Devoir surveillé N2

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Devoir surveillé N2

1.BAC – S.M .F

1ere Semestre

Exercice 1 : 3,5 pts

On considère les ensembles  et  suivants :

^{ }

 

^{x y}^,



^ ² ^/^x² ^ ^y² ^²⁵



^et 

        

1,1 ; 4, 3 ; 3, 3 ; 0, 5



1) Montrer que  

        

0, 5 ; 5, 0 ; 3, 4 ; 4, 3



2) Écrire en extension les ensembles suivants :             ^; ^; ^;

 

Exercice 2 : 7,5pts

On considère l’application f suivante : ^{: IR} ^IR₂ 1 f

x x x



   1) Déterminer ^^f¹

   

⁰ ^; ^^f¹

  ^{ }

¹

2) f est – elle injective ? surjective ? justifier .

3) a) Montrer que : 3

( IR ) : ( )

x f x 4

  

b) Montrer que :

 

^IR ³^,

f 4  4) On considère l’application g suivante :

2

1 3

: , ,

2 4

1 g

x x x

    

   

   

  

Montrer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque g^¹ Exercice 3 : 5,5pts

On considère les ensembles  et F suivants :

^F



^x ^/ ^x ²



êt â ¹ ^/â

a

 

       

 

1) Vérifier que : 4

1 et que 3 . 2) a) Montrer que : ( a ) : a ¹ 2

a

     b) En déduire que :   F

c) Montrer que :   F Exercice 4 : 3,5pts

Soit f l’application de vers



^1,^



définie par : 1 1 ²

( ) 1 1

2 2

f x   x  x 

Et soit g l’application de



^1,^



^vers définie par : 1

( ) 1

4 4

g x x

 x  

 1) Montrer que :



^{ }^x



^: ^{g f x}^ ^{( )}^^x

2) Montrer que :



^{  }^x



^1,

 

^: ^{f g x}^ ^{( )}^^x^.

3) En déduire que f est bijective et déterminer sa bijection réciproquef^¹ .