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- un déplacement de corps solide - une rotation

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

DEFORMATIONS

(2)

Il faut utiliser :

- une déformation

- un déplacement de corps solide - une rotation

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Cadre général

(3)

vitesse d'un point : v( x , t)

P v

x

C(t)

P

X C 0

vitesse autour du point P : dv = grad X (v).dX = grad X (v).F -1 .dx = F.F -1 .dx v+dv

. Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F . -1

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Tenseur gradient des vitesses de déplacement

(4)

Tenseur « taux de déformation » D = ½ (L+L t )

Tenseur « taux de rotation » Ω Ω

Ω Ω = ½ (L-L t )

L = D+Ω Ω Ω Ω

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Tenseurs taux de déformation et de rotation

(5)

Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ?

C0 C(∆∆∆∆t) C(2∆∆∆∆t)

etc…

La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps Configuration « lagrangienne réactualisée »

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Intégration dans le temps

(6)

C : tenseur des dilatations P

C 0

P C(t) dy dx

dX dY

dx . dy = dX . F t .F . dY

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Tenseur des dilatations

(7)

P C 0

P C(t)

dx

dX N X

λ(N X ) = ||dx|| / ||dX|| = N X .C.N X

Dilatation λ (ou changement de longueur) dans la direction N X :

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Dilatation dans une direction

(8)

P C 0

P C(t) dy dx

dX dY

N X N Y

Glissement (ou changement d’angle α) entre les directions N X et N Y : cos(α(N X, N y )) = dx . dy / ||dx|| ||dy|| = N X .C.N Y / λ(N X ) λ(N Y )

α ?

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Angle entre deux directions

(9)

tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (F t F-I) P

C 0

P C(t) dy dx

dX dY

dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Tenseur des déformations de Green-Lagrange

(10)

tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C -1 ) = ½ (I-F -t F -1 ) P

C 0

P C(t) dy dx

dX dY

dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi

(11)

évolution de la composante u i du déplacement le long de la direction x j de l ’espace

a 1 a 2

état initial

d = grad X (u) ou d ij = u i,j L = grad X (v)

identification de C 0 et C(t) : F ≈ . grad X (v) F = I + grad(u)

état courant

d 11 = 0 d 12 > 0 d 21 = 0 d 22 = 0

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Tenseur gradient des déplacements

(12)

- symétrique - diagonal

dans le repère

- antisymétrique - « rotation »

des axes a 1

a 2

état initial état courant

Tenseur des

déformations Tenseur des

rotations

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Déformation et rotation de corps solide

(13)

F = I+d

dv = det(F)dV = det(I+d)dV ≈ (1+tr( ε ))dV

En tout point du solide, la variation de volume est donnée par la trace du tenseur des déformation

dv P

x

C(t)

P dV

X C 0

d = grad( u )

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Dilatation volumique

(14)

ε (symétrique) donné est-il toujours le tenseur

de déformation d’une ou de plusieurs transformations ?

d ε ω

ε ε ε ε

6 équations de compatibilité doit être tel que : d.dX = du où du est une différentielle totale

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Équations de compatibilité

(15)

différents points de mesure

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Mesure des déformations

(16)

tous les déplacements sont imposés nuls sur cette ligne

le vecteur déplacement est imposé ici (chargement de la structure)

∂ Ω u

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites Conditions aux limites

(17)

Déformations

Hypothèse des petites perturbations

équations de compatibilité

ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk

vecteur déplacement : u( X ,t)

conditions aux limites : u = U sur ∂ Ω u

tenseur des déformations :

ε = ½ (grad(u) + grad(u) t )

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

Résumé

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