SUR LES SINGULARITÉS DES ÉCOULEMENTS PLANS ET PERMANENTS DES NAPPES SOUTERRAINES PESANTES

(1)

Sur les singularités

des écoulements plans et permanents des nappes souterraines pesantes

Singularises of plane

and permanent gravity flow of ground water

P A R

J. KRAVTCHENKO, G. SAUVAGE DE SAINT-MAKC,

PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE GRENOBLE DIRECTEUR ADJOINT

DU LABORATOIRE DAUPHINOIS D*HYDRAULIQUE

E T M. BOEELI

INGÉNIEUR-DOCTEUR

INSTITUT HYDROTECHNIQUE, BELGRADE

Le présent mémoire est consacré à l'étude des singularités que peut présenter un écoulement plan et permanent d'un liquide pesant en milieu poreux, isotrope, et homogène. Le plan du mouvement est vertical; le liquide est sou- mis à l'action de ta pesanteur seule. La dis- cussion présentée est essentiellement locale;

elle suppose connue a p r i o r i , dans le plan de la vitesse complexe, l'image conforme du voi- sinage de la singularité. Moyennant cette don- née, le problème peut être complètement résolu;

les règles propres à fixer le choix de ce voisi- nage sont laissées de côté. L'importance de cette étude dans l'art de l'ingénieur est mise en relief.

Pour simplifier et alléger l'exposition, quelques résultats théoriques de Poloubarinova-Kotchina sont supposés connus; une démonstration élé- mentaire en sera publiée ailleurs.

The présent note is devoted to the study of singularities that can occur in a plane steady gravity flow of liquid in a porous médium which is isotropic and homogeneous. The plane of movement is vertical; the liquid is subject to the action of gravity only. The discussion presented is for tocalised areas; it supposes known, in the complex velocity plane, the conformai pattern in the neighbourhoôd of the singularity. Assuming this given, the problem can be solved completely; the mies for flxing the choice of this neighbourhoôd are not considered. The importance of this study in engineering practice is illustntted.

To simplify and lighten the argument, a few theoretical results of Poloubarinova- Kotchina are taken fort granted; an elementary démonstration of them will be published elsewhere.

I N T R O D U C T I O N C o n s i d é r o n s , d a n s u n p l a n v e r t i c a l , u n é c o u -

l e m e n t p l a n , p e r m a n e n t , à p o t e n t i e l , d ' u n l i q u i d e p e s a n t e n m i l i e u p o r e u x , h o m o g è n e , i s o t r o p e . L e d o m a i n e e m p l i p a r l e l i q u i d e e n m o u v e m e n t e s t l i m i t é p a r d e s s e g m e n t s r e c t i l i g n e s ( p a r e x e m - p l e : p a r o i s et f o n d i m p e r m é a b l e s , f r o n t i è r e s p e r - m é a b l e s d u m i l i e u p o r e u x , l i g n e s d e s u i n t e m e n t , e t c . ) , e t d e s l i g n e s l i b r e s . O n s e p r o p o s e d ' é t u d i e r i c i l e s s i n g u l a r i t é s q u e p e u t p r é s e n t e r u n t e l é c o u l e m e n t e n u n p o i n t f r o n t i è r e c o m m u n à d e u x é l é m e n t s d e f r o n t i è r e d e n a t u r e s d i f f é r e n t e s : p a r e x e m p l e , e n u n p o i n t c o m m u n à u n e l i g n e l i b r e et à u n e s u r f a c e d e s u i n t e m e n t .

L a m é t h o d e e m p l o y é e p o u r r é s o u d r e c e p r o -

b l è m e est u n e v a r i a n t e d e c e l l e d e P O L O U B A R I N O V A - K O T C H I N A . Q u e l q u e s c o m p l é m e n t s o r i g i n a u x d o n - n e n t l e m o y e n d e p o u s s e r l ' é t u d e d u v o i s i n a g e d e la s i n g u l a r i t é j u s q u ' a u x é l é m e n t s d u s e c o n d o r - d r e e t d e p r é c i s e r , e n p a r t i c u l i e r , l ' a l l u r e d e la c o u r b u r e d ' u n e l i g n e l i b r e e n s o n p o i n t d e r a c - c o r d e m e n t a v e c u n a u t r e é l é m e n t f r o n t i è r e . O n c o m p l è t e a i n s i l e s r é s u l t a t s c l a s s i q u e s d e C A S A - G R A N D E r e l a t i f s à l ' e x i s t e n c e e t à l ' o r i e n t a t i o n l i m i t e d e s t a n g e n t e s à l a l i g n e l i b r e .

N o s c o n c l u s i o n s p a r a i s s e n t p r é s e n t e r q u e l q u e i n t é r ê t p o u r l ' i n g é n i e u r . D ' u n e p a r t , e n effet» l a c o n n a i s s a n c e à p r i o r i d e s s i n g u l a r i t é s e s t e s s e n - t i e l l e p o u r c o n s t r u i r e u n é c o u l e m e n t p a r d e s p r o -

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955024

(2)

4 8 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

c é d é s a p p r o c h é s — l e s s e u l s s u s c e p t i b l e s d e r e n - d r e s e r v i c e d a n s l ' é t u d e t h é o r i q u e d ' u n p r o j e t d ' o u v r a g e . D ' a u t r e p a r t , o n v e r r a q u e c e s s i n g u - l a r i t é s s o n t l o i n d ' a v o i r u n e a l l u r e s i m p l e q u i e n p e r m e t t r a i t u n e d é t e r m i n a t i o n é l é m e n t a i r e . Il n o u s a, d è s l o r s , s e m b l é o p p o r t u n d e p r é s e n t e r u n e x p o s é s y n t h é t i q u e d e l a t h é o r i e d e s s i n g u - l a r i t é s , a b o r d é e t r o p s o u v e n t j u s q u ' i c i p a r l e s s e u l s m o y e n s q u ' o f f r e l'intuition. Mais si le r e - c o u r s à l ' i n t u i t i o n p e r m e t s o u v e n t d ' a b r é g e r l e s c a l c u l s , il n ' e s t p a s d é p o u r v u d e r i s q u e s . N o u s a v o n s d o n c v o l o n t a i r e m e n t p r é s e n t é n o s c o n c l u - s i o n s s o u s u n e f o r m e q u ' e x i g e l a r i g u e u r , m a i s d o n t n o u s s o m m e s l e s p r e m i e r s à r e g r e t t e r l ' a b s -

t r a c t i o n . N o u s i l l u s t r o n s la t h é o r i e g é n é r a l e e n d i s c u t a n t à f o n d d e u x e x e m p l e s ; n o u s u t i l i s o n s u n e m é t h o d e u n i f o r m e , r e n o n ç a n t à l ' e m p l o i d e s r e m a r q u e s g é o m é t r i q u e s p r o p r e s à a b r é g e r l e s c a l c u l s . N o u s e s p é r o n s a i n s i m e t t r e e n é v i d e n c e la p u i s s a n c e et l a g é n é r a l i t é d e s m é t h o d e s d e

P O L O U B A R I N O V A - K O T C H I N A .

Mais il e s t b i e n e n t e n d u q u e le p r a t i c i e n p o u r r a

— et m ê m e d e v r a t o u j o u r s — s i m p l i f i e r l e s c a l - c u l s e n u t i l i s a n t d e j u d i c i e u x a r t i f i c e s . N o u s c o m p t o n s , d a n s u n e p r o c h a i n e p u b l i c a t i o n , p r é - s e n t e r u n a u t r e e x e m p l e d e d i s c u s s i o n d ' u n e s i n - g u l a r i t é , p l u s c o n f o r m e à l ' e s p r i t « i n g é n i e u r ».

C H A P I T R E P R E M I E R

É N O N C É E T H I S T O R I Q U E D U P R O B L È M E

1. — D a n s u n p l a n v e r t i c a l , c o n s i d é r o n s u n s y s t è m e d ' a x e s r e c t a n g u l a i r e s Oxy, d ' o r i g i n e O, a r b i t r a i r e , et d o n t l ' a x e Oy e s t v e r t i c a l a s c e n - d a n t . N o u s n o t e r o n s : g l ' a c c é l é r a t i o n d e l a p e - s a n t e u r ; z ~ x^~iy^s l a v a r i a b l e c o m p l e x e d u p l a n Oxy; D, u n d o m a i n e s i m p l e m e n t c o n n e x e d e c e p l a n ; C, l a f r o n t i è r e d e D q u e n o u s s u p p o s o n s s i m p l e , p o u r s i m p l i f i e r — e n e x c l u a n t a i n s i le c a s , utile d a n s l a p r a t i q u e , oîi D c o m p r e n d r a i t d e s c o u p u r e s .

E n v i s a g e o n s d a n s D u n é c o u l e m e n t p e r m a n e n t , p l a n , d ' e a u s o u t e r r a i n e , d e d e n s i t é p, s o u m i s e à l ' a c t i o n d e l a p e s a n t e u r s e u l e . N o u s a d m e t t r o n s q u e D est c o n s t i t u é p a r u n m i l i e u p o r e u x h o m o - g è n e et i s o t r o p e , c a r a c t é r i s é , a u p o i n t d e v u e q u i n o u s o c c u p e , p a r s a c o n s t a n t e d e D A R C Y k. R a p - p e l o n s r a p i d e m e n t q u e l q u e s p r o p r i é t é s c l a s s i q u e s d e c e s r é g i m e s .

L e c h a m p d e s v i t e s s e s V (x, y) d é r i v e d u p o t e n - t i e l u n i f o r m e ®(x,y); il e x i s t e u n e f o n c t i o n d e c o u r a n t $ (^x> }j) ; q> et 4* s o n t d e u x f o n c t i o n s h a r - m o n i q u e s c o n j u g u é e s , r é g u l i è r e s d a n s D. L e p o - t e n t i e l c o m p l e x e / (z) e s t u n e f o n c t i o n a n a l y t i q u e d e z, h o l o m o r p h e d a n s D, d é f i n i e p a r :

/ (z) = 9 + i <J,.

L a v i t e s s e c o m p l e x e :

q

(z) =^{= U} — i^v, dz

o ù u et v s o n t l e s c o m p o s a n t e s d u v e c t e u r

—> • >

V = g r a d 9 s u i v a n t l e s a x e s , e s t d o n c é g a l e m e n t u n e f o n c t i o n h o l o m o r p h e e n c h a q u e p o i n t d e D.

On n o t e r a q u e u + iv n ' e s t p a s u n e f o n c t i o n m o - n o g è n e d e z d a n s D.

Il y a s o u v e n t i n t é r ê t à i n t r o d u i r e l a f o n c t i o n

d e L E V I - C I V I T A :

(0 (z) = 6 + i T

d é f i n i e p a r :

—>

On a d o n c : | V | = e^T ; a r g V = 6. L ' u s a g e d e ai (z) s e r e c o m m a n d e p a r t i c u l i è r e m e n t d a n s l ' é t u d e d e s v o i s i n a g e s d e s p a r o i s s o l i d e s i m p e r - m é a b l e s l i m i t a n t D, p a r t i c u l i è r e m e n t d e s p o i n t s a n g u l e u x d e t e l l e s p a r o i s . M a i s p o u r s i m p l i f i e r , n o u s é l i m i n e r o n s c e s d i f f i c u l t é s c l a s s i q u e s d e n o t r e é t u d e et, d a n s l a suite, n o u s n ' a u r o n s p a s à u t i l i s e r le p l a n w .

L e s c o r r e s p o n d a n c e s / = / (z) et Q = Q (z) r é a - l i s e n t l ' a p p l i c a t i o n c o n f o r m e d e D sur l e s d o m a i - n e s , s i m p l e m e n t c o n n e x e s , e n g é n é r a l , d e s p l a n s f et Q q u e n o u s a p p e l l e r o n s A et 0 r e s p e c t i v e - m e n t et d o n t n o u s n o t e r o n s r e s p e c t i v e m e n t r et y l e s f r o n t i è r e s . N o u s d é s i g n e r o n s p a r p=p(x,y) la p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e a u p o i n t x, y d e D,

L a l o i d e D A R C Y , d o n t n o u s a v o n s a d m i s l a v a l i d i t é d a n s t o u t e l ' é t e n d u e d e D , d o n n e :

V = — k g r a d h.

On a p o s é :

Enfin, l ' é q u a t i o n d e B E R N O U L L I s ' a p p l i q u e et s e r é d u i t i c i à :

4 _ _ l JPL. + y = O d a n s D.

k g g

(3)

2. — P o r t o n s n o t r e a t t e n t i o n sur la f r o n t i è r e C d e D. D a n s les c a s l e s p l u s c o u r a n t s , C c o m - p r e n d d ' a b o r d u n c e r t a i n n o m b r e d ' é l é m e n t s d o n - n é s , à p r i o r i (sauf r é s e r v e s p é c i f i é e c i - a p r è s à p r o p o s d e s l i g n e s d e s u i n t e m e n t ) , et a p p a r t e n a n t à l'un d e s t y p e s s u i v a n t s :

1. L e s p a r o i s i m p e r m é a b l e s , q u e n o u s d é s i g n e - r o n s p a r C^x;

2. L e s a r c s d e c o u r b e s C², lignes d e s é p a r a t i o n ( p e r m é a b l e s au l i q u i d e ) d e D a v e c d e s b a s s i n s r e m p l i s d ' e a u , p a r o ù le l i q u i d e p é n è t r e d a n s le m i l i e u p o r e u x D — o u sort d e c e d o m a i n e . N o u s r a n g e r o n s e n c o r e s o u s c e t t e r u b r i q u e les l i g n e s - d r a i n s , le long d e s q u e l l e s les e a u x s o u t e r r a i n e s sont, soit a s p i r é e s v e r s l ' e x t é r i e u r d e D, soit r e - f o u l é e s v e r s l ' i n t é r i e u r d e D s o u s l'effet d ' u n e s o u s - p r e s s i o n o u d ' u n e s u r p r e s s i o n c o n v e n a b l e ;

3. L e s lignes d e s u i n t e m e n t C^a; le l i q u i d e sort d e D le l o n g d e c e s l i g n e s à l'air l i b r e et s ' é c o u l e le l o n g d ' e l l e s . Il f a u t n o t e r — p o i n t q u i s e r a p r é c i s é u l t é r i e u r e m e n t — q u ' u n e d e s e x t r é m i t é s d e s l i g n e s C^{l 9} C² o u C³ p e u t n ' ê t r e p a s c o n n u e , à p r i o r i . Enfin, C p e u t c o n t e n i r e n c o r e d e s s u r f a c e s li- b r e s C⁴ q u i sont, p a r définition, d e s l i g n e s d e c o u - r a n t à p r e s s i o n c o n s t a n t e ; les é l é m e n t s d e C du t y p e C 4 sont d e f o r m e , à p r i o r i , i n c o n n u e ; t o u - tefois, la p o s i t i o n d e l'une d e s e x t r é m i t é s d e C i est u n e d o n n é e .

B i e n e n t e n d u , la f r o n t i è r e C p e u t c o m p r e n d r e p l u s i e u r s é l é m e n t s d e c h a c u n d e s t y p e s C„

(n = l⁹ 2, 3, 4 ) .

P o u r s i m p l i f i e r n o t r e e x p o s é , n o u s a d m e t t r o n s q u e l e s é l é m e n t s C³, C², Q⁵ d e C, d o n n é s à p r i o r i , sont c o n s t i t u é s p a r d e s s e g m e n t s r e c t i l i g n e s . C'est

là u n c a s q u i i n t é r e s s e t o u t s p é c i a l e m e n t l'ingé- nieur. Mais l ' e x t e n s i o n a u x c a s o ù l e s C^x, C², C^a s e r a i e n t d e s a r c s d e c o u r b e s a s s e z r é g u l i è r e s est a i s é e .

R a p p e l o n s r a p i d e m e n t l e s c o n d i t i o n s f r o n t i è r e s q u e vérifient les q u a n t i t é s 9, >l>, x, y, le l o n g d e C.

C o m m e l e s C^ C², C³ sont d e s s e g m e n t s d e d r o i t e d o n n é s à p r i o r i , o n a u r a tout d ' a b o r d sur C„ :

a„ x 6 » y + c„ = 0, (n = h 2, 3) (D o ù aⁿⁱ b^}1, c„, sont d e s c o n s t a n t e s d o n n é e s . De plus :

ï. C^t est toujours u n e ligne d e c o u r a n t ; on a d o n c :

sur C³ ; (2)

2. C² est t o u j o u r s une é q u i p o t e n t i e l l e ; d o n c :

<p = Q* sur C² (3)

3. est u n e ligne à p r e s s i o n c o n s t a n t e , é g a l e , a u s u r p l u s , à la p r e s s i o n a t m o s p h é r i q u e . L e t h é o r è m e d e B E R N O U L L I d o n n e a l o r s :

o + kg = C* sur Cy (4)

De la d é f i n i t i o n m ê m e d e C 4 , il r é s u l t e q u e le l o n g d e c e t é l é m e n t d e C, les c o n d i t i o n s (2) et (4) s e r o n t t o u j o u r s v é r i f i é e s . P a r c o n t r e , la f o r m e g é o m é t r i q u e d e C 4 est, à p r i o r i , i n c o n n u e .

E n r é s u m é , le l o n g d e c h a q u e é l é m e n t d e C, les q u a t r e v a r i a b l e s 9, x^} y, sont l i é e s p a r d e u x r e l a t i o n s l i n é a i r e s à c o e f f i c i e n t s c o n s t a n t s , c o n - nus à p r i o r i ; m a i s il faut s o u l i g n e r q u e l e s c o n s - t a n t e s q u i figurent a u x s e c o n d s m e m b r e s d e (2), (3) et (4) n e sont, e n g é n é r a l , p a s d o n n é e s .

N o u s n o t e r o n s r„ et y,„ les é l é m e n t s d e F el d e y, i m a g e s d e C„ (n = 1, 2, 3, 4) d a n s l e s p l a n s f et Cl r e s p e c t i v e m e n t . D ' a p r è s (2) et ( 3 ) , l\, F² et P⁴ sont d e s s e g m e n t s d e d r o i t e p a r a l l è l e s a u x a x e s d u p l a n / ; p a r c o n t r e , P^H est u n e ligne d e f o r m e à p r i o r i i n c o n n u e .

On p r é c i s e r a la f o r m e g é o m é t r i q u e d e y^H e n utilisant le r a i s o n n e m e n t c i - a p r è s , à la f o i s é l é - m e n t a i r e et c l a s s i q u e . D i f f é r e n c i o n s ( 1 ) , ( 2 ) , (3) et ( 4 ) ; iï vient, e u é g a r d à la d é f i n i t i o n d e 9 el d e * :

a„ dx -f- h„. dy = 0 v dx— // dy = 0 // dx + v dy — 0 u dx + ( v + k) dy = 0

u o

(2'ï (3') (4') On o b t i e n t d o n c la r e l a t i o n e n t r e u et v le l o n g d e y^{î t} ( c ' e s t - à - d i r e l ' é q u a t i o n c a r t é s i e n n e d e la c o u r b e s y m é t r i q u e p a r r a p p o r t à l ' a x e O u d e yⁿ) , e n é l i m i n a n t dx et dy e n t r e d e u x d e s r e l a t i o n s (10, ( 2 0 , (30 et (40 — q u i sont v a l a b l e s sur y„

m o y e n n a n t le c h a n g e m e n t d e v e n — v e n v e r t u d e la d é f i n i t i o n m ê m e d e c e t é l é m e n t f r o n - t i è r e (*), Ainsi, u n e V j [ c a r a c t é r i s é e p a r (10 el ( 2 0 ] , a p o u r é q u a t i o n :

a³ u Z>i u s = 0 De m ê m e , on a u r a :

a² v + b² u = 0 p o u r y²

a 3 — y) — b^B u = 0 p o u r y.j

u2 _|_^V2 _ j ^w — 0 p o u r y⁴

(5) (6) Ainsi, y³, y² et y³ sont d e s s e g m e n t s r e c t i l i g n e s d o n t u n e d e s e x t r é m i t é s p e u t n ' ê t r e p a s c o n n u e à p r i o r i ; y⁴ e s t u n a r c d e c e r c l e ( 6 ) . Mais il est e s s e n t i e l d e n o t e r q u e l e s é q u a t i o n s d e s y ⁿ ( n = l ,

(*) On se r a p p e l l e r a que Q = u — iv; il s'ensuit que le ->

v e c t e u r V et îe v e c t e u r de c o m p o s a n t e s u et — v sont s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à O a.

6

(4)

2, 3, 4) n e f o n t i n t e r v e n i r q u e l e s c o n s t a n t e s On, bⁿ et k q u i s o n t d e s d o n n é e s . Il e n r é s u l t e q u e l a c o n n a i s s a n c e à p r i o r i d e l a n a t u r e d e C — c ' e s t - à - d i r e d e l a n a t u r e et d e l ' o r d r e d e s u c c e s - s i o n d e s d i f f é r e n t s é l é m e n t s c o n s t i t u t i f s C„ ( n = l , 2, 3, 4) — suffit p o u r d é t e r m i n e r l a f o r m e g é n é - r a l e d u p o l y g o n e m i x t i l i g n e y, f o r m é d e s e g m e n t s d e d r o i t e s e t d ' a r c s d e c e r c l e ; e n p a r t i c u l i e r , l e s a n g l e s d e y s o n t d e s d o n n é e s , m a i s l a l o n g u e u r d e s y» p e u t ê t r e u n e i n c o n n u e d u p r o b l è m e .

N o u s p o u v o n s m a i n t e n a n t f a i r e c o m p r e n d r e l a r a i s o n p o u r l a q u e l l e l ' u n e d e s e x t r é m i t é s d e s é l é - m e n t s d e C o u d e r, d e s u p p o r t s d o n n é s , p e u t ê t r e , à p r i o r i , i n c o n n u e . R a p p e l o n s q u e C 4 et F³ sont d e s é l é m e n t s i n c o n n u s , à p r i o r i , d a n s l e u r s p l a n s r e s p e c t i f s z et Si C, p a r e x e m p l e , c o n - t i e n t u n e C 4 , l ' u n e d e s e s e x t r é m i t é s est u n e d o n - n é e , m a i s la p o s i t i o n d u p o i n t o ù c e t t e l i g n e s e r a c c o r d e à u n é l é m e n t c o n t i g u C^x o u C³ p e u t n ' ê t r e p a s c o n n u e ( b i e n q u e la d r o i t e - s u p p o r t d e l'un d e c e s s e g m e n t s soit u n e d o n n é e ) . D a n s le p l a n f, l ' i n d é t e r m i n a t i o n p e u t ê t r e p l u s g r a n d e e n c o r e , e n c e q u i c o n c e r n e le r a c c o r d d e F³ a v e c l ' é l é m e n t c o n t i g u F² p a r e x e m p l e . Car, i c i , la d r o i t e - s u p p o r t d e F², d ' a p r è s c e q u ' o n a vu, n ' e s t d é t e r m i n é e q u ' à u n e t r a n s l a t i o n p r è s .

3. — L a c o r r e s p o n d a n c e / = / (z), h o l o m o r p h e d a n s D, l ' e s t a u s s i — c o m m e s o n i n v e r s e z—z (f)

— e n c h a q u e p o i n t i n t é r i e u r d e l ' é l é m e n t Cⁿ(n = l, 2, 3, 4) — o u d e s o n i m a g e Tⁿ d a n s l e p l a n / .

E n effet, l ' a n a l y s e p r é s e n t é e a u p r é c é d e n t p a - r a g r a p h e p r o u v e q u e , q u e l q u e soit C^{f t}, d e u x , a u m o i n s , d e s t r o i s é l é m e n t s d e f r o n t i è r e s h o m o - l o g u e s Cft, yⁿ e t r „ s o n t soit d e s s e g m e n t s d e d r o i t e , soit d e s a r c s d e c e r c l e . L e t h é o r è m e c l a s - s i q u e d e S C H W A R Z — c o n c e r n a n t l a c o r r e s p o n - d a n c e e n t r e f r o n t i è r e s a n a l y t i q u e s d a n s l a r e p r é - s e n t a t i o n c o n f o r m e — e n t r a î n e a l o r s l ' h o l o m o r - p h i e d e l ' u n e , a u m o i n s , d e s îxois c o r r e s p o n - d a n c e s : Q = Q (z), Q = Q(f); f = f(z) ( o u d e l e u r s i n v e r s e s ) à l ' i n t é r i e u r d e Cⁿ o u d e s e s i m a - ges d a n s / o u O. L e r é s u l t a t est d o n c justifié si Cⁿ et Tⁿ s o n t d e s s e g m e n t s d e d r o i t e . Si, m a i n - t e n a n t , le r a i s o n n e m e n t p r é c é d e n t p r o u v e , p a r e x e m p l e , l ' h o l o m o r p h i e d e Q = & (/) sur C⁴, u n e s i m p l e i n t é g r a t i o n é t e n d l a c o n c l u s i o n à f=f(z).

L e s r a i s o n n e m e n t s é l é m e n t a i r e s et c l a s s i q u e s q u i p r é c è d e n t m o n t r e n t b i e n q u e f — f (z) n e p e u t p r é s e n t e r d e s i n g u l a r i t é q u ' e n u n p o i n t z = z^{n m}, c o m m u n à d e u x é l é m e n t s Cⁿ et C^m d e C ( n ^ m ; n, m = 1, 2, 3, 4 ) ; n o u s n o m m e r o n s s o m m e t d e C u n t e l p o i n t z^nm.

L e b u t d u p r é s e n t m é m o i r e e s t d e p r é c i s e r l a s i n g u l a r i t é d e / (z) a u p o i n t z^nm p o u r t o u t e c o m - b i n a i s o n d ' i n d i c e s n et m, n ^ m .

A la v é r i t é , l a s o l u t i o n d e c e p r o b l è m e e s t é l é - m e n t a i r e d a n s la p l u p a r t d e s c a s q u e n o u s a u r o n s à e x a m i n e r . On sait, e n effet, q u e F a l î u r e d e f (z)

e n u n s o m m e t z^nm d e C — o u , c e q u i r e v i e n t a u m ê m e , l ' a l l u r e d e Q (/) o u d e Q (z) a u p o i n t h o - m o l o g u e d e z^nm — n e d é p e n d q u e d e s p r o p r i é t é s g é o m é t r i q u e s l o c a l e s d e l'un d e s c o u p l e s (C, r ) , Cy» C), (r, y) d a n s l e v o i s i n a g e d u s o m m e t c o n s i - d é r é . Or³ d ' a p r è s l e s c o n c l u s i o n s d u p a r a g r a - p h e 2 , y e s t p a r f a i t e m e n t d é t e r m i n é d a n s le v o i s i - n a g e d e c h a c u n d e s e s s o m m e t s ; il e n e s t d e m ê m e d e l'un, a u m o i n s d e s p o l y g o n e s m i x t i l i - g n e s F et C — sauf a u p o i n t z^{3 4}, c o m m u n à C³ et C 4 . Ce c a s e x c e p t i o n n e l é c a r t é , l e p r o b l è m e p o s é r e v i e n t d o n c à é t u d i e r l a c o r r e s p o n d a n c e c o n f o r m e e n t r e d e u x d o m a i n e s d a n s le v o i s i n a g e d e s d e u x p o i n t s a n g u l e u x h o m o l o g u e s d e l e u r s f r o n t i è r e s ; c h a q u e p o i n t a n g u l e u x é t a n t c o n s t i t u é p a r l ' i n t e r s e c t i o n d e d e u x s e g m e n t s d e d r o i t e o u d ' u n s e g m e n t d e d r o i t e et d ' u n a r c d ' u n c e r c l e d o n n é ( t a n g e n t s é v e n t u e l l e m e n t e n t r e e u x ) . L e s m é t h o d e s é l é m e n t a i r e s p e r m e t t e n t a l o r s d e c o n - c l u r e ; m a i s l e u r a p p l i c a t i o n e x i g e p a r f o i s d e s c a l - c u l s f a s t i d i e u x .

N o u s n o u s p r o p o s o n s d e p r é s e n t e r u n e d i s c u s - s i o n a b s o l u m e n t g é n é r a l e et r a p i d e d e s s i n g u l a - r i t é s d e f (z) — e n g l o b a n t , e n p a r t i c u l i e r , le c a s e x c e p t i o n n e l m e n t i o n n é c i - d e s s u s — et, d è s l o r s , p r o p r e à s a t i s f a i r e le t e c h n i c i e n .

4. Car l e p r o b l è m e q u ' o n v i e n t d ' é n u m é r e r e s t d e g r a n d e i m p o r t a n c e p o u r l ' i n g é n i e u r . L a d é t e r - m i n a t i o n e x p l i c i t e d e / (z) n ' e s t p o s s i b l e q u e d a n s u n p e t i t n o m b r e d e c a s , d o n t o n t r o u v e r a la n o m e n c l a t u r e d a n s l e s t r a i t é s c l a s s i q u e s d e

M U S C A T [1] (*) et d e M m e P O L O U B A R I N O V A - K O T - C H I N A [ 2 ] . I I s'ensuit q u e p o u r r é s o u d r e d e s p r o - b l è m e s c o n c r e t s , l ' i n g é n i e u r e s t o b l i g é d ' a v o i r r e - c o u r s a u x m é t h o d e s d ' a p p r o x i m a t i o n e t a u x m é t h o d e s a n a l o g i q u e s ( c u v e s é l e c t r o l y t i q u e s , e t c . ) d o n t le r e n d e m e n t et l a s é c u r i t é s o n t t r è s a m é - l i o r é s c h a q u e f o i s q u e l ' o n c o n n a î t , à p r i o r i , l e s s i n g u l a r i t é s d e l a f o n c t i o n i n c o n n u e f(z). C'est p o u r q u o i n o u s a v o n s c r u f a i r e œ u v r e utile e n p u b l i a n t c e t t e m i s e a u p o i n t d e F é t a t a c t u e l d e l a t h é o r i e d e s s i n g u l a r i t é s .

5. A v a n t d ' e n t r e r d a n s l e vif d u sujet, f a i s o n s u n b r e f h i s t o r i q u e d e l a q u e s t i o n et p r é s e n t o n s u n r é s u m é d e s c h a p i t r e s u l t é r i e u r s d e c e t r a v a i l . Il e s t c u r i e u x d e c o n s t a t e r q u e , m a l g r é s o n i m - p o r t a n c e p r a t i q u e , l ' é t u d e d e s s i n g u l a r i t é s d e f (z) n ' a i t s u s c i t é d e s r e c h e r c h e s s y s t é m a t i q u e s q u e d e p u i s p e u d e t e m p s . A c e t é g a r d , il c o n v i e n t d e s i g n a l e r , e n p r e m i e r l i e u , l e s n o m b r e u x t r a - v a u x r u s s e s , s p é c i a l e m e n t c e u x d e M m e P O L O U B A -

R I N O V A - K O T C H I N A , d o n t o n t r o u v e r a d a n s [ 2 ] , c h a p i t r e VII, u n e c o p i e u s e b i b l i o g r a p h i e . L e g r a n d t r a i t é d e c e t a u t e u r e s t f o n d a m e n t a l . L ' e s - s e n t i e l d e l a t h é o r i e y e s t d é j à e x p o s é et u n p a -

(*) L e s chiffres e n t r e c r o c h e t s r e n v o i e n t à la b i b l i o - g r a p h i e qu'on t r o u v e r a à la fin de l ' a r t i c l e .

(5)

r a g r a p h e e n t i e r d u c h a p i t r e p r é c i t é e s t c o n s a c r é à l a d i s c u s s i o n d e s s i n g u l a r i t é s d e / ( z ) . Mais, d ' u n e p a r t , l a m é t h o d e d e [ 2 ] p a r a î t u n p e u l o u r d e ; d ' a u t r e p a r t , s a m i s e e n œ u v r e n ' a p a s é t é p o u s s é e a s s e z l o i n p o u r d i s c u t e r q u e l q u e s p r o b l è m e s i m p o r t a n t s , c o m m e , p a r e x e m p l e , l ' é t u d e d e C⁴ d a n s le v o i s i n a g e d e s e s e x t r é m i t é s . O n t r o u v e r a d a n s î a c o u r t e n o t e [3] u n e v a r i a n t e s i m p l i f i é e d e s r a i s o n n e m e n t s d e [ 2 ] — d é j à uti- l i s é s d a n s l a r é c e n t e t h è s e d e B O R E L I [4] — et q u e l q u e s c o m p l é m e n t s p r o p r e s à c o m b l e r l e s l a -

c u n e s d e [ 2 ] , s i g n a l é e s p l u s h a u t . Un m é m o i r e à p a r a î t r e [ 5 ] d o n n e r a l a j u s t i f i c a t i o n r i g o u r e u s e d e n o t r e m é t h o d e , d o n t n o u s r é s u m o n s l ' e s s e n t i e l a u c h a p i t r e II c i - a p r è s ; p u i s a u c h a p i t r e III» n o u s a p p l i q u e r o n s l e s p r o c é d é s d e d i s c u s s i o n d e [ 2 ] , m o d i f i é s p a r [3] et [ 4 ] , à l ' e x a m e n d e d e u x c a s t y p i q u e s .

S i g n a l o n s q u ' o n t r o u v e r a d a n s [4] d e s e x e m - p l e s d e l ' é t u d e d e s s i n g u l a r i t é s d e / (z) a u m o y e n d e s p r o c é d é s é l é m e n t a i r e s d o n t o n a d é c r i t a u p a r a g r a p h e 3 le p r i n c i p e .

C H A P I T R E II

É T U D E G É N É R A L E D E S S I N G U L A R I T É S DE f (z)

6. I n t r o d u i s o n s l a v a r i a b l e c o m p l e x e a u x i l i a i r e : Ç = Ç - j - i 7). Soit z — z ( O ) l a f o n c t i o n a n a l y t i q u e , h o l o m o r p h e d a n s le d e m i - p l a n s u p é r i e u r S! : t\ ^ 0

d u p l a n Ç q u i r é a l i s e l ' a p p l i c a t i o n c o n f o r m e d e D sur S. L ' i m a g e d e C s e r a l ' a x e r é e l : ?) = 0. On p e u t , s a n s r e s t r e i n d r e l a g é n é r a l i t é , s u p p o s e r q u e l e s o m m e t z^nm (cf. l e p a r a g r a p h e 3) d e C (n, m = 1 , 2 , 3, 4 ; n ^ m) a p o u r h o m o l o g u e le p o i n t Ç = 0 . Soit a l o r s v\ = 0; a ^ Ê ^ O ( o u Ç = 0 , 0 < b) l ' i m a g e d a n s S d e Cⁿ ( o u d e Q J ; a e t b s o n t d e s c o n s t a n t e s r é e l l e s . O n m o n - tre i m m é d i a t e m e n t q u e z = z (O e s t h o l o m o r p h e sur c h a c u n d e s s e g m e n t s r é e l s q u ' o n v i e n t d e définir, sauf p e u t - ê t r e e n l e u r s e x t r é m i t é s . Il e n r é s u l t e q u e f = f[z(0] p o s s è d e l a m ê m e p r o - p r i é t é . II est clair q u e l a c o n n a i s s a n c e d e s s i n g u - l a r i t é s à l ' o r i g i n e Ç = 0 d e s f o n c t i o n s :

z = z ( 0 = x (l n) +iy (S, *n) et :

f = f ç 0 = 9 [xa,T\)9yÇL,iù] + * + [ x ( Ç, 7 i) , y ( Çf i n ) ] suffit à d é t e r m i n e r l ' a l l u r e d e f — f (z) d a n s le v o i s i n a g e d e z^nm. C h e r c h o n s à e x p l i c i t e r d a n s le p l a n Ç l e s c o n d i t i o n s f r o n t i è r e s q u e vérifient z ( 0 e t f « ) .

Au p a r a g r a p h e 2 , o n a v u q u e l e s q u a t r e f o n c - t i o n s d e ?, t\ : x, y, <p, e t ty, h a r m o n i q u e s d a n s S et d e u x à d e u x c o n j u g u é e s , é t a i e n t l i é e s sur c h a q u e Cⁿ p a r d e u x r e l a t i o n s l i n é a i r e s à c o e f f i c i e n t s c o n s t a n t s . O n p e u t d o n c é c r i r e , d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e :

M^np x + N^{n p} y^{+ P}^H^{„ o +} Q^)ip = E^np p o u r : ' 0 = 0 ; a ^ g < 0 ; (/> = 1 , 2 )

o ù l e s c o e f f i c i e n t s d e x, y, 9 et ^ sont d e s c o n s - t a n t e s r é e l l e s , d o n n é e s à p r i o r i .

D e s c o n d i t i o n s a n a l o g u e s v a l e n t p o u r le s e g - m e n t y\ = 0, 0 ^%^b; n o u s l e s n o t e r o n s e n c h a n g e a n t n e n m d a n s l e s r e l a t i o n s p r é c é d e n t e s . D é s i g n o n s , d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , p a r l e s y m - b o l e l^mF (O, l a p a r t i e i m a g i n a i r e d ' u n e f o n c t i o n c o m p l e x e q u e l c o n q u e F( Ç ) . I l e s t c l a i r q u e l e s c o n d i t i o n s p r é c é d e n t e s p e u v e n t e n c o r e s ' é c r i r e : l^m [ ( N ^ + i M^np) z + ( Q ^ + i P^np) f]= E^np; p = 1 , 2 p o u r t\ — 0, a ^ l ^ 0.

P o s o n s a l o r s :

dz/d Ç = Z (O ; df/d Z = F ) ;

e n d i f f é r e n c i a n t l e s d e u x r e l a t i o n s p r é c é d e n t e s sur l e s e g m e n t i m a g e d e C„ — c e q u i e s t l é g i - t i m e , p u i s q u e z (Ç) et f (Q s o n t h o l o m o r p h e s à l ' i n t é r i e u r d e Cⁿ — o n t r o u v e l e s r e l a t i o n s d u t y p e :

I^m(*^vF+%Z) = 0 ; p = l,2; ti = 0 ; 0,

( 7 ) o ù a^p, % sont d e s c o n s t a n t e s c o m p l e x e s , d o n n é e s à p r i o r i . On a u r a i t , d e m ê m e , l e s d e u x c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s :

IM( AJ, F + BPZ ) = 0 ; /> = 1 , 2 ; t| = 0 ; 0 < S O (70 o ù l e s A^P et B ^ sont d e s c o n s t a n t e s c o m p l e x e s d o n n é e s :

Ap =^Q^m^p^~)~ i⁽ⁿ^-j 9

I n v e r s e m e n t , d ' a p r è s ( 7 ) , l e s f o n c t i o n s :

*^pF + %Z = f^p (p = l , 2 )

(6)

5 2 L A H O U I L L E B L A N C H E JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5

s o n t p r o l o n g e a n t e s a n a l y t i q u e m e n t à t r a v e r s le s e g m e n t tj — 0, a ^ £ ^ 0 si Z et F s o n t finies et c o n t i n u e s sur c e s e g m e n t . Il e n r é s u l t e q u e Z ( 0 et F ( 0 s o n t h o l o m o r p h e s sur C„, c a r d a n s tous l e s c a s p r a t i q u e s , o n a u r a :

a v e c

3i

?2

^ 0 ; Ai A ,

B ,

^ 0 . (8)

On p o u r r a d o n c r é s o u d r e e n Z et F les r e l a - tions f^p = *pF +9^P Z.

L e p r o b l è m e p o s é r e v i e n t d o n c à d é t e r m i n e r les s i n g u l a r i t é s d e s f o n c t i o n s Z (Ç) et F (Ç) p o u r l — 0, s a c h a n t q u ' e l l e s s o n t a s s u j e t t i e s à vérifier ies c o n d i t i o n s f r o n t i è r e s (7) et ( 7 0 .

7. D a n s [ 2 ] , P O L O U B A R I N O V A - K O T C H I N A p a r - vient à l a s o l u t i o n e n s ' i n s p i r a n t d e l a t h é o r i e d e s é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s d u t y p e d e

F U C H S . N o u s r e n v o y o n s à [5] p o u r u n e d é m o n s - t r a t i o n é l é m e n t a i r e d e s r é s u l t a t s e s s e n t i e l s d e c e t a u t e u r q u e n o u s a l l o n s s i m p l e m e n t é n o n c e r .

O n é t a b l i t d ' a b o r d q u e d a n s le v o i s i n a g e d e Ç = 0, F ( 0 et Z (O s o n t n é c e s s a i r e m e n t d e l a f o r m e :

U^x (Ç) = V* u, (Ç) ; U o CC) = u² « ) . (10) D a n s ( 9 ) , l e s Kj(j = 1, 2, 3, 4) s o n t d e s c o n s - t a n t e s c o m p l e x e s , i n c o n n u e s à p r i o r i ; u^± (Ç) et

u2Q0 s o n t d e s f o n c t i o n s h o l o m o r p h e s p o u r Ç = 0 , telles q u e u^x (0) = u² ( 0 ) = 1 ; X^x et X² s o n t d e s c o n s t a n t e s , n é c e s s a i r e m e n t r é e l l e s ( c h a q u e f o i s q u e y est u n c o n t o u r c o n t i n u d a n s le v o i s i n a g e d ' u n s o m m e t h o m o l o q u e à Ç = 0 ) , i n c o n n u e s à p r i o r i . L e s e x p o s a n t s Xx et X2, d i t s e x p o s a n t s c a - r a c t é r i s t i q u e s , s e r o n t d e s r a c i n e s d ' u n e é q u a t i o n (E) q u e l ' o n f o r m e r a c i - a p r è s . E n g é n é r a l , o n a u r a : X^x ^ X² + r, r é t a n t e n t i e r . Si X^x — X² = r, les é q u a t i o n s (10) s o n t à r e m p l a c e r p a r l e s sui- v a n t e s :

U, (O = il, (O ; U² (O = ^ u² (O l o g C (100 car, d a n s l e s c a s p r a t i q u e s (cf [ 5 ] ) , r = 0.

N o u s p o s e r o n s :

K; = K '^; + I K " ; = R y (./ = ! , 2, 3, 4 h Q »

^ = N^{) i p} + ï M , „ = o ² ^p e ^ ; (jo = l , 2 ) (11)

A^p = Qw p + i P^mp = ; \

F ( 0 = Kt U , + K2 U2; Z = K3 Ut + K⁴ U2 (9) B — N

1Jp^x^mp

iM^mp = u^v e^^p.

8. N o u s a l l o n s utiliser l e s r é s u l t a t s p r é c é d e n t s , q u e n o u s c o n s i d é r e r o n s c o m m e c o n n u s , p o u r e x p l i - citer Xi et X² et p o u r d é t e r m i n e r l e s K^;. A d m e t t o n s d ' a b o r d q u e X^x — X² ^ r; o n p e u t s u p p o s e r q u e X^x > X². P o r t o n s l e s e x p r e s s i o n s (9) e t (10) d e F et d e Z d a n s (7) et (T)⁹ e n s u p p o s a n t q u e Ç^{A l} et Ç^{X 2} s e r é d u i s e n t à l e u r s d é t e r m i n a t i o n s r é e l l e s p o u r l = ? > 0. A l o r s (70 d o n n e , e u é g a r d à ( 1 1 ) , p o u r C = 5 > 0 :

l^m (A^p F + B., Z) = ^ l^m ] o , , R² tf* <•»+/«•) + g^{4 p} R⁴ e'* + . . . (12)

+ ÉX l-X a [p3ï> R7 e*^ (*i+/"*o + [ p^{4 p} R3 . . . ] j> = 0; (p = 1,2),

où le s y m b o l e . . . d é s i g n e d e s s é r i e s e n t i è r e s , a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e s p o u r |Ç| a s s e z p e t i t . S u p p r i m o n s le f a c t e u r r é e l £^X2 "du p r e m i e r m e m b r e d e (12) e t f a i s o n s t e n d r e l v e r s z é r o d a n s l ' e x p r e s s i o n e n t r e c r o - c h e t s . C o m m e l i m Çfc-Xs = 0, il est clair q u e (12) e n t r a î n e :

?^{3 p} R² sin O (² + a^{3 p}) ] + o^4p R⁴ s i n [> (⁴ + ^ ) j = 0 (13)

On a s u p p o s é q u e X³ — X ² n ' e s t p a s u n e n t i e r p o s i t i f : (12) e n t r a î n e e n c o r e :

P3 P R^x sin [w ( $^t + ^^{3 p}) ] + ?^{4 p} R³ s i n [> ( $³ + ^^{4 p}) ] = 0 (130

L e c a s o ù Xx — X2 est u n e n t i e r s e r a é t u d i é a u p a r a g r a p h e 10.

P o r t o n s , d e m ê m e , d a n s ( 7 ) , l e s e x p r e s s i o n s (9) et (10) d e F et d e Z , e n s u p p o s a n t q u e Ç = E = | 5 | c ^ ' . Un r a i s o n n e m e n t i d e n t i q u e a u p r é c é d e n t d o n n e l e s q u a t r e r e l a t i o n s :

9lp R² sin

O

^{{ #}²^{+ + X}²^{) ] + o}^{2 p}^R⁴ sin (> ( #⁴ + ^2 p + X2) ] = 0 ; (14 )

o^lp R^x s i n [> (*! + *^lp + X x ) ] + p^{2 î ï} R³ s i n [> ( #³ + y,^2p + X³) ] = 0. (14') N o u s r e n v o y o n s e n c o r e a u § 10 p o u r la d i s c u s s i o n d e l ' é v e n t u a l i t é o ù X^x — X² s e r a i t un e n t i e r .

On voit d o n c q u e l ' e n s e m b l e d e s r e l a t i o n s (13) et (14) c o n s t i t u e u n s y s t è m e d e q u a t r e é q u a t i o n s

(7)

l i n é a i r e s et h o m o g è n e s e n R² c o s % 4>², R² sin k ², R⁴ c o s t. <1>⁴ et R⁴ sin ic ⁴ q u i a d m e t u n e s o l u t i o n n o n nulle si e t si s e u l e m e n t leur d é t e r m i n a n t est n u l . C e l a d o n n e l ' é q u a t i o n d e d é f i n i t i o n d e X² = X.

c o s [«(h-U + X)] ?^u s i n [^(h-II + X)] p^{2 1} c o s [ * H u²i + X)] ?^{2 l} ^s ⁱ ⁿ t ^ Q ^ i + X)]

9i2 c° s [rc ( L * .1 2 + A ) ] Û3 £ s i n [TC ( ^1 2 - f . A ) ] p2 2 C O S [% ( u2 L, - j - X) l p2 2 s i n [w (JJL2 2 -f- X)]

p3 1 c o s t*.3 1 ?ai s i n % JJL3 1 94 1 c o s y .4 1 o4 1 s i n u4 1

P^{3 2} c o s 7c JJL^{3 2} o^{3 2} s i n îc ÎJL^{3 2} p^{4 2} c o s ^ .^{4 2} p^{4 2} sin m j x^{4 2}

0 (15)

E n o p é r a n t d e m ê m e a v e c (130 e t ( 1 4 0 , o n vérifie q u e X³ e s t e n c o r e s o l u t i o n d e ( 1 5 ) . C'est l ' é q u a t i o n ( E ) a u x e x p o s a n t s c a r a c t é r i s t i q u e s q u e n o u s n o u s p r o p o s i o n s d e f o r m e r . O n voit d ' a b o r d q u e si (15) a d m e t u n e r a c i n e X, t o u t n o m b r e d e l a f o r m e X ~ f r, r é t a n t u n e n t i e r q u e l c o n q u e , s e r a e n c o r e r a c i n e d e (15). Cela p r o u v e , c o m m e n o u s l ' a n n o n c i o n s c i - d e s s u s , q u e l e s e x p o s a n t s X³ e t X² n e p e u v e n t être définis q u ' à u n e n t i e r additif p r è s . Mais d e s c o n s i d é r a t i o n s d ' o r d r e g é o m é t r i q u e e t p h y - s i q u e , d o n t o n v e r r a p l u s l o i n d e s e x e m p l e s , p e r m e t t e n t t o u j o u r s d e l e v e r c e t t e i n d é t e r - m i n a t i o n . D a n s c e travail, n o u s s u p p o s e r o n s c o n n u à p r i o r i l e v o i s i n a g e d u p o i n t Q(z^n>m) a p p a r t e n a n t à o, c e q u i suffira p o u r fixer s a n s a m b i g u ï t é l e s v a l e u r s d e X³ et d e X².

O b s e r v o n s q u e c h a q u e é l é m e n t d e s d e u x p r e m i è r e s l i g n e s d e (15) e s t l i n é a i r e et h o m o g è n e e n c o s w X e t s i n w X ; (15) e s t d o n c u n e é q u a t i o n d n s e c o n d d e g r é tg TC X d o n t l e s r a c i n e s sont n é c e s s a i r e - m e n t r é e l l e s d ' a p r è s l e s r é s u l t a t s d e [2] e t d e [ 5 ] , r a p p e l é s a u c o u r s d u p a r a g r a p h e 7. N o u s p o u - v o n s d o n c d a n s t o u s l e s c a s c a l c u l e r é l é m e n t a i r e m e n t X³ et X².

9. Ceci étant, l ' e n s e m b l e d e s é q u a t i o n s et (14) — o ù X² s e r a r e g a r d é c o m m e c o n n u n o u s d o n n e r a R² c o s % $², R² sin % <f>², R⁴ c o s % ⁴ e t R⁴ sin % ⁴ à u n f a c t e u r a r b i t r a i r e p r è s ; d a n s l e s c a s c o u r a n t s , e n effet, l a m a t r i c e (15) e s t d e r a n g 3. 11 s'ensuit q u e tg % <K e t tg % 4>⁴ sont c o n n u e s s a n s a m b i g u ï t é , c e q u i p e r m e t d e d é t e r m i n e r $² et $⁴ à u n e n t i e r additif p r è s . O n p r é c i s e r a la d é t e r m i n a t i o n d e c e s p a r a m è t r e s d ' a p r è s l e signe d e l a c o n s t a n t e m u l t i p l i c a t i v e , i n t r o d u i t e c i - d e s s u s p o u r q u e R² e t R ⁴ s o i e n t > 0. D o n c R² e l R⁴ s e r o n t d é t e r m i n é s à u n f a c t e u r c o n s t a n t > 0 p r è s .

On o p é r e r a d ' u n e m a n i è r e t o u t e s e m b l a b l e p o u r c a l c u l e r R³, R³, #^t et⁽I>³ à p a r t i r d e (130 e t (140- E n r é s u m e , la m é t h o d e p e r m e t d e c a l c u l e r f a c i l e m e n t l e s e x p o s a n t s c a r a c t é r i s t i q u e s X^t e t X² et l e s r a p p o r t s K³/ K³, K⁴/ K². Il e n r é s u l t e la c o n n a i s s a n c e d e s p a r t i e s p r i n c i p a l e s d e F ( O e t d e Z ( O . d o n c , p a r i n t é g r a t i o n , d e c e l l e s d e f (O et z(Q.

10. Si (15) a d m e t u n e r a c i n e d o u b l e e n tg % X, o u , p l u s p r é c i s é m e n t , si X³ -—X² e s t u n entier, l e s r a i s o n n e m e n t s d u p a r a g r a p h e 8 d o i v e n t subir u n e l é g è r e r e t o u c h e .

S u p p o s o n s q u e l o g Ç s e r é d u i s e à s a d é t e r m i n a t i o n r é e l l e p o u r Ç = l > 0; a l o r s (12) d e m e u r e v a l a b l e , à c o n d i t i o n d e r e m p l a c e r e n t r e l e s a c c o l a d e s d u s e c o n d m e m b r e ç^x*-^> p a r l o g Ç. L e s r a i s o n - n e m e n t s d u p a r a g r a p h e 8 s ' a p p l i q u e n t e n c o r e et p r o u v e n t q u e l e s é q u a t i o n s (13) e t (13') s u b s i s t e n t i n t é g r a l e m e n t .

F a i s o n s , m a i n t e n a n t , Ç = |Ç| e^, (l < 0 ) , e t p o r t o n s d a n s (7) l e s v a l e u r s (9) e t (100 d e F e t d e Z. A p r è s la s u p p r e s s i o n d u f a c t e u r r é e l l?|^x, il y a u r a lieu d e s a t i s f a i r e d e u x c o n d i t i o n s d u t y p e :

l^m e*«< [ o , K, + % K, + (a,, K² + ^ K^A) r. i + (a„ K² + % K , ) log |g| + , . . : = = 0,(p = 1,2), o ù l e s y m b o l e . . . d é s i g n e e n c o r e u n e e x p r e s s i o n t e l l e q u e :

Des r a i s o n n e m e n t s é l é m e n t a i r e s m o n t r e n t a l o r s q u e l ' o n d o i t a v o i r : I^m [ e ^ i^{( a p} k² + % K⁴) ] = 0 , (p = 1,2), é q u a t i o n i d e n t i q u e à (14) e t l a r e l a t i o n q u i r e m p l a c e (140 :

Hp R , s i n [w ( *^x + u^{1 p} + X)] + ?²„ R³ sin [* (<1>³ + ^ + X)] (16)

= — % { o^lp R² c o s [w ( #² - f + X)] + o^2p R⁴ c o s | > (, + ^ + X ) ] \ (p = 1.2).

On voit q u e l a d é t e r m i n a t i o n d e s c o n s t a n t e s R², R⁴,⁽f>², ⁴, «c f e r a e n c o r e s e l o n l e s c h é m a i n d i - q u é a u p a r a g r a p h e 9. P a r c o n t r e , l e c a l c u l d e R j , R³, ³ e t <£³ e x i g e r a l a d i s c u s s i o n d u s y s t è m e ( 1 3 0 et (16), n o n h o m o g è n e ( o n s u p p o s e r a q u e l e s e c o n d m e m b r e d e (16) a é t é d é t e r m i n é c o m m e i l vient d ' ê t r e d i t ) à d é t e r m i n a n t n u l . N o u s d o n n e r o n s d a n s [ 5 ] u n e d é m o n s t r a t i o n i n d i r e c t e d e la c o m p a t i -

(8)

b i l i t é d e (130 et d e ( 1 6 ) . N o u s n o u s b o r n e r o n s i c i à f a i r e r e m a r q u e r q u e d a n s l e s a p p l i c a t i o n s t e c h - n i q u e s c o u r a n t e s , l e s c o e f f i c i e n t s d e (130 et d e (16) ont u n e f o r m e t r è s s i m p l e et l a r é s o l u t i o n d e c e s y s t è m e s e r a , p r a t i q u e m e n t , i m m é d i a t e .

11. II s e r a i t a i s é d e d é v e l o p p e r le p r e m i e r m e m b r e d e (15) : i l n o u s a s e m b l é p r é f é r a b l e d e c o n - s e r v e r l a f o r m e s y m é t r i q u e d u d é t e r m i n a n t , p l u s f a c i l e à s e r a p p e l e r et d o n t le c a l c u l e s t i m m é - d i a t d a n s l a p l u p a r t d e s a p p l i c a t i o n s . E n u t i l i s a n t l e s f o r m u l e s (11), o n v o i t q u e (15) s ' é c r i t : Q^nl c o s * x — P^{N L} sin TC X Q.^{t t l} sin * X + P^nl c o s X N ,^u c o s n X — M^{n l} sin % X N^nl s i n X + M^{n l} c o s % X Qⁿ² c o s * X — Pⁿ² sin 7c X Qⁿ² sin ^ X -f- Pⁿ² c o s % X N.^ft2 c o s %1 — M^{n 2} s i n w X Kⁿ² s i n % X + Mⁿ² c o s n X

Q?ni ^ml N^{m l} ' M^{m l}

Q m 2 P w 2 -^m2 ^ - m 2

D ' a p r è s c e l a et l a f o r m u l e (11), l e s é q u a t i o n s (13) et ( 1 3 0 , (14) et (140 s ' é c r i v e n t r e s p e c t i v e m e n t :

K "² Q^{M P} + K '² P^m) + K "⁴ N^{M P} + K '⁴ M^m}> ^ 0; (p = 1,2) ; (18)

K " , + K ' i P^{W P} + K "⁸ N^{M J}, + K '³ M^{M P} = 0; (p = 1,2) ; (180

K "² ( Q „^P c o s w X² — P^7IP sin w X²) + K '² ( Q^{N P} sin w X² + P^np c o s TC X²) + (19)

+ K "⁴ ( N^{n p} c o s w X² — M^{B p} sin x X²) + K O (N^{M p} sin^TC X² + M^nv c o s ic X²) = 0, (p = 1,2) ; (19)

K^{/ , T}< Q „^P c o s n X¹ — P « „ sin « X^a) + K ' i ( Q ,^P sin * X, + P^{W P} c o s % X^t + (190

+ K "³ ( N^{M P} c o s w X, — M„^p sin * X , ) + K '⁸ ( N^{n p} sin * \^x + M^{H P} c o s^TC 1,) = 0, (p = 1,2).

Enfin, l ' é q u a t i o n (16) se t r a n s f o r m e en l a s u i v a n t e :

K ' 0 ( Q „^P c o s * X — P^{H P} sin^% X) + K ' i ( Q „^P sin w X + c o s^% X)

+ K "³ (N^{H P} c o s 7c X — M^{f l p} sin w X) -}- K '³ ( N^w sin % X + M.^{i p} c o s TU X) (20)

= — w [ K O ( Q^{I ( P} c o s^TU X — P^{N P} sin X) — K "² ( Q^{N P} sin * X + P^np c o s^TC X) + K O ( N^{n p} c o s - X — M^{n p} sin^TU X) — K "⁴ (N^{B p} sin w X + c o s « X) ]

A i n s i , p r a t i q u e m e n t , o n n ' a u r a p a s à m e t t r e les q u a n t i t é s c o m p l e x e s a^p, $^p, A^p, B^p (p = 1,2) s o u s l a f o r m e t r i g o n o m é t r i q u e ( 1 1 ) ; c e l l e - c i n ' e s t utile q u e p o u r e f f e c t u e r c o m m o d é m e n t q u e l q u e s c a l c u l s i n t e r m é d i a i r e s .

L a m a r c h e d e s c a l c u l s p r é c é d e n t s e s t p r é s e n t é e d a n s [2] d ' u n e m a n i è r e d i f f é r e n t e . P O L O U B A R I - N O V A - K O T C H I N A f o r m e d ' a b o r d l ' é q u a t i o n d u s e c o n d d e g r é d o n t l e s r a c i n e s sont e^2,JTiXt e t é²^^; i l n o u s s e m b l e q u e n o t r e v a r i a n t e est p l u s d i r e c t e et p l u s r a p i d e . E n s e c o n d l i e u , l ' a u t e u r p r é c i t é n ' a b o r d e p a s l a d é t e r m i n a t i o n d e s c o n s t a n t e s Kj [Cf. (9) et ( 1 1 ) ] . O n v e r r a a u c h a p i t r e s u i v a n t l ' i n t é r ê t p r a - t i q u e d e c e c o m p l é m e n t d e la t h é o r i e .

C e p e n d a n t , r e d i s o n s u n e f o i s e n c o r e q u e l ' e s s e n t i e l d u c h a p i t r e I I s e t r o u v é d é j à d a n s l ' o u v r a g e f o n d a m e n t a l [ 2 ] .

= 0 ( 1 7 )

C H A P I T R E I I I

É T U D E D E Q U E L Q U E S C A S P A R T I C U L I E R S 12. N o u s a l l o n s i l l u s t r e r l e s g é n é r a l i t é s d u c h a -

p i t r e p r é c é d e n t e n d i s c u t a n t d ' u n e m a n i è r e u n p e u d é t a i l l é e l e s s i n g u l a r i t é s d e / (z) a u x s o m - m e t s z^{4 2} et z^S4 d e C. D ' a p r è s l e s c o n v e n t i o n s a d o p t é e s a u x p a r a g r a p h e s 2 et 3, z^{4 2} e s t c o m m u n à u n e é q u i p o t e n t i e l l e C² et à u n e ligne l i b r e C⁴. P r a t i q u e m e n t , l a q u e s t i o n r e v i e n t à é t u d i e r l ' a l -

l u r e d e C⁴ d a n s l e v o i s i n a g e d ' u n e p a r o i p e r m é a - b l e . D e m ê m e , l ' é t u d e d u v o i s i n a g e d e z^u n o u s p e r m e t t r a d e p r é c i s e r l ' a l l u r e d ' u n e l i g n e l i b r e d a n s le v o i s i n a g e d u p o i n t o ù e l l e s e r a c c o r d e à u n e s u r f a c e d e s u i n t e m e n t .

L a p l u p a r t d e s r é s u l t a t s c i - a p r è s s e t r o u v e n t d é j à d a n s l a t h è s e d e B O R E L I [ 4 ] . T o u t e f o i s ,