I- Transformation thermodynamique innitésimale d'un système fermé

(1)

Evolutions thermiques

Les points du cours à connaître

I- Transformation thermodynamique innitésimale d'un système fermé

1. Dénitions

Système fermé / système ouvert :

un système fermé n'échange pas de matière avec l'extérieur. Par contre, il peut échanger de l'énergie !

Un système ouvert échange de la matière : il s'agit d'un uide en écoulement.

Variable intensive / variable extensive :

une variable intensive g est dénie en chaque point P , c'est à dire pour un élément innitésimal du système d

³

τ .

Une variable extensive G est dénie à partir d'une variable intensive comme suit G =

Z Z Z

P∈V

g(P ).d

³

τ

Les variables extensives sont additives : G

_S₁∪S2

= G

_S₁

+ G

_S₂

Transformation innitésimale / transformation nie :

une transformation est innitésimale si les variables d'état changent de façon innitésimale g

₁

→ g

₂

= g

₁

+ dg avec |dg| g

₁

Au contraire, une transformation non innitésimale est dite nie

g

₁

→ g

₂

= g

₁

+ ∆g avec ∆g =

g2

Z

g1

dg

2. Bilans d'énergie

Premier principe de la thermodynamique

l'énergie interne d'un système fermé, notée U , est une fonction d'état extensive : elle ne dépend que d'un petit nombre ( v , la variance) de paramètres ( T , P , etc) ; sa diérentielle est donc totale ( dU ) ; sa variation nie ∆U ne dépend pas du chemin suivi (de la transformation).

Si on note E

_c

l'énergie cinétique, W le travail et Q le transfert thermique, lors d'une transformation innitésimale :

dE

_c

+ dU = δW + δQ

et lors d'une transformation nie :

∆E

c

+ ∆U = W + Q 3. Bilans d'entropie

Second principe :

l'entropie S d'un système fermé est une fonction d'état.

Lors d'une transformation innitésimale elle varie de :

dS = δS

_echangee

+ δS

_creee

(2)

• l'entropie échangée : δS

_echangee

=

_T^δQ

imp

où δQ est la chaleur élémentaire échangée par le système à la température imposée T

_imp

;

• l'entropie créée : δS

_creee

≥ 0 ( δS

_creee

= 0 si la transformation est réversible et δS

_creee

> 0 si la transformation est irréversible).

II- Systèmes ouverts en thermodynamique

1. Généralités sur les systèmes ouverts 2. Conservation de la masse

Débit massique :

le débit massique (en kg · s

⁻¹

) est :

D

_m

= Z Z

(µ ~ v) − − → d

²

S

où µ est la masse volumique du uide, ~ v est la vitesse du uide et − − →

d

²

S orienté dans le sens d'écoulement du uide.

La masse δm qui passe à travers la surface pendant dt est telle que D

_m

=

^δm_dt

. Bilan de masse en régime permanent

Le débit massique se conserve au cours de l'écoulement :

∀xD

_m

(x) = D

_m

= δm

_A

dt = δm

_B

dt = δm dt avec δm la masse qui traverse une section pendant dt .

3. Bilans thermodynamiques

Bilans d'énergie dans un écoulement unidimensionnel stationnaire :

pour un système ouvert en régime permanent, entre une entrée et une sortie inniment proches : 1

2 d v

²

+ g dz + dh = δw

_utile

+ δq où v est la vitesse d'écoulement du uide,

z est l'altitude et g le champ de pesanteur, h est l'enthalpie massique,

δw

_utile

est le travail utile massique, δq est le transfert thermique massique.

Bilan d'entropie dans un écoulement unidimensionnel stationnaire :

pour un système ouvert en régime permanent, entre une entrée et une sortie inniment proches : ds > δq

T ⇔ δw

_utile

> 1 2 d v

²

+ g dz + dP µ où δq est le transfert thermique massique et T la température, v est la vitesse d'écoulement du uide,

z est l'altitude et g le champ de pesanteur, δw

_utile

est le travail utile massique,

µ est la masse volumique du uide et P la pression.

(3)

III- Etudes de machines thermiques

1. Etude fonctionnelle des machines thermiques Rendement d'un moteur :

Le rendement d'un moteur est le rapport de ce qui est récupéré (le travail, −W ),

sur ce que l'on a fourni (la chaleur à la source chaude Q

_c

> 0 ) : η

_moteur

= −W

Q

_c

A cause du second principe, le rendement d'un moteur est limité : 0 < η

_moteur

< 1 . Rendement d'un réfrigérateur :

Le rendement d'un réfrigérateur (ou un climatiseur, ou encore un congélateur) est le rapport de ce qui est récupéré (la chaleur prélevée à la source froide Q

_f

> 0 ),

sur ce que l'on a fourni (le travail, W ) :

η

_{f rigo}

= Q

_f

W La valeur de ce rendement est quelconque : η

_{f rigo}

> 0 .

Rendement d'une pompe à chaleur :

Le rendement d'une pompe à chaleur est le rapport de ce qui est récupéré (la chaleur donnée à la source chaude −Q

_c

),

sur ce que l'on a fourni (le travail, W ) :

η

_pac

= −Q

_c

W

Pour qu'une pompe à chaleur ait un intérêt, il faut que son rendement soit meilleur que celui d'une simple résistance électrique qui transforme intégralement du travail en chaleur : η

_pac

> 1 . 2. Diagrammes entropique et de Clapeyron

Diagramme de Clapeyron :

dans le diagramme de Clapeyron, on trace la pression P en fonction du volume V . L'aire sous la courbe ( R

P dV ) est égale à l'opposé du travail des forces de pression dans le cas réversible.

Diagramme entropique :

on trace la température T en fonction de l'entropie S dans le diagramme entropique.

L'aire sous la courbe ( R

T dS ) est égale au transfert thermique dans le cas réversible.

Cycles moteurs et cycles récepteurs dans les diagrammes entropique et de Cla- peyron :

la représentation d'un cycle suivi par un système "tourne" dans le même sens dans le diagramme entropique et dans le diagramme de Clapeyron :

• un cycle récepteur "tourne" dans le sens trigonométrique ;

• un cycle moteur "tourne" dans le sens des aiguilles d'une montre.

Le système échange, au cours d'un cycle récepteur réversible :

|Q

_rev

| = |W

_rev

| = aire balayée

dans le diagramme entropique ou dans le diagramme de Clapeyron.

(4)

3. Diagramme enthalpique

Diagramme enthalpique (ou de Mollier) :

on trace la pression P en fonction en fonction de son enthalpie massique h dans le diagramme enthalpique. Y sont représentées :

• les isenthalpes h = cste ;

• les isobares P = cste ;

• les isothermes T = cste ;

• les isentropes S = cste , soit adiabatique réversible ;

• les isotitres : pourcentage de vapeur constant dans la zone liquide-vapeur.

(5)

Techniques à maîtriser

I- Bilans d'énergie

Dénir le système.

Exploiter les conditions imposées par le milieu extérieur pour déterminer l'état d'équilibre nial.

Utiliser le vocabulaire usuel : évolutions isochore, isotherme, isobare, monobare, monotherme.

Calculer le travail par découpage en travaux élémentaires et sommation sur un chemin donné dans le cas d'une seule variable.

Calculer une pression à partir d'une condition d'équilibre mécanique.

Connaître et utiliser l'équation d'état des gaz parfaits.

Savoir que U

_m

= U

_m

(T ) pour un gaz parfait.

Savoir que U

_m

= U

_m

(T ) pour une phase condensée incompressible et indilatable.

Dénir un système fermé et établir pour ce système un bilan énergétique faisant intervenir travail W et transfert thermique Q .

Exploiter l'extensivité de l'énergie interne.

Distinguer le statut de la variation de l'énergie interne du statut des termes d'échange.

Calculer le transfert thermique Q sur un chemin donné connaissant le travail W et la variation de l'énergie interne ∆U .

ce qu'il faut savoir faire capacités

Faire un bilan énergétique revient à calculer : - un travail ( W = − R

P

imp

dV , ce qui peut se faire si on connaît la pression imposée, qui est P si la transformation est réversible) ;

- un transfert thermique ( Q qui est nul si la transformation est adiabatique) ; - une variation d'énergie interne ( ∆U qui, pour un gaz parfait vaut ∆U = R

c

V

.dT ).

Ces trois grandeurs sont reliées par le premier principe, de sorte que, si on en a trouvé deux, on a la troisième.

Faire un bilan d'énergie méthode

1.1) Chaleur échangée par un corps qui chute

On lâche sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme (de valeur g = 9, 81m.s

⁻²

) un corps solide assimilé à un point matériel, de masse m = 5, 0kg . A la n de la chute (d'une hauteur de h = 2, 0m ), sa vitesse est v

f

= 9, 0m.s

⁻¹

. Le travail des forces de frottement est W

1

= −50J . On suppose que la température ainsi que le volume du corps restent constante.

1) En déduire la variation d'énergie interne ∆U . 2) Déterminer la variation d'énergie cinétique ∆E

c

. 3) Calculer les autres travaux des forces W

2

.

4) Conclure en déterminant la chaleur Q échangée par ce corps en joules et en calories.

1) ∆U = 0 .

2) ∆E

_c

= 2, 0.10

²

J .

3) Travail du poids : W

2

= 98J . 4) Q = 1, 5.10

²

J = 37cal .

1.2) Un bon bain chaud

(6)

On veut préparer un bain de V

_tot

= 120L d'eau à θ

₀

= 35

^◦

C en mélangeant un volume V

₁

d'eau chaude à θ

₁

= 72

^◦

C et un volume V

₂

d'eau froide à θ

₂

= 16

^◦

C . On négligera les échanges thermiques avec l'atmosphère et la baignoire.

1) Déterminer V

₁

2) et V

₂

.

1) V

1

= 41L 2) V

2

= 79L .

1.3) Trois travaux diérents

On considère n = 2, 00mol de gaz parfait, que l'on fait passer de façon quasistatique de l'état initial A(P

A

, V

A

, T

A

) à l'état nal B(P

B

= 3.P

A

, V

B

, T

B

= T

A

= 300K) par trois chemins distincts.

1) Calculer dans chaque cas les travaux mis en jeu en fonction de n , R et T

A

et faire l'application numérique pour :

1.a) chemin 1 : transformation isotherme ;

1.b) chemin 2 : transformation composée d'une isochore puis d'une isobare.

1.c) chemin 3 : transformation représentée par une droite en diagramme de Clapeyron (P, V ) ; 2) Représenter les trois chemins en diagramme de Clapeyron.

1) Travaux :

1.a) W

₁

= 5, 48kJ ; 1.b) W

₂

= 9, 98kJ ; 1.c) W

₃

= 6, 65kJ .

1.4) Compressions d'un gaz parfait

On comprime n = 1, 0mol de dioxygène, assimilé à un gaz parfait diatomique depuis la température T

_i

= 300K et la pression P

_i

= 1, 0.10

⁵

P a , jusqu'à la température T

_f

= 300K et la pression P

_f

= 5, 0.10

⁵

P a .

1) Calculer les volumes : 1.a) V

_i

initial, 1.b) et V

_f

nal.

2) Calculer travail et chaleur échangés par le gaz 2.a) lors d'une compression isotherme ;

2.b) lors d'une transformation isochore (de P

i

à P

f

) suivie d'une transformation isobare (de V

i

à V

f

).

2.c) lors d'une transformation isobare (de V

i

à V

f

) suivie d'une transformation isochore (de P

i

à P

f

).

1) Volumes : 1.a) V

_i

= 24L . 1.b) et V

f

= 5, 0L .

2) Travail et chaleur échangés par le gaz :

2.a) Compression isotherme : W = 4, 0kJ = −Q . 2.b) W = 10kJ = −Q .

2.c) W = 2, 0kJ = −Q .

II- Bilans d'entropie

Dénir un système fermé et établir pour ce système un bilan entropique.

Exploiter l'extensivité de l'entropie.

ce qu'il faut savoir faire capacités

(7)

Faire un bilan entropique revient à calculer :

- une entropie créée ( S

c

qui est nulle si la transformation est réversible) ; - une entropie échangée ( S

_e

= R

δQ

Timp

) ;

- une variation d'entropie (qui peut se calculer en imaginant une transformation réversible ayant mêmes états initial et nal).

Ces trois grandeurs sont reliées grâce au second principe, de sorte que, si on en a trouvé deux, on a la troisième.

Faire un bilan entropique méthode

2.1) Variation d'entropie d'un gaz parfait

1) Exprimer (à une constante près) l'entropie S de n moles d'un gaz parfait en fonction de son coecient γ , de sa pression P , et du volume V .

2) En déduire la variation d'entropie ∆S de n = 1, 0mol de gaz parfait de coecient γ = 1, 4 lorsqu'il passe de l'état initial de pression P

0

= 1, 0.10

⁵

P a et de volume V

0

= 24L à l'état nal de pression P

1

= 5, 0.10

⁵

P a en subissant :

2.a) une transformation adiabatique réversible ; 2.b) une transformation isochore ;

2.c) une transformation isotherme.

1) S =

_γ−1^n.R

ln(P.V

^γ

) + cste . 2) Application :

2.a) Adiabatique réversible : ∆S = 0 . 2.b) Isochore : ∆S = 33J.K

⁻¹

. 2.c) Isotherme : ∆S = −13J.K

⁻¹

.

2.2) Entropie de mélange de deux gaz

Deux récipients (A) et (B) calorifugés communiquent par un robinet. Initialement, les deux récipients sont à la même température T

_i

et à la même pression P

_i

, et

• (A) contient n(N

₂

) = 4, 0mol de diazote ;

• (B) contient n(O

₂

) = 1, 0mol de dioxygène.

On considérera les gaz comme parfaits et on pose V

_tot

= V

_A

+ V

_B

, où V

_A

et V

_B

sont respectivement les volumes de (A) et de (B) .

1) Quelles sont :

1.a) la température nale T

_f

?

1.b) le volume V

_A

en fonction de V

_tot

? 1.c) le volume V

B

en fonction de V

tot

?

On rappelle que l'entropie d'un gaz parfait à la pression P qui occupe un volume V est S =

_γ−1^n.R

ln(P.V

^γ

) + cste .

2) Déterminer

2.a) la variation d'entropie ∆S(O

2

) pour le dioxygène ; 2.b) la variation d'entropie ∆S(N

2

) pour le diazote ; 2.c) l'entropie créée S

creee

.

1) Questions préliminaires : 1.a) T

_f

= T

_i

.

1.b) V

_A

=

⁴₅

V

_tot

. 1.c) V

_B

=

¹₅

V

_tot

. 2) Entropies :

2.a) Pour le dioxygène : ∆S(O

₂

) = 13J.K

⁻¹

2.b) Pour le diazote : ∆S(N

2

) = 33J.K

⁻¹

2.c) Entropie créée S

creee

= 47J.K

⁻¹

.

(8)

2.3) Variation d'entropie d'un solide chaué ou refroidi

Un solide de capacité thermique C , initialement à la température T

_i

, est mis en contact thermique avec une source de chaleur de température invariable T

ext

.

1) Exprimer pour la transformation du solide : 1.a) l'entropie échangée S

ech

;

1.b) la variation d'entropie ∆S ; 1.c) l'entropie créée S

creee

.

2) Vérier le signe de l'entropie créée S

creee

si la température initiale du solide est très proche de celle de la source : T

ext

= T

i

.(1 + ε) avec ε 1 .

1) Solide :

1.a) S

_ech

= C

^T^ext_T^−Tⁱ

ext

. 1.b) ∆S = C. ln

Text

T_i

. 1.c) S

_creee

= C. h

ln

T_ext T_i

−

^T^ext_T^−Tⁱ

ext

i .

2) T

_ext

= T

_i

.(1 + ε) avec ε 1 . ⇒ S

_creee

≈

^C₂

ε

²

> 0 .

2.4) Bilan d'entropie pour un solide métallique chaué

On s'intéresse à n = 1, 0mol d'un métal solide de capacité thermique molaire égale à 3.R . On négligera la variation de volume du solide.

1) On place le solide initialement à la température ambiante T

a

= 300K dans de l'eau bouillante (à la température T

e

= 373K ). Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le solide

1.a) la variation d'entropie ∆S ; 1.b) l'entropie échangée S

ech

; 1.c) l'entropie créée S

creee

.

2) On sort maintenant le solide de l'eau bouillante, et on le laisse se refroidir au contact de l'air ambiant à T

a

= 300K . Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le solide

2.a) la variation d'entropie ∆S ; 2.b) l'entropie échangée S

_ech

; 2.c) l'entropie créée S

_creee

.

3) Le second principe est-il vérié lors des deux transformations ?

1) Chauage :

1.a) ∆S = 5, 4J.K

⁻¹

. 1.b) S

ech

= 4, 9J.K

⁻¹

. 1.c) S

creee

= 0, 55J.K

⁻¹

. 2) Refroidissement :

2.a) ∆S = −5, 4J.K

⁻¹

. 2.b) S

ech

= −6, 1J.K

⁻¹

. 2.c) S

creee

= 0, 64J.K

⁻¹

.

3) Dans les deux cas, les transformations sont irréversibles.

2.5) Bilan d'entropie pour une résistance électrique

Un courant électrique de I = 1, 0A circule dans un conducteur ohmique, de résistance R = 30Ω pendant

∆T = 10

⁰

qui plonge dans de l'eau bouillante (à la température T

0

= 373K ).

La température du résistor passe de la valeur initiale T

i

= 373K à la valeur nale T

f

= 400K . La capacité thermique du résistor est de C = 45J.K

⁻¹

.

1) Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le résistor 1.a) la variation d'entropie ∆S ;

1.b) l'entropie échangée S

_ech

;

1.c) l'entropie créée S

_creee

.

(9)

1) Bilan entropique : 1.a) ∆S = 3, 1J.K

⁻¹

. 1.b) S

ech

= 2, 5J.K

⁻¹

. 1.c) S

creee

= 0, 69J.K

⁻¹

.

2.6) Entropie de mélange de deux liquides

On mélange, à pression constante, une masse m

1

= 0, 50kg de pétrole (de chaleur massique c = 2, 1J.K

⁻¹

.g

⁻¹

), à la température θ

1

= 77

^◦

C , avec une masse m

2

= 2, 0kg de pétrole à la température θ

2

= 17

^◦

C .

1) Déterminer littéralement, puis numériquement, la température d'équilibre T en fonction de m

1

, m

2

, T

1

et T

2

.

2) Puis faire un bilan d'entropie pour le système que constituent les deux corps en fonction de m

1

, m

2

, T

1

et T

₂

, c et T . On fera aussi l'application numérique, pour : 2.a) l'entropie échangée S

_ech

;

2.b) la variation d'entropie ∆S ; 2.c) l'entropie créée S

_creee

.

1) T = 302K 2) Bilan d'entropie :

2.a) S

ech

= 0 ;

2.b) ∆S = 15, 4J.K

⁻¹

; 2.c) S

creee

= 15, 4J.K

⁻¹

> 0 .

III- Etude des écoulements

Exprimer le premier principe sous forme de bilan d'enthalpie dans le cas d'une transformation monobare avec équilibre mécanique dans l'état initial et dans l'état nal.

Établir les relations ∆h + ∆e = w

u

+ q et ∆s = s

e

+ s

c

.

Utiliser les relations ∆h + ∆e = w

u

+ q et ∆s = s

e

+ s

c

pour étudier des machines thermiques réelles.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il faut dénir un système ouvert (entre deux abscisses de l'écoulement), et dénir un système fermé coïncident à t et à t + dt .

Ne pas oublier qu'en régime stationnaire le débit se conserve.

Etudier un écoulement en régime stationnaire méthode

3.1) Forme d'une tuyère

On s'intéresse à un écoulement unidimensionnel (suivant x ) d'un gaz parfait en régime stationnaire dans un cylindre de section variable, la tuyère. On supposera le fonctionnement réversible et les bords athermes : l'écoulement est isentropique. On se placera dans le référentiel de la tuyère.

Les notations sont les suivantes :

S(x) est la section de la tuyère à la cote x , et r(x) , son rayon ; P (x) , la pression ; T (x) , la température ; v(x) , le volume massique ; c(x) la vitesse du gaz.

Pour les applications numériques, on s'intéressera par exemple à l'air : on prendra M = 29g.mol

⁻¹

et γ = 1, 4 .

1) Faire un bilan pour un système ouvert innitésimal (de longueur dx ) sur l'enthalpie massique h .

De même, faire un bilan d'entropie massique s . Déduire de ces deux bilans la relation n1 : v.dP = −c.dc .

2) Ecrire la conservation du débit vériée par S(x) , c(x) et v(x) . La dériver pour obtenir la relation n2.

(10)

3) Montrer que dP = c

²_son

.dµ si l'écoulement est isentropique. Que vaut c

_son

? Application numérique pour T = 300K . Dans la suite, on considérera que c

_son

est une constante (la température varie peu). Montrer alors la relation n3 :

dP = − c

son

v

²

.dv

4) Grâce aux trois relations, montrer que S(x) et c(x) vérient la formule d'Hugoniot : dS

S = dc c

c

²

c

²_son

− 1

Comment varie S en fonction de c ?

5) On supposera connu c(x) . Intégrer alors S en fonction de c .

1) Relation n1 : v.dP = −c.dc . 2) Relation n2 :

^dc_c

+

^dS_S

−

^dv_v

= 0 . 3) Relation n3 : dP = −

^c^son_v

²

.dv .

4) La tuyère est d'abord convergente, puis si la vitesse dépasse celle du son, divergente.

5) S =

^S⁰^.c⁰^.e

1 2

c2−c2 0 c2

son

c

.

3.2) Détente d'un gaz dans une tuyère convergente

On étudie la détente d'un gaz diatomique, dans une tuyère convergente, rigide et atherme, d'axe de révolution Oz horizontal, de section S (z) perpendiculaire à Oz . L'écoulement du uide est unidimensionnel et permanent, en particulier la vitesse moyenne est : ~ c = c (z) ~ e

_z

avec c (z) > 0 .

1) Le gaz entre dans la tuyère avec une vitesse c

_e

et une enthalpie h

_e

. Etablir la relation qui les lie à la vitesse c

_s

et l'enthalpie h

_s

à la sortie.

2) L'évolution étant supposée réversible, déterminer h

s

− h

e

en fonction de la température T

e

à l'entrée, du rapport x =

^p_p^s

e

des pressions à l'entrée et à la sortie, de γ et de r =

_M^R

, M étant la masse molaire du gaz.

En déduire c

s

, sachant que c

e

est négligeable devant c

s

. 3) Exprimer la conservation du débit massique D

m

.

4) Exprimer la masse volumique à la sortie µ

s

en fonction de µ

e

, T

e

, r et x . 5) Montrer que le débit est D

m

= A.S

s

.f (x) avec :

f (x) = x

^γ¹

1 − x

¹⁻¹^γ

¹₂

A étant une constante que l'on déterminera en fonction de γ , r , p

e

et T

e

.

6) Pour quelle valeur critique x

c

de x , le débit D

m

est-il maximal ? Application numérique.

1)

^c₂²^e

+ h

_e

=

^c₂²^s

+ h

_s

. 2) c

s

=

r 2

_γ−1^γ.r

1 − x

^γ−1^γ

.T

e

. 3) D

m

= µ

s

.c

s

.S

s

= µ

e

.c

e

.S

e

. 4) µ

s

=

_r.T^P^e

e

x

^γ¹

. 5) D

_m

=

^P^e

T

1 e2

q

_2.γ

r.(γ−1)

S

_s

.f (x) . 6) x

c

=

2 γ+1

γ−1^γ

= 0, 528 .

3.3) Détente d'air dans une tuyère

On considère l'écoulement d'air (gaz diatomique supposé parfait caractérisé par γ =

⁷₅

) dans une conduite cylindrique horizontale de section variable, rigide et atherme.

Les données techniques sont les suivantes : le débit massique est D

m

= 3kg.s

⁻¹

; à l'entrée, la vitesse est

c

e

= 300m.s

⁻¹

, la masse volumique µ

e

= 5kg.m

⁻³

, la pression est p

e

= 5, 4bar et la température est T

e

= 573K ;

(11)

à la sortie, la vitesse est c

_s

= 500m.s

⁻¹

, la masse volumique µ

_s

= 1kg.m

⁻³

, la pression est p

_s

= 1bar et la température T

_s

.

On donne la masse molaire de l'air : M = 29g.mol

⁻¹

.

1) Relier la variation d'enthalpie massique entre l'entrée de la conduite et la sortie, à la variation d'énergie cinétique massique correspondante.

2) En déduire la température de l'air à la sortie. Comparer cette détente à la détente de Joule-Thomson.

3) Quelle est la variation d'entropie de cette masse d'air ? L'écoulement est-il réversible ou irréversible ? Justier.

4) Calculer les aires des sections droites de la conduite à l'entrée et à la sortie.

1)

^c₂²^e

+ h

_e

=

^c₂²^s

+ h

_s

. 2) T

_s

= 493K . 3) s

s

= 334J.K

⁻¹

.

4) S

e

= 20cm

²

et S

s

= 60cm

²

.

3.4) Robinet mélangeur

Un robinet mélangeur admet de l'eau froide (température T

_f

, débit massique D

_f

) et de l'eau chaude (tem- pérature T

_c

, débit massique D

_c

).

1) Déterminer la température T de l'eau sortant du robinet.

T =

^D^c^.T_D^c^+D^f^.T^f

c+Df

3.5) Refrigérant

De l'air chaud ( P

_i

= 6bar , T

_i

= 500K , de chaleur massique à pression constante c

_a

= 1, 0kJ.kg

⁻¹

.K

⁻¹

.) est refroidi de façon isobare jusqu'à la température T

f

= 300K , dans un échangeur parfaitement calorifugé.

Le uide réfrigérant est constitué par de l'eau (de chaleur massique c

e

= 4, 18.kJ.kg

⁻¹

.K

⁻¹

) qui entre à la température θ

e

= 12

^◦

C et qui sort à θ

s

. Le débit massique d'eau est D

e

= 100g.s

⁻¹

et celui de l'air D

a

= 6, 5g.s

⁻¹

.

1) Calculer θ

s

.

1) θ

s

= 15

^◦

C .

3.6) Mélangeur

Un robinet mélangeur admet de l'eau froide (température T

f

, débit massique D

f

) et de l'eau chaude (tem- pérature T

c

, débit massique D

c

).

1) Déterminer la température T de l'eau sortant du robinet.

1) T =

^D^c^.T_D^c^+D^f^.T^f

c+D_f

.

3.7) Compresseur adiabatique

Un compresseur amène de l'air de l'état atmosphérique ( P

i

= 1bar , T

i

= 300K ) jusqu'à l'état nal ( P

f

= 6bar , T

f

) sans échange de chaleur. La puissance du moteur qui l'entraîne est P = 1, 5kW , et le débit massique est D

m

= 6, 5g.s

⁻¹

. On assimilera l'air à un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constante c

p

= 1, 0kJ.kg

⁻¹

.K

⁻¹

.

1) Calculer la température T

f

.

1) T

f

= 531K .

(12)

IV- Etude des machines thermiques idéales

Interpréter géométriquement le travail des forces de pression dans un diagramme de Clapeyron.

Positionner les phases dans les diagrammes (P, T ) et (P, v) .

Donner le sens des échanges énergétiques pour un moteur ou un récepteur thermique ditherme.

Dénir un rendement ou une ecacité et la relier aux énergies échangées au cours d'un cycle. Justier et utiliser le théorème de Carnot.

ce qu'il faut savoir faire ^capacités

Préalablement à l'étude de la machine thermique, il est bon de faire un petit schéma qui dénit les signes des échanges de cette machine (pour le travail et les transferts thermiques).

Ceci permet dénir le rendement (ou l'ecacité : rapport de ce que l'on cherche à obtenir sur ce que l'on fournit, en valeur absolue), de relier aux transferts thermique, et de le calculer.

Rappelons que les diagrammes de Clapeyron et entropique sont parcourus dans le même sens (horaire pour un moteur et trigonométrique pour un récepteur).

Etudier une machine thermique méthode

4.1) Cycle de Stirling

Un cycle de Stirling est formé de deux isothermes (aux températures T

₁

et T

₂

< T

₁

) et de deux isochores (aux volumes V

₁

et V

₂

> V

₁

) alternées. Le cycle est supposé réversible ; il est décrit dans le sens moteur par un gaz parfait caractérisé par son γ .

1) En fonction des températures T

₁

et T

₂

, du taux de compression a =

^V_V²

1

et de n , R et γ , établir les expressions :

1.a) de la quantité de chaleur Q

1

reçue par le système au cours d'un cycle moteur réversible ; 1.b) de la quantité de chaleur Q

2

cédée par le système au cours d'un cycle moteur réversible ; 1.c) du rendement thermodynamique η de ce cycle.

2) Comparaison avec le cycle de Carnot :

2.a) Quelle est l'expression du rendement du cycle de Carnot réversible η

0

correspondant (c'est à dire utilisant des sources dont les températures sont égales aux températures extrêmes précédentes) ?

2.b) Comparer les deux rendements et montrer que le sens de l'inégalité est indépendant des valeurs numériques des paramètres.

1) Cycle de Stirling : 1.a) Q

1

= n.R.

T

1

ln a +

^T¹_γ−1^−T²

> 0 ; 1.b) Q

₂

= −n.R.

T

₂

ln a +

^T_γ−1¹^−T²

< 0 ; 1.c) η = 1 −

^T²^ln^a+

T1−T2 γ−1

T₁lna+^T¹_γ−1^−T²

.

2) Comparaison avec le cycle de Carnot : 2.a) η

0

= 1 −

^T_T²

1

. 2.b) η < η

0

.

4.2) Cycle à trois temps

L'état initial d'une mole de gaz parfait est caractérisé par P

0

= 2.10

⁵

P a , V

0

= 14L . On fait subir successi- vement à ce gaz les transformations réversibles suivantes :

• phase 1 : une détente isobare qui double son volume ;

• phase 2 : une compression isotherme qui le ramène à son volume initial ;

• phase 3 : un refroidissement isochore qui le ramène à l'état initial.

(13)

1) A quelle température s'eectue la compression isotherme ? En déduire la pression maximale atteinte.

2) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V ) .

3) Calculer, en fonction de P

₀

, V

₀

et γ = 1, 4 , les travaux et transferts thermiques échangés par le système au cours de chacune des phases du cycle :

3.a) W

1

et Q

1

; 3.b) W

2

et Q

2

; 3.c) W

3

et Q

3

.

4) Que vaut ∆U pour le cycle.

1) Compression isotherme à 2.T

₀

, pression maximale atteinte 2.P

₀

. 2) Diagramme de Clapeyron.

3) Chaque phase :

3.a) W

1

= −2, 8.10

³

J et Q

1

= 9, 8.10

³

J ; 3.b) W

2

= 3, 9.10

³

J et Q

2

= −3, 9.10

³

J ; 3.c) W

3

= 0 et Q

3

= −7, 0.10

³

J .

4) Bien sûr ∆U = 0 .

4.3) Cycle de Carnot

Un gaz parfait décrit un cycle de Carnot moteur réversible, caractérisé par les températures T

1

(avec la source chaude) et T

2

(avec la source froide).

1) Diagramme entropique :

1.a) Quel est la forme du cycle dans le diagramme entropique ? 1.b) Dans quel sens est décrit le cycle dans le diagramme entropique ? 2) Etablir le rendement η du moteur thermique en fonction de T

1

et T

2

.

1) Diagramme entropique :

1.a) Le diagramme entropique est un rectangle pour le cycle de Carnot réversible.

1.b) Le cycle étant moteur, il est décrit dans le sens des aiguilles d'une montre.

2) η = 1 −

^T_T²

1

. 4.4) Cycle de Brayton

Un gaz parfait décrit un cycle de Brayton moteur réversible, caractérisé par deux isobares (de pressions respectives P

1

et P

2

avec P

1

< P

2

) alternées avec deux adiabatiques.

1) Diagramme de Clapeyron :

1.a) Quel est la forme du cycle dans le diagramme de Clapeyron ? 1.b) Dans quel sens est décrit le cycle dans le diagramme de Clapeyron ? 2) Etablir le rendement η du moteur thermique en fonction de γ , P

1

et P

2

.

1) Diagramme entropique :

1.a) Le diagramme de Clapeyron du cycle de Brayton réversible a tracer.

1.b) Le cycle étant moteur, il est décrit dans le sens des aiguilles d'une montre.

2) η = 1 −

_P

2

P1

^1−γ_γ

.

4.5) Moteur et pompe à chaleur utilisés pour un chaue-eau

Pour maintenir la température d'un chaue-eau à T

_c

= 333K on utilise les deux sources de chaleurs qui se trouvent à proximité de l'habitation : l'air extérieur à T

_a

= 310K et l'eau d'une rivière à T

_r

= 285K .

Un moteur ditherme réversible fonctionnant entre l'air extérieur et la rivière, fournit le travail nécessaire à une pompe à chaleur réversible ditherme fonctionnant entre le chaue-eau et la rivière.

1) Exprimer le rendement η

_m

du moteur en fonction de T

_a

, T

_c

et T

_r

. 2) Exprimer de même le rendement η

pac

de la pompe à chaleur.

3) Déterminer le rendement η du dispositif global, déni comme le rapport de la chaleur donnée au chaue-

eau à la chaleur prélevée à l'air.

(14)

1) η

m

= 8, 06% . 2) η

pac

= 6, 94 . 3) η = 55, 9% .

4.6) Climatiseur

Un local, de capacité thermique à pression constante C

_p

= 4.10

³

kJ.K

⁻¹

, est initialement à la température de l'air extérieur T

ext

= 305K . Un climatiseur, qui fonctionne de façon cyclique réversible ditherme (entre l'air extérieur et le local), ramène la température du local à T

f

= 293K en une heure.

1) Quel est le rendement η de ce climatiseur si le local est à la température T ?

2) Exprimer la chaleur totale Q

l

échangée par le climatiseur avec le local pendant la transformation.

3) Exprimer le travail total W échangé par le climatiseur pendant la transformation.

4) Quelle puissance électrique moyenne < P > a dû recevoir ce climatiseur ?

1) η =

_T ^T

ext−T

. 2) Q

l

= 48M J . 3) W = 0, 97M J . 4) < P >= 269W .

V- Etude des machines thermiques réelles

Citer quelques ordres de grandeur des rendements des machines thermiques réelles actuelles.

Etudier des machines thermiques réelles à l'aide de diagrammes thermodynamiques (T, s) et (P, h) .

ce qu'il faut savoir faire capacités

F Il s'agit de tracer le cycle dans le diagramme du uide et de repérer sur ce diagramme les diérents points (P

k

, h

k

) dans le cycle réel.

F La donnée des diérentes enthalpies massique h

k

permet de connaitre les puissances et puissances thermiques échangées. En eet, le premier principe pour un uide en mouvement lors d'un écoulement stationnaire (de débit massique D

m

) peut se réécrire :

P

_th

+ P = D

_m

∆h

Ainsi, dans une machine thermique, la variation d'enthalpie massique ∆h permet de calculer facilement :

• les transferts thermiques P

_th

lors du passage du uide dans les échangeurs : P

_th

= D

_m

∆h en

• le travail échangé lors d'une compression (dans un compresseur) ou lors d'une détente (dans un détendeur) : P = D

_m

∆h .

F Enn, ces diérentes puissances et puissances thermiques permettent de calculer le rendement ou ecacité de la machine thermique :

η = P

interessante

P

_couteuse

Utiliser un diagramme enthalpique méthode

5.1) Détendeur de plongée

Pour pratiquer la plongée sous-marine, l'air est stocké dans des bouteilles à la pression P

b

= 200 bar . A l'aide d'un système complexe de membrane déformable et de ressort, un détendeur fait circuler l'air à travers un mince étranglement, cet écoulement supposé adiabatique s'accompagnant d'une diminution de pression.

1) Relier l'enthalpie massique à la sortie du détendeur ( h

_s

) à celle à l'entrée h

_e

.

(15)

Pour la plongée, un détendeur primaire, placé sur la bouteille, assure la détente de la haute pression ( 200 bar ) vers une moyenne pression ( 10 bar ) et la température de l'eau (qu'on supposera égale à 20

^◦

C ). Un détendeur secondaire, placé au niveau de la bouche du plongeur, assure la détente vers la basse pression ( 1 bar ).

2) Représenter la transformation subie par l'air dans le diagramme entropique suivant :

3) Interprétation.

3.a) Montrer que la première détente est accompagnée d'une baisse importante de température.

3.b) Pourquoi le plongeur ne ressent-il pas une sensation d'air froid lors de l'inspiration ?

3.c) Déterminer la chaleur échangée par 10 g d'air dans le tube entre le premier et le second détendeur.

La chaleur échangée par le passage de 10 g d'air dans le tube entre le premier et le second détendeur vaut 400 J .

5.2) Compresseur

Les transformations suivies par l'air soumis à un compresseur sont représentées dans le diagramme enthal-

pique ci-dessous :

(16)

1) Décrire les transformations : 1.a) E

k

→ S

k

,

1.b) et S

k

→ E

k+1

.

2) Déterminer pour toutes les phases E

k

→ S

k

, les valeurs numériques 2.a) des chaleurs massiques ;

2.b) des travaux utiles massiques.

w

u

≈ 185 kJ · kg

⁻¹

.

5.3) Réservoir GPL

Le GPL (gaz de pétrole liquéé), utilisé comme carburant par certains véhicules, peut être, pour simplier, assimilé à du propane. Il est stocké sous la forme d'un mélange liquide-gaz dans le réservoir.

Le diagramme enthalpique du propane est donné ci-dessous :

(17)

1) Etat initial du réservoir.

Un réservoir de volume V contient une masse m de propane dans l'état du point A sur le diagramme.

Déterminer :

1.a) la température θ du propane ; 1.b) sa pression P ;

1.c) sa fraction massique x en vapeur ; 1.d) son volume massique v .

2) Echauement du réservoir.

En cas d'échauement accidentel (du à un incendie par exemple), le GPL risque d'exploser. Aussi, depuis 2001, les réservoirs GPL sont munis d'une soupape permettant d'évacuer le uide dès que la pression dépasse 25 bar.

2.a) Pourquoi, si la température augmente, la transformation subie par le GPL suit-elle la courbe AB ? 2.b) A quelle température θ

max

la soupape évacue-t-elle le GPL gazeux ?

3) Utilisation du GPL par le moteur

Entre la sortie du réservoir et les injecteurs du moteur, le GPL circule dans un vapo-détendeur (passif, sans échanges thermiques).

3.a) Pourquoi la transformation subie par le GPL dans le vapo-détendeur suit-elle la courbe AC ? Comment évoluent alors :

3.b) la pression ? 3.c) la température ? 3.d) le volume massique ?

3.e) et la composition du mélange liquide-vapeur ?

θ

_max

≈ 69

^◦

C .

5.4) Congelateur

(18)

Le cycle suivi dans un congélateur par le uide frigo- rique R134a (CH2F-CF3) dans le diagramme en- thalpique est donné ci-dessus.

1) Déterminer, pour chaque état ( 1 , 2 , 3 et 4 ) : 1.a) l'état physique (liquide, gaz ou mélange li- quide vapeur de fraction x ) ;

1.b) la pression P ; 1.c) la température θ .

Le schéma ci-contre fait apparaître les diérents élé- ments dans lesquels circule le uide :

• le compresseur

• le détendeur

• le condenseur

• l'évaporateur

2) Associer à chacun de ces précédents éléments une transformation du cycle ( 1 → 2 , 2 → 3 , 3 → 4 et 4 → 1 ). On donnera les caractéristiques de ces transformations.

3) Dénir l'ecacité η du congélateur et déterminer sa valeur numérique.

η ≈ 3 .

5.5) Détente d'air dans une tuyère

On considère l'écoulement d'air (gaz diatomique supposé parfait caractérisé par γ =

⁷₅

) dans une conduite cylindrique horizontale de section variable, rigide et atherme.

Les données techniques sont les suivantes : le débit massique est D

_m

= 3kg.s

⁻¹

; à l'entrée, la vitesse est c

_e

= 300m.s

⁻¹

, la masse volumique µ

_e

= 5kg.m

⁻³

, la pression est p

_e

= 5, 4bar et la température est T

_e

= 573K ; à la sortie, la vitesse est c

_s

= 500m.s

⁻¹

, la masse volumique µ

_s

= 1kg.m

⁻³

, la pression est p

_s

= 1bar et la température T

s

.

On donne la masse molaire de l'air : M = 29g.mol

⁻¹

.

(19)

1) Relier la variation d'enthalpie massique entre l'entrée de la conduite et la sortie, à la variation d'énergie cinétique massique correspondante.

2) En déduire la température de l'air à la sortie. Comparer cette détente à la détente de Joule-Thomson.

3) Quelle est la variation d'entropie de cette masse d'air ? L'écoulement est-il réversible ou irréversible ? Justier.

4) Calculer les aires des sections droites de la conduite à l'entrée et à la sortie.

h

s

− h

e

= c

p

.(T

s

− T

e

) , T

s

= 493K , s

s

= 334J.K

⁻¹

, S

e

=

_µ^D^m

e.c_e

= 20cm

²

et S

s

=

_µ^D^m

s.c_s

= 60cm

²

.

(20)

Les techniques mathématiques à connaître

Fonctions de plusieurs variables : les fonctions d'état thermodynamiques sont des grandeurs ther- modynamiques qui ne dépendent que de l'état d'équilibre thermodynamique. Ce sont des fonctions mathématiques de v variables où v est la variance.

Exemple f : (x; y) 7→ f (x; y)

Imaginons pour simplier que le nombre de variables est 2 et nommons les x et y (en thermodyna- mique, on dira que la variance v est égale à 2). On généralisera sans peine.

Transformation innitésimale : lors d'une transformation innitésimale ( x → x + dx et y → y + dy ), la variation δf de f est alors une diérentielle totale et est notée df . La fonction d'état f va passer de f à f + df avec :

df =

∂f

∂x

y

dx +

∂f

∂y

x

dy La dérivée explicite de f à y constant est

_∂f

∂x

y

, elle est obtenue en considérant y comme constante dans l'expression de f lors de la dérivation.

De la même façon, on dénit

_∂f

∂y

x

. Propriétés des dérivées partielles :

∂

²

f

∂x.∂y = ∂

∂y ∂f

∂x

y

!

x

= ∂

∂x ∂f

∂y

x

y

= ∂

²

f

∂y.∂x ∂f

∂x

y

= 1

∂x

∂f

y

et

∂x

∂y

z

∂y

∂z

x

∂z

∂x

y

= −1

Lors d'une transformation nie : E

1

x

1

y

₁







→







E

2

x

2

= x

1

+ ∆x y

₂

= y

₁

+ ∆y

quel que soit le chemin suivi par la transformation, la fonction d'état f va passer de f

1

à f

2

avec :

∆f =

f2

Z

f1

df = f

2

− f

1

qui ne dépend pas du chemin suivi, seulement des états initial ( E

1

) et nal ( E

2

) .

Forme diérentielle : lors d'une transformation innitésimale ( x → x + dx et y → y + dy) , δg = α dx + β dy

δg est appelée forme diérentielle.

g = R

1→2

δg dépend a priori du chemin suivi de l'état initial à l'état nal g ( chemin A) 6= g ( chemin B)

Condition pour qu'une forme diérentielle soit une diérentielle totale :

δg = α dx + β dy = dg = ∂g

∂x

y

dx + ∂g

∂y

x

dy ⇔ ∂β

∂x

y

= ∂α

∂y

x

Fonctions de plusieurs variables méthode

(21)

6.1) Calcul d'une diérentielle d'une fonction de deux variables 1) Diérentier la fonction f (x, y) =

^x_y²

df =

²_y^x

dx −

x y

2

dy .

6.2) Calcul d'une diérentielle d'une fonction de trois variables 1) Diérentier la fonction f (x, y, z) =

_{y z}^x²

df =

²_y^x

dx −

_y^x2²z

dy −

_z^x2²y

dz .

6.3) Montrer qu'une forme diérentielle est une diérentielle totale 1) Montrer que la forme diérentielle δg =

²_y^x

dx −

x y

2

dy est une diérentielle totale d'une fonction f .

δg est de la forme δg = α dx + β dy et comme

^∂α_∂y

=

^∂β_∂x

alors δg = df .

6.4) Montrer qu'une forme diérentielle n'est pas une diérentielle totale 1) Montrer que la forme diérentielle δg =

^x_y

dx +

x y

²

dy n'est pas une diérentielle totale.

δg est de la forme δg = α dx + β dy et comme

^∂α_∂y

6=

^∂β_∂x

alors δg 6= df .

6.5) Relation circulaire sur les dérivées parielles dans le cas des gaz parfaits 1) On part de la relation P V = n R T où n et R sont des constantes. Vérier que

∂x

∂y

z

∂y

∂z

x

∂z

∂x

y

= −1

en prenant x = P , y = V et z = T .

On vérie bien que

∂x

∂y

z

∂y

∂z

x

∂z

∂x

y

= −1

(22)

Résolution de problème

Le coecient de performance d'une pompe à chaleur

Issu de la page

http ://pompe-a-chaleur.comprendrechoisir.com/comprendre/cop-coecient-performance

Récupérer plus d'énergie thermique que l'énergie électrique consommée.

On appelle coecient de performance ou COP, le rapport "énergie thermique restituée/énergie électrique consommée".

Avec un coecient de performance de 3, une pompe à chaleur qui consomme 1 kWh d'électricité produit 3 kWh de chauage.

Quand on parle donc d'un COP 3 (+7

^◦

C ; 65

^◦

C) pour une pompe à chaleur air - eau par exemple, cela signie que :

• lorsqu'il fait 7 degrés dehors,

• la pompe à chaleur consomme 1kWh d'électricité

• pour générer 3kWh de chauage

• en chauant l'eau à 65

^◦

C. Enoncé

Vérier que le coecient de performance d'une pompe à chaleur chauant l'eau à 65

^◦

C lorsqu'il fait 7 degrés

dehors pourrait être 3.

(23)

Programmation en python

Etude statistique de la détente de Joule - Gay Lussac

On s'intéresse à un gaz (parfait) dans une enceinte rigide et athermane. Cette enceinte est séparée en deux compartiments de volumes V

1

et V

2

. Pour simplier, on supposera : V

1

= V

2

= V . Le gaz est composé de N molécules (avec N 1 dans la réalité). Il y a N

1

molécule dans V

1

(et bien sûr N

2

= N − N

1

dans V

2

).

On caractériste un microétat par la distribution des molécules dans les deux volumes, et un macroétat par la donnée de N

1

.

Le gaz est initialement dans V

1

, V

2

étant vide.

Toutes les molécules sont dans le compartiment 1 : il n'y a qu'une distribution possible (un seul microétat).

Il n'y a donc aussi qu'un état thermodynamique (macroétat) possible : N

₁

= N .

Il n'y a aucun manque d'information dans cet état, car on sait où sont toutes les molécules. On peut dire que l'entropie du système est initialement nulle.

La transformation débute lorsqu'on casse la paroi séparant V

₁

et V

₂

. Les molécules (numérotons les de 1 à N , même si elles sont indiscernables) se répartissent dans les deux volumes V

1

et V

2

.

A l'état nal, le nombre total de microétats possibles est 2

^N

: c'est le nombre de façons de répartir N molécules dans deux récipients. Le nombre de microétats correspondant au macroétat N

1

est Ω(N

1

) = C

_N^N¹

: c'est le nombre de façons de répartir N molécules dans deux récipients, tels qu'il y en ait N

1

dans l'un. Ainsi, la probabilité d'un macroétat N

₁

est p (N

₁

) =

^C

N1 N

2^N

.

1) Ecrire un programme qui permet de tracer Ω(N

₁

) pour N

₁

∈ [1; N ] , et tracer cette courbe pour N = 3 , 10 , 25 , 100 , 1000 .

2) Interpréter le résultat : quelle est statistiquement la situation macroscopique la plus probable ?

(24)

Approche documentaire

Le réfrigérateur à compresseur

Cédric Ray et Jean-Claude Poizat

La physique par les objets quotidiens c Belin - Pour la Science.

Comment fonctionne un réfrigérateur ?

Dans un réfrigérateur, on transfère de la cha- leur, c'est-à-dire que l'on prend de l'énergie à un système pour la céder à un autre système. Un réfri- gérateur doit donc assurer un ux de chaleur de ses compartiments internes, dont la température dimi- nue, vers l'extérieur dont la température augmente (gure 4). Le transfert de chaleur s'eectue grâce à un uide circulant en circuit fermé. Ce uide réfrigérant subit un cycle de deux changements d'état. Lors d'un premier changement d'état, le uide transfère de la chaleur à l'extérieur, puis lors d'un second changement d'état ce même uide ab- sorbe de la chaleur à l'intérieur du réfrigérateur.

Le refroidissement peut être très ecace si les cha- leurs latentes correspondantes sont élevées.

Le cycle du uide réfrigérant

Étudions en détail les étapes de ce transfert de chaleur dans un réfrigérateur à compresseur (gure 5), le type le plus courant : si votre réfrigérateur

fait du bruit de temps en temps, c'est justement à cause du compresseur !

Le compresseur comprime le uide réfrigérant, alors froid et sous forme gazeuse, ce qui augmente sa tem- pérature et sa pression. À la sortie du compresseur, le uide est donc chaud et à haute pression (en rouge sur le schéma). Soulignons que le compresseur fonctionne à l'aide d'un moteur et consomme donc de l'énergie sous forme électrique.

Ce gaz chaud et à haute pression circule ensuite à travers le condenseur, où il cède de la chaleur par diusion vers l'extérieur et subit un changement d'état : le gaz se transforme en un liquide chaud sous haute pression.

La condensation (plus exactement la liquéfaction) peut se produire à température élevée car la pression est importante. Lorsque la pression augmente en eet, la température de liquéfaction croît et devient supérieure à la température ambiante. C'est pour cette même raison qu'en montagne, où la pression atmosphérique est plus faible qu'au niveau de la mer, la température d'ébullition (ou de vaporisation) est inférieure à 100

^◦

C. Il faut ainsi plus de temps pour obtenir des ÷ufs durs en altitude, car l'eau, bien qu'en ébullition, est moins chaude qu'habituellement - ce qui ne fait pas l'aaire des alpinistes aamés au bivouac !

En poursuivant son chemin dans le circuit frigorique, le liquide passe ensuite à travers un détendeur qui abaisse sa pression et sa température. On obtient un mélange liquide-gaz à l'équilibre (en bleu sur la gure 5).

Après cette chute de pression, le mélange liquide-gaz froid traverse l'évaporateur où il absorbe la chaleur de l'intérieur du réfrigérateur pour subir un second changement d'état : le liquide se met à bouillir, c'est-à-dire qu'il se vaporise. On obtient alors un gaz froid et à basse pression, qui repart alors dans le compresseur pour un nouveau cycle.

Le uide réfrigérant

Le uide réfrigérant doit posséder des propriétés thermodynamiques spéciques. En particulier, ses chaleurs

latentes de changements d'état doivent être importantes, et les températures et pressions de changement d'état

raisonnables. La sécurité et la protection de l'environnement doivent également y trouver leur compte. De fait,

les uides réfrigérants des premiers réfrigérateurs étaient des substances potentiellement dangereuses pour la

santé et à faible rendement.

(25)

Au début du XXe siècle, les uides réfrigérants étaient plus ecaces mais encore dangereux (par exemple le chlorométhane était inammable) et corrosifs, nécessitant un entretien régulier du réfrigérateur. Puis, en 1930, la société DuPont de Nemours commercialisa un groupe de uorocarbures baptisé fréon. Le fréon fut employé jusqu'à ce qu'on s'aperçoive, dans les années 70-80, que le rejet dans l'atmosphère de ces gaz (en particulier des chlorouorocarbures ou CFC) contribuait à détériorer la couche d'ozone qui nous protège des eets nocifs des rayons ultraviolets. De nouvelles recherches ont conduit à des uides réfrigérants inoensifs pour la couche d'ozone (aux noms exotiques d'isobutane R600a, HC-12a et R-134a) qui remplacent le fréon, interdit par des conventions internationales comme le protocole de Montréal (entré en vigueur en 1989).

Le compresseur

Le compresseur est l'élément central du système de réfrigération : c'est lui qui transforme le gaz basse

pression en gaz haute pression. Il se situe généralement en bas à l'arrière du réfrigérateur. Un thermostat

mesure la température de l'intérieur du réfrigérateur et contrôle la mise en marche du compresseur. Le cycle de

(26)

refroidissement débute dès que la température dépasse une valeur de consigne. Le condenseur Le condenseur est la série de longs et ns tubes noirs situés en général sur la face arrière du réfrigérateur. Lors d'un cycle, le liquide haute pression en provenance du compresseur traverse le condenseur : étant plus chaud que l'air ambiant, il lui cède de la chaleur et se liquée. Sa forme en serpentin vise à maximiser la surface d'échange de chaleur avec l'extérieur.

Le détendeur

Le détendeur permet de faire brutalement chuter la pression et la température du liquide provenant du condenseur : il est constitué d'un n capillaire. La détente transforme le uide en un mélange liquide-gaz à basse pression et à basse température.

L'évaporateur

L'évaporateur, constitué d'une série de tubes en serpentin, se trouve à l'intérieur du réfrigérateur puisque c'est lui qui assure le refroidissement des aliments. Dans les petits appareils, il est en général situé dans le compartiment du freezer. La forme en serpentin permet d'optimiser la surface d'échange de chaleur. Lorsque le mélange liquide-gaz basse pression entre dans l'évaporateur, il se transforme en gaz (par vaporisation) en absorbant de la chaleur dans le réfrigérateur. L'évaporateur est donc très froid, ce qui provoque la condensation (passage de l'état gazeux à l'état solide) de la vapeur d'eau à l'intérieur du réfrigérateur et entraîne l'apparition de givre. Pour l'éviter, l'idéal est de mettre l'air en mouvement par un système de ventilateurs et de contrôler son humidité : c'est le froid ventilé de certains réfrigérateurs modernes. Enn, le gaz à basse température et basse pression est aspiré par le compresseur pour subir un autre cycle dans les éléments du réfrigérateur.

Enoncé

1) Cycle du uide réfrigérant d'un réfrigérateur à compresseur décrit dans le document.

1.a) Déterminer les diérentes étapes du cycle (qu'on nommera A, B...) et l'état du uide pour chacune de ces étapes.

1.b) Déterminer la nature des transformations intermédiaires entre ces étapes et les signes des transferts énergétiques ( W

_A→B

, Q

_A→B

...) s'ils sont évidents.

1.c) En déduire l'ecacité du réfrigérateur en fonction des diérents transferts thermiques correspondant aux transformations intermédiaires précédentes.

2) Diagrammes. Représenter l'allure du cycle du uide réfrigérant : 2.a) dans le diagramme de Clapeyron ;

2.b) dans le diagramme enthalpique.

(27)

Devoir non surveillé à rendre le lundi 10 septembre 2018 Etude d'un moteur à combustion interne

I) Préliminaires

I.1) On considère un système fermé. Qu'est-ce qu'un système fermé ?

Énoncer le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé subissant une transformation

"nie", c'est à dire non élémentaire, ramenant d'un état 1 à un état 2.

Que traduit le premier principe de la thermodynamique ?

I.2) On considère un système fermé constitué par n moles d'un gaz considéré comme parfait pour lequel la capacité themûque molaire à volume constant C

V m

est constante. Rappeler l'expression de l'équation d'état du système.

Donner l'expression de la diérentielle de l'énergie interne du système en fonction de la température.

I.3) Le système précédent subit une transformation isentropique.

Qu'est ce qu'une transformation isentropique ? La quantité γ =

^C_C^{P m}

V m

étant supposée constante, montrer que la grandeur T.V

^γ−1

reste invariante au cours de cette transformation.

II) Etude du moteur

On considère un moteur à combustion interne à allumage par bougies. On se limite à l'étude de l'un des cylindres du moteur. Le cycle thennodynamique décrit par le uide est le cycle de Beau de Rochas. Les diérentes étapes du cycle sont les suivantes :

M → A : admission du mélange gazeux air - essence à la pression constante P

0

. En A , il y a fermeture de la soupape d'admission et le volume V est alors égal à V

max

. A → B : compression, supposée isentropique, du mélange.

Dans l'état B , le volume est égal à V

min

. B → C : échauement isochore du gaz.

C → D : détente isentropique du gaz.

Dans l'état D , le volume est V

max

. D → A : refroidissement isochore du gaz.

A → M : refoulement des gaz vers l'extérieur, à la pression P

0

. On convient de nommer "taux de compression", le rapport τ =

^V_V^max

min

.

Le système envisagé est le gaz qui décrit le cycle ABCD . La quantité de gaz n (en mol) considérée est celle qui a été admise dans l'état A .

Le transfert thermique de l'étape B → C est dû à la combustion "interne" du mélange gazeux admis.

Les réactifs et les produits de la réaction de combustion sont gazeux.

Dans une approche simpliée, on admettra que la quantité de gaz n'est pas modiée par la combustion interne.

Le gaz est assimilê à un gaz parfait, pour lequel les capacités thermiques molaires CP m et C

V m

sont constantes.

II.1) Soit Q

1

le transfert thermique (ou chaleur échangée) mis en jeu dans l'étape B → C .

Exprimer Q

1

en fonction de n , C

V m

, T

B

et T

C

. Préciser le signe de cette grandeur. Dans quel sens s'eectue le transfert thermique ?

II.2) Soit, de la même manière, Q

2

, le transfert thermique mis en jeu dans l'étape D → A . Exprimer Q

2

en fonction de n , C

V m

, T

A

et T

D

.

II.3) On note W le travail total échangé au cours du cycle ABCD . Exprimer W en fonction de Q

_l

et Q

₂

.

II.4) Dénir le rendement thermodynamique η du moteur.

Exprimer η en fonction de Q

_l

et Q

₂

.

II.5) Exprimer η en fonction de T

_A

, T

_B

, T

_C

et T

_D

, puis en fonction de τ et γ . Calculer η pour les valeurs suivantes : τ = 10 et γ = 1, 33 .

On envisage maintenant un moteur dont la cylindrée est égale à 2, 0L : on raisonnera sur un seul cylindre, possédant la cylindrée C

y

du moteur dénie selon : C

y

= V

max

− V

min

. Le taux de compression τ est égal à 10.

Le mélange air -essence est admis à une température T

A

= 320K et sous la pression P

A

= 100kP a . La valeur de γ est égale à 1,33. Le mélange gazeux admis contient 1, 0mol de carburant pour 60mol de mélange.

II.6) Calculer les valeurs de V

max

et V

min

.

II.7) Calculer la quantité de gaz n

⁰

(en mol ) de carburant consommé par cycle.

On prendra

⁻¹ ⁻¹

.

(28)

II.8) En admettant que le pouvoir calorique du carburant utilisé est égal à 4200kJ.mol

⁻¹