I158- Le jeu de longue paume
Ce problème remet au goût du jour un jeu de paume fort ancien consistant à faire circuler une balle à mains nues d’un joueur à un autre sans la faire tomber. Neuf joueurs conviennent que les distances minimales et maximales qui séparent deux joueurs quelconques sont
respectivement au moins égales à 14 mètres et au plus égales à 36 mètres. Montrer qu’il existe sur le terrain de jeu une configuration dans laquelle tous ensemble peuvent s’adonner à ce jeu et calculer la plus longue distance possible (arrondie au mètre le plus proche) parcourue par la balle lorsqu’elle passe une fois et une seule entre les mains des neuf joueurs ?
Solution proposée par Paul Voyer:
Les 9 joueurs sont disposés comme sur la figure.
Les petits cercles ont pour rayon 14 m, les grands 36 m.
En rouge le parcours de la balle.
Comme un octogone régulier et son centre ne respectaient pas les distances, il fallait envisager un heptagone et deux points intérieurs, ce qui semblait a priori une gageure ; une symétrie semblait indiquée sans contrainte supplémentaire.
Il fallait donc commencer par la construction des deux points intérieurs.
D'abord A, B, C de la figure, distants de 14 m.
Puis D et E, intersections du cercle (A, 36) et du cercle (C, 14) pour laisser le plus de place possible aux 4 autres points.
Puis F et G, en conservant entre eux une distance maximale de 36 m.
On constate alors qu'il existe deux petits "triangles" (représentés en bleu, limités par des arcs de cercles) qui permettent l'hébergement de deux points H et I en respectant les conditions de distance.
On choisit pour position de H et I dans ces triangles les sommets qui maximisent la longueur du parcours afin de gagner les derniers centimètres.
La longueur du parcours est alors de 256.84 257 m.
