7. Action de Hn

7. Action de H_n(0) sur sur les fonctions de parking

7.1. q-Caract´eristique de PF_n. Rappelons qu’une fonction de parking sur [n] = {1,2, . . . , n} est un mot a=a₁a₂· · ·a_n de longueur n sur [n] dont le r´earrangement croissant a^↑ =a^′₁a^′₂· · ·a^′_n v´erifie a^′_i ≤ipour tout i. Soit PF_n l’ensemble de ces mots.

On s’int´eresse au calcul de G_n(q;A) :=ch_q(PF_n). Les premi`eres valeurs sont G₀= 1, G₁ =S₁, G₂ =S₂+qS¹¹,

G₃= S³+ (q+q²)S²¹+q²S¹²+q³S¹¹¹,

G₄= S⁴+ (q+q²+q³)S³¹+ (q²+q⁴)S²²+q³S¹³+ (q³+q⁴+q⁵)S²¹¹ + (q⁴+q⁵)S¹²¹+q⁵S¹¹²+q⁶S¹¹¹¹.

(224)

On peut d´ecomposer l’ensemble des mots w ∈ [n+r]ⁿ selon la longueur de leur plus long sous-mot de parking p(w) (qui peut ˆetre vide, et est clairement unique). Si p(w) est de longeur k, le sous-mot compl´ementaire ne peut contenir que des lettres sup´erieures `a k+ 1, et peut en fait ˆetre n’importe quel mot de [k+ 2, n+r]^n−k. Donc [27],

(225) [n+r]ⁿ =

n

G

k=0

PF_k [k+ 2, n+r]^n−k.

En prenant les q-caract´eristiques des repr´esentations permutationnelles de H_n(0) sur les deux membres de cette ´egalit´e, et en remarquant que le produit de m´elange de deux ensembles disjoints de mots de longueurs k et n−k revient `a prendre la repr´esentation induite par H_k(0)⊗H_n−k(0), on obtient

(226) S_n([n+r]_qA) =

n

X

k=0

ch_q(PF_k)q^(k+1)(n−k)S_n−k([n+r−k−1]_qA)

ce qui nous permet d’extraire la s´erie g´en´eratrice of G_n(q;A) :=ch_q(PF_n). En effet, en ´ecrivant

(227) (k+ 1)(n−k) =(ⁿ⁺¹2 )⁻(^k+12 )⁻(^n−k2 ) et

(228) F^(r)(x, q;A) =X

n≥0

xⁿq⁻(ⁿ2)S_n([n+r]_qA) on arrive `a l’expression suivante :

La s´erie g´en´eratrice deG_n(q;A) :=ch_q(PF_n) est (229) G(x, q;A) :=X

n≥0

xⁿq⁻(ⁿ⁺¹2 )G_n(q;A) =F^(r)(xq⁻¹, q;A)F^(r−1)(x, q;A)⁻¹. On constate en particulier que cette expression est ind´ependante der, ce qui n’a rien d’´evident a priori.

Exercice. Montrer que pourq= 1, la s´erieg=G(1,1;A) v´erifie l’´equation fonctionnelle g=X

n≥0

Sngⁿ.

Posonsfr=F^(r)(1,1 :A). On a

gⁿ=fnf_n−1⁻¹ fn−1f_n−2⁻¹ · · ·f1f₀⁻¹=fnf₀⁻¹ donc

X

n≥0

Sngⁿ=



 X

n≥0

Sn

X

m≥0

Sm((m+n)A)



f₀⁻¹=



 X

N≥0

SN((N+ 1)A)



f₀⁻¹=g.

On peut faire tendrer vers l’infini et obtenir la forme plus simple (230) G(x, q;A) =F(xq⁻¹, q;A)F(x, q;A)⁻¹

o`u

(231) F(x, q;A) =X

n≥0

xⁿq⁻(ⁿ2)S_n A

1−q

,

o`u l’alphabet _1−q^A est d´efini par

(232) σ₁

A 1−q

=σ₁(A)σ_q(A)σ_q²(A)· · ·=

→

Y

i≥0

σ_qⁱ(A).

La sp´ecialisation A = ❊ (alphabet exponentiel) est d´efinie par σ_t(❊) = e^t (c’est `a dire S_n(❊) = 1/n!). Alors

(233) σ_t

❊ 1−q

= exp t

1−q

et on retrouve ainsi la formule de Gessel pour le d´enombrement par somme des fonctions de parking ([16], voir aussi [49], Ex. 5.48.b et 5.49.c pp. 94-95).

Si l’on prendA= 1, de sorte queσ_t(1) = (1−t)⁻¹, on a

(234) S_n

1 1−q

= 1

(q)_n

et en rempla¸cantqpar 1/qetxpar−1, on reconnaˆıt enF(−1,1/q; 1) etF(−q,1/q; 1) les membres gauches des identit´es de Rogers-Ramanujan. On a en fait une infinit´e d’expressions diff´erentes de la fonction de Ramanujan F(−qx,1/q; 1)F(−x,1/q; 1)⁻¹ comme F^(r)(−qx,1/q; 1)F^(r−1)(−x,1/q; 1)⁻¹. Le cas r = 1 est obtenu dans [44]

(pr´ecis´ement comme une application de l’inversion de Lagrange non commutative).

7.2. Les (k, l)-fonctions de parking. Il existe une notion plus g´en´erale de fonctions de parking associ´ees `a une suite d’entiers positifsu= (u<sub>n</sub>)<sub>n≥1</sub> : ce sont les motsatels que (a<sup>↑</sup>)<sub>i</sub> ≤ u<sub>i</sub>. En g´en´eral, leur d´enombrement ne peut s’obtenir qu’en termes des polynˆomes de Gon˘carov [29]. Dans le cas particulier o`uuest une suite arithm´etique, il y a une formule explicite.

Soit

(235) PF^(k,l)_n ={a∈[l+ (n−1)k]ⁿ|a^↑_i ≤l+ (i−1)k}. Stanley et Pitman [48] ont montr´e que

(236) |PF^(k,l)_n |= l(l+kn)ⁿ⁻¹.

Comme pr´ec´edemment, on peut raffiner ce r´esultat en calculant la caract´eristique non commutative de l’action de H_n(0) sur ces mots. L’argument utilis´e en (225) montre aussi bien (cf. [29])

(237) [N]ⁿ =

n

G

j=0

PF^(k,l)_j [jk+l+ 1, N]^n−k. En prenant N =nk+r, on obtient pour la caract´eristique

(238) X

n≥0

S_n((nk+r)A) = X

n≥0

chPF^(k,l)_n

! X

n≥0

S_n((nk+r−l)A)

! .

Si l’on pose

(239) F(r, k) =X

n≥0

S_n((nk+r)A) on a finalement

(240) ch(PF^(k,l)_n ) =g_n^(k,l)(A),

le terme de degr´e n dans g^(k,l)(A) =F(r, k)F(r−l, k)⁻¹, qui est ind´ependant de r.

Exercice. Montrer que pourl= 1, la s´erieg^(k,1) v´erifi´e l’´equation g^(k,1)=X

n≥0

Sn

hg^(k,1)ikn

.

En prenantA=t❊ et r= l, on retrouve le d´enombrement

(241) X

n≥0

|PF^(k,l)_n |tⁿ n! =

P

n≥0 tⁿ

n!(nk+l)ⁿ P

n≥0 tⁿ

n!(nk)ⁿ =X

n≥0

tⁿ

n!l(nk+l)ⁿ⁻¹

la derni`ere ´egalit´e ´etant une cons´equence de l’identit´e d’Abel (le terme central est g(tk❊)^l/k).

La sp´ecialisationA= 1 donne le nombre de (k, l)-fonctions de parking croissantes de longueur n

(242) g_n^(k,l)(1) =

nk+l+n−1 n

l nk+l.

Les nombres (108), appel´esballot numbersen anglais, sont li´es auprobl`eme du scrutin: dans une

´election o`u les candidatsAetBobtiennent respectivementa=kn+letb=nvoix, on demande la probabilit´e pour que les bulletins soient compt´es de telle sorte qu’`a chaque ´etape du d´epouillement, Aait toujours au moinskfois plus de voix queB.

Soitai le score de Alorsque le i-`eme bulletin pourB apparaˆıt. Formons le motw =a1· · ·an. Alors,ai≥ki+ 1,ai≤ai+1et donccn−i+1= (nk+l+ 1)−aiv´erifieci≤l+ (i−1)l, autrement dit, cest une (k, l)-fonction de parking croissante. Le nombre de (k, l) fonctions de parking croissantes de longueurnest

(243) l

nk+l

nk+l+n−1 n

= a−kb a+b

a+b a, b

et la probabilit´e cherch´ee est donc ^a−kb_a+b.

7.3. L’´equation fonctionnelle. On va maintenant voir que G(x, q;A) r´esout une

´equation fonctionnelle, et retrouver ainsi laq-formule de Lagrange non commutative.

Il sera commode dans la suite de changer q en 1/q et de poser (244) H(x, q;A) :=G(x, q⁻¹;A) =E(qx)E(x)⁻¹ o`u

(245) E(x) =E(x, q;A) =X

n≥0

xⁿq(ⁿ2)S_n

A 1−q⁻¹

.

Alors, H(q^k−1x) =E(q^kx)E(q^k−1x)⁻¹, de sorte que

(246) H⁽ⁿ⁾(x) :=H(qⁿ⁻¹x)H(qⁿ⁻²x)· · ·H(x) =E(qⁿx)E(x)⁻¹, et l’on peut ´ecrire

X

n≥0

xⁿq(ⁿ⁺¹2 )S_n(A)H⁽ⁿ⁾(x) =X

n≥0

xⁿq(ⁿ⁺¹2 )S_n(A)E(qⁿx)E(x)⁻¹

=X

n≥0

xⁿq(ⁿ⁺¹2 )S_n(A)X

m≥0

q(^m2)S_m

A 1−q⁻¹

E(x)⁻¹

= X

N≥0

x^Nq(^N2)S_N

qA+ A 1−q⁻¹

E(x)⁻¹

= X

N≥0

x^Nq(^N+12 )S_N

A 1−q⁻¹

E(x)⁻¹

=E(qx)E(x)⁻¹ =H(x). (247)

Les puissances de q peuvent ˆetre absorb´ees dans les produits en posant K(x) = xqH(x), et finalement, la s´erieK(x) =K(x, q;A) =xqG(x, q⁻¹;A) r´esout l’´equation de la q-formule de Lagrange non commutative de [16, 44]

(248) K(x) =qxX

n≥0

S_n(A)·K⁽ⁿ⁾(x).

Les premiers termes sont

K(x) =xq+x²q²S₁+x³(q⁴S₂+q³S¹¹) +x⁴(q⁷S₃+ (q⁵+q⁶)S²¹+q⁵S¹²+q⁴S¹¹¹) +x⁵(q¹¹S₄+ (q⁸+q⁹+q¹⁰)S³¹+ (q⁷+q⁹)S²²+q⁸S¹³+ (q⁶+q⁷+q⁸)S²¹¹

+ (q⁶+q⁷)S¹²¹+q⁶S¹¹²+q⁵S¹¹¹¹) +· · · (249)

En particulier, g(A) =G(1,1;A) =P

ch(PF_n) est l’unique solution de

(250) g =X

n≥0

S_ngⁿ,

avec S₀ = 1. On obtient g_i en posant q = 1 dans (224), et on retrouve (169) en suposant que les S_i commutent.

La solution [16, 44] est obtenue en posantr= 1 dans (229). L’image commutative donne diverses formes de la q-formule de Lagrange de Garsia-Gessel.

Exercice. Montrer que la fraction continue de Ramanujan

(251) R(x) = 1

1−qx 1

1−q²x 1 1−q³x 1

1− · · · v´erifie

(252) R(−1) =F(−1,1/q; 1)F(−q,1/q; 1)⁻¹= P

n≥0 q^{n2 +n}

(q)n

P

n≥0 qⁿ² (q)n

On a manifestement

(253) R(x)⁻¹= 1−qxR(x)

ce qui peut encore s’´ecrire

R(x) = 1 +qxR(x) +q³x²R(x)R(qx) +q⁶x³R(x)R(qx)R(q²x) +· · ·

= 1 +X

n≥1

xq(ⁿ⁺¹2 )R⁽ⁿ⁾(x) (254)

d’o`u le r´esultat en appliquant (248).

8. Coefficients de la s´erie de Lagrange non commutative

8.1. Une formule explicite pour le coefficient de S^I. L’interpr´etation en termes de codes polonais entraˆıne facilement une expression explicite des coefficients δ_I d´efinis par

(255) g_n = ch(PF_n) =X

I|=n

δ_IS^I

En effet, d´efinissons le squelette d’un arbre T comme l’arbre obtenu en retirant ses feuilles et en ´etiquetant ses sommets internes par leur arit´e. Associons ensuite aus squellete S de T sa 0-composition I₀(S) d´efinie comme la suite des ´etiquettes de ses

sommets parcourus en ordre pr´efixe, autrement dit,I₀(S) est la composition obtenue en ´eliminant les 0 du code polonais.

Le nombre d’arbres de squelette S est clairement (256)

p

Y

k=1

i_k a_k

o`u I<sub>0</sub>(S) = (i<sub>1</sub>, . . . , i<sub>p</sub>) et a<sub>k</sub> est l’arit´e duk-i`eme sommet de l’arbre S, num´erot´es en ordre pr´efixe.

Par exemple, il y a 16 arbres de 0-composition (3,1,2,1) (Figure 2).

Fig. 2. Squelettes de 0-composition (3,1,2,1) et nombre d’abres ayant ces squelettes.

Soit I = (i₁, . . . , i_p) une n. On peut maintenant calculer δ_I. En effet, le coefficient de S^I dans g_n est ´egal au nombre d’arbres surn+ 1 sommets dont la suite des arit´es non nulles lues en ordre pr´efixe est I. Les squelettes de ces arbres sont les arbres ordonn´es sur psommets ´etiquet´es par lesi_k en ordre pr´efixe. Les suites des arit´es des squelettes en ordre pr´efixe sont toutes les suites (a₁, . . . , a_p) telles quea₁+· · ·+a_j ≥j pourj < pet soit ´egal `a p−1 pour j= p. Donca_p = 0 et a₁+· · ·+a_p−1= p−1 de sorte que

(257) δ_I = X

(a1,...,ap−1) p−1

Y

k=1

i_k a_k

,

o`u la somme porte sur toutes les suites (a₁, . . . , a_p−1) telles quea₁+· · ·+a_j ≥j pour tout j et a₁+· · ·+a_p−1 =p−1.

8.2. L’alg`ebre de Hopf des diff´eomorphismes formels non commutatifs.

Brouder-Frabetti-Krattenthaler [4] ont obtenu une autre forme de l’inversion de La- grange non commutative. Elle est ´enonc´ee sous la forme d’une formule explicite pour l’antipode de l’alg`ebre de Hopf des diff´eormorphismes formels non commutatifsH<sup>dif</sup>. En tant qu’alg`ebre,H^dif peut ˆetre identifi´ee avecSymau moyen de la correspondance

a_n =S_n =S_n(A). Le coproduit est alors donn´e par

(258) ∆^difS_n(A) =

n

X

k=0

S_k(A)⊗S_n−k((k+ 1)A). Avec ces notations, le calcul de l’antipode revient `a trouver une s´erie

(259) h(A) =X

n≥0

b_n

o`u b_n ∈Sym_n(A), telle que

(260) 1 =X

n≥0

S_n(A)h(A)ⁿ⁺¹. Donc, h(A) v´erifie l’´equation fonctionnelle

(261) h(A)⁻¹ =X

n≥0

S_n(A)h(A)ⁿ,

diff´erente de celle de Gessel et Pak-Postnikov-Retakh, laquelle s’´ecrit

(262) g(A) =X

n≥0

S_n(A)g(A)ⁿ. Toutefois, la diff´erence n’est pas si grande, car on a

(263) h(A) =g(−A).

En effet, en utilisant l’expression de g(A) obtenue en posant q = 1 dans (229), on peut ´ecrire

(264) g(−A)ⁿ =F(−n)F(0)⁻¹ (n∈❩) o`u

(265) F(x) =X

m≥0

S_m((x−m)A). Donc,

X

n≥0

S_n(A)g(−A)ⁿ =X

n≥0

S_n(A)F(−n)F(0)⁻¹

= X

n≥0

S_n(A)X

m≥0

S_m((−m−n)A)F(0)⁻¹

= X

N≥0

X

m+n=N

S_n(A)S_m((−m−n)A)F(0)⁻¹

= X

N≥0

S_N((−N + 1)A) =F(1)F(0)⁻¹ =g(−A)⁻¹.

On peut donner pour h(A) une interpr´etation combinatoire analogue `a (??). On part du probl`eme d’inversion g´en´erique

(266) f⁻¹ =S₀+S₁f +S₂f²+. . . ,

et on le reformule comme

(267) f = c+d₁f²+d₂f³+. . . ,

On pose c=S₀⁻¹ et d_n =−S₀⁻¹S_n. En calculant r´ecursivement f₀, f₁,. . ., on trouve (268) f₀ =c, f₁ =d₁cc, f₂ =d₁cd₁cc+d₁d₁ccc+d₂ccc ,

et on peut maintenant interpr´eter chaqued_i comme le symbole d’un op´eration (i+1)- aire en notation polonaise. Alors, f_n est la somme des codes polonais des arbres ordonn´es sans sommet d’arit´e 1 sur 2n+ 1 noeuds (ou parenth´esages de Schr¨oder des mots cⁿ⁺¹, ainsi qu’on peut le v´erifier sur la figure 3. De l`a, on retrouve ais´ement la

Fig. 3. Les termes f₀, f₁,f₂ comme sommes d’arbres ordonn´es.

formule (2.21) de [4]. Il suffit de poser c= 1, c’est `a dire de r´esoudre (269) h= 1 +d₁h²+d₂h³+. . . ,

comme

(270) h_n =X

I|=n

λ_Id^I.

On proc`ede comme dans la section pr´ec´edente. ´Etant donn´e le squeletteS d’un arbre T, on d´efinit sa 1-composition I<sub>1</sub>(S) comme la suite des valeurs des ´etiquettes de S moins 1 en ordre pr´efixe. Alors, d’apr`es (256), le nombre d’arbres de squelette S est (271)

p

Y

k=1

i_k+ 1 a_k

o`u I<sub>1</sub>(S) = (i<sub>1</sub>, . . . , i<sub>p</sub>) et a<sub>k</sub> est l’arit´e du k-i`eme sommet de S dans l’ordre pr´efixe.

Par exemple, il y a 34 arbres dont le squelette a (1,3,1,1) pour 1-composition, ainsi qu’on peut le v´erifier sur la figure 4.

Soit I = (i₁, . . . , i_p) une composition de n. Le coefficient de S^I dans h_n est ´egal au nombre d’arbres ordonn´es sur 2n+ 1 sommets dont la s´equence des arit´es non nullles moins 1 lues dans l’ordre pr´efixe est I. Comme pr´ec´edemment, les squelettes de ces arbres sont les arbres ordonn´es sur psommets ´etiquet´es par les composantes de I plus 1 en ordre pr´efixe. Les suites des arit´es des squelettes sont les mˆemes que

Fig. 4.

pr´ec´edemment, de sorte que

(272) λ_I = X

(a1,...,ap−1) p−1

Y

k=1

i_k + 1 a_k

o`u la somme porte sur l’ensemble des a_k tels que a₁ +· · · +a_j ≥ j for all j and a₁+· · ·+a_p−1=p−1. C’est la formule (2.23) of [4]. Dans cette pr´esentation, il est clair que la somme porte sur un ensemble catalan (les arbres ordonn´es).

9. Expression de la s´erie de Lagrange dans diverses bases

Un quasi-rubanest un mot croissant w =a₁. . . a_n segment´e o`u on peut avoir une barrea<sub>i</sub>|a<sub>i+1</sub>seulement sia<sub>i</sub> < a<sub>i+1</sub>. Laformef(w) d’un quasi-rubanw= u<sub>1</sub>|u<sub>2</sub>| · · · |u<sub>r</sub> o`u les u_i n’ont pas de barres est la composition form´ee par les longueurs des u_i, et son ´evaluation est celle du mot u₁u₂· · ·u_r.

Par exemple, w = 111122|3455|89 est un quasi-ruban de forme 642, d’´evaluation 42120011 et d’´evaluation tass´ee (sans les 0) 421211.

Avec ces d´efintions, il est clair que si l’on note QRT(I) l’ensemble des quasi-rubans tass´es de formeI

(273) S^I = X

w∈QRT(I)

R_f(w),

et si QRP(I) est l’ensemble des quasi-rubans de parking de forme I, alors (274) ch_q(PF_n) =G_n(q;A) =X

In

c_I(q)R_I(A). o`u

(275) c_I(q) = X

a∈QRP(I)

q^kak.

Par exemple,

G₃(q;A) = S³+ (q+q²)S²¹+q²S¹²+q³S¹¹¹

= (1 +q+ 2q²+q³)R₃+ (q+q²+q³)R₂₁+ (q²+q³)R₁₂+q³R₁₁₁ (276)

Pourq= 1, ce d´eveloppement pr´esente une sym´etrie remarquable. Le d´eveloppement sur les fonctions ´el´ementaires est donn´e par la mˆeme r`egle que le d´eveloppement sur les rubans, `a conjugaison et signe pr`es :

(277) g_n(A) =X

In

(−1)^n−l(I)c_I^∼Λ^I. Par exemple,

g₃(A) = Λ³−3Λ²¹−2Λ¹²+ 5Λ¹¹¹, (278)

g₄(A) = −Λ⁴+ 4Λ³¹+ 3Λ²²+ 2Λ¹³−9Λ²¹¹−7Λ¹²¹−5Λ¹¹²+ 14Λ¹¹¹¹. (279)

Cette sym´etrie est ´equivalent `a l’invariance de g par l’involution lin´eaire de Sym d´efinie par

(280) ν : S^I 7−→S^I∼,

que l’on peut v´erifier sur l’´equation (202). En effet, sur la base des rubans, ν est donn´ee par

(281) ν(R_I) = (−1)^l(I)−1Λ^I∼. L’image du noyau de Cauchy σ₁(XA) par ν est

X

I

F_Iν(R_I) =X

I

M_Iν(S^I) =X

I

M_IS^I∼ = X

I

M_I^∼S^I

= X

I

X

J≤I

M_I^∼R_J =X

I

M_I^∼ X

J^∼≥I^∼

R_J^∼

= X

I

M_I^∼ X

J^∼≥I^∼

X

K≤J

(−1)^l(J)−l(K)Λ^K

= X

K

X

J≥K

(−1)^l(J) X

I^∼≤J^∼

M_I^∼

! Λ^K

= X

K

X

I

M_I^∼ X

K≤J≤I

(−1)^l(J)

!

(−1)^l(K)Λ^K

= X

K

X

I≥K

M_I^∼(−1)^l(K)

!

Λ^K =X

K

F_K^∼(−1)^l(K)Λ^K

= X

K

F_K(−1)^l(K)−1Λ^K∼. (282)