Revue des Energies Renouvelables CER’07 Oujda (2007) 37 – 40
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Optimisation des vibrations transmises au sol par une éolienne
J. Boustela 1* , M. Benelmostafa 1 et Y. Benelmostafa 2
1 UFR de Mécanique des fluides et Energétique,
Laboratoire de Physique Théorique des Particules et Modélisation, Faculté des Sciences, Oujda, Maroc 2 Ecole des Ingénieurs en Génie des Système Industriels, Casablanca, Maroc
Résumé - L’énergie éolienne est connue comme le meilleur système de production d’énergie électrique. Plusieurs parcs d’éoliennes sont implantés dans différents pays du monde, certains font figure de pionniers contrairement à d’autres. Ces parcs sont toujours installés dans des cites isolés éloignés des centres d’utilisation, y compris en pleine mer. Plusieurs recherches ont été faites pour parvenir à approcher ces éoliennes de leurs utilisateurs afin de minimiser le coût de production de l’électricité. Mais à cause de leurs tailles et de leurs poids, les éoliennes font face à beaucoup de problèmes, les deux principaux sont le bruit et les vibrations mécaniques. La vibration induite par le mouvement des pales provoque des effets considérables sur les éoliennes elles mêmes, sur l’infrastructure et sur le sol.
1. INTRODUCTION
L’énergie éolienne, a connu un développement remarquable ces dernières années en tant qu’énergie renouvelable capable de remplacer l’or noir, cependant les constructeurs de ce secteur pensent toujours à minimiser le coup de production de cette énergie. Dans ce travail, on étudie les vibrations transmises par une éolienne au sol, pour cela on modélise, dans un premier temps, l’éolienne par un parallélépipède en liaisons viscoélastiques avec le sol et excité par une force harmonique. Il s’ensuit l’étude des vibrations de ce système dans le but de les rendre minimales [1, 2].
Mouvement de vibration d’un parallélépipède
Un parallélépipède en mouvement vibratoire, relié au sol par des liaisons viscoélastiques appliquées aux 4 sommets A, B, C, D d’un rectangle horizontal, de largeur 2a et de longueur 2b.
On admet qu’il y a symétrie par rapport au plan longitudinal xG0z passant par le centre G du 0 parallélépipède. Soit K , 1 C la raideur et le coefficient d’amortissement aux sommets A et B 1 dans les directionsG0x, G0y et G0z, K , 2 C la raideur et le coefficient d’amortissement 2 aux sommets C et D dans les directionsG0x, G0y etG0z. La masse du parallélépipède est m . On donne les moments d’inertiej , 1 j et 2 j par rapport aux axes3 G0x, G0y et G0z que l’on suppose axes principaux d’inertie. G0x est dit axe d’avance et de roulis, G0yest dit axe de ballant et de tangage, G0z est dit axe de pompage et de lacet. G est à une distance h au dessus 0 du plan horizontal A,B,C,D [3].
2. EQUATIONS DE MOUVEMENTS
Pour trouver les équations de mouvements, on applique le théorème de Lagrange [4], soit :
A i i i
i Q
q R q
L q
L t d
d =
∂ + ∂
∂
− ∂
∂
∂
ɺ
ɺ (1)
Tel que : L = T−VS avec L : le Lagrangien, R : la fonction de dissipation de Rayleigh, T : l’énergie cinétique, V : l’énergie potentielle et S Q : la fonction généralisée. iA
* j_boustela@yahoo.fr
J. Boustela et al.
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Fig. 1: Parallélépipède en liaisons viscoélastiques On a :
γ β α
γ β
= α
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
z y x
j 0 0 0 0 0
0 j 0 0 0 0
0 0 j 0 0 0
0 0 0 m 0 0
0 0 0 0 m 0
0 0 0 0 0 m
z y x
T 2
3 2 1 T
γ β α
+
−
+
−
+
−
−
γ β
= α z
y x
) b a ( K 2 0 bh
' K 4 0 b ' K 4 0
0 ) h b ( K 2 0 h ' K 4 0 Kh 4
bh ' K 4 0
) h a ( K 2 0 Kh 4 0
0 h
' K 4 0
K 2 0 0
b ' K 4 0
Kh 4 0 K 2 0
0 Kh
4 0
0 0 K 2
z y x
V 2
2 2 2 2 2
2 T
s
γ β α
+
−
+
−
+
−
−
γ β
= α
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
z y x
) b a ( C 2 0 bh
' C 4 0 b ' C 4 0
0 ) h b ( C 2 0 h ' C 4 0 Ch 4
bh ' C 4 0
) h a ( C 2 0 Ch 4 0
0 h
' C 4 0
C 2 0 0
b ' C 4 0
Ch 4 0 C 2 0
0 Ch
4 0
0 0 C 2
z y x
R 2
2 2 2 2 2 2 T
avec:
1
2 K
K
K = + et K' = K2−K1
1
2 C
C
C= + et C' = C2 −C1
On introduit T, V et R dans l’équation (1) on trouve une équation au second ordre :
{
q(t)}
[C]{
q(t)}
[K]{
q(t)} {
F(t)}
] M
[ ɺɺ + ɺ + = (2)
3. RESOLUTION DES EQUATIONS
La résolution de la plupart des équations différentielles requiert l’utilisation des méthodes numériques. Chacune de ces méthodes peut être appliquée à la résolution de la majorité des équations différentielles. Dans notre étude, on va utiliser les méthodes de Runge Kutta, car elles présentent plusieurs avantages, à savoir : facilité de programmation, stabilité de la solution,
CER’2007: Optimisation des vibrations transmises au sol par une éolienne 39 modification simple du pas et la connaissance de y (0) suffit pour intégrer l'équation différentielle.
Les inconvénients de cette méthode se résument au temps de calcul lent et à la difficulté de l’estimation de l’erreur locale [5, 6].
La méthode de Runge Kutta consiste à résoudre un système de premier ordre : )
t ), t ( y ( f ' y =
On va réduire le système (2) en un système du premier ordre en posant : )
t ( x y , ) t ( x
y1 = 2 = ɺ
,
y3 = y(t),y4 =yɺ(t),
y5 = z(t),y6 = zɺ(t) )t ( y , ) t (
y7 = α 8 = αɺ
,
y9 = β(t),y10 = βɺ(t),
y11 = γ(t),y12 = γɺ(t) Alors le système devient :( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ + +
− + + +
−
= −
=
+ + +
− + + +
−
= −
=
+ + + + +
+ +
= −
=
Ω
− +
+ +
= −
=
− + +
− +
= −
=
− +
−
= −
=
3
11 7
3 12
8 12 4
12 11
2
9 2 2 5 1
10 2 2 6 2
10 10 9
1
11 7
2 2 3 12 8
2 2 4 8
8 7
9 5
10 6
6 6 5
11 7
3 12 8
4 4
4 3
5 1 6 2 2
2 1
j
y ) b a ( K 2 bhy ' K 2 by ' K 2 y ) b a ( C 2 bhy ' C 2 by ' C y 2
y y
j
y ) h b ( K 2 by ' K 2 Khy 2 y ) h b ( C 2 by ' C 2 Chy y 2
y y
j
bhy ' K 2 y ) h a ( K 2 Khy 2 bhy ' C 2 y ) h a ( C 2 Chy y 2
y y
m
t cos F by ' K 2 Ky 2 by ' C 2 Cy y 2
y y
m
by ' K 2 Khy 2 Ky 2 by ' C 2 Chy 2 Cy y 2
y y
m
Khy 2 Ky 2 Chy 2 Cy y 2
y y
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
Dans la plupart des cas, la méthode de Runge Kutta utilisée est celle d'ordre 4 :
(
i, i)
1 hf t y
k =
+ +
= i i 1
2 k
2 y 1 , 2h t 1 f h k
+ +
= i i 2
3 k
2 y 1 , 2h t 1 f h k
(
i i 3)
4 hf t h,y k
k = + +
(
1 2 3 4)
i 1
i k 2k 2k k
6 y 1
y+ = + + + +
3. RESULTATS
On a considéré trois systèmes dont les données sont illustrées dans le tableau ci-dessus. Dans les figures 2, 3 et 4, on a tracé les déplacements X et Z et la rotation β. Les effets sur le déplacement suivant Y et les deux autres rotations sont négligeables à cause du choix de la direction de la force (direction verticale).
Tableau 1: Paramètres physiques du parallélépipède et des liaisons viscoélastiques
m J1 J2 J3 K1 K2 C1 C2 a b H
kg kgm2 Kgm2 kgm2 kg/s2 kg/s2 kg/s kg/s m m m S1 5000 6,734 105 6,734.105 1,34.104 100 200 800 1000 2 2 20 S2 5000 6,734.105 6,734.105 1,34.104 80 160 1000 1200 2 2 20 S3 5000 6,734.105 6,734.105 1,34.104 60 120 1200 1400 2 2 20
J. Boustela et al.
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5. CONCLUSION
On rappelle que le but de ce travail est de minimiser les vibrations des mouvements mécaniques transmises par l’éolienne au sol pour épargner, entre autres, les habitations et les installations situées au voisinage du parc éolien [7, 8].
Fig. 2: Déplacement X en fonction de la fréquence
Fig. 3: Déplacement Z en fonction de la fréquence
Fig. 4: Rotation βen fonction de la fréquence
On a simulé l’éolienne via un parallélépipède, et on a étudié l’influence de la fréquence et l’amplitude de la force sur les mouvements vibratoires du système. On remarque, à travers les différentes courbes, que les vibrations diminuent au fur et à mesure que le coefficient d’amortissement augmente et la raideur décroît. En fonction du type de l’éolienne à installer (poids, matériaux, dimension, etc…), notre simulation nous permet d’optimiser le choix des paramètres des liaisons viscoélastiques. Deux perspectives de cette étude sont prévues :
• La modélisation de plusieurs forces (pour le vent, ..)
• Refaire la même étude en utilisant la méthode des éléments finis afin d’optimiser le temps de calcul et de tenir compte de tous les phénomènes qui sont liés à cette étude.
NB. Cette modélisation peut être utilisée dans d’autres applications : fixation de moteur sur un châssis par exemple.
REFERENCES
[1] R. Gunst et F. Vesine, ‘Impact Sonore des Eoliennes’, Projet Acoustique P2006.
[2] L. Jaouen, ‘Vibration des Milieux Discrets et Continus’, DESS, MNPM, 2005.
[3] S. Laroze, ‘Résistance des Matériaux et Structure’, Tome 3, Eyrolles, Paris, 1979.
[4] J. Boustela, M. Benelmostafa et Y. Benelmostafa, ‘Vibration d’une Eolienne’, 5ème Rencontre Nationale des Jeunes Chercheurs en Physique, Casa, 2006.
[5] J.H.E. Contwright and O. Piro, ‘The Dynamics of Runge-Kutta Methods’, Queen Mary and Westfield College, University of London, 1992.
[6] R. Vaillancourt, ‘Numerical Methods with Matlab’, Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa, ON, Canada, KIN 6N5.
[7] D. Le Gourières, ‘Energie Eolienne- Théorie, Conception et Calcul Pratique des Installations’, 2ème Edition Eyrolles, 1982.
[8] P. Leconte et al., Eolienne. BM 4640.
