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Simulation numérique du transfert thermique d’un jet rond impactant une cavité cylindrique
F. Zidouni Kendil 1 et A. Mataoui 2
1 Centre de Recherche Nucléaire de Birine, COMENA, B.P. 180, Ain Ouassara, Djelfa, Algérie 2 Laboratoire de Mécanique des Fluides, Faculté de Physique,
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène, B.P. 32, El-Alia, Bab Ezzouar, Alger, Algérie
Résumé - Le transfert thermique d’un jet rond impactant une cavité cylindrique ouverte sur une extrémité à l’air ambiant est numériquement investigué pour une gamme de Reynolds 20 000 à 100 000 et pour des distances d’impact Lf (jet - fond de la cavité) variant de 2 à 30 fois le diamètre du jet.
Les équations de transport régissant le transfert de quantité de mouvement et de chaleur sont couplées au modèle statistique de la turbulence à deux équations du type énergie – dissipation (k-ε), basé sur l’hypothèse de la viscosité turbulente et diffusivité thermique de la turbulence. Les zones proches des parois solides sont traitées par une loi de paroi de type logarithmique pour mieux considérer le transport visqueux dans la sous-couche laminaire. La résolution numérique des équations aux variables primitives est réalisée à l’aide d’une méthode des volumes finis. Les résultats de transfert thermique sont compatibles avec la structure dynamique qui s’est développé à l’intérieur de la cavité. Nous avons également ressortie quelques similitudes dans l’évolution du nombre de Nusselt local de la paroi frontale par rapport à celui d’un jet impactant une plaque plane obtenue expérimentalement et théoriquement par plusieurs chercheurs.
1. INTRODUCTION
Le jet impactant est une technique bien connue dans l’industrie tel que le séchage de textile, le recuit, le refroidissement des surfaces des pièces électroniques ou des aubes de turbines à gaz, la trempe de verres et le traitement des polymères. Si on considère comme exemple la trempe de verre dans son processus industriel, un système jet-cavité est une des solutions technique qui permet une productivité de haute qualité. En effet lorsque le système de refroidissement est faible, il cause une distribution non favorable des tensions de cisaillement ce qui peut provoquer la défaillance de l’objet [1]. L’ajustement du transfert de chaleur s’effectue par un choix judicieux du débit d’air frais, des dimensions de la tuyère et celles de la cavité. C’est ce qui motive notre étude dans laquelle nous présentons un jet rond impactant une cavité cylindrique, ouverte sur l’extrémité amont du jet, (Fig. 1). Dans la présente étude nous examinons l’influence du nombre de Reynolds et de la distance d’impact du jet au fond de la cavité sur le coefficient de transfert thermique.
2. RESOLUTION MATHEMATIQUE
2.1 Formulation mathématique
Le fluide est considéré comme newtonien, incompressible et avec des propriétés physiques constantes. L’écoulement est stationnaire. Les champs aérodynamique et thermique de l’écoulement sont décrits par les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et de l’énergie, exprimées par les moyennes de Reynolds des équations correspondantes
x 0 U
i i =
∂
∂ (1)
−
∂ ν∂
∂ + ∂
ρ
∂
− ∂
∂ =
∂
j i j i j i
j i
j u u
x U x P x x
U U (2)
260
− θ
∂ α∂
∂
= ∂
∂
∂
j j j j
j u
x T x x
U T (3)
2.2 Modélisation de la turbulence
Le modèle k-ε à deux équations basées sur le concept de viscosité turbulente de Prandlt Kolmogorov est utilisé. Les tensions de Reynolds et les corrélations de vitesse - température sont reliées au champ moyen par la relation de Boussinesq :
= ν ε Γ
= ν
∂ Γ ∂
= θ +
ν
− δ
=
) 5 Pr (
k et C
) 4 x (
u T et ) U U ( 3k
u 2 u
t t t 2
/ 3 µ t
j t j i
, j j , i t ij j
j
L’énergie cinétique de la turbulence k et son taux de dissipation ε sont donnés par :
( )
( )
ε
σ + ν ν ε +
− ε +
ν
= ε
ε
−
σ + ν ν + +
ν
=
ε
ε (7)
C k U U k U
C U
) 6 ( k
U U U k
U
j , j , t t 2
2 j , i i , j j , i t 1 j , j
j , j , k j t
, i i , j j , i t j , j
Les constantes empiriques les plus couramment utilisées sont celles de Jones et Launder [2], tel que: Cε1=1.44, Cε2 =1.92, Cµ =0.09, σ2=1.0 et
∑
ε=1.21.2.3 Modélisation près de la paroi
On définit les variables adimensionnelles suivantes :
τ + =
U Up Up et
= τν
+ p
p
y
y U .
Dans la zone de proche paroi, nous avons utilisé un raccordement par la loi de paroi de type logarithmique en adoptant le formalisme mis en oeuvre par Launder et Spalding [2, 3] :
( )
κ >
= + ≤+
+ +
+
63 . 11 y si y
E 1ln
63 . 11 y si y
U
p p
p p
p et le coefficient de frottement à la paroi
est donnée par : µ +
= ρ τ
p p 4 1 p 4 1
p U
U k C
42
.
=0
κ est la composante de Von-Kerman, E est une constante empirique (E=9.0) 2.3 Conditions aux limites
A la figure 1, on montre les différentes frontières du domaine de calcul : a. Entrée (AC) : On a imposé des valeurs uniformes pour toutes les variables :
Ui
,
V=0,
ki =10−4U2i,
εi =k1i.5/0.15det
T=T0b. Axe de symétrie (AB) : La composante de vitesse V est nulle, ainsi que le gradient de toutes les grandeurs transportables, à savoir:
0
V= et ∂U/∂r=∂T/∂r=∂k/∂r=∂ε/∂r=0
c. Sortie du fluide (CE) : Cette frontière libre constitue une zone d'entraînement où la composante de vitesse U est déduite à partir de l’équation de continuité. On a :
0 x / x / k x / T x /
V ∂ =∂ ∂ =∂ ∂ =∂ε ∂ =
∂
261 d. Paroi (CD), (EF) et (BF) : Nous avons imposé la condition d’adhérence et on adopte une loi logarithmique de la couche limite turbulente (thermique et dynamique) pour toutes les variables φ du problème.
3. Procédure numérique
3.1 Méthode des volumes finis
La méthode numérique des volumes finis, utilisée, impose une transformation des équations sous la forme générale :
( )
Φ
Φ +
∂ Φ Γ ∂
∂
= ∂
∂ Φ ρ
∂ S
x x
x U
j j
j
i (8)
où Φ est une fonction générique représentant U, V, T, k, ε et SΦ est le terme source spécifique à l’équation correspondante pour le modèle k-ε.
Fig. 1: Géométrie du système et domaine de calcul
Fig. 2: Maillage décalé Fig. 3: Configuration du maillage La résolution numérique de ces équations a été effectuée en variables primitives à l'aide de la méthode des volumes finis [4]. Les composantes de U et V sont discrétisées sur des maillages décalés par rapport aux nœuds du maillage principale des autres grandeurs scalaires (p, T, k et ε).
Les termes de convection-diffusion sont approchés à l’aide d’un schéma de type loi de puissance PLDS. Le couplage vitesse-pression est résolu grâce à l’algorithme SIMPLE, qui permet à la convergence la satisfaction de l’équation de continuité. La structure tridiagonale des coefficients de la matrice associée à l’équation discrétisée (7) conduit à l’utilisation de l’algorithme de matrice tridiagonale de Thomas (TDMA) qui englobe un processus du type gaussien suivi d’une substitution inverse.
262
Du fait du couplage et de la non linéarité des équations, la stabilité du processus itératif n’est assurée que par l’utilisation de coefficient de sous relaxation et par une linéarisation adéquate des termes source. La convergence de la méthode est contrôlée par l’examen de l’évolution des résidus relatifs à chacune des équations et du défaut de masse intervenant comme terme source de l’équation de correction de pression, ainsi que l’examen de l’évolution des variables calculées en des nœuds de maillage présélectionnés arbitrairement.
3.2 Maillage
Le maillage utilisé est une grille de 120x36 pour la configuration Lf =8d (Fig. 3). Celle-ci a donné des résultats stables et indépendants du maillage. On a procédé à un resserrement des cellules de la grille près des parois de la cavité afin de tenir compte des variations rapides des différentes grandeurs dans cette région. Les premiers noeuds du maillage ont été choisis dans la zone logarithmique de la couche limite.
4. RESULTATS ET COMMENTAIRES
4.1 Evolution nombre de Nusselt local latérale et frontale avec la distance d’impact
Pour un même nombre de Reynolds (Re=37400), le transfert thermique sur le fond de la cavité est beaucoup plus important que sur la surface latérale (Fig. 4 et 5) et le maximum du transfert thermique local au niveau des deux parois est obtenu pour la configurationLf =8d. La figure 4, présente plusieurs pics. Le premier pic correspond au point d’arrêt (soit r≈0). Le nombre de Nusselt diminue depuis r=0 jusqu’àr=0.5d, ce qui correspond à la section du jet.
Ce maximum est dû à l’existence d’un profil de vitesse uniforme autour du point d’arrêt. Pour une distance d’impact plus importante, ce maximum disparaît à cause de l’atténuation du jet au profit d’un tourbillon au fond de la cavité [6]. Le second pic correspond à la section étroite du jet pariétal, soit r=1.4d. Au delà des sectionsr d>0, on constate une décroissance quasi linéaire.
Ce résultat est similaire à celui de Merci (2003) [7] pour le transfert thermique d’un jet rond impactant une plaque plane.
Fig. 4: Evolution du nombre de Nusselt local de la paroi frontale avec la distance d’impact
L , f Re=37400
Fig. 5: Evolution du nombre de Nusselt local de la paroi latérale avec la distance d’impact
L , f Re=37400
Sur la paroi latérale, (Fig. 5), on observe, aux distances d’impact Lf ≤8d, deux pics bien distincts : Le premier pic se situe à la section x=−5d pour Lf =4d et à la section x=0 pour
d 8
Lf = . Le second pic se situe à x=−2.5d pour la configuration Lf =4d et x=0 pour la
263 configuration Lf =8d. Lorsque Lf ≥15d, l’évolution comporte un seul pic à la position
d 10
x= pour toutes les configurations.
4.2 Evolution du nombre de Nusselt local latéral et frontal avec le nombre de Reynolds Les figures 6 et 7, montrent que l’accroissement du nombre de Reynolds conduit à une augmentation systématique du transfert de chaleur sur les deux parois latérale et frontale. Cette évolution est tout à fait prévisible puisque l’augmentation du nombre de Reynolds traduit une évolution similaire de la vitesse.
4.3 Evolution du nombre de Nusselt moyen et local au point d’arrêt avec la distance d’impact Cette étude est effectuée sur la paroi frontale de la cavité, vu l’importance du taux de transfert sur cette paroi. Le coefficient de transfert de chaleur moyen est déterminé en intégrant les valeurs des coefficients de transfert locaux sur toute la section circulaire du fond de la cavité. Celui-ci est donné par :
r d Nu r 2 r Nu 1
rjet
0 2 jet
moyen = π
∫
π (9)Les variations du nombre de Nusselt local au point d’arrêt Nu et moyen 0 Numoyen sur la paroi frontale en fonction de la distance d’impact sont reportées respectivement aux figures 8 et 9 en coordonnées logarithmiques, à un Reynolds égale à 37400. A partir d’un ajustement par la méthode des moindres carrés, nous avons obtenu les deux corrélations suivantes :
20718 . 0 0 f
d 625 L . 227
Nu
= et 2 L 12
d 5108 L . 7
Nu f
91388 . 0
moyen f ≤ ≤
= (10)
Fig. 6: Evolution du nombre de Nusselt local de la paroi frontale avec le
nombre de Reynolds
Fig. 7: Evolution du nombre de Nusselt local de la paroi latérale avec le
nombre de Reynolds 5. CONCLUSION
Le refroidissement des parois internes d’une cavité cylindrique par un jet d’air axisymétrique a été simulé numériquement par la méthode des volumes finis moyennant le modèle de turbulence (k-ε) à fort nombre de Reynolds raccordé à fonction logarithmique thermique et dynamique universelle au voisinage des parois solides.
Cette étude nous a permis de retrouver les caractéristiques thermiques suivantes:
Pour un même nombre de Reynolds, le maximum du transfert thermique est beaucoup plus important à la surface frontale qu’à la surface latérale.
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L’évolution du nombre de Nusselt sur la paroi frontale présente deux pics. Le premier correspond au point d’arrêt et le suivant correspond à la section du jet pariétal.
Sur la paroi frontale, les nombres de Nusselt moyen et local au point d’arrêt ont été corrélés chacun par une relation de la forme : Nu=C.
(
Lf d)
β.Fig. 8: Evolution du nombre de Nusselt local au point d’arrêt avec la distance Lf
Fig. 9: Evolution du nombre de Nusselt Moyen avec la distance Lf
NOMENCLATURE
d Diamètre du jet Tw Température des parois de la cavité
L Longueur caractéristique, L=1m T0 Température à la sortie de la conduite Lf Distance d’impact avec le fond
de la cavité
ν νt
Viscosité cinématique
Viscosité cinématique turbulente
P Pression λ Conductivité thermique
Ui Composante du vecteur vitesse ρ Masse volumique Yp Distance à la paroi qw Densité de flux de chaleur Xa Distance adimensionnelle,
d L
x− d θ Température adimensionnelle relative à
la température de la cavité et celle du fluideθ=
(
T−Tw) (
T0−Tw)
Pr Nombre de Prandtl Nu Nombre de Nusselt
REFERENCES
[1] Hai-Jun Kang and Wen-Quan Tao, ‘Heat and Mass Transfer for Jet Impingement in a Cylindrical Cavity with One and Open to the Ambient Air’, AIAA Paper 89 - 0173, 1989.
[2] P.G. Huang, B.E. Launder and M.A. Leschziner, ‘Discretization of Nonlinear, Convection Processes a Broad Range Comparison of Four Schemes’, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 48, pp. 1 - 24, 1985.
[3] B.E. Launder and D.B. Spalding, ‘The Numerical of Computation of Turbulent Flows’, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 3, p. 269, 1974.
[4] S.V. Patankar, ‘Numerical Heat Transfer and Fluid Flow’, McGraw - Hill, New-York, 1980.
[5] J.O. Hinze, ‘Turbulence’ McGraw - Hill, Inc., Second Edition, 1975.
[6] A. Benaissa, ‘Contribution à l’Etude de l’Evolution d’un Jet d’Air à Symétrie Axiale dans une Cavité Cylindrique’, Thèse de Magister, Mécanique des Fluides, USTHB, Alger, Sept. 1985.
[8] B. Merci and E. Dick, ‘Heat Transfer Predictions with a Cubic k–ε Model for Axisymmetric Turbulent Jets Impinging onto a Flat Plate’, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 46, pp. 469 – 480, 2003.
