ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L'INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BENARD

HAL Id: jpa-00216432

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00216432

Submitted on 1 Jan 1976

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L’INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BENARD

P. Berge

To cite this version:

P. Berge. ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L’INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BENARD. Journal de Physique Colloques, 1976, 37 (C1), pp.C1-23-C1-33.

�10.1051/jphyscol:1976105�. �jpa-00216432�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque Cl, supplément au n° 1, Tome 37, Janvier 1976, page Cl-23

ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L'INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BENARD

P. BERGE

Service de Physique du Solide et de Résonance Magnétique

C. E. N. Saclay (Orme des Merisiers), BP n° 2, 91190 Gif-sur-Yvette, France

Résumé. — On présente le phénomène de convection thermique de Rayleigh-Benard par analogie avec un phénomène de symétrie brisée et une transition de 2

ordre. Dans le domaine linéaire les résultats de la détermination du champ des vitesses mettent en évidence une situation particulière- ment simple où tous les résultats sont en accord avec ceux prévus par une théorie linéaire. On montre la similitude du comportement de la vitesse convective et de la perturbation de température : de la connaissance du comportement de ces deux paramètres locaux on peut prédire celui, macroscopique, du flux de chaleur, en plein accord avec les déterminations expérimentales.

Abstract. — The Rayleigh-Benard instability is presented by analogy with a broken symetry phenomenon and a 2nd order phase transition. In the linear domain, the results obtained concerning the velocity field, point out a very simple situation where all the experimental results agree with those obtained from a linear theory. The behaviour of the temperature perturbation is shown to be very similar with that of the convective velocity. From the knowledge'of the behaviour of these two local parameters one can predict that, macroscopic, of the convective heat flux, in total agreement with the experimental determination.

Préambule. — La majeure partie du contenu de ce texte correspond aux résultats d'expériences effectuées au C. E. N. Saclay (Orme des Merisiers) par Monique Dubois et l'auteur. Ces résultats sont plus ou moins fragmentairement publiés par ailleurs (voir références dans le texte). Dans un but de simplification j'en ai extrait ceux correspondant aux situations les plus simples et je me limiterai au domaine linéaire de l'instabilité de Rayleigh-Benard, le domaine non linéaire faisant l'objet d'une communication indépen- dante dans ce même colloque [1].

1. Introduction. — On sait depuis fort longtemps que si l'on mesure l'aimantation en champ nul M d'un barreau de fer chauffé à blanc on trouve M = 0. Ce résultat prévaut tant que la température du barreau reste supérieure à une certaine valeur T

. A partir de cette valeur T

appelée température critique de Curie, l'aimantation M se met à croître soudainement selon une loi représentée schématiquement figure 1. On sait de plus que la symétrie de la phase située à gauche sur la figure 1 est supérieure à celle de la phase située à droite.

Nous avons vu, particulièrement au cours des toutes dernières années, combien les fluides ont constitué un terrain presque idéal pour l'étude des phénomènes critiques. Essayons de montrer aujourd'hui comment les fluides purs et isotropes constituent eux aussi un terrain de choix pour l'étude des phénomènes de symétrie brisée pourvu qu'on les soumette à l'instabi- lité thermique de Rayleigh-Benard. En fait, l'instabi- lité de Rayleigh-Benard est un phénomène qui peut

M POINT CRITIQUE DE CURIE

Symétrie > / Symétrie <

haute température / basse température Te

FIG. 1. — Représentation schématique de la variation de l'aimantation à champ nul d'un corps ferromagnétique à son

passage par la transition de Curie.

(qualitativement) se décrire de façon très simple : considérons un fluide pur, isotrope et dilatable, au repos ; supposons ce fluide confiné en haut et en bas par deux plaques rigides bonnes conductrices de la chaleur et appliquons une température T + AT à la plaque inférieure alors que la plaque supérieure est à la température T(AT > 0). Nous créons ainsi au sein du fluide une situation anormale dans le sens que le fluide le plus dense, situé au voisinage de la plaque la plus froide se trouve au-dessus du fluide moins dense. A première vue il peut paraître que cette situation sera immédiatement instable dès que AT sera positif. Nous allons voir qu'il n'en est rien et qu'il est nécessaire d'excéder une différence de température critique AT

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1976105

Cl-24 P. BERGE pour que le fluide cesse d'être au repos et que des mouvements convectifs apparaissent, entraînant la montée du fluide chaud et la descente du fluide froid.

En dehors de l'existence de ce seuil critique AT,, un autre aspect fascinant de l'instabilité de Rayleigh- Benard consiste en l'existence d'une remarquable périodicité - ou si l'on préfère en l'existence d'un ordre parfait - dans l'organisation des filets convec- tifs, ordre qui ne peut manquer de surprendre celui qui le voit pour la première fois. L'apparition soudaine à AT, de cet ordre au sein du fluide, traduit l'abaissement de symétrie du système et nous sommes bien en pré- sence, comme dans le cas magnétique évoqué figure 1, d'un phénomène de symétrie brisée : Nous voyons que si nous remplaçons M par V, vitesse convective, que nous inversions l'échelle des températures et que Tc devienne AT, (Fig. 2), le schéma utilisé pour décrire la

" I INSTABILITE DE RAYLEIGH BENARD

Symétrie >

basse température haute température

FIG. 2. - Représentation schématique de la variation de la.

vitesse convective d'un fluide au voisinage du seuil de l'instabilité de Rayleigh-Benard.

transition de Curie permet d'illustrer l'instabilité convective. Nous verrons ci-dessous que l'analogie se poursuit beaucoup plus loin que ne le laisse supposer ce simple schéma ; mais il semble toutefois raisonnable, dans l'état actuel de nos connaissances, de ne pas la pousser dans ses limites extrêmes.

2. Quelques bases théoriques. - 2.1 SENS PHY- SIQUE DE L'EXISTENCE D'UN SEUIL AT,. - Nous donnons ici un modèle très simplifié mais qui a le mérite de faire comprendre la raison profonde de l'existence d'un seuil AT, dans l'apparition de la phase convective.

Ainsi que nous l'avons déjà signalé, le fluide soumis à un gradient de température est en état d'instabilité potentielle à cause des forces dues à la pesanteur. Dans le but de tester cette instabilité potentielle, nous devons écarter le système de sa position d'équilibre et voir ce qu'il advient. Une façon simple de réaliser ceci est d'isoler par la pensée un cylindre de fluide tangent aux deux plaques horizontales (Fig. 3). Faisons rapidement (adiabatiquement) tourner le cylindre au temps t = O d'un petit angle y,, et suivons l'évolution temporelle du

FIG. 3. - Modèle simplifié pour décrire l'existence d'un seuil dans l'instabilité de Rayleigh-Benard.

2' L

FIG. 3 bis. - Représentation schématisée du système de cou- rants fluides selon des rouleaux bi-dimensionnels (cellule

rectangulaire).

mouvement qui s'ensuit. Si L est la longueur du cylindre et d son diamètre (écartement des plaques) des considérations élémentaires nous montrent qu'à t = O ce cylindre est soumis à un couple pesant

Cg(t = 0) = kapo g ATd3 L sin y, (1) k est une constante sans dimension

a le coefficient de dilatation volumique p, la densité (moyenne) du fluide g l'accélération de la pesanteur

et AT la différence de température appliquée au fluide.

Quand le temps augmente, ce couple (qui tend à augmenter y) diminue selon la loi avec laquelle la différence de température aux extrémités du cylindre relaxe.

AT = AT^-'/" (t # 0)

où

d 2 / ~ avec D = A/po Cp, diffusivité thermique du fluide.

Dans ces conditions (1) devient

Cg(t) = kapo g ATd3 L sin y e-"' . ₍₂₎

Au cours de sa rotation le cylindre est soumis à un couple visqueux C, proportionnel à la viscosité q du fluide, à la surface du cylindre et au cisaillement du fluide

où k' est sans dimensions.

En réécrivant (2) et (3) sous la forme

Cg = C sin y e-"" (2')

ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L'INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BÉNARD cl-25 l'équation du mouvement du cylindre se met sous la

forme

d Y ' dy

I 2 ⁼ C'sin y e-'Ir - K - .

dl dt

Les termes inertiaux devenant rapidement négligea- bles, la solution de (4) est

D'après la forme de (5) on peut voir qu'au bout d'un temps égal au temps caractéristique de relaxation thermique T , l'angle de rotation (y-y,) reste négligeable si CTIK < 1 alors que (.]-y,) devient rapidement important si CzIK > 1.

En d'autres termes si CzIK < 1 le liquide est stable et si CzIK > 1 le liquide est instable.

En identifiant C , ^T et K à leurs valeurs (d'après ce qui précède) le critère d'instabilité devient

po ATad3 k'

- -

- ^{? D} 'k

ce qui peut encore s'écrire en utilisant la viscosité cinématique : v = - 'l

Po g AT ad3

-- v D ^{> C t e .}

Le membre de gauche de cette inégalité. est appelé nombre de Rayleigh R. Il apparaît que pour que le liquide soit instable, il faut que R soit supérieur à une certaine valeur.

Ce modèle hautement simplifié est évidemment inca- pable de prédire la valeur précise du seuil ni le type même de l'instabilité thermique. Son intérêt est seule- ment de montrer la compétition qui existe entre le mécanisme déstabilisant lié aux forces de pesanteur et le processus stabilisant lié aux forces visqueuses : en quelque sorte, pour être instable le temps de rotation contrôlé par la viscosité doit être plus court que le temps de vie de la cause déstabilisante due à la gravité, temps de vie qui lui-même est contrôlé par le temps de relaxation thermique.

2 . 2 LA THEORIE RIGOUREUSE. - Initialement déve- loppée par Rayleigh [2] cette théorie est tout à fait classique et peut être trouvée dans de nombreux ouvrages [3], [ 4 ] .

Aussi n'en donnerons-nous que les bases et la démar- che générale.

Les équations de base sont celles habituellement rencontrées en hydrodynamique : div V = O, équation de continuité

équation de Navier Stokes et

équation de diffusion de la chaleur dans lesquelles V représente la vitesse du fluide, T sa température et P sa pression

les autres symboles ayant été définis précédemment. Il faut ajouter à ceci l'équation d'état du fluide

P = p o p - - TOI] .

On suppose le fluide incompressible et répondant aux approximations dites de Boussinesq(indépendance des propriétés du fluide avec T sauf en ce qui est de la variation de densité). On réécrit ces équations en utili- sant les variables dites de perturbation V et O où O est la différence entre la température du fluide en absence et en présence de convection. En supposant V et O petits on peut négliger les termes d'ordre supérieur A 1 en V et O et les équations linéarisées correspondantes sont

div V = O

où Z désigne la cote selon l'axe vertical et VZ la composante de la vitesse selon ce même axe. Ces équations peuvent être réécrites sous la forme

où X et Y représentent les coordonnées selon deux axes orthogonaux horizontaux.

Le principe de la résolution de ces équations consiste à rechercher les solutions stationnaires en fonction de modes spatiaux pour V z et O de longueur d'onde A (ou de nombre d'onde non dimensionnel

on obtient ainsi le système

où R est le nombre de Rayleigh défini précédemment.

C 1-26 P. BERGE En adoptant les conditions aux limites du fluide confiné par des parois rigides et très conductrices de la chaleur soit Z = O et Z = d :

on trouve une solution où R est une fonction de a. Le minimum (dRlda = O) de cette fonction correspond aux valeurs R, et a, que l'on doit attendre au seuil de l'instabilité, soit :

En se reportant à la définition de a on trouve qu'au seuil, la longueur d'onde de la perturbation de vitesse (ou de température) est :

Ce que nous venons de dire est valable pour une couche d'extension infinie (selon les axes X et Y). En pratique, il est indispensable de voir comment ces prédictions sont modifiées dans le cas d'une couche d'extension horizontale finie. Pour caractériser une telle couche il est usuel de considérer le rapport d'aspect d/L où L est l'extension horizontale de la couche dans sa plus grande dimension. Davis [5] a montré théoriquement que si d/L est inférieur à 116, R, et A, ont pratiquement les valeurs attendues dans le cas de la couche infinie et Stork et Müller [6] ont confirmé ceci expérimentale- ment. Si en milieu infini la théorie permet de prévoir la périodicité spatiale A, de la structure convective, elle ne permet pas d'en connaître la forme horizontale. C'est la forme géométrique du contour des parois latérales limitant le fluide horizontalement qui détermine entièrement la forme plane de la structure convective.

Deux cas sont à considérer : si le fluide est confiné dans une boîte à base circulaire (géométrie cylin- drique) la structure convective prend la forme de rouleaux toriques concentriques [7] et si le fluide est confiné dans une boîte à base rectangulaire les rouleaux sont cylindriques d'axes parallèles au petit côté du rectangle, C'est le cas de la géométrie consi- dérée dans cette conférence et on peut voir figure 3 bis un schéma de la structure convective attendue avec la définition des principaux axes de coordonnées.

3. Conditions et méthodes expérimentales. - Nous allons décrire très rapidement l'appareillage et les méthodes employées pour la détermination optique des structures convectives et des profils de vitesses d'une couche fluide.

3.1 CELLULE DF: MESURE C O N ~ N A N T LE FLUIDE. -

Dans le but de satisfaire la très importante condition 0 = O aux frontières horizontales il faut employer des parois très conductrices de la chaleur : nous avons donc réalisé une cellule dont les parois horizontales sont des plaques de cuivre, le fluide étant maintenu entre ces plaques par un cadre de plexiglass poli

optique. II est clair que ce cadre de plexiglass consti- tuera la seule fenêtre pour faire les mesures optiques sur la couche fluide. On peut voir une représentation schématique de cette cellule figure 4. Les dimensions de la couche fluide sont dans ce cas d = 1 cm et L x l = l O x 3 c m .

Circulation d.eau

-=$&?;

Huile

Codre de

plexigloss

,

\

FIG. 4.

Schéma de principe de la cellule thermostatbe conte- nant le fluide soumis h la convection.

La constance de la température des plaques de cuivre est assurée par une circulation d'eau provenant de bains thermostatés (débit de l'ordre de 300 I/h). La précision de la mesure ainsi que la stabilité de la température est de $

La cellule est rigidement fixée à un ensemble très stable permettant d'effectuer une translation précise de la cellule selon les trois axes X, Y, Z ainsi qu'un réglage fin de l'horizontalité de la couche fluide.

3 . 2 LE FLUIDE ~ T U D I É . -Toutes les mesures de vitesse que nous rapportons ici ont été effectuées sur de l'huile aux silicones de viscosité moyenne : 1 stoke à 250. Le tableau 1 résume les propriétés physiques de ce fuide choisi pour sa parfaite transparence, sa sta- bilité et sa viscosité élevée. Notons dès maintenant que le nombre de Prandtl moyen de cette huile est de l'ordre de IO3.

Quelques constantes physiques de l'huile aux silicones utilisée

Viscosité h 21° v 1,14 + 0,01 stoke (cm2 s - J )

à 28" 1,Ol + ^{0,Ol - -}

Densité (- 25O) q o 0,96 + ^{0.01 g cm-1}

Dilatation volumique a 0,96 -r 0.01 x 10-3 degré

Diffusivité thermique D ^1,14 i. 0,04 x 10-3 cm2 s-1 Indice de rkfraction ( - 20U) 1,404

Nombre de Prandtl P ( - 20°) 1 O00

3.3 LA MÉTHODE DE VISUALISATION DE LA STRUCTURE CONVECTIVE. - Nous ne pouvons entrer dans les détails de cette méthode qui semble avoir été utilisée depuis longtemps : Le principe consiste [8] à éclairer la couche en convection par un faisceau étendu et parallèle à l'un des axes de la structure (soit 2, soit Y).

Les filets fluides descendants correspondent à des

zones plus froides donc d'indice de réfraction supé-

ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L'INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BÉNARD Cl-27 rieur à l'indice moyen de la couche. Ces zones vont

produire un effet focalisateur sur le faisceau excitateur : à une distance de la couche dépendant de l'écart de température AT on peut observer une focalisation périodique du faisceau sortant, les zones brillantes correspondant aux filets fluides descendants. On peut ainsi obtenir d'excellentes images de la périodicité de la structure convective sans introduire la moindre pertur- bation dans le fluide. On peut voir par exemple figure 5

FIG. 5. - Photographie de la structure convective à

3.

Les lignes blanches verticales correspondent aux courants descendants.

la structure convective correspondant à la géométrie de cellule décrite ci-dessus, le faisceau lumineux étant envoyé parallèlement à l'axe Y. La méthode décrite ci-dessus permet de suivre à tout momènt la périodicité ainsi que la qualité de la structure convective dont on effectue par ailleurs l'étude des vitesses par la méthode suivante.

3.4 LA MÉTHODE DE VÉLOCIMÉTRIE LASER. - NOUS ne rentrons absolument pas dans les détails d'une méthode devenue classique et dont on peut trouver des descriptions en [9, 101. Si deux faisceaux cohérents, issus du même laser se croisent, il existe dans la zone d'intersection P un système de franges d'interférences brillantes consistant en une succession de plans parallèles équiespacés de

,, ⁼ Â

2 sin 812

où ^Â longueur d'onde de la lumière et 8 angle des deux faisceaux sont mesurés dans le milieu entourant P.

Notons de plus, que les plans des franges sont perpen- diculaires à la bissectrice extérieure K de l'angle 8 (Fig. 6).

Si dans ces conditions une particule diffusante animée d'une vitesse constante V traverse le point P commun aux deux faisceaux, il s'ensuit que pendant cette traversée la lumière qu'elle va diffuser sera modu- lée dans le temps avec une fréquence

Vcos a f=-

1

L, Lentille convergente

-. séparatrice

Analyseur d onde

FIG. 6. - Schéma de la méthode de vélocirnétrie optique utilisée.

où a est l'angle de V et de K. On détecte cette lumière par un photomultiplicateur convenablement disposé et l'analyse de Fourier des fluctuations de son photo- courant permet de mesurer f, donc V cos a projection de V sur K.

Si cette particule se meut du fait de son entraînement par un fluide en écoulement laminaire, la méthode ci-dessus permettra de connaître la vitesse de ce fluide au niveau du point P. Insistons sur le caractère local de la méthode employée : avec des faisceaux laser faisant des angles 8 de l'ordre de 20 à 400 et convena- blement focalisés au voisinage du point P les dimen- sions du volume efficace de mesure sont de quelques dixièmes de millimètres seulement.

La sonde de vitesse constituée par un tel vélocimètre est donc de caractère très local et, évidemment, non perturbateur pour le fluide soumis à la mesure.

En pratique, pour l'étude présentée ici, les deux faisceaux laser entrent et sortent par les parois laté- rales de la cellule, la bissectrice de l'angle 8 étant parallèle à l'axe Y. La lumière diffusée (') est collectée à travers la paroi de sortie des faisceaux et dans la direction de la bissectrice de l'angle 8. Si l'on souhaite mesurer la composante verticale VZ de la vitesse convective, K est placé verticalement (les deux fais- ceaux sont dans un plan vertical) et si l'on souhaite mesurer la composante horizontale V, de la vitesse, K est alors disposé horizontalement (les deux faisceaux étant alors dans un plan horizontal). Par convention V, (ou V,) est positif si la vitesse a la même orientation que l'axe X (ou 2).

Pour placer le point de mesure P à l'endroit désiré dans la couche fluide on déplace la cellule selon les trois axes X, Y, Z par rapport aux deux faisceaux laser et à l'ensemble du montage optique qui reste immobile (donc réglé). On peut voir figure 7 quelques pics de vitesse mesurés pour différentes valeurs du rapport

(1)

La lumière diffusée provient d'une très petite quantité de

billes de latex de quelques microns de diamètre mises en suspen-

sion dans l'huile.

Cl-28 P. BERGE

FIG. 7. - Spectres de fluctuations du photocourant correspon- dant à la mesure de VX rnax pour diverses valeurs de e.

- - - Rc = E. Quel que soit E la largeur du pic de vitesse R,

reste- déterminée par la résolution instrumentale. Le fait qu'aucune manifestation de fluctuation de vitesse due à la turbulence n'apparaisse, s'explique par le fait que le rapport du seuil turbulent R, au seuil critique R , est, pour les grands nombres de Prandtl P :

- r P [11]

Rc

avec, dans notre cas, P = IO3.

4. Résultats expérimentaux. - 4.1 DÉTERMINATION

DU SEUIL DE L'INSTABILITÉ. - On détermine générale- ment le seuil de l'instabilité par l'apparition de la structure convective. L'apparition de la vitesse convec- tive constitue en fait un critère beaucoup plus sensible du seuil de l'instabilité car, à ce seuil, - dV = CD. On

dAT

peut voir figure 8 la variation de la vitesse convective

AT, = 20, 19 ^_+ 0,010 trouvée dans ces conditions expérimentales on déduit la valeur R, = 1 600 + ^100.

La grande incertitude provient de ce que 5 constantes physiques de l'huile interviennent dans le calcul de R et en admettant une erreur relative de 1,5 % sur chacune d'elle l'erreur totale sur la connaissance de R est voisine de 7 %. Par ailleurs, la structure convective à l'équilibre correspond à celle représentée figure 5 où dans un large domaine en &(O < E < 10) on a toujours A = A, = 2 d. Les valeurs de R, et de A, sont donc conformes à celles attendues théoriquement.

R - R, - A l'équilibre, pour une valeur de E = --- don-

Rc

née, et compte tenu de nos conditions expérimentales, V est fonction des 3 coordonnées, X, Y, 2.

En fait nous mesurons soit la composante verticale de la vitesse VZ(X, Y, Z), soit la composante horizontale

VX(X, y, Z ) .

On peut voir figure 9 la variation de la vitesse Vx avec Y. On remarque qu'à l'exclusion des effets de

Vx

I

FIG. 9. - Variation de VX rnax avec Y à e

3. Les zones hachurées correspondent aux extrémités de la cellule.

FIG. 8. - Variation de'la vitesse convective VX rnax en fonction de AT.

avec la différence de température AT appliquée au fluide. On remarque que tant que AT < AT, la vitesse reste identiquement nulle alors que pour AT = AT, et au-delà, cette vitesse se met à croître avec AT - précisons que toutes les mesures de vitesse présen- tées ici correspondent aux valeurs d'équilibre (régime stationnaire) ce régime demandant quelquefois plu- sieurs heures à s'établir au voisinage immédiat du seuil - La caractéristique représentée figure 8 est strictement reversible et reproductible. De la valeur

parois latérales Vx est indépendant de Y. Il en est de même de VZ. L'importance du palier de la figure 9 montre de plus que malgré l'extension limitée de la couche selon Y, la valeur obtenue pour V est la même que si le milieu était infini. Comme nous travaillons toujours dans le plateau de la caractéristique de la figure 9 on peut dire qu'en fait Vx = Vx(X, 2 ) et

v, ⁼ VZ(X, 2 ) .

Convenons d'appeler par la suite Vx rnax X la valeur

a vx

de Vx ( Vx # 0) aux points où - ax = O et Vx rnax Z la

a vx valeur de V, (Vx # 0) aux points 06 - = 0.

az

De même pour VZ. Par ailleurs on notera V, rnax la

valeur de Vx obtenue aux points pour lesquels on a à la

fois

ASPECTS EXPÉRIMENTAUX DE L'INSTABILITÉ T ~ R M I Q U E DE RAYLEIGH-BÉNARD cl-29

V x rnax (ou V, max) correspond donc au maximum absolu de Vx (ou de V,) dans la couche. Nous avons déterminé dans les expériences suivantes les valeurs de X et Z correspondant aux diverses valeurs de V définies ci-dessus ; ces valeurs sont récapitulées tableau II.

Vitesse

Valeur de X

( Z 0) Valeur de Z

Vx rnax X n Z, ^d n impair quelconque Vx rnax Z quelconque 0,22 d ou 0,78 d V, maxX m 5 , d ^m pair quelconque

V' inax Z quelconque 0,5 d

V, rnax n ^d ?, n impair 0,22 d ou 0,78 d

V; rnax m Z , mpair ^d 0,5 d

détail sur ce point un peu plus loin (Fig. 13) ; disons seulement que V x rnax X, nul aux parois hori- zontales, s'annule à mi-hauteur de la couche ( Z = d/2).

Par ailleurs, il y a changement du sens de la vitesse entre la moitié supérieure et la moitié inférieure de la couche fluide en convection.

L'ensemble des résultats présentés jusqu'ici sur la variation spatiale de la vitesse convective confirme avec une remarquable précision le schéma classique des rouleaux convectifs, rectilignes et parallèles à Y, petit côté de la cellule. De plus, nous avons pu montrer la non-influence du caractère limité de la couche, les propriétés des rouleaux étant identiques d'un rouleau à l'autre à l'exclusion d'effets de bords limités. Compte tenu de ce qui précède nous pouvons maintenant étudier en détail le comportement des vitesses à l'inté- rieur d'un seul rouleau (ou plus précisément à l'inté- rieur d'une paire de rouleaux correspondant à une longueur d'onde du phénomène), sachant que ces propriétés représentent en fait celles de l'ensemble de la couche fluide.

On peut voir figure 11 et figure 12 les variations spatiales de V, rnax Z et de VZ rnax Z e n fonction de X.

On notera dans les deux cas un accord tout à fait

On peut voir figure 10 la variation de Vx rnax Z en fonction X. On notera la remarquable périodicité des maxima positifs et négatifs de Vx. De plus l'effet des parois latérales limitant la couche ne se manifeste

Vx,,

(la

20 m m

FIG. 11. - Variation de VX rnax Z avec X à .e = 1,75 (2

0,22 d).

FIG. 10. -Variation de VxmaxZavec Xà ~ = 1 , 2 7 (2

0,22 d).

Les zones hachurées correspondent aux extrémités de la cellule.

que sur le premier (et le dernier) rouleau. En dehors de ces phénomènes de bords la valeur des maxima de vitesse V, rnax ne dépend pas de X. De même que nous l'avions constaté précédemment pour Y = f (Y) (Fig. 9) la valeur de V n'est donc pas affectée par l'extension finie de la couche selon X et on peut penser que les valeurs obtenues sont les mêmes que si la couche était infinie. La dernière étape de la caractérisation du champ des vitesses consiste à étudier la variation de

Vx rnax X en fonction de Z. Nous reviendrons en FIG. 12. - Variation de VZ rnax Zavec Xà

0,47 ( 2

0,5 d).

3

Cl-30 P. BERGE

FIG. 13. - Variation de VX max X avec Z à

0,69. La courbe théorique est représentée en trait plein.

satisfaisant avec l'existence d'une seule composante de Fourier représentée en trait plein.

Donc la variation spatiale de V déduite des figures et (ainsi que de nombreuses autres caractéristiques) peut se mettre sous la forme :

2 nX Vx rnax Z = Vx rnax sin -

Ac (8)

et

2 7cX Vz rnax Z = Vz rnax cos .

'4

(9)

Ce résultat est en plein accord avec les hypothèses de la théorie linéaire esquissée au début de ce texte.

Cette situation prévaut pour des valeurs de R - Rc

E = -- telle que O < E < 2 à 3 .

Rc

Au-delà de

= 3, des distorsions systématiques des caractéristiques V = f (X) commencent à devenir importantes, traduisant la présence, en plus de la composante fondamentale de longueur d'onde A,, d'harmoniques supérieures de longueur d'onde Ac/2 et Ac,i3. Dans la suite de cette conférence nous ne consi- dérons que le domaine linéaire donc correspondant à

E < 3. Le domaine non linéaire, à notre sens plus

intéressant encore, fait l'objet d'une communication séparée dans ce même colloque [l].

Sachant que les profils de vitesse selon X sont de la forme présentée formules (8) et (9), on peut, à partir des premiers principes, calculer les profils V = f (Z).

Ceci a été fait en [12] et tout récemment, et dans sa formulation la plus générale, par Y. Pomeau et C. Nor- mand [13].

Le résultat de leur étude théorique peut se mettre sous la forme :

où R(') est une fonction polynomiale du nombre de Prandtl

dans le cas de l'huile utilisée P = IO3 et R(') = 2 031 et A i et pi sont donnés dans le tableau suivant

A

A2

A: 2 ~ 1 ~ B Z = ~ B ;

- - -

1 - 3,076 x 10-2 + 5,194 10-2. i 3,974.i 5,195

2,126. i

De l a même façon

Il était alors très tentant de comparer le profil expéri- mental Vx rnax X = f (2) avec la forme attendue théoriquement dans le crochet de droite de la formule (10). Cette comparaison est illustrée figure 13 où la courbe théorique est tracée en traits pleins : on peut noter un excellent accord.

4.3 VARIATION DE L'AMPLITUDE DE LA VITESSE AVEC E . - Nous avons débuté cette conférence par une ana- logie entre la transition dé Curie du fer et l'instabilité de Rayleigh-Benard. Une théorie de champ moyen de type Landau permet de prédire que l'exposant critique j? régissant la divergence du paramètre d'ordre (aiman- tation à H = 0) est 0,5 soit

De même un raisonnement similaire prédirait que 1141

Nous avons choisi d'étudier la divergence thermique de Vx rnax et de V, rnax qui est traduite en coordon- nées logarithmiques sur les figures 14 et 15. On voit qu'une divergence du type Landau est observée dans les deux cas avec des lois de variation

Vx max = (132 + ⁴⁾

*

~ m s - ' (11)

et

V, rnax = (140 f 10) ^e0350 ' ~ m s - ' . (12)

Faisons ici une remarque très importante : les condi-

tions expérimentales dans lesquelles nous nous sommes

placés sont aussi voisines que possible des hypothèses

théoriques du calcul présenté au début de ce texte. Il

n'en est pas toujours ainsi, et en particulier nous avons

effectué des expériences avec une cellule expérimentale

du même type que celle décrite dans ce texte, mais où

les parois horizontales de cuivre assurant la condition

8 = O étaient remplacées par des parois de verre de

conductibilité thermique plus faible : donc 8 # O à

ASPECTS EXPÉRIMENTAUX D E L'INSTABILITÉ THERMIQUE DE RAYLEIGH-BÉNARD Cl -3 1

FIG. 14. - Variation de Vx rnax avec e.

Vz

OJ 0,s 1 5

FIG. 15. - Variation de Vz rnax avec

ces parois. Signalons pour mémoire que dans ces conditions nous avons trouvé 1151 une divergence de type

v, cc

l'écart à l'exposant classique 0,50 demeurant inexpliqué à ce jour.

4.'4 COMPARAISON DE L'AMPLITUDE DE LA VITESSE MESURÉE ET CALCULÉE. - Si nous nous reportons à la formule (10) et que nous en fassions l'application numérique compte tenu des constantes physiques de l'huile, nous pouvons calculer, pour E = 1, la valeur de VI rnax et de VZ max.

Le tableau III permet de comparer les valeurs obser- vées aux valeurs attendues : ici encore, l'accord est excellent.

TABLEAU III

Théorie Expérience

-

V , r n a x à ~ = l 1 3 5 + 5 p m s - l 1 4 0 f 10pms-l Vx rnax à & = 1 133 + ^{5 pms-l 132 f 4 pms-'}

4.5 COMPARAISON DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS AVEC CEUX DE MESURE DE TEMPÉRATURE. - Si nous nous reportons aux équations de la théorie générale on

remarque le rôle symétrique que jouent V et 8 où 8 est la perturbation de température (').

On doit donc s'attendre à des comportements de 8 très similaires à ceux trouvés pour V. Farahdieh et Tankin [16] ont rapporté de très belles expériences d'interférométrie sur des couches d'eau (et d'eau de mer) en convection dans des cellules rectangulaires : un faisceau cohérent de grande section est envoyé parallèlement à l'axe Y de la couche et interfère, après avoir traversé la couche, avec un faisceau de référence.

Des franges sont ainsi formées qui représentent les courbes d'iso-indice, donc d'iso-température de la couche. A partir des photographies publiées nous avons pu reconstruire la dépendance spatiale de la perturbation de température 0 en fonction de X pour Z ⁼ 0,5 d dont un exemple est illustré figure 16. Malgré

1 ( Farhadieh , Tonkin) FIG. 16. -Variation de 0, perturbation de température à Z

d/2, en fonction de X. Mesures effectuées sur l'eau pure. La courbe en trait plein représente une dépendance sinusoïdale.

l'erreur relative importante due au fait que nous n'avons pu travailler sur les documents originaux des auteurs [16] on peut constater un accord raisonnable entre 0 = f (X) et une variation sinusoïdale du type

2 nX 0 = 0 rnax cos

A

Le nombre de photographies publiées pour différents E

étant restreint nous n'avons pu calculer que quelques dépendances du type de celles illustrées figure 16, il en ressort néanmoins que la dépendance 0 = f (X) reste compatible avec une loi du type (13) tant que E < 2.

Par ailleurs, on peut voir figure 17 que la variation avec E de û rnax est du type

8 max = 0, (14)

tant que E < 2.

La similitude du comportement de V et de 8 est donc frappante tant que l'on reste dans le domaine linéaire, seul considéré ici.

(2)

Notons toutefois que les conditions aux limites sont légère-

ment différentes.

Cl-32 P. BERGE

FIG. 17. -Variation de 0 rnax en fonction de

4.6 VITESSE CONVECTIVE, PERTURBATION DE TEMPÉ- RATURE ET FLUX DE CHALEUR. - Un paramètre commu- nément mesuré pour caractériser l'état convectif est, de loin, le flux de chaleur transmis à travers la couche convective 17, 8, 91. On peut même dire que jusqu'ici c'était pratiquement le seul paramètre mesuré avec précision. Proposons-nous de voir dans quelle mesure les résultats mentionnés ci-dessus pour les paramètres locaux V et pour O sont cohérents avec les résultats classiques des mesures macroscopiques du flux de chaleur.

En fait le résultat des mesures de flux de chaleur est très généralement exprimé par un nombre sans dimen- sion, le nombre de Nusselt Nu

q conv + ^{q cond}

Nu = -

rp cond

où cp cond est le flux de chaleur à travers la couche en absence de convection (conduction seule) et rp conv +

rp cond est le fiux de chaleur total en présence de vitesse convective.

Nu, identiquement égal à 1 pour R < R, se met à croître pour R > R,.

Des considérations très élémentaires à partir de l'expression de cp cond-et de R nous .montrent que (Nu - 1) R cc cp conv.

Comment pouvons-nous par ailleurs calculer cp conv connaissant V .et 8 ?

Considérons la couche convective et le plan médian Z = d/2 de cette couche (Fig. 18). Si nous savons calculer le flux de chaleur à travers ce plan médian,

choisi pour des raisons de simplicité ⁽³⁾ le problème sera résolu. Il est bien évident qu'en un point quel- conque d'abscisse X de ce plan, le flux de chaleur d q conv (X) est de la forme

dq conv (X) = VZ(X). B(X) dX .

N'oublions pas que 8 est la perturbation de tempéra- ture (et non la température du fluide).

Un filet ascendant de fluide ayant une température plus grande que la température moyenne transporte de la chaleur vers le haut de même qu'un filet descen- dant ayant une température inférieure à la température moyenne.

Nous avons donc

cp conv cc C VZ(X) . ^{8(X) dX}

ce qui d'après les formules (9) et (12) d'une part et (13) et (14) d'autre part, donne

2 nX 2 nX

rp conv cc C ^{V. max Z cos}

BO COS --

A A

(15) soit encore

cp conv cc V . max 8, max E'

ceci, bien entendu; dans le domaine ^E < 2.

D'après ce calcul simple et compte tenu des résultats que nous connaissons sur V et sur 9 il est clair que V,

conv doit diverger (au voisinage de R,, < 2) comme

On peut voir figure 19 que les mesures de Nu [18],

/

Koshmieder et Pallas

103

.

1 2 3 4 5 10 E:

FIG. 19. - Variation du flux de chaleur convectif avec

(Huile aux silicones).

converties en (Nu - 1) R pour obtenir rp conv, sont en excellent accord avec la prédiction ci-dessus.

Nous pouvons penser que si nous disposions de mesures de 8, Vz et Nu effectuées sur le même fluide on FIG. 18. - Schéma montrant la variation de VZ et de B dans

La vitesse du fluide est purement verticale dans ce plan

le plan médian d'une cellule (2

d/2). V = V z m a x Z ( V x ' x . 0 ) .

ASPECTS EXPERIMENTAUX BE L'INSTABILITÉ THERMIQUE D E RAYLEIGH-BÉNARD Cl-33 pourrait très probablement constater un accord quan-

titatif parfait entre Nu mesuré et Nu calculé à partir de O et VZ et d'après (15). Les résultats ci-dessus illus- trent la remarquable self-consistance qui existe entre les comportements de la vitesse convective, de la pertur- bation de température et du flux de chaleur.

5. Conclusion. - En conclusion de cette conférence principalement consacrée à l'étude du champ des vitesses convectives dans le problème de Rayleigh- Benard nous ferons remarquer que le physicien se trouve dans une position d'un rare confort : il est en présence d'une situation particulièrement simple dans laquelle, pour un vaste domaine en E, un seul mode de Fourier de longueur d'onde constante permet de décrire l'instabilité. Par ailleurs, tous. les résultats expérimen- taux sont en accord parfait avec ceux que l'on peut attendre de la théorie linéaire et de considérations de type champ moyen. Les esprits chagrins diront, qu'au fond, rien ne permettait de douter que les équations de l'hydrodynamique convenablement adaptées ne s'appliqueraient à ce problème : c'est tout du moins ce que l'on est tenté de dire a posteriori quand la situation a été ainsi clarifiée. Nous pensons pour notre part qu'il fallait tenter l'expérience et que la très positive collaboration entre physiciens théoriciens et expérimentateurs qu'elle a permis de susciter serait une raison suffisante pour la justifier. De plus la convec-

tion de Rayleigh-Benard est un phénomène extrême- ment répandu autour de nous : en sont témoins l'explication de notre relief terrestre illustrée figure 20

FIG. 20. - Explication de la formation du relief terrestre à partir de l'existence de cellules de convection.

(photographie d'une page de cahier d'un élève de seconde 1201) ou encore les superbes structures en rouleaux périodiques des nuages dans certaines conditions atmosphériques [21] : Nous pensons qu'il est bon que les physiciens sachent sortir de temps à autre de leur monde généralement artificiel pour étudier sérieusement les phéi~omènes naturels qui les entourent.

Bibliographie

[l] DUBOIS, M., J. Phys. Colloq. 37 (1976) Cl-137.

[2] RAYLEIGH Lord, Phil. Mag. and J. Science 32 (1916) 529.

[3] CHANDRASEKHAR, S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability (Clarendon, Oxford England) 1961.

[4] VELARDE, M. G., Hydrodynamics, Les Houches 1973, edited by R. Balian (Gordon and Breach), New York) 1974.

[SI DAVIS, S. H., J. Fluid Mech. 30 (1967) 465.

[6] STORK, H., MULLER, O., J. Fluid Mech. 54 (1972) 599.

171 KOSCHMIEDER, E. L., Advances in chemicalphysics, edited by 1. Prigogine and S. A. Rice (Wiley 1974) 26 177.

[8] BERGE, P., Proceedings of the NATO Advanced Study Insti- tute, Physics of non equilibrium Systems, Greilo Nor- way April 1975.

[9] PENNER, S. S., JERSKEY, T., Annu. Rev. FluidMech. 5 (1973) 9.

1101 LADING, L., Appl. Opt. 10 (1971) 1943.

[Il] MARTIN, P., J. Physique Colloq. 37 (1976) C 1-57.

[12] SCHL~TER, A., LORTZ, D., BUSSE, F., J. Fluid Mech. 23 (1965) 129.

[13] POMEAU, Y., NORMAND, C., à paraître.

[14] LANDAU, L. D., LIFSHITZ, E. M., Fluid Mechanics (Perga- mon Presse London) 1959.

[15] BERGE, P., Duno~s, M., Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 1041.

[16] FARHADIEH, R., TANKIN, R. S., J. Fluid. Mech. 66 (1974) 739.

[17] SILVESTON, P. L., Forsch. Ingenieurwes. 24 (1958) 29 and 59.

[18] KOSCHMIEDER, E. L., PALLAS, S. G., Int. J. Heat Mass.

Transfer 17 (1974) 991.

1191 AHLERS, G., Phys. Rev. Lett. 33 (1974) 1185.

[20] BERGE, F., Lycée de Sèvres 1975.

[21] Phys. Today, janvier 1974.