Equations et problèmes Exercices d’entraînement

(1)

Exercice 1

Résous les équations suivantes : 5x 24 7x 39

    1 2 1 1

3x11 6x2

   

3 x 3 21 5 2x7 ²



⁵



¹



³ ²



⁵ ¹



⁵ ¹¹



3 x 7  x  x 426 x



²^x^⁷



^{ }^x ¹¹

 

^ ^x^⁶



^{ }²^x ⁵



² ⁵ ³ ^{4 2} ⁵

3 x 5 7 3 x 

      

Exercice 2

Mon portefeuille ne contient que des billets de 10€ et de 20€. Plus précisément :

 Il y a deux fois plus de billets de 10€ que de billets de 20€.

 La valeur totale des billets de mon portefeuille est de 120€.

Combien de billets de 10€ mon portefeuille contient-il ?

Exercice 3

Sur un terre-plein en Belgique, il y a des tulipes jaunes, rouges et noires.

La moitié des tulipes sont jaunes et les deux septièmes sont rouges.

De plus, il y a 30 tulipes noires.

Combien de tulipes sont plantées sur ce terre-plein ?

Exercice 4

Dans la cour de la ferme, j’aperçois des poules et des cochons gardés par 3 chiens.

D’après mon décompte rapide, il y a cinq fois plus de poules que de cochons. Ceci dit, tous ces animaux comptabilisent un total de 110 pattes !

Combien y a-t-il de cochons dans la cour ?

(2)

Exercice 5

Dans cet exercice, tous les montants considérés sont exprimés en euros.

Aujourd’hui est un grand jour : j’ai décidé de dépensé une partie de mes économies !  Je commence par dépenser un tiers de la somme pour acheter un lecteur Blue-ray.

Je dépense ensuite quatre septième de la somme restante pour acheter un appareil photo numérique.

Il me reste alors une somme qui, surprise ! est simplement le carré de 12 !

Calculer le montant total de mes économies puis les prix du lecteur Blue-ray et de l’appareil photo numérique.

Exercice 6

Damien joue à un jeu. Il fait plusieurs parties. A chaque partie, il ne peut que gagner ou perdre.

Pour l’instant, il a gagné 315 parties et en a perdu 35.

Combien Damien doit-il encore jouer de parties pour que, en supposant qu’il les gagne toutes, les parties perdues représentent exactement 7% du total des parties jouées ?

(3)

Réponses

Exercice 1

5 24 7 39

24 12 39

15 12 15

5 5

3

12 9

2 5 12 1

4

39

x x

x

x x

   

    

   

 











L’équation admet une unique solution : ⁵ 4.

1 2 1 1

3 11 6 2

1 2 1 1

3 11 6 2

2 2 1

6 11 2

3 2 1

6 11 2

1 11 2

1 1

6 6

2 2

11 11

1 1

22

1 7

2 22

1 7

2 22

7 2 22 2

1 6

4

4 1

2

1 2

2

1

x x

x x x

x x

x

 

   

    

  



  















 



4

(4)

   

 

3 3 21 5 2 7

3 3 3 21 5 2 5 7 3 9 21 10 35

3 30 10 35 3 10 30 35

13 30 35 13 35 30

13 65 65 13 5

x x

x

    

         

     

    

   

  

  

 

L’équation admet une unique solution : 5.

     

2 1 5 1

5 3 2 5 11

3 7 42 6

2 10 3 2 5 5 11

3 3 7 7 42 6 6

2 10 3 2 5 5 11

3 3 7 7 42 6 6

2 3 5 5 11 10 2

3 7 6 42 6 3 7

14 2 6 3 42 7 5 5 7 11 14 10 6 2

42 42 42 42 42 42 42 42

28 18 42 35 5 7

42 42 42 42 42

x x x x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x x

       

 

       

       

       

      

       

      7 140 12 42 42 42 28 18 42 35 5 77 140 12

42 42

39 234 42 42 39 234

234 39

6

x x x x

x x x

x

 

     

 

  Effectuons, pour une fois, une vérification !

(5)

Pour x6, on a :

       

 

2 1 2 1

5 3 2 6 5 3 6 2

3 7 3 7

2 1 2 16 2 7 16 3 14 48 62

3 7 16 3 7 21 21 21

x   x      

   

        

   

5 1 5 1

5 11 6 5 6 11

42 6 42 6

6 42 5 7 257 133 124 62

42 42 19 42 42 21

x  x     

  

     

L’équation est bien vérifiée.

L’équation admet une unique solution : 6.

     

       

2 2

2 7 11 6 2 5

2 2 11 7 7 11 2 5 6 2 6 5

2 22 7 77 2 5 12 30

29 77 17 30 12 47

47 12

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

      

                   

         

   

 

L’équation admet une unique solution : ⁴⁷ 12 .

2 3 4 2 10 2 8 20

5 5

3 5 7 3 3 5 21 7

2 20 10 8 14 100 70 8

5 7 3 21 35 35 21 21

114

114 78 114 26 35

35 21 35 7 26

7

114 7 57 2 7 57

35 26 7 5 2 13 65

x x x x

x x x

   

          

       

     

        

  

57

(6)

Exercice 2

Soit n le nombre de billets de 10€ dans le portefeuille.

Il y a donc 2

n billets de 20€.

Les n billets de 10€ ont une valeur totale de 10n euros.

Les 2

n billets de 20€ ont une valeur totale de 20 10 2

n  n euros.

L’ensemble des billets a donc une valeur total de 10n10n20n euros.

Or, la valeur totale est de 120€. On a donc l’équation : 20n120 On en tire facilement : ¹²⁰ 6

n 20  .

Vérification : Les 6 billets de 10€ ont une valeur totale de 6 10 60 euros.

Le portefeuille contient par ailleurs ⁶ 3

2  billets de 20€ représentant une valeur totale de 3 20 60 euros.

La somme totale contenue dans le portefeuille s’élève donc à 60 60 120  euros.

Le portefeuille contient 6 billets de 10€.

Exercice 3

Soit N le nombre total de tulipes plantées sur le terre-plein.

La moitié des tulipes sont jaunes. Il y a donc ¹

2N tulipes jaunes.

Les deux septièmes des tulipes sont rouges. Il y a donc ²

7N tulipes rouges.

Enfin, il y a 30 tulipes noires.

Le nombre total de tulipes est donc égal à : ¹ ² 30 2   N 7 N . On a donc l’équation :

1 2

2   N 7 N 30N

(7)

On a :

1 2

2 7 30

1 2

30 2 7

14 7 4

30 14 14 14

14 7 4 30 14 14 14

30 3 14

30 3 14 30 14

3 140

N N N

N N

    

     

      

 

    

  

 

  

 

Le terre-plein comporte un total de 140 tulipes.

Exercice 4

Soit n le nombre de cochons présents dans la cour.

L’ensemble des cochons a 4n pattes.

Il y a 5 fois moins de cochons que de poules, soit 5n poules. Elles ont un total de 2 5 n10n pattes.

Enfin, les 3 chiens ont un total de 3 4 12  pattes.

Le nombre total de pattes des animaux présentes dans la cour vaut : 4n10n 12 14n12. D’après l’énoncé, ce nombre total de pattes est égal à 110. On a donc :

14n 12 110 On a alors :

14 12 110 14 98

98 14 n

n n

 

 

(8)

Ces 7 cochons comptent un total de 7 4 28 pattes.

Il y a 5 7 35 poules qui comptent un total de 35 2 70 pattes.

Ainsi, l’ensemble des animaux comptent un total de 28 70 12 110   pattes.

Il y a 7 cochons dans la cour de la ferme.

Exercice 5

Notons S le montant total des économies en euros.

Un tiers de cette somme est utilisé pour acheter un lecteur Blue-ray. Son prix en euros est donc : ¹

3S.

Il reste alors : ¹ ²

3 3

S S S.

Les quatre septièmes de cette somme sont utilisés pour acheter un appareil photo numérique.

Son prix en euros est donc : ⁴ ² ⁸ 73S 21S. Il reste alors : ² ⁴ ² ³ ² ²

3S 7 3S  7 3S 7S (on pouvait aussi écrire : ² ⁸ ...

3S21S  ).

La carré de 12, il vous est bien connu (), vaut 144. On doit donc, finalement résoudre : 2 144

7S  On a :

2 7 2 7 7 72 2

144 144 7 72 504

7S   2 7S  2  S  2     Mes économies s’élèvent donc à 504 euros.

Le prix du lecteur Blue-ray est alors égal à ¹ ¹ 504 168 3S 3  .

Le prix de l’appareil photo numérique est : ⁸ ⁸ 504 ^{8 21 24} 8 24 192 21S 21  21

      .

  

(9)

Exercice 6

Soit n le nombre de parties gagnantes que Damien doit encore jouer en les gagnant toutes pour que le nombre de parties perdues représente exactement 7% du nombre total de parties jouées.

Le nombre total de parties jouées vaut : 315 35  n 350n. On veut donc : ³⁵ 7% ⁷

350 n  100

 .

On a alors :

 

35 7

350 100 35 100 7 350 7 5 100 7 350

5 100 350 500 350

500 350 150 n

n n n n n

 

    

     

   

  

   

En gagnant les 150 parties suivantes, Damien aura perdu 7% de l’ensemble des parties jouées.