Révisions Noël 2019-2020
4 UAA5 – Second degré - correction
1. Savoir appliquer les produits remarquables et maîtriser les formules des puissances
(3x² - 5)² = 9x4 – 30x² + 25
(2x5 – 7)² = 4x10 – 28x5 + 49
(5x² + 1) (5x² - 1) = 25x4 - 1
2. Factorise
(5x – 8)5 (x - 1)3 – (8 – 5x)4 (1 – x)5 = (5x – 8)5 (x – 1)3 + (5x – 8)4 (x – 1)5
= (5x – 8)4 (x - 1)3 ((5x – 8) + (x – 1)²) = (5x – 8)4 (x - 1)3 (x² + 3x – 7)
4x² (x + 6)5 (7x – 10)7 – 2x (-x – 6)4 (10 – 7x)9
= 4x² (x + 6)5 (7x – 10)7 + 2x (x + 6)4 (7x - 10)9
= 2x (x + 6)4 (7x – 10)7 (2x (x + 6)+(7x - 10)2)
= 2x (x + 6)4 (7x – 10)7 (2x² + 12x+ 49x² -140x + 100)
= 2x (x + 6)4 (7x – 10)7 (51x² - 128 x + 100)
3. Calcule les racines des polynômes :
La racine d’un polynôme est la valeur qui annule le polynôme p1(x) = x² - 5 p2(x) = 3x² + 50
𝒙 = ±√𝟓 pas de racine
p3(x) = 8x² - 17x = x (8x – 17) x = 0 ou x = 17/8
P4(x) = 7x² + 58x – 45
équation complète du second degré d’où delta puis x1 x2
𝑥 = ±√ = ou − 63/7 P5(x) = 2x² + x + 8
pas de racine car delta < 0
4. Vérifie que x = 6 est racine du polynôme 3x² - 23x + 30
Cherche ensuite l’autre racine par la méthode S-P en notant les calculs si x = 6 est racine alors on doit trouver « 0 » en remplaçant « x » par « 6 » 3.6² - 23.6 + 30 = 0 OK
S = 23/3 P = 30/3 = 10
x1 = 6 d’où x2 = 23/3 – 6 = 5/3 preuve : 6 . 5/3 = 30/3 = 10 = P
5. Recherche la valeur de « a » pour que
a) l’équation ax² + 5x – 2 = 0 admette « 4 » comme solution On remplace « x » par 4, ce qui donne
16a + 20 – 2 = 0
a = -18/16 = -9/8
b) l’équation x² + 2x – 5a = 0 admette une solution double Si on a une solution double alors delta vaut 0
Δ = 4 – 4.1.(-5a) = 4 + 20a 4 + 20a = 0
a = -4/20 = -1/5
c) la fonction f(x) = x² - 9a coupe l’axe OX aux points d’abscisses « 1 » et « -1 » Les abscisses des points d’intersection d’une fonction avec l’axe OX sont les racines donc annulent la fonction
1² - 9a = 0 a = 1/9
6. Recherche les points d’intersection entre le graphique de f(x) et l’axe OX Esquisse le graphique à l’aide de quelques points
3 1 8 ) 7
1(x x f
21 8 8 7 3 1 3 0 1 8 7
x
x
(8/21,0)
f2(x) = 6x² + 13x – 5 Δ = 289
x =1/3 ou x = -5/2 (1/3,0) et (-5/2,0) f3(x) = 4x² + 20x + 25 = (2x + 5)²
Δ = 0 x = -5/2 (-5/2;0)
7. Résous l’équation et note l’ensemble S des solutions Tu dois maîtriser la mise en évidence, Horner, delta, S-P
28x² = 25 𝒙 = ± 𝟓
√𝟐𝟖 = ± 𝟓
𝟐√𝟕 = ±𝟓√𝟕 𝟏𝟒
² − = 𝒙 = ± 𝟖
𝟑= ±𝟐√𝟐
√𝟑 = ±𝟐√𝟔
𝟑
3x4 – 7x3 + 12x² = 0 x² (3x² - 7x + 12) = 0 x² = 0 ou 3x² - 7x + 12 = 0 x= 0 Δ < 0 pas de sol
6x3 + 7x² - 18x = -5 (3x² + 1) (2x – 5)3 – (-3x² - 1)² (5 – 2x)4 = 0 6x3 + 7x² - 18x + 5 = 0
Par horner : p(1) = 0
6 7 -18 5
1 6 13 5
6 13 -5 0
(x -1) (6x² + 13x – 5) = 0 x = 1 ou Δ = 289
𝒙 = 𝟏𝟑±√𝟐𝟖𝟗
𝟏𝟐 = 𝟏/𝟑 𝒐𝒖 − 𝟓/𝟐 8. Factorise
Par delta, on trouve les racines et de là, la factorisation 21x² - 53x – 8 =
Δ = 3481
racines : 56/21= 8/3 et -1/7 21x² - 53x – 8 = 21 𝒙 −𝟖
𝟑 𝒙 +𝟏
𝟕 = (𝟑𝒙 − 𝟖)(𝟕𝒙 + 𝟏) 9
1 15
² 4 25
4 x x
soit par Δ ou directement par un carré parfait Δ = 0
une seule racine (racine double) 𝑥 = =5
6
4
25 𝑥 −5
6 = 2
5 𝑥 −5
6 = (2 5𝑥 −1
3)²
x³ + x² - 9x – 9
soit par groupement
(x³ + x²)+(-9x - 9) = x² (x + 1) - 9 (x + 1) = (x + 1) (x² - 9) = (x + 1) (x+ 3) (x – 3)
soit par Horner avec p(1) = 0 ou p(3) = 0 ou p(-3) = 0 suivi de Δ ou différence de deux carrés
6x² - 7x - 5 Δ = 169
racines : 5/3 et -1/2
6x² - 7x – 5 = 6 𝑥 − 𝑥 + = (3𝑥 − 5)(2𝑥 + 1)
9. Trouve deux nombres dont la somme vaut 2 et le produit -63 Les nombres sont « 9 » et « -7 »
10. Trouve les racines de l’équation en fonction de « a » par la méthode S-P x² - (2a + 5)x + a² + 5a = 0
coef de x² = 1 coef de x = -(2a + 5) terme indépendant a² + 5a
S = 2a + 5
P = a² + 5a = a (a + 5)
On factorise le produit pour trouver les deux racines et ensuite on les additionne pour vérifier la somme
Les deux racines sont « a » et « a + 5 » 11. Recherche les valeurs de « m » pour que
le polynôme 5x² - 8(m + 1)x + 2m admette 2 racines distinctes inverses
∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝑷 = 𝟏 𝑷 = 𝒄
𝒂= 𝟐𝒎 𝟓 = 𝟏 m = 5/2 le polynôme 4x² + 5mx + 49 admette 1 racine double
∆ = 𝟎 25m² - 784 = 0
𝒎 = ± 𝟕𝟖𝟒
𝟐𝟓 = ±√𝟕𝟖𝟒
𝟓 = ±𝟐𝟖 𝟓
l’équation 3x² - 12m²x + 1 admette deux solutions opposées
∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝑺 = 𝟎
𝑺 =−𝒃
𝒂 = 𝟏𝟐𝒎² 𝟑 = 𝟎 m = 0
12. Cite les fonctions paires et justifie par la définition définition : f(-x) = f(x)
f(x) = 3x² + 9 g(x) = (5x – 1)² 𝒉(𝒙) =𝟑𝒙²𝟐𝒙𝟒
𝟏 𝒊(𝒙) =𝟒𝒙²𝟑𝒙𝟓
paire paire 𝟔
j(x) = sin x k(x) = cos x
paire
13. Résous en imposant les conditions d’existence
𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙 − 𝟒 −𝟑𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟏 = 𝒙 + 𝟗 𝒙² − 𝟑𝒙 − 𝟒 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙 − 𝟒 −𝟑𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟏 = 𝒙 + 𝟗 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) 𝑪𝑬 ∶ 𝒙 ≠ 𝟒 𝒆𝒕 𝒙 ≠ −𝟏 (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏)
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) −(𝟑𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒)
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝒙 + 𝟗 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒) 𝟐𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟑 − 𝟑𝒙² + 𝟏𝟐𝒙 − 𝒙 + 𝟒 − 𝒙 − 𝟗 = 𝟎
−𝒙² + 𝟗𝒙 − 𝟖 = 𝟎
𝑷𝒂𝒓 𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂, 𝒐𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 ∶ 𝒙 = 𝟏 𝒐𝒖 𝒙 = 𝟖
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏− 𝟏 − 𝒙
𝟏 − 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒙 𝟐𝒙² + 𝒙 − 𝟏
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏− 𝟏 − 𝒙
𝟏 − 𝟐𝒙= 𝟏 − 𝒙 𝟐(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟎, 𝟓)
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏− 𝟏 − 𝒙
𝟏 − 𝟐𝒙= 𝟏 − 𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏)
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏+ 𝟏 − 𝒙
𝟐𝒙 − 𝟏= 𝟏 − 𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏) 𝑪𝑬 ∶ 𝒙 ≠ −𝟏 𝒆𝒕 𝒙 ≠ 𝟎, 𝟓
(𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏)
(𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏)+ (𝟏 − 𝒙)(𝒙 + 𝟏)
(𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏)= 𝟏 − 𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏) 𝟐𝒙² − 𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝒙 + 𝟏 − 𝒙² − 𝒙 − 𝟏 + 𝒙 = 𝟎
𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 𝒙 = 𝟏
14. Comment construire à partir de f(x) = x², le graphique de f1(x) = (x – 2)² + 1,5
en translatant de 2 vers la droite (parallèlement à OX) et de 1,5 vers le haut (parallèlement à OY)
15. Donner l’équation de l’axe de symétrie et les coordonnées du sommet de f(x) = (x – 7)² + 9
axe ≡ x = 7 S(7,9)
