[ Baccalauréat ES Asie juin 1996 \
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
La question4est indépendante des autres questions
aetbétant deux réels, on considère la fonctionF, définie surRpar F(x)=(ax+b)ex.
On note
• f la fonction dérivée deFsurR(F′=f),
• C la courbe représentant f dans un repère orthonormal³ O,−→
ı,→−
´, d’unité graphique 1 cm,
• T la tangente àC au point d’abscisse 0.
Le graphique ci-contre contient une partie deC et deT. 1. Exprimerf(x) etf′(x) à l’aide deaetb.
2. Lire sur le graphique f(0) etf′(0). En déduire les valeurs deaet deb.
3. SoitDle domaine limité par les droites d’équationsx=0 etx=1 2, l’axe des abscisses, et la courbeC. On noteAl’aire deD, en cm2. CalculerA.
4. Soitgla fonction définie surRparg(x)=(2x+1)ex.
Justifier les informations contenues dans le tableau de variations suivant (valeurs, sens de variation et limites)
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2
−1
O
x −∞ −3/2 +∞
g′(x) − 0 +
g(x) 0
−2e−3/2
+∞
EXERCICE1 4 points
Enseignement obligatoire
On dispose de deux dés cubiques.Toutes les faces ont la même probabilité d’apparaître.
Le 1ercube a cinq faces rouges et une face verte. Le 2ecube a une face rouge, deux vertes et trois bleues.
1. On jette les deux dés. On regarde la couleur des faces supérieures de chaque dé. On note : Al’évènement « les deux faces sont rouges ».
Bl’évènement « les deux faces sont de la même couleur ».
Cl’évènement « l’une des faces est rouge et l’autre verte ».
Dl’évènement « les deux faces sont de couleurs différentes ».
Baccalauréat ES A. P. M. E. P.
Expliquer pourquoip(A)= 5
36 etp(C)=11 36. Calculerp(B) etp(D).
À chaque jet de ces deux dés est associé un jeu qui permet :
• un gain de 5 F si les deux faces sont rouges,
• un gain de 2 F si les deux faces sont vertes,
• une perte si les deux faces sont de couleurs différentes. On notexle montant en francs de cette perte.
On définit ainsi une variable aléatoireX qui, à chaque jet des deux dés, associe le gain, ou la perte ainsi réalisé.
Déterminerp(X=5),p(X=2),p(X= −x).
On note E(X) l’espérance mathématique deX. Un tel jeu est dit « équitable » lorsque E(X)=0.
Déterminer la valeur dexcorrespondante.
PROBLÈME 10 points
Partie A
Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par
g(x)=x2+8−8lnx.
Étudier les variations deget en déduire le signe deg(x).
Partie B
Soitf la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par
(x)=x−1+8lnx x . 1. Étudier les limites def en 0 et en+∞.
2. On notef′la fonction dérivée def. Montrer que f′(x)=g(x) x2 . 3. Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations def.
4. Montrer que la représentation graphiqueCdef admet une asymptote obliqueD, d’équation y=x−1.
Déterminer la position relative deCetD.
5. ConstruireC etDdans le plan muni d’un repère orthogonal³ O,→−
ı,−→
´(unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm sur l’axe de ordonnées).
6. Déterminer les coordonnées du point B deCoù la tangente est parallèle à la droite d’équation y=x−1.
Donner une équation de cette tangente et la tracer.
7. Soithla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par
h(x)=(lnx)2. a. Calculer la dérivéeh′deh.
b. En déduire une primitive def sur ]0 ;+∞[.
8. Calculer en cm2,l’aire de la partie du plan comprise entre la courbeCl’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=e.
En donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2près.
Asie 2 juin 1996
