STI2D Bac 2013 Polynésie

Terminale STI2D - Bac 2013 - Polynésie - Corrigé.

Exercice 1 – QCM

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

1.

1.

1.

1. Le carré de

z

est :

/4 /4

2 e

^−iπ

× 2 e

^−iπ ce qui donne :

/4 /4

4 e

^{−iπ − πi} soit :

4 e

^{− π}2 /4ⁱ ou

4 e

^{− πi /2}, ou :

4 ( ) × − i

^{, soit}

− 4i

Réponse a.

On peut demander à la calculatrice de donner la réponse ... !

2.

2.

2.

2. L'inverse de

z

est :

/4

1 2 e

^{− πi} soit :

2

/4

1 1

e

^{− π}i

×

ou encore :

1

^/4

2

e

i^π Réponse d.

On sait que l'équation

y ′′ + 4 y = 0

, qui s'écrit

y ′′ = − 4 y

^ou

y ′′ = − 2

²

y

^, a des solutions de la forme :

f x ( ) = λ cos(2 ) x + µ sin(2 ) x

^où

λ

^et

µ

^{sont des} constantes quelconques.

On voit que le coefficient de

x

dans les

cos(2 ) x

et

sin(2 ) x

est 2.

La seule réponse où on a la même chose est la réponse b :

( ) 5sin 2

f x



x 3



=



+



 

π

Vérifions donc que la fonction

f

de la réponse b vérifie l'équation différentielle.

On a :

( ) 5sin 2 f x =



x + 3



 

π

2 ( ) 5cos 2

f x ′ =



x + 3





π ×



2 ( ) 5sin 2

3 2

f ′′ x = −



x +





π × ×

 On constate que :

( ) 4 f x ( ) f ′′ x = − ×

C'est à dire :

( ) 4 ( ) f x 0 f ′′ x + =

Autrement dit,

f

vérifie l'équation :

4 0

y ′′ + y =

^. Réponse b.

Il faut calculer

p X ( ≥ 8 )

.

Calculons plutôt :

p X ( < 8 )

(probabilité de l'événement contraire.)

On sait que :

8

0,2 0

8) 0, 2

( e

^x

x

p X < = ∫

⁻

d

(densité :

f x ( ) = λ e

^−λx)

Une primitive de

f x ( ) = λ e

^{−λx est}

F x ( ) = − e

^−λx.

D'où : 8

0,2 0,2

0

0, 2 8

0

x x

e

⁻

dx = −



e

⁻ 

∫

soit :

( ^{− e}

^−0,2×8

) ( ^{− − e}

^{−0 2, ×0}

)

ou

− e

^−1,6

+ 1

On obtient ainsi :

p X ( < 8) = − e

^−1,6

+ 1 ≈ 0, 79 81

^. Et aussi :

p X ( ≥ = − 8) 1 p X ( < ≈ 8) 0, 20 19

Réponse b.

Exercice 2 – Suites numériques et algorithmes

On a :

u

₁

= 0, 4 × u

₀

+ 3

soit :

u

₁

= 0, 4 8 3 × +

et :

u

₁

= 6, 2

^. Et aussi :

u

₂

= 0, 4 × u

₁

+ 3

soit :

u

₂

= 0, 4 6, × 2 3 +

et :

u

₂

= 5, 48

^.

On obtient :

u

₁

= 6, 2

^et

u

₂

= 5, 48

^.

La formule est : = = = = B2 * 0,4 + 3B2 * 0,4 + 3B2 * 0,4 + 3 B2 * 0,4 + 3

On peut conjecturer que la limite de cette suite est 5.

La variable U contient les termes successifs de la suite.

La variable N contient les rangs successifs de ces termes.

Le calcul des termes continue tant que U – 5 > 0,01 , c'est à dire tant que la distance entre U et 5 est supérieure à 0,01.

L'algorithme affiche le premier rang n pour lequel la distance entre

u

_n et 5 est inférieure ou égale à 0,01.

a.a.a.

a. On a :

v

_n

= v

₀

× 0, 4

ⁿ, puisque cette suite est géométrique, de raison 0,4.

Ceci donne :

v

_n

= 3 × 0, 4

ⁿ b.

b.b.

b. La raison de la suite

( v

_n

)

est entre 0 et 1.

On en déduit que la limite de

( v

_n

)

est 0.

c.

c.

c.

c. On sait que

v

_n

= u

_n

− 5

^{et que}

v

_n tend vers

0

. On en déduit que

u

_n, qui est égal à

v

_n

+ 5

, tend vers 5.

Ceci permet de valider la conjecture faite à la question 3.

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Exercice 3 – Equations différentielles

On sait que l'équation différentielle

y ′ + ay = b

a pour solution générale :

( )

^ax

b

f x ke a

=

−

+

^{, où}

k

est une constante quelconque.

L'équation

y ′ + 0,04 y = 0,8

a pour solution générale : 0,04

0,8

( ) 0,04

f x = ke

⁻ x

+

^{, où}

k

est une constante quelconque.

Soit :

f x ( ) = ke

^−0,04x

+ 20

^.

La fonction

g

est définie par :

g t ( ) = ke

^−0,04t

+ 20

^. L'égalité

g (0) 100 =

s'écrit :

ke

^−0,04×0

+ 20 100 =

soit:

k + 20 100 =

donc :

k = 80

^.

On a alors :

g t ( ) = 8 0 e

^−0,04t

+ 2 0

a. a. a.

a. Au bout de 30 minutes, la température du plat est :

g (30) = 80 e

^{−0,04 30×}

+ 20

ce qui donne :

g (30) ≈ 44,1 °

.

Le temps nécessaire pour atteindre 37°C n'est pas correctement évalué.

b.

b.b.

b. On résout l'équation :

g t ( ) = ° 37

^. Elle s'écrit :

80 e

^−0,04t

+ 20 = 37

soit :

80 e

^−0,04t

= 17

e

^−0,04t

= 17 / 80

En appliquant la fonction ln :

^ln ( ^e

^−0,04t

) ^{= ln 17 / 80 ( )}

^{− 0,04 t = ln 17 / 80} ( )

^{1 ln 17 / 80} ( )

t = 0,04

−

Ceci donne :

t ≈ 38,72

minutes, 38 minutes et 43 secondes environ.

On peut aussi faire des tableaux de valeurs successifs à la calculatrice :

Au bout de 30 minutes, le plat est à 44,096°

Il faut entre 38 et 39 minutes pour qu'il descende en dessous de 37° :

On calcule les valeurs de g entre 38 et 39 minutes :

Puis entre 38,7 et 38,8 minutes :

On obtient ainsi :

g (38,72 ) ≈ ° 3 7

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Exercice 4 – Lois de probabilité, fluctuation.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

1.

1.1.

1. A l'aide de la calculatrice ¹ , on obtient :

p (7 4, 4 ≤ ≤ L 75, 6) ≈ 0,984

(La calculatrice donne : 0,9836049423.)

2.

2.2.

2. Pour une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance

µ

et d'écart-type

σ

, on sait que la probabilité d'être entre

µ − σ 2

^et

µ + σ 2

est d'environ 95%.

Il suffit de donner à

h

la valeur

2σ

^{, soit}

h = 0,5

X

est le nombre de "succès" sur 20 expériences indépendantes ayant chacune une probabilité de succès égale à 0,02.

X

suit donc une loi binomiale

B n p ( , )

, de paramètres

n = 20

^et

p = 0, 02

^.

1 La commande sur TI-82 est : normalFrép (74.4 , 75.6 , 75 , 0.25 ).

De manière générale : normalFrép (a , b , m , σσσσ ) donne la probabilité qu'une variable aléatoire X, suivant une loi normale d'espérance m et d'écart-type σ, soit entre les valeurs a et b.

On sait que

P X ( = 0)

est la probabilité d'avoir 20 "échecs" consécutifs.

Cette probabilité est égale à :

0,98 × 0,98 0,98 ... 0,9 × × × 8

^soit

0,98

^20, puisque la probabilité d'un "échec" est

1 − = − p 1 0, 02 = 0,98

^.

On obtient :

0, 8 9

²⁰

≈ 0, 66 8

^. D'où :

p X ( = 0) ≈ 0,668

Voir la note ci-dessous² pour calculer p(X=k) à l'aide de la calculatrice.

On cherche

p X ( ≥ 1 )

, ce qui revient à

p X ( ≠ 0 )

^.

Comme

p X ( = = 0) 0,668

, la probabilité de l'événement contraire est :

0) 1 ( 0) 1 0, 668

( p X

p X ≠ = − = ≈ − ≈ 0,332

^.

La probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme est 0,332.

On sait que

X

suit une loi binomiale

B n p ( , )

avec

n = 20

^et

p = 0, 02

^. Son espérance est donc :

E X ( ) = np

.

On obtient :

E X ( ) = np = 20 0,02 × = 0, 4

^. L'espérance de

X

est 0,4.

Cela signifie que sur un grand nombre de tirages, la moyenne de

X

sera d'environ 0,4 pièce non conforme sur 20 pièces tirées.

2 La commande sur TI-82 est : binomFdp (n , p , k) pour calculer p(X=k).

Ici, ç'aurait été : binomFdp (20 , 0.02 , 0) qui donne la même réponse.

Les conditions ne sont pas réunies pour calculer cet intervalle de fluctuation.

Il faut, en principe, que :

30 5 (1 ) 5 np

n p

n ≥

≥

− ≥







Or ici, n= 80 et p = 0,02, ce qui donne np = 1,6, et c'est insuffisant.

Dans ce cas de figure, il vaut mieux essayer de répondre à la question malgré tout.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence f de pièces non conformes dans un échantillon de 80 pièces a pour bornes ³ :

borne inférieure :

(1 ) 0, 02

1,96 0,02 1, 0,98

80 0,01 1

p p 96

p − n − = − × ≈ −

borne supérieure :

(1 ) 0,02

1,96 0,02 1, 0,98

0,051

96 80

p p

p n

− − = + × ≈

L'intervalle recherché est donc :

[ ^{0 ; 0,051} ]

, soit entre 0% et 5,1%.

2.

2.2.

2. La fréquence est

3

0, 0375

f = 80 =

, soit 3,75%.

3.

3.3.

3. La fréquence

f

dans l'échantillon est dans l'intervalle de fluctuation calculé à la question 1. On peut donc donc penser que l'écart entre ces 3,75% et les 2% du cahier des charges n'est dû qu'à la fluctuation naturelle lorsqu'on tire 80 pièces au hasard.

La machine de production ne doit pas être révisée.

3Oui, cette phrase est longue et moche. C'est comme ça ! :)