NOUVELLE CALEDONIE NOVEMBRE 2013

(1)

(2)

1. Soit x un entier compris entre 0 et 26.

g(x) = x 4x + 3  x [27]

3x  3[27]

3x = 3 + 27k avec k entier x = 1 + 9k avec k entier De plus, x ϵ E 0 x 26

1/9 k 3

k ϵ {1 ; 2 ; 3} car k est entier Pour k = 1 : x = 1 + 9 = 8

Pour k = 2 : x = 1 + 18 = 17 Pour k = 3 : x = 1 + 27 = 26

Les éléments invariants de E par g sont 8 ; 17 et 26.

Cela signifie que les caractères qui ne change pas lors du codage sont i, r et *.

2. Soient x et y deux éléments de E tels que y  4x + 3[27].

y  4x + 3[27] donc 7y  28x + 21[27]. Or 28  1[27] et 21  6[27].

donc 7y  x 6 [27]

donc 7y + 6  x [27]

donc x  7y + 6[27].

Supposons qu il existe deux nombres x et x de E codés par le même nombre y de E.

Alors y  4x + 3 [27] et y  4x + 3 [27].

D après ce qu on a vu ci-dessus, on a alors x  7y + 6 [27] et x  7y + 6 [27].

Ainsi x  x [27], ce qui signifie que x et x ont le même reste R dans la division par 27.

Or x et y sont compris entre 0 et 26.

On a alors x = x = R.

Deux caractères distincts sont donc codés par deux caractères distincts.

3. Soit un caractère codé.

On lui associe un nombre y de E en utilisant le tableau.

On calcule le nombre 7y + 6

On détermine le reste de la division euclidienne de 7y + 6 par 27. On note y ce reste.

On associe à y le caractère qui lui correspond à l aide du tableau.

4. Pour la lettre v : y = 21

7 21 + 6 = 153

153 = 27 5 + 18 donc x = 18 le caractère qui correspond est s Pour la lettre f : y = 5

7 5 + 6 = 41

41 = 27 1 + 14 donc x = 14 le caractère qui correspond est o vfv se décode donc en sos.