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108 : EXEMPLES DE PARTIES GENERATRICES DE GROUPES I. Génération de groupes

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Academic year: 2022

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108 : EXEMPLES DE PARTIES GENERATRICES DE GROUPES I. Génération de groupes [Szp] (CaG) (Com)

1. Groupes monogènes

def monogène / cyclique - ~Z ou Z/nZ – générateurs, ordre

2. Groupes libres

construction, morphisme ds G, ex : X={x} => ~Z

3. Générateurs et relations

def relations, présentation, ex (Z,Z/nZ,Z

2

, H

8

)

II. Groupes abéliens de type fini [Szp]–[Com]–[CaG]

1. Groupes abéliens libres

base, rang, ~Z

2. Groupes abéliens fini

suites des invariants, ex : gpes abéliens d'order 8

3. Th de structure

G~libre + fini – cor : th structure, générateurs

III. Exemples de groupes finis [Pe][Com]

1. Groupe symétrique

générateurs : transpo / (1n)/(i,i+1) / (1,2)(1,2...n) app : An simple si n>5 , gpes dérivés, résolubilité

2. Groupes diédraux

gén : 2 sym ou 1sym & 1rot° - interprétation géom app : groupes d'odre 8

IV. Exemples dans le groupe linéaire [Pe][Au]

1. GL(E) et SL(E)

gén : transvactions et dilatations, app : simplicité

2. O(n) et SO(n)

gén : renversements ou réflexions

Biblio :

Calais (groupes) Combes

Perrin Audin

Développements :

4 – Générateurs de GL(E) et SL(E)

6 – Groupes d'ordre 8

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