Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
lois de probabilités
•Loi de distribution Normale
) ,
( µ σ
N
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
• Définition
On dit qu’une variable aléatoire est continue s’elle exite une fonction continue (sauf au plus dans un ensemble fini ou dénombrable),
X
) (x f
plus dans un ensemble fini ou dénombrable), positive telque
∫
−∞=
≤ x x f t dt X
P[ ] ( )
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
• Remarque(déf_2)
Une variable aléatoire continue est donc une variable qui prend des valeurs dans un interval I=[a,b] de IR avec une densité de probabilité
X
) (x
I=[a,b] de IR avec une densité de probabilité f
telque:
• et
•
) (x f
0 )
(x ≥ f
+∞
∫
∞
−
=1 )
( dxx f
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
Apartir de cette fonction densité en calcul la probabilité d ‘un événement relatif à la variable aléatoire de la forme suivante:
∫
=
≤
≤ x
x x
2
Noter bien
La valeur en un point x de la fonction densité n’est pas la probabilité en ce point:
∫
=
≤
≤ x
x
dx x f X
P x x
2
1
) ( ]
[ 1 2
∫ =
=
= x
x
dt t f x
X
P[ ] ( ) 0
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
• Fonction de Répartition (ou de Distribution) La fonction de répartition définie para
est reliée a la fonction de densité par
∫∞
−
=
≤
= P X x x f t dt x
F( ) [ ] ( )
est reliée a la fonction de densité par l’expression
∫∞
−
dt x x dF
f ( )
)
( =
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
• Propriétés 1.
2.
3. est non décroissante, continue adroite
1 ) (+∞ = F
0 ) (−∞ = F
3. est non décroissante, continue adroite 4.
5.
(.) F
) ( )
( )
( ]
[ 1 2 2 2
2
1
x x
x
x F
x x
F dx x f X
P ≤ ≤ = ∫ = −
) (
1 ]
[ X x F x
P > = −
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
• Espérance Mathématique
• Variance et écart type
+∞∫
∞
−
=
= xf x dx X
E( ) µX ( )
• Variance et écart type
Ecart type
2 2
2 2 2
) ( )
(
) ( ) (
] ) [(
] [
−
=
−
=
−
=
=
∫
∫
∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
+∞
∞
−
dx x xf dx
x f x
dx x f x
X E X
V σ X µX µX
) ( X
X = V
σ
Variables aléatoires Continues et lois de probabilités
• Propriétés
Soit a,b deux constante , alors on a
• E[aX+b]=aE[X]+b ---Opérateur lineair
• V[aX+b]= V[x]---Opérateur Quadratique
a
2• V[aX+b]= V[x]---Opérateur Quadratique
• Remarquez que ces propriétés de son les mêmes qu’en cas d’une variables aléatoire discrète.
a
2Loi de probabilité Continue Loi Normale de Gauss
• Définition
On dit qu’une variable aléatoire x suit une loi normale si sa fonction de densité est définie par: 1 1 x− µ 2
par:
où on a
−
−
=
2
2 exp 1
2 ) 1
( σ µ
πσ x x
f
718 .
2 ,
14 . 3 ,
, ∈ 0 = =
∈ IR σ
IR
+ π eµ
Loi de probabilité Continue Loi Normale de Gauss
• Fonction de répartition
∫∞
−
−
−
=
≤
=
x x
x X P x
F
2
2 exp 1
2 ] 1
[ )
( σ
µ πσ
On note
et on dit que la variable aléatoire suit une loi normale de paramètres et
) ,
(
µ σ
N X ≈
X
µ σ
