(1)Théorème de point fixe de Markov–Kakutani Théorème 1 (Markov–Kakutani)

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Théorème de point fixe de Markov–Kakutani

Théorème 1 (Markov–Kakutani). Soient E un evn,K un compact convexe non vide deE et F ⊆ Lc(E)un ensemble d’applications linéaires continues commutant deux à deux et laissantKstable. Alors

∃x∈K, ∀f ∈F, f(x) =x.

Preuve. On raisonne d’abord dans les cas particuliers oùF est un singleton puis un ensemble fini.

1. Le cas F ={f}. Fixons x∈K. Soit pour tout n∈N^∗, un(x) := _n¹Pn−1

k=0f^k(x)∈K l’isobarycentre des n pointsf^k(x),06k < n, du convexeK. D’une part

kf(un(x))−un(x)k= 1

nkfⁿ(x)−xk6δ(K)

n −−−−−→

n→+∞ 0.

D’autre part on peut extraire de (un(x))n∈N ∈ K^N une sous-suite (uσ(n)(x))n∈N convergeant vers un élément u∈K. Par continuité def enu, on en déduit f(u)−u= 0, c’est-à-diref(u) =u.

2. Le cas F ={f1, . . . , fn}. Procédons par récurrence surn∈N^∗. On vient de traiter le casn= 1. Supposons n>2 et le résultat vrai au rangn−1. L’ensembleK^′:={x∈K| ∀i < n, fi(x) =x} est encore convexe, et compact car fermé dans K. Aussi, par hypothèse de récurrence, K^′ 6=∅. Enfin, K^′ est stable parfn. En effet si x∈K^′ et i∈ {1, . . . , n−1}, alors x=fi(x), donc fn(x) = fn(fi(x)) = fi(fn(x)) puisquefn

et fi commutent —fn(x)∈K est alors un point fixe commun àf1, . . . , fn−1, soit fn(x)∈K^′. D’après le premier cas,fn admet alors un point fixe dansK^′, ce qui achève la récurrence.

3. Le Kakutani(hahaha). Pour toutf ∈F,Kf :={x∈K|f(x) =x}est un fermé deK. D’après le deuxième cas, T

f∈F^′Kf 6=∅ pour tout sous-ensemble finiF^′ ⊂ F, donc grâce à la propriété de Borel–Lebesgue T

f∈FKf 6=∅.

Corollaire 2. SoitP∈ Mn(R)une matrice stochastique. AlorsP possède une mesure invariante.

Preuve. L’application linéaire (donc) continue f: µ ∈ Rⁿ 7→ µP ∈ Rⁿ stabilise, puisque P est une matrice stochastique, l’ensemble K:={µ:= (µ1, . . . , µn)∈Rⁿ| ∀i, µi>0 et Pn

i=1µi= 1}, compact (fermé borné de Rⁿ), convexe, et non vide (par exemple (_n¹, . . . ,_n¹)∈ K). D’après le théorème 1 f admet donc un point fixe

dansK : il existeµ∈K tel que f(µ) =µP =µ.

Références. [MT]

203 Utilisation de la notion de compacité.

206 Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

[MT] RachedMneimné et FrédéricTestard: Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques.

benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 1/1