JG JJG

( )

cos

E = E

ω t − kr u

JG JJG

) tous les points d’une même surface d’onde oscillent en phase. Pour une onde sphérique, ces surfaces équiphases

1) Surfaces d’onde et rayons lumineux

sont des sphères (kr = Cte)

) on matérialise la direction de propagation de l’énergie,

par des rayons lumineux perpendiculaires aux surfaces d’onde

Onde plane et faisceau de rayons parallèles

Onde sphérique et faisceau

de rayons concentriques Surface d’onde convexe et faisceau divergent

λ=2π/k

2) Vitesse de la lumière dans un milieu matériel : notion d’indice

une vitesse v inférieure à sa vitesse de propagation dans le vide c

L’indice du milieu n caractérise le rapport des vitesses n = c/v

Conséquence :

En passant d’un milieu dans un autre, la lumière ne change pas de fréquence f mais elle change de vitesse de propagation, donc de longueur d’onde :

λ

Exemple : dans l’eau, la longueur d’onde de la lampe au sodium devient λ = λ₀ v/c = λ₀ /n = 442 nm

0

3) Chemin optique et principe de Fermat

) Formulation simplifiée du principe de Fermat :

« Pour aller d’un point A à un point A’ la lumière (ou le rayon lumineux) suit le trajet le plus court (en temps) »

1) si le rayon reste dans le même milieu d’indice n =c/v le trajet le plus court est la ligne droite AA’ :

t_min= AA’ / v 2) si le rayon traverse plusieurs

milieux d’indices différents le trajet le plus court n’est pas la ligne droite, mais une ligne brisée A₁A₂A₃A₄

t_min= A₁A₂/c + A₂A₃/v + A₃A₄/c t_min= (A₁A₂ + n A₂A₃ + A₃A₄)/c ) On obtient le même résultat

en multiplant le chemin géométrique par les indices n_i des milieux traversés.

C’est le « chemin optique »: L =

Σ

A₁

A₂

A₃

A₄

i

Le principe d’Huygens permet de décrire la propagation d’une onde sans référence à sa source :

) tous les points a, b, c, … de la surface d’onde Ω sont en phase.

) on les considère comme des

« sources secondaires » émettant des ondelettes (demi-cerles de la figure)

) La surface Ω’, tangente à toutes les surfaces d’ondelettes de même rayon r = aa’= bb’ = … est aussi une surface d’onde. De même Ω’’.

) Cette construction est très utile pour analyser la modification des surfaces d’ondes sur la surface S de séparation entre un milieu d’indice n et un milieu d’indice n’ (un « dioptre ») :

le chemin optique : n MI + n’ IM’’ = Cte

4) Construction d’Huygens et phénomène de réfraction

Ω Ω’

Ω’’

4) Construction d’Huygens et phénomène de réfraction (suite)

Entre les plans d’onde Ω₁ et Ω₂ les chemins optiques sont égaux:

n₁B₁B₂ = n₁M₁M + n₂MM₂ = n₂A₁A₂

⇒ n₁ A₁B₂ sin i₁ = n₂ A₁B₂ sin i₂

et n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂

On retrouve la loi de la réfraction établie par Snell et Descartes

N.B. Elle permet le calcul géométrique du chemin optique le plus court

(cf : principe de Fermat)

Voir aussi le site http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optiphy/ondeplan.html

5) Réfraction et réflexion des ondes planes

La réfraction par un dioptre, est toujours accompagnée d’un réflexion au moins partielle du faisceau incident:

) l’angle de réflexion θ’_r est égal à l’angle d’incidence : θ_i=θ’_r

) l’angle de réfraction θ_rest donné par la relation : n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_r

) du point de vue ondulatoire, on peut remarquer que le raccordement des plans d’onde est cohérent avec la variation de longueur d’onde

5) Réfraction et réflexion des ondes planes (suite)

Lors de la traversée d’un dioptre depuis le milieu d’indice plus élévé, la relation : n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_r ne peut être satisfaite que pour θ_i < φ_c

Au dela de l’angle critique φ_c qui correspond à θ_r = π/2 => sin φ_c = n₂/n₁ les rayons incidents sur le dioptre sont totalement réfléchis

Exemples de prismes

à réflexion totale (miroirs) utilisés en optique : jumelles

Autre conséquence : le rapprochement apparent des obets vus à travers le dioptre plan air/eau

6) Variations d’indice et

phénomènes de dispersion

) Dans les milieux transparents, comme les verres, l’indice de réfraction n peut dépendre de la

longueur d’onde λ₀ (dans le vide) : il diminue du violet au rouge => cf. graphe ci contre

) En conséquence de la loi de Snell-Descartes : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂

les angles de réfraction dépendent de la longueur d’onde et l’on observe une dispersion des couleurs de la lumière blanche à travers une lame de verre ou un prisme

7) Interférence de deux ondes (expérience des fentes d’Young)

En appliquant le principe d’Huygens, les sources secondaires S₁ et S₂ émettent deux ondelettes en phase (et de même amplitude).

Dans certaines directions de l’espace, on observe des franges brillantes (interférences

constructives : φ₂−φ₁ = 2nπ ) séparées par des franges sombres (interférences destructives: φ₂−φ₁ = (2n+1)π)

L’amplitude du champ électrique au point P peut s’écrire:

avec un déphasage :

et une intensité sur l’écran :

1 2

1 2

1 2 2 1

1 2

2 2

cos cos

2 cos cos

2 2

r r

E E E t E t

E E E t

π π

ω ω

λ λ

φ φ φ φ

ω

⊥ ⊥

⊥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠

+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

( )

2 1 1 2

2 1

2

2 2

sin r r a ax

D

φ φ π

λ π π

φ φ θ

λ λ

− = −

− =

2

0 cos ax

I I

D

π

λ

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

8) Diffraction d’une onde par un obstacle

trajet rectiligne des rayons lumineux

D’après le principe d’Huygens, la surface

d’onde, limitée par l’orifice, peut être remplacée

par un ensemble de N sources secondaires de largeur Δx = b/N. Pour un angle d’émission θ, chaque source est déphasée par rapport à sa voisine de Δφ = 2πΔx sinθ /λ .

En additionnant vectoriellement toutes les amplitudes à l’aide de la construction de Fresnel,

l’amplitude résultante:

( ) ^p ( )

( )

2 sin / 2 2 sin / 2

avec /2 b sin /

OA R φ OA φ

φ

φ π θ λ

= =

=

JJJG

8) Diffraction d’une onde par un obstacle (suite)

est proportionnelle au carré de l’amplitude :

Pour une lumière monochromatique (λ fixé), on observe des franges brillantes séparées par des franges noires pour :

( )

0

sin / 2

I I φ / 2

φ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

sin n

b θ = λ

L’ombre d’une lame de rasoir éclairée par un faisceau laser (très monochromatique), montre aussi des franges de diffraction alternativement brillantes et noires

=> Plus la largeur de l’orifice b diminue

plus les franges de diffraction s’élargissent