HAL Id: jpa-00230694
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Submitted on 1 Jan 1990
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PASSAGE DU FOND HOMOGÈNE AU FOND HÉTÉROGÈNE EN TOMOGRAPHIE
ULTRASONORE EN RÉFLEXION
P. Recotillet, J. Lefebvre
To cite this version:
P. Recotillet, J. Lefebvre. PASSAGE DU FOND HOMOGÈNE AU FOND HÉTÉROGÈNE EN
TOMOGRAPHIE ULTRASONORE EN RÉFLEXION. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2),
pp.C2-303-C2-306. �10.1051/jphyscol:1990273�. �jpa-00230694�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n 0 2 , Tome 51, Février 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990
PASSAGE DU FOND HOMOGENE AU FOND HETEROGÈNE EN TOMOGRAPHIE ULTRASONORE EN
REFLEXION
P. RECOTILLET e.t J.P. LEFEBVRE
Laboratoire de MBcanique et d'Acoustique, CNRS, BP. 71, F-13402 Marseille Cedex 9. France
Résumé:Les techniques de tomographie ultrasonore en réflexion, jusque-là appliquées à des cibles situées en milieu homogène infini peuvent également s'appliquer au cas où ces cibles se trouvent "enfouies" dans un milieu de type stratifié.En effet, pour ce cas de figure particulier, on met de nouveau en évidence une relation entre le spectre spatial de l'objet sondé et le spectre temporel des mesures.Le problème inverse linéarisé qui en découle, est ainsi ramené au cas où le milieu de référence est infini homogène.
Abstract: Reflection tomographie technics, applied until now, to targets situated in a homogeneous background, can also apply when these targets are embedded within a stratified backgr0und.h this particular case, we can find again a relation between the object spatial spectrum and the measures temporal spectrum. The linearised inverse problem which follow from, is then reduced to the previously treated one (diffraction within constant background).
L'imagerie ultrasonore a, dans un premier temps, débouché sur les techniques d'échographie qui ne permettent d'obtenir que des images qualitatives malgré leurs performances actuelles (temps réel,haute résolution).Le but des recherches actuelles dans ce domaine est de quantifier l'image de telle façon qu'à chaque pixel soit affectée la valeur d'un paramètre caractéristique du mi1ieu.A ce niveau,il est nécessaire de recourir à une modélisation simplifiée du problème physique de façon à aboutir à un problème inverse praticable.Nous aborderons ici, essentiellement l'étude du probléme direct.
Nous rappellerons la modélisation utilisée pour décrire la diffraction par un objet immergé dans un milieu homogéne infini (qui peut s'appliquer par exemple aux milieux biologiques), pour ensuite aborder I'interaction d'une onde ultrasonore avec une cible enfouie dans un milieu semi-infini; ce dernier milieu pouvant être fortement contrasté par raport au milieu dans lequel est disposé le système d'émission-réception (applicable au contrôle non destructif des matériaux en immersion).Le développement des calculs est mené dans un espace à deux dimensions,pour faciliter les représentations.
-T>IFFRACTION FN MILIEU HOMOGENE INFINI-
Considérons un domaine inhomogène
a,
inclus dans un espace infini homogéne de caractéristiques connues.Nous choisissons de caractériser les inhomogénéïtés par:Z n leurs fluctuations logarithmiques d'impédance
<
=Log-
zo
c n 2
-
c02 ' leurs fluctuations quadratiques de célérité a =c n 2
On cherche à établir l'expression du champ de pression en tout point de I'espace.Les hypothèses de travail sont
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990273
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les suivantes:
* onde incidente plane et harmonique de pulsation w;
* inhomogénéïtés de faible amplitude pour pouvoir utiliser l'approximation de Born au premier ordre(hypothèse de monodiffusion);
* étude en "champ lointain", afin de s'affranchir de la structure généralement complexe du champ proche des transducteurs;
Divers auteurs ont montré que le champ acoustique diffusé en milieu homogène était relié de façon simple aux transformées multi-dimensionnelles de Fourier des paramètres d'inhomogénéïtés caractérisant le domaine £2.
Avec la formulation célérité-impédance que nous avons adoptée et en utilisant ia même procédure qu'à trois dimensions (1), le champ asymptotique s'écrit à deux dimensions:
p
d~ " ^ =7 A / Î T T T
e"
! (7C/4"
k r) h(1)< * • ^ ° - <°>
avec hO) (7?, nrj , to) = k2 [(l-nrj.irt)Ç (T?) + j (1 +"rt.nrj) a (t)] en # = k ("rf-no)
où no et 7? sont les vecteurs unitaires caractérisant respectivement les directions d'incidence et d'observation;
k est le nombre d'ondes angulaire en milieu homogène.
Le principal atout de notre formulation est de réduire à l'unité le nombre de paramètres à reconstruire lorsque l'on travaille en rétrodiffusion (fluctuations d'impédance) ou en transmission (fluctuations de célérité).En effet, quelle que soit la dimension de l'espace,l'étude des diagrammes de directivité (2) de la diffusion par les fluctuations a et Ç montre que les premières produisent essentiellement une diffusion avant et les secondes,essentiellement une diffusion arrière.
Une procédure de reconstruction tomographique permet alors d'effectuer l'imagerie quantitative du paramètre voulu; par exemple Ç lié à l'impédance,si on choisit de travailler en rétrodiffusion (3).
- DIFFRACTION EN SEMI-ESPACE INFINI - CIBLE "ENFOUIE"-
Nous allons maintenant traiter le cas où le milieu de référence est composé de deux milieux homogènes fortement contrasté l'un par rapport à l'autre, et séparé par un interface plan infini.
Géométrie du problème:
onde plane direction incidente J « d'observation
\ f M1(pi,ci)
1 >
M2(p2, c2) x v
I P Û . C Q I
Cette modélisation correspond par exemple au contrôle non destructif en immersion et en ondes longitudinales d'une pièce homogène présentant quelque part un défaut plus ou moins étendu.Cet objet induit la source secondaire F:
F(7*,(û) = (k22 a P - ^-grlida.grtdP + gradÇ.gradP) (T*,co)
L'équation intégrale qui régit le problème (équation de Lippmann-Schwinger) permet de déduire l'expression
du champ diffracté Pd:
On montre que la forme spectrale unidimensionnelle du noyau de Green intervenant dans [ l ] s'écrit:
+ -
où g vérifie ~(x,x',y,y') =
-
1J
g(x,x',~y,y*) e i K y ~ d~~2n
.,
avec P l 2 = k12
-
Ky2 et ~2~ = kz2-
Ky2 En injectant [2] dans l'expression [l], il vient:Le champ diffusé s'exprime donc en fonction de la transformée bidimensionnelle spatiale de Fourier de la source F.
En supposant à nouveau que l'on peut utiliser l'approximation de Born,que le champ incident est une onde plane et en procédant à un changement de repére lié à la cible et à la direction d'observation,on obtient une nouvelle expression intégrale pour le champ diffusé.
L'étape suivante consiste à se placer dans une approximation grande distance et à résoudre l'intégrale par la méthode de la phase stationnaire (4) .On obtient finalement:
2p2~2cosel COS
P b ( r * p * w ) =
4 * p2c2cosel+p1c1cose~ k l c o s p + ~ c o s W A(CO) ei(k1 r-7
h ( l ) ( 3 , iï$
, a )
A A
avec h ( l ) ( 3 ,
iï$ ,
CO) = k22 [(1-n72.3)5(Tt) +
(1+3.m
o (TOI ent
= k2 ( 3 - 4 )Dans le milieu ~ 2 , 3 2 et
n'
caractérisent respectivement les directions d'incidence et d'observation; h(l) est la réponse fréquentielle en diffusion et son expression est identique à celle donnée pour un milieu homogéneinfini.
~ ~ ~ C ~ C O S O I
La quantité ~ ~ C ~ C O S O ~
PRO CI COS^^
représente le coefficient de transmission en pression du milieu M l vers le milieu M2.A(w) est le spectre d'amplitude de l'impulsion.
81 et cp représentent respectivement les directions d'incidence et d'observation dans Ml; 82 et
w
Sont les angles de réfraction dans Mn : k l sin 81 = k2 sin 02 et k l sincp = k2 sinyEn conclusion, ce résultat permet de ramener le probléme posé (diffraction à "fond" variable d'un type particulier) à celui traité précédemment (diffraction à "fond" constant).
On traite ensuite le problème inverse en adaptant simplement les procédures mises au point pour un milieu de référence homogéne et infini,pour tenir compte de la réfraction à l'interface Ml-M2.
La reconstruction tomographique met en oeuvre l'algorithme de reconstruction par sommation des rétroprojections filtrées en lui adjoignant toutefois une procédure de "recentrage" des données permettant de corriger les effets dûs à la réfraction. On choisit en outre,un balayage spatial irrégulier du milieu M l afin d'obtenir un balayage spatial régulier du milieu M2.
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REFERENCES:
(1) J.P. Lefèbvre,"La tomographie d'impédance acoustique
",
traitement du signal vo1.2,n02 1985.(2) J.P. LefBbvre,"a linearised inverse problem;acoustic impedance tomography of biological media",colloque diffusion électromagnétique et acoustique détection et probléme inverse, Marseille,mai-juin 1988.
(3) J.P. Lefèbvre,"La tomographie ultrasonore en réflexion", J.Acoustique l(1988) 123-128.
(4) S.M. Candel,C.Crance, "Direct Fourier synthesis of waves in layered media and the method of stationnary phase". J. of Sound and Vibration, vo1.74(4),1981.
=niveau nin.
m
EJEJ
m
m
rn
rn
a x a
--
niveau nax.
Reconstruction tomographique d'un cylindre d'eau (pi=
