Solution de l’épreuve A (composition de physique)

CONCOURS EXTERNE DE L’AGRÉGATION DE PHYSIQUE SESSION 2005

Solution de l’épreuve A (composition de physique)

proposée par Rémi BARBET-MASSIN et Peter HOLDSWORTH

PARTIE 1. ONDES EN PHYSIQUE CLASSIQUE : COHÉRENCE ET PAQUETS D’ONDES

Section A : Cohérence des ondes lumineuses

A.1 : Mise en évidence des trains d’onde. Expérience d’Arago : A.1.1 : Interférences en lumière parfaitement cohérente :

2α

f

a S

₁

S

₂

a) α étant petit (<1°) on peut confondre α et sa tangente

⇒^{a 2}= ^f

α

, d>>f>>a,

α

< 1° ≈ 1,7. 10^-2 rad.

b) Théorème de Malus, le plan de sortie du laser est un plan d’onde,

S

1et

S

2respectivement sont des surfaces d’ondes limites des ondes sphériques convergentes issues de la lentille.

c) La LSR sépare le faisceau incident en deux faisceaux identiques, d’éclairement moitié de l’éclairement incident donc, en revenant à l’amplitude, s'0=s0/ 2. d) Les ondes sphériques issues des deux sources S et ₁ S sont vues en termes ₂

d’amplitude 1r

∝ de façon identique car

= << 1 d a r

δ r

. Il n’en est évidemment pas de même pour la phase, vu que la comparaison de la différence de marche est faite par rapport à

λ

0^.

e) s(P)=s'0exp(2i

πν

0t)×A

{

^{exp( 2i 0( 1 S1P) exp( 2i 0( 2 S2P)}

}

A= −

πσ δ

S + + −

πσ δ

S +

{ }{ }

* 2

1 1 ' 1 exp( ) 1 exp(0 )

s s s i i

ε ϕ ϕ

⇒ _{= = + + −}

) (

2 ) (

2i 0 S2− S1 + i 0 S2P−S1P

=

πσ δ δ πσ

ϕ





 



=  +

=

⇒ 2 '2(1 cos( )) 4 '²0cos² 2

0

ϕ ϕ

ε

^{s s}

f) Les surfaces d’iso-éclairement sont données par

ϕ

₌const⇒(S2P−S1P)=const^{, ce} sont des hyperboloïdes de révolution autour de l’axe

S

1

S

2, dont l’intersection avec l’écran donne des hyperboles assimilables à des droites tant que OP<<d. Ces droites sont perpendiculaires à l’axe

S

1

S

2.

g) L’interfrange i est la distance séparant deux droites consécutives de même éclairement et correspond à une variation de

ϕ

^de 2 et donc une variation de

π

)

(S2P−S1P de

λ

0. Vu l’allure des franges on travaille dans le plan de la figure avecy=0, pour P et donc 2 1 ²

( )

^{2 2}

(

^{2 2}

)

2

P S P x a d x d

S − = − + − +

2 1 2

2

P

2

S P 2 ax a

S − = − +

⇒ d

a P ax

S P

S 2

2 ²

1 2

+

=−

−

x

d P a S P

S − = − ∆

∆ (

2 1

)

0 0

0

2

λ α

2

ασ λ

f d f

d a

i= d= =

⇒

Pour

α

~1°=1.7×10^{−2rad, f~10−3m ,}

λ

0

~ 5 × 10

^{−7m, ⇒i~1.4cm}

h)

ε

max=4s'0², au lieu de

2s '

²0en sommant les éclairements, mais on a bien

20

' 2s

moy=

ε

, l’énergie en plus dans les franges brillantes est celle qui manque dans les sombres….

A.1.2: Rôle de la polarisation :

a) Un tel polariseur agit comme un projecteur, en laissant passer la projection du champ sur une de ses directions propres et en absorbant le champ sur la direction perpendiculaire

u'

rp

(polariseur idéal)

0 p

0cos(θ)up+E sin(θ).u' E

=

Er r r

S1

S2

ECRAN

θ

E u_θθθθ

up

Après le polariseur on récupère

E

0

cos( θ ) u

rp⇒

ε = ε

0

cos

²

θ

, c’est la loi de Malus.

b) * Si P1 et P2 sont parallèles, on récupère après eux des vibrations qui restent parallèles entre elles (

α

<1°) et donc on peut rester en scalaire.

* SiP1 et P2 sont perpendiculaires, on perd les interférences issues du terme croisé

* 2

* 1 2 1

. s s s

s +

, qui devient

s

r₁

. s

r₂^*

s

r₁^*

. s

r₂

+

avec ici un produit scalaire nul car

s

r₁

s

r₂

⊥

^{. Ici}

* 2

* 1 2 2 1

* 0

* 2 1 2

*

(

1

).( ) ' . .

. s s s s s s s s s s s

r r r r r r r r r

r

= + + = + +

ε =

^{. Donc si}

P

1

P

2 le calcul est le même qu’en

A.1.1.e et si P1 ⊥P2 :

ε = 2s '

²0, éclairage uniforme de même intensité moyenne.

c) Si la polarisation incidente est parfaitement définie, on a pour les amplitudes : Laser ⇒P1 ⇒P3 ⇒L

0 0 0

1 3

cos( ) cos( )

2 2 ^P 2 ^P

s u s s

u u

θ θ

⇒ ⇒

r r r

Laser ⇒P2 ⇒P3 ⇒L

0 0 0

2 3

sin( ) sin( )

2 2 ^P 2 ^P

s u s s

u u

θ θ

⇒ ⇒

r r r

Le calcul d’éclairement ici redevient scalaire avec :

)) cos(

) 2 sin(

1 ( 2 ' ) 1 cos(

) sin(

) cos(

' ) sin (cos 2 '

1

2

2 0 2 0 2

02

θ θ θ θ ϕ θ ϕ

ε = s + + s = s +

.

On remarque

'

²0

2 1 s

>=

< ε

au lieu de

< ε >= 2s '

²0, à cause des polariseurs qui absorbent une partie de l’énergie incidente , mais il y a réapparition des interférences sauf si

θ

=0^ou

π

^/2 (dans ce cas P ou 1 P arrête totalement la lumière => pas d’interférences possibles). Le 2

contraste ici est moins bon qu’en A.1.1. sauf si

θ

=

π

/4 (équi-partage).

*En réalité on n’observe pas la réapparition des interférences car à chaque train d’onde la direction de la polarisation change :

θ

(t)aléatoire=><sin(2

θ

)cos(

ϕ

)>t=0. L’onde n’est donc pas parfaitement monochromatique.

A.1.3 :Cohérence de polarisation : trains d’onde :

E²

tk tk + τ tk+1

tk

t

tk+1 tk+2

ϕ

t urk

1 +

uvk 2

+

urk

a)

b) *En l’absence de polariseurs, comme

δ

<<^c

τ

, ce sont essentiellement les ondes d’un même train qui interférent entre elles, les vibrations sur deux chemins différents restent essentiellement parallèles entre elles (en négligeant les effets de polarisation très partiels induits par LSR entre autres).

*avec P1,P2 et P on a vu que 3 <sin(2

θ

(^t))cos(

ϕ

)>=0d’où l’absence d’interférences lors de l’observation sur un grand nombre de trains d’ondes.

*Avec P en plus on projette tous les trains d’ondes incidents sur le même ₄ direction ce qui revient a faire

θ

=

π

/4et à modifier s0/ 2en s0/ 2cos(

θ

−

π

/4), ce qui donne pour

ε

^:

)) cos(

1 ( ) 4 / ( 2 cos

'²0 ₂

θ π ϕ

ε

=s < − > +

Avec <cos²x>=1/2, les interférences réapparaissent donc bien ici.

A.2 : Analyse de la forme d’un train d’onde : utilisation de l’interféromètre de Michelson :

A.2.1 : Source monochromatique :

a) Les réflexions sur (SP) équivalent à des symétries par rapport à ce plan, il est donc équivalent de considérer S ou sa symétrique S par (SP), y compris en termes de ^* chemins optique, si on considère (SP) idéale. De même on peut remplacer (M2)par son symétrique par rapport à (SP)(M'2)qui est alors parallèle à (M₁) vu les

hypothèses. Si on appelle O et ₁ O les projections de O sur ₂ (M₁)et (M₂^')on obtient alors le schéma suivant :

O1

M1

O’2

M’2

O S^*

2 1O' e=O

⇒ et S et 1 S se déduisent de 2 S par symétrie | ^* (M1) et (M'2)(réflexions sur ces miroirs) et sont donc distantes de e2 .

b) * On observe des anneaux circulaires centrés sur l’axe

S

*

S

1si on observe à distance finie (intersection des hyperboloïdes vus en A.1.1.f avec un plan perpendiculaire à l’axe de symétrie de révolution de ces hyperboloïdes).

*Si on observe dans le plan focal d’une lentille convergente, on est en fait à l’infini, et à un point sur l’écran correspond seulement une direction i des rayons incidents sur la lentille. L’axe de la figure est alors l’axe optique de la lentille.

f

S1 S2

C i

i

M

c) *Tout déplacement de S latéralement ou en profondeur ne change pas la figure ci- dessus ; les rayons convergents en M sont associés à une différence de marche

) cos(

2e i indépendamment du point source dans le cas d’observation à l’ infini.

*A distance finie : un déplacement latéral correspond à un déplacement du système d’anneaux associé (déplacement de l’axe associé).

Un déplacement en profondeur correspond à un élargissement du système d’anneaux (cf. hyperboloïdes).

d) On en déduit un brouillage progressif des différents systèmes d’anneaux associés aux points sources, sauf dans le cas de l’observation à l’infini où la figure ne dépend pas de la taille de la source. Il y a localisation des interférences à l’infini, et ce sans limitation sur l’étendue de la source (contrairement au cas des franges du coin d’air).

e) Même calcul qu’en A.1.1.e. avec ici

δ

S1^et

δ

S2=⁰, car le chemin optique pour aller de S à P via M est le même que celui pour aller de 1 S à P . Idem pour 1 S via 2

M . On arrive donc à 2

ε

=

ε

0(1+cos(

ϕ

))avec

ϕ

=2

πσ

0(S2M−S1M) ^et

2 1 1 1

(S M−S M)=(S H )=2 cos( )e i car (H M₁ )=(S M₂ )via le théorème de Malus.

S1 S2

i

M

H

f) Si (SP est d’épaisseur finie, le traitement semi-réfléchissant est sur une des deux ) faces et les rayons passant par M et 1 M ne traversent pas le même nombre de fois 2

le milieu d’indice

n

de la lame : ici (1)traverse une fois et (2)trois fois.

M1

(1) (2)

(SP)

On rajoute alors une compensatrice qui réglée parallèle à la séparatrice rajoute sur le trajet (1) les traversées manquantes. Cette compensatrice est du même indice

n

et de même épaisseur que la séparatrice.

g) Exemple avec lampe spectrale :

1. Réglage géométrique, source à l’infini (auto collimation), observation à l’infini => chaque point source correspond à une direction incidente du faisceau lumineux qui donne autant de faisceaux images dans des directions distinctes que de surfaces non-parallèles au sens de la figure 5. On confond les

images en réglant l’orientation de M2 par rapport à M1 , mais ceci à la précision de l’optique géométrique~quelques minutes d’angles => il reste un coin d’air.

2. On éclaire alors l’ensemble de la surface des miroirs en faisceau quasi- parallèle. On observe l’image géométrique des miroirs (localisation des franges) et on chariote jusqu’à la position où on voit des franges.

3. On ferme le coin en réglant l’orientation de M jusqu’à n’observer qu’une 2

seule frange sur les miroirs.

4. On se place en lumière convergente (pour avoir plus d’inclinaisons différentes possible) et on observe à l’infini.

Le chariotage fait alors défiler les anneaux et on règle le parallélisme séparatrice/compensatrice en rendant les anneaux circulaires.

A.2.2 : Obtention d’un profil de raie :

a)

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

−

−

−

=

−

−

−

=

) ) ((

exp ' ) ' ) ( exp(

) ' 2 (

1

) exp(

) ) ( exp(

) 2 (

) 1 (

0 0

0

k k

k k k

t i

dt t i

t f

dt i t

i t t f s

ϕ ω ω ω

π ω

ϕ ω

π ω ω

) ) ((

exp ) ( )

( 1k 0 k k

k s i t

s

ω

=

ω ω

−

ω

−

ϕ

=> sk(

ω

)²=s₁k(

ω

)²ne dépend donc plus de

t

Kni de

ϕ

K^.

b) Si on néglige tout recouvrement et en considèrant

τ

K comme la durée caractéristique d’un train d’onde, on a :

* 1 ^{t T} * 1 *

k k k k

t t

k k

ss s s dt s s dt

T T

+ ∞

< > =

∫ ∑

≈

∑ ∫

−∞ et en utilisant Parseval-Plancherel

∑ ∫

^∞

∞

−

=

>

<

k

t sk d

s T

s ^{* 1 (}

ω

⁾²

ω

^avec N=T^/

τ

k intégrales identiques

=>

ε τ

^sk

ω

^d

ω

k

∫

^∞

∞

−

=1 ( )²

c) L’éclairement peut s’écrire ^d

ε

=^Bω(

ω

^)d

ω

=^Bσ(

σ

^)d

σ

avec

ω

=²

π

^c

σ

⇒^d

ω

=²

π

^cd

σ

Et donc ^Bσ(

σ

)=2

π

^cBω(

ω

)

d) Les ondes à différents

σ

du paquet d’onde sont incohérentes entre elles, donc on somme les éclairements. Dans l’intervalle

σ

,

σ

+^d

σ

on a :

∫

∞

∞

−

+

=

=>

+

= (

σ

)

σ

(1 cos(2

πσδ

))

ε

(

σ

)

σ

(1 cos(2

πσδ

))

ε

^{Bσ d Bσ d}

d

ici

δ

=2e 2= vtet donc en choisissant bien l’origine de temps

( ) t B

_σ

( )(1 cos(4 vt d ))

ε = ∫

_−∞^∞

σ + πσ σ

. Si on pose

ω

1=⁴

πσ

von a alors

1 1 1

exp( ) exp( )

( ) ( ) 1

2 4

i t i t d

t B

σ

ω ω ω v

ε σ

π

∞

−∞



+ −



=



+



 

∫

et si on pose



 



= 

B v v

ω π ω π

ε

^σ

2 4 4 ) 1

ˆ₁( ₁ ¹ , alors

(

^{1 1}

)

^{1 0 1 2}

1 1 1

1

1

ˆ ( ) exp( ) exp( )

2 ) 1

ˆ ( 2 ) 2

( ε ω ω ω ω ε ε ε

ω π ω π ε

ε ^t = ∫ ^d + ∫ ^{i t} + − ^{i t d} = + +

ε

0est un composante continue de

ε

(t)qui ne donne dans la FFT qu’une contribution à fréquence nulle.

ε

1est la fonction de t dont la TF est précisément

ε

ˆ₁(

ω

₁)^et

ε

2^{est son}

conjugué (car

ε

1^{est réel,} B l’étant). ^σ

On obtient ainsi par FFT la somme de ^Bσ(

σ

)^et B^σ(−

σ

⁾à une constante multiplicative près, et via le correspondance

ω

1=⁴

πσ

v^,

υ

1=²

σ

v, ^Bσ(

σ

) est centré sur les fréquences optiques, donc ^Bσ(

σ

) ^et B^σ(−

σ

⁾ ne se recouvrent pas. En ne gardant que les fréquences positives on conserve ainsi ^Bσ(

σ

)seulement.

• En pratique , le logiciel considère le signal

ε

(t)comme périodique de période v

Tenregist=∆/ , d’où un développement en série de Fourier sur les fréquences

( ) ^{v / ∆}

k

avec k entier. La solution est donc v/∆pour

υ

1^et 1/2∆pour

σ

^.

• Avec les motorisations dont on dispose dans les lycées,

v

n’est pas constant (on cherche ici une stabilité de ~1% si on veut avoir une résolution à l’Angstrom). Il faut alors récupérer la fonction v(t) en utilisant un étalon monochromatique tel qu’une raie laser en même temps que le signal mesuré et en déconvoluant.

• En chimie cette technologie est utilisée dans les spectros infrarouge.

e) Principaux profils de raie :

Gaussien : 









∆ −

−

⁰₂²

2

) exp ( ω ω ω

Lorentzien :

2 0)2

(

1+

ω

−A

ω τ

.

f) A basse pression l’élargissement gaussien est lié à l’effet Doppler dû à l’agitation thermique des atomes émetteurs.

A plus haute pression l’influence dominante est celle des collisions, donnant un élargissement lorentzien.

g) ∆

ντ

~1 propriété intrinsèque de la TF.

Section B : Paquets d’ondes, vitesse de groupe :

B.1 : Description d’un paquet d’onde spectralement étroit, vitesse de groupe :

B.1.1 :

a)

vg

k

k ( )

) ( )

(

ω

=

ω

0 +

ω

⁻

ω

⁰ en posant

( ) ( )

0

! 0

!

1

ω

ω

ω

ω

d dk dk

v

g

= d =

0 0 0

0 0 0

0 0

' ) ( ) ( ' ) ( ) (

)

(

ω ϕ ω ω ϕ

ϕ ω ω ω ϕ

ϕ ω ω ω ω

− +

=

− +

= = + −

=>



− +

− +

−

= +

− ) exp( 0 0 0)exp( 0) '0

(

exp

ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ

vg

t x i

x k t i kx

t i

=> exp(

ω

0 − 0 +

ϕ

0)



 



 −

= i t k x

v t x F X

g

avec

'0 0

0) , '( ) ( )exp( )

( exp ) (

'

ω ω ω



ω ω

=

ω ω

−

ω ϕ



 



 −

−

=



 



^t−_v^x

∫

^{A i t} _v^{x d A A i}

F

g g

.

b) La porteuse est à

ω

0, la modulation à (

ω

−

ω

0)avec ∆

ω

<<

ω

0(ailleurs l’enveloppe est nulle car

^A ' ( ω ) → 0

⁾

enveloppe se déplaçant à

v

^g ( )

g

F t x v

 

−

 

 

 

B.1.2 :

a) Le maximum est obtenu quand toutes les contributions de

F

interfèrent d’un façon constructive, à savoir ( − +

ϕ

'0)=0

g C

v

t x => xC(t)=v^gt+v^g

ϕ

'0(xC(0)=v^g

ϕ

'0).

b) Ici, pas de déformation puis que la même fonction

F

décrit l’enveloppe à tous instants à une translation près.

c) Dans le cas d’un paquet d’onde large, on le décompose en paquets plus petits, chacun ayant alors sa propre vitesse de groupe. Il en résulte alors une déformation progressive du paquet large si

v

^gdépend explicitement de

ω

^.

B.2 : Interprétation interférentielle : stationnarité de la phase :

B.2.1 :

a)

ω ϕ

ψ ω

ω d

x d d t−dk +

=

∂ =>∂^ω

ψ

=0^pour

− + ϕ '

0

= 0 v

g

t x

.

b) Il s’agit de considérer ici que toutes les ondes du paquet d’onde sont en phase les unes avec les autres (« interférence constructive ») mais cette phase commune n’est pas forcément un multiple de 2 , c’est la phase moyenne, i.e celle de la

π

porteuse. On parle de stationnarité de la phase car toutes les ondes du paquet ont la même phase au maximum de l’enveloppe (extremum de

ψ

, donc au deuxième ordre près).

B.2.2 :

a) Le calcul est le même qu’en B.1.1.a et consiste à écrire )

( ) , ,

(

ω

0

ψ ω ω ω

0

ψ

ψ

= tx +∂∂ − =>∂∂ =const.

ψ ω

_{et donc}

const .

v t x

g

=

−

on est sur le même point de l’enveloppe (même valeur de la fonction

F

).

b) Pour C≠0, la phase des différentes ondes du paquet varie et les interférences entre elles sont donc moins constructives, d’autant moins que C est grand. Si C est trop grand on aura « brouillage » des ondes les unes par rapport aux autres et le signal résultant sera voisin de zéro : on sort donc du paquet.

c) Si on peut associer deux à deux les ondes pour qu’elles interférent destructive ment (comme en élargissant la fente source pour les fentes de Young par exemple),on est aux limites du paquet (le détail dépend évidemment de la forme de

) (

ω

A ) et pour cela il faut que

ω π ψ ω

_=±



 



∆



 



∂∂

2

tot .

porteuse se déplaçant à

0 0

v_ϕ=

ω

k

B.2.3 :

a) On écrit que les limites du paquet d’onde sont données par

g tot g tot

v t x

v t x

ω π ϕ

ω π ϕ

−∆

= +

−

=∆ +

− ' 2

' 2

0 2

0 1

. Et

donc

g tot

v x ω π

= ∆

∆ 4

. On écrit ensuite

^{∆ k}

^tot

⁼ ( ) _d ^dk _ω ^{∆ ω}

^{totet donc ∆ktot=∆}_v

^ω

_g^tot et finalement

π

= 4

∆

∆ x k

tot .

b) A

x

fixé on aura de même

tot

t t

t

ω π

=∆

−

=

∆ 4

2

1 =>

∆ t ∆ ω

tot

= ⁴ π

. On retrouve donc à un facteur 2 près le résultat A.2.2.g.

B.3 : Application : sillage des bateaux :

.B.3.1 :

a) Il s’agit d’ondes mécaniques de surface ou ondes de gravité.

X ( t x , )

est ici le déplacement vertical de la surface libre par rapport à la position d’équilibre.

b) On peut négliger l’influence de la tension superficielle car on s’intéresse ici à des longueurs d’ondes supérieures à la longueur capillaire (pour l’eau, quelques mm).

c) g car il n’y a aucune échelle de profondeur caractéristique ici.

[ ]

^g=ms−2,

[ ] ω

^=s−1,

[ ]

^k=m−1=>

^ω

_k^2=Kg

d) ²

ω

d

ω

=Kgdk^{, vg=d}_dk

^ω

⁼₂^1_^Kg

_ω

^_^=1₂

( ) ^ω

_k ⁼₂^1vϕ

B.3.2 :

a) L’interaction des ondes avec le bateau est d’autant plus grande que la hauteur de l’eau à la proue est élevée, d’où le résultat.

b) Les ondes cherchées sont alors « figées » dans le référentiel du bateau : surfaces d’ondes indépendantes du temps (« stationnaires » mais pour les ondes ici le terme est ambigü).

c) En notant O un point fixe origine du référentiel considéré galiléen on a 1

1 1 bat

rr =O Puuuur=O O OPuuuur+uuur= +utr rr

=> ^expi(

^ω

^{t−krα.rr)=(expi}

{

⁽

^ω

^{t−krα.urt)−krα.rrbateau}

}

^{. Ce}

terme est figé pour

k

r

u

r

.

ω =

α (donc

k

r

. u

r

> 0

α ) et donc

ω

²

= ^k

α²

^u

²

sin

²

α = ^gk

αavec

α _{2 2}

α

sin u

k = g . Donc à chaque direction (

α

)son vecteur d’onde privilégié.

B.3.3 :

a) On a cherché à assurer la stationnarité de la phase, soit

_d ^d _α ( ^k

^rα

^{. r}

^rbateau

) ^{= 0}

^donc

( ^{k sin( − ) r} ) ^{= 0}

d

d α

^α

α β

^{à (r,}

β

⁾ fixés. Or ^kα=u2sing2

α

et donc

α α α

α

α d

k dk

) sin(

) cos(

−2

= .

D’où sin(

α

−

β

)+ ^αcos(

α

−

β

)=0

α

α k

k

dk devient sin( ) cos( ) 0

) sin(

) cos(

2 − + − =

−

α α α β α β

α

α k

k

=>

tan( )

2 ) 1

tan( α − β = α

.

b) On constate sur la courbe que la condition n’est remplie lorsque

α

varie, que pour

β

max

β

≤ , d’où le cône. _{2 2}

2 tan 2

) ) tan(

tan( xx

= +

= +

α α

β

^{, est maximisé pour}

2 0

2

2+x²− x²= ⇒x= et donc tan(

α

)= 2,

α

=54.74°^{, = , =19.74°} 2

2 ) 1

tan(

β β

max .

Le cône caractéristique est indépendant de la vitesse du bateau, seule la structure, à l’intérieur des crêtes en dépend.

c) Les crêtes correspondent à des lieux où les ondes de phases stationnaire sont en outre à leur maximum, c’est à dire à une phase multiple de 2 , comme en 0. Une

π

ligne de crête est donc caractérisée par

^k

r^α

^{. r}

r

= ^{2 m} π

, m entier fixé. On peut les construire en fixant

β

: la courbe 7 donne

α

₁ ^,

α

2^puis k et α1 k par _α2 ^kα=u2sing2

α

^et enfin rr1

et rr2

associés parkαisin(

α

i−

β

)ri =2m

π

, d’où deux branches par crête. En particulier la branche correspondant à l’axe parallèle à ur

à 90 est celle associée ° aux grandes valeurs de

α

^{. Pour} 0 , 2 90 , 2 ₂

u k =g

°⇒

=

= ⇒

α

α

β

^{et r m}

π

u

g2 2=2 . L’écart

entre crêtes successives est donc

g r u

2

π

2

=

∆ et ceci donne accès à

u

si on dispose d’une échelle (taille du bateau par exemple).

PARTIE 2 . ONDES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE:

COHÉRENCE ET CONFINEMENT Section A : Incertitudes

A.1

:

a) E(x,t)=E0expi(

ω

t−kx) b)

0 ,

0 ,

0

0

∂ =

=

=

−∂

=

B div E µ B rot

E div B E rot

t

t r r

r

r r

r

ε

rotB µ E

E E div grad E

rot rot

t t t

r r

r r r

2, 0

) 0

(

) ( )

(−∂ =− ∂

= = −∆

ε

=> ₂

2 2 0 0 2 2

0 0 2 2

, 0

0

0 ( ) 0

µ c k E

µ E k E

µ

E

_tt

ω

ω ε ω

ε

ε ∂ =

⇒

− − − =

⇒

= =

−

∆

r r r r

=>

v

ϕ et

v

g, tous deux égaux à c ne dépendent pas de

ω

, le milieu est donc non-dispersif.

c) Etude spectrale du rayonnement du corps noir par exemple ou effet photo- électrique

ε

=h

υ

=^h

ω

.

A.2:

h) p

=h

λ

^.

i) Une particule est ici associée à une onde monochromatique si p est parfaitement connue, ce qui donne une onde d’extension infinie.

j) p= 2mE et E 10= eV=>

λ

=3.9A. La diffraction par des électrons de cette gamme d’énergie donne accès à la structure de la matière à très petite échelle-application : diffusion par maille cristalline, par exemple.

A.3 :

a) On utilise par exemple un faisceau d’atomes froids en chute libre à partir d’un point, qui arrivent sur les fentes tous à la même vitesse. Les atomes sont détectés sur une plaque (écran) à environ 1 mètre en dessous des fentes. On observe des franges d’interférences qui se forment avec un interfrange

a i _~ λ D

_où

p

=h

λ

^(cette valeur est en fait intégrée sur le chemin car p varie en chute libre). On voit en même temps les impacts individuels des atomes.

b) *Chaque atome est détecté individuellement => corpuscule. .

*Avec une seule fente les interférences disparaissent.

*Les impacts sont individuellement aléatoires : phénomène probabiliste dans lequel ce ne sont pas les intensités qui s’ajoutent mais les amplitudes des fonctions d’ondes, dont le carré du module représente la densité de probabilité=>d’où les interférences : avec deux probabilités séparées pour chaque fente différentes de zéro, on peut obtenir une probabilité pour l’ensemble qui est nulle. L’onde associée au faisceau incident monocinétique est approximativement plane et proportionnelle à expi(kr.rr−

ω

t)

avec p=hket E=^h

ω

(ou autre chose, en ce qui concerne la deuxième relation).

c) L’expérience permet la mesure de

λ

et donc le lien p=hk mais elle ne permet pas la mesure de

ω

qui s’élimine dans le calcul du module au carré de la somme=>on ne peut donc a priori pas préciser ici le lien énergie-fréquence.

A.4 :

a)

k = ² λ π

⇒

p =

h

k

_,

m k m

E p

2 2

2 2

2 h

h =

= ⇒

ω

. On a donc

m p v k

=2

=

ω

ϕ ,

m p dk

vg=d

ω

= _et

v

ϕ

v

g

= 2

et on a bien un milieu dispersif. (Ceci est la situation symétrique au cas des ondes de surface traité en partie A où on trouve

ω

²~gk^et

^v

^g

^v

^ϕ

2

= 1

).

b) Ici ∆

ψ

=−^k2

ψ

=−_h^p₂²

ψ

⇒∆

ψ

=−²_h^m

ωψ

avec

∂

^t

ψ = − ^{i E}

_h

ψ = − ⁱ ωψ

⇒

ψ

^{i t}

ψ

m∆ = ∂

−h h

2

2

.

c) m

E p 2

= 2 devient V

m E= p +

2

2

et donc V

m k +

= 2

2

h2

h

ω

^=>

V

m i k

i − +

−

=

− 2

) ) (

(

2

h

2

h ω

=>

ψ ψ

^V

ψ

i ∂t =− m∆ + 2

h2

h

d) Ceci est une équation linéaire, donc la superposition s’applique à

ψ

, c’est à dire à l’amplitude et non à

ψ

² densité de probabilité. Les interférences sont donc possibles.

e) pˆ²=−h²∆=> x

p ˆ =

h

i ∂

(on part plutôt pour les ondes de de Broglie de x

k i

p =

h

=

h

∂

₎

A.5 :

g) dP=

ψ

²dx,

ρ

P=

ψ

²avec

∫

₋^∞_∞

^ρ

^P

^dx = 1

^.

h) On doit évidemment avoir

∫

₋^∞_∞

^dP = 1

^soit

∫

₋^∞_∞

^ρ

^P

^{dx = 1}

ce qui n’est pas possible pour x

const∀

= .

ψ

2 car l’intégrale diverge.

A.6 :

a) g(k)est la transformée de Fourier de

ψ

(x,0), d’après le formulaire, et le théorème de Parseval-Plancherel fournit alors

∫

₋^∞_∞

^ψ

^*

^{( x , 0 ) ψ ( x , 0 ) dx =} ∫

₋^∞_∞

^{g * ( k ) g ( k ) dk}

b)

^{< x ( t ) >=} ∫

₋^∞_∞

^ψ

^*

^{( x , 0 ) x ψ ( x , 0 ) dx}

^{de même pour <p(t)> avec ici}

∫

₋^∞_∞ ^∂

= x x dx

pˆ

ψ

^hi

ψ

^*( ,0) _x

ψ

( ,0) ^.

c) g(k) est la TF de

ψ

(x,0) d’après le formulaire

h ) 1 ( ) (p = g k

⇒

ϕ dp

p p x

i

x exp ( ) ( )

2 ) 1 0 ,

( ϕ

ψ ⁼ π _h ∫

₋^∞_∞

_h

dx x px i

p exp ( ) ( ,0)

2 ) 1

(

ψ

ϕ

⁼

π ∫

₋^∞_∞ ⁻ _h

h .

Plus généralement , g(k)exp−i

ω

t est la TF de

ψ

( tx,)^{et donc} dx

t x px i p t

i E

p ( ) ) exp( ) ( , )

( 2 exp ) 1

(

ψ

ϕ

⁼

π

_{h h}

∫

₋^∞_∞ ⁻ _h

ou encore

E t x t dx

p x i

p exp ( ) ( , )

2 ) 1

( ψ

ϕ ⁼ π _h ∫

₋^∞_∞

⁻ _h ⁻ _h

^.

Alors

∫

₋^∞_∞

^g ( ^k )

²

^dk = ∫

₋^∞_∞

^ϕ ( ^k )

²

^dp = 1

^. d) La TF de ∂x

ψ

est ikg(k)exp−i

ω

t donc

dp ip p

Et px

x exp i( ) ( )

2

1

ϕ

ψ π

h h h

∫

₋^∞_∞ ⁻ h ⁻

=

∂

dp ip p

Et px i i

t

p exp ( ) ( )

2 ) 1

ˆ(

ψ

^*

ϕ

π

^{h h h}

h

h

∫

₋^∞_∞

∫

₋^∞_∞ ⁻

>=

< . On permute l’ordre d’inté-

gration 



 



 −

>=

< ^{p t}

∫

₋^∞_∞ ^{p (p)dp}

∫

₋^∞_∞ ^{(x,t)expi(px Et)dx}

2 ) 1

ˆ( ^*

h

h

ϕ ψ

h

π

et on recon-

naît

ϕ

^*(p)= ^{(x,t)expi(px Et)dx} 2

1 *

∫

₋^∞_{∞ h} ⁻ _h

h

ψ

π

^{, où < p t >=}

∫

₋^∞_∞^{p (p)2dp}

2 ) 1

ˆ(

ϕ

π

^h La généralisation vient de ce que la TF de ∂ⁿx

ψ

est i png(k)

n



 





h et donc la TF de

ψ

pˆ

n est

p

ⁿ

g (k )

. Le reste du raisonnement est le même que pour <pˆ t()> .

e) On en déduit que

ϕ

(p)²joue le rôle de densité de probabilité dans l’espace des p et que

ϕ

(p)est l’amplitude associée.

A.7 :

a) ∆x∆p≥h/2.

D’après le formulaire, si ( ) 1 exp( ²/2 ²)

4 / 1

2

σ

πσ

^k

k

g  −



 



=

Alors,















 −











=

 −











=

) 2 / 1 exp(

) (

) 2 / exp(

) (

2 2 2 4

/ 1 2 2

2 2 4

/ 2 1

σ σ ϕ π

π σ σ

h

h p

p

x x

f

.

Alors <x>=0et <p>=0(intégrales de fonctions impaires sur l’intervalle

] ^{− ∞ , ∞} [

^{) .}

I dy

y y

dx x x

x

₂

2 / 2 1 2

2 2 2 / 2 1 2

2 2

2 / 2 1

2

1

) 1 exp(

)

exp( π σ

σ σ

π σ σ

π σ











=





−











=





−











>=



< ∫

₋^∞_∞

∫

₋^∞_∞

) 2 2 exp(

) 1 2 exp(

2

2

_{+ − =} π





− −

=

^∞

∫

₋^∞_∞

∞

−

dy y y y

I

=>

2 ) 1 0 ( ⁼ σ

∆x

. Le calcul de ∆pvia )

ϕ

(p est identique, en replaçant

σ

^{par h}

¹ σ

^d’où

_{∆p =}

^h

σ ₂

_{et donc ∆x∆p=h/2à t=0.} La gaussienne est la fonction qui minimise l’incertitude de Heisenberg.

i) La durée moyenne de passage de la particule à un endroit donné est liée à sa dispersion en énergie par la notation

~ 2

h

E∆ t

∆

mais le raisonnement n’est pas ici aussi immédiat et analogue que celui portant sur x∆ et p∆ .

j) On retrouve la cohérence temporelle discutée en I.B et les relations du I.B.2.3., à un facteur numérique près (raisonnement en ordre de grandeur en I.B.2.3.).

A.8 :

a) Par analogie avec I.B.1 on écrit ici

ω

=

ω

0+vg(k−k0) et on aboutit alors à

∫

₋^∞_∞

^{− −}

−

≈ ik x v t i k k x v t g k dk t

x , ) exp ( ) exp ( )(

_g

) ( )

(

_{0 ϕ 0}

ψ

, soit en posant

0 0

v_ϕ=

ω

k _, on obtient

ψ ( x , t ) ≈ exp ik

₀

( x − v

_ϕ

t ) exp − ik

₀

( x − v

_g

t ) ψ ( x − v

_g

t , 0 )

^{. Ici} l’interprétation physique est identique à celle de I.B.1.1.

b) Pour une particule libre on a alors ²

2 k

m

=

h

ω

^=>

m p m

k dk

d

ω

=h = _{soit p=mvg} : c’est le déplacement de l’enveloppe du paquet d’onde qui est associé au déplacement classique de la particule. Ceci est très logique car c’est le paquet qui « localise » la particule à x∆ près.

c) Ce résultat fait intervenir la forme exacte de la relation de dispersion et donc dépend en effet du choix discuté en II.A.4.a. C’est un argument important en faveur de ce choix.

Section B : Particule piégée dans un puits de potentiel

B.1. Puits de potentiel infini : B.1.1 :

Historiquement, l’expérience de Franck et Hertz qui confirme les idées introduites par Bohr sur les atomes d’hydrogène ou plus simplement les études de spectres de raies de lampes spectrales.

B.1.2 :

a)

ψ

(x)=0en dehors de la région

[ ] ^{0 , a}

et donc on a

ψ

(0)=

ψ

(a)=0^.

b) i t

x m∂∂ = ∂∂

−

ψ ψ

h h

2 2 2

2 donne, en cherchant les solutions stationnaires

ψ

(x)exp(−iEt/h)^.

- ² ₂

2 " 2

2 h

h E k mE

m

ψ

=

ψ

⇒ = ^{et donc}

ψ

=^Acos(kx)+^Bsin(kx). En appliquant les conditions aux limites

ψ

=^Bsin(^kx),^ka=ⁿ

π

, n=1,2,3,..., la normalisation donne

2 1 sin

sin

2 2

2 0

2

2

∫

^kxdx=^{B a}< ^ka>= ^{B a} =

B ^a d’où

B = a 2

.

c)

a

k

n

₌ n π

_=> ²

2 2 2

2 n

Eⁿ₌^hma

π

et les niveaux d’énergies sont donc discrets.

B.1.3 :

a) et b)On utilise la relation de Heisenberg, avec une localisation en x sur

[ ] ^{0 , a}

^donc

p a a

x <

⇒

∆ ~

h

∆

et l’énergie minimale ₂

2 2

1~2 2

ma m

E p h

∆ =

. On retrouve E à 1

π

^2près, facteur lié à un calcul plus précis de x∆ et p∆ : ici on maximise x∆ et donc on minimise ∆p, d’autant plus que

ψ

n’est pas une gaussienne (c’est à dire que la forme de

ψ

fait en sorte que x∆ soit bien moins que

a

). C’est donc la localisation dans le puits qui entraîne une valeur non nulle du plus bas niveau d’énergie=>phénomène ici purement quantique. La discrétisation provient ici du confinement via les conditions aux limites imposées sur

ψ

^.

c)

E

1

= 2 . 4 × 10

⁻¹⁸

J = 15 . 2 eV

. On retrouve ici des valeurs voisines de l’énergie d’ionisation dans un atome d’hydrogène : le puits infini, modèle simple, fournit déjà les bons ordres de grandeur pour l’évolution de particules confinées.

B.2. Puits de potentiel asymétrique : B.2.1 :

a) D’après Schrödinger

ψ ψ

) 2 (

2 2 2

E m V dx

d =h − , en sommant de part et d’autre de la

discontinuité :

^d _dx ^{ψ ( a + ε ) − d} _dx ^{ψ ( a − ε ) =} ∫

_a^a₋⁺_ε^ε

²

_h

^m

²

^{( V − E ) ψ dx}

l’intégrand étant borné, le second membre => 0 quand

ε

⇒0^{donc d}_dx

ψ

est continue et donc aussi

ψ

^.

b) L’équation pour

ψ

(x) ^{s’écrit (en procédant comme en} B.1.2.b) 0

)) ( 2 (

2 2

2

ψ

+ −

ψ

=

x V m E dx d

h , 0<a V(x)=0⇒

ψ

(x)=Asin(qx)comme en B.1.2.b car 0

) 0 ( =

ψ

^{et ici q2}=²_h^mE₂ .

x>a V(x)=V0⇒E−V0<0⇒

ψ

(x)=Bexp(−x/x0)+Cexp(x/x0)^et C=⁰pour que

ψ

^puisse être normalisé (pas de divergence quand x⇒∞). x est donné par 0

) 2 (

) 2 (

12 2 0 2 0

0

E m V V m E

x =− − = −

h h

c) x est une longueur de pénétration de la particule dans la partie classiquement 0

interdite, sans équivalent classique. En ELM, on retrouve ce phénomène pour les milieux réactifs (plasma en dessous de la pulsation de coupure) ou dans les phénomènes de réflexion totale frustrée (en ELM mais aussi généralement pour des ondes acoustiques ou autres).

B.2.2 :

a) cos( ) exp( / )

) / exp(

) sin(

0 0

0

x x a

qa B qA

x a B

qa A

−



 



−

=

−

=

=> _{2 0}

2 2 2

2

V ma 2 , qa y y ,

y )

y ( an

cot − = =

−

=

γ

^h

γ

.

b) La pente de

y y y

g

2 2

)

( −

−

= γ

en y=

γ

est infinie :

2 2 2

2

y dy y

dg

= −

γ

γ