III D´ ebit et conservation de la masse

Cin´ematique des fluides

L’objectif de la cin´ematique des fluides est de se doter des outils n´ecessaires `a la description du mou- vement du fluide. Une particule fluide, `a la base de la description du fluide, ´etant un syst`eme d´eformable, on ne peut pas parler delavitesse du fluide, mais du champ de vitesses dans le fluide, ce qui va n´ecessiter l’introduction progressive d’´el´ements d’analyse vectorielle qui seront r´eutilis´es plus tard.

I Description du mouvement du fluide

I.1 Particule fluide

Un fluide est une substance mat´erielle susceptible de se d´eformer et de s’´ecouler sous l’effet d’une force. L’´etat physique d’un fluide est le plus souvent gazeux ou liquide, bien que certains syst`emes solides puissent ˆetre consid´er´es comme fluides sur des grandes p´eriodes de temps (glacier qui s’´ecoule).

A l’´echelle microscopique, le fluide est caract´eris´e par une absence de structure et une agitation thermique. Cette agitation peut ˆetre grossi`erement d´ecrite `a l’aide dulibre parcours moyen`qui est la distance moyenne parcourue par une mol´ecule entre deux chocs (cas du gaz) ou par la distance moyenne intermol´eculaireδ (cas du liquide). En ordre de grandeur, δ »`. On peut estimer que `»100nm est la borne sup´erieure du monde microscopique.

A l’´echelle macroscopique, les capteurs de mesure les plus pr´ecis effectuent des mesures sur des dis- tances de l’ordre de L»10^´1mm.

L’´echelle m´esoscopique lest l’´echelle situ´ee entre ces deux extrˆemes. A cette ´echelle, on va consid´erer qu’il y a suffisamment de particules dans un volume de contrˆolel³ pour pouvoir y effectuer une moyenne qui ne varie pas au cours du temps `a cause des fluctuations statistiques microscopiques. Par ailleurs, cette ´echelle est largement inf´erieure `a l’´echelle macroscopique, ce qui permet de consid´erer les grandeurs macroscopiques (pression, temp´erature, etc ...) comme uniformes. Un volume ´el´ementaire v “ l³ situ´e au point M est donc appel´e particule fluide, ce qui permet d’utiliser les grandeurs macroscopiques au point M dans le sens suivant :

La valeur de la grandeur macroscopiqueG au pointM est la valeur moyenne de cette grandeur sur le volume m´esoscopique l³ “dτ.

Remarque : La particule fluide est un syst`eme ferm´e.

I.2 Description Lagrangienne

La description Lagrangienne est une description dans laquelle on s’int´eresse au mouvement d’uneparticule fluidei.

C’est la description qui est implicitement utilis´ee en m´ecanique du point. On rep`ere la position de la particule fluide par le vecteur position ÝÝÑ

OMiptq, et on peut alors d´efinir sa vitesse

~v_iptq “ dÝÝÑOM_iptq dt

La seule variable explicite intervenant dans la position et la vitesse est le tempst. On retrouve dans cette description la notion de trajectoire, qui est l’ensemble des positions occup´ees au cours du temps par la particule fluide.

Cette description ”naturelle” qui correspond au suivi d’une particule par l’observateur est cependant inapte `a rendre compte de l’´etat global du fluide qui n´ecessiterait le suivi de toute les particules de fluide.

Le nombre de particules fluide dans un ´ecoulement macroscopique empˆeche ce suivi.

I.3 Description Eulerienne

La description Eulerienne est une description dans laquelle on s’int´eresse au mouvement des particules fluides passant en un point M fixe dans le r´ef´erentiel consid´er´e.

La vitesse est alors une fonction des coordonn´ees d’espace et de temps ~vpM, tq et constitue un champ vectoriel appel´e champ des vitesses. Il faut remarquer que la vitesse (au sens Eulerien) au point M `a deux instants diff´erentstett¹est donc la vitesse (au sens Lagrangien) de deux particules fluides diff´erentes.

Par ailleurs, compte tenu de la d´efinition, la vitesse selon l’axex n’est pas dx{dt.

Dans la suite, sauf mention explicite, on se placera toujours en m´ecanique des fluides dans la description Eulerienne du mouvement du fluide.

I.4 Lignes de courant

Une ligne de courant est une ligne du champ ~v. C’est une courbe orient´ee qui est tangente en chacun des points au vecteur ~v `a un instant donn´e. Une ligne de courant d´epend de l’instant consid´er´e.

Math´ematiquement, une ligne de courant est donc d´efinie par le lieu o`u

~

v^d~l“ÝÑ0

Remarque : Cette notion est analogue `a celle de ligne de champ rencontr´ee en ´electromagn´etisme en 1`ere ann´ee.

Remarque bis : La notion de trajectoire (formalisme Lagrangien) est `a s´eparer de la notion de ligne de courant : il n’y a pas de raison `a priori pour que les trajectoires des particules soient identiques aux lignes de champ `a un instant donn´e ... sauf si les lignes de courant ne changent pas au cours du temps ! Situation `a t

ligne de courant particule fluide

~vpM, tq

et `a t`dt dans le cas d’un ´ecoulement permanent et d’un ´ecoulement non permanent

ligne de courant

~ vpM, tq

~vpM, tqdt (trajectoire)

ligne de courant

~vpM, tq

~

vpM, tqdt (trajectoire)

I.5 Ecoulement permanent´

Un ´ecoulement permanent (ou stationnaire) est un ´ecoulement dans lequel les champs eul´eriens d´efinis ne d´ependent pas du temps.

En particulier, la vitesse ne d´epend pas du temps~vpM, tq “~vpMq. Les trajectoires des particules fluides se confondent alors avec les lignes de courant.

Preuve Par d´efinition, chaque ´el´ement de trajectoire d~l_M v´erifie d~l_M “ ~vpM, tqdt, o`u ~vpM, tq est la vitesse de la particule en pM, tq. Si la ligne de courant n’est pas modifi´ee entre t ett`dt,~v ne d´epend que deM etd~lM “~vpMqdt. Cet ´el´ement de trajectoire est confondu avec la ligne de courant.

II D´ eriv´ ee particulaire

Dans le cadre de la dynamique, nous allons avoir besoin de d´eriver un certain nombre de grandeurs par rapport au temps. En repr´esentation Lagrangienne, cette op´eration ne pr´esente pas de difficult´e. Il en va autrement en repr´esentation Eulerienne puisque la variation d’une grandeur physique associ´ee `a la particule fluide par rapport au temps peut provenir de deux sources :

– la variation ”intrins`eque” temporelle du champ Eulerien,

– le d´eplacement de la particule fluide dans le champ Eulerien, ´eventuellement non uniforme.

II.1 Exemple du champ de temp´erature

Consid´erons un champ de temp´erature non uniforme et variable dans le temps Tpx, y, z, tq que nous

´

etudions en coordonn´ees cart´esiennes pour simplifier l’´etude. Lors d’un d´eplacement dans l’air, la particule fluide situ´ee enpx, y, zq`a l’instanttse retrouve `a l’instantt`dt `a la positionpx`v<sub>x</sub>dt, y`v_ydt, z`v_zdtq,

~v“v_x~e_x`v<sub>y</sub>~e<sub>y</sub>`v_z~e_z ´etant le champ eul´erien des vitesses. Sa temp´erature est alors Tpx`vxdt, y`vydt, z`vzdt, t`dtq

La d´eriv´ee particulaire de la temp´erature est, par d´efinition, la d´eriv´ee par rapport au temps de la temp´erature d’une particule fluide suivie dans son mouvement. On la note

DT dt “ DT

Dt “ Tpx`vxdt, y`vydt, z`vzdt, t`dtq ´Tpx, y, z, tq dt

qui se r´e´ecrit au premier ordre DT

Dt “ 1 dt

ˆBT

Bxv_xdt`BT

Byv_ydt`BT

Bzv_zdt`BT Btdt

˙

ce qui permet d’´ecrire

DT Dt “vx

BT Bx `vy

BT By `vz

BT Bz `BT

Bt On peut faire apparaitre un op´erateur sur la fonctionT dans cette formule

DT Dt “

ˆ vx

B Bx `vy

B By `vz

B Bz

˙

T`BT Bt Comme

ÝÝÑgrad“ B

Bx~e_x` B

By~e_y` B Bz~e_z

~v“v_x~e_x`v<sub>y</sub>~e<sub>y</sub>`v_z~e_z , // . // -

ñ~v¨ÝÝÑ

grad“vx B

Bx`vy B

By `vz B Bz

que l’on reconnait dans l’expression de la d´eriv´ee particulaire, ce qui donne DT

Dt “ p~v¨ÝÝÑ

gradqT` BT Bt

Remarques :

– On obtient donc une expression intrins`eque de la d´eriv´ee particulaire, c’est `a dire qu’elle ne d´epend pas du syst`eme de coordonn´ees choisi (bien que nous ayons effectu´e la d´emonstration en coordonn´ees cart´esiennes),

– la d´eriv´ee particulaire est un ”pont” entre les descriptions Eulerienne et Lagrangienne du fluide, II.2 Interpr´etation des termes

La d´eriv´ee particulaire comporte, comme attendu, deux termes : – le terme BT

Bt repr´esente la variation intrins`eque temporelle du champ de temp´erature. C’est par exemple la variation du champ de temp´erature dans une pi`ece remplie d’air au cours d’une journ´ee, – le terme p~v¨ÝÝÑ

gradqT est appel´e terme advectif. Il est du au d´eplacement de la particule fluide (v doit ˆetre non nul) dans le champ T non uniforme (s’il est uniforme, le gradient est nul).

II.3 D´eriv´ee particulaire d’un champ vectoriel

On admettra que la relation pr´ec´edente reste vraie pour un champ vectorielÝÑ

A. La d´eriv´ee particulaire s’´ecrit donc de mani`ere g´en´erale

DÝÑ A

Dt “ p~v¨ÝÝÑ gradqÝÑ

A` BÝÑ A

Bt (1)

Remarque : Les parenth`eses dans le terme advectif sont indispensables dans le cas d’un champ vectoriel, puisque prendre le gradient d’un champ vectoriel n’a pas de sens.

II.4 Application au champ de masse volumique

La d´eriv´ee particulaire de la masse volumique a pour expression Dµ

Dt “ p~v¨ÝÝÑ

gradqµ` Bµ Bt

Cette expression nous servira `a ´etablir une expression de l’´equation de conservation de la masse.

II.5 Application `a l’acc´el´eration

Si on applique la formule de d´eriv´ee particulaire `a la vitesse, on acc`ede `a l’acc´el´eration, qui va nous servir dans le chapitre suivant :

~a“ D~v

Dt “ p~v¨ÝÝÑ

gradq~v`B~v

Bt (2)

En utilisant la formule (6) du formulaire, on obtient ÝÝÑgradp~v¨~vq “ÝÝÑ

gradpv²q “2~v^ÝrotÑ~v`2p~v¨ÝÝÑ gradq~v

ce qui permet de r´e´ecrire le terme p~v¨ÝÝÑ gradq~v : p~v¨ÝÝÑ

gradq~v“ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙

` pÝrotÑ~vq ^~v et d’obtenir une deuxi`eme version de l’acc´el´eration particulaire

~a“ D~v

Dt “ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙

` pÝrotÑ~vq ^~v`B~v

Bt (3)

Cette relation fait intervenir un nouvel op´erateur, l’op´erateur rotationnel Ýrot, d´Ñ efini dans le formulaire dont on donnera une interpr´etation physique dans la derni`ere partie du chapitre.

III D´ ebit et conservation de la masse

III.1 D´ebits

III.1.1 D´ebit volumique

Le d´ebit volumiqueD_v `a travers une surface orient´ee Σ est le volume de fluide traversant cette surface par unit´e de temps.

~vdt

Σ dÝÑ

S

~v

Le volume ´el´ementaire traversant la surface dÝÑS pendant l’intervalle de temps dt est δτ “ dt ~v¨dÝÑS. Le d´ebit volumique ´el´ementaire vaut donc dDv “ ^δτ_dt “~v¨dÝÑ

S et le d´ebit volumique total s’obtient en int´egrant sur toute la surface Σ :

D_v “ ij

Σ

~v¨dÝÑ

S (4)

Le d´ebit volumique est donc le flux du champ de vitesse `a travers la surface Σ (voir d´efinition du flux dans le formulaire). Il s’exprime en m³¨s^´1.

III.1.2 D´ebit massique

Le d´ebit volumique massique D_m `a travers une surface orient´ee Σ est la masse de fluide tra- versant cette surface par unit´e de temps.

~vdt

Σ dÝÑ

S

~v µ

Le volume ´el´ementaire traversant la surface dÝÑ

S pendant l’intervalle de temps dt est δτ “dt ~v¨dÝÑ S. La masse ´el´ementaire traversant la surface est doncδm“µδτ o`uµest la masse volumique du fluide. Le d´ebit massique ´el´ementaire vaut donc dDm “µ^δτ_dt “µ~v¨dÝÑ

S et le d´ebit massique total s’obtient en int´egrant sur toute la surface Σ :

Dm“ ij

Σ

µ~v¨dÝÑ

S (5)

Le d´ebit massique est donc le flux d’un vecteur~j_m “µ~v `a travers la surface Σ. Il s’exprime enkg¨s^´1. Le vecteur~j_m est le vecteur densit´e de courant massique et s’exprime en kg¨m^´2 ¨s^´1. On peut r´e´ecrire l’expression du d´ebit massique

D_m“ ij

Σ

~j_m¨dÝÑ

S (6)

III.1.3 D´ebit d’une grandeur extensive quelconque

Le d´ebit DG d’une grandeur extensive G`a travers une surface orient´ee Σ est la quantit´e de G traversant cette surface entretet t`dt.

Le volume ´el´ementaire traversant la surface dÝÑS pendant l’intervalle de temps dt est δτ “dt ~v¨dÝÑS. La quantit´e ´el´ementaire deGtraversant la surface est donc δG“gδτ o`u g“ <sup>δG</sup><sub>δτ</sub> est la grandeur volumique (intensive) associ´ee `a G. Le d´ebit ´el´ementaire vaut doncdD_G“g^δτ_dt “g~v¨dÝÑ

S et le d´ebit total s’obtient en int´egrant sur toute la surface Σ :

DG“ ij

Σ

g~v¨dÝÑ

S (7)

Le d´ebit est donc le flux d’un vecteur~j_G“g~v`a travers la surface Σ. Le vecteur~j_Gest levecteur densit´e de courant de G. On peut r´e´ecrire l’expression du d´ebit massique

DG“ ij

Σ

~j_G¨dÝÑ

S (8)

Remarque : Les vecteurs densit´e de courants ´evoqu´es ici sont des analogues du vecteur densit´e de courant ´electrique~j “ρ~v vu en premi`ere ann´ee en ´electromagn´etisme.

III.2 Conservation de la masse III.2.1 Bilan global

On consid`ere un volume de fluide V entour´e par une surface ferm´ee Σ. On cherche `a calculer la variation de masse dans ce volume (dit de contrˆole) entre les instants t (masse mptq) et t`dt (masse mpt`dtq). La variation de masse est alors ´egale `a la masse qui rentre dans le volumeV dans l’intervalle dt. Par convention, une surface ferm´ee est orient´ee vers l’ext´erieur, donc

mpt`dtq ´mptq “ ´D_mdt

et donc

dm dt “ ´

£

Σ

~j_m¨dÝÑ S ce qu’on r´e´ecrit

dm dt `

£

Σ

~j_m¨dÝÑ

S “0 (9)

Cette ´equation est l’´equation globale de conservation de la masse. Elle est valable si les variations de masse sont dues uniquement aux mouvement du fluide.

III.2.2 Bilan local

On reprend l’´equation pr´ec´edente en utilisant le fait que m“

¡

V

µ dτ

o`uµest la masse volumique du fluide. On peut alors ´ecrire, en ´echangeant d´eriv´ee temporelle et int´egrale spatiale

¡

V

Bµ Bt dτ`

£

Σ

~j_m¨dÝÑS “0 On utilise alors le th´eor`eme de Green-Ostrogradski (formulaire)

£

Σ

~j_m¨dÝÑ S “

¡

V

div~j_mdτ pour r´e´ecrire l’´equation de conservation de la masse

¡

V

ˆBµ

Bt `div~j_m

˙ dτ “0

Cette relation ´etant vraie quelque soit le volume d’int´egration V, on obtient alors la version locale de l’´equation de conservation de la masse

Bµ

Bt `div~j_m“0 (10)

Remarque : Cette relation fait intervenir un nouvel op´erateur, l’op´erateur divergence div, d´efini dans le formulaire dont on donnera une interpr´etation physique dans la derni`ere partie du chapitre.

Comme~j_m “µ~v, d’apr`es le formulaire,

div~j_m “divpµ~vq “~v¨ÝÝÑ

gradµ`µdiv~v et donc

Bµ

Bt `~v¨ÝÝÑ

gradµ`µdiv~v“0 o`u l’on voit apparaitre la d´eriv´ee particulaire de la masse volumique

Dµ Dt “ Bµ

Bt `~v¨ÝÝÑ gradµ ce qui permet d’obtenir une deuxi`eme version

1 µ

Dµ

Dt `div~v“0 (11)

III.2.3 Sources et puits

Les ´equations pr´ec´edentes ne tiennent pas compte de lieux d’apparition ou de disparition de mati`ere, que l’on va appeler respectivement sources et puits. On tient compte de ces modifications en ajoutant des termes de d´ebit massique des sourcesD_ms et des puitsD_mp, positifs, dans le bilan global, ce qui donne

dm dt `

£

Σ

~j_m¨dÝÑ

S “Dms´Dmp (12)

III.3 Ecoulement stationnaire´

Dans le cas d’un ´ecoulement stationnaire (ou permanent),µne d´epend pas du temps, donc ^Bµ_Bt “0 et donc

div~j_m “0

qui est une condition valable partout dans l’´ecoulement. On a alors, d’apr`es le th´eor`eme de Green- Ostrogradski

D_m “

£

Σ

~j_m¨dÝÑ S “

¡

V

div~j_mdτ “0

Le d´ebit massique est donc nul `a travers toute surface ferm´ee. Par ailleurs, d’apr`es le formulaire, le d´ebit massique est le mˆeme `a travers toute section d’un tube de courant. On parle de flux (ou de d´ebit) conservatif.

III.4 Ecoulement d’un fluide homog`´ ene et incompressible

Un fluide homog`ene et incompressible est un ´ecoulement dans lequel la masse volumiqueµest constante µpM, tq “µ. Dans ce cas

D_m“

£

Σ

~j_m¨dÝÑS “

£

Σ

µ~v¨dÝÑS “µD_v le d´ebit massique est proportionnel au d´ebit volumique.

Par ailleurs, ^Bµ_Bt “0 et ÝÝÑ

gradµ“0, donc 1

µ Dµ

Dt `div~v“ 1 µ

Bµ Bt ` 1

µ~v¨ÝÝÑ

gradµ`div~v“0ñdiv~v“0 ce qui implique que les d´ebits volumiques et massiques sont conservatifs.

IV Ecoulements particuliers ´

On se place dans cette partie dans le cas d’´ecoulements stationnaires.

IV.1 Interpr´etation des op´erateurs div et rot On fait les hypoth`eses simplificatrices suivantes :

– L’´ecoulement est plan et invariant par translation selonOz :~v“v_xpx, yq~e_x`v_ypx, yq~e_y,

– on consid`ere une particule fluide cubique OABC de cot´e a`a l’instant t, dont l’un des sommets est en O `a l’instant t

O y

x

C B

A

L’objectif est de d´eterminer `a quoi ressemble la particuleO<sup>1</sup>A<sup>1</sup>B<sup>1</sup>C<sup>1</sup> `a t`dt.

IV.1.1 Divergence et variation de volume

On suppose un champ de vitesse de la forme ~v “ px~ex`qy~ey avec q ą0 et p ą 0. La forme de la particule est donn´ee par les positions des points `a t`dt

– ÝÝÑ

OO¹“~vpOqdt“ÝÑ0 – ÝÝÑ

AA¹ “~vpAqdt“pa dt~ex

– ÝÝÑ

BB¹ “~vpBqdt“pa dt~ex`qa dt~ey

– ÝÝÑ

CC¹“~vpCqdt“qa dt~ey

O y

x

C B

A

C¹ B¹

A¹ qa dt~ey

pa dt~e_x

Ce champ de vitesse v´erifie

ÝÑ rot~v“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝ B Bx

B By

B Bz

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

^

¨

˝ v_x v_y 0

˛

‚“

¨

˚

˚

˝ 0 0 Bvy

Bx ´ Bvx

By

˛

‹

‹

‚“ÝÑ0

et

div~v“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝ B Bx

B By

B Bz

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

¨

¨

˝ v_x vy

0

˛

‚“ Bvx

Bx `Bvy

By “p`q

Le volume de la particule fluide passe lui de Vptq “ a³ `a Vpt`dtq “ apa`apdtqpa`aqdtq “ a³p1` pdtqp1`qdtq. On a alors

dV

dt “ Vpt`dtq ´Vptq

dt “ a³p1`pdtqp1`qdtq ´a³

dt “ a³`a<sup>3</sup>pdt`a³qdt´a³

dt “a³pp`qq au premier ordre (on a n´eglig´e le terme a³pqdt²). On reconnait dans cette expression la divergence du champ de vitesse et donc

dV

dt “Vdiv~v d’o`u

div~v“ 1 V

dV

dt (13)

La divergence du champ de vitesse est ´egale `a la variation relative de volume de la particule fluide.

Remarque : La particule n’as pas de mouvement de rotation sur elle mˆeme et ÝrotÑ~v“ÝÑ0 IV.1.2 Rotationnel et rotation locale de la particule fluide

On suppose un champ de vitesse de la forme ~v “ ´sy~e_x`sx~e<sub>y</sub> avec są0. La forme de la particule est donn´ee par les positions des points `a t`dt

– ÝÝÑ

OO¹“~vpOqdt“ÝÑ0 – ÝÝÑ

AA¹ “~vpAqdt“as dt~e_y – ÝÝÑ

BB¹ “~vpBqdt“as dt~e_y´as dt~e_x – ÝÝÑ

CC¹“~vpCqdt“ ´as dt~e_x

O y

x C¹

B¹

A¹

´as dt~ex

as dt~e_y

Ce champ de vitesse v´erifie

ÝÑ rot~v“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝ B Bx

B By

B Bz

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

^

¨

˝ vx

v_y 0

˛

‚“

¨

˚

˚

˝ 0 0 Bv_y

Bx ´Bv_x By

˛

‹

‹

‚“2s~e_z

et

div~v“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝ B Bx

B By

B Bz

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

¨

¨

˝ vx

v_y 0

˛

‚“0

L’angle de rotation de la particule fluide dθ est tel que tandθ»dθ“ AA¹

OA “ asdt a “sdt soit une vitesse angulaire autour de l’axe Oz

ω “ dθ dt “s

On peut alors relier simplement le vecteur rotation de la particule fluide au rotationnel du champ de vitesse :

1 2

ÝÑ rot~v“ÝÑ

Ω (14)

o`u Ω“ω~e_z est le vecteur rotation de la particule fluide.

Remarque : On peut obtenir le mˆeme r´esultat pour le champ des vitesses d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (formule de Varignon).

IV.1.3 Cas g´en´eral

Dans le cas le plus g´en´eral possible, le mouvement d’une particule fluide est la composition de quatre mouvements (voir compl´ement) :

– un mouvement de translation d’ensemble de la particule (pris nul dans les deux exemples ci dessus car on s’est plac´e en O o`u la vitesse est nulle pour les deux cas consid´er´es),

– un mouvement de dilatation/compression qui est d´ecrit par la divergence du champ de vitesse, – un mouvement de rotation local qui est d´ecrit par le rotationnel du champ de vitesse,

– un mouvement de d´eformation de la particule fluide `a volume constant, dit de cisaillement.

Dans le cas g´en´eral, la divergence reste li´ee `a la dilatation relative de la particule de fluide. En effet, si la particule fluide a pour volumeV, pour massem et pour masse volumiqueµ“m{V, alors

1 µ

Dµ Dt “ V

m

Dpm{Vq

Dt “VDp1{Vq

Dt “VDV Dt

Dp1{Vq

DV “ ´V V²

DV

Dt “ ´1 V

DV Dt

donc, d’apr`es l’´equation de conservation de la masse div~v“ 1

V DV

Dt

De la mˆeme mani`ere, la relation entre le rotationnel et le vecteur rotation de la particule fluide reste vraie 1

2 ÝÑ rot~v“ÝÑ

Ω Ω est appel´e vecteur tourbillon.

Remarque importante : Repr´esentation Eulerienne ou Lagrangienne dans cette sous partie ? IV.2 Ecoulement incompressible´

Un ´ecoulement incompressible est un ´ecoulement dans lequel le volume des particules fluides reste constant. Une particule fluide ´etant un syst`eme ferm´e, la masse volumique des particules fluides est aussi constante. Par cons´equent

Dµ

Dt “0 donc div~v“0

Le vecteur vitesse est donc `a flux conservatif et donc le d´ebit volumique est nul `a travers toute surface ferm´ee. Par ailleurs, le d´ebit volumique est le mˆeme `a travers toute section d’un tube de courant.

Ecoulement ou fluide incompressible ?´ Un fluide incompressible est forc´ement en ´ecoulement in- compressible.

Un fluide compressible peut ˆetre en ´ecoulement incompressible si la vitesse est faible devant la vitesse de propagation des ondes sonores dans ce fluide.

IV.3 Ecoulements potentiel et tourbillonnaire´ IV.3.1 Ecoulement tourbillonnaire´

Lorsque ÝrotÑ~v‰ÝÑ

0 on parle d’´ecoulement tourbillonnaire.

IV.3.2 Ecoulement potentiel´ Lorsque ÝrotÑ~v“ÝÑ

0 dans tout l’´ecoulement, on parle d’´ecoulement irrotationnel. Il ne faut pas relier le caract`ere irrotationnel (local, lagrangien) `a la courbure des lignes de courant. Deux exemples permettent de mieux distinguer cette diff´erence :

– ~v “ px~ey est un champ dont les lignes de champs sont des droites, mais qui est tourbillonnaire (calculer le rotationnel !),

– ~v “ _2π^γ~e_θ est un champ dont les lignes de courant sont clairement circulaires, mais qui n’est pas tourbillonnaire (calculer le rotationnel !).

Dans le cas d’un ´ecoulement irrotationnel, on alors automatiquement~v“ÝÝÑ

gradφpuisque (formulaire) ÝÑ

rotpÝÝÑ

gradUq “ÝÑ0 @U. On dit aussi que le champ de vitesse est `a circulation conservativeou que c’est un champ de gradient (voir d´efinition de la circulation dans le formulaire), comme, par exemple, l’est le champ ´electrostatique.

La fonctionφ est alors le potentiel de vitesse et l’´ecoulement est appel´e ´ecoulementpotentiel.

IV.4 Ecoulement potentiel et incompressible´

Dans ce cas, ÝrotÑ~v “ ÝÑ0 et div~v “ ÝÑ0 , on a alors divpÝÝÑ

grad~vq “ 0, soit, d’apr`es le formulaire, en introduisant le Laplacien

∆φ“0

qui est l’´equation de Poisson. On reverra une ´equation du mˆeme type en ´electromagn´etisme ou en diffusion.

V Conditions aux limites

En plus des conditions sur le rotationnel ou sur la divergence, les ´ecoulements doivent souvent v´erifier des conditions aux limites.

V.1 Cas d’un obstacle fixe

Si l’obstacle est imperm´eable, alors le fluide ne peut pas rentrer dans l’obstacle, le d´ebit `a travers un

´

el´ement de surface de l’obstacle est donc nul, ce qui se traduit par

~v¨dÝÑ S “0

Sur la surface de contact avec un obstacle fixe, la composante normale de la vitesse est nulle.

V.2 Cas d’un obstacle mobile ou d´eformable

Si l’obstacle est imperm´eable, alors le fluide ne peut pas rentrer dans l’obstacle, le d´ebit `a travers un

´

el´ement de surface de l’obstacle est donc nul, ce qui se traduit par

~vr¨dÝÑ S “0 o`u~v_r“~v´~v_Σ est la vitesse relative.

Sur la surface de contact avec un obstacle mobile, la composante normale de la vitesse est ´egale

`

a la composante normale de la vitesse de l’obstacle.

V.3 Cas de deux liquides

Si deux liquides sont non miscibles, l’un agit pour l’autre comme un obstacle mobile.

Sur la surface de contact entre deux liquides, la composante normale de la vitesse est la mˆeme dans les deux liquides.