Approches d'homogénéisation numériques incrémentales pour le calcul des structures hétérogènes élasto-plastiques et élasto-visco-plastiques

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Approches d’homogénéisation numériques incrémentales pour le calcul des structures hétérogènes

élasto-plastiques et élasto-visco-plastiques

Trung Hieu Hoang

To cite this version:

Trung Hieu Hoang. Approches d’homogénéisation numériques incrémentales pour le calcul des struc- tures hétérogènes élasto-plastiques et élasto-visco-plastiques. Autre. Université Paris-Est, 2015.

Français. �NNT : 2015PESC1138�. �tel-01305513v2�

UNIVERSIT ´ E PARIS-EST

TH` ESE DE DOCTORAT

Discipline : M´ecanique, Mat´eriaux et Structures Pr´esent´ee par :

Trung Hieu HOANG sujet :

Approches d’homog´en´eisation num´eriques incr´ementales pour le calcul des structures

h´et´erog`enes ´elasto-plastiques et

´elasto-visco-plastiques

Version Provisoire

Soutenue le 16 d´ecembre 2015, devant le jury compos´e de :

L. NOELS Associate Professor Rapporteur

Univ. de Li` ege

H. ZAHROUNI Professeur Rapporteur

Univ. de Lorraine

H. DUMONTET Professeur Examinateur

Univ. Pierre et Marie Curie

J. YVONNET Professeur Directeur de th` ese

Univ. Paris-Est Marne-la-Vall´ ee

M. GUERICH Professeur associ´ e Co-encadrant de th` ese Ecole sup´ erieure d’ing´ enieurs

L´ eonard de Vinci

Table des matières

Introduction g´ en´ erale 7

1 M´ ethodologies multi-´ echelles d’homog´ en´ eisation des mat´ eriaux

h´ et´ erog` enes : ´ Etat de l’art 9

1.1 Introduction . . . . 9

1.2 Classification . . . . 11

1.3 M´ ethodes analytiques et semi-analytiques . . . . 11

1.3.1 Probl` emes lin´ eaires . . . . 11

1.3.2 D´ efinition du VER et aspects statistiques . . . . 15

1.4 Probl` emes non lin´ eaires . . . . 15

1.4.1 M´ ethodes semi-analytiques . . . . 15

1.4.2 M´ ethode FE

. . . . 21

1.4.3 M´ ethode d’interpolation de bases de donn´ ees . . . . 23

1.4.4 Approches s´ equentielles pour les mat´ eriaux hyperl´ eastiques 24 1.4.5 M´ ethode s´ equentielle pour l’homog´ en´ eisation des compo- sites lin´ eaires visco´ elastiques . . . . 27

1.4.6 M´ ethode NTFA . . . . 29

1.4.7 Calculs multi-´ echelles intensifs . . . . 33

1.5 Conclusion . . . . 33

2 Proc´ edure de d´ etermination de la taille du VER pour des com- posites non lin´ eaires bas´ ee sur une m´ ethode d’homog´ en´ eisation incr´ ementale 35 2.1 Introduction . . . . 35

2.2 Revue de la m´ ethode incr´ ementale utilis´ ee dans l’homog´ en´ eisation 37 2.3 M´ ethodologie propos´ ee pour d´ eterminer la taille du VER . . . . . 41

2.3.1 Description de la proc´ edure . . . . 41

2.3.2 Crit` ere de convergence . . . . 43

2.4 Exemples num´ eriques . . . . 45

2.4.1 Composite avec matrice ´ elasto-plastique . . . . 46

2.4.2 Composite avec matrice ´ elasto-viscoplastique . . . . 51

2.5 Application de la m´ ethodologie propos´ ee pour le calcul des struc- tures non lin´ eaires h´ et´ erog` enes . . . . 56

2.5.1 Influence de la fraction volumique des inclusions dans le VER sur le r´ esultat de calcul des structures . . . . 57

2.5.2 Influence du rapport entre les modules d’Young de la ma-

trice et des inclusions sur le r´ esultat de calcul des structures 61

2.6 Conclusion . . . . 63

3 Une m´ ethode incr´ ementale num´ erique d’homog´ en´ eisation des com-

posites ´ elastoplastiques 65

3.1 Introduction . . . . 65

3.2 Formulation du probl` eme micro . . . . 66

3.3 Homog´ en´ eisation . . . . 69

3.4 Calcul num´ erique de A

(x) . . . . 71

3.5 Variables internes . . . . 73

3.5.1 Proc´ edure propos´ ee . . . . 73

3.5.2 Algorithme de Return-mapping . . . . 73

3.6 Choix du param` etre β . . . . 76

3.7 Algorithme g´ en´ eral . . . . 78

3.8 Calcul de structures h´ et´ erog` enes ´ elastoplastiques ` a deux ´ echelles . 80 3.9 Conclusion . . . . 83

4 Applications de la m´ ethode incr´ ementale num´ erique d’homog´ e- n´ eisation aux composites ´ elastoplastiques 85 4.1 Introduction . . . . 85

4.2 Homog´ en´ eisation de microstructures ´ elastoplastiques sous charge- ments cycliques . . . . 86

4.2.1 Microstructure avec inclusion rigide et matrice ´ elastoplas- tique avec ´ ecrouissage lin´ eaire . . . . 86

4.2.2 Microstructure poreuse, matrice ´ elastoplastique avec ´ ecrouis- sage lin´ eaire . . . . 89

4.2.3 Microstructure avec inclusion rigide, matrice ´ elastoplastique avec ´ ecrouissage cin´ ematique . . . . 92

4.2.4 VER ´ elastoplastique anisotrope . . . . 93

4.2.5 Microstructure r´ ealiste obtenue ` a partir d’une image de mi- crotomographie . . . . 97

4.3 Exemple de calcul de structure h´ et´ erog` ene non lin´ eaire ´ elastoplas- tique ` a 2 ´ echelles . . . . 98

4.4 Conclusion . . . 100

Conclusion g´ en´ erale 103 4.5 Conclusions . . . 103

4.6 Perspectives . . . 104

A Pr´ esentation du logiciel Digimat 107 A.1 Digimat MF . . . 107

A.1.1 Description . . . 107

A.1.2 Exemple d’illustration . . . 108

A.2 Digimat FE . . . 110

A.2.1 Description . . . 110

A.2.2 Exemple d’illustration . . . 110

A.3 Digimat MX . . . 113

A.3.1 Description . . . 113

A.3.2 Example d’illustration . . . 113

A.4 Digimat CAE . . . 114

A.4.1 Description . . . 114

A.4.2 Exemple d’illustration . . . 116

Table des figures

1.1 Classification des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation. . . . . 12 1.2 Approche d’homog´ en´ eisation non lin´ eaire incr´ ementale. . . . 20 1.3 Repr´ esentation sch´ ematique de la m´ ethode (FE

). . . . 22 1.4 Homog´ en´ eisation d’un mat´ eriau h´ et´ erog` ene visco´ elastique par une

approche d’homog´ en´ eisation num´ erique s´ equentielle [? ]. (a) Struc- ture. (b) VER. (c) R´ eponse de la structure ` a un chargement per- manent dans le temps. . . . 29 2.1 Exemple de r´ ealisation de la microstructure . . . . 42 2.2 Identification des param` etres num´ eriques α par 3 approches pour

un comportement ´ elasto-plastique, et une fraction volumique f = 0.5. 43 2.3 Composite ´ elasto-plastique : champs de contraintes de Von-Mises

dans le cas d’une fraction volumique f = 0.3 : (a) 4 inclusions, correspondant ` a L/D =3.23 ; (b) 144 inclusions, correspondant ` a L/D = 19.41. . . . 48 2.4 Composite ´ elasto-plastique : champs de contraintes de Von-Mises

dans le cas d’une fraction volumique f = 0.5 : (a) 4 inclusions, , correspondant ` a L/D =2.5066 ; (b) 144 inclusions, correspondant

`

a L/D = 15.03. . . . 48 2.5 Composite ´ elasto-plastique, f = 0.3 : convergence statistique des

param` etres : (a) σ

et (b) σ

pour la taille de VER fix´ ee ` a L/D = 3.23. . . . 49 2.6 Composite ´ elasto-plastique, f = 0.3 : convergence statistique des

param` etres : (a) m et (b) k pour la taille de VER fix´ ee L/D = 3.23. 49 2.7 Composite ´ elasto-plastique : convergence du param` etre k par rap-

port au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 50 2.8 Composite ´ elasto-plastique : convergence du param` etre σ

par rap-

port au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 50 2.9 Composite ´ elasto-plastique : convergence de param` etre m par rap-

port au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique

f = 0.5. . . . 50

2.10 Composite ´ elasto-plastique : Convergence de param` etre σ

par rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 51 2.11 Composite ´ elasto-viscoplastique : champs de contraintes de Von

Mises dans le cas d’une fraction volumique f = 0.3 : (a) 4 inclu- sions, correspondant ` a L/D =3.23 ; (b) 144 inclusions, correspon- dant ` a L/D = 19.41 . . . . 53 2.12 Composite ´ elasto-viscoplastique : champs de contraintes de Von

Mises dans le cas d’une fraction volumique f = 0.5 : (a) 4 inclu- sions, correspondant ` a L/D =2.5066 ; (b) 144 inclusions, corres- pondant ` a L/D = 15.03 . . . . 53 2.13 Composite ´ elasto-viscoplastique : convergence du param` etre k par

rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 54 2.14 Composite ´ elasto-viscoplastique : convergence du param` etre σ

par

rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 54 2.15 Composite ´ elasto-viscoplastique : convergence du param` etre σ

par rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport ` a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volu- mique f = 0.5. . . . . 55 2.16 Composite ´ elasto-viscoplastique : convergence du param` etre s par

rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 55 2.17 Composite ´ elasto-viscoplastique : convergence du param` etre m par

rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 55 2.18 Composite ´ elasto-viscoplastique : convergence du param` etre η par

rapport au volume du VER, ou de mani` ere ´ equivalente par rapport

`

a L/D ; (a) fraction volumique f = 0.3 ; (b) fraction volumique f = 0.5. . . . 56 2.19 (a) g´ eom´ etrie du mod` ele complet et (b) g´ eom´ etrie du mod` ele ho-

mog´ en´ eis´ e dans le cas d’une fraction volumique des inclusions de 0.3 . . . . 57 2.20 (a) g´ eom´ etrie du mod` ele complet et (b) g´ eom´ etrie du mod` ele ho-

mog´ en´ eis´ e dans le cas d’une fraction volumique des inclusions de 0.5 . . . . 57 2.21 Champs de d´ eplacement dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.3 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e 58 2.22 Champs de contrainte dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.3 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e 58 2.23 Champs de d´ eplacement dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.5 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e 59

2.24 Champs de contrainte dans la poutre dans le cas d’une fraction

2.25 D´ eplacement en fonction du chargement : comparaison entre mo- d` ele complet et mat´ eriau homog´ en´ eis´ e dans le cas d’une fraction volumique = 0.3 . . . . 59 2.26 D´ eplacement en fonction du chargement : comparaison entre mo-

d` ele complet et mat´ eriau homog´ en´ eis´ e dans le cas d’une fraction volumique =0.5 . . . . 60 2.27 Champs de d´ eplacement dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.3 et d’un rapport E

/E

= 100 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e . . . . 61 2.28 Champs de contraintes dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.3 et d’un rapport E

/E

= 100 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e . . . . 62 2.29 Champs de d´ eplacement dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.3 et d’un rapport E

/E

= 200 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e . . . . 62 2.30 Champs de contrainte dans la poutre dans le cas d’une fraction

volumique f = 0.3 et d’un rapport E

/E

= 200 : (a) mod` ele complet ; (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e . . . . 62 2.31 D´ eplacement en fonction du chargement avec (a) mod` ele complet

et (b) mod` ele homog´ en´ eis´ e . . . . 63 3.1 Volume Elementaire Repr´ esentatif (VER). . . . 66 3.2 Mod´ elisation incr´ ementale du comportement effectif. . . . . 67 3.3 Influence du param` etre β pour un mod` ele de comportement de

type loi puissance. . . . . 78 3.4 Influence du param` etre β sur la qualit´ e de la r´ eponse pour une lois

´

elastoplastique avec ´ ecrouissage lin´ eaire. . . . . 79 3.5 Proc´ edure de calcul ` a deux ´ echelles utilisant l’approche incr´ emen-

tale ` a l’´ echelle microscopique. . . . 82 4.1 Volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif avec une inclusion rigide et ma-

trice ´ elastoplastique, ´ ecrouissage lin´ eaire : (a) g´ eom´ etrie ; (b) maillage. 86 4.2 Chargement cyclique appliqu´ e sur le VER. . . . 88 4.3 Courbes de contrainte-d´ eformation pour le composite ` a matrice

´

elastoplastique avec inclusion rigide ´ elastique. . . . 88 4.4 Champs de contrainte et d´ eformation dans le VER : (a) ε

et (b)

σ

. . . . 89 4.5 Volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif de la microstructure poreuse : (a)

g´ eom´ etrie ; (b) maillage. . . . 90 4.6 Microstructure poreuse : courbe de contrainte-d´ eformation maro-

scopiques sous chargement cyclique. . . . 91 4.7 Champs de contrainte et de d´ eformation dans la microstructure

poreuse : (a) ε

et (b) σ

. . . . 91 4.8 Chargement cyclique appliqu´ e sur le VER pour le cas du composite

avec phases ´ elastoplastique, ´ ecrouissage cin´ ematique. . . . . 93 4.9 Courbes de contrainte-d´ eformation pour le composite avec matrice

´

elastoplastique, ´ ecrouissage cin´ ematique. . . . 94 4.10 Champs de contrainte et d´ eformation dans le VER pour le compo-

site ` a matrice ´ elastoplastique, ´ ecrouissage cin´ ematique : (a) ε

et

(b) σ

. . . . 94

4.11 VER pour une mirostructure anisotrope : (a) g´ eom´ etrie ; (b) maillage. 95 4.12 Courbes de contrainte-d´ eformation pour le VER anisotrope. . . . 96 4.13 Champs de contrainte et de d´ eformation dans le VER anisotrope :

(a) ε

et (b) σ

. . . . 96 4.14 VER de b´ eton obtenu ` a partir d’une image segment´ e ` a partir d’une

microtomographie. . . . 97 4.15 Courbe contrainte-d´ eformation pour le VER de b´ eton. . . . . 98 4.16 Champs de contrainte et d´ eformation dans le VER de b´ eton : (a)

ε

et (b) σ

. . . . 99 4.17 G´ eom´ etrie et chargement pour le probl` eme de structure h´ et´ erog` ene

´

elastopalstique ` a deux ´ echelles. . . . . 99 4.18 D´ eplacement vertical d’un point extr´ emit´ e de la poutre. . . 100 A.1 Chargement consid´ er´ e dans Digimat MF . . . 109 A.2 R´ esultat d’analyse de contrainte-d´ eformation par Digimat MF . . 109 A.3 R´ esultat d’analyse de l’influence de l’orientation par Digimat MF 110 A.4 VER cr´ e´ e par Digimat FE . . . 111 A.5 Maillage du VER pour l’analyse EF avec Abaqus CAE . . . 112 A.6 Interface du processus de post-traitement dans Digimat FE . . . . 112 A.7 Densit´ e du courant ´ electrique moyenne dans les 3 directions. . . . 112 A.8 Identification des param` etres avec Digimat MX. . . 114 A.9 R´ esultat de l’identification . . . 115 A.10 Les param` etres optimis´ es apr` es l’identification . . . 115 A.11 Interface de Digimat-Abaqus et maillage de la structure analys´ ee . 116 A.12 Champ de contraintes de Von-Mises issu de l’analyse avec Digimat

CAE . . . 117

Introduction générale

Contexte

L’ing´ enierie du g´ enie civil fait d´ esormais un usage avanc´ e de la simulation num´ erique pour mod´ eliser une grande vari´ et´ e de ph´ enom` enes, tels que le calcul statique, dynamique ou la stabilit´ e des structures, le vieillissement des mat´ eriaux dans des environnements naturels, la tenue au feu, etc. Cependant, la prise en compte des mat´ eriaux ` a des ´ echelles plus fines reste encore du domaine de la recherche et n’est pas encore transf´ er´ ee dans les codes de calcul industriels. Les raisons principales sont li´ ees ` a des difficult´ es th´ eoriques et num´ eriques associ´ ees au passage d’une description ` a l’´ echelle microscopique, o` u les ph´ enom` enes tels que la microfissuration, les modifications chemo-m´ ecaniques, ou le transport de l’humidit´ e ` a travers les pores peuvent ˆ etre observ´ es et mod´ elis´ es, et l’´ echelle de la structure, o` u les dimensions caract´ eristiques vont de quelques centim` etres ` a des dizaines de m` etres.

Les progr` es dans ce domaine, appel´ e ”microm´ ecanique”, ou plus r´ ecemment

”m´ ecanique multi-´ echelle” sont cependant nombreux et ont permis des avanc´ ees spectaculaires ces derni` eres ann´ ees. En effet, depuis les travaux pionniers des an- n´ ees 50 en microm´ ecanique portant notamment sur l’homog´ en´ eisation, un tr` es grand nombre d’outils math´ ematiques ont ´ et´ e propos´ es qui ont permis de d´ efi- nir des ´ evaluations des comportements effectifs pour des mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, principalement dans le cas lin´ eaire. C’est le cas par exemple de l’´ evaluation des propri´ et´ es ´ elastiques ou thermiques des composites. Les challenges portent ces der- ni` eres ann´ ees sur les comportements non lin´ eaires : plasticit´ e, endommagement ou les couplages multi physiques non lin´ eaires. La prise en compte de microstruc- tures r´ ealistes, telles qu’obtenues par la d´ emocratisation des techniques de micro tomographie est ´ egalement un d´ efi. Pour aborder ces nouveaux probl` emes, les m´ ethodes incluant des calculs num´ eriques sont d´ esormais incontournables et per- mettent d’envisager de nouvelles strat´ egies de mod´ elisation, en se rapprochant du calcul de structure incluant des effets microstructuraux non lin´ eaires.

L’objectif de cette th` ese est de contribuer ` a cet enjeu, en se centrant sur l’ho- mog´ en´ eisation non lin´ eaire des mat´ eriaux ´ elastoplastiques et viscoplastiques, et sur le calcul de structures compos´ ees de ces mat´ eriaux non lin´ eaires h´ et´ erog` enes.

Intégration de la thèse dans le projet ILMAB

Ce travail de th` ese s’inscrit dans le projet ILMAB (Infrastructure Logicielle

pour la Mod´ elisation et l’Analyse des Bˆ atiments) financ´ e par la r´ egion Ile-de-

France, dans lequel l’Ecole sup´ erieure d’ing´ enieurs L´ eonard de Vinci (ESILV) est

partenaire. Les tˆ aches du projet li´ ees ` a la th` ese portent sur le d´ eveloppement de m´ ethodologies et d’outils de mod´ elisation num´ erique, notamment, bas´ es sur l’uti- lisation du Logiciel Digimat. Bien que l’objectif ` a plus long terme soit d’aborder le comportement ` a rupture pour des applications du g´ enie civil, cette th` ese consti- tue un premier pas vers le d´ eveloppement de m´ ethodes permettant de traiter des structures h´ et´ erog` enes non lin´ eaires, et porte sur des approches plus en amont des applications, mˆ eme si les outils propos´ es dans ce travail pourraient ˆ etre ´ etendus pour d’autres comportements non lin´ eaires dans un futur proche.

Plan de la thèse

Dans le premier chapitre, nous dresserons un ´ etat de l’art r´ ecent des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation pour les mat´ eriaux lin´ eaires et non lin´ eaires, et notamment sur les m´ ethodes num´ eriques multi ´ echelles.

Dans le deuxi` eme chapitre, nous proposerons une d´ emarche pour d´ eterminer la taille d’un volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif (VER) dans un cadre non lin´ eaire, en se basant sur une approche d’homog´ en´ eisation incr´ ementale semi-analytique, et utiliserons les mod` eles de comportement associ´ es pour r´ ealiser des calculs de structures h´ et´ erog` enes non lin´ eaires, pour des composites contenant des phases

´ elastoplastiques et viscoplastiques.

Nous d´ evelopperons Dans le troisi` eme chapitre une nouvelle m´ ethode d’ho- mog´ en´ eisation num´ erique pour les mat´ eriaux ´ elastoplastiques, bas´ ee sur une ap- proche incr´ ementale, o` u les op´ erateurs permettant de d´ efinir les quantit´ es macro- scopiques sont calcul´ es num´ eriquement sur la base d’un VER. La d´ emarche est d´ evelopp´ ee pour des cas de calcul de structures h´ et´ erog` enes non lin´ eaires impli- quant deux ´ echelles de calcul.

Nous illustrerons dans le quatri` eme chapitre la m´ ethode ´ elabor´ ee au chapitre 3 au travers d’exemples num´ eriques r´ eput´ es difficiles pour les m´ ethodes dispo- nibles, pour permettre de valider la m´ ethode et d’en discuter ses avantages et inconv´ enients.

Enfin, nous pr´ esenterons un bilan et dresserons quelques perspectives.

Chapitre 1

Méthodologies multi-échelles

d’homogénéisation des matériaux hétérogènes : État de l’art

1.1 Introduction

Le rˆ ole des diff´ erentes ´ echelles en m´ ecanique des mat´ eriaux est aujourd’hui bien

´ etabli. Au niveau du mat´ eriau, l’´ echelle caract´ eristique d’int´ erˆ et est l’´ echelle des

h´ et´ erog´ en´ eit´ es microstructurales et des d´ efauts. La m´ ecanique et la physique de

ces microstructures multiphasiques est g´ en´ eralement consid´ er´ ee comme le princi-

pal m´ ecanisme d´ ecrivant le comportement de la r´ eponse du mat´ eriau. La compr´ e-

hension du comportement, des ´ evolutions et de la r´ eponse m´ ecanique ` a l’´ echelle

microstructurale est donc critique. Il est aujourd’hui bien compris que mˆ eme les

tr` es petites ´ echelles et les interfaces fines peuvent avoir une influence sur le com-

portement ` a l’´ echelle macroscopique. Les m´ ethodes multi-´ echelles ont ainsi ´ emerg´ e

en vue de relier les petites et grandes ´ echelles en m´ ecanique du solide. L’homog´ e-

n´ eisation non lin´ eaire des mat´ eriaux h´ et´ erog` enes a constitu´ e l’une des premi` eres

approches multi ´ echelles, mais s’est rapidement r´ ev´ el´ ee insuffisante pour traiter

des microstructures plus complexes, des comportements non lin´ eaires, et pour

d´ ecrire les ph´ enom` enes locaux dans les microstructures. Pour pouvoir atteindre

ces objectifs, les m´ ethodes num´ eriques multi ´ echelles ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans les derni` eres d´ ecennies. Nous pr´ esentons ci-dessous un ´ etat de l’art (probablement non exhaustif) des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation, en commen¸cant par une pr´ esen- tation des m´ ethodes classiques d’homog´ en´ eisation lin´ eaires, puis des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation pour les mat´ eriaux h´ et´ erog` enes non lin´ eaires, n´ ecessitant des approches num´ eriques.

Les premiers travaux en homog´ en´ eisation remontent aux travaux de Voigt, suivi par le mod` ele de Sachs [? ] de Reuss (1929) et le mod` ele de Taylor [? ]. Bien que les bornes de Voigt et Reuss aient ´ et´ e d´ evelopp´ ees pour les composites, les mod` eles de Sachs et Taylor ont ´ et´ e propos´ es pour les polycristaux. L’int´ erˆ et croissant pour les composites au cours du XX

si` ecle a motiv´ e d’importants d´ eveloppements en homog´ en´ eisation. La contribution la plus marquante a ´ et´ e celle d’Eshelby [? ], o` u l’attention a ´ et´ e port´ ee sur la solution ´ elastique pour une inclusion ellipso¨ıdale.

Cette th´ ematique, appel´ ee ensuite ”microm´ ecanique”, a ´ et´ e formellement ´ etablie par Hill [? ]. Une revue des travaux men´ es dans ce cadre depuis une quarantaine d’ann´ ees peut ˆ etre trouv´ ee dans [? ].

Les progr` es en homog´ en´ eisation des mat´ eriaux h´ et´ erog` enes ont ´ et´ e fournis par Kr¨ oner [? ], Hashin and Shtrikman [? ], Hill [? ], Mori and Tanaka [? ] ou encore Willis [? ], parmi d’autres. Les premiers pas vers des extensions au cas non lin´ eaire furent d´ evelopp´ es par Hill [? ] ou encore Hutchinson [? ]. Les comportements abord´ es incluaient l’´ elastoplasticit´ e, l’´ elasticit´ e non lin´ eaire et la visco´ elasticit´ e.

Plus r´ ecemment, plusieurs contributions importantes ont ´ et´ e apport´ es par Nemat- Nasser [? ? ], Ponte Casta˜ neda [? ], Suquet [? ? ], Willis [? ] ou Zaoui [? ], parmi d’autres.

Durant les derni` eres ann´ ees, des progr` es majeurs ont ´ et´ e r´ ealis´ es par l’intro-

duction des m´ ethodes num´ eriques dans les approches d’homog´ en´ eisation, particu-

li` erement pour lever les verrous li´ es aux comportements non lin´ eaires complexes

dans les mat´ eriaux h´ et´ erog` enes, ainsi que pour permettre de fournir des mod` eles

utilisables dans des calculs de structures pour les ing´ enieurs. Ainsi, les m´ ethodes

d’homog´ en´ eisation ”num´ eriques” [? ] ont ´ et´ e propos´ ees, o` u des calculs num´ eriques

`

a deux ´ echelles sont effectu´ es de mani` ere coupl´ es pour fournir la r´ eponse d’une structure h´ et´ erog` ene non lin´ eaire. Ces techniques sont d´ ecrites plus en d´ etails dans la suite de ce chapitre.

1.2 Classification

Nous proposons ici une classification des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation, bien qu’une telle classification ne soit pas unique. Nous distinguons, parmi les ap- proches que nous pr´ esentons ci-dessous, les approches s´ equentielles, et les ap- proches concourantes. Dans les approches s´ equentielles, l’information n´ ecessaire

`

a la construction de la loi de comportement macroscopique est obtenue par des calculs analytiques ou num´ eriques pr´ eliminaires ` a l’´ echelle microscopique. Lors du calcul de structure, il n’est plus n´ ecessaire d’effectuer de nouveaux calculs au niveau microstructural. Dans les approches concourantes, le probl` eme ` a l’´ echelle macroscopique est r´ esolu simultan´ ement avec le probl` eme ` a l’´ echelle microsco- pique, ce qui de mani` ere num´ erique peut se traduire par des ´ echanges d’informa- tions, par exemple lors des diff´ erentes it´ erations, entre les ´ echelles macroscopiques et microscopiques. Les m´ ethodes pr´ esent´ ees par la suite sont class´ ees suivant ce principe dans la figure 1.1.

1.3 Méthodes analytiques et semi-analytiques

1.3.1 Problèmes linéaires

Les m´ ethodes analytiques ont ´ et´ e propos´ ees initialement pour les composites

´ elastiques lin´ eaires. Si ces approches fournissent des bornes et des estimations

utiles pour les ing´ enieurs dans certains cas, elles sont limit´ ees par la mauvaise

prise en compte des interactions entre les inclusions et la forme de celles-ci, qui

sont g´ en´ eralement restreintes aux formes ellipso¨ıdales.

Figure 1.1 – Classification des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation.

1.3.1.1 Méthode d’Eshelby

Dans la m´ ethode d’Eshelby, les inclusions sont suppos´ ees ´ eloign´ ees les unes des autres et leurs interactions n´ eglig´ ees. En d’autres termes, chaque inhomog´ en´ eit´ e peut ˆ etre trait´ ee comme existant dans une matrice homog` ene sans interaction avec les autres inhomog´ en´ eit´ es. Soit une inclusion d´ efinie dans un domaine ellipso¨ıdal Ω

, de module ´ elastique C

. La matrice entourant l’inclusion poss` ede un module

´ elastique C

et est soumise ` a un chargement en d´ eplacements du type :

u = εx (1.1)

avec

ε = ⟨ ε ⟩ = 1

| Ω |

∫

Ω

ε(x)dΩ. (1.2)

La d´ eformation dans l’inclusion Ω

, suppos´ ee constante si l’inclusion est ellip- so¨ıdale, peut ˆetre exprim´ee par

ε

= A

: ε (1.3)

o` u A

est le tenseur de localisation de la d´ eformation dans l’inclusion r, donn´ e par :

A

= [ I + E : C

: ( C

− C

)]

, (1.4) avec E le tenseur de Eshelby (voir par exemple [? ]). En exprimant la loi de comportement ´ elastique en tout point et en prenant la moyenne

σ = ⟨ σ ⟩ = 1

| Ω | σ(x)dΩ, (1.5)

on identifie le module ´ elastique effectif C comme :

C = C

+ ∑

r

f

( C

− C

) : A

. (1.6) Dans le cas d’un composite contenant des inclusions sph´ eriques arbitrairement dispers´ ees de fraction volumique f , et lorsque les constituants sont lin´ eaires ´ elas- tiques isotropes, on obtient, en notant k

, µ

les coefficients de compressibilit´ e et de cisaillement de la matrice et k

, µ

des inclusions et k et µ les coefficients effectifs du composite :

k = k

+ f(k

− k

)(3k

+ 4µ

)

3k

+ 4µ

(1.7)

µ = µ

+ 5f µ

(µ

− µ

)(3k

+ 4µ

)

3k

(3µ

+ 2µ

) + 4µ

(2µ

+ 3µ

) . (1.8)

1.3.1.2 Schéma de Mori-Tanaka

La m´ ethode de Mori-Tanaka inclut certains effets des interactions entre inclu- sions en prenant la d´ eformation dans l’inclusion ´ egale ` a ε

= ⟨ ε ⟩

(voir d´ etails dans [? ]). On peut citer quelques applications dans [? ? ? ? ? ]. Cela conduit, pour des inclusions sph´ eriques isotropes, aux estimations suivantes :

k = k

+ f(k

− k

)(3k

+ 4µ

)

3k

+ 4µ

+ 3(1 − f )(k

− k

) (1.9)

µ = µ

+ 5f µ

(µ

− µ

)(3k

+ 4µ

)

5µ

(3k

+ 4µ

) + 6(1 − f)(µ

− µ

)(k

+ 2µ

) . (1.10) 1.3.1.3 Schéma auto-cohérent

Dans ce sch´ ema, les effets des chargements appliqu´ ees (par le biais des condi- tions aux limites) et les interactions entre inclusions sont prises en compte en supposant que l’inclusion r est plac´ ee dans une matrice homog` ene de tenseur

´ elastique C qui est soumise ` a une d´ eformation ε. Dans le cas d’inclusions sph´ e- riques isotropes ´ elastiques, cela conduit aux ´ equations suivantes ` a r´ esoudre pour d´ eterminer k et µ :

k = k

+ f (k

− k

)(3k + 4µ)

3k

+ 4µ , (1.11)

µ = µ

+ 5f µ(µ

− µ

)(3k + 4µ)

3k(3µ + 2µ

) + 4µ(2µ + 3µ

) . (1.12)

Ce mod` ele a ´ et´ e ´ etendu aux mat´ eriaux viscoplastiques [? ] et pour des mor-

phologies d’inclusions complexes [? ]. Les diff´ erents sch´ emas ci-dessus sont ` a la

base de m´ ethodes r´ ecentes, comme une technique propos´ ee dans [? ] permettant

de traiter des composites polydisperses par une approche it´ erative.

1.3.2 Définition du VER et aspects statistiques

La d´ efinition du Volume El´ ementaire Repr´ esentatif (VER) est centrale en ho- mog´ en´ eisation num´ erique, o` u la microstructure est d´ efinie dans un domaine de taille finie. La d´ efinition propos´ ee par Hill [? ] implique que le VER doit ˆ etre de taille suffisante pour repr´ esenter un ensemble de microstructures au sens statis- tique, lorsque les conditions aux limites sont macroscopiquement uniformes. Dru- gan et Willis [? ] ont propos´ e une variante, o` u le VER est le plus petit volume de mat´ eriau qui repr´ esente la r´ eponse m´ ecanique moyenne avec suffisamment de pr´ ecision. Povirk [? ] proposa encore une autre approche pour d´ eterminer la taille de VER bas´ ee sur la description de la microstructure en utilisant un indicateur statistique. Une taille optimale de domaine pr´ eservant la description statistique de la microstructure originale est appel´ ee Cellule Unitaire Repr´ esentative (CUR).

Dans tous les cas, le VER doit ` a la fois capturer le comportement m´ ecanique (phy- sique) du mat´ eriau et ˆ etre statistiquement repr´ esentatif (capturer la complexit´ e g´ eom´ etrique du mat´ eriau). La d´ efinition du VER est critique, et son ´ etude dans le cas non lin´ eaire est relativement r´ ecente. Ce probl` eme fera l’objet du chapitre 2, dans lequel nous proposerons une m´ ethodologie alternative pour d´ eterminer la taille d’un VER dans un cadre non lin´ eaire en se basant sur une approche incr´ ementale.

1.4 Problèmes non linéaires

1.4.1 Méthodes semi-analytiques

Les approches analytiques qui ont ´ et´ e propos´ ees depuis les travaux pionniers de

Hill [? ] ont pour objectif d’estimer ou de borner le comportement des mat´ eriaux

h´ et´ erog` enes non lin´ eaires. Dans le cas des mat´ eriaux non lin´ eaires en petites

d´ eformations, des extensions au cas non lin´ eaire de certaines techniques classiques

dans le cadre lin´ eaire ont ´ et´ e propos´ ees (voir par exemple Nemat-Nasser & Hori

[? ] ; Torquato [? ] ; Milton [? ]), les travaux de Willis [? ], Dvorak [? ], Qiu and

Weng [? ], Ponte Casta˜ neda [? ], Hu [? ], Milton et Serkov [? ]. Dans le cas des grandes d´ eformations, plusieurs auteurs ont ´ egalement ´ etendu certaines approches d’homog´ en´ eisation analytiques issues du cadre lin´ eaire pour des cas sp´ ecifiques.

Dans une s´ erie de travaux, (voir par exemple [? ? ? ] entre autres), des estimations et des solutions exactes pour certaines classes de composites hyper´ elastiques ont

´ et´ e d´ eriv´ ees. Ponte-Casta˜ neda [? ] a propos´ e une m´ ethode d’homog´ en´ eisation du second ordre pour d´ eterminer la loi de comportement effective de mat´ eriaux composites non lin´ eaires poreux et renforc´ es, suivi par plusieurs autres auteurs (voir par exemple [? ? ? ]). Quelques-unes de ces techniques sont d´ ecrites ci- dessous.

1.4.1.1 Méthodes incrémentales et affines

Les m´ ethodes semi-analytiques ont ´ et´ e ´ etendues pour les comportements non lin´ eaires tels que la visco-´ elasticit´ e non lin´ eaire ou la viscoplasticit´ e. La plupart des extensions se basent sur la notion de composite de comparaison lin´ eaire (CCL) [? ? ? ? ? ]. Hill [? ] a propos´ e une m´ ethode incr´ ementale pour homog´ en´ eiser les composites non lin´ eaires dans ce cadre. L’approche a ensuite ´ et´ e ´ etendue (voir par exemple [? ? ? ]). Dans ce cas, le comportement du composite est ´ ecrit par une loi incr´ ementale du type ∆σ = C

: ∆ε, o` u ε, σ, C

sont respectivement la d´ eformation et la contrainte macroscopique et le module tangent. Cette m´ ethode, combin´ ee avec un sch´ ema de Mori-Tanaka est d´ ecrite plus en d´ etails dans la section 1.4.1.3.

Les autres approches semi-analytiques sont appel´ ees m´ ethodes affines. Celles- ci ont ´ et´ e propos´ ees initialement par Molinari et al. [? ? ] pour les mat´ eriaux visco-plastiques. Dans ce type d’approche, on consid` ere le champs de contraintes et non son incr´ ement durant la proc´ edure d’homog´ en´ eisation. Cette technique a

´ et´ e ´ etendue aux mat´ eriaux ´ elasto-plastiques par Zaoui et Masson [? ] et Masson

et al. [? ]. Le comportement dans la m´ ethode affine est exprim´ e sous la forme

σ = C : ϵ + τ o` u τ est une contrainte de polarisation et C peut ˆ etre diff´ erent

conduire ` a un comportement trop raide lorsqu’un op´ erateur tangent anisotrope est consid´ er´ e. Ces m´ ethodes ont ensuite ´ et´ e utilis´ ees pour ´ etudier le comporte- ment de composites visco-plastiques [? ? ? ]. Le CCL peut ˆ etre d´ efini par un op´ erateur s´ ecant comme dans Berveiller et Zaoui [? ] pour les comportements

´ elasto-plastiques. Dans cette approche, l’op´ erateur s´ ecant est utilis´ e et la r´ eponse effective du composite donn´ ee sous la forme σ = C

: ε, qui limite la m´ ethode aux cas de chargements proportionnels monotones. D’autres approches peuvent ˆ etre cit´ ees comme des extensions ` a l’endommagement dans le cas d’un sch´ ema incr´ emental non local [? ] ou une m´ ethode de gradient modifi´ e dans Peerlings et al. [? ] ou Engelen et Baaijens [? ] pour prendre en compte l’endommagement local dans la matrice.

En raison de la faible qualit´ e de l’approximation dans le cas ´ elastoplastique [? ], ces m´ ethodes ont ´ et´ e ´ etendues en consid´ erant le second ordre du moment stochastique (voir par exemple Suquet [? ], Ponte Casta˜ neda [? ] ou de Doghri et al. [? ]) et dans un cadre visco-plastique dans [? ? ? ? ] et ´ elasto-visco-plastique avec ´ ecrouissage cin´ ematique dans [? ].

1.4.1.2 Méthode de second ordre

La m´ ethode d’homog´ en´ eisation non lin´ eaire du second-ordre, propos´ ee par Ponte-Casta˜ neda dans (voir par exemple [? ]), est une approche dans laquelle la loi de comportement non-lin´ eaire est de la forme

¯ ε = ∂ u( ¯ ¯ σ)

∂ σ ¯ , (1.13)

o` u la fonction de densit´ e d’´ energie ¯ u du mat´ eriau est obtenue par le probl` eme de minimisation :

¯

u( ¯ σ) = inf σ

σ

∑

c

⟨

u

(σ, x) ⟩

, (1.14)

o` u u

est le potentiel convexe associ´ e au comportement non-lin´ eaire d’une phase

(r). Ce type de loi permet de d´ ecrire la plasticit´ e dans le cadre de la th´ eorie de la

d´ eformation (chargements monotones sans retour ´ elastique), ou de la viscoplas- ticit´ e. Dans ce cas, σ et ε sont remplac´ es par leurs d´ eriv´ ees temporelles ˙ σ et ˙ ε, respectivement. La m´ ethode du second ordre [? ] consiste ` a approximer u(σ) sous la forme :

u(σ) = Argmin

M^(s)0

{

˜ u

(

σ, σ ˘

, M

) −

∑

c

V

(

˘

σ

, M

)}

. (1.15)

Dans (1.15), ˜ u

est le potentiel effectif d’un composite lin´ eaire de comparaison avec la mˆ eme microstructure que le composite non lin´ eaire, et o` u M

sont des tenseurs de souplesse d’ordre 4 constants dans chaque phase (inconnus), et o` u V

est une fonction d’erreur. Les tenseurs ˘ σ

sont des contraintes r´ esiduelles uniformes par phase (` a choisir). La fonction erreur est telle que :

V

(

σ ˘

, M

)

= Argmin σ

{

˜ u

(

σ, ˆ σ ˘

, M

) − u

(

σ ˆ

)}

(1.16)

ou

∂u

∂σ (

ˆ σ

) − ∂u

∂σ (

˘ σ

)

= M

( ˆ

σ

− σ ˘

)

. (1.17)

L’Eq. (1.15) donne des relations suppl´ ementaires reliant les variables ˆ σ

aux variables ˘ σ

et M

dans le composite lin´ eaire de comparaison. La relation (1.15) peut ˆ etre r´ e´ ecrite comme :

˜ u(σ) =

∑

[ u

( ˆ σ

) − ∂u

∂σ (

˘ σ

) :

( ˆ σ

− ⟨

σ

⟩)]

. (1.18)

Le choix de M

est discut´ e, par exemple dans [? ]. Les ´ equations (1.17) et

(1.15) permettent de d´ eterminer les variables inconnues ˆ σ

et M

pour tout

choix de tenseur de r´ ef´ erence ˘ σ

. Dans [? ] il est sugg´ er´ e de choisir ˘ σ

= σ

,

ou, pour ´ eviter certaines difficult´ es ´ evoqu´ ees dans le mˆ eme article, ˘ σ

= σ.

Cette m´ ethode n´ ecessite d’´ evaluer le tenseur de souplesse effectif du mat´ eriau lin´ eaire de comparaison, avec une m´ ethode d’homog´ en´ eisation lin´ eaire analytique (Mori-Tanaka, mod` ele auto-coh´ erent, etc.).

Dans le cas des mat´ eriaux non lin´ eaires, les estimations de comportement et les bornes analytiques sont d’une grande importance th´ eorique et pratique lorsque celles-ci sont applicables. Cependant, en raison des difficult´ es inh´ erentes ` a la r´ eso- lution des probl` emes locaux non lin´ eaires, ces solutions sont en g´ en´ eral obtenues pour des hypoth` eses assez restrictives sur la morphologie de la microstructure et sur les lois de comportement utilis´ ees, et sont insuffisantes pour ˆ etre utilis´ ees dans des calculs de structures, pour des chargements complexes arbitraires. Les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation num´ eriques, d´ evelopp´ ees depuis quelques ann´ ees, permettent de d´ epasser ces limitations. Nous pr´ esentons ci-dessous quelques m´ e- thodes repr´ esentatives de cette classe de techniques d’homog´ en´ eisation.

1.4.1.3 Méthode d’homogénéisation incrémentale par champ moyen

Les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation incr´ ementales sont des extensions de la for- mulation propos´ ee par Hill [? ] dans lesquelles les contraintes et les d´ eformations sont reli´ ees par une loi sous la forme :

σ(t) = ˙ C

(t) : ˙ ε(t) (1.19)

o` u ˙ σ est le taux de contraintes macroscopiques, ˙ ε(t) le taux de d´ eformations et C

(t) est un op´ erateur tangent d´ ependant de l’´ etat de d´ eformation et de l’histoire du chargement. Pour le probl` eme lin´ earis´ e, il est possible d’appliquer le principe de superposition et de calculer le module tangent C

(t) ` a chaque it´ eration, connaissant la loi de comportement non lin´ eaire dans chaque phase et la d´ eformation ` a l’it´ eration pr´ ec´ edente.

Pour un sch´ ema d’homog´ en´ eisation donn´ e (Mori-Tanaka, mod` ele auto-coh´ erent,

etc.), connaissant l’incr´ ement de d´ eformation ∆ε appliqu´ e sur le VER ` a un ins-

tant t

, il est possible d’´ evaluer les modules tangents associ´ es aux mod` eles non

Figure 1.2 – Approche d’homog´ en´ eisation non lin´ eaire incr´ ementale.

lin´ eaires dans chaque phase (voir [? ? ? ]) qui sont utilis´ es pour calculer le mo- dule effectif ` a l’instant t

. Un sch´ ema, propos´ e par Doghri et al. [? ], consiste

`

a chercher, pour un instant t

, la d´ eformation moyenne dans les inclusions. Un algorithme it´ eratif est n´ ecessaire pour calculer cette d´ eformation moyenne. Soit

⟨ ∆ε ⟩

= ∆ε l’incr´ ement de d´ eformation, not´ e ` a l’instant t

, ⟨ ∆ε

⟩

= ∆ε

. Pour une pr´ ediction de ⟨ ∆ε

⟩

, on peut ´ evaluer la moyenne dans la matrice

⟨ ∆ε ⟩

. A partir des modules tangents calcul´ es dans chacune des phases, le ten- seur d’Eshelby E peut ˆ etre ´ evalu´ e (voir par exemple [? ]). On peut alors calculer le tenseur de concentration B

permettant de relier la d´ eformation moyenne dans chacune des phases ` a la d´ eformation macroscopique.

Pour un sch´ ema de Mori-Tanaka, connaissant ε

et ∆ε

et les variables d’his- toire dans les phases au temps t

, le probl` eme consiste ` a d´ eterminer la contrainte σ

et le module tangent C

, o` u n + α d´ esigne le temps t

= t

+ α∆t.

L’algorithme est d´ ecrit plus en d´ etails dans le chapitre 2, et sera ´ etendu ` a une

approche o` u les diff´ erents op´ erateurs seront calcul´ es par ´ el´ ements finis sur des

VER dans les chapitres 3 et 4. Ces m´ ethodes ont ´ et´ e ´ etendues pour des tech-

niques incr´ ementales s´ ecantes pour le traitement des composites ´ elastoplastiques

dans [? ? ] ou ´ elastoplastiques avec endommagement dans [? ? ].

1.4.2 Méthode FE

Les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation num´ eriques ` a deux niveaux ont connu un tr` es grand succ` es ces derni` eres ann´ ees (voir une revue dans [? ]). Ce type de m´ ethode permet de prendre en compte des comportements arbitrairement non lin´ eaires, incluant des morphologies complexes, pouvant ´ evoluer, ainsi que des couplages multiphysiques non lin´ eaires. La m´ ethode de base, supposant une s´ eparation des

´ echelles, est souvent mentionn´ ee comme ”approche du premier ordre” [? ] est d´ ecrite ci-dessous.

La m´ ethode multi-´ echelle num´ erique concourante est parfois d´ esign´ ee dans la litt´ erature sous le nom de ”M´ ethode d’El´ ements Finis au carr´ e” (FE

method) [?

], ou ”El´ ements Finis multi-niveaux”. L’id´ ee de ce type de m´ ethode est de coupler des probl` emes m´ ecaniques ` a deux ´ echelles simultan´ ement, les uns ` a l’´ echelle mi- croscopique, l’autre ` a l’´ echelle macroscopique (voir Fig. 1.3). Ce type de technique suppose une s´ eparation des ´ echelles, ce qui signifie que les longueurs d’onde carac- t´ eristiques associ´ ees aux champs de d´ eformations macroscopiques sont beaucoup plus grandes que la longueur caract´ eristique des champs ` a l’´ echelle microscopique.

Le calcul macroscopique (` a l’´ echelle de la structure) fournit les champs de d´ efor- mations aux diff´ erents points de Gauss du calcul El´ ements finis, ` a une it´ eration de Newton-Raphson, permettant de d´ efinir des conditions aux limites pour tous les VER (Volume El´ ementaires Repr´ esentatifs) correspondants (voir figure 1.3). La r´ esolution de tous les probl` emes non lin´ eaires en chaque point de Gauss fournit par moyenne des contraintes les contraintes macroscopiques et permet de d´ efinir implicitement une relation de comportement contraintes/d´ eformations ` a l’´ echelle macroscopique, pour des comportements et des microstructures arbitraires. Il est

´ egalement possible de prendre en compte des microstructures dont la morphologie

´ evolue. La m´ ethode, nomm´ ee FE

par F. Feyel dans [? ], a ´ et´ e propos´ ee de fa¸con

ind´ ependante par un certain nombre d’autres auteurs (voir par exemple [? ? ? ?

]). Des extensions ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees r´ ecemment pour les cas de l’homog´ en´ eisa-

tion du second ordre [? ? ? ], pour la r´ eduction des calculs locaux en combinant

k k 1 p ¬p +

Conditions aux limites

sur

Résolution du problème Eléments nis nonfi

Linéaire Modélisation macroscopique

Résolution Eléments Finis

Figure 1.3 – Repr´ esentation sch´ ematique de la m´ ethode (FE

).

cette m´ ethode avec des techniques de r´ eduction de mod` ele par POD [? ? ] ou pour le traitement des instabilit´ es ` a plusieurs ´ echelles [? ].

Cette proc´ edure ne n´ ecessite pas de sp´ ecifier la loi de comportement macrosco- pique qui est d´ eduite des non-lin´ earit´ es dans le comportement de la microstructure associ´ ee. Les ingr´ edients de la m´ ethode sont r´ esum´ es ci-dessous :

1. Une mod´ elisation du VER ` a l’´ echelle microscopique.

2. Des conditions aux limites impos´ ees sur le VER en fonction des d´ eformations macro en chaque point d’int´ egration.

3. Une r´ esolution compl` ete du probl` eme non lin´ eaire sur le VER en chaque point d’int´ egration, pour calculer par moyenne la contrainte macroscopique.

4. une r´ esolution de type Newton-Raphson au niveau macro.

La r´ esolution du probl` eme macroscopique non lin´ eaire n´ ecessite d’´ evaluer l’op´ e-

rateur tangent en chaque point d’int´ egration. Une fa¸con d’´ evaluer ce tenseur est

d’utiliser une m´ ethode de perturbation (diff´ erences finies) ` a partir des calculs de

C

≃ σ

( ε + δε

)

− σ

(ε)

∆ε

(1.20)

o` u δε

d´ esigne une perturbation sur la composante (kl) et ∆ε

l’amplitude de la perturbation. Ce point est une difficult´ e de la m´ ethode car cette ´ evaluation induit une augmentation importante du nombre de calculs locaux non lin´ eaires ` a effectuer, qui motivera la m´ ethode propos´ ee dans cette th` ese au chapitre 3.

Les m´ ethodes de type FE

offrent l’avantage de fournir un cadre g´ en´ eral pour tout type de comportement ou de morphologie, sans restriction. La m´ ethode est tr` es largement r´ epandue, et a ´ et´ e r´ ecemment introduite dans des codes ´ el´ ements finis g´ en´ eraux tels qu’Abaqus [? ]. L’inconv´ enient majeur reste cependant la com- plexit´ e des calculs num´ eriques. En effets, le nombre de calculs non lin´ eaires ` a effectuer d´ epend du nombre de points d’int´ egration de Gauss, et donc de la taille du maillage macroscopique. Pour cette raison, les calculs 3D sont prohibitifs ` a l’heure actuelle, et les probl` emes mettant en jeu plus de deux ´ echelles ne sont pas aujourd’hui envisageables.

Plusieurs extensions ont ´ et´ e propos´ ees depuis, incluant : (a) la prise en compte du gradient de la d´ eformation, ou techniques d’homog´ en´ eisation num´ eriques du

”second ordre” [? ? ? ? ? ] ; (b) les approches incluant des discontinuit´ es ` a l’´ echelle macroscopique [? ] ; l’introduction de couplages multiphysiques [? ? ? ? ], l’homo- g´ en´ eisation des coques et plaques non lin´ eaires [? ? ? ], les probl` emes dynamiques [? ] ou encore d’homog´ en´ eisation du contact [? ]. Malgr´ e leur ind´ eniable utilit´ e, les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation num´ eriques induisent des coˆ uts de calcul prohibitifs dans certains cas, sp´ ecialement pour les mod´ elisations tridimensionnelles.

1.4.3 Méthode d’interpolation de bases de données

Pour r´ eduire les coˆ uts de calculs li´ es aux approches de type FE

, des m´ ethodes

alternatives ont ´ et´ e introduites, dites ”s´ equentielles” pour les probl` emes non li-

n´ eaires ou pour des comportements d´ ependant du temps. Une premi` ere approche

directe, inspir´ ee par les proc´ edures d’identification exp´ erimentales classiques, uti-

lise des tests virtuels sur des VERs num´ eriques par calculs ´ el´ ements finis pour identifier les param` etres de lois de comportement empiriques (voir par exemple les r´ ecentes contributions de Terada et al. ? ? ). Cependant, classer ces techniques dans les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation est discutable. Construire la loi de compor- tement effective sans connaissance a priori sur sa forme analytique est possible, mais dans un nombre restreint de cas. Une deuxi` eme approche possible se base sur la construction d’une relation num´ erique entre les contraintes effectives et les d´ eformations macroscopiques) [? ? ? ? ? ? ]. Ces m´ ethodes peuvent ˆ etre appli- qu´ ees pour l’´ elasticit´ e non lin´ eaire ou pour la visco´ elasticit´ e lin´ eaire, comme d´ ecrit ci-apr` es. Une troisi` eme classe de m´ ethodologies, valides pour les mat´ eriaux visco- plastiques en petites d´ eformations, utilise des calculs pr´ eliminaires pour construire une base de modes an´ elastiques (m´ ethodes TFA et NTFA). Nous d´ ecrivons ces diff´ erentes techniques ci-dessous.

1.4.4 Approches séquentielles pour les matériaux hyperléastiques

1.4.4.1 Rappels d’homogénéisation en grandes déformations

Le lemme de Hill-Mandel stipule que si le VER est soumis ` a des conditions aux limites homog` enes en d´ eplacements ou p´ eriodiques, alors

⟨ P : F ⟩ = ⟨ P ⟩ : ⟨ F ⟩ . (1.21) avec P et F le premier tenseur de Piola-Kirchhoff et le tenseur gradient de la d´ eformation, respectivement. Une cons´ equence de ce lemme est que le premier tenseur de Piola-Kirchhoff effectif peut ˆ etre d´ efini par :

P = ⟨ P ⟩ = ∂Ψ

(F)

∂ F , (1.22)

o` u ⟨ . ⟩ est l’op´ erateur de moyenne d´ efini sur le VER dans la configuration de

r´ ef´ erence et o` u Ψ

(F) d´ efinit la fonction de densit´ e d’´ energie ou potentiel ´ elastique

associ´ e avec le mat´ eriau homog´ en´ eis´ e ´ equivalent, d´ efini par

Ψ

(F) = Inf

F∈K^∗(F)

⟨ Ψ

(X,F) ⟩ = Inf

F∈K^∗(F)

∑

c

⟨ Ψ

(F) ⟩

, (1.23) avec K

l’ensemble des tenseurs de gradient de d´ eformation cin´ ematiquement admissibles, N est le nombre de phases et c

sont les fractions volumiques des diff´ erentes phases. On peut montrer que Ψ

est objective. Ainsi, Ψ(C) = Ψ

(F).

Il est ` a noter que seuls F et P peuvent ˆ etre d´ efinis comme la moyenne de leurs quantit´ es microscopiques. De plus, on a les relations :

S = F

P , σ = 1

J PF

, (1.24)

avec J = detF

. Une relation similaire ` a (1.22) peut ˆ etre ´ etablie pour relier le second tenseur effectif des contraintes de Piola-Kirchhoff S et le tenseur des d´ e- formations droit de Cauchy-Green C. En utilisant (1.22), on a

P = ( ∂C

∂F )

: ∂ Ψ(C)

∂C (1.25)

et (

∂C

∂F )

= 2 (

F

⊗ I )

, (1.26)

o` u nous notons le produit (A ⊗ B)

=

(A

B

+ A

B

). Ainsi, on obtient

S = F

P = 2 (I ⊗ I) : ∂Ψ(C)

∂C . (1.27)

Apr` es quelques simplifications, et en utilisant la sym´ etrie de C, on aboutit ` a

S = 2 ∂Ψ(C)

∂C . (1.28)

La fonction de densit´ e d’´ energie effective Ψ du composite peut alors ˆ etre d´ efinie comme

Ψ(C) = Inf

C∈K(C)

⟨ Ψ(X,C) ⟩ = Inf

C∈K(C)

∑

c

⟨ Ψ

(C) ⟩

, (1.29)

o` u K est l’ensemble des tenseurs de d´ eformation admissibles C.

En d’autres termes, pour une d´ eformation macroscopique donn´ ee C, la valeur correspondante de Ψ(C) est d´ etermin´ ee en ´ evaluant la moyenne spatiale des po- tentiels locaux Ψ(X,C), o` u C(X) est un champ de d´ eformation admissible. De la mˆ eme mani` ere, l’op´ erateur tangent effectif L peut ˆ etre exprim´ e par :

L = 4 ∂

Ψ(C)

∂C

. (1.30)

1.4.4.2 Méthode NEXP

Dans la m´ ethode NEXP [? ? ], le comportement effectif de mat´ eriaux h´ et´ e- rog` enes non lin´ eaires est obtenu par le biais d’une base de donn´ ees d´ ecrivant le potentiel effectif Ψ(C), qui est ´ evalu´ e num´ eriquement puis interpol´ e dans l’espace des d´ eformations macroscopiques par

Ψ(C) ≈ ∑

i

N

(C)Ψ

, (1.31)

o` u N

sont des fonctions d’interpolation dans l’espace des d´ eformations macro- scopiques. Pour cela, des calculs par ´ el´ ements finis sont r´ ealis´ es sur un VER en plusieurs points d’un domaine d´ ecrivant l’espace de d´ eformation. Les d´ eformations correspondantes sont alors appliqu´ ees sur le bord du VER et le probl` eme local non lin´ eaire est r´ esolu par ´ el´ ements finis. Une fois calcul´ es et stock´ es, les valeurs discr` etes du potentiel Ψ

peuvent ˆ etre interpol´ ees pour obtenir les contraintes macroscopiques S par

S(C) ≈ 2 ∑

i

∂N

(C)

∂C Ψ

. (1.32)

Finalement, l’op´ erateur tangent, L , (n´ ecessaire ` a l’´ echelle macroscopique en tout point d’int´ egration de la structure macro pour r´ esoudre le probl` eme dans un cadre de Netwon-Raphson), est ´ evalu´ e par

L (C) ≈ 4 ∑

i

∂

N

(C)

∂ C

Ψ

. (1.33)

Le probl` eme local ´ etant r´ esolu dans le but de calculer le potentiel Ψ(C), il est utile de d´ efinir les conditions aux limites par rapport ` a C. Comme Ψ ne d´ epend pas des rotations R, on peut choisir R = I, qui conduit ` a F = U = C

. Finalement, les conditions aux limites (par exemple p´ eriodiques) peuvent ˆ etre appliqu´ ees comme

∆x = C

∆X + w on ∂Ω

. (1.34)

1.4.5 Méthode séquentielle pour l’homogénéisation des compo- sites linéaires viscoélastiques

Pour les probl` emes visco´ elastiques, bien que le probl` eme soit lin´ eaire, la forme int´ egrale de la loi de comportement suffit ` a induire des difficult´ es importantes pour l’homog´ en´ eisation. Pour lever ce probl` eme, les approches s´ equentielles num´ eriques permettent de traiter l’homog´ en´ eisation des composites visco´ elastiques dans le domaine temporel. Nous d´ ecrivons ci-dessous la m´ ethode propos´ ee par Tran et al. [? ].

On consid` ere un composite dont les phases sont lin´ eaires et visco´ elastiques, en supposant de petites d´ eformations. Dans ce cas, il a ´ et´ e montr´ e que le mat´ eriau macroscopique reste lin´ eaire visco´ elastique (voir ? ) et est caract´ eris´ e de mani` ere g´ en´ erale par :

σ(t) =

∫

−∞

Γ(t − s) : dε(s) ds ds

=

∫

0

Γ(t − s) : dε(s)

ds ds + Γ(t) : ε(0), (1.35)

o` u σ(t) = ⟨ σ(t) ⟩ et ε(t) = ⟨ ε(t) ⟩ . Pour une morphologie de microstructure et

des lois de comportement locales arbitraites, la forme analytique du tenseur de

relaxation du quatri` eme ordre Γ(t) est inconnue. Cependant, une approximation

num´ erique de Γ(t) peut ˆ etre construite, comme propos´ e dans [? ]. Pour cela, une