[ Corrigé du baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 \ STI2D–STL spécialité SPCL
EXERCICE1 4 points
On considère les nombres complexesZ1etZ2: Z1=3p
2
1+i et Z2= 4i 1+ip
3.
1. Écrivons les nombresZ1etZ2sous forme algébrique et trigonométrique.
⋆Z1 : Z1=3 p2 1+i=3p
2× 1 1+i=3p
2× 1−i
(1+i)(1−i)=3p 2
2 (1−i)= 3p 2 2 −i3p
2 2
¯
¯
¯Z1
¯
¯
¯= v u u t
Ã3p 2 2
!2 +
Ã3p 2 2
!2
= r9
2+9 2=p
9=3
cosθ=
3p 2 2
3 =
p2 2 sinθ=
−3p 2 2
3 = −
p2 2
d’oùθ= −π
4 Z1=3³ cos³
−π 4
´ +i sin³
−π 4
´´
⋆Z2 : Z2= 4i 1+ip
3= 4i(1−ip 3) (1+ip
3)(1−ip
3)=i(1−ip 3)= p
3+i
¯
¯¯Z2
¯
¯
¯= q
(p
3)2+12=2
cosθ=
p3 2 sinθ=1
2
d’oùθ=π
6 Z2=2³ cos³π
6
´+isin³π 6
´´
2. Les points A1et A2d’affixes respectives Z1etZ2ont été placés dans le repère donné en annexe.
3. Calculons sous forme algébrique le produitZ1×Z2. Z1Z2=
Ã3p 2 2 −i3p
2 2
!¡p 3+i¢
=3p 2×p
3 2 +3p
2 2 +i
Ã3p 2 2 −3p
2×p 3 2
!
= 3(p 6+p
2)
2 +i
Ã3(p 2−p
6) 2
!
donnons sa forme trigonométriqueZ1Z2=ρρ′¡
cos(θ+θ′)+sin(θ+θ′)¢ ρρ′=3×2 θ+θ′=−π
4 + π 12= −π
12 Z1Z2=6³
cos³π 12
´
−sin³π 12
´´
4. Déterminons les valeurs exactes de cos π
12et sin π 12. par conséquent cos³π
12
´
=1 6×3(p
6+p 2)
2 =
p6+p 2 4 sin³π
12
´
=1 6×
Ã
−3(p 2−p
6) 2
!
=
p6−p 2 4
EXERCICE2 6 points
Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de 22 000(. La direction de cette en- treprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5 %.
Pour tout entier natureln, on notebnle bénéfice prévu pour l’année 2013+n, on a donc b0=22000.
Partie A
1. Calculons les bénéficesb1etb2espérés pour 2014 et 2015.
À une hausse de 4,5 % correspond un coefficient multiplicateur de 1+1004,5 c’est-à-dire 1,045.
b1=22000×1,045=22990.
b2=22990×1,045=24024,55.
2. Le bénéfice de l’année (n+1) est celui de l’annéenmultiplié par 1,045.
(bn) est une suite géométrique puisque chaque élément sauf le premier, se déduit, du pré- cédent en le multipliant par un même nombre. La raison de cette suite est 1,045 et le pre- mier termeb0=22000.
3. Exprimons alorsbn en fonction den. Le terme général d’une suite géométrique de pre- mier termeu0et de raisonqestun=u0×(q)n. bn=22000×(1,045)n.
Partie B
On considère l’algorithme ci-dessous :
Nprend la valeur 0 Bprend la valeur 22 000 Tant queB640000
Nprend la valeurN+1 Bprend la valeur 1,045∗B Fin Tant que
Aprend la valeurN+2013 AfficherA
1. La variable N correspond au rang de l’année après 2013 et B correspond au bénéfice prévu cette année-ci.
2. En exécutant cet algorithme, le dernier résultat affiché est 2027.
3. Cette valeur correspond à la première année à partir de laquelle le bénéfice prévu sera supérieur à 40 000(.
4. La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l’entreprise sera supé- rieur à 40 000(.
a. Résolvons dansRl’inéquation suivante : 22000×1,045x >40000.
1,045x>40000 22000 1,045x>40
22 1,045x>20 11
xln 1,045>ln µ20
11
¶
x>
ln20 11 ln 1,045 x>13,582 L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle [13,582 ;+∞[.
b. Le résultat de la question 2. de la partie B donne l’année à partir de laquelle le béné- fice prévu dépassera 40 000(et l’ensemble des solutions de l’inéquation précédente donne les rangs pour lesquels le bénéfice dépasse 40 000(.
EXERCICE3 6 points
Lorsque l’on consomme de l’alcool, le taux d’alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l’absorption.
Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L).
Après l’absorption de trois verres d’alcool, l’alcoolémie d’une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie surR+par :f(t)=2,5te−t.
Partie A
1. La valeur de l’alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures estf(2).
f(2)=2,5×2×e−2=5e−2≈0,677.
2. Montrons que pour tout réeltde l’intervalle [0 ;+∞[, f′(t)=2,5(1−t)e−t. f′(t)=2,5e−t+2,5t(−e−t)=2,5e−t(1−t).
Nous avons bien obtenu le résultat attendu.
3. Vérifions que la fonctionf est solution de l’équation différentielle :(E) : y′+y=2,5e−t. 2,5(1−t)e−t+2,5te−t=2,5e−t((1−t)+t)=2,5e−t
f est une solution de (E).
4. En remarquant que pour tout réeltde l’intervalle [0 ;+∞[ on af(t)=2,5t et ,
t→+∞lim f(t)=0 car lim
t→+∞
et
t = +∞; il en résulte que lim
t→+∞
t et =0.
L’axe des abscisses est asymptote à la courbe représentative def au voisinage de l’infini.
5. Déterminons les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ;+∞[.
Étudions le signe def′(t).
Pour toutt, nombre réel positif, 2,5e−t>0 par conséquent le signe de f′(t) est celui de 1−t.
SurR 1−t>0 ⇐⇒ t<1. Il en résulte sit∈[0 ; 1[ alorsf′t)>0 et sit∈]1 ; +∞[ alors f′(t)<0.
Si pour tout x∈I,f′(x)>0alors f est strictement croissante sur I .
La fonctionf est strictement croissante sur [0 ; 1[ carf′(t)>0 sur cet intervalle.
Si pour tout x∈I,f′(x)<0alors la fonction f est strictement décroissante sur I . La fonctionf est strictement décroissante sur ]1 ;+∞[ carf′(t)<0 sur cet intervalle.
6. La fonctionf admet un maximum en 1, valant 2,5e−1≈0,92.
L’alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée est 0,92g/L.
Partie B
1. La courbe représentative de la fonctionf sur l’intervalle [0 ;+∞[ a été tracée.
2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L.
Sachant que la personne a absorbé trois verres d’alcool à 12 h, déterminons à partir de quelle heure, elle pourra reprendre la route pour effectuer sans s’arrêter un trajet d’une durée d’une heure. Lisons sur le graphique l’abscisse du point d’intersection de la courbe avec la droite d’équationy=0,5. Nous lisons environ 2 heures et trente-cinq minutes.
Elle pourra partir vers 14 heures trente-cinq minutes.
EXERCICE4 4 points
Partie ALoi exponentielle et radioactivité
On modélise la durée de vieT(exprimée en jours) d’un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètreλ. On rappelle que pour toutt>0,P(T6t)=
Zt
0 λe−λxdx.
Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que :
P(T>18)=P(T618)=0,5.
1. Montrons que pour toutt>0,P(T6t)=1−e−λt. Une primitive dex7→λe−λxestx7→ −e−λx. Zt
0 λe−λxdx=
h−e−λxit
0= −e−λt+1
Par conséquent, nous avons bient>0,P(T 6t)=1−e−λt. 2. Calculons la valeur du paramètreλpour le Thorium 227.
En utilisant les données nous avonsP(T618)=1−e−18λ=0,5. Résolvons 1−e−18λ=0,5 e−18λ=1−0,5
e−18λ=0,5 ln³
e−18λ´
=ln 0,5
−18λ=ln 0,5
18λ=ln2 λ=ln2 18 λ≈0,0385
3. On suppose queλ=0,04.
La durée de vie moyenne d’un atome de Thorium 227 est 1 λ. 1
0,04=25
Partie BLoi normale et usinage
Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l’industrie aérospatiale. Le diamètre (ex- primé en centimètres) d’une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoireXsuivant la loi normale d’espérance 3,65 et d’écart type 0,004.
Les résultats seront donnés à10−3près.
1. Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre 3,645 et 3,655.
Calculons la probabilité qu’une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.
P(3,6456X63,655)≈0,701
2. Dans le cadre d’un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion p de pièces conformes est 79 %. On rappelle que l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taillen est
I=
"
p−1,96
sp(1−p)
n ;p+1,96
sp(1−p) n
# .
Déterminons l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % lorsque p=0,79 et n=100
I=
"
0,79−1,96
s0,79(1−0,79)
100 ; 0,79+1,96
s0,79(1−0,79) 100
#
≈[0,710 ; 0,870]
On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 100 pièces.
Lors d’un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d’effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
La proportion de pièces défectueuses est10025 par conséquent celle de pièces conformes est de 0,75. Cette proportion appartenant àI, il n’y a pas nécessité d’effectuer des réglages.
ANNEXE à rendre avec la copie
Exercice 1
2 4 6 8
−2
−4
−6
−8
−2
−4
−6
−8 2 4 6 8
rsrs
A1
A2
1 2 3 4 5 6 7 8 0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
O
ten heures alcoolémie en g/L
≈2h 35min
