N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
R ENÉ T HIRY
Étude d’un problème sur le pendule à longueur variable (Agrégation, 1922)
Nouvelles annales de mathématiques 5e série, tome 2 (1923), p. 335-349
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[R7f]
ÉTUDE D'UN PROBLÈME SUR LE PENDULE A LONGUEUR VARIABLE
(Agrégation, 1922) ;
P A R R E N É T H I H Y (Strasbourg).
Parmi les épreuves proposées pour la composition de Mécanique au concours d'Agrégation de 1922 se trou- vait la question suivante :
On donne deux axes de coordonnées rectangu- laires Ox, Oy (Or vertical vers le liaut). Un pendule simple est f orme par un fil inextensible et sans masse dont une extrémité est fixée en un point A de Oy;
à l autre extrémité se trouve un point matériel M de poids mg, dont la position <Téquilibre est le point O. Ce fil passe à travers un anneau horizontal
( 336 )
très petit dont le centre peut occuper une position -quelconque entre O et A, Si Vanneau est fixé de manière que son centre occupe un point B de Oy, lu longueur véritable du pendule est OB = b. On fait alors osciller ce pendule dans le plan xOy, on désigne par CL son angle délongation maximum et Von suppose a assez petit pour que, dans toutes les expressions dépendant de a, on ne conserve que la partie principale. Calculer la période du mouve- ment qu'on appellera période du pendule et V énergie totale qu'il a fallu dépenser pour le mettre en mou- vement à partir de sa position d'équilibre {énergie du pendule).
Comment se modifie la période et Vénergie lors- qu'on modifie la position de Vanneau en le dépla- çant à la main sur Oy? On étudie? a d'-abord le cas où Von élève et abaisse Vanneau dune longueur très petite £ à partir de B assez rapidement pour que, pendant ce déplacement, V angle du fil avec Oy puisse être regardé comme constant; on désignera cet angle par 9. On suppose ensuite, le déplacement i restant très petit, que le mouvement de Vanneau est uniforme et que la durée du déplacement e est égale à la période du pendule. On étudiera enfin le cas où la durée du déplacement comprend un grand nombre de périodes {la fraction de période, si elle existe, étant par suite négligeable), sa vitesse restant assez faible pour que le déplacement pen- dant une periode soit très petit, et les variations de cette vitesse étant également assez faibles pour quelle puisse être regardée comme constante pen- dant la durée de chaque période. La position finale de Vanneau étant C(OC = c) on examinera en par- ticulier de qui se passe si c augmente indéfiniment
(ce qui exige que O À soit considérable) ou si c tend vers zéro. Peut-on trouver entre la période et l'éner- gie du pendule une relation indépendante de c? (4).
Je me* propose d'étudier plus spécialement la pre- mière partie de cette question, celle qui est relative à un déplacement du point B « assez rapide pour que, pen- dant ce déplacement, l'angle du <îl avec Oy puisse être regardé comme constant ».
1. Si à un instant donné le ni BM fait un angle 9a
avec la verticale et possède une vitesse angulaire 9'0, et si dans la suite du mouvement le point B reste fixe (à une distance b0 de O), le pendule oscille comme un pendule simple ordinaire et le calcul élémentaire classique donne, pour la période, pour l'élongation maximum, pour l'énergie et pour la tension du fil, les valeurs sui- vantes ':
= ni g,
en se bornant à l'approximation, indiquée dans l'énoncé, des petites oscillations.
( i ) On comprend généralement sous le nom de pendule simple a longueur variable ie cas où, le point B restant fixe, la longueur du pendule varierait par suile du déplacement du point A. Ce pro- blème ne coïncide avec celui qui nous occupe ici que dans le cas où la variation de la longueur du pendule est fonction linéaire du temps ou, ce qui revient au même, lorsque le mouvement de l'an- neau est uniforme.
Ann. de Malhémat., 56 série, t. II. (Juin 1924.) 26
( 338 )
Ceci posé, un premier raisonnement, presque imposé par la rédaction du problème, se présente à l'esprit.
Supposons que nous tenions l'anneau à la main à un moment où les conditions 80, 8^, b0 sont réalisées. Le fil agit alors sur une des sections de l'anneau par le plan d'oscillation à la façon des deux brins de la corde dans la poulie fixe et l'anneau est soumis aux deux forces <P et <î>' égales toute deux à la tension Go du fîl à cet instant (voir fig. i). Pour que l'anneau reste
immobile, il faut donc que la main exerce sur lui une force F équilibrant les deux forces précédentes. Si brus- quement nous déplaçons l'anneau d'une quantité tres petite e et si nous admettons que le déplacement soit tel que la tension varie peu et que l'angle 8 conserve à peu près la même valeur, la force F fournira un certain travail ( ' ) qui modifiera d'autant l'énergie du pendule.
(*) Ce travail sera eflecfciveinent fourni au pendule si £ est négatif, il sera au contraire récupéré par la main de Topérateurj»! s est positif.
Ce travail se calcule immédiatement, il a pour valeur algébrique
— £.So(i — cos9).
En s'en tenant toujours à la même approximation, on aura pour l'énergie du pendule lorsque le point B se sera arrêté à la cote b0 + £ la formule
À partir de là, on calcule immédiatement le nou\ol angle d'écart maximum
(au même degré d'approximation) et enfin la nouvelle période
(4) T1=2 M
On ne saurait dire, à mon avis, que ce raisonnement soit bien satisfaisant. 11 faut on effet, d'une part, que le déplacement soit assez rapide pour que l'angle reste sensiblement constant; mais, d'autre part, un déplace- ment trop rapide (vers le haut par exemple) entraî- nera nécessairement pour B (fes périodes de grande accélération, comme nous le verrons tout à l'heure, et il est à craindre que le fil ne reste pas tendu, ce qui serait en contradiction avec l'hypothèse faite que la tension varie peu pendant le déplacement. Dans quelles limites ces conditions, en apparence opposées, sont-elles com- patibles, c'est ce que je me propose d'étudier ici. On pourrait peut-être exposer de façon plus synthétique les réflexions qui vont suivre, mais il m'a paru plus intéressant, dans l'étude d'une question d'examen, de laisser subsister les différentes phases de l'analyse du
problème telles qu'elles se sont présentées naturellement à moi.
2. Commençons d'abord par établir les équations générales du mouvement de M en supposant que les variations du point B aient lieu suivant une loi donnée quelconque
* = ƒ ( ' ) .
Les coordonnées du point B étant # —6sin8, y — b ( i — cos 8 ), on en calculera facilement les dérivées secondes par rapport à t et les équations fondamentales de la dynamique du point s'écriront :
m\ b cos G. G —6sinG.G'2
-h 2&'cosO.G/-f- b" sinG] = — S sinG,
"-+- ècosG.G'2
2 6/sinQ.G'-t- b"(\ — cosG)]= S cos G — mg.
On les remplacera par, deux combinaisons évidentes éliminant, Tune la tension, l'autre la dérivée 6" :
| G = m 60'2-h 6"/cosO — i j -h^cosG •
Si l'on se borne a étudier des parties du mouvement pendant lesquelles 8 reste très petit, on peut remplacer ces équations par les suivantes :
( 7 )
j (5 = m
JNOUS allons maintenant supposer d'abord que le déplacement s soit réalisé avec une vitesse constante.
Nous placerons l'origine des temps au début du mou- vement de l'anneau et nous appellerons T< la durée du
déplacement. A l'instant initial 9, 9f, b auront les valeurs 9M 9(, bK et nous nous proposons de calculer les valeurs correspondantes 92î 9g, ^2 à la fin de la per- turbation.
Pendant 1^ durée du déplacement, on aura
b — bx -h kt
(la vitesse k ayant une valeur finie quelconque), et puisque nous supposons TJ très petit, nous pourrons chercher 9 sous forme d'un développement en série
Le calcul du coefficient a2 se fait immédiatement à l'aide de l'équation différentielle et l'on trouve, au bout du temps T|,
±2!±
r g X i ,en négligeant les puissances de r:i supérieures à la pre- mière.
On en tire de suite, toujours avec la même approxi- mation :
(9)
Les formules que nous trouvons ainsi ne sont nulle- ment d'accord avec les formules (2) et (3) trouvées plus haut. Il n'y a pas lieu de s'en étonner; en effat, il est impossible que l'anneau passe brusquement du repos à un mouvement uniforme. H faut nécessairement qu'il y ait un mouvement varié aussi bien au départ qu'à l'arrêt. Pour produire ce mouvement varié il
( M* )
faudra faire agir sur l'anneau des forces d'autant plus grandes que l'on voudra établir plus rapidement le régime uniforme et, en particulier, hi l'on voulait réa- liser le passage brusque du repos initial au mouvement uniforme puis au repos final, il faudrait introduire une percussion au départ et une autre à l'arrêt.
8M 8'j, bt sont les saleurs après la première percus- sion; 62, 9g, b2 les \aleurs avant la deuxième, ce ne sont nullement les \aleurs a prendre au début et à la fin de la perturbation totale.
Remarquons encore que, pendant la période de mouvement uniforme, la tension reste très voisine de la valeur mg.
3. Proposons-nous maintenant d'étudier l'effet de la période de momement varié (nous le supposerons uni- formément varié) qui doit nécessairement précéder la phase uniforme.
En reportant l'origine des temps au début de cette période (dont nous supposerons la durée égale à T0) et en appelant Qo, 8^, b0 les valeurs des paramètres à cette époque, on aura
y de\ant être tel qu'au bout du temps T0 la \itesse k de régime uniforme soit réalisée, ce qui donne y xo= k.
La même méthode de recherche de 6 sous forme d'un dé\eloppement en série donne par un calcul facile
1
( 1 0 )
* . = < - a
= Ô0H- ö'eTo —
_ A/ e -+- Y
Si l'on voulait se rapprocher du cas théorique de la percussion^ instantanée, il faudrait dans ces formules faire tendre T0 vers zéro, ce qui donnerait (en tenant compte naturellement des variations de y)
6. = h,
J Bi =
- 0' e ƒ
Une étude complètement analogue donnerait pour caractériser l'effet de la percussion d'arrêt (en appe- lant 82, 8^, 6> les valeurs des paramètres avant la per- cussion et 63, 6S, 63 leurs valeurs immédiatement après) les formules
En sautant les intermédiaires, on aurait pour l'en- semble du déplacement
et l'on en déduirait, par un calcul que je pense inutile de reproduire,
0 4 ) % E3 = Et)— ~ - Ô | E ;
ce qui, cette fois, concorde entièrement avec la for- mule (2) obtenue au début de cette étude.
Mais ce résultat n'est pas encore satisfaisant; en effet, pendant la période variée (celle du début par
( 344 )
# exemple), on aura pour la tension
Or 'si To tend vers zéro, . augmente indéfiniment (puisque yT0 = /r); la tension subira donc des varia- tions considérables et, en particulier, si y est positif7
elle s'annulera certainement (*).
Autrement dit, le fil aura une tendance à se rompre à une des extrémités du mouvement et à se détendre à l'autre. Ceci est incompatible avec les conditions du problème qui suppose la liaison du fil jouant en per- manence.
4. 11 est par conséquent impossible d'assimiler à des percussions les périodes de mise en marche et d'arrêt, ces périodes ne peuvent être instantanées, elles doivent occuper une partie notable de la durée totale du dépla- cement.
Entre les quantités y, /c, T0 et T4 on a les relations T Î + ^ 1 = £>
To = *>
«l'où l'on tire
On prendra alors y arbitrairement, tel qu'on soit assuré que la tension ne s'annule pas et l'on choisira pour T0 et T< des quantités positives satisfaisant à la dernière des relations précédentes.
On peut alors reprendre le calcul de 93, Qg, 63 en
(*) Si y était négatif pour îa percussion de début, le déplace- ment aurait lieu vers le bas et ce serait à la percussion d'arrêt que la tension s'annulerait.
( M* ) '
fonction de 90) 9'0Î b0 en se servant alors des formules (10) au lieu des formules (11) et en remplaçant de même le groupe (12) par un groupe analogue. Le calcul est possible mais est un peu long ; il conduit à la formule (2) et cette fois sans aucune impossibilité mécanique. On peut le simplifier en supprimant la phase de mouvement uniforme (ce qui revient à poser T, = o) et en réalisant le déplacement à l'aide de deux mouvements, l'un accéléré, l'autre retardé, de même durée, se succédant immédiatement. Je laisse au lecteur le soin de faire les calculs sous cette forme.
5. On peut du reste réaliser en une seule formule cette succession de deux mouvements, l'un accélère, l'autre retardé, en prenant pour la fonction b—f(t) un polynôme du troisième degré dont la dérivée soit nulle au début et à la fin de la perturbation. Si l'on appelle T la durée totale du déplacement, il suffît de poser
< i 5 ) b = bQ-+- -hit*—ht*,
h étant une constante quelconque reliée à e par la con- dition
Dans un tel mouvement, la valeur absolue de l'accé- lération aura pour maximum la quantité
T = î | * | - -
On prendra arbitrairement la valeur de A, l'équa- tion (16) déterminera T et la valeur de y (égale à 3^2 e h2) nous mettra certainement à l'abri de toute variation trop grande de la tension du fil.
Ici, si nous effectuons les calculs comme précédem-
( 346 )
ment en nous bornant aux termes en s, il faut pousser nos développements jusqu'aux termes en T3.
Gomme précédemment, nous chercherons 9 sous forme d'un développement en série
6 = 60-h 6'0 ^
L'équation difFérentielle donnera facilement les valeurs des coefficients
( 1 7 )
3 A T
2£^
86?
et en donnant à t la valeur T et en négligeant les puis- sances de T supérieures à la troisième on aura
( I 8 )
66JT
d ' o ù e n f i n , a u m ê m e d e g r é d ' a p p r o x i m a t i o n (J) ,
( 1 9 )
et ces formules sont entièrement d'accord a\ec celles que nous a^ns pressenties au début (2).
(') Les termes en T et T2 qui correspondent à des puissances fractionnaires de s disparaissent.
(2) II est à remarquer que pendant ce déplacement la vitesse moyenne V = - = 4 / reste très faible; il semble donc que l'auteur de l'énoncé a \oulu dire que le déplacement devait avoir une durée courte plutôt qu'une grande vitesse, comme le mot rapide pouvait le laisser supposer.
6. Je ne dirai que quelques mots de la suite du pro- blème, pour laquelle de semblables difficultés ne se présentent pas. Les déplacements y ont lieu en effet avec des vitesses et des accélérations très faibles et l'effet des périodes de mise en marche et d'arrêt devient tout à fait négligeable.
Si nous supposons le petit déplacement s réalisé pendant une période avec une vitesse constante très petite A", en appelant co la quantité l / j r et en posant
l'équation différentielle deviendra
Nous en chercherons une solution sous forme d'un développement en série de fonctions suivant les puis- sances de A,
0 = <l>o(0-+-'l'MO +-/*2(I>2(0-+-••• >
en supposant que pour t = o (début du mouvement), on ait
$0(0) - e0, 4>;(o) = ei, 4>!(o) = «^(o) = . . . = o.
Un calcul facile donnera pour <ï>0 et <ï>, les expres- sions
4>o = ôo c o s w / H -sin<o£,
4
d'où par suite à la fin de la période To = —- les nou-
( 348 )
velles valeurs de 8 et de 6' (en négligeant toujours les puissances de s supérieures à la première),
( a > )
f e't = o -0 — - i . r 5 6 '0 — T0« « e0) ,
-ce qui donne enfin, pour le nouvel angle d'écart maximum et pour l'énergie,
- - ( - £ ) •
E1=Eo(i--I-
D'autre part, la nouvelle période du pendule sera
On en déduit immédiatement la relation
(24) Kj.T^Eo.To.
Enfin, si Ton réalise un déplacement fini tel qu'on puisse le décomposer en déplacements très petits rem- plissant les conditions précédentes, on aura pendant toute la durée du mou\ement
( >5) K.T = const.
En particulier, si l'anneau est déplacé très loin vers le haut, la période augmente indéfiniment et par suite l'énergie tend \ers zéro. Si, au contraire, l'anneau se rapproche du point O, la période diminue et l'énergie grandit, mais ceci entraîne également une augmenta- tion de l'angle a et l'on ne peut trop se rapprocher
( 349)
de O sans que les approximations faites sur les petites oscillations cessent d'être valables (* ).
(*) On peut encore retrouver la formule (23) en utilisant les résultats de la première partie du problème. Le raisonnement sui- vant m'a été signalé par un de mes élèves, M. Hourt.
Décomposons l'intervalle s en un grand nombre de partiefs suffi- samment petites pour que chacune d'elles soil parcourue par l'an- neau en un temps très court. Soit de une de ces parties correspon- dant à l'époque/ du mouvement. Dans le déplacement ds. l'énergie du pendule s'accroît algébriquement de la quantité
— Cs — de <^> — m g — de,
i ö 2
d'après la formule (2).
Pendant la période totale T l'accroissement d'énergie sera donc
t — Eo = — Ç ^ Vkdt puisque dz = kdt.
Or, —S.— est égal à l'énergie potentielle Ef) à l'instant t. On a donc
IL ) désignant la valeur moyenne de la fonction — pendant une b / b
période. Cette expression pourrait stî développer en série suivant les puissances de k,
et le premier terme serait la valeur moyenne de _£ dans le cas où K b
serait nul, c'est-à-dire où le pendule conserverait la longueur b0. Or, dans ce cas, le calcul de la valeur moyenne se fait immédia- tement et donne la valeur —- (Ef o désignant comme dans le corps de l'article l'énergie totale du pendule de longueur b0).
D'où la formule
qui n'est autre que la seconde des formules
