Récurrence Chapitre1

Chapitre 1

Récurrence

Activité che exemple et dénition.

Proposition (Principe de récurrence) Soit P une propriété dénie sur N(au moins à partir d'un certain rangn0). Si :

La propriété est initialisée à un certain rangn0 (C'est-à-dire :P(n0)est vraie)

La propriété est héréditaire à partir du rangn0(C'est-à-dire : pour toutn≥n0,P(n)⇒P(n+ 1)) Alors la propriété est vraie à tout rang plus grand quen0.

Exemple lire page 202 en entier

→Exercices 1 à 11 pages 217 et 218

A Suites arithmétiques et géométriques

Rappel Une suite(un)n∈Nest arithmétique si il existe un réelrtel que pour toutn∈N,un+1=un+r. Le nombrerest appelée la raison de la suite.

Proposition Soit(un)_n∈N une suite arithmétique de raisonr, alors pour toutn∈N,un=u0+n×r. Preuve :Par récurrence, prouvons queP(n) :u_n=u₀+n×rest vraie pour toutn∈N.

1. Initialisation : Soitn0= 0. Alorsu0=u0+ 0×r. DoncP(0) est vraie.

2. Étape de récurrence : Soitn≥0 tel queP(n)est vraie. Prouvons queP(n+ 1) est vraie. On a : un+1=un+r=u0+n×r+r=u0+ (n+ 1)×r

DoncP(n+ 1)est vraie.

Ainsi, d'après le principe de récurrence,P(n)est vraie pour toutn∈N. 2 Rappel Une suite(u_n)_n∈Nest géométique si il existe un réelr tel que pour toutn∈N,u_n+1=r×u_n. Le nombrerest appelé la raison de la suite.

Proposition Soit(un)_n∈N une suite géométique de raisonr, alors pour toutn∈N,un=u0×rⁿ. Preuve :Par récurrence, prouvons queP(n) :u_n=u₀×rⁿ est vraie pour toutn∈N.

1. Initialisation : Soitn0= 0. Alorsu0=u0×1 =u0×r⁰. DoncP(0)est vraie.

2. Étape de récurrence : Soitn≥0 tel queP(n)est vraie. Prouvons queP(n+ 1) est vraie. On a : un+1=r×un=r×u0×rⁿ+r=u0×rⁿ⁺¹

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2 CHAPITRE 1. RÉCURRENCE DoncP(n+ 1)est vraie.

Ainsi, d'après le principe de récurrence,P(n)est vraie pour toutn∈N. 2

B Suites monotones bornées

→Exercices 14,15,17,20p219 Proposition Soituune suite.

Siuest croissante et majorée, alorsuest convergente ; Siuest décroissante et minorée, alorsuest convergente.

Preuve :Admis. 2

Remarque la propriété n'indique pas la valeur de la limite.

On a une réponse dans le cas des suites dénies par récurrence :

Proposition Soit uune suite dénie par récurrence, c'est à dire telle qu'il existe une fonction f telle queun+1=f(un). Siuconverge et sif est continue, alors la limitel deuest telle quef(l) =l.

Preuve : On a lim

n→+∞u_n+1= lim

n→+∞u_n =l. Or lim

x→lf(x) =f(l)carf est continue, donc par composition des limites, lim

n→+∞f(un) =f(l). Commef(un) =un+1, on a lim

n→+∞un+1=f(l) =l. 2 Exemple voir 2 page 207 (choix du nombrel).

→Exercices 24p219, 27p219

C Suites adjacentes

Dénition On dit que deux suiteuetv sont adjacentes si : uest croissante ;

v est décroissante ; lim

n→+∞(vn−un) = 0.

Proposition Siuetv sont adjacentes avecucroissante etv décroissante, alors pour toutn,un < vn. Preuve : On posew_n=u_n−v_n. Commeuest croissante etv est décroissante, alorswest croissante. De plus,wa pour limite0 quandntend vers+∞. Supposons qu'il existe unp∈Ntel quew_p>0. Comme west croissante, alors pour tout n > p,w_n> w_p >0, ce qui contredit que la limite dew est0. Ainsi, il n'existe pas dep∈Ntel quew_p>0. Ainsi, pour toutn,u_n ≤v_n.

Proposition Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Preuve : Deux suites adjacentes sont monotones et bornées (u0≤un≤vn≤v0), donc sont convergentes.

Elles sont donc convergentes. Soitletl⁰leurs limites. Par dénition, lim

n→+∞(un−vn) = 0. Or, lim

n→+∞(un−

v_n) =l−l⁰. Doncl=l⁰. 2

Remarque Si l'on prouve queuet v sont adjacentes et si l'on trouve un réel m tel queu_n ≤m≤v_n, alorsm= lim

n→+∞u_n = lim

n→+∞v_n. Activité 2p200 en heure de groupe.

→Exercices 28p219 , 35p221

→Exercices 30p220