I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1
1) Dans l’équation : 6x + y = 18,40 , x est le prix d’une boule en euros et y est le prix d’une guirlande en euros.
2) a) Appliquer une réduction de 20 % revient à multiplier ce prix par (1 – 20
100 ) car on prend une fois le prix et on en enlève 20 % pour avoir le prix final.
1 – 20
100 = 1 – 0,2 = 0,8
Donc : Appliquer une réduction de 20 % revient à multiplier ce prix par 0,8
b) Le client suivant possède une carte de fidélité de ce magasin lui donnant droit à une réduction de 20 % sur tous les articles. Il achète cinq boules et cinq guirlandes. En présentant sa carte de fidélité à la caisse, il paie alors 25,60 €.
En considérant l’achat du deuxième client, on peut écrire : 0,8 (5x + 5y) = 25,60 Cette équation peut se mettre sous la forme : 4 x + 4 y = 25,60
4 (x + y) = 25,60 x + y = 25,60
4 x + y = 6,40 3) Résoudre le système :
6x + y = 18,40 (1) x + y = 6,40 (2)
5x = 12 (1)-(2) y = 6,40 – x
x = 2,40 y = 6,40 – 2,40
x = 2,40 y = 4
La solution du système est le couple : (2,40 ; 4)
4) Le prix d’une boule est de 2,40 € et celui d’une guirlande est de 4 €.
Exercice 2
On donne l’expression : E = (x – 5)² + (x – 5) (2x + 1) . 1) a) Développement de E :
E = (x² − 10x + 25) + (2x² + x − 10x − 5) E = 3x² − 19x + 20
b) Pour x = 3 :
E = 3( 3)² − 19 3 + 20 E = 3 × 3 − 19 3 + 20 E = 29 − 19 3
c) Marc a eu raison de développer E, car cela lui permet d’avoir x² ce qui est pratique dans un calcul avec des racines carrées.
2) a) Une solution de l’équation E = 0 est 5.
Car si on remplace x par 5, on obtient : E = 0² + 0 × (2x + 1)
E = 0 b) Factorisation de E :
E = (x − 5) [(x − 5) + (2x + 1)]
E = (x − 5) (x − 5 + 2x + 1) E = (x − 5)(3x − 4) .
c) E = 0
(x − 5)(3x − 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si l’un des facteurs est nul.
x − 5 = 0 ou 3x − 4 = 0 x = 5 ou 3x = 4 x = 4
3
Donc l’autre solution de l’équation E = 0 est 4 3 3) Pour x = 1
9 : E =
1 9 − 5
3×1
9 − 4 ou E = 3 ×
1 9
² − 19 × 1 9 + 20 E =
1 9 − 45
9
1 3 − 12
3 ou E = 3
81 − 19 9 + 20 E = − 44
9 ×
− 11
3 ou E = 1
27 − 57 27 + 540
27 E = 484
27 ou E = 484
27
II – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points) Exercice 1
1. C car on a sin 30° = 3 BC
2. C 60° pour le triangle 6 et − 120° pour le triangle 4
3. B car aBDC = 20° d’où aBOC= 40° (angle au centre qui intercepte le même arc que l’angle inscrit aBDC)
4. C en utilisant le théorème de Thalès (faire une figure au brouillon) Exercice 2
1) A (1 ; 3), B (2 ; – 1), C (– 2 ; 1) et D (4 ; – 2).
Voir figure page suivante
2) Les coordonnées du milieu M du segment [AC] sont : xM = xA + xC
2 et yM = yA + yC
2 xM = 1 − 2
2 et yM = 3 + 1
2 xM = − 1
2 et yM = 2 M a pour coordonnées : (− 1
2 ; 2) 3) Les coordonnées du vecteur
→
BC sont : x →BC= xC − xB et y →BC= yC – yB
x →BC= − 2 − 2 et y →BC= 1 − (− 1) x →BC= − 4 et y →BC= 2
→
→→
→
BC a pour coordonnées (− 4 ; 2)
4) Si ABCE est un parallélogramme alors :
→
BC =
→
AE x →BC = xE − xA et y →BC = yE − yA
− 4 = xE − 1 et 2 = yE − 3 xE = − 3 et yE = 5 E a pour coordonnées : (− 3 ; 5)
5) a) Voir figure page suivante
b) BD = (xD − xB)² + (yD − yB)²
120°
120°
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0 1
1
x y
A
B C
D M
E
F
G
III – PROBLÈME (12 points) Partie I :
1) On souhaite recouvrir la totalité du fond de la caisse par des paquets.
Donc l’arête de paquets doit être un diviseur de 96 et 156.
On veut que la longueur soit maximale, donc on prend le plus grand diviseur commun de 96 et 156.
Calculons PGCD (96,156) par l’algorithme d’Euclide :
Le dernier reste non nul est 12, donc : PGCD (96 ;156) = 12 La longueur maximale de l’arête d’un paquet est 12 cm.
2) Sur la largeur, on peut mettre : 96
12 = 8 paquets Sur la longueur, on peut mettre : 156
12 = 13 paquets Donc au total : 8 × 13 = 104 paquets
on peut alors disposer au fond de la caisse 104 paquets.
3) Les caisses ont une hauteur de 144 cm, donc sur la hauteur, on peut disposer :
144
12 = 12 paquets.
Donc au total : 104 × 12 = 1248 paquets Une caisse pourra contenir 1248 paquets.
Partie II :
1) a) On sait que 1 cm3 de lessive pèse 1,5 g, donc x cm3 pèsent 1,5x g Puis on ajoute 200 g pour le paquet vide.
Volume de lessive (en cm3) 400 800 1600 x
Masse de lessive (en g) 600 1200 2400 1,5 x
Masse totale d’un paquet de lessive (en g) 800 1400 2600 200 + 1,5 x
6 5
1 9 6
1 6 9 -
0 6
6
9 6 0
1 0 6 -
6 3
0
6 3 6
1 6 3 -
4 2 6
3 2 4
1 4 2 -
2 1
4
2 1 2
2 4 2 -
0
b) On voudrait que la masse totale d’un paquet de lessive soit 2300 g.
Soit x le volume de lessive.
Donc : 200 + 1,5 x = 2300
1,5 x = 2300 − 200
1,5 x = 2100
x = 2100
1,5
x = 1400
Le paquet doit contenir 1400 cm3 de lessive.
2) On note f la fonction qui à x associe 1,5x + 200 .
a) Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthogonal.
On placera l’origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré.
Sur l’axe des abscisses on prendra 1 cm pour 200 cm3 et sur l’axe des ordonnées 1 cm pour 200 g.
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 400
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800
0 200 200
x y
b) On retrouve par lecture graphique, le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de 2300 g en cherchant l’abscisse du point de la droite dont l’ordonnée est 2300 : c’est 1400 : donc le volume de la lessive est 1400 cm3.
Partie III :
1)
A l’échelle 1
4 les côtés de CGFE mesurent 3 cm sur la figue (12 ×1 4 ).
2) La bande JLKG est un parallélogramme.
Sur le dessin, si on prend [JL] comme base, on a : longueur de la base : 1 cm
hauteur : 3 cm
L’aire de JLKG est égale à : base × hauteur = 1 × 3 = 3 cm² L’aire de la bande sur le dessin est 3 cm².
Or l’échelle est de 1
4, donc le dessin est une réduction de la réalité de coefficient 1 4 D’où l’aire réelle de la bande est 4² fois plus grande : 3 × 16 = 48 cm²
K C
F G
J L
B
