Cycles algébriques et topologie des surfaces bielliptiques réelles

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Cycles algébriques et topologie des surfaces bielliptiques réelles

Frédéric Mangolte

To cite this version:

Frédéric Mangolte. Cycles algébriques et topologie des surfaces bielliptiques réelles. Comentarii Math-

ematici Helvetici, 2003, 78, pp.385-393. �hal-00001367�

BIELLIPTIQUES R ´ EELLES

FR ´ED ´ERIC MANGOLTE

R´esum´e. On donne une caract´erisation topologique des surfaces r´eelles totale- ment alg´ebriques parmis les surfaces bielliptiques. Ceci ach`eve la d´etermination des surfaces r´eelles totalement alg´ebriques parmis les surfaces de dimension de Kodaira nulle. On d´ecrit de plus un exemple de surface alg´ebrique complexe qui n’est d´eformation ´equivalente `a aucune surface poss´edant une structure r´eelle totalement alg´ebrique non vide.

Algebraic cycles and Topology of real bi-elliptic surfaces

Abstract.Using topological data, we give a classification of totally algebraic real surfaces among all the bi-elliptic surfaces. Thus this work comletes the determination of totally algebraic real surfaces among all zero-Kodaira dimen- sional surfaces. Furthermore we give an example of a complex algebraic surface which is not deformation equivalent to any surface with nonempty totally al- gebraic structure.

Introduction

Les surfaces bielliptiques

constituent une classe particuli` ere dans la classification des surfaces alg´ ebriques. Sur C , une surface bielliptique peut ˆ etre d´ efinie comme le quotient d’un produit E × F de courbes elliptiques par l’action produit d’un groupe fini G de translations de F dont l’action sur E admet P

pour quotient.

Une surface bielliptique r´ eelle est une surface bielliptique complexe munie d’une involution anti-holomorphe (la structure r´ eelle).

Pour une surface bielliptique X , la fibration d’Albanese α: X = (E × F )/G → Alb(X ) = F/G

est une fibration elliptique localement triviale non triviale. Les fibres de α sont toutes isomorphes ` a E sur C . Lorsque X est r´ eelle, F/G et E sont des courbes elliptiques r´ eelles. La partie r´ eelle d’une courbe elliptique r´ eelle lisse non vide est form´ ee d’un ou deux ovales. Il est imm´ ediat que le nombre de composantes connexes de la partie r´ eelle de X (c’est-` a-dire l’ensemble des points fixes de l’involution) v´ erifie 0 6

X ( R ) 6 4 et que chaque composante connexe est hom´ eomorphe ` a un tore T ou ` a une bouteille de Klein K. On arrive ainsi ` a quinze types topologiques possibles a priori pour X( R ). R´ ecemment, F. Catanese et P. Frediani [CF] ont donn´ e les onze types topologiques effectivement r´ ealisables. Si α admet une section r´ eelle, on montre que seuls sept types topologiques sont r´ ealisables, cf. Th´ eor` eme 2.3.

Dans cet article, on s’int´ eresse ` a un invariant fin de la structure r´ eelle : le groupe H

(X( R ), Z /2) ⊂ H

(X ( R ), Z /2) des cycles alg´ ebriques r´ eels. Ce groupe est en- gendr´ e par les classes fondamentales des courbes alg´ ebriques r´ eelles, cf. e.g. [BH].

2000Mathematics Subject Classification. 14C25 14P25 14J27.

Key words and phrases. Algebraic cycles, Real algebraic surfaces, Hyperelliptic surfaces.

1Les surfaces bielliptiques sont classiquement appel´ees surfaceshyperelliptiques, je renvoie `a [Be] pour une justification de la terminologie utilis´ee ici.

1

2 FR ´ED ´ERIC MANGOLTE

La d´ etermination de ce groupe pour une surface donn´ ee est d´ elicate. Lorsque H

(X( R ), Z /2) = H

(X( R ), Z /2), on dit que la structure r´ eelle de X est tota- lement alg´ ebrique. Avec le r´ esultat suivant, on ach` eve de d´ eterminer les surfaces r´ eelles totalement alg´ ebriques parmis les surfaces de dimension de Kodaira nulle : ab´ eliennes, K3, d’Enriques, bielliptiques.

Th´ eor` eme 0.1. Soit X une surface bielliptique r´ eelle. Son diviseur canonique K

est de torsion, on note d

la torsion de K

.

(1) Si X ( R ) 6= ∅ et H

(X ( R ), Z /2) = H

(X( R ), Z /2), alors X( R ) est hom´ eo- morphe ` a un tore. Si de plus d

est pair, α admet une section r´ eelle.

(2) Supposons que X( R ) soit hom´ eomorphe ` a un tore. Si d

est impair ou si α admet une section r´ eelle, alors H

(X ( R ), Z /2) = H

(X( R ), Z /2).

Ce r´ esultat s’inscrit dans l’´ etude des groupes de cycles alg´ ebriques r´ eels des surfaces de type sp´ ecial. C’est-` a-dire, outre les surfaces de dimension de Kodaira nulle, les surfaces rationnelles, r´ egl´ ees, elliptiques propres.

Pour une surface rationnelle X , on a toujours H

(X( R ), Z /2) = H

(X ( R ), Z /2) [Si, 1989]. Lorsque X est une surface ab´ elienne, l’´ egalit´ e H

= H

implique que X ( R ) est connexe [Hu, 1994] ou [Ma1, 1994]. Si X est une surface K3, le groupe H

(X( R ), Z /2) est d´ etaill´ e dans [Ma2, 1997]. Une surface d’Enriques r´ eelle est totalement alg´ ebrique si et seulement si elle est orientable [MvH, 1998]. Les surfaces birationnellement r´ egl´ ees ont ´ et´ e trait´ ees dans [Ku2, 2000] et dans [Ab, 2000]. Pour les surfaces elliptiques propres r´ eguli` eres, voir [Ma3, 2000]. L’article [BK] est un bon survey sur les cycles alg´ ebriques r´ eels.

Si X est une surface alg´ ebrique appartenant ` a l’une des classes ci-dessus, on peut toujours trouver une surface alg´ ebrique Y d´ eformation ´ equivalente ` a X sur C et une structure r´ eelle sur Y telle que Y ( R ) 6= ∅ et H

(Y ( R ), Z /2) = H

(Y ( R ), Z /2).

Th´ eor` eme 0.2. Il existe une surface bielliptique X telle que pour toute surface alg´ ebrique Y d´ eformation ´ equivalente ` a X sur C et pour toute structure r´ eelle sur Y ayant des points r´ eels, on ait H

(Y ( R ), Z /2) 6= H

(Y ( R ), Z /2).

On utilise le fait que la fibration d’Albanese ne poss` ede de section ni pour X ni pour Y . Voir aussi ` a ce sujet le Corollaire 2.4

Je remercie F. Catanese et P. Frediani qui m’ont communiqu´ e une version pr´ eliminaire de leur preprint.

1. Cycles alg´ ebriques et orientabilit´ e

Une surface alg´ ebrique r´ eelle est un couple (X, σ) o` u X est une surface alg´ ebrique complexe et σ une involution anti-holomorphe sur X . La partie r´ eelle X ( R ) est l’ensemble des points fixes de σ, X ( R ) = X

. Sur une surface alg´ ebrique r´ eelle (X, σ) de partie r´ eelle non vide il existe un morphisme surjectif

ϕ: Pic(X)

→ H

(X( R ), Z /2)

d´ efini essentiellement en associant ` a une courbe r´ eelle la classe fondamentale de sa partie r´ eelle, cf. eg. [Si]. La d´ ecomposition

H

(X( R ), Z /2) = M

V⊂X(R)

H

(V, Z /2)

o` u V d´ ecrit l’ensemble des composantes connexes de X ( R ) est orthogonale pour le degr´ e du cup-produit. Pour un diviseur r´ eel D, on consid´ erera la restriction ϕ(D)

`

a une composante connexe V de X( R ) comme un ´ el´ ement de H

(V, Z /2) ou de

H

(X( R ), Z /2) selon les cas.

On note w

(S) la premi` ere classe de Stiefel-Whitney du fibr´ e tangent d’une surface lisse S. Soit K

un diviseur canonique de X . Nous utiliserons les propri´ et´ es suivantes de ϕ :

∀D ∈ Div(X )

, ∀D

∈ Div(X )

, ϕ(D).ϕ(D

) ≡ D.D

mod 2 ; (1.1a)

w

(X ( R )) = ϕ(K

) . (1.1b)

Dans (1.1a), on consid` ere ` a gauche le degr´ e du cup-produit sur H

(X ( R ), Z /2) et ` a droite l’intersection des diviseurs.

Rappelons qu’une surface lisse S est non orientable si et seulement si l’une des deux conditions ´ equivalentes suivantes est r´ ealis´ ee :

w

(S) 6= 0 ; (1.2a)

il existe une classe u ∈ H

(S, Z /2) qui v´ erifie u

= 1 . (1.2b)

Rappelons aussi que si S est diff´ eomorphe ` a une bouteille de Klein, on a w

(S)

= 0.

L’argument suivant ` a ´ et´ e utilis´ e dans [MvH] pour les surfaces d’Enriques.

Th´ eor` eme 1.3. Soit X une surface alg´ ebrique r´ eelle dont le diviseur canonique K

est de d-torsion, d > 2 entier. Si H

(X ( R ), Z /2) = H

(X ( R ), Z /2), alors X ( R ) est vide ou orientable.

Preuve. Soit X une surface alg´ ebrique r´ eelle telle que H

(X ( R ), Z /2) = H

(X( R ), Z /2).

Soit D un diviseur dont la classe dans le groupe de N´ eron-Severi NS(X ) poss` ede un multiple trivial, alors D.D

= 0 pour tout diviseur D

. Lorsque D est r´ eel, on a ϕ(D) = 0 dans H

(X ( R ), Z /2). En effet, par hypoth` ese, toute classe de cohomologie u ∈ H

(X( R ), Z /2) est l’image par ϕ d’un diviseur r´ eel D

donc ϕ(D).u = 0.

Comme le degr´ e du cup-produit est une forme non d´ eg´ en´ er´ ee sur H

(X ( R ), Z /2), on a ϕ(D) = 0. Maintenant, si X ( R ) 6= ∅, on peut supposer K

r´ eel, cf. [Si, I.4.5]. Comme K

est de torsion dans NS(X ) (voir Table 1) on a ϕ(K

) = 0 d’o` u

w

(X( R )) = 0 et X ( R ) est orientable.

2. Surfaces bielliptiques r´ eelles

Soit X une surface bielliptique, notons A = Alb(X ) la vari´ et´ e d’Albanese de X et α : X → A la fibration d’Albanese. Par d´ efinition, une surface bielliptique admet une deuxi` eme fibration elliptique

π: X → E/G ∼ = P

dont les seules fibres singuli` eres sont des fibres multiples m

L

o` u L

est une courbe elliptique lisse. Les fibres lisses de π sont isomorphes ` a F sur C .

Lorsque X est munie d’une structure r´ eelle σ, la fibration π : X → P

n’est pas r´ eelle en g´ en´ eral. Par contre, par construction, la fibration α : X → A est r´ eelle.

Relativement ` a la fibration π, un diviseur canonique de X est donn´ e par

(2.1) K

= −2F

+ X

t∈T

(m

− 1)L

o` u F

est une fibre lisse de π. Le diviseur K

est de d

-torsion. Les valeurs possibles de d

sont donn´ ees ci-dessous.

Toute surface bielliptique est de la forme (E × F)/G o` u G est l’un des groupes

suivants.

4 FR ´ED ´ERIC MANGOLTE

Surfaces bielliptiques sur C G #T (m

, . . . , m

) d

Z /2 4 (2, 2, 2, 2) 2 Z /2 ⊕ Z /2 4 (2, 2, 2, 2) 2 Z /3 3 (3, 3, 3) 3 Z /3 ⊕ Z /3 3 (3, 3, 3) 3 Z /4 3 (2, 4, 4) 4 Z /4 ⊕ Z /2 3 (2, 4, 4) 4 Z /6 3 (2, 3, 6) 6

Table 1

On renvoie ` a [CF] pour une pr´ esentation agr´ eable de ce r´ esultat classique dˆ u ` a Bagnera et De Franchis [BdF] et [BdF2].

Soit V ⊂ X ( R ) une composante connexe, soit X

une fibre r´ eelle de α rencontrant V . Comme X

est une fibre de α, on a X

= 0 et comme α est lisse, la restriction ϕ(X

)

dans H

(V, Z /2) ⊂ H

(X( R ), Z /2) v´ erifie (ϕ(X

)

)

= 0.

De plus,

(2.2) w

(V ) = ϕ(K

)

= X

ϕ(L

)

o` u la somme est restreinte aux courbes L

r´ eelles et de multiplicit´ e m

paire.

On consid` ere le cas o` u la fibration d’Albanese admet une section r´ eelle.

Th´ eor` eme 2.3. Soit X une surface bielliptique r´ eelle dont la fibration d’Albanese α admet une section r´ eelle. Alors toutes les composantes connexes de X ( R ) sont hom´ eomorphes et si X ( R ) est non orientable, X( R ) et A( R ) sont non connexes.

Une composante connexe de X ( R ) est hom´ eomorphe ` a un tore ou ` a une bouteille de Klein et X ( R ) poss` ede au plus quatre composantes. Comme α poss` ede une section r´ eelle, X( R ) 6= ∅ et on obtient les sept types topologiques aT (1 ≤ a ≤ 4) et aK (2 ≤ a ≤ 4).

Preuve. On montre tout d’abord que deux composantes connexes V et V

de X ( R ) situ´ ees au dessus de la mˆ eme composante connexe B de A( R ) sont hom´ eomorphes.

Soient x ∈ B, la courbe elliptique E est un groupe ab´ elien qui agit sur la fibre r´ eelle X

de α. La partie r´ eelle E( R ) est un sous-groupe qui agit sur X

( R ). De l’existence d’une section r´ eelle, on d´ eduit qu’une translation qui ´ echange les deux composantes connexes de X

( R ) s’´ etend en un hom´ eomorphisme de V

sur V .

Supposons maintenant V non orientable. Soit X

une fibre r´ eelle de α rencon- trant V . De l’existence d’une section de α, on d´ eduit que l’une au moins des fibres multiples de π, disons m

L

, est r´ eelle et v´ erifie L

.X

= 1 d’o` u

ϕ(L

)

.ϕ(X

)

= ϕ(L

).ϕ(X

) = 1 .

D’apr` es (1.2b), on a alors (ϕ(L

)

)

= 1 dans H

(V, Z /2) ∼ = Z /2 ⊕ Z /2 car V est non orientable.

Par ailleurs, on a ϕ(L

)

= 0 car L

= 0 comme courbe r´ eduite d’une fibre de π. Il existe donc n´ ecessairement une composante connexe V

de X ( R ) telle que ϕ(L

) = ϕ(L

)

+ ϕ(L

)

et (ϕ(L

)

)

= 1. La composante V

est alors non orientable. De plus, comme L

.X

= 1 pour toute fibre X

de α, L

r´ ealise une section de α. Les ensembles α(V ) et α(V

) sont donc disjoints dans A( R ).

Corollaire 2.4. Il existe des surfaces bielliptiques r´ eelles dont la fibration d’Alba- nese α admet une section complexe mais pas de section r´ eelle.

Preuve. Il suffit de consid´ erer le cas d’une surface bielliptique r´ eelle de groupe

G = Z /4 avec X( R ) hom´ eomorphe ` a une bouteille de Klein. Une telle surface

existe, cf. [CF, Sec. 8, Table 3]. La fibration d’Albanese d’une surface de type Z /4

admet une section complexe. Mais d’apr` es le Th´ eor` eme 2.3, si X ( R ) est connexe et non orientable, α ne peut admettre de section r´ eelle.

Le lemme suivant est un cas particulier de [Ku1, Th. 2.1].

Lemme 2.5. Soit X une surface alg´ ebrique r´ eelle telle que H

(X( R ), Z /2) soit

´

egal ` a H

(X ( R ), Z /2). Alors ϕ(Pic

(X )

) = {0} dans H

(X( R ), Z /2).

Th´ eor` eme 2.6. Soit X une surface bielliptique r´ eelle dont la partie r´ eelle satisfait l’´ egalit´ e H

(X ( R ), Z /2) = H

(X ( R ), Z /2), alors X( R ) est vide ou hom´ eomorphe

`

a un tore.

Preuve. Soit X une surface bielliptique r´ eelle. Dans ce cas le groupe de N´ eron-Severi NS(X) est engendr´ e par une fibre X

de α et par les courbes L

r´ eduites des fibres multiples de π. Soient m

L

et m

L

deux fibres multiples r´ eelles de π, notons d le pgcd de m

et m

. Supposons que d > 2, le diviseur D = (m

/d)L

− (m

/d)L

est de d-torsion dans NS(X). D’apr` es la preuve du Th´ eor` eme 1.3, ϕ(D) = 0. Quitte

`

a permuter t et t

, on peut supposer que m

/d est impair. On a alors ϕ((m

/d)L

) = ϕ(L

) .

On a donc une alternative : ϕ(L

) = ϕ(L

) ou ϕ(L

) = 0. ` A l’aide de la Table 1, on d´ eduit que l’image par ϕ du sous-groupe de NS(X ) engendr´ e par les courbes L

r´ eelles est de dimension ≤ 1. Par ailleurs, d’apr` es le Lemme 2.5, ϕ est bien d´ efini sur NS(X)

.

L’application

ϕ : NS(X )

→ H

(X ( R ), Z /2)

est donc surjective et dim H

(X ( R ), Z /2) ≤ 2. Par hypoth` ese, dim H

(X ( R ), Z /2) v´ erifie la mˆ eme in´ egalit´ e et X ( R ) est connexe. Par ailleurs, le diviseur canonique K

d’une surface bielliptique est de d

-torsion avec d

∈ {2, 3, 4, 6}. D’apr` es le Th´ eor` eme 1.3, si la partie r´ eelle X( R ) est non vide, elle est orientable, et finalement,

hom´ eomorphe ` a un tore.

3. Sections de la fibration d’Albanese

Consid´ erons une surface bielliptique r´ eelle X . Le groupe de N´ eron-Severi NS(X ) est engendr´ e par une fibre X

de α et par les courbes L

. La fibration α admet donc une section r´ eelle si et seulement si α admet une fibre r´ eelle et si l’une des courbes L

est r´ eelle et v´ erifie L

.X

= 1. La premi` ere condition est ´ equivalente ` a A( R ) 6= ∅.

Proposition 3.1. Soit X une surface bielliptique r´ eelle dont la partie r´ eelle X ( R ) est hom´ eomorphe ` a un tore. Si la torsion de K

est impaire ou si la fibration d’Albanese α admet une section r´ eelle, on a H

(X ( R ), Z /2) = H

(X ( R ), Z /2).

Preuve. Soit X

une fibre r´ eelle de π, s’il existe une courbe r´ eelle L telle que l’intersection L.X

soit impaire, on a ϕ(X

).ϕ(L) = 1. Ceci impose que les classes ϕ(X

) et ϕ(L) sont non nulles et engendrent H

(X ( R ), Z /2) = Z /2 ⊕ Z /2.

Si K

est de torsion impaire, π admet trois fibres triples. L’ensemble form´ e par ces trois fibres est globalement fix´ e par la structure r´ eelle, l’une d’entre elles est donc r´ eelle. En la notant 3L, on a L.X

= 1.

Si α admet une section r´ eelle, on note L l’image de cette section. La courbe L

est alors r´ eelle et L.X

= 1.

Th´ eor` eme 3.2. Soit X une surface bielliptique r´ eelle telle que K

soit de tor-

sion paire. Si X( R ) 6= ∅ et H

(X ( R ), Z /2) = H

(X( R ), Z /2), alors α admet une

section r´ eelle.

6 FR ´ED ´ERIC MANGOLTE

Preuve. D’apr` es le Th´ eor` eme 2.6, X ( R ) est hom´ eomorphe ` a un tore. Le groupe H

(X( R ), Z /2) est engendr´ e par ϕ(X

) et ϕ(L) o` u X

est une fibre r´ eelle de α et mL une fibre multiple r´ eelle de π. Comme X ( R ) est un tore, on a n´ ecessairement ϕ(X

).ϕ(L) = 1 i.e. X

.L ≡ 1 mod 2.

Consid´ erons une fibre lisse F

de π et notons k l’ordre du groupe G. On a F

.X

= k et L

.X

= m

/k pour toute fibre multiple m

L

de π. D’apr` es la Table 1, si G = Z /2 ⊕ Z /2 ou G = Z /4 ⊕ Z /2, L

.X

est pair pour toute courbe L

. Dans ce cas α n’admet mˆ eme pas de section complexe et X ne peut v´ erifier H

(X( R ), Z /2) = H

(X ( R ), Z /2).

Si G = Z /2 ou G = Z /4, α admet des sections complexes mais pas de section r´ eelle a priori (cf. Corollaire 2.4). Toujours d’apr` es la Table 1, L

.X

vaut 1 ou 2, donc L.X

= 1 et L est une section r´ eelle de α.

Si G = Z /6, L

.X

= 1, 2 ou 3 mais comme les multiplicit´ es sont distinctes, les trois fibres multiples sont n´ ecessairement r´ eelles et on peut supposer que mL est la fibre de multiplicit´ e 6 de π. C’est donc l’image d’une section r´ eelle de α.

Corollaire 3.3. Soit G = Z /2 ⊕ Z /2 ou G = Z /4 ⊕ Z /2 et soit X une surface bielliptique de groupe G. Toute structure r´ eelle sur X ayant des points r´ eels v´ erifie

H

(X ( R ), Z /2) 6= H

(X( R ), Z /2) .

En effet, K

est de torsion paire mais α n’admet pas de section complexe.

4. Conclusion

Preuve du Th´ eor` eme 0.1. Le th´ eor` eme en question est le regroupement des r´ esultats

2.6, 3.2 et 3.1.

Preuve du Th´ eor` eme 0.2. Si X est une surface bielliptique de groupe G et Y une surface alg´ ebrique d´ eformation ´ equivalente ` a X sur C , alors Y est une surface bielliptique de groupe G. R´ eciproquement, deux surfaces bielliptiques de mˆ eme groupe sont d´ eformation ´ equivalentes, cf. [FM]. D’apr` es le corollaire pr´ ec´ edent, il existe donc exactement deux familles compl` etes de surfaces bielliptiques dont chaque membre v´ erifie l’´ enonc´ e du Th´ eor` eme 0.2 Au vu des r´ esultats connus pr´ ec´ edemment, [Hu], [Ma2] et [MvH], ce sont les deux seules familles de surfaces de dimension de Kodaira nulle ayant cette propri´ et´ e.

R´ ef´ erences

[Ab] M. A. Ab´anades, Algebraic homology for hyperelliptic and real projective ruled surfaces, Canad. Math. Bull.44, no. 3, 257–265 (2001)

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[BdF2] G. Bagnera, M. de Franchis, Le superficie algebriche le quali ammettono una rappresenta- zione parametrica mediante funzioni iperellittiche di due argomenti,Mem. Acc. dei XL15, 251-343 (1908).

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[Hu] J. Huisman,Cycles on real abelian varieties.Preprint (1994)

[Ku1] W. Kucharz, Algebraic equivalence and homology classes of real algebraic cycles, Math.

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[Ma1] F. Mangolte, Cycles alg´ebriques r´eels sur les surfaces,Th`ese de doctorat, Universit´e Mont- pellier II (1994)

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Fr´ed´eric Mangolte, Laboratoire de Math´ematiques, Universit´e de Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Cedex, France, T´el : (33) 4 79 75 86 60, Fax : (33) 4 79 75 81 42

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