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Permutations et Combinaisons
Cet article présente les différences entre les
arrangements, les permutations et les combinaisons en dénombrement, illustrées de plusieurs exemples.
Table des matières
Permutation . . . 2
Arrangement . . . 2
Combinaisons . . . 3
Arrangement avec répétitions . . . 4
Tableau récapitulatif (avec exemples) . . . 4
Commentaire . . . 5
Robin Pourtaud - Devmath - 2021-10-07
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La notion de factorielle est un prérequis à la lecture de cet article. Cette notion est introduite dans ici. Par exemple :4! = 3×2×1(se prononce “factorielle 4” et non “4 factorielle”).
Permutation
Le nombre depermutationsd’un ensemble est le nombre de “mélanges” que l’on peut effectuer sur cet ensemble.
Par exemple: si nous prenons une pomme rouge (R), une pomme bleu (B) et une pomme verte (V).
Combien de mélanges peut-on faire ? Nous avons les mélanges :
• R B V
• R V B
• B V R
• V R B
• B R V
• V B R
Ce qui nous fait 6 mélanges possibles.
Dénombrer (compter le nombre de possibilités) peut être très long ! C’est pourquoi nous avons la formule :
Nombre de permutations=n!
n étant le nombre d’éléments dans l’ensemble.
Dans notre exemple, notre ensemble{R, V, B}possède 3 éléments. En utilisant notre formule, cela nous faitn! = 3! = 3×2 = 6permutations.
Arrangement
Un arrangement (sans répétition) sur un ensemble est le nombre de possibilités de prendrekéléments dans un ensemble ànéléments (en prenant en compte l’ordre).
En reprenant l’exemple précédent : si nous prenons une pomme rouge (R), une pomme bleue (B) et une pomme verte (V). Combien y a-t-il de façons (en gardant l’ordre) de prendre 2 pommes parmi ces 3 pommes ?
• A B
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• B A
• A C
• C A
• B C
• C B
Ce qui nous fait 6. De la même manière, il y a une formule pour calculer le nombre d’arrangement facilement. La voici :
Akn= n!
(n−k)!
Dans notre cask= 2etn= 3. Nous avons donc(3−2)!3! ce qui nous donne61 = 6possibilités.
Pour développer votre intuition,A33 = 3!. Et ceci est vrai pour toutn=k. L’arrangement est une
“extension” du nombre de permutation d’un ensemble, nous cherchons juste à dénombrer le nombre de parties ordonnées de cet ensemble.
Combinaisons
Le nombre de combinaisons d’un ensemble est le nombre de possibilités d’avoirkéléments parmin éléments (sans prendre en compte l’ordre, sans répétition).
Prenons le même exemple : si nous prenons une pomme rouge (R), une pomme bleue (B) et une pomme verte (V). Combien y a -t-il de façons (sans ordre) de prendre 2 pommes parmi ces 3 pommes
?
• A B
• A C
• B C
Pour un ensemble à 3 éléments, nous avons donc 4 combinaisons.
La formule est encore une fois très similaire :
Cnk= n k
!
= n!
k!(n−k)!
Dans notre exemple :C32= 32= 2!(3−2)!3! = 62 = 3
Pour en savoir plus sur les combinaisons (avec exercice) : Coefficient binomial - k parmi n
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Arrangement avec répétitions
L’arrangementavec répétitionsest similaire à l’arrangement sans répétition mais ne se calcule pas de la même manière.
Prenons un exemple différent : Combien y a-t-il de possibilités dans un cadenas (décimal) à 3 chiffres
? Il y a :
• 0 0 0
• 0 0 1
• 0 0 2
• ...
• 9 9 9
Ce qui fait 1000 possibilités.
Prenons un autre exemple : Combien y a-t-il de possibilités dans un cadenas (binaire) à 3 chiffres ? Nous avons :
• 0 0 0
• 0 0 1
• 0 1 0
• 0 1 1
• 1 0 0
• 1 0 1
• 1 1 0
• 1 1 1
Ce qui fait 8 possibilités.
La formule pour dénombrer le nombre d’arrangements avec répétitions est la suivante :
nk
Dans notre premier exemple, nous avonsn= 10etk= 3ce qui nous fait103 = 10×10×10 = 100. Dans notre deuxième exemple, nous avonsn= 2etk= 3ce qui nous fait23 = 2×2×2 = 8
Tableau récapitulatif (avec exemples)
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Opérateur Formule Exemple RépétitionOrdre
Permutation n! Combien de jeux avons-nous dans un
paquet de 54 cartes ?
non oui
Arrangement Akn= (n−k)!n! Combien de podiums (1er 2ème 3ème) sont possibles parmi 32 joueurs ?
non oui
Combinaison Cnk= nk= (n−k)!k!n! Combien de binômes peux-tu former dans une classe de 32 ?
non non
Arrangement avec répétition
nk Combien y a-t-il de possibilités dans un cadenas à 4 chiffres ?
oui oui
Commentaire
Bien évidemment, le dénombrement ne se limite pas à ces 4 méthodes, il existe une multitude de manières de dénombrer. Si vous voulez voir une autre méthode, nous avons proposons un exercice corrigé ici.
