Corrigé du baccalauréat STI2D Polynésie 11 juin 2015

Corrigé du baccalauréat STI2D Polynésie 11 juin 2015

E^XERCICE1

1. Soit Mle point d’affixe z.

|z| =1⇐⇒OM=1

L’ensembleEcherché est donc le cercle de centre O et de rayon 1 :réponse c.

2. z1=p

2e^iπ4 z2= −p 3+i

Ecrivons z2 sous forme exponentielle.

|z2| = q

(−p

3)²+1²=p 3+1=2 Soit θ=ar g(z2)

cos(θ)=−p 3

2 et sin(θ)=1

2 d’où θ=5π 6 Ainsi on a z2=2eⁱ⁵

π 6

D’où z1z2=p

2e^iπ4 ×2e^i56π=2p

2e^{i¡π4+56π¢}=2p 2e^i¡1312π¢ réponse c.

3. lim

x→0 x<0

f(x)= −∞ réponse b.

4. Soit l’équation différentielley^′+2y=5.

On sait que ses solutions sont toutes les fonctions définies sur R, par une ex- pression de la forme : x7−→Ce^−2x+5

2 C∈R

Parmi les quatre fonctions proposées, seule la réponse a/peut s’écrire sous cette forme, avec C= −1

2: en effet 5−e^−2x

2 =5

2−1 2e^−2x EXERCICE2

1. Chiffre d’affaires pour l’année 2015 : 920+ 5

100×920=966 millions d’euros.

2. Augmenter de 5% revient à multiplier par 1+ 5

100=1, 05 On a donc, pour tout entier n: Cn+1=1, 05Cn.

La suite (Cn) est géométrique de raison 1, 05 et de premier terme C0=920 3. Pour tout entier n: Cn=C0×1, 05ⁿ=920×1, 05ⁿ

4. (a) Chiffre d’affaires en 2019 : C5=920×1, 05⁵≈1174 arrondi au million d’euros près.

(b) 1, 05⁵≈1, 276. Le pourcentage d’augmentation du chiffre d’affaires de 2014 à 2019 est donc de 27, 6%, arrondi à 10⁻¹.

5. (a)

1 Variables

2 N : un nombre entier naturel 3 C : un nombre réel

4 Initialisation

5 Affecter àNla valeur 0 6 Affecter àCla valeur 920 7 Traitement

8 Tant queC<920×2

9 Affecter àNla valeurN+1 10 Affecter àCla valeurC∗1, 05 11 Fin Tant que

12 Sortie

13 Afficher2014+N

(b) En faisant tourner cet algorithme, on obtient l’affichageN=2029 C’est donc en 2029 que le chiffre d’affaires du fournisseur ENERGIA réa- lisé dans les services énergétiques dépassera les 1 840 millions d’euros.

(c) Méthode plus directe : on résout l’inéquation (I) : 1, 05ⁿ>2.

(I) ⇐⇒ln(1, 05ⁿ)>ln 2 ⇐⇒ nln 1, 05>ln 2 ⇐⇒ n> ^{ln 2} ln 1, 05 Or ln 2

ln 1, 05≈14, 2

Donc c’est bien 15 ans après 2014, donc en 2029 que Cnaura doublé.

6. Pour une hausse annuelle de 10 % , on résout l’inéquation (I2) : 1, 10ⁿ>2.

(I2) ⇐⇒ n> ^{ln 2} ln 1, 10 Or ln 2

ln 1, 05≈7, 3

Donc c’est à partir de n=8 soit l’année 2022, que Cnaura doublé.

EXERCICE3

A– Étude de la fonction représentée par la courbe(C)

1. f(0)=4.

Or f(0)=4 ⇐⇒ k−0, 5¡ e⁰+e⁰¢

=4 ⇐⇒ k−0.5×2=4 ⇐⇒ k=5 Donc on a bien : f(x)=5−0, 5¡

e^0,2x+e^−0,2x¢

2. f(4)=f(−4)=5−0, 5¡

e^0,8+e^−0,8¢

≈3, 7 à 10⁻¹près.

Cette valeur correspond à la hauteur sous le pont en bordure de chaussée pour véhicules motorisés.

En tenant compte de la hauteur de sécurité de 50 cm, on en déduit que la hau- teur maximale exprimée en mètre d’un véhicule motorisé pour qu’il puisse pas- ser sous le pont est de 3, 2 mètres, à 10⁻¹près.

3. Pour tout réelxde [−8 ; 8], on a : f^′(x)= −0, 5¡

0, 2e^0,2x−0, 2e^−0,2x¢

= −0, 1e^0,2x+0, 1e^−0,2x

Or 0, 1e^−0,2x¡

1−e^0,4x¢

=0, 1e^−0,2x−0, 1e^−0,2xe^0,4x

=0, 1e^−0,2x−0, 1e^−0,2x+0,4x

=0, 1e^−0,2x−0, 1e^0,2x

=f^′(x)

4. Pour tout réel x, le facteur 0, 1e^−0,2xest strictement positif.

Donc f^′(x) est du signe de¡

1−e^0,4x¢

sur [−8 ; 8].

Or 1−e^0,4x>0 ⇐⇒ e^0,4x<1 ⇐⇒ 0, 4x<ln 1 ⇐⇒ 0, 4x<0 ⇐⇒ x<0 Tableau de variation def sur [−8 ; 8] :

x −8 0 8

f^′(x) + 0 −

f(x) f(−8)

✒⁴❅

❅❅❘ f(8)

B– Calculs d’aires

1. I= Z₈

−8

¡e^0,2x+e^−0,2x¢ dx

=

· 1

0, 2e^0,2x+ 1

−0, 2e^−0,2x

¸8

−8

= µ 1

0, 2e^1,6− 1 0, 2e^−1,6

¶

− µ 1

0, 2e^−1.6− 1 0, 2e^1,6

¶

= 1 0, 1

¡e^1,6−e^−1,6¢

2. L’aire de la façade exprimée en m²vaut :

A= Z₈

−8

¡5−f(x)¢ dx=

Z₈

−8

¡5−¡ 5−0, 5¡

e^0,2x+e^−0,2x¢¢¢

dx

= Z₈

−8

¡0, 5¡

e^0,2x+e^−0,2x¢¢

dx

=0, 5I=0, 5× 1 0, 1

¡e^1,6−e^−1,6¢

=5¡

e^1,6−e^−1,6¢

3. S=2×5¡

e^1,6−e^−1,6¢

=10¡

e^1,6−e^−1,6¢

≈47, 51 m² à 10⁻²près.

4. Nombre de bidons nécessaires :N = S

3×5 ≈3, 2 Donc 4 bidons seront néces- saires pour recouvrir les deux faces de cette construction.

EXERCICE4

1. Msuit la loi normale de moyennem=1000 et d’écart-typeσ=7.

(a) La calculatrice donne P(9956_X6_1005)≈0, 523 à 10⁻³près (b) P(« paquet refusé »)=P(X6990)≈0, 077

2. (a) On a une répétition de 100 expériences aléatoires identiques et indépen- dantes (contrôle qualité d’un paquet) à deux issues possibles, succès ou échec, le succès consistant à prélever un paquet à rejeter, de probabilité p=0, 08. Donc la variable aléatoireXcomptant le nombre de succès suit la loi binomialeB(100 ; 0, 08).

(b) P(X=3)= Ã100

3

!

×0, 08³×0, 92⁹⁷≈0, 025 (c) P(X>5)=1−P(X<5)≈0, 910

3. On suppose que la proportionpde paquets non conformes vaut p=0, 08 On détermine alors l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fré- quence de paquets à rejeter sur un échantillon de 100 paquets.

I=

"

0, 08−1, 96 s

0, 08(1−0, 08)

100 ; 0, 08+1, 96 s

0, 08(1−0, 08) 100

#

I=[0, 027 ; 0, 133] bornes arrondies à 10⁻³près

On calcule la proportion f de paquets refusés sur l’échantillon de 100 paquets prélevé dans le stock global : f = 10

100=0, 1

Conclusion: f ∈I donc on peut considérer que l’échantillon est représen- tatif de l’usine.