Diffusion multiple résonante des ondes ultrasonores dans des milieux désordonnés

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Diffusion multiple résonante des ondes ultrasonores dans des milieux désordonnés

Benoit Tallon

To cite this version:

Benoit Tallon. Diffusion multiple résonante des ondes ultrasonores dans des milieux désordonnés.

Autre [cond-mat.other]. Université de Bordeaux, 2017. Français. �NNT : 2017BORD0784�. �tel-

01671808�

TH` ESE

pr´ esent´ ee ` a

L’UNIVERSIT´ E DE BORDEAUX

ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES PHYSIQUES ET DE L’ING ´ ´ ENIEUR

par Benoˆ ıt TALLON POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SP ´ ECIALIT ´ E : M´ ecanique ...

Diffusion multiple r´ esonante des ondes ultrasonores dans des milieux d´ esordonn´ es

...

Sous la direction de Christophe ARIST ´ EGUI et Thomas BRUNET Apr` es avis de :

M. A. DERODE, Professeur ` a l’Universit´ e Paris VII Rapporteurs M. V. TOURNAT, Directeur de recherche CNRS, LAUM

Soutenue le 30/11/2017 devant la commission d’examen form´ ee de :

M. C. ARIST ´ EGUI, Professeur ` a l’Universit´ e de Bordeaux Directeur de th` ese M. T. BRUNET, Maˆıtre de conf´ erences, Bordeaux INP Co-directeur M. A. DERODE, Professeur ` a l’Universit´ e Paris VII Rapporteur M. J. H. PAGE, Professeur ´ em´ erite, University of Manitoba Invit´ e

M. P. ROUX, Directeur de recherche CNRS, ISTerre Examinateur

M. V. TOURNAT, Directeur de recherche CNRS, LAUM Rapporteur

M. K. VYNCK, Charg´ e de recherche CNRS, LP2N Examinateur

- 2017 -

Remerciements

Ces travaux de th` ese ont ´ et´ e r´ ealis´ es dans le d´ epartement acoustique physique de l’Institut de M´ ecanique et d’Ing´ enierie de Bordeaux (I2M). Je remercie les directeurs successifs ´ Eric ARQUIS et Jean-Christophe BATSALE de m’avoir accueilli dans le laboratoire. La collaboration avec John H. PAGE de l’universit´ e du Manitoba (Canada) a pu se d´ evelopper grˆ ace au soutien financier du LabEx AMADEus. Je l’en remercie.

Mes remerciements vont ´ egalement ` a Arnaud DERODE et Vincent TOURNAT pour avoir examin´ e ce manuscrit, et ` a Philippe ROUX et Kevin VYNCK pour avoir particip´ e au jury. J’ai

´

et´ e sensible ` a l’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a mes travaux.

Je tiens ` a exprimer ma profonde reconnaissance envers Christophe ARIST ´ EGUI et Thomas BRUNET pour leur soutien ind´ efectible et pour avoir tout mis en œuvre pour que cette th` ese se d´ eroule dans mes meilleures conditions. Merci ` a Christophe de m’avoir donn´ e le goˆ ut de la rigueur et de m’avoir guid´ e depuis de nombreuses ann´ ees, et merci ` a Thomas de son investissement remarquable dans cette th` ese et de ses pr´ ecieux conseils sur tous les aspects du m´ etier de la recherche. Merci ´ egalement ` a Olivier PONCELET pour sa pr´ esence durant ces trois ans et son aide sur de nombreux points.

Je souhaite ´ egalement remercier John H. PAGE d’avoir jou´ e un rˆ ole tr` es important dans ces travaux par son aide consid´ erable et sa grande disponibilit´ e. Je suis tr` es honor´ e d’avoir pu travailler avec John, dont l’int´ egrit´ e et la bienveillance sont exceptionnelles. Merci ´ egalement ` a tous les membres de l’Ultrasonics Research Laboratory pour leur accueil chaleureux lors de mes visites ` a Winnipeg.

J’adresse ´ egalement mes remerciements ` a l’ensemble de mes coll` egues de l’I2M. Merci au personnel technique et administratif, ainsi qu’aux chercheurs permanents et non-permanents du bˆ atiment A4 pour leur aide et pour les nombreuses discussions ayant r´ eguli` erement apport´ e un regard neuf et utile sur mes travaux.

Enfin, je finis par une pens´ ee ` a mes parents et ` a mes amis qui m’ont soutenu durant ces trois

ann´ ees.

R´ esum´ e :

La compr´ ehension de ph´ enom` enes physiques complexes tels que la diffusion multiple r´ e- sonante des ondes n´ ecessite l’´ etude de syst` emes mod` eles parfaitement contrˆ ol´ es. Lors de ces travaux de th` ese, nous proposons l’utilisation d’´ emulsions r´ esonantes pour l’´ etude du transport des ondes ultrasonores en milieux d´ esordonn´ es fortement diffusants. Les constituants de ces

´

emulsions (gouttelettes d’huile fluor´ ee dispers´ ees dans un gel aqueux) ont ´ et´ e choisis pour leur caract` ere tr` es faiblement absorbant et leur propension ` a engendrer de tr` es fortes r´ esonances de type-Mie. De plus, la nature fluide de ces syst` emes autorise l’exploration in situ du champ acoustique dans le milieu.

Dans un premier temps, nous nous attachons ` a la description th´ eorique de la propagation des ondes acoustiques dans des ´ emulsions r´ esonantes. Les modes de r´ esonance d’une goutte isol´ ee sont tout d’abord mod´ elis´ es avant d’´ etudier la diffusion (simple et multiple) d’une onde acoustique par une population d´ esordonn´ ee d’objets identiques. Les techniques micro-fluidiques employ´ ees pour la synth` ese de ces syst` emes mod` eles sont ensuite d´ ecrites, de mˆ eme que les dispositifs acoustiques mis en place pour la caract´ erisation des ondes coh´ erente et incoh´ erente.

Pour des ´ emulsions dilu´ ees, les r´ esultats de ces caract´ erisations sont analys´ es dans le cadre d’hypoth` eses de diffusion ind´ ependante, adapt´ ees aux descriptions de la propagation balistique de l’onde coh´ erente et du transport diffusif de l’intensit´ e incoh´ erente moyenne. L’estimation exp´ erimentale de la vitesse de l’´ energie des ondes multiplement diffus´ ees permet d’´ etablir un lien original entre de pr´ ec´ edents travaux men´ es en optique et en acoustique.

Enfin, lorsque la concentration en diffuseurs augmente, les approximations ´ evoqu´ ees pr´ ec´ e- demment sont mises en d´ efaut. Nous observons alors des ph´ enom` enes physiques plus complexes li´ es ` a l’interaction entre diffuseurs, comme le transport « sub-diffusif »de l’intensit´ e moyenne laissant entrevoir des perspectives s´ eduisantes quant ` a l’´ etude du ph´ enom` ene de localisation d’Anderson.

Mots-cl´ es : ondes ultrasonores, diffusion multiple r´ esonante, onde coh´ erente, trans-

port diffusif des ondes acoustiques, localisation des ondes acoustiques.

Abstract :

Complex physical phenomena study, such as resonant multiple scattering of waves, requires well calibrated model systems. During this study, we suggest the use of resonant emulsions to study ultrasonic waves transport in strongly resonant disordered media. Emulsions components (fluorinated oil droplets in a water-based gel) were selected for both their weak absorption and propensity to generate strong Mie-type resonances. Fluid kind of those systems allows furthermore in situ acoustic field probing.

First, we theoretically describe acoustic waves propagation in resonant emulsions. Droplets resonance modes are calculated just as multiple scattering of an acoustic wave by a disordered population of identical objects. Then, micro-fluidic technics used to make such model systems are described as well as acoustic devices designed for both coherent and incoherent waves cha- racterization.

For diluted emulsions, our experimental observations of both the ballistic propagation of coherent wave and diffusive transport of averaged intensity are well described by independent scattering approximations. Energy velocity estimation of multiple scattered waves allows then an original link between pioneering works in optics and acoustics.

Finally, when scatterers concentration increases, previous approximations fail. We thus ob- serve further complex phenomena, which arise from scatterers interactions, such as “sub-diffusive”

transport of averaged intensity suggesting attractive prospects for Anderson localization study.

Keywords : ultrasonic waves, resonant multiple scattering, coherent wave, diffusive

transport of acoustic waves, localization of acoustic waves.

Table des mati` eres

Table des mati` eres v

Table des figures vi

Introduction g´ en´ erale 1

Bibliographie . . . . 3

Chapitre 1 Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants 5 1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e . . . . 6

1.1.1 Formalisme des champs acoustiques impliqu´ es . . . . 7

1.1.2 Analyse des champs de pression . . . . 11

1.2 Diffusion d’une onde acoustique par une population d’objets . . . . 13

1.2.1 Formalisation de la propagation de l’onde coh´ erente . . . . 13

1.2.2 Formalisation du transport des ondes incoh´ erentes . . . . 16

1.3 Exemples de syst` emes mod` eles r´ esonants . . . . 19

1.3.1 Forˆ ets de tiges d’acier . . . . 19

1.3.2 Suspensions de billes de verre . . . . 20

1.3.3 Millieux bulleux . . . . 22

1.3.4 Emulsions de gouttes d’huile fluor´ ´ ee . . . . 23

1.4 Conclusion . . . . 23

Bibliographie . . . . 25

Chapitre 2 M´ ethodes et dispositifs exp´ erimentaux 29 2.1 Fabrication d’´ emulsions r´ esonantes monodisperses . . . . 30

2.1.1 Propri´ et´ es acoustiques des constituants des ´ emulsions . . . . 31

2.1.2 Dispositif microfluidique pour la synth` ese d’´ emulsions . . . . 34

2.1.3 Analyse de la structure des ´ emulsions . . . . 35

2.2 Caract´ erisation des propri´ et´ es de l’onde coh´ erente . . . . 37

2.2.1 Choix du dispositif exp´ erimental . . . . 38

2.2.2 Longueurs caract´ eristiques . . . . 43

2.3 Caract´ erisation des propri´ et´ es de l’onde incoh´ erente . . . . 45

2.3.1 Choix du dispositif exp´ erimental . . . . 45

2.3.2 D´ elimitation des diff´ erents r´ egimes de transport . . . . 51

2.4 Conclusion . . . . 52

Bibliographie . . . . 54

Chapitre 3 Diffusion multiple dans des ´ emulsions r´ esonantes dilu´ ees 57 3.1 Caract´ erisation de l’onde coh´ erente . . . . 58

3.1.1 Formalisation du nombre d’onde effectif . . . . 59

3.1.2 Mesure du nombre d’onde effectif . . . . 61

3.2 Caract´ erisation du champ incoh´ erent . . . . 65

3.2.1 Transport de l’intensit´ e moyenne : l’approximation de diffusion . . . . 66

3.2.2 Mesure du coefficient de diffusion et du temps caract´ eristique d’absorption 71 3.3 Confrontation des mesures sur les champs coh´ erent et incoh´ erent . . . . 75

3.3.1 Mod´ elisation de la vitesse de transport . . . . 76

3.3.2 Estimation exp´ erimentale de la vitesse de transport . . . . 80

3.4 Conclusion . . . . 81

A.3 Annexes . . . . 82

A.3.1 Calcul de la solution de l’´ equation de diffusion pour un milieu born´ e . . . 82

A.3.2 Calcul du coefficient de r´ eflexion moyen . . . . 84

A.3.3 Transport diffusif des ultrasons dans un milieu d’extensions lat´ erales finies 85 A.3.4 Expression de la vitesse de transport ` a l’aide des coefficients A

. . . . . 88

Bibliographie . . . . 90

Chapitre 4 Diffusion multiple dans des ´ emulsions r´ esonantes concentr´ ees 93 4.1 Propri´ et´ es effectives des ´ emulsions concentr´ ees . . . . 94

4.1.1 M´ ethodes d’homog´ en´ eisation pour les fortes concentrations . . . . 95

4.1.2 Mesure du nombre d’onde effectif pour des ´ emulsions concentr´ ees . . . . . 98

4.2 Transport de l’intensit´ e moyenne dans des ´ emulsions concentr´ ees . . . . 102

4.2.1 Diffusion anormale de l’intensit´ e moyenne . . . . 103

4.2.2 Observation exp´ erimentale d’un r´ egime de sub-diffusion . . . . 105

4.2.3 Mod´ elisation de la renormalisation de la diffusion . . . . 111

4.3 Conclusion . . . . 113

4.4 Perspectives . . . . 114

4.4.1 Diffusion multiple dans des ´ emulsions ordonn´ ees . . . . 114

4.4.2 Diffusion multiple par des suspensions de billes poreuses . . . . 118

A.4 Annexes . . . . 119

A.4.1 Calcul du nombre d’onde effectif dans le cadre du mod` ele de Linton & Martin . . . . 119

A.4.2 Calcul des amplitudes modales dans le cadre de la GCPA . . . . 120

Bibliographie . . . . 122

Conclusion g´ en´ erale 125

Bibliographie . . . . 127

Table des figures

1.1 D´ efinition du syst` eme de coordonn´ ees sph´ eriques . . . . 7

1.2 Module |A

| et phase α

des amplitudes modales A

. . . . 8

1.3 Amplitude de diffusion |f (θ)| . . . . 9

1.4 Section efficace de diffusion d’une goutte d’huile FC40 immerg´ ee dans de l’eau . 10 1.5 Champs de pression impliqu´ es dans la diffusion par un goutte d’huile FC40 . . . 12

2.1 Dispositif exp´ erimental de caract´ erisation du gel aqueux et de l’huile fluor´ ee . . . 31

2.2 Signal incident pour la caract´ erisation des constituants . . . . 32

2.3 Absorption et c´ el´ erit´ e du son du gel aqueux . . . . 33

2.4 Absorption et c´ el´ erit´ e du son de l’huile FC40 . . . . 33

2.5 Dispositif de synth` ese des ´ emulsions r´ esonantes . . . . 34

2.6 Photographies des ´ emulsions quasi-p´ eriodique et al´ eatoire . . . . 35

2.7 Distribution en taille des gouttes d’huile de l’´ echantillon « test » . . . . 36

2.8 Deux cas limites de synth` ese d’´ emulsions . . . . 37

2.9 Dispositif de caract´ erisation de l’onde coh´ erente. . . . 39

2.10 Estimation exp´ erimentale de l’onde coh´ erente . . . . 40

2.11 Performance de l’estimation de l’onde coh´ erente . . . . 41

2.12 Effets du filtrage num´ erique sur deux impulsions coh´ erentes . . . . 42

2.13 Corrections des effets de diffraction en champ proche . . . . 44

2.14 Dispositif exp´ erimental utilis´ e dans le groupe de J. H. Page . . . . 46

2.15 Dispositif exp´ erimental de caract´ erisation du champ incoh´ erent . . . . 47

2.16 D´ etails du diaphragme r´ efl´ echissant utilis´ e. . . . . 48

2.17 Cartographies des intensit´ es r´ ealis´ ees avec ou sans diaphragme . . . . 48

2.18 Impulsion gaussienne incidente pour la caract´ erisation du champ diffus´ e . . . . . 49

2.19 Signal transmis pour une configuration du d´ esordre et intensit´ e moyenn´ ee . . . . 50

2.20 Crit` ere balistique pour des signaux mesur´ es dans deux ´ emulsions diff´ erentes . . . 51

3.1 Pr´ edictions de l’att´ enuation et des c´ el´ erit´ es de l’onde coh´ erente . . . . 60

3.2 Pr´ edictions de l’att´ enuation et des c´ el´ erit´ es de l’onde coh´ erente dans des ´ emulsions polydisperses . . . . 62

3.3 Caract´ erisation du nombre d’onde k dans une ´ emulsion de fraction volumique

φ = 5 % . . . . 63

3.4 Caract´ erisation du nombre d’onde k dans une ´ emulsion de fraction volumique

φ = 7 % . . . . 64

3.5 Caract´ erisation du nombre d’onde k dans une ´ emulsion de fraction volumique φ = 10 % . . . . 65

3.6 Profils temporels de l’intensit´ e moyenne mesur´ es dans une ´ emulsion dilu´ ee . . . . 69

3.7 Profil temporel du flux rayonn´ e ` a travers une surface ` a l’int´ erieur de l’´ echantillon 70 3.8 Effets de l’´ epaisseur L sur le rapport J (ρ, z, t)/U (ρ, z, t) . . . . 71

3.9 Cartographie du rapport R(ρ, z, t) pour l’´ emulsion dilu´ ee φ = 5 % . . . . 72

3.10 Extension lat´ erale w

(t) du halo diffusif pour l’´ emulsion de fraction volumique φ = 5 % . . . . 73

3.11 Coefficient de diffusion mesur´ e dans l’´ emulsion de fraction volumique φ = 5 % . . 74

3.12 Amplitude et temps caract´ eristique d’absorption, des courbes de temps de vol . . 75

3.13 Param` etres ∆

, ∆

et ∆

calcul´ es pour φ = 5 % . . . . 78

3.14 Mesure de la c´ el´ erit´ e de groupe c

et estimation de la vitesse de transport v

pour l’´ emulsion dilu´ ee . . . . 80

3.15 R´ esultats de mesures acoustique et optique de la c´ el´ erit´ e de groupe c

et de la vitesse de transport v

. . . . 81

3.16 Extension lat´ erale w

(t) du halo diffusif mesur´ ee dans un milieu born´ e . . . . 85

3.17 Discr´ etisation de l’espace en coordonn´ ees cart´ esiennes et cylindriques . . . . 86

3.18 G´ eom´ etrie utilis´ ee pour le calcul de la diffusion de la densit´ e d’´ energie . . . . 87

3.19 Courbes de temps de vol et extension lat´ erale w

(t) dans un milieu fini . . . . 88

4.1 Comparaison des mod` eles de Llyod et Berry, Waterman et Truell et de l’ISA . . 96

4.2 G´ eom´ etrie utilis´ ee pour le calcul de la fonction de diffusion dans le cadre de la GCPA . . . . 97

4.3 Fonction spectrale pour une ´ emulsion de fraction volumique φ = 10 % . . . . 98

4.4 Att´ enuation et c´ el´ erit´ e de phase calcul´ ees avec l’ISA et la GCPA . . . . 99

4.5 Estimation de l’onde coh´ erente dans une ´ emulsion concentr´ ee . . . . 100

4.6 Caract´ erisation du nombre d’onde k dans une ´ emulsion de fraction volumique φ = 25% . . . . 101

4.7 Fonction spectrale pour une ´ emulsion de fraction volumique φ = 25% . . . . 102

4.8 Effets de l’absorption sur le calcul de la fonction spectrale . . . . 103

4.9 Mesures (r´ ealis´ ees par le groupe de J. H. Page) de la saturation du halo diffusif . 105 4.10 Mesure du rapport R(ρ, t) dans une ´ emulsion de fraction volumique φ = 30 % . . 106

4.11 Saturation anormale de l’extension lat´ erale w

(t) du halo diffusif . . . . 107

4.12 Mesure de l’extension lat´ erale w

(t) dans un ´ echantillon et de fraction volumique φ = 30 % . . . . 108

4.13 Mesure de l’extension lat´ erale w

(t) dans un ´ echantillon et de fraction volumique φ = 40 % . . . . 108

4.14 Coefficient de diffusion et temps caract´ eristique d’absorption en fonction de la

fraction volumique φ . . . . 109

4.15 Mesure de w

(t) dans un ´ echantillon et de fraction volumique φ = 25 % . . . . . 110 4.16 Ajustement de la SCT avec les mesures r´ ealis´ ees dans l’´ emulsion φ = 30 % . . . . 112 4.17 Injection test d’un plan ordonn´ e de gouttes . . . . 115 4.18 Extensions lat´ erales w

(t) mesur´ ees dans des ´ emulsions ordonn´ ees . . . . 116 4.19 Caract´ erisation de l’anisotropie de l’´ emulsion ordonn´ ee . . . . 116 4.20 Coefficient de diffusion et temps caract´ eristique d’absorption pour les ´ emulsions

ordonn´ ees . . . . 117

4.21 Codas caract´ eristiques mesur´ ees ` a travers deux syst` emes mod` eles diff´ erents . . . 119

Introduction g´ en´ erale

Qu’il s’agisse de recherches appliqu´ ees ou fondamentales, le transport des ondes en milieux h´ et´ erog` enes est un vaste domaine d’´ etude ayant b´ en´ efici´ e d’un regain d’int´ erˆ et au cours des vingt derni` eres ann´ ees [1], en particulier sous l’impulsion de domaines ´ emergents tels que les m´ etamat´ eriaux [2]. Dans un milieu homog` ene id´ eal (sans perte et non dispersif), une onde se propage de mani` ere balistique et sa c´ el´ erit´ e est par exemple facilement mesurable par temps de vol si la distance parcourue par l’onde est parfaitement connue. En revanche, la d´ etermination de la c´ el´ erit´ e (de phase ? de groupe ?) d’un signal se propageant au sein d’un milieu h´ et´ erog` ene fortement diffusant et dispersif est un probl` eme classique pos´ e depuis fort longtemps [3] et en partie r´ esolu [4]. En effet, si ce signal se propage sur quelques longueurs d’onde, tout en r´ esistant au d´ esordre inh´ erent au milieu de propagation (onde coh´ erente), la forte interaction qu’il subit avec les nombreux diffuseurs rencontr´ es sur son chemin lui fait perdre peu ` a peu sa direction initiale et son ´ energie au profit d’ondes incoh´ erentes, dites multiplement diffus´ ees. Dans ce processus de diffusion, la vitesse de transport de celles-ci est alors ` a distinguer des c´ el´ erit´ es de phase et de groupe de l’onde coh´ erente ´ evoqu´ ees pr´ ec´ edemment.

Le probl` eme de la diffusion (´ elastique) des ondes par des particules sph´ eriques a ´ et´ e initia- lement trait´ e en ´ electromagn´ etisme par G. Mie en 1908 [5]. Dans le cas d’une population de particules de taille donn´ ee, deux grands r´ egimes de diffusion sont ` a distinguer selon la longueur d’onde de l’onde incidente. Lorsque cette derni` ere est bien plus grande que la taille caract´ eris- tique des h´ et´ erog´ en´ eit´ es, le transport de ces ondes est dict´ e par la diffusion Rayleigh [1]. Pour ce r´ egime, en consid´ erant une population de diffuseurs ponctuels, l’approximation de Rayleigh conduit ` a une expression simplifi´ ee de la puissance diffus´ ee qui est inversement proportionnelle

`

a la longueur d’onde ` a la puissance 4. Ce mod` ele de diffusion simplifi´ e permet notamment de

mod´ eliser la diffusion des ondes lumineuses par les (petites) mol´ ecules de l’atmosph` ere donnant

au ciel sa couleur bleue. En revanche, cette approximation n’est plus valide lorsque la longueur

d’onde est plus petite que la taille des diffuseurs. C’est le cas par exemple de la diffusion (dite

de Mie) des ondes lumineuses par des (grosses) gouttelettes d’eau qui conf` ere aux nuages leur

couleur blanche. Dans le r´ egime interm´ ediaire, pour lequel la longueur d’onde est comparable ` a

la taille des diffuseurs, la diffusion devient r´ esonante et peut alt´ erer tr` es fortement le transport

des ondes dans ces milieux h´ et´ erog` enes. La fr´ equence et la nature de ces r´ esonances, g´ en´ era-

lement tr` es marqu´ ees, d´ ependent de la taille et des propri´ et´ es des diffuseurs. Il en r´ esulte une

description peu triviale de la d´ ependance fr´ equentielle des param` etres du transport des ondes

dans ces milieux diffusants et r´ esonants [6].

En acoustique, il est bien connu que le grand contraste de compressibilit´ es entre l’air et l’eau entraˆıne de fortes r´ esonances monopolaires (dites de Minnaert) dans les milieux bulleux. Les larges oscillations isotropes de ces bulles sont alors ` a l’origine d’une forte att´ enuation et d’une forte dispersion acoustique dans le milieu [7]. Pour une inclusion rigide et dense suspendue dans un mat´ eriau souple (une bille de plomb dans un ´ elastom` ere par exemple [8]), le centre de masse de l’inclusion oscille selon un mode de vibration dipolaire. Il existe ainsi plusieurs types de r´ esonances multipolaires en fonction des propri´ et´ es m´ ecaniques des inclusions et du milieu environant. Bien que le point suivant ne soit pas (ou tr` es peu) d´ evelopp´ e dans ce manuscrit, il est ` a noter que ces r´ esonances, parfois qualifi´ ees de « locales », sont essentielles ` a l’obtention de propri´ et´ es exotiques pour les m´ etamat´ eriaux (param` etres effectifs n´ egatifs...) [9].

Sans pour autant rechercher de tels effets, la compr´ ehension des ph´ enom` enes de diffusion mul- tiple est essentielle pour de nombreux domaines de recherche et d’application. En acoustique, les interactions multiples d’une onde avec les h´ et´ erog´ en´ eit´ es du milieu de propagation peuvent ˆ etre exploit´ ees pour l’imagerie m´ edicale par exemple [10]. Ces interactions peuvent ´ egalement s’av´ e- rer b´ en´ efiques pour la caract´ erisation de milieux composites [11] ou de la structure terrestre [12].

En effet, contrairement ` a une propagation balistique, une onde ayant ´ et´ e multiplement diffus´ ee a parcouru une distance beaucoup plus grande dans le milieu et transporte donc une plus grande quantit´ e d’information sur celui-ci. Pour mieux appr´ ehender le transport des ondes multiple- ment diffus´ ees dans ces divers milieux fortement h´ et´ erog` enes, il est n´ ecessaire de d´ evelopper des syst` emes mod` eles calibr´ es pour l’´ etude de ces ph´ enom` enes complexes en laboratoire.

Bien que de nombreux syst` emes mod` eles aient ´ et´ e rapport´ es dans la litt´ erature, nous nous int´ eresserons dans ce travail ` a un syst` eme relativement simple : des ´ emulsions de gouttes d’huile fluor´ ee « lentes » suspendues dans un gel aqueux. Le fort contraste de propri´ et´ es acoustiques (en particulier de c´ el´ erit´ es) entre les deux phases fluides de l’´ emulsion conduit ` a l’´ emergence de fortes r´ esonances multipolaires des gouttes, faisant de ce syst` eme un candidat id´ eal pour l’´ etude de la diffusion r´ esonante des ultrasons. Dans ces travaux de th` ese, il s’agira d’´ etudier l’influence des r´ esonances sur le transport des ultrasons dans ces syst` emes.

Pour cela, les formalismes de la diffusion multiple en acoustique seront d´ etaill´ es dans la pre- mi` ere partie du manuscrit. En particulier, le probl` eme de diffusion d’une onde par un objet isol´ e permettra d’analyser les r´ esonances d’une goutte d’huile fluor´ ee et d’introduire les diff´ erentes quantit´ es n´ ecessaires ` a l’´ etude de la propagation en milieu h´ et´ erog` ene. La diffusion des ondes par une population d´ esordonn´ ee d’inclusions sera ensuite d´ ecrite. Les solutions de l’´ equation de propagation en milieu h´ et´ erog` ene ´ etant r´ ecursives, nous d´ etaillerons ´ egalement les diff´ erentes ap- proximations permettant d’obtenir une expression du nombre d’onde de l’onde coh´ erente d’une part (la moyenne d’ensemble de la variable al´ eatoire repr´ esentant le champ) et une ´ equation gouvernant le transport de l’intensit´ e moyenne du champ incoh´ erent d’autre part (la variance de cette variable al´ eatoire).

Le deuxi` eme chapitre sera consacr´ e ` a la description des diff´ erents dispositifs exp´ erimentaux

d´ evelopp´ es lors de cette ´ etude. Les propri´ et´ es acoustiques des deux phases fluides constituant

nos ´ emulsions seront tout d’abord caract´ eris´ ees, puis nous exposerons le protocole microflui-

dique permettant la synth` ese d’´ emulsions quasi-monodisperses. Enfin, nous d´ etaillerons les deux

BIBLIOGRAPHIE

dispositifs exp´ erimentaux in´ edits mis en place au laboratoire pour la caract´ erisation des ondes coh´ erente et incoh´ erente.

Le transport des ultrasons dans des ´ emulsions faiblement concentr´ ees sera ´ etudi´ e dans le troisi` eme chapitre. La validit´ e des approximations ´ etablies dans le chapitre 1 pour les ´ emulsions r´ esonantes dilu´ ees sera test´ ee. Nous observerons ainsi les effets des r´ esonances sur la dispersion de l’onde coh´ erente et sur le transport des ondes multiplement diffus´ ees. En particulier, la mesure du coefficient de diffusion nous donnera acc` es ` a la vitesse de transport de l’intensit´ e des ondes multiplement diffus´ ees pour diff´ erentes fr´ equences. Proche des fr´ equences de r´ esonance, nous verrons que ces ondes acoustiques sont ralenties par les inclusions comme cela a d´ ej` a ´ et´ e pr´ edit en ´ electromagn´ etisme [13].

La derni` ere partie de l’´ etude sera consacr´ ee ` a l’influence des fortes concentrations sur le transport des ultrasons. Les th´ eories utilis´ ees pour la mod´ elisation de l’onde coh´ erente dans les syst` emes dilu´ ees s’av` ereront alors moins performantes. Lorsque la concentration augmente, les inclusions sont tr` es proches les unes des autres et il nous faudra tenir compte des nombreuses interactions entre ces objets dans la mod´ elisation du milieu global. Nous verrons ´ egalement que ces interactions microscopiques auront aussi un effet sur le transport macroscopique de l’in- tensit´ e moyenne. Aux fr´ equences de r´ esonance, nous montrerons que le transport des ultrasons est consid´ erablement ralenti aux temps longs par des effets de sub-diffusion. Nos r´ esultats se- ront alors compar´ es ` a des mesures r´ ealis´ ees sur d’autres syst` emes mod` eles fortement diffusants (milieux granulaires fritt´ es), dans lesquels un arrˆ et total du transport diffusif a ´ et´ e mis en ´ evi- dence [14]. Ce ph´ enom` ene, qualifi´ e de localisation d’Anderson [15], a ´ et´ e tr` es largement ´ etudi´ e depuis plus de cinquante ans [16] mais suscite toujours autant d’int´ erˆ et, en particulier en op- tique [17]. Ainsi, depuis les travaux de S. John sur la localisation des ondes classiques [18], ce domaine de recherche reste tr` es actif. L’observation de la sub-diffusion que nous rapporterons dans ce manuscrit laisse ` a penser que nos syst` emes (´ emulsions r´ esonantes), issus du monde de la mati` ere molle, pourraient offrir des perspectives int´ eressantes pour l’´ etude de la localisation d’Anderson des ondes classiques, en particulier des ultrasons.

Bibliographie

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[2] N. Engheta and R. W. Ziolkowski. Metamaterials : physics and engineering explorations.

John Wiley & Sons, 2006.

[3] L. Brillouin. Wave Propagation and Group Velocity. Academic Press, 1960.

[4] J. H. Page, P. Sheng, H. P. Schriemer, I. Jones, X. Jing, and D. A. Weitz. Group velocity in strongly scattering media. Science, 271 :634–637, 1996.

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[9] Z. Liu, X. Zhang, Y. Mao, Y. Zhu, Z. Yang, C. T. Chan, and P. Sheng. Locally resonant sonic materials. Science, 289 :1734–1736, 2000.

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[13] M. P. van Albada, B. A. van Tiggelen, A. Lagendijk, and A. Tip. Speed of propagation of classical waves in strongly scattering media. Phys. Rev. Lett., 66 :3132–3135, 1991.

[14] H. Hu, A. Strybulevych, J. H. Page, S. E. Skipetrov, and B. A. van Tiggelen. Localization of ultrasound in a three-dimensional elastic network. Nat. Phys., 4 :945–948, 2008.

[15] P. W. Anderson. Absence of diffusion in certain random lattices. Phys. Rev., 109 :1492–

1505, 1958.

[16] A. Lagendijk, B. A. Van Tiggelen, and D. S. Wiersma. Fifty years of Anderson localization.

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[17] S. E. Skipetrov and J. H. Page. Red light for Anderson localization. New J. Phys., 18 :021001, 2016.

[18] S. John, H. Sompolinsky, and M. J. Stephen. Localization in a disordered elastic medium

near two dimensions. Phys. Rev. B, 27 :5592–5603, 1983.

Chapitre 1

Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants

Sommaire

1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e . . . . 6

1.1.1 Formalisme des champs acoustiques impliqu´ es . . . . 7

1.1.2 Analyse des champs de pression . . . . 11

1.2 Diffusion d’une onde acoustique par une population d’objets . . . . 13

1.2.1 Formalisation de la propagation de l’onde coh´ erente . . . . 13

1.2.2 Formalisation du transport des ondes incoh´ erentes . . . . 16

1.3 Exemples de syst` emes mod` eles r´ esonants . . . . 19

1.3.1 Forˆ ets de tiges d’acier . . . . 19

1.3.2 Suspensions de billes de verre . . . . 20

1.3.3 Millieux bulleux . . . . 22

1.3.4 Emulsions de gouttes d’huile fluor´ ´ ee . . . . 23

1.4 Conclusion . . . . 23

Bibliographie . . . . 25

1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e

Dans ce chapitre, nous d´ efinissons les g´ en´ eralit´ es de la propagation des ondes acoustiques (scalaires) en milieux complexes r´ esonants. Dans le contexte de cette ´ etude, on d´ efinit un milieu complexe comme un milieu h´ et´ erog` ene discret (les inclusions constituent des discontinuit´ es de propri´ et´ es m´ ecaniques par rapport ` a la matrice environnante) et d´ esordonn´ e (les positions des inclusions ne pr´ esentent pas de corr´ elation apparente). Dans le r´ egime interm´ ediaire (lorsque la longueur d’onde devient comparable ` a la taille des inclusions), les h´ et´ erog´ en´ eit´ es sont susceptibles d’entrer en r´ esonance et d’impacter fortement la propagation des ondes dans le milieu complexe.

L’´ etude des ondes se propageant dans de tels milieux peut s’av´ erer difficile. Il est donc n´ ecessaire de s’affranchir de contraintes suppl´ ementaires (telles que les incertitudes sur la taille ou la concentration des inclusions) en exploitant un syst` eme mod` ele dont les propri´ et´ es sont parfaitement connues et maˆıtris´ ees. Les ´ emulsions de gouttes d’huile fluor´ ee FC40 suspendues dans un gel aqueux vont se r´ ev´ eler ˆ etre d’excellents syst` emes mod` eles r´ esonants aussi bien par la simplicit´ e et la maˆıtrise de leur r´ ealisation, que pour le caract` ere multipolaire de leurs r´ esonances.

Ces fortes r´ esonances sont induites par le du contraste de propri´ et´ es acoustiques entre la matrice aqueuse (de c´ el´ erit´ e du son c

= 1, 48 mm.µs

et de masse volumique ρ

= 1 g.cm

) et les gouttes d’huile fluor´ ee FC40 (c

= 0, 64 mm.µs

et ρ

= 1, 85 g.cm

).

Pour d´ ecrire les r´ esonances de ces gouttes d’huile fluor´ ee, nous d´ eveloppons dans la premi` ere partie de ce chapitre, le formalisme utilis´ e pour la r´ esolution du probl` eme de diffusion d’une onde plane par un objet isol´ e. Ceci permettra alors d’introduire toutes les quantit´ es d´ ecrivant les propri´ et´ es de diffusion d’une inclusion. L’interaction d’une onde avec une population d´ esordonn´ ee d’objets est ensuite d´ etaill´ ee, ainsi que les premi` eres approximations permettant d’obtenir les

´

equations d´ ecrivant la propagation de l’onde « coh´ erente » (qui subit l’impact des diffuseurs sur sa propagation, mais se propage de la mˆ eme mani` ere que dans un milieu homog` ene dispersif) et des ondes « incoh´ erentes » (les ondes multiplement diffus´ ees dont les directions de propagation sont analogues ` a un processus de marche al´ eatoire).

Enfin le choix des ´ emulsions r´ esonantes est appuy´ e par un bref ´ etat de l’art des syst` emes mod` eles historiquement d´ evelopp´ es pour l’´ etude de la propagation des ultrasons en milieux complexes : les forˆ ets de tiges d’acier, les suspensions de billes de verres et les milieux bulleux.

1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e

L’inclusion isol´ ee ´ etant la brique ´ el´ ementaire du milieu complexe, nous ´ etudions dans cette

premi` ere partie, le cas de la diffusion d’une onde harmonique plane par un objet sph´ erique fluide

immerg´ e dans une matrice fluide (les calculs seront en particulier effectu´ ees pour une goutte

d’huile fluor´ ee suspendue dans de l’eau). Nous identifierons ainsi les fr´ equences de r´ esonance

de cet objet, ainsi que les effets de ces r´ esonances sur les propri´ et´ es de l’onde diffus´ ee. Lors

de la description de la diffusion d’une onde par une population d’objets, nous verrons que ces

r´ esonances modifient significativement les propri´ et´ es acoustiques effectives du milieu h´ et´ erog` ene.

Chapitre 1. Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants

1.1.1 Formalisme des champs acoustiques impliqu´ es

Pour formaliser les champs acoustiques impliqu´ es dans cette ´ etude, nous d´ ecrivons tout d’abord la g´ eom´ etrie du probl` eme. Nous consid´ erons une onde plane, harmonique (de pulsation ω) et scalaire, se propageant (suivant l’axe ~ e

) dans un milieu indic´ e 0. Cette onde interagit avec un objet sph´ erique de rayon a, indic´ e 1 (fig. 1.1). Dans l’optique de d´ ecrire la diffusion des ondes acoustiques par une population de gouttes sph´ eriques, le formalisme est d´ ecrit dans cette partie dans un syst` eme de coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, ϕ).

Inclusion

z x

y

r φ θ

Onde plane incidente

Matrice environnante (ρ ,c )

(ρ ,c )

k

v

e

e

e

Fig. 1.1 – Syst` eme de coordonn´ ees utilis´ e pour la description d’une onde plane acoustique diffus´ ee par une inclusion sph´ erique. ρ

et c

d´ esignent respectivement la masse volumique et la c´ el´ erit´ e du son du milieu indic´ e i.

Le choix d’une onde incidente scalaire et plane induit une invariance des champs selon l’angle azimutal ϕ. Par cons´ equent, les champs de pression incident P

(d’amplitude unit´ e), r´ efract´ e ` a l’int´ erieur de l’inclusion P

et diffus´ e P

, se d´ ecomposent sur une base d’harmoniques sph´ eriques de la mani` ere suivante [1] :

P

(r, θ, t) =

∞

P

n=0

j

(2n + 1)j

(k

r)P

(cos θ)e

,

P

(r, θ, t) =

∞

P

n=0

B

j

(2n + 1)j

(k

r)P

(cos θ)e

,

P

(r, θ, t) =

∞

P

n=0

A

j

(2n + 1)h

(k

r)P

(cos θ)e

,

(1.1)

o` u j

et h

sont respectivement les fonctions de Bessel et de Hankel sph´ eriques de premi` ere

esp` ece et P

les polynˆ omes de Legendre. k

= ω/c

est le nombre d’onde de l’onde (de pulsation

ω) se propageant dans la matrice (de c´ el´ erit´ e du son c

) ou dans l’inclusion (de c´ el´ erit´ e du son

c

). Les nombres d’onde k

et k

peuvent ˆ etre ` a valeurs complexes dans le cas de mat´ eriaux

absorbants. Ainsi, en consid´ erant α

et α

les absorptions intrins` eques respectives de la matrice

et de l’inclusion, on a k

= ω/c

+ jα

et k

= ω/c

+ jα

.

1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e

Le calcul des propri´ et´ es de diffusion d’une inclusion repose sur la d´ etermination des ampli- tudes modales A

et B

de l’onde diffus´ ee, ´ eq. (1.1). Pour cela, il faut r´ esoudre le probl` eme de continuit´ e des champs de vitesse

et de pression ` a l’interface inclusion/matrice environnante (r = a). Ainsi, les amplitudes modales A

et B

s’expriment de la mani` ere suivante :

A

= − qj

(k

a)j

(k

a) − j

(k

a)j

(k

a)

qh

(k

a)j

(k

a) − h

(k

a)j

(k

a) , (1.2) B

= A

h

(k

a)

j

(k

a) + j

(k

a)

j

(k

a) , (1.3)

o` u l’exposant

d´ esigne la d´ eriv´ ee des fonctions h

(x) ou j

(x) par rapport ` a x. Ces amplitudes modales sont repr´ esent´ ees sur la figure 1.2 dans le cas d’une goutte d’huile FC40 immerg´ ee dans de l’eau.

(a) (b)

n mode (α )n

n mode (|A|)n

Fig. 1.2 – (a) Module |A

| et (b) phase α

des coefficients A

(pour n ∈ [0, 9]) en fonction de la fr´ equence d’excitation, pour une goutte d’huile FC40 de rayon a = 0, 170 mm immerg´ ee dans de l’eau.

En notant A

= |A

|e

, on observe alors des fr´ equences de r´ esonance rep´ er´ ees par des maxima des amplitudes |A

| ou des fortes variations de phase α

. Il s’agit en fait de fr´ equences particuli` eres auxquelles sont excit´ es diff´ erents modes volumiques de d´ eformation de l’inclusion, induits par les contrastes de propri´ et´ es m´ ecaniques entre l’inclusion et la matrice. Nous verrons par la suite que ces r´ esonances sont de type de Mie par analogie avec l’optique [2].

En d´ efinissant le facteur de qualit´ e Q

de la r´ esonance d’ordre n (quantifiant la r´ esolution fr´ equentielle d’une r´ esonance) :

Q

= f

∆f

, (1.4)

avec f

la fr´ equence de la r´ esonance d’ordre n et ∆f

sa largeur ` a mi-hauteur, la figure 1.2 montre que Q

augmente avec l’ordre n. Ainsi les r´ esonances hautes fr´ equences sont plus marqu´ ees mais

´

egalement plus difficiles ` a d´ etecter exp´ erimentalement (nous verrons que la distribution en taille d’une population d’objets affecte en priorit´ e les r´ esonances dont le facteur de qualit´ e est grand).

De plus, lorsque le mat´ eriau constituant l’inclusion est absorbant, le facteur de qualit´ e de chaque r´ esonance diminue (les r´ esonances sont amorties). N´ eanmoins, nous verrons que les effets de la distribution en taille des gouttes ainsi que la dissipation acoustique des mat´ eriaux utilis´ es dans

a. Les champs de vitesse s’expriment ´ egalement en fonction des amplitudes modales des champs de pression ` a

l’aide de la relation d’Euler.

Chapitre 1. Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants

cette ´ etude sont suffisamment faibles pour observer les six premiers modes de r´ esonance des gouttes d’huile fluor´ ee dans la r´ eponse acoustique d’une population de gouttes d’huile.

Les amplitudes modales A

nous permettent dans un premier temps de calculer la fonction de diffusion f (θ) de l’onde diffus´ ee en champ lointain (P

(r λ

, θ) = f(θ)e

/r), en fonction de l’angle de diffusion θ :

f (θ) = 1 jk

∞

X

n=0

(2n + 1)A

P

(cos θ). (1.5)

Cette fonction ´ etant ` a valeurs complexes f (θ) = |f (θ)|e

, |f (θ)| repr´ esente l’amplitude et ϕ(θ) le d´ ephasage induit par l’inclusion sur l’onde diffus´ ee selon la direction faisant un angle θ par rapport ` a la direction de propagation de l’onde incidente. Ainsi, la fonction f (0) est associ´ ee ` a l’onde diffus´ ee « vers l’avant » et f (π) ` a l’onde r´ etrodiffus´ ee. La figure 1.3 est une repr´ esentation

30

210

60

240 90

270 120

300 150

330

180 0,2 0,4 0

30

210

60

240 90

270 120

300 150

330

180 0,1 0,3 0

30

210

60

240 90

270 120

300 150

330

180 0,05 0,15 0

(a) (b) (c)

θ (°)

|f(θ)| (mm)

Fig. 1.3 – Repr´ esentation de l’amplitude de la fonction de diffusion |f(θ)| pour les fr´ equences corres- pondant aux r´ esonances (a) n = 0 (b) n = 1 et (c) n = 2 pour une goutte d’huile FC40 de rayon a = 0, 170 mm immerg´ ee dans de l’eau.

angulaire de l’amplitude de la fonction de diffusion |f(θ)| pour les trois premi` eres fr´ equences de r´ esonance. On remarque le caract` ere multipolaire des r´ esonances de la goutte d’huile fluor´ ee immerg´ ee dans de l’eau. La r´ esonance n = 0 (fig. 1.3a) correspond au mode monopolaire. La diffusion est quasi-isotrope et correspond au mode de « respiration » de l’inclusion ` a l’instar de la r´ eponse acoustique basse fr´ equence d’une bulle d’air dans de l’eau [3]. La faible anisotropie vers l’avant de |f (θ)| dans ce cas correspond ` a l’influence de la r´ esonance dipolaire n = 1 dont l’effet commence ` a ˆ etre visible ` a cette fr´ equence (fig. 1.2a). Les directions de diffusion privil´ egi´ ees par la r´ esonance n = 1 sont θ = 0 et θ = π (fig. 1.3b). Il s’agit d’une r´ esonance de type dipolaire, li´ ee au d´ eplacement du centre de masse de la goutte. Lorsque l’on augmente la fr´ equence d’excitation, les r´ esonances deviennent plus complexes, mais il est int´ eressant de remarquer que la fonction de diffusion devient pr´ epond´ erante pour la direction vers l’avant θ = 0 (fig. 1.3c). L’anisotropie de la diffusion augmente alors avec la fr´ equence d’excitation.

A partir de cette fonction de diffusion, nous d´ ` efinissons maintenant plusieurs quantit´ es utiles

`

a la description de la propagation de l’onde diffus´ ee.

1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e

Les sections efficaces de diffusion

La section efficace diff´ erentielle de diffusion σ

(θ) = |f (θ)|

caract´ erise le pourvoir diffusant de l’inclusion dans la direction θ. On d´ efinit ´ egalement la section efficace totale de diffusion comme l’int´ egrale sur l’angle solide de la section efficace diff´ erentielle σ

:

σ

= 2π Z

0

sin(θ)|f(θ)|

dθ. (1.6)

σ

est homog` ene ` a une surface et correspond au rapport de la puissance de l’onde diffus´ ee sur la puissance par unit´ e de surface de l’onde incidente.

La figure 1.4 est une repr´ esentation de la d´ ependance fr´ equentielle de la section efficace σ

d’une goutte d’huile FC40 de rayon a = 0, 170 mm immerg´ ee dans de l’eau. Les r´ esonances des inclusions sont marqu´ ees par des maxima de σ

(la diffusion est plus forte pour ces fr´ e- quences). L’approximation de grandes longueurs d’onde devant la taille des inclusions (diffusion de Rayleigh) σ

∝ ω

[5] est valable pour des fr´ equences inf´ erieures ` a la premi` ere fr´ equence de r´ esonance f < 1, 25 MHz.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Fréquence (MHz) 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ T (mm2 )

σ_T

∞ ω⁴

Fig. 1.4 – Section efficace totale de diffusion σ

d’une goutte d’huile FC40 (dont les fr´ equences de r´ esonance sont rep´ er´ ees par les fl` eches rouges) immerg´ ee dans de l’eau en fonction de la fr´ equence d’ex- citation (en ligne noire continue). L’approximation basse fr´ equence : σ

∝ ω

caract´ eristique du r´ egime de diffusion de Rayleigh est repr´ esent´ ee en ligne rouge discontinue.

Enfin, la section efficace totale de diffusion s’´ ecrit simplement en fonction de la fonction de diffusion vers l’avant f (0) du diffuseur, grˆ ace au th´ eor` eme optique [6] :

σ

= 4π

k

Imf(0). (1.7)

Ce th´ eor` eme permet entre autres d’exprimer la distance caract´ eristique d’att´ enuation (par diffu- sion) de l’onde coh´ erente se propageant dans un milieu homog` ene ´ equivalent au milieu h´ et´ erog` ene (cf. sec. 3.1.1) : le libre parcours moyen ´ elastique `

.

b. Cette remarque est vraie pour les r´ esonances des gouttes d’huile FC40. Il existe d’autres types de diffuseurs

exhibant certaines r´ esonances marqu´ ees par des minima de

[4].

Chapitre 1. Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants

La section efficace de transport

La section efficace de transport σ

caract´ erise l’anisotropie de la diffusion. Elle est d´ efinie ` a partir du cosinus moyen < cos θ > (ou facteur d’anisotropie) de la mani` ere suivante :

σ

= σ

(1− < cos θ >), (1.8)

avec :

< cos θ >= 2π R

0

|f(θ)|

cos(θ) sin(θ)dθ

σ

. (1.9)

On remarque que si la diffusion est isotrope (pour la r´ esonance monopolaire de la goutte d’huile immerg´ ee), nous avons |f (θ)|

→ cste et < cos θ >→ 0. En revanche, si la diffusion est tr` es marqu´ ee dans la direction θ = θ

, nous avons |f (θ)|

→ δ(θ − θ

) et dans ce cas < cos θ >→

cos(θ

). On obtient ainsi pour la goutte d’huile fluor´ ee dans de l’eau ` a haute fr´ equence : θ

= 0 et < cos θ >→ 1. La section efficace de transport servira alors ` a d´ eterminer la distance caract´ eristique apr` es laquelle une onde se propageant dans un milieu h´ et´ erog` ene perd la m´ emoire de sa direction de propagation initiale : le libre parcours moyen de transport `

.

Le retard de diffusion

Les r´ esonances impactent ´ egalement la phase de l’onde diffus´ ee, via la phase ϕ(θ) de la fonction de diffusion f (θ). Le retard subi par une impulsion

diffus´ ee de pulsation centrale ω, est d´ efini par [10] :

δ

= 1 σ

2π k

∂Ref (0)

∂ω + 2π Z

0

|f(θ)|

∂ϕ(θ)

∂ω sin(θ)dθ

. (1.10)

Nous verrons que dans le cas de gouttes d’huile FC40 immerg´ ees dans de l’eau, le contraste de c´ el´ erit´ es du son entre ces deux mat´ eriaux induit un temps de retard tr` es important ayant pour effet de modifier significativement la vitesse de transport des ondes multiplement diffus´ ees dans les ´ emulsions, au voisinage des fr´ equences de r´ esonance.

1.1.2 Analyse des champs de pression

Afin de mieux appr´ ehender le comportement de la goutte d’huile FC40 au voisinage des fr´ equences de r´ esonance, nous pr´ esentons dans ce paragraphe les calculs des champs de pression impliqu´ es dans le probl` eme de diffusion par un objet isol´ e, r´ esultant d’une excitation plane monochromatique. Ces champs sont calcul´ es dans le syst` eme de coordonn´ ees sph´ eriques (d´ efini sur la figure 1.1) ` a partir des d´ efinitions de l’´ equation (1.1) et repr´ esent´ es dans le plan (x, z) sur la figure 1.5 (le probl` eme ´ etant ind´ ependant de l’angle ϕ pour une excitation en onde plane), pour trois fr´ equences d’excitation correspondant aux trois premiers modes de r´ esonance de la goutte. Sur cette repr´ esentation, l’´ echelle de couleurs correspond ` a l’amplitude de la pression en chaque point de l’espace, allant du bleu pour les d´ epressions acoustiques au jaune pour les surpressions.

Ce calcul permet de comprendre l’analogie entre les r´ esonances de Mie pour les ondes lumi- neuses et les r´ esonances multiplolaires des gouttes d’huile fluor´ ee pour les ultrasons. En effet,

c. Ce retard de diffusion est une quantit´ e dynamique qui n’est pas d´ efinie pour une onde monochromatique [7,8]

`

a l’instar du temps de groupe en milieu homog` ene [9].

1.1 Diffusion d’une onde acoustique par un objet isol´ e

chaque r´ esonance correspond ` a un multiple de la demi-longueur d’onde ` a l’int´ erieur de la goutte λ

/2, induisant diff´ erents modes de d´ eformation de l’inclusion. La fr´ equence de r´ esonance est donc inversement proportionnelle au rayon de l’inclusion : si l’objet est plus grand, la longueur d’onde λ

doit ´ egalement ˆ etre plus grande pour exciter la r´ esonance de celui-ci.

|f(θ)| (mm)

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 z (mm)

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4

x (mm)

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 z (mm)

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4

x (mm)

(a) (b)

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 z (mm)

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4

x (mm)

(c)

Fig. 1.5 – Champs de pression simul´ es pour les trois premiers modes de r´ esonance d’une goutte d’huile FC40 immerg´ ee dans de l’eau : (a) monopolaire, (b) dipolaire et (c) quadripolaire. L’´ echelle de couleurs repr´ esente la pression par rapport ` a la pression ambiante (sans excitation) avec les surpressions en jaune et les d´ epressions en bleu. Les fl` eches noires indiquent les d´ eplacements de la fronti` ere de l’inclusion (en cercle noir).

Lorsque la demi-longueur d’onde de l’onde r´ efract´ ee ` a l’int´ erieur de l’inclusion λ

/2 corres- pond au diam` etre 2a de la sph` ere (fig. 1.5a), le mode de r´ esonance monopolaire (d’ordre n = 0) de l’inclusion est excit´ e. Il s’agit d’une succession de compression/dilatation de la goutte d’huile sans d´ eplacement de son centre de masse. Le contraste de compressibilit´ es entre l’inclusion et le milieu environnant doit donc ˆ etre important pour g´ en´ erer ce type de r´ esonance (de mani` ere analogue ` a la r´ esonance de Minnaert pour une bulle d’air dans de l’eau).

La deuxi` eme fr´ equence d’excitation, repr´ esent´ ee sur la figure 1.5b, correspond ` a la r´ esonance dipolaire (n = 1) de la goutte. Dans ce cas, la longueur d’onde λ

correspond au diam` etre 2a de la sph` ere qui ne se d´ eforme pas mais dont la position du centre de masse oscille. Le contraste de masses volumiques entre l’inclusion et la matrice est responsable de ce type de comportement, de la mˆ eme mani` ere que pour des billes de plomb dans une matrice ´ elastom` ere [11].

Enfin la derni` ere repr´ esentation (fig. 1.5c) correspond ` a la r´ esonance quadripolaire (n = 2) de la goutte. Il s’agit d’une d´ eformation uni-axiale de la sph` ere (successivement suivant les axes x et z) se produisant lorsque 4 × λ

/2 = 2a. La fonction de diffusion ` a cette fr´ equence de r´ esonance pr´ esente alors quatre maxima locaux (fig. 1.3c).

Lorsque l’on augmente l’ordre n de la r´ esonance (ou la fr´ equence d’excitation), les modes

de d´ eformation de la goutte deviennent plus complexes et la fonction de diffusion f (θ) devient

pr´ epond´ erante dans la direction θ = 0. Ces r´ esonances sont cependant difficiles ` a observer

exp´ erimentalement lors de la diffusion d’une onde par une population de gouttes. En effet,

toutes les gouttes n’ont pas exactement la mˆ eme taille et r´ esonnent donc pour des fr´ equences

Chapitre 1. Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants

l´ eg` erement diff´ erentes. Ces r´ esonances ont des facteurs de qualit´ e Q

tr` es ´ elev´ es et sont alors masqu´ ees.

1.2 Diffusion d’une onde acoustique par une population d’objets

Apr` es avoir introduit les diff´ erentes quantit´ es caract´ erisant les propri´ et´ es de diffusion d’un objet isol´ e, la propagation des ondes en milieux h´ et´ erog` enes est mod´ elis´ ee dans cette section.

Nous consid´ erons pour cela une population d´ esordonn´ ee d’objets discrets suspendus dans une matrice de r´ ef´ erence. La propagation d’une onde acoustique dans ce milieu de r´ ef´ erence est d´ ecrite grˆ ace ` a la fonction de Green G

, solution de l’´ equation de Green en milieu homog` ene. Nous verrons alors que les fluctuations des propri´ et´ es m´ ecaniques du milieu h´ et´ erog` ene, induites par les objets, conduisent ` a une expression r´ ecursive de la fonction de Green G en milieu h´ et´ erog` ene.

Le milieu ´ etant d´ esordonn´ e, le champ acoustique en pr´ esence ψ = G ∗ ψ

(ψ

d´ enotant le champ de pression incident et ∗ le produit de convolution) peut ˆ etre vu comme une variable al´ eatoire :

ψ =< ψ > +δψ, (1.11)

o` u < ψ > d´ esigne la moyenne d’ensemble (sur les configurations du d´ esordre) de ψ appel´ ee champ coh´ erent. Le champ incoh´ erent δψ d´ ecrit les fluctuations al´ eatoires du champ ψ (< δψ >= 0).

D´ ecrivons les ´ evolutions de δψ ` a l’aide de son intensit´ e moyenne :

< |δψ|

>=< |ψ|

> −| < ψ > |

.

L’enjeu est maintenant d’´ etablir les expressions de la fonction de Green moyenne < G > et de l’autocorr´ elation de la fonction de Green

< GG

>. Reprenons pour cela les d´ eveloppements

´

etablis par A. Tourin [12], qui conduisent ` a l’expression du nombre d’onde effectif k de l’onde coh´ erente et ` a l’´ equation du transfert radiatif gouvernant l’intensit´ e sp´ ecifique I. Enfin, nous d´ ecrivons les travaux de A. Lagendijk et de ses collaborateurs [8, 10] pour prendre en compte dans la mod´ elisation du champ incoh´ erent, les retards induits par le contraste de c´ el´ erit´ es du son entre l’huile fluor´ ee et le gel aqueux.

1.2.1 Formalisation de la propagation de l’onde coh´ erente Propagation en milieu homog` ene

La propagation ` a la c´ el´ erit´ e c

d’une onde acoustique, de champ de pression P

(~ r, t) en milieu homog` ene non absorbant est d´ ecrite au point ~ r et ` a l’instant t par l’´ equation de propagation :

∆P

(~ r, t) − 1 c

∂

P

(~ r, t)

∂t

= 0. (1.12)

Si l’onde consid´ er´ ee est monochromatique de pulsation ω (P

(~ r, t) = ψ(~ r)e

), l’´ equation (1.12) conduit ` a l’´ equation de Helmholtz :

∆ψ(~ r) + k

ψ(~ r) = 0. (1.13)

d.

repr´ esente le conjugu´ e de la fonction de Green

1.2 Diffusion d’une onde acoustique par une population d’objets

La fonction de Green G

(~ r, ~ r

, ω) est la r´ eponse impulsionnelle du milieu au point ~ r pour une source ponctuelle plac´ ee en ~ r

. Elle ob´ eit alors ` a l’´ equation suivante :

∆G

(~ r, ~ r

, ω) + k

G

(~ r, ~ r

, ω) = δ(~ r − ~ r

). (1.14) Dans l’espace de Fourier spatial (de variable ~ p), l’´ equation (1.14) conduit ` a l’expression suivante de la fonction de Green en milieu homog` ene :

G e

(p, ω) = 1

k

− p

, (1.15)

o` u p d´ esigne le module du vecteur p. Les modes de propagation dans ce milieu homog` ~ ene sont alors d´ etermin´ es ` a l’aide de l’´ equation de dispersion k

= p

. G

d´ ecrira la propagation des ondes n’ayant subi aucune interaction avec les inclusions ou encore la propagation entre deux objets.

Propagation en milieu h´ et´ erog` ene

Un milieu h´ et´ erog` ene peut ˆ etre mod´ elis´ e comme un milieu de propagation dont la c´ el´ erit´ e du son c(~ r) = 1/ p

ρ

(~ r)χ(~ r) d´ epend de l’espace (avec ρ

(~ r) la masse volumique et χ(~ r) la compressibilit´ e du milieu au point ~ r). L’´ equation de Helmholtz (1.13) compte maintenant un terme source :

∆ψ(~ r) + k

ψ(~ r) = k

V (~ r)ψ(~ r), (1.16) o` u l’op´ erateur « potentiel » : V (~ r) = (1 − c

/c(~ r)

) +

0k²₀

.∇ caract´ erise l’h´ et´ erog´ en´ eit´ e du milieu [12]. L’´ equation de Green correspondante s’´ ecrit alors :

∆G(~ r, ~ r

, ω) + k

G(~ r, ~ r

, ω) = δ(~ r − ~ r

) + k

V (~ r)G(~ r, ~ r

, ω). (1.17) La fonction de Green en milieu h´ et´ erog` ene, solution de cette ´ equation, s’exprime de la mani` ere suivante :

G(~ r, ~ r

, ω) = G

(~ r, ~ r

, ω) + k

Z

G

(~ r, ~ r

, ω)V (~ r

)G(~ r

, ~ r

, ω)d~ r

. (1.18) En d’autres termes, l’onde se propageant dans le milieu h´ et´ erog` ene d´ epend ` a la fois du champ non diffus´ e (repr´ esent´ e par G

) et des h´ et´ erog´ en´ eit´ es (repr´ esent´ ees par V ) affectant le champ acoustique en pr´ esence (mod´ elis´ e par G). Cette ´ ecriture ´ etant r´ ecursive, l’´ equation (1.18) s’´ ecrit

´

egalement sous la forme d’une s´ erie tenant compte de l’infinit´ e des ´ ev` enements de diffusion (d´ eveloppement de Born) :

G(~ r, ~ r

, ω) = G

(~ r, ~ r

, ω) + k

R

G

(~ r, ~ r

, ω)V (~ r

)G

(~ r

, ~ r

, ω)d~ r

+ k

R

G

(~ r, ~ r

, ω)V (~ r

)G

(~ r

, ~ r

, ω)V (~ r

)G

(~ r

, ~ r

, ω)d~ r

d~ r

+ k

R

G

(~ r, ~ r

, ω)V (~ r

)G

(~ r

, ~ r

, ω)V (~ r

)G

(~ r

, ~ r

, ω)V (~ r

)G

(~ r

, ~ r

, ω)d~ r

d~ r

d~ r

+ ...

(1.19)

Le premier terme du membre de droite de ce d´ eveloppement repr´ esente la contribution de

l’onde non diffus´ ee et les lignes suivantes repr´ esentent respectivement les ´ ev` enements de dif-

fusion simple, double et triple. L’´ ecriture de l’´ equation (1.19) sous forme d’op´ erateurs [13] :

G = G

+ G

VG

+ G

VG

VG

+ G

VG

VG

VG

+ ... (1.20)

Chapitre 1. Propagation acoustique en milieux complexes r´ esonants

pr´ esente l’int´ erˆ et d’ˆ etre plus compacte. Les milieux ´ etudi´ es ´ etant inclusionnaires (discrets), l’op´ erateur V s’exprime en fonction de la somme des op´ erateurs propres ` a chaque objet i : V = P

i

V

[12]. Ainsi, les termes de la forme P

i,j6=i

G

V

G

V

G

repr´ esentent les ´ ev` e- nements de diffusion ind´ ependante entre les objets i et j, alors que les termes de la forme P

i,j6=i

G

V

G

V

G

V

G

correspondent ` a des ´ ev` enements de diffusion r´ ecurrente (ou boucle de diffusion) sur l’objet i.

En introduisant l’op´ erateur :

T = V + VG

V + VG

VG

V + ..., (1.21)

qui tient compte de l’infinit´ e des ´ ev` enements de diffusion, l’´ equation (1.20) s’´ ecrit ´ egalement sous la forme G = G

+ G

TG

. De la mˆ eme mani` ere que pour V, on d´ efinit l’op´ erateur T

= V

+ V

G

V

+ ... pour chaque objet isol´ e i. Il relie le champ diffus´ e ψ

(~ r) par l’objet i au champ incident ψ

:

ψ

= G

T

ψ

. (1.22)

L’´ ecriture dans le domaine de Fourier spatial (de variable ~ p) de l’op´ erateur ´ el´ ementaire T

, conduit ` a : T e

(~ p, ~ p

, ω) =

f (~ p, ~ p

, ω), o` u f d´ esigne la fonction de diffusion (1.5) et ~ p

la direction de l’onde incidente.

Calcul de la fonction de Green moyenne

Si les positions des objets sont ind´ ependantes

, la moyenne d’ensemble <> de la fonction de Green < G >= G

+ G

< T > G

s’exprime sous la forme int´ egrale suivante :

< G(~ r, ~ r

, ω) >= G

(~ r, ~ r

, ω) + Z

G

(~ r, ~ r

, ω)Σ(~ r

, ~ r

, ω) < G(~ r

, ~ r

, ω) > d~ r

d~ r

, (1.23) o` u apparaˆıt l’op´ erateur de masse Σ. Si les param` etres du milieu h´ et´ erog` ene sont invariants par translation dans l’espace, < G >, G

et Σ ne d´ ependent que de la diff´ erence (~ r −~ r

), et l’´ equation (1.23) s’´ ecrit comme suit dans le domaine de Fourier spatial de variable ~ p :

< G(~ e p, ω) >= G e

(~ p, ω) + G e

(~ p, ω) Σ(~ e p, ω) < G(~ e p, ω) > . (1.24) En substituant la relation (1.15) dans l’expression (1.24), la fonction de Green moyenne en milieu h´ et´ erog` ene prend finalement la forme suivante :

< G(~ e p, ω) >= 1

k

(ω)

− Σ(~ e p, ω) − p

. (1.25) Si l’op´ erateur de masse Σ d´ epend faiblement de la variable ~ p, nous ´ ecrivons que Σ(~ e p, ω) ≈ Σ(ω) e (pour des diffuseurs ponctuels ou de tr` es faibles concentrations en diffuseurs par exemple). Le milieu de propagation peut ˆ etre vu comme un milieu effectif (milieu homog` ene ´ equivalent au milieu inclusionnaire du point de vue acoustique). La fonction de Green moyenne (1.25) prend alors la mˆ eme forme que G

(~ p, ω) (´ eq. 1.15) : < G(~ e p, ω) >= 1/(k

− p

), o` u k est le nombre d’onde effectif d´ efini par la relation :

k(ω)

= k

(ω)

− Σ(ω). e (1.26)

e. Si les op´ erateurs

sont ind´ ependants, on ´ ecrit par exemple :

i,j<TiG0Tj>=P

i,j<Ti>G0<Tj>.