Partiel de Mathématiques

S3 M,MI,MP 3 Novembre 2008 Durée 1 heure 40

Partiel de Mathématiques

Calculatrice et document sont interdits.

Barème indicatif : 2+6+6+6

Question de cours : SoitP

fnune série de fonctions définie sur un intervalleI, qui converge vers une fonctionS. Quelles hypothèses suffisantes peut-on faire sur lesf_npour être sûr que la fonctionSest dérivable ?

Exercice 1 :

Étudier la convergence des trois séries suivantes :

Xn³ 2ⁿ

Xn²+ lnn n⁴+ 1

X(−1)ⁿ cos_n¹

Exercice 2 :

1) On pose pourn≥2, u_n= ln √

n + (−1)ⁿ

√n

. Déterminer un équivalent simple deu_n. 2) En déduire que la sérieP

|u_n|est divergente.

3) Rappeler le développement limité à l’ordre2en 0 de la fonction définie parln(1 +x).

4) Étudier la convergence de la série de terme généralu_n.

Exercice 3 :

On pose pour tout entiernet tout réel positifx,

f_n(x) =x²+nxe^−nx

1) Rappeler la limite classique suivante :limu→+∞ue^−u.

2) Montrer que la suite de fonctions(f_n)converge simplement surR⁺, on explicitera la fonction limite.

3) Montrer que la suite de fonctions(fn)ne converge pas uniformément surR⁺. 4) Montrer que la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur[1; +∞[.