I. Lancement d’un satellite

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MÉCANIQUE

I. Lancement d’un satellite

1. a)Pour une orbite circulaire de rayonR, le PFD appliqué dans R_Gau satellite s’écrit −m^v_R²−→e_r =

−^GmM_R2 −→e_r, ce qui mène à v0= s

GM

R =^pg0R.

b)La période d’un mouvement circulaire uniforme vérifieT0=^2πR_v0 d’où T0= 2π sR

g0 .

c)Le mouvement de la Terre étant uniforme de période T, la vitesse d’un point de l’équateur est v_E=^2πR_T , d’où q=4π²R

g0T² ≈3,5 10⁻³1.

2. a)g(z) =_(R+z)^GM2= g0

R² (R+z)² .

b)La période de révolution du satellite doit être celle de la rotation propre de la Terre, pour qu’il soit géostationnaire. On réutilise le résultat de la question1.b)pour cette nouvelle orbite, de rayon R+z=R1et de périodeT:T= 2π^qR+z_g(z) = 2π

r R³₁

g0R², ce qui mène à R1= g0

R²T² 4π²

!¹

3.

On en déduit x=R1

R = g0T² 4π²R

!¹₃

≈6,6. Ce résultat aurait pu être retrouvé via la loi de Kepler.

c)Cette fois on se sert de la question 1.a)pour l’orbite C1, ce qui donne v1 = ^pg(z) (R+z) = q

g0 R²

(R+z)=^qg0R_R^R

1d’où v1= v0

√x.

d)Le travailWque doivent produire les propulseurs est donné par le théorème de l’énergie mécanique appliqué dansR_G, et correspond au travail des forces non conservatives. L’état final correspond à l’énergie mécanique sur l’orbiteC1, soitE_m1=−_2R^k

1en posantk=GM m. L’état initial correspond à l’énergie mécanique du satellite au repos sur la surface terrestre, donc en mouvement de rotation à une vitesse inférieure àv_E. Or on av1=^√v0_x≈0,4v0, etv0v_E, doncv1v_Eet on peut négliger l’énergie cinétique dans l’état initial devant celle de l’état final :

W=E_m1−E_msurface≈E_m1−E_p0=− k 2R1+k

R=k R

1− R 2R1

=GM m R

1− 1 2x

D’autre part on aK0=¹2mv²₀=^{GM m}_2R d’après1.a), d’où : W=K0 2−1

x

3. a)Pour la phase 1, il n’y a pas de variation d’énergie potentielle, et de nouveau on néglige la vitesse initiale due à la rotation terrestre. Donc

W1=E_m0−E_msurface≈E_m0−E_p0=1

2mv₀² d’où W1=K0 .

b)Sur l’orbite elliptique, l’énergie mécanique vérifie au pointP:E_m0,1=¹2mv₀⁰²−_R^k. Par ailleurs cette ellipse est de grand-axe R+R1, donc on peut aussi écrireE_m0,1 =−_(R+R^k

1). Ces deux relations mènent à

1 2mv⁰²₀ = k

R

1− R

R+R1

= k R

1− 1

1 +x

=k R

x 1 +x

1

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Ormv²₀=_R^k, ce qui donne v₀⁰ =v0 s 2x

1 +x.

c) De nouveau le théorème de l’énergie mécanique nous donne le travail à produire par les propulseurs pour la phase 2 :

W2=E_m0,1−E_m0=− k R+R1+ k

2R= k 2R

1− 2 1 +x

d’où W2=K0 x−1

x+ 1

.

d)Les vitesses au périgéeP et à l’apogéeAsont orthoradiales, et donc reliées par la constante des aires :C=Rv₀⁰=R1v⁰₁, et doncv₁⁰ =v⁰₀/x. D’après la question3.b)on obtient v⁰₁=v0

s 2 x(1 +x) . e) Pour la phase 3, on obtient

W3=E_m1−E_m0,1=− k 2R1+ k

R+R1 = k 2R

2 1 +x−1

x

d’où W3=K0

x−1 x(x+ 1) . En faisant la somme des travaux des propulseurs pour les 3 étapes, on obtient

W1+W2+W3=K0

1 +x−1

x+ 1+ x−1 x(x+ 1)

=...=K0

2−1 x

d’où W1+W2+W3=W , ce qui est normal car la variation totale d’énergie mécanique est la même que l’on envoie le satellite directement surC1depuis la surface, ou qu’on le fasse en trois étapes.

f)La période de révolution sur l’ellipse est 2∆t, et le demi-grand-axe est ¹2(R+R1). En utilisant aussi l’orbiteC1on obtient

2³(2∆t)² (R+R1)³ =T²

R³₁ d⁰où ∆t= T 2^5/2

1 x+ 1

3

2 = 5 h 14 min

4. a) La densité de l’atmosphère diminuant avec l’altitude, le coefficient de frottement atmosphérique diminue également, ce qui se traduit par une dépendance en¹_z de la force.

b)La force de frottement étant faible devant la force de gravitation, les calculs précédents sont valables sur une révolution. On peut donc réutiliser les résultats intermédiaires obtenus en2.b) et2.c) respectivement :

T_S(z) = 2π sR+z

g(z) = 2π

s(R+z)³

g0R² et v(z) =^qg(z) (R+z) = s

g0

R² (R+z) c) Pour de petites variations, on peut différencier les relations précédentes :

∆v≈dv dz∆z=−1

2 s

g0

R²

(R+z)³∆z d’où ∆v=−π T_S∆z . Ainsi, la vitesse croît si le satellite se rapproche de la Terre, et vice versa.

d)Le théorème scalaire du moment cinétique selon l’axeOzorthogonal au plan du mouvement s’écrit :

dσ

dt =−^λm_z v²(R+z). En remplaçant par l’expression dev(z) (4.b)), on obtient^dσ_dt =−^λm_z g0R². Le moment cinétique décroît au cours du temps, d’autant plus vite qu’il est proche de la Terre car les frot- tements augmentent. En intégrant sur une période de révolution on obtient donc ∆σ=−λm

z g0R²T_S. e) Par ailleurs on calculeσ(z) =mv(z) (R+z) =mR^pg0(R+z). En différenciant, on obtient

∆σ= mR√ g0

2√

R+z∆z .

Comme ∆σ <0, on a ∆z <0. Le satellite se rapproche donc de la Terre à cause des frottements.

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II. Motocyclette

1. Le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) appliqué au système { moto + conducteur } dans R galiléen s’écritMv~˙e_x=N~1+T~1+N~2+T~2+M~g, d’où après projection :

Mv˙=T1+T2 (1) M g=N1+N2 (2)

2. La route étant fixe dansR, on écrit que la vitesse de la roue au point de contact est nulle en l’absence de glissement. D’après le champ des vitesses dans un solide pour la rouei= 1 ou 2 on obtient :

~v_Ii=~v_Oi+ω_i~e_z∧−−→

O_iI_i ⇔ ~0 =v~e_x+R_iω_i~e_x. Après projection on obtient

ω1=−v

r1 et ω2=−v r2

.

3. On applique la définition et le champ des vitesses dans un solide en notantM_ilesNpoints d’une roue, et (~e_ri, ~e_θi) la base polaire associée :

~

σ1(O1) =^XN

i=1

−−−→O1M_i∧mi~v_Mi=^XN

i=1

−−−→O1M_i∧mi

~v_O1+ω1~e_z∧−−−→

O1M_i= ^XN

i=1

m_i−−−→

O1M_i

!

∧~v_O1+^XN

i=1

−−−→O1M_i∧ω1~e_z∧−−−→

O1M_i

OrO1est le barycentre de la roue donc^P

i

m_i−−−→

O1M_i=~0, d’où

~ σ1(O1) =

N X

i=1

O1M_i~e_ri∧(ω1~e_z∧O1M_i~e_ri) =ω1 N X

i=1

m_iO1M_i²~e_ri∧~e_θi=ω1 N X

i=1

m_iO1M_i²

!

~e_z.

En appliquant le même raisonnement pour la roue 2 on obtient finalement

~σ1(O1) =J1ω1~ez et ~σ2(O2) =J2ω2~ez .

4. On décompose le système en { roue 1 + roue 2 + reste }, le reste étant un solide en translation à la vitesse v~e_xet de centre de masse notéG0, et on utilise les propriétés des barycentres partiels :

~

σ(G) = ^X

i∈roue 1 −−→

GO1+−−−→

O1M_i∧m_i~v_Mi+ ^X

i∈roue 2 −−→

GO2+−−−→

O2M_i∧m_i~v_Mi+ ^X

i∈reste

m_i−−→

GM_i

!

∧v~e_x

= −−→

GO1 ∧ ^X

i∈roue 1

m_i~v_Mi

!

+~σ1(O1) +−−→

GO2∧ ^X

i∈roue 2

m_i~v_Mi

!

+~σ2(O2) + ^X

i∈reste

m_i−−→

GM_i

!

∧v~e_x

= ~σ1(O1) +~σ2(O2) +−−→

GO1 ∧mroue 1~v_O1+−−→

GO2∧mroue 2~v_O2+mreste

−−→GG0∧v~e_x

= ~σ1(O1) +~σ2(O2) +mroue 1

−−→GO1+mroue 2

−−→GO2+mreste

−−→GG0 ∧v~e_x

= ~σ1(O1) +~σ2(O2) +~0∧v~e_x d’où

~

σ(G) =~σ1(O1) +~σ2(O2) .

5. Le Théorème du Moment Cinétique (TMC) appliqué à la roue 1 enO1s’écrit d~σ1(O1)

dt

_R=M~pes(O1) +M~contact(O1) +M~pivot(O1)

La pesanteur a pour point d’applicationO1et les forces de réaction ont pour point d’applicationI1car le contact est supposé ponctuel ·

d~σ1(O1) dt

_R=−−−→

O1O1∧mroue1~g+−−→

O1I1∧−→ T1+−→

N1

+M~pivot(O1) =~0 +r1T1~e_z+~0 +M~pivot(O1)

3

PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N^◦8 - 13/03/18 - CORRIGÉ _{A. MARTIN} On projette selon~e_z, et on utilise la condition de non glissementω1=−_r^v

1 d’une part, et que la liaison pivot est parfaite d’autre part, donc~e_z. ~Mpivot(O1) = 0, d’où

−J1

r1v˙=r1T1 ⇔ T1=−J1

r²₁v .˙ (3)

6. De même on applique le TMC enGau système total. Les actions extérieures se réduisent maintenant au poids et aux actions de contact, qui ont toutes un point d’application :

d~σ(G) dt

_R = d

dt(~σ1(O1) +~σ2(O2))

_R=M~pes(G) +M~contact(G)

= −−→

GG∧M~g+−−→

GI1∧−→ T1+−→

N1 +−−→

GI2∧−→ T2+−→

N2

J1ω˙1~e_z+J2ω˙2~e_z = ~0 + (d1~e_x−h~e_y)∧(T1~e_x+N1~e_y) + (−d2~e_x−h~e_y)∧(T2~e_x+N2~e_y) Après projection selon~e_zet injection des conditions de non glissement cela donne :

− J1

r1 +J2

r2

v˙=d1N1−d2N2+h(T1+T2) (4) 7. L’Eq. (3) et l’Eq. (1) nous conduisent à

T1=−J1

r₁²v˙ et T2=M+J1

r²₁

˙ v .

En injectant l’Eq. (1) dans l’Eq. (4) on obtient

−

hM+J1

r1+J2

r2

˙

v=d1N1−d2N2

qui associée à l’Eq. (2) conduit à N1= d2

d1+d2

M g− v˙ d1+d2

hM+J1

r1 +J2

r2

et N2= d1

d1+d2

M g+ v˙ d1+d2

hM+J1

r1+J2

r2

. 8. On obtientN1= 7,7×10²N etN2= 2,2×10³N. Les deux valeurs étant positives, il n’y a pas de contra-

diction avec l’hypothèse de contact. La moto ne décolle pas.

Remarque : La pertinence de ce résultat nécessite tout de même de vérifier que la condition de non glissement est aussi vérifiée, cf question suivante !

9. On obtientT1=−24 N etT2= 3,3×10²N. La condition de non glissement selon la loi de Coulomb du frottement solide |T1| < f N1 et|T2| < f N2 est vérifiée pour les 2 forces, ce qui justifie a posteriori l’hypothèse cinématique.

Remarque :T1<0car c’est elle qui met en mouvement la roue avant non motrice, alors queT2>0ce qui permet de faire avancer la moto en présence d’un couple moteur sur cette roue, carT1+T2=Mv >˙ 0. 10. Ô Première méthode : on applique le TMC enO2 à la roue arrière en présence du couple moteur de moment résultant Γ~ezet pour une liaison pivot parfaite. En reprenant les mêmes argument qu’en5., on obtient selon~e_z

−J2

r2v˙=r2T2+ Γ ⇒ Γ =−r2

M+J1

r²₁+J2

r²₂

˙

v =−1,8×10²N.m.

Ô Deuxième méthode : on applique le théorème de l’énergie cinétique au système global, dansRgaliléen.

L’énergie cinétique totale est obtenue en faisant la somme de l’énergie cinétique globale de translation et des énergies cinétiques de rotation des deux roues autour de chaque axe¹.

dE_c dt = d

dt ₁

2M v²+¹2J1ω²₁+¹2J2ω²₂=Pext+Pint=Pcontact+Ppes+Ppivot1+Ppivot2+Pmoteur

Or on a

1. Théorème de Kœnig, hors programme depuis 2014... ! mais que l’on peut vous faire redémontrer comme ci-dessus pour la décomposition du moment cinétique.

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• Pcontact= 0 car il n’y a pas glissement sur la route (qui est immobile !) ;

• Ppes=M~g.~v= 0 pour un mouvement horizontal ;

• Ppivot1=M~pivot1(O1).ω1~e_z= 0 car la liaison est parfaite, et de même pourPpivot2;

• Pmoteur= Γ~e_z.ω2~e_z= Γω2.

En utilisant les relation cinématiques de non glissement (question2.) on obtient

∀t ,

M+J1

r²₁+J2

r²₂

vv˙= Γω2=−Γv r2

⇔ Γ =−r2

M+J1

r²₁ +J2

r²₂

v˙ =−1,8×10²N.m.

II.2. Roue arrière

11. On utilise la relation de changement de point et le résultat de la question4., en l’absence de contact sur la roue avant :

~

σ(O2) = ~σ(G) +−−→

O2G∧ ^X

i

m_i~v_i

!

= ~σ1(O1) +~σ2(O2) + (d2~ex0+ (h−r2)~ey0)∧M~v_G avec ~v_G=v~ex

= J1ω1~e_z+J2ω2~e_z+M(−d2sinθ+ (r2−h) cosθ)v~e_z

d’où en négligeant le mouvement de la roue avant, et avec la condition de non glissement de la roue arrière :

~ σ(O2)≈

−J2

r2

−M d2sinθ+M(r2−h) cosθ

v ~e_z .

12. Les actions extérieures ont toutes un point d’application : M~(O2) = −−→

O2G∧M~g+−−→

O2I2∧−→ T2+−→

N2

= (d2~e_x⁰+ (h−r2)~e_y⁰)∧M g −sinθ~e_x⁰−cosθ~e_y⁰−r2~e_y∧(T2~e_x+N2~e_y) d’où M~(O2) = [M g(−d2cosθ+ (h−r2) sinθ) +r2T2]~e_z .

13. Le TMC appliqué enO2au système global s’écrit maintenant, en projection selon~e_z:

−J2

r2

−M d2sinθ+M(r2−h) cosθ

v˙=M g(−d2cosθ+ (h−r2) sinθ) +r2T2.

Comme précédemment, on applique aussi le TRC au même système, ce qui donne selon~e_x:Mv˙=T2. Ceci conduit à

˙ v

g=f(θ) = d2cosθ−(h−r2) sinθ

J2

M r2+d2sinθ+r2(1−cosθ) +hcosθ . D’après le graphe proposé dans l’énoncé, on obtientθ≈18^◦.

Remarque :f(θ)est décroissante, ce qui est bien conforme à l’expérience que l’on peut avoir pour ceux qui ont déjà fait de la roue arrière... Plus on accélère plus on risque de basculer en arrière, donc plus il faut unθpetit (pour compenser en accentuant le moment du poids).

On remarque aussi quef(θ)<0au -delà deθ= 40^◦, ce qui montre que c’est l’angle maximal possible (carv >˙ 0par hypothèse).

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II.3. Frottement fluide

14.D’après la question10.et la condition cinématique de non glissement (question2.), l’énergie cinétique totale de la moto+conducteur s’écrit : ¹2M v²+¹2J1ω₁²+¹2J2ω²₂=¹2

M+^J_r¹2 1+^J_r²2

2

v², et le théorème de l’énergie cinétique appliqué à ce système, en l’absence de puissance des forces intérieures autres que celle du moteur, s’écrit maintenant :

M+J1

r²₁+J2

r²₂

vv˙=−Γv r2

−kv³, ∀t ⇔

M+J1

r²₁ +J2

r₂²

v˙=−Γ r2

−kv², ∀t ,

après simplification parven présence de mouvement.

15.Comme Γ<0, l’équation ci-dessus montre que lorsquevest faible (avecv >0), ˙v >0 donc le véhicule accentue sa vitesse. Mais plusvest grand plus l’accélération s’affaiblit à cause du terme de frottement.

Finalement on peut supposer que le véhicule tend vers une vitesse limite constantev_`. Ceci conduit à l’équation

0 =−Γ r2

−kv_{`</sub><sup>2</sup> ⇔ v<sub>`}= s

− Γ kr2

.

L’équivalence confirme l’existence de cette solution.

16.On en déduit ˙v+av²=a v_`² avec a= k M+^J_r2¹

1+^J_r2² 2

.

17. Ô Première méthode : par séparation des variables on obtient _v2^dv

`−v² =adt. La fraction rationnelle se décompose en éléments simples selon : _v2¹

`−v² =−_2v ¹

`(v−v`)+_{2v`(v+v</sub><sup>1</sup> <sub>`}). L’intégration entret= 0 ett conduit à

−ln|v−v_{`</sub>|+ lnv<sub>`}+ ln(v+v_{`</sub>)−lnv<sub>`}= 2v_{`</sub>at ⇔ lnv+v<sub>`}

v_{`</sub>−v= 2v<sub>`}at ⇔ v=v<sub>`</sub>1−e<sup>−2v`at</sup> 1 +e^−2v`at . Remarque : on retrouve bien quev−→

t→∞v_`.

Ô Méthode suggérée par l’énoncé (changement de fonction) : posonsu=1−_v^v

`

−1

, ce qui impliquev= v_{`</sub><sup>u−1</sup><sub>u</sub> d’une part et ˙v=v<sub>`} ^u˙

u². Réinjectées dans l’équation différentielle, ceci conduit après simplification à l’équation suivante :

˙

u−2av_{`</sub>u=−av<sub>`} avec u(0) = 1 ⇔ u(t) =1 2e^2av`t+1

2. Après inversion on retrouve v=v<sub>`</sub>1−e<sup>−2v`at</sup>

1 +e^−2v`at.

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