Séries de Taylor et séries de puissances

Vue d’ensemble

Séries de Taylor

et séries de puissances

Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC

Financé par le ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS) du Québec dans le cadre du Programme d'arrimage universités-collèges

Anik Soulière

Professeure de mathématique Département de mathématiques Collège de Maisonneuve

asouliere@cmaisonneuve.qc.ca

Mise en contexte

f 𝑥 = 𝑥 − 𝑥³

3! + 1 5!𝑥⁵ + −

× ÷

un polynôme

𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥

+ −

× ÷

3 ∙ 2 ∙ 1

Mise en contexte

f 𝑥 = 𝑥 − 𝑥³

3! + 1 5!𝑥⁵ f 1,5 = (1,5) − (1,5)³

3! + 1

5!(1,5)⁵ + −

× ÷

un polynôme

+ −

× ÷

Mise en contexte

f 𝑥 = 𝑥 − 𝑥³

3! + 1 5!𝑥⁵ + −

× ÷

un polynôme

+ −

× ÷

• Facile à dériver

• Facile à intégrer

• Sa dérivée et son intégrale sont de

nouveaux polynômes

Mise en contexte

f 𝑥 = 𝑥 − 𝑥³

3! + 1 5!𝑥⁵

sin 0,5 ? ln 2 ? + −

× ÷

un polynôme

+ −

× ÷

Pour 𝑥 près de 0

Polynômes à la rescousse!

sin 𝑥 ≈ 𝑥 −𝑥³

3! + 𝑥⁵

5! −𝑥⁷

7! + 𝑥⁹

9! − 𝑥¹¹ 11!

Centrée en 𝑥 = 0 sin(0) = 0

Polynômes à la rescousse!

sin 𝑥 𝑥 −𝑥³

3! + 𝑥⁵

5! −𝑥⁷

7! + 𝑥⁹

9! − 𝑥¹¹

11! + ⋯

Centrée en 𝑥 = 0 sin(0) = 0 Vrai ∀𝑥 ∈] − ∞, ∞[

« somme infinie de polynômes »

= −1 ^𝑛 𝑥^2𝑛+1 2𝑛 + 1 !

∞

𝑛=0

Série de puissances entières de 𝑥.

Comment trouver les termes de cette série?

Formule de développement en série de Taylor autour de la valeur 𝑥 = 0.

à l’infini

Aussi appelée série de MacLaurin

Cette série converge pour tout 𝑥 ∈ ℝ.

=

Pour 𝑥 près de 𝜋/2

Développer une approximation autour d’une autre valeur

sin 𝑥 ≈ 1 −(𝑥 − 𝜋 2 )²

2! + (𝑥 − 𝜋 2 )⁴

4! − (𝑥 − 𝜋 2 )⁶ 6!

Centrée en 𝑥 = 𝜋/2 sin(𝜋/2) = 1

Développer une approximation autour d’une autre valeur

sin 𝑥 1 −(𝑥 − 𝜋 2 )²

2! + (𝑥 − 𝜋 2 )⁴

4! − (𝑥 − 𝜋 2 )⁶ 6!

Centrée en 𝑥 = 𝜋/2 sin(𝜋/2) = 1 Vrai ∀𝑥 ∈] − ∞, ∞[

= + ⋯

Pour 𝑥 près de 1

Converge toujours sur tous les réels?

ln 𝑥 ≈ (𝑥 − 1) −(𝑥 − 1)²

2 +(𝑥 − 1)³

3 −(𝑥 − 1)⁴ 4

Centrée en 𝑥 = 1 ln(1) = 0

+ (𝑥 − 1)⁵ 5

Converge toujours sur tous les réels?

ln 𝑥 (𝑥 − 1) −(𝑥 − 1)²

2 +(𝑥 − 1)³

3 −(𝑥 − 1)⁴ 4

Centrée en 𝑥 = 1 ln(1) = 0 Vrai ∀𝑥 ∈ ]0, 2]

+ (𝑥 − 1)⁵ + ⋯

= 5

Quelques applications des séries de Taylor

Approximer numériquement la valeur d’une fonction transcendante.

sin 𝑥 ≈ 𝑥 − 𝑥³ 3!

sin(0,5) ≈ 0,5 − 0,5³ 0,4791 6

= 0,479426 …

≈

≈ 0,4791

Quelques applications des séries de Taylor

Trouver la valeur de l’intégrale définie d’une fonction n’ayant aucune primitive connue.

𝑒^{1 −𝑥2}

0

𝑑𝑥

= 1 − 𝑥² + 𝑥⁴

2! − ⋯

1 0

𝑑𝑥 1 𝑑𝑥

1 0

+ −𝑥² 𝑑𝑥

1 0

+ 𝑥⁴ 2! 𝑑𝑥

1 0

≈ 𝑥 − ^𝑥3

3 + ^𝑥5

2!5

0,76

𝑒^−𝑥2 = −1 ^𝑛 𝑥^2𝑛 𝑛!

∞

𝑛=0

∀𝑥 ∈ ℝ

≈ + ⋯

=

0,74682 …

≈

1 0

1 0

1 0

Quelques applications des séries de Taylor

Démontrer des résultats théoriques.

𝑦 = cos 𝜃 𝑦 = sin 𝜃

𝑦 = 𝑒^𝑥

𝑖 = −1

Quelques applications des séries de Taylor

Démontrer des résultats théoriques.

Formule d’Euler

𝑒^𝑖𝜃 = 1 + 𝑖𝜃

1! + 𝑖𝜃 ²

2! + 𝑖𝜃 ³

3! + 𝑖𝜃 ⁴

4! + 𝑖𝜃 ⁵

5! + ⋯ 𝑒^𝑖𝜃 = 1 + 𝑖𝜃

1! + 𝑖²𝜃²

2! + 𝑖³𝜃³

3! + 𝑖⁴𝜃⁴

4! + 𝑖⁵𝜃⁵

5! + ⋯ 𝑒^𝑖𝜃 = 1 + 𝑖𝜃

1! + −𝜃²

2! + −𝑖𝜃³

3! + 𝜃⁴

4! + 𝑖𝜃⁵

5! + ⋯ 1 − 𝜃²

2! + 𝜃⁴

4! + ⋯ 𝜃

1!− 𝜃³

3! + 𝜃⁵

5! + ⋯

cos 𝜃 sin 𝜃

𝑒^𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃

𝑒^𝑖𝜃 = 1 + 𝑖𝜃

1! + −𝜃²

2! + −𝑖𝜃³

3! + 𝜃⁴

4! + 𝑖𝜃⁵

5! + ⋯ + 𝑖

+ 𝑖 𝑒^𝑖𝜃 =

𝑒^𝑖𝜃 =

𝑖² = −1

∀𝜃 ∈ ℝ

∀𝜃 ∈ ℝ 𝑖² = −1

𝑒^𝑥 = 𝑥^𝑛 𝑛!

∞

𝑛=0

∀𝑥 ∈ ℂ

𝑖 = −1

Résumé

Plusieurs fonctions transcendantes que vous connaissez

sin 𝑥 ≈ 𝑥 −𝑥³

3! +𝑥⁵

5! − 𝑥⁷

7! +𝑥⁹

9! −𝑥¹¹

11! + ⋯

= = −1 ^𝑛 𝑥^2𝑛+1

2𝑛 + 1 !

∞

𝑛=0

+ −

× ÷

sin 𝑥 , cos 𝑥 , ln 𝑥 , 𝑒

, log

𝑥 , sin 𝑥

, . . .

peuvent s’exprimer comme une somme infinie de polynômes appelée série de puissances.

Développement en série de Taylor autour de 𝑥 = 𝑐.

Converge ∀𝑥 ∈ ]𝑐 − 𝑅, 𝑐 + 𝑅[

Vrai ∀𝑥 ∈] − ∞, ∞[

Résumé

Quelques applications des séries de Taylor : 1. approximer numériquement

une fonction près du centre de convergence;

2. évaluer des intégrales définies dont la primitive est difficile à trouver;

3. démontrer des résultats théoriques.

sin 𝑥 ≈ 𝑥 − 𝑥³ 3!

sin(0,5) ≈ 0,5 −0,5³ 0,4791 6

≈

𝑒^𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃

≈ ¹1 𝑑𝑥

0

+ ¹−𝑥² 𝑑𝑥

0

+ 𝑥⁴ 2! 𝑑𝑥

1 0

𝑒^{1 −𝑥2}

0

𝑑𝑥

Conception du contenu

Anik Soulière

Collège de Maisonneuve asouliere@cmaisonneuve.qc.ca

Révision du contenu

Samuel Bernard

samuel.bernard@collanaud.qc.ca

Direction de projet

Samuel Bernard Bruno Poellhuber

Postproduction

Symon Nestoruk

Musique

Sébastien Belleudy

sebe.bandcamp.com

Crédit images

Pixabay

pixabay.com

Conception graphique

Christine Blais

Production des modèles en LaTeX

Nicolas Beauchemin

nicolas.beauchemin@bdeb.qc.ca

Vidéo mise à disposition selon les termes de la licence Creative Commons internationale 4.0

Paternité / Pas d'utilisation commerciale / Partage dans les mêmes conditions Les autorisations au-delà du champ de cette licence peuvent être obtenues à Mathema-TIC.ca

Bruno Poellhuber Samuel Bernard

Production