concours externe

(1)

5 000232-A

concours externe

4473-44

repèrc à rèponet sut la copie

de recrutement de professeurs agrégés

o p t i o n : p h y s i q u e

problème de physique

Cotcutottce ébctonlque de poche - y comp s ptogQmmoble olphonumétique ou à écron gnphlque - à fonctlonnement outonome, non imptimonfê, outo sée confomémenl à kr chculaie n" (P-l du lé novembrc 1999.

ToLrt docurnent et tout autrc mat6 eléleclrcnique sont lntetdits.

Sî, au cows de l'éPreuve, wr candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé' iI Ie si4'nle sw sa copie et poursuit sa coîtpositian en eryliquanl lzs rui.rotls des initiatives qu'il est anEné à prendre'

N.R.. Homis I'en-tête détdchdble, la copie que voas rcnilrcz ne ilevîa, conlormément au prin:ipe.

d'anonlmltt, contporter aucun signè distinctil, tel qae- nom, signature, oÂgine, etc Si 12 travail qui vous est d;nandZ comporte noratmment la réilaclion d'un projet ou d'ufle nole, vous dewz impérativeùent vous abstenb de signer ou de I'ideûifrtn

Tournez la page S.V.P.

(2)

Dansceproblemeonappellera\ForcedeVanderWaals" uneforce

~

f(r)d'interactionentreatomes

oumolecules(denommes parlasuiteparticules) derivant d'uneenergie potentiellede laforme:

u(r)= C

VdW

r 6

surunegrandeplagededistancerentrelescentresdemassesdesparticules,avecC

VdW

uneconstante

positive.

Dans lasection I onestimera C

VdW

a partirde caracteristiques macroscopiquesdesgaz de parti-

cules. Dans la section II, on envisagera un certain nombre de mecanismes microscopiques donnant

lieu a des forces de type Van der Waals. On montrera au II.6 que, pour des particules neutres, la

dependance\en 1=r 6

"du potentieln'estvalableque dansunecertaine limiteque l'on estimera.

On pourra aborder lasection IIIde facon relativement independante desparties precedentes ;on

yetabliral'expression de laforce d'interactionentre deux corps macroscopiquestresproches lorsque

leurs particules interagissent par des forces de Van der Waals. On etudiera a partir du III.2 une

methode experimentale de mesure de cette force d'interactionmacroscopique, dans laperspective de

preciser ledomaine devaliditede laloi en 1=r 6

.

Lesparties III.5etIII.6sont totalementindependantes durestedu probleme. Onyanalyseraune

methode interferentiellede determination de laseparation entre deuxsolides transparentsquiest au

curdudispositif experimental de mesurede force.

Lesgures numerotees 1 et 2 sontreproduites sur un feuillet separede l'enonce,a rendreavecles

copies. On y representera clairement les constructions graphiques utilisees pour repondre aux ques-

tionsIII.3.b. et III.4.e,f.

Constantede Planck (~=h=2) ~=1:0510 34

J.s.

Constantede Boltzmann k

B

=1:3810 23

J.K 1

Nombred'Avogadro N

A

=6:0210 23

Vitessede lalumieredans levide c =3:0010 8

m.s 1

Permittivitedielectriquedu vide

0

=8:8510 12

C 2

.J 1

.m 1

.

Valeurabsoluede lacharge de l'electron e =1:6010 19

C.

Debye 1D =3:3410

30

C.m.

1 atm 1:01310

5

Pa.

Table 1: Donnees numeriques(unites usuelles).

=(4) ~!

0 a

mol

b

mol

(10 30

m 3

) (D) (eV) (litre 2

.atm.mol 2

) (litre.mol 1

)

Ne 0.39 0 21.6 0.21 0.017

HBr 3.61 0.78 11.6 4.45 0.044

(3)

I.1. Les forcesdeVan derWaals sont ellesattractivesou repulsives? Donnerleurexpression.

I.2. Onretrouve lacontributiondeVan derWaals dansdespotentiels d'interactionmodelesentre

particules,commepar exemplelepotentielu

sd

de type \spheres dures",denicomme suit:

u

sd (r) =

C

r 6

(r>)

= 1 (r)

Representer graphiquement u

sd

(r). On notera u

0

le minimum de cette fonction. Quelle est

l'originephysiquedelacontributionr ? Donnerunordrede grandeurde . Justierl'expression

spheres dures.

Lapriseencomptedesinteractionsentreparticulesconduitauneexpressionapprocheeaupremier

ordreendensiteN=V pourl'energielibredeHelmholtzF(T;V;N) d'ungaz deN particulesoccupant

levolumeV a latemperature T :

F =F

GP +

N

V

B(T)Nk

B T

ou F

GP

est l'energie libre dugaz parfaitprisdans les m^emes conditions; B(T), deuxieme coeÆcient

du viriel,estdeni par:

B(T)= 1

2 Z

+1

0

1 exp

u

sd (r)

k

B T

4r 2

dr

I.3.a. Commentcalcule-t-onla pressionP du gaz apartir de l'energielibreF ?

Quelleest l'equationd'etat P =P(V=N;T) du systeme ?

I.3.b. Comparer cette equation avec celle de Van der Waals et en deduireque les deuxequations

coincident pourN=V assez petit si :

B(T)=b a

k

B T

ou aet b sont les coeÆcientsde l'equation d'etat de Van derWaals exprimee en fonction du volume

v d'uneparticule:

P + a

v 2

( v b)=k

B T

I.3.c. Calculer B(T) pourle potentielde spheres dures,dans lalimiteou u

0 k

B T.

I.3.d. Ontrouve danslaTable1 desvaleursexperimentalesdesparametresa

mol ,b

mol

intervenant

dansl'equation de Van der Waalsecritepourunemole de particules.

Apresavoirecritl'equation deVanderWaalspourunemole,exprimercesparametresenfonction

de aetb.

Calculer numeriquement enunitesS.I.les valeursde ,C

VdW etu

0

pourNe etHBr.

Dans queldomainede temperature l'approximationfaite au I.3.c. est ellelegitime?

II. Origines physiques des forces de Van der Waals

II.1. Dip^ole electrostatique | On considere dans un premiertemps une molecule neutre, por-

teused'unmoment dipolairepermanent,note ~

1

. Onsupposed'abordledip^olexe: ~

1

=

1

~u

1 avec

~ u

1

unvecteur unitaire.

II.1.a. On ecrit

1

= Z

1 ed

1

ou e est la charge de l'electron et Z

1

un entier. Quelle est la di-

mensionde d

1

? Quelle representation physique de ladistribution de charge dipolaire cette ecriture

(4)

II.1.b. Montrer que le potentiel electrostatique V

1

cree en un point M tel que

!

OM = ~r par le

dip^ole~

1

situe enO peuts'ecrire,pourk~rk=rd

1 :

V

1 (~r)'

dV

+

dr

(r)fk~r d

1

~ u

1

k k~rk g

ouV

+

(r) estun potentieldont on donneral'expressionainsi quelasignicationphysique.

II.1.c. ExprimerV

1

(~r) au premierordre en d

1

=r.

II.1.d. Montrer que lechampelectrostatique

~

E

1

cree parle dip^oleen M verie larelation:

~

E

1 (~r)=

1

4

0 r

3

3 (~

1 :~r)~r

r 2

~

1

Rappelerl'alluredeslignesde champdans unplan contenant ~

1 .

II.1.e. On place unsecond dip^ole permanent ~

2

=Z

2 ed

2

~u

2

en M. Exprimerl'energie potentielle

E

1;2

du second dip^ole dansle champ du premieren fonction de Z

2

e et de V

1

en ~r eten ~r+d

2

~ u

2 . En

deduireque,au premierordre end

2

=r :

E

1;2

= ~

2 :

~

E

1

II.1.f. On repere les deux dip^oles par rapport a

!

OM par

leurs anglesd'Euler,commeindiquesurla gureci-contre.

Calculerlescoordonneesde~

1 et~

2

danslabase(~e

x

;~e

y

;~e

z )

puisexprimerE

1;2

enfonctionder etde=(

1

;

2

;

1

;

2 ).

Comparer les energies d'interaction des congurations

schematisees par:!!,! , ""et "#;commenter.

II.1.g. L'expressiontrouveeprecedemmentpourE

1;2

est-elle

compatible avec uneforcede Van derWaals ?

II.2. Interactions dipôle-dipôle (Keesom, 1921) | Atemperature nieT,lesdipôles liesaux

moleculessontanimescommeellesd'unmouvementangulairebrownien. Onsupposeraquelesdegres

de liberte de rotation et de translation des molecules sont independants, si bien qu'on considerera

deux molecules dont les centres de masses sont xes etdistantsde r. Les autres molecules jouent le

r^ole dethermostat.

II.2.a. Quel est le domaine de variation de , note O ? Quelle est la signication de d 2

1

=

sin(

1 )d

1 d

1

? Que vaut R

O d

4

avec d 4

=d 2

1 d

2

?

II.2.b. OndenitF(r;T) par :

exp

F

k

B T

= Z

O d

4

exp

E

1;2

k

B T

Quelleest lasignicationdumembre de droite?

(5)

Relierle travail minimaldW quedoitfournirun operateur exterieurpourecarterles deuxpartic-

ulesde dr etla variationdF lorsde cette transformation elementaire. En deduire ce que represente

@F=@rj

T .

II.2.c. QuevautF

0

(T)=lim

r!1

F ? Quelleestl'originephysiquede F

0

?

Onnotera parla suiteF

dip

=F F

0

II.2.d. Onsupposedans lasuitequejE

1;2 jk

B T.

Al'aide de laformuleduII.1.d,developperE

1;2

;verier quele termed'ordre1 enjE

1;2 j=k

B

T estnul

etqu'ilfautdoncpousseral'ordre2 pourtrouverunequivalent de F

dip (r).

II.2.e. Sans calculerexplicitement F

dip

,montrer quesadependance en r est compatible avec une

forcede Van derWaals.

Toutcomptefait,on trouve :

F

dip

= 1

3k

B T

1

2

4

0

2

r 6

= C

Keesom

r 6

II.2.f. Que vaut F

dip

pour l'interactionNe{Ne ? Calculer C

Keesom

pour HBr{HBr a 300 K puis

discuterlavalidite del'approximation duII.2.da cette m^emetemperature.

II.3. Induction dipolaire (Debye, 1920) | Toute particule est polarisable: plongee dans un

champ electrostatique

~

E,elleacquiertun moment dipolaire :

~

=

0

~

E

ouestlapolarisabilite,qu'onconsidereraenpremiereapproximationcommeisotrope. Onseposela

questionde la contributioneventuelle de l'interactionentre un dip^olepermanent ~

1

et le dip^ole~ ind

2

induitparlechamp dipolaire

~

E

1 .

II.3.a. Justierque l'energie potentielled'interaction entre ~

1

et ledip^ole~ ind

2

qu'ilinduit en M

est:

E ind

1!2

= 1

2

0 k

~

E

1 k

2

Exprimeren fonctionde (

1

;

2

;

1

;

2

) l'energiede couplageinductif E

ind

=E ind

1!2 +E

ind

2!1 .

II.3.b. Reprendrel'analysedu II.2. etdenirF

ind

correspondantau couplageinductif.

Montrerquecettefois,undeveloppemental'ordre1enjE

ind j=k

B

T suÆtpourdonnerunequivalent

de F

ind

(r) quel'on calculeraexplicitement.

II.3.c. Cetteinteractioncontribue-t-elleauxforcesde Van derWaals ? On noteraalors :

F

ind

= C

Debye

r 6

Calculer C

Debye

pourNe etHBr. Discuterlavalidite de l'approximation duII.3.b. a 300 K.

II.4. Interactionde polarisation mutuelle (London,1930) |Ons'interesseicia desatomes

non-polaires identiques, de nombre atomique Z. Pour chaque atome, on notera

~

d

i

(t) (i = 1;2)

la position instantanee du centre de masse du nuage electronique par rapport au noyau. Comme

precedemment, on note sapolarisabilite.

(6)

i

fonctionde

~

d

i .

II.4.b. En considerant que le même dipôlepeutêtre induitpar un champ electrostatique ad hoc,

calculerla forcede rappel

~

f

el

qu'exerce lenoyau sur le nuage en faisant intervenirla polarisabilite

de celui-ci. Onen deduira que lenuageest \elastiquement" lie au noyau ; on notera la raideurdu

ressortequivalentque l'on exprimeraen fonctionde Zeet.

II.4.c. Ecrire l'energie mecanique H

1

(energie cinetique +energie potentielle) du premieratome,

supposeisole. Onnotera(x

1

;y

1

;z

1

)lescoordonnescartesiennesde

~

d

1 et(x_

1

;y_

1

;z_

1

)leurderiveestem-

porelles. Onnotera m la massed'unelectron. Enecrivant lesequations de Newtoncorrespondantes,

montrerquex

1 (t),y

1

(t)etz

1

(t)sontlespositionsdetroisoscillateursharmoniquesindependantsdont

ondonnera les pulsationspropres.

A quellecaracteristiquede H

1 (x

1

;y

1

;z

1

;x_

1

;y_

1

;z_

1

) cette propriete est elleassociee ?

II.4.d. Enutilisantl'expressionduchampdipolaire

~

E

1

etablie auII.1.d,exprimerl'energie poten-

tielled'interactionH

int

en fonctiondes (x

i

;y

i

;z

i

) (i=1;2). Onla mettrasous laforme:

H

int

=fx

1 x

2 +y

1 y

2 2z

1 z

2 g

avec uneconstanteque l'on exprimeraen fonctiondesdonnees du probleme.

II.4.e. Donnerl'expression de l'energie totaleH

1+2

des deux nuageselectroniquesen interaction.

Lesx

i (t),y

i (t), z

i

(t)peuvent-ilsencore correspondre adesoscillateursharmoniquesindependants?

II.4.f. Ondenit(X

i

;Y

i

;Z

i

) (i=1;2) par:

X

1

= 1

p

2 (x

1 +x

2 ) ;X

2

= 1

p

2 (x

1 x

2 );

Montrer, en eectuant le changement de variablesdans H

1+2

,que cesnouvelles coordonnees cor-

respondent a 6 oscillateurs harmoniques independants dont on exprimera les pulsations propres en

fonctionde !

0

= p

=(Zm) et==.

NB.On admettraque <1=2.

II.4.g. Verierque1pourunmilieudilue. Onsupposeracetteconditionrempliedanslasuite.

NB.On pourraecrire=4 =r 3

0

et verier danslecas deNe et HBr que r

0

.=2.

II.4.h. On rappelle qu'enmecanique quantique les niveaux d'energie d'un oscillateurharmonique

de pulsation! sont quanties etquel'energie de l'etatfondamental vaut~!=2

Calculerl'energiefondamentaleE

0

dusystemeconstitue parles deuxatomesisoles,puislacorrec-

tionE

0

introduiteparlecouplage, al'ordrele plusbasen .

II.4.i. On prend E

0

comme mesure de l'energie potentielled'interaction eective entre les deux

atomesnon-polaires. Verierquecela correspond bienauneenergiedeVan derWaals etexprimerla

constante C

London

en fonctionde et!

0 .

II.5. Bilan quantitatif |OnproposedecomparerlesvaleursdeC

VdW

estimeesauI.3.d. apartir

de l'equation de Van der Waals a la somme C

Keesom +C

Debye +C

London

calculee gr^ace aux donnees

fourniesdansla Table 1.

II.5.a. CalculerC

London

pourNe etHBr.

(7)

Keesom Debye London VdW

estimee au I.3.d. Conclure.

II.5.c. Quelestdanschaquecaslafractiondel'energiedeVanderWaalsattribuableal'interaction

de London?

II.6. Forces de Van der Waals retardees (Casimir & Polder, 1948) | On cherche ici a

donneruneimage\avec les mains"de l'interactionde Londonentredeuxparticules non-polairesan

d'identierunelimitationfondamentaledu modele.

II.6.a. L'interactiondeLondon peut-ellese comprendredanslecadre de lamecanique classique ?

II.6.b. Dansquelsens peutondireque ~

1

est uctuant? Quelle-est savaleurmoyenne?

Quevaudraitlamoyennetemporelledel'energiepotentiellede~

2

danslechampde ~

1

si cesdeux

dip^olesuctuaient independamment l'unde l'autre?

II.6.c. Andeprendreencomptelescorrelationsentredip^olesuctuants,onconsidereleprocessus

suivant : a un instant t = t

0

la particule f1g emet un champ dipolaire

~

E

1

qui polarise la seconde

particule ; celle-ci emet a son tour un champ

~

E

2

qui arrive au niveau du premier dip^ole a l'instant

t

0 +t.

Que vautle retardt?

LecalculdeLondonfaitl'hypotheseimplicitequeceprocessusd'interactionestinstantanepuisque

letermede couplagefaitintervenirles valeursde ~

1 et ~

2

prisesaum^eme instant t;quellecondition

surtcela impose-t-il?

Montrer que cela est legitime tant que r ou est une longueur que l'on precisera et dont

on donnera un ordre de grandeur. Dans le cas contraire, on dit que la force de Van der Waals est

\retardee".

Jusitierbrievement que dans la limite non-retardee, l'interaction de ~

1

avec son proprechamp,

reechiparlaparticulef2g,contribuebienaabaissersonenergiepotentielle. Quelestl'eetduretard?

II.6.d. Exprimerl'energied'interaction de Londonnon-retardee, u

inst

(r) en faisant explicitement

intervenir.

On faitl'hypothesequel'energie d'interactionretardeu(r) estde laforme:

u(r)=u

inst

(r)'(r=)

ou 'est unefonction quitendvers 1 en zero. Lorsque r , on s'attend a ce que u(r) ne depende

plusde maisuniquementde r.

Determiner la limiteu

ret

(r)=u(r)a uneconstante multiplicativepres.

II.6.e. Casimir&Polderont etabli que:

u

ret (r)=

C 0

r n

avecC 0

= 23~c

4

2

Donnerlavaleurde l'exposant ncompte-tenu de l'analyseprecedente oua partirde l'analysedimen-

sionnellede C 0

.

Pourquellevaleur der= les expressionsde LondonetCasimirsont-ellesegales? Commenter.

(8)

On ne considere dans cette partie que des particules non-polaires. Pour simplier les notations, on

ecritdesormais lepotentield'interactionentre deuxparticules sousla formegenerale:

u(r)= C

r n

ou C=C

London

et n=6pouruneinteraction de Londona \courtedistance" (cf. II.4)et ouC =C 0

et nontete calculespouruneinteractionde Casimira \grandedistance" (cf. II.6).

III.1. Des forces interparticulaires aux forces \surfaciques" (Hamaker, 1937) | On

s'interesse auxconsequences macroscopiquesdesforcesde Vander Waals etudieesau II. Onsuppose

queles interactionsinterparticulairessont additives etquelesexpressionstrouveesau I. et II. restent

valables pourdesmilieuxdenses.

III.1.a. Quel est l'ordre de grandeur des forces maximales entre deux particules identiques ? De

telsniveauxdeforcesont-ilsmesurables? Quelobstaclepratiqueya-t-ilarealiserunetelleexperience?

III.1.b. Calculerl'expressiondel'energied'interactiondU

M;P (z

M

;z)entreuneparticuleM etune

plaque innie P, situee a la cote z <0, d'epaisseur dz jzj, constituee des m^emes particules avec

unedensitevolumique . La particuleM estsituee en z

M

(cf. gure ci-apres).

Geometrie \plan-plan" del'interaction entredeux demi-espaces

NB. On pourra decouper fPg en anneaux de rayon (deni sur la gure) et de largeur d et

utiliserau besoinles parametres(r;).

III.1.c. Calculer de m^eme l'energie potentielle d'interactionU

M;E (z

M

) entre la particuleM et le

demi-espaceE correspondant auxz<0 ;M setrouvant toujoursen z=z

M .

III.1.d. M^eme questionpourle potentieldU

P 0

;E

(z) entreuneplaqueP 0

d'epaisseur dz etd'aireS

situee a lacote z>0,etledemi-espaceinferieurE.

III.1.e. En integrant une fois encore, calculer l'energie d'interaction par unite d'aire (h) entre

deux demi-espacesE et E 0

separes paruneepaisseur de vide h. Verier que dansle cas non-retarde

oun=6,cette energie surfaciques'ecrit :

(h)= 2

12 C

h 2

= A

12h 2

ouon a introduit,conventionnellement, laconstante de HamakerA. Quelleest sonunite ?

Calculerdanscecaslaforce

~

(h)parunitedesurfacequ'exerceEsurE 0

;commentestelledirigee?