DEFORMATIONS
Cadre général
Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
DEFORMATIONS
Il faut utiliser :
- une déformation
- un déplacement de corps solide - une rotation
Cadre général
Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Cadre général
vitesse d'un point : v( x , t)
P v
x
C(t)
P
X C 0
vitesse autour du point P : dv = grad X (v).dX = grad X (v).F -1 .dx = F.F -1 .dx v+dv
. Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F . -1
DEFORMATIONS
Cadre général
Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Tenseur gradient des vitesses de déplacement
Tenseur « taux de déformation » D = ½ (L+L t )
Tenseur « taux de rotation » Ω Ω
Ω Ω = ½ (L-L t )
L = D+Ω Ω Ω Ω
Cadre général
Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ?
C0 C(∆∆∆∆t) C(2∆∆∆∆t)
etc…
La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps Configuration « lagrangienne réactualisée »
DEFORMATIONS
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Intégration dans le temps
C : tenseur des dilatations P
C 0
P C(t) dy dx
dX dY
dx . dy = dX . F t .F . dY
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Tenseur des dilatations
P C 0
P C(t)
dx
dX N X
λ(N X ) = ||dx|| / ||dX|| = N X .C.N X
Dilatation λ (ou changement de longueur) dans la direction N X :
DEFORMATIONS
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Dilatation dans une direction
P C 0
P C(t) dy dx
dX dY
N X N Y
Glissement (ou changement d’angle α) entre les directions N X et N Y : cos(α(N X, N y )) = dx . dy / ||dx|| ||dy|| = N X .C.N Y / λ(N X ) λ(N Y )
α ?
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Angle entre deux directions
tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (F t F-I) P
C 0
P C(t) dy dx
dX dY
dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY
DEFORMATIONS
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Tenseur des déformations de Green-Lagrange
tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C -1 ) = ½ (I-F -t F -1 ) P
C 0
P C(t) dy dx
dX dY
dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
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Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi
évolution de la composante u i du déplacement le long de la direction x j de l ’espace
a 1 a 2
état initial
d = grad X (u) ou d ij = u i,j L = grad X (v)
identification de C 0 et C(t) : F ≈ . grad X (v) F = I + grad(u)
état courant
d 11 = 0 d 12 > 0 d 21 = 0 d 22 = 0
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Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
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Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
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Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Tenseur gradient des déplacements
- symétrique - diagonal
dans le repère
- antisymétrique - « rotation »
des axes a 1
a 2
état initial état courant
Tenseur des
déformations Tenseur des
rotations
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
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Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Déformation et rotation de corps solide
F = I+d
dv = det(F)dV = det(I+d)dV ≈ (1+tr( ε ))dV
En tout point du solide, la variation de volume est donnée par la trace du tenseur des déformation
dv P
x
C(t)
P dV
X C 0
d = grad( u )
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Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Dilatation volumique
ε (symétrique) donné est-il toujours le tenseur
de déformation d’une ou de plusieurs transformations ?
d ε ω
ε ε ε ε
6 équations de compatibilité doit être tel que : d.dX = du où du est une différentielle totale
Cadre général
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Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Équations de compatibilité
différents points de mesure
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Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Mesure des déformations
Ω
tous les déplacements sont imposés nuls sur cette ligne
le vecteur déplacement est imposé ici (chargement de la structure)
∂ Ω u
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Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites Conditions aux limites
Déformations
Hypothèse des petites perturbations
équations de compatibilité
ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk
vecteur déplacement : u( X ,t)
conditions aux limites : u = U sur ∂ Ω u
tenseur des déformations :
ε = ½ (grad(u) + grad(u) t )
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
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Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique
Équations de compatibilité Mesure des déformations
Résumé Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Résumé