TH2 – Diffusion de particules

TH2 – Diffusion de particules I – Mouvement de particules

I-1) Diffusion et convection

Il existe en fait deux moyens d’effectuer des transports de matière, l’un a son origine au niveau microscopique et l’autre au niveau macroscopique.

La diffusion est un transport de matière d’origine microscopique. Par exemple les molécules d’un parfum vont entrer en collision avec les molécules de l’air, peu à peu elles vont se propager dans toute la pièce et l’odeur va se répandre.

La convection est un transport de matière associé à un mouvement macroscopique. Dans le cas précédent, si l’air lui- même est en mouvement, l’odeur du parfum va se répandre plus vite dans la pièce. Dans un milieu solide il ne peut y avoir transport de matière que par diffusion.

I-2) Flux de particules à travers S

On appelle flux de particules φ

_(𝑡𝑡) à travers une surface S le débit de particules à travers cette surface à l’instant t. Le nombre de particules traversant S pendant la durée dt est donc :

I-3) Flux de particules à travers 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

Le flux de particules n’est pas toujours réparti uniformément sur la surface S. Pour quantifier sa répartition, on définit en tout point de la surface un vecteur densité de courant de particules.

δ _{𝑁𝑁 =} φ

(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑜𝑜𝑜𝑜 φ

_{(𝑡𝑡) =} δ _𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑡𝑡

La surface d'aire 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ est orientée d'après la règle de la main droite. Cette orientation permet de définir un sens de passage positif à travers la surface : les particules sont comptées positivement lorsqu' elles traversent la surface dans le sens de 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ , négativement dans le cas contraire.

Remarque :

On rencontre aussi la notation : δ

_{𝑁𝑁 = 𝚥𝚥 ���⃗ .}

_{𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗} _{𝑑𝑑𝑡𝑡} où l'exposant 2 souligne que le nombre de particules est un infiniment petit du deuxième ordre attendu que dS et dt sont des infiniment petits du premier ordre ; et même δ

𝑁𝑁 = 𝚥𝚥 ���⃗.

𝑑𝑑²𝑑𝑑 ������⃗ 𝑑𝑑𝑡𝑡 si on considère que 𝑑𝑑²𝑑𝑑 ������⃗

est un infiniment petit du deuxième ordre.

I-4) Vecteur densité de courant

Considérons des particules de vitesse 𝑣𝑣⃗ traversant un élément de surface 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ (au point M) faisant un angle θ avec 𝑣𝑣⃗.

Notons n(M,t) le nombre de particules par unité de volume en Le flux du vecteur de densité de courant de particules (ou densité de flux) à travers la surface finie orientée S est égal au flux de particules à travers cette surface :

φ

_(𝑡𝑡)

���

𝑠𝑠⁻¹

= δ _𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑡𝑡 = � 𝑑𝑑 φ

₌

𝑆𝑆

� 𝚥𝚥⃗ �����

(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)

𝑚𝑚⁻²𝑠𝑠⁻¹

. 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

𝑆𝑆

M, à l’instant t tel que : 𝑛𝑛(𝑀𝑀, ����� 𝑡𝑡)

𝑚𝑚³

=

.

Exprimons le nombre de particules dN traversant la surface 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

entre l’instant t et l’instant t +dt : ces dN particules sont contenues dans le cylindre dont les génératrices sont parallèles à 𝑣𝑣⃗ et de longueur 𝑣𝑣⃗𝑑𝑑𝑡𝑡.

Ce cylindre a pour volume :

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑜𝑜𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑣𝑣⃗. 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗𝑑𝑑𝑡𝑡

⇒ _{𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝑛𝑛 𝑣𝑣⃗. 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗𝑑𝑑𝑡𝑡}

⇒ _𝑑𝑑 φ

_{= 𝑛𝑛 𝑣𝑣⃗. 𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗} _{= 𝚥𝚥⃗ . 𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗}

Le vecteur densité de courant de particules au point M à l’instant t est :

𝚥𝚥⃗

(𝑀𝑀, 𝑡𝑡) = 𝑛𝑛(𝑀𝑀, 𝑡𝑡) 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)

II – Bilan de particules

II-1) Principe

II-2) Bilans de particules suivant (Ox)

On considère un milieu dans lequel la diffusion se fait suivant une seule direction qu’on choisit d’appeler Ox. Le vecteur densité de courant est alors :

𝚥𝚥⃗

( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑗𝑗

( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 ����⃗

On cherche à obtenir une équation qui relie la densité particulaire au vecteur densité de courant, nommée équation de conservation.

1°) On effectue un bilan de particules sur le système Σ volume 𝑑𝑑 τ ₌ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 , entre les dates t et t+dt.

- Le nombre de particules comprises dans Σ à la date t est : δ 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)𝑑𝑑 τ = 𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥.

Dans le cas général, pour une grandeur extensive X, on aura pour bilan :

∆ _{𝑋𝑋 = (𝑋𝑋} ���������������

− 𝑋𝑋

)

𝑋𝑋é𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎é

+ (𝑋𝑋 �������������

− 𝑋𝑋

)

𝑋𝑋_{𝑐𝑐𝑐𝑐éé}

⇔ ∆ _{𝑋𝑋 = 𝑋𝑋}

_{+ 𝑋𝑋}

Pour les particules on aura donc :

� ∆ _{𝑁𝑁 = 𝑁𝑁}

_{+ 𝑁𝑁}

𝑑𝑑𝑁𝑁 = δ _𝑁𝑁

₊ δ _𝑁𝑁

- De même à la date t + dt :

δ _{𝑁𝑁(𝑡𝑡 +} 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡)𝑑𝑑 τ _{= 𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 +} 𝑑𝑑𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 .

- La variation du nombre de particules dans Σ entre t et t+dt est alors :

𝑑𝑑𝑁𝑁 = [𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) − 𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)]𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

2°) Σ reçoit des particules en x, comptées positivement car reçues (elles entrent dans le volume Σ ), et en perd en x+dx, comptées négativement car perdues (elles sortent du volume Σ).

δ _𝑁𝑁

_{= 𝑗𝑗}

_{(𝑥𝑥 ,} 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 − 𝑗𝑗

(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

⇔ δ _𝑁𝑁

_{= (𝑗𝑗}

_{(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡) − 𝑗𝑗}

_{(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑡𝑡))𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡}

3°) A l’aide de développements limités, on en déduit :

� δ _𝑁𝑁

_{= �−} ^{𝜕𝜕𝑗𝑗}

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑜𝑜 (𝑑𝑑𝑥𝑥) � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ∼ ₋ ^{𝜕𝜕𝑗𝑗}

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑁𝑁 = � 𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑜𝑜(𝑑𝑑𝑡𝑡) � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 ∼ ^{𝜕𝜕𝑛𝑛}

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4°) Si on tient compte d’un terme de création que l’on écrit : δ _𝑁𝑁

₌ α _(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

Où α _{( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡) =} α

_{( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 ) −} α

_{( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡} ) est le taux de production par unité de temps et de volume.

Alors le bilan 𝑑𝑑𝑁𝑁 = δ _𝑁𝑁

₊ δ _𝑁𝑁

entraîne :

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − 𝜕𝜕𝑗𝑗

(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥 + α

_{( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 ) −} α

_{( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡} )

Le bilan de matière à une dimension suivant (Ox) en absence de termes de création amène à l’équation de conservation :

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − 𝜕𝜕𝑗𝑗

(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥

II-3) Equation de conservation en 3D

A trois dimensions le terme

est remplacé par 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝚥𝚥⃗

d’où :

En présences de termes de création :

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 + div ȷ⃗

(M, t) = α

(M, t) − α

(M, t) II-4) Bilan global de particules

On étudie un volume Σ , immobile et indéformable, de volume V, de surface S. Le nombre de particules qu'il contient varie, car il en reçoit à travers ses frontières et, de plus, α particules sont créées par unité de temps et de volume, en tout point à l'intérieur.

Soit N(t) le nombre de particules dans Σ à la date t : 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = � 𝑛𝑛 (𝑀𝑀, 𝑡𝑡)𝑑𝑑 τ

Et à t+dt :

𝑁𝑁 ( 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = � 𝑛𝑛 ( 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 τ

𝑉𝑉

Equation de conservation en 3D, en absence de termes de création :

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 + div ȷ⃗

(M, t) = 0

Equation valable en cartésiennes, cylindriques et

sphériques.

D’où :

𝑑𝑑𝑁𝑁 = � �𝑛𝑛 ( 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡 ) − 𝑛𝑛 ( 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 ) �𝑑𝑑 τ

𝑣𝑣

⇒ _{𝑑𝑑𝑁𝑁} ∼ _� ^{𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 τ

Par sa frontière le volume d τ reçoit de l’extérieur :

δ _𝑁𝑁

_{= − � 𝚥𝚥 ���⃗.}

_{𝑑𝑑𝑑𝑑} ����������⃗

Le signe moins devant l'intégrale double est indispensable pour

compter positivement les particules qui entrent dans le volume, et négativement celles qui en sortent : 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����������⃗

est orienté vers l'extérieur alors que les particules sont comptées positivement lorsqu'elles se dirigent vers l'intérieur de Σ . Le sens positif se révèle être −𝑑𝑑𝑑𝑑 ����������⃗

.

Si on tient compte d’un terme de création : δ _𝑁𝑁

_{= �} α _𝑑𝑑 τ _{𝑑𝑑𝑡𝑡}

Avec le théorème d'Ostrogradski :

𝑑𝑑𝑁𝑁 = − � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 ( 𝚥𝚥⃗

) 𝑑𝑑 τ _{𝑑𝑑𝑡𝑡}

𝑉𝑉

+ � α _𝑑𝑑 τ _{𝑑𝑑𝑡𝑡}

𝑉𝑉

Le bilan de particules devient donc :

� 𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 τ

𝑉𝑉

= � � α _{− 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 ( 𝚥𝚥⃗}

_{) �𝑑𝑑} τ _{𝑑𝑑𝑡𝑡}

𝑉𝑉

⇔ _{� �} ^{𝜕𝜕𝑛𝑛}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 ( 𝚥𝚥 ���⃗

) − α _{� 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑} τ

𝑉𝑉

= 0

Cette égalité est vraie pour tout volume V, par conséquent :

𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣(𝚥𝚥 ���⃗) =

α

III - Loi de Fick

III-1) Énoncé

On considère un volume dont la densité particulaire ne dépend que de l'abscisse x, de telle manière que la densité particulaire n(x, t) a l'allure de la figure.

On observe expérimentalement que les particules se déplacent des zones de forte concentration vers celles de faible concentration : 𝚥𝚥⃗ est donc orienté dans la direction du vecteur.

De plus, plus le déséquilibre en concentration est important, plus le nombre de particules déplacées est important. Ainsi on modélise 𝚥𝚥 ���⃗

par :

Bilan intégral de particules :

� � 𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣(𝚥𝚥 ���⃗)

− α _{� 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑} τ

𝑉𝑉

= 0

Bilan local de particules :

𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣(𝚥𝚥 ���⃗) =

α _{�����}

₋ α

=0 𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒é𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠𝑛𝑛

Cette loi est phénoménologique, c'est-à-dire qu'elle modélise le phénomène expérimental dont elle est issue. De plus, le signe moins décrit que la diffusion de particules a lieu des zones de forte concentration vers celles de faible concentration.

Type de diffusion Molécules dans les gaz Molécules dans un liquide Atomes dans un solide [𝐷𝐷]/𝑚𝑚²𝑣𝑣⁻¹ 10⁻⁶ à 10⁻⁴ 10⁻¹² à 10⁻⁸ 10⁻³⁰ à 10⁻¹⁶ Type de diffusion Vapeur d’eau dans l’air Sucre dans l’eau Al dans le cuivre

[𝐷𝐷]/𝑚𝑚²𝑣𝑣⁻¹ 22 10⁻⁶ 0,52 10⁻⁹ 1,3 10⁻³⁰

III-2) Limites de validité de la loi de Fick

La loi de Fick est un modèle phénoménologique. Elle ne décrit plus les volumes dans lesquels :

- Si 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗ 𝑛𝑛 est trop important 𝚥𝚥 ���⃗

n’est plus proportionnel à 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑

����������⃗ 𝑛𝑛

- ^Si 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗ 𝑛𝑛 varie trop vite dans le temps, la proportionnalité entre 𝚥𝚥 ���⃗

et 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗ 𝑛𝑛 n’est plus instantanée.

- Cas des milieux anisotropes : D dépend de la direction de l’espace.

Loi de Fick à une dimension suivant (Ox) : 𝚥𝚥

���⃗ = −𝐷𝐷 𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑜𝑜 ����⃗

Loi de Fick à trois dimensions :

𝚥𝚥

���⃗ ⏟

𝑚𝑚⁻²𝑠𝑠⁻¹

= − 𝐷𝐷⏟

𝑚𝑚²𝑠𝑠⁻¹

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑

����������⃗ 𝑛𝑛

�����

𝑚𝑚⁻⁴

D est appelée le coefficient de diffusion.

IV – Equation de diffusion

IV-1) Démonstration

Précédemment on a vu :

�

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − 𝜕𝜕𝑗𝑗

(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝚥𝚥

���⃗(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡) = −𝐷𝐷 𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑜𝑜 ����⃗

⇒ ^{𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 𝜕𝜕

𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥

Et à trois dimensions on obtient :

�

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 = −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 ( 𝚥𝚥 ���⃗

) 𝚥𝚥

���⃗ = −𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗ 𝑛𝑛 𝑜𝑜 ����⃗

⇒ ^{𝜕𝜕𝑛𝑛}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐷𝐷∆𝑛𝑛

IV-2) Solution en ordre de grandeur

On considère une bouteille de parfum ouverte dans une pièce sans aucun courant d'air. L'odeur de parfum se répand à travers la pièce car les molécules de parfum, volatile, diffusent dans l'air. Au bout de combien de temps toute la pièce sent le parfum ?

On répond à cette question en ordre de grandeur. Pour cela on introduit des grandeurs caractéristiques τ et l. Travailler en ordre de grandeur revient à remplacer les dérivées par des taux d'accroissement grossièrement évalués :

�𝑙𝑙 = 𝑙𝑙𝑜𝑜𝑛𝑛𝑔𝑔𝑜𝑜𝑙𝑙𝑜𝑜𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣𝑡𝑡é𝑔𝑔𝑑𝑑𝑣𝑣𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑜𝑜𝑣𝑣𝑑𝑑𝑜𝑜𝑛𝑛 τ ₌ 𝑡𝑡𝑙𝑙𝑚𝑚𝑡𝑡𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣𝑡𝑡é𝑔𝑔𝑑𝑑𝑣𝑣𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑜𝑜𝑣𝑣𝑑𝑑𝑜𝑜𝑛𝑛 L’équation de la diffusion de particules s’écrit :

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)

����� 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝑚𝑚⁻³𝑠𝑠⁻¹

= 𝐷𝐷⏟

𝑚𝑚²𝑠𝑠⁻¹

∆𝑛𝑛 ( 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 )

�������

𝑚𝑚⁻⁵

+ α �������������

_{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡 ) −} α

_{( 𝑀𝑀, 𝑡𝑡 )}

=0 𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒é𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠𝑛𝑛

A l’aide de ces grandeurs :

� 𝐿𝐿

𝑜𝑜𝑔𝑔𝑑𝑑𝑔𝑔𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑛𝑛𝑑𝑑𝑙𝑙𝑜𝑜𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑣𝑣𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝐿𝐿

𝑜𝑜𝑔𝑔𝑑𝑑𝑔𝑔𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑛𝑛𝑑𝑑𝑙𝑙𝑜𝑜𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑙𝑙 ∆𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑣𝑣𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑙𝑙

L'équation de la diffusion devient en ordre de grandeur :

� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 = 1 𝑚𝑚 𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐷𝐷

= 10

𝑚𝑚

. 𝑣𝑣

⇒ τ _{= 1 𝑗𝑗} 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 = 3𝑣𝑣𝑚𝑚 𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐷𝐷

= 5.10

𝑚𝑚

. 𝑣𝑣

⇒ τ _{= 21𝑗𝑗}

Heureusement, la convection accélère le mouvement des molécules. (A vos cuillères…)

IV-3) Nombre de Péclet

En phase gazeuse ou liquide, la diffusion coexiste en général avec la convection. De ces deux modes de transport, quel est le plus efficace ?

On a vu :

� 𝚥𝚥 ������������⃗

= −𝐷𝐷 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗ (𝑛𝑛 ) ⇒ _𝑗𝑗

∼ _𝐷𝐷 ^𝑛𝑛 𝑗𝑗

∼ 𝑛𝑛 𝑈𝑈 𝑜𝑜ù 𝑈𝑈 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑡𝑡𝑙𝑙𝑣𝑣𝑣𝑣𝑙𝑙 𝑑𝑑′é𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑙𝑙

Les deux phénomènes sont comparés avec le nombre de Péclet : 𝑃𝑃

= 𝑗𝑗

𝑗𝑗

= 𝑈𝑈𝑙𝑙 𝐷𝐷

Le nombre de Péclet est l'analogue du nombre de Reynolds, défini en mécanique des fluides.

𝜕𝜕𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 𝜕𝜕

𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥

⇒ _⏞ 𝑛𝑛

𝑑𝑑 = 𝐷𝐷 𝑛𝑛 𝑙𝑙

D’où le lien entre les grandeurs caractéristiques : τ ∼ ^𝑙𝑙

𝐷𝐷 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑙𝑙 ∼ _√𝐷𝐷 τ

IV-4) Régime stationnaire

Or :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝚥𝚥 ���⃗

= 0

⇒ _{⏞ � 𝚥𝚥 ���⃗.}

_{𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗} _{= 0}

𝑠𝑠

Exemple :

Soit un tube de longueur L établissant la communication entre deux réservoirs dans lesquels un soluté est aux concentrations constantes 𝑛𝑛

et 𝑛𝑛

. On cherche la concentration en soluté dans le tube, en faisant les hypothèses suivantes :

- On se place en régime stationnaire tel que :n(M,t)=n(x)

- Absence de sources : α=0 Donc :

∆ _𝑛𝑛 = 0 𝑙𝑙𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝚥𝚥 ���⃗

= 0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝚥𝚥 ���⃗

= 0 ⇒

⎩ ⎨

⎧� 𝚥𝚥 ���⃗.

𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ = 0

𝑠𝑠

𝜕𝜕𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0

Dans le cas d’un régime stationnaire :

= 0

⇒ _{𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝚥𝚥 ���⃗}

_{= 0 𝑙𝑙𝑡𝑡} ∆ _{����� 𝑛𝑛 = 0}

𝐸𝐸𝐸𝐸.𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐿𝐿𝑒𝑒𝑝𝑝𝐿𝐿𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒

En régime stationnaire, le flux de 𝚥𝚥 ���⃗

à travers une surface fermée

est nul. (en absence de sources). On dit que 𝒋𝒋 ���⃗

est à flux

conservatif.

Si on envisage un volume d τ =Sdx alors :

⇒ _{� 𝑗𝑗}

_{(𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑}

𝑆𝑆(𝑥𝑥)

= � 𝑗𝑗

(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑆𝑆(𝑥𝑥)

⇒ φ

= φ

En effet 𝑑𝑑𝑑𝑑 �����������������⃗ ⊥ 𝚥𝚥

���⃗

Ici la formule précédente, prend une forme simpliste : 𝑗𝑗

= 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑡𝑡𝑙𝑙 ⇒ ^{𝜕𝜕𝑛𝑛}

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑡𝑡𝑙𝑙 ⇒ _{𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 𝑜𝑜ù �𝑛𝑛} ^{(0) = 𝑛𝑛}

𝑛𝑛 ( 𝐿𝐿) = 𝑛𝑛

⇒ _� ^{𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) =}

𝑛𝑛

− 𝑛𝑛

𝐿𝐿 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛

𝚥𝚥

���⃗ = 𝐷𝐷 𝑛𝑛

− 𝑛𝑛

𝐿𝐿 𝑜𝑜 ����⃗

⇒ φ _{= 𝐷𝐷𝑑𝑑} ^𝑛𝑛

^{− 𝑛𝑛}

On vérifie sur cet exemple que : 𝐿𝐿

φ _{= 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑡𝑡𝑙𝑙} IV-5) Conditions aux limites

À l’interface entre deux milieux de coefficient de diffusivité D différents, on observe un transfert de particules du milieu 1 au milieu 2 ou inversement. L’interface qui les sépare est une surface mathématique, d’épaisseur nulle, qui ne peut donc pas stocker de particules. Toutes les particules qui quittent le milieu 1 se retrouvent dans le milieu 2. Ainsi, le flux de particules dans le milieu 1 est identique au flux de particules dans le milieu 2 en 𝑥𝑥

.

Continuité du flux à la frontière :

φ _�𝑥𝑥

_{� =} φ _�𝑥𝑥

_� ⇔ _𝑗𝑗

_�𝑥𝑥

_{� = 𝑗𝑗}

_(𝑥𝑥

₎

Si le milieu de diffusion est un domaine fini dont les bords ne laissent pas diffuser les particules, la continuité du flux impose :

φ _�𝑥𝑥

_{� =} φ _�𝑥𝑥

_{� = 0} IV-6) Exemple non stationnaire

Une tache d’encre est déposée sur un papier filtre ; elle s’élargit progressivement sous l’effet de la diffusion.

- Hypothèse : modèle unidimensionnel, la densité en particules colorées s’écrit : n(x,t)

- Conditions initiales : le colorant est disposé initialement en x = 0 : 𝑛𝑛(𝑥𝑥, 0) = 0 𝑣𝑣𝑑𝑑 𝑥𝑥 ≠ 0

- Conditions aux limites : le colorant progresse à vitesse finie : 𝑛𝑛(

∞ _, 𝑡𝑡 ) = 𝑛𝑛(− ∞ _{, 𝑡𝑡 ) = 0}

La solution de l’équation de diffusion avec ces conditions aux limites est :

𝑛𝑛(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴

√𝐷𝐷𝑡𝑡 𝑙𝑙

, 𝐴𝐴 𝑑𝑑é𝑡𝑡𝑙𝑙𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑣𝑣 𝐶𝐶𝐶𝐶

La tâche d’encre s’étale lentement, ... la largeur de la courbe est en gros multipliée par 3 chaque fois que la durée est multipliée par 10.

La largeur de la tache peut être défini à l’instant t par : 𝑛𝑛 � 𝐿𝐿

2 , 𝑡𝑡 � = 𝑛𝑛(0, 𝑡𝑡 )

10 ⇒ _𝑙𝑙

₌ ¹ 10

⇒ ^𝐿𝐿

16𝐷𝐷𝑡𝑡 = ln(10)

⇒ 𝐿𝐿 = 4 �ln(10) 𝐷𝐷𝑡𝑡

Elle croît comme la racine carrée du temps. On retrouve le

résultat vu en ordre de grandeur.

V – Approche microscopique

V-1) Marche au hasard

Un atome A se déplace selon l’axe Ox, que l’on décrit par une chaîne unidimensionnelle infinie de sites d’abscisse 𝑥𝑥

= 𝑛𝑛𝑔𝑔 , où n est un entier relatif. L’atome met une durée τ pour sauter d’un site à l’un de ses deux plus proches voisins avec la même probabilité, égale à

.

Soit 𝑡𝑡(𝑥𝑥

, 𝑡𝑡) la probabilité pour A d’être en 𝑥𝑥

à l’instant t en étant partie de O.

Si à l’instant t+ τ , la particule est en 𝑥𝑥

, c’est qu’à l’instant t, elle était soit en 𝑥𝑥

, soit en 𝑥𝑥

, avec une même probabilité.

⇒ _{𝑡𝑡(𝑥𝑥}

_{, 𝑡𝑡 +} τ _{) =} ^{𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥}

^{, 𝑡𝑡) + 𝑡𝑡(𝑥𝑥}

^{, 𝑡𝑡)}

En partant d’une molécule située à l’instant t = 0 en x = 0, 2

l’évolution de 𝑡𝑡(𝑥𝑥

, 𝑡𝑡) est représentée à l’aide d’un programme

python.

On notera la ressemblance entre ces courbes et celles qui représentaient la densité de particules dans le cas de l’étalement d’une tache d’encre.

V-2) Coefficient de diffusion

On suppose que a est très faible devant les dimensions macroscopiques. On peut alors définir une fonction 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)coïncidant avec 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥

, 𝑡𝑡 ) pour tout n, définie pour tout x.

On peut alors écrire :

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥

, 𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥

, 𝑡𝑡) + 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑔𝑔 + 1 2

𝜕𝜕

𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑔𝑔

+ 𝑜𝑜 ( 𝑔𝑔

) 𝑡𝑡(𝑥𝑥

, 𝑡𝑡) = 𝑡𝑡(𝑥𝑥

, 𝑡𝑡) − 𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑔𝑔 + 1 2

𝜕𝜕

𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑔𝑔

+ 𝑜𝑜(𝑔𝑔

) 𝑡𝑡(𝑥𝑥

, 𝑡𝑡 + τ _{) = 𝑡𝑡(𝑥𝑥}

_{, 𝑡𝑡) +} τ ^{𝜕𝜕𝑡𝑡}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑜𝑜( τ ₎ Or

𝑡𝑡(𝑥𝑥

, 𝑡𝑡 + τ _{) =} ^{𝑡𝑡(𝑥𝑥}

^{, 𝑡𝑡) + 𝑡𝑡(𝑥𝑥}

^{, 𝑡𝑡)} 2

⇒ τ ^{𝜕𝜕𝑡𝑡}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 1 2

𝜕𝜕

𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑔𝑔

⇒ ^{𝜕𝜕𝑡𝑡}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝑔𝑔

2 τ ^𝜕𝜕

2

𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑥

La probabilité de trouver la particule à l’instant t à l’abscisse x

est donc solution d’une équation de la diffusion avec le coefficient de

diffusion :

𝐷𝐷 = 𝑔𝑔

2 τ

Considérons maintenant un grand nombre d’atomes, de densité volumique n(x,t). Les atomes étant indépendants, le mouvement de l’un d’entre eux n’est pas entravé par celui des autres atomes. Dans ce cas la densité particulaire 𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) vérifie la même équation que la probabilité 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 ) :

𝜕𝜕𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝑔𝑔

2 τ ^𝜕𝜕

2

𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑥𝑥

Le modèle peut être étendu à un milieu gazeux.

�

𝑔𝑔 = 𝑙𝑙 𝑜𝑜ù 𝑙𝑙 ∶ 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑔𝑔𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜𝑔𝑔𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑜𝑜𝑚𝑚𝑙𝑙𝑛𝑛 ���������������

𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2 𝑐𝑐ℎ𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑠𝑠

τ ₌ ^𝑙𝑙

𝑜𝑜 𝑜𝑜ù 𝑜𝑜 ∶ 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑡𝑡𝑙𝑙𝑣𝑣𝑣𝑣𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑔𝑔𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟𝑜𝑜𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑜𝑜𝑚𝑚𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑔𝑔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑣𝑣𝑜𝑜𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣

⇒ _{𝐷𝐷 =} ^𝑔𝑔

2 τ ^{= 𝑙𝑙𝑜𝑜} ₂

Exemple :

Dans le cas d’un gaz :

� 𝑙𝑙 = 10

𝑚𝑚

𝑜𝑜 = 500𝑚𝑚 𝑣𝑣

⇒ _{𝐷𝐷 = 2.10}

_𝑚𝑚

_𝑣𝑣

On retrouve le bon ordre de grandeur.

Le coefficient de diffusion est relié aux grandeurs microscopiques par :

𝐷𝐷⏟

𝑚𝑚²𝑠𝑠⁻¹

= 1

⏟ 2

à 1𝐷𝐷

𝑙𝑙⏟

𝑚𝑚

𝑜𝑜⏟

𝑚𝑚𝑠𝑠⁻¹

Dans une diffusion à trois dimensions, par la présence de 4 directions possibles supplémentaires le coefficient ¹₂ devient ¹₆.