEXE 4 - EFFORTS AERODYNAMIQUES Références: Extrait cours aéronautique

Le champ de pression s'exerçant sur une surface induit un torseur d'efforts composé de:

• Fx, une force de traînée , parallèle à la direction moyenne de l'écoulement,

• Fy, une force de dérive, perpendiculaire à la direction moyenne de l'écoulement, dans le plan horizontal,

• Fz, une force de portance, perpendiculaire à la direction moyenne de l'écoulement, dans le plan vertical.

avec S la surface de référence (surface projetée dans le plan horizontal en mètre carré - m²), C le coefficient aérodynamique et q la pression dynamique,

0 1 2 3, 0 0 0

Tableau 8: Puissances positives

Préfixe yotta zetta exa peta tera giga méga kilo aucun

Symbole Y Z E P T G M k

Tableau 9: Puissances négatives

Préfixe milli micro nano pico femto atto zepto yocto

Symbole m μ n p f a z y

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

10ⁿ 10²⁴ 10²¹ 10¹⁸ 10¹⁵ 10¹² 10⁹ 10⁶ 10³ 10⁰

10ⁿ 10^–3 10^–6 10^–9 10^–12 10^–15 10^–18 10^–21 10^–24

F = q S C 

q 1

2---V²

=

avec ρ (rhô), la masse volumique de l'air (1,225kg/m3 à 15 °C au niveau de la mer) et V la vi- tesse de l’avion (en mètre par seconde - m/s).

Nous pouvons décomposer C en Cx, le coefficient de traînée, Cy, le coefficient de portance la- térale et Cz, le coefficient de portance.

Force de trainée (Fx):

Nous obtenons:

et

Force de dérive (Fy):

Force de portance (Fz):

Détermination des inconnues:

D’après le principe fondamental de la dynamique de translation (deuxième loi de Newton), dans un référentiel galiléen, l’accélération subie par un corps de masse m constante est proportion- nelle à la résultante des forces qu’il subit et est inversement proportionnelle à sa masse m.

Cette loi est utilisée pour calculer les données inconnues qui composent le bilan des forces qui s’exercent sur l’avion, les accéléromètres nous renseignant sur les accélérations selon trois axes.

Les autres forces extérieures qui s’exercent sur l’appareil sont, d’une part, le poids de l’appareil qui est dû au champ de pesanteur et, d’autre part, la traction ou la poussée des moteurs.

ANNEXE 5 - METHODE DE CALCUL DU DIAGRAMME PAYLOAD-RANGE Références: Extrait cours aéronautique

Fx q S C_x 1

2---S V ²Cx

= =

F_x 1

2---S V ²C_x

=

F_y 1

2---S V ²C_y

=

F_z 1

2---S V ²C_z

=

F = m a

l’exemple de configuration suivant pour calculer la distance parcourue sans passager et sans fret et jusqu’à épuisement du carburant qu’il est permis d’utiliser.

Configuration:

*: nombre positif / ²: la consommation de carburant est variable et diminue A. Cas d’une consommation variable de carburant

En pleine charge, avec le maximum de carburant, soit 19,2 tonnes consommables, nous avons les paramètres suivants:

Tableau 10:Paramètres par étape de 1 tonne de consommation de carburant et avec une dernière étape de 0,2 tonne de consommation de carburant restant autorisé Masse de départ (t) Consommation

(kg/h)

Temps de vol de l’étape (h)

Distance franchissable (NM)

83 4000 1/4 140

82 3990 1000 / 3990 140*4000/3990

... ... ... ...

66 3830 1000/3830 140*4000/3830

65 3820 1000/3820 140*4000/3820

64 3810 200/3810 140*0.2*4000/3810

Pour l’étape 82t-81t, la distance franchissable en milles marins est:

Pour l’étape 66t-65t, la distance franchissable en milles marins est:

Pour l’étape 65t-64t, la distance franchissable en milles marins est:

Lorsque l’espace massique de l’avion est rempli, la distance d, en milles marins, qu’il est pos- sible de parcourir avec 19,2 tonnes de carburant est donnée par la relation:

Lorsque l’on privilégie le carburant pour le remplissage de l’espace massique de l’avion, on peut emporter 11 tonnes de passagers et de fret. Hors, nous ne les emportons pas. On économise donc 11 tonnes d’espace massique ce qui modifie en conséquence la consommation en carbu- rant de l’avion. d s’écrit (en milles marins):

B. Cas d’une consommation constante de carburant

En consommation de carburant constante, nous avons en milles marins:

Sur Cockpit, dans le cas d’une consommation variable en carburant, les calculs de distances du module Payload-Range sont effectués avec une prise en compte de la modification du poids de l’avion au kilogramme près. Cette discrétisation du calcul permet une approximation des dis- tances franchissables par l’avion avec plus d’exactitude.

___________________________

140 4000 3990---

 140 1

3990 4000 ---

 140 1

4000 4000

--- 1

1 1

400---

 – 

 

---



 140 1 1

400---

 + 

 





= =

140 4000 3830---

 140 1

3830 4000 ---

 140 1 17

400---

 + 

 





=

140 4000 3820---

 140 1

3820 4000 ---

 140 1 18

400---

 + 

 





=

d 140 19 1

400---

+ n

n=0 18





 

 

 

 

 140 0 2 1 19

400---

 + 

 







 +

d 140 1 11+n 1

400---



 + 

 

  

  140 0 2 1 11 19+  1

400---



 + 

 





 +

n=0 18





d140 19 140 0 2 +  