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6

Dynamique aux temps longs de la

colonne entraînée

Sommaire

6.1. Quand la colonne se rétracte d’un seul tenant . . . 132

6.1.1. Cas de la chute d’une sphère solide . . . 132

6.1.2. Cas de la traversée d’une bulle . . . 135

6.1.3. Discussion . . . 137

6.2. Fragmentation de la colonne en gouttelettes . . . 138

6.2.1. Cas de la chute d’une sphère solide . . . 138

6.2.2. Cas d’une bulle . . . 140

6.2.3. Discussion . . . 141

6.3. Rétraction vs. fragmentation : éléments de compréhension . . . 145

6.3.1. Passage d’une configuration de rétraction à une configuration de fragmentation . . . 145

Ce chapitre porte sur l’évolution aux temps longs de la colonne entraînée, i.e son évolution après pincement. La colonne qui n’est plus étirée1 _{montre différents comportements qui sont analysés à la lumière des résultats} du chapitre 4 ainsi que ceux de la littérature. Cette dynamique aux temps longs est aussi très riche dans le cas d’une bulle traversant une interface liquide-liquide. Nous exploiterons certains des résultats de Bonhomme (2012)2 _{dans le but de comparer les configurations engendrées par une bulle ou une sphère, mais surtout pour} évaluer dans le cadre le plus général possible la prédominance de certains effets en fonction des paramètres sans dimension.

6.1

Quand la colonne se rétracte d’un seul tenant

6.1.1

Cas de la chute d’une sphère solide

6.1.1.1 Étude de la configuration de la sous-section 5.2.3

Dans cette sous-section nous étudions le comportement aux temps longs de la colonne fluide, dans le cas de la chute d’une bille de teflon de 10 mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone 47V500 / eau. Les paramètres sans dimension associés peuvent être trouvés dans la sous-section 5.2.3. Pour effectuer cette analyse, nous utilisons la simulation réalisée avec 200 points par diamètre de sphère.

(a) 1 -1 0 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figure 6.1. Remontée de la colonne après passage d’une bille de teflon de 5 mm de rayon au travers de l’interface

séparant une couche d’huile de silicone 47V500 d’une couche d’eau. (a)-(c)-(e)-(g) : séquence expérimentale. (b)-(d)-(f)-(h) : séquence numérique. Le pas de temps entre deux images, adimensionné par√Rp/(gζ∗), est

de 6.

La séquence d’images de la figure 6.1 montre qu’après pincement, la colonne remonte d’un seul tenant pro-bablement sous l’effet combiné de la force capillaire et dans une moindre mesure de la force de flottabilité (Bo_{= 0.24). Elle a de plus un rayon à peu près constant, sauf en son extrémité qui grossit et prend une forme} sphérique. Dans la suite nous appellerons cette extrémité goutte attachée ("blob"). Cette rétraction s’explique à la lumière des résultats de Stone et al. (1986), qui observent que des gouttes beaucoup plus visqueuses que leur environnement préalablement étirées, relaxent vers leur position initiale sans qu’aucun mécanisme de pincement n’apparaisse (instabilité capillaire, pincement par les extrémités3_{). En effet la viscosité du fluide intérieur à la} colonne inhibe le pincement (Oh_{= 2.3). Plus généralement, ce problème s’inscrit dans la problématique plus} vaste de la rétraction de nappes liquides.

1. L’étirement de la colonne a un effet stabilisant aussi bien vis-à-vis du pincement de celle-ci (Marmottant et Villermaux, 2004a) que de l’apparition d’instabilités capillaires (Eggers et Villermaux, 2008; Mikami et al., 1975; Tomotika, 1936)

2. Je souhaiterais remercier Romain Bonhomme pour m’avoir laissé exploiter et utiliser ses données expérimentales. Merci aussi à lui pour ses précieux conseils sur le dispositif expérimental.

3. Ce mécanisme a été identifié par Stone et al. (1986) et sera redéfini dans la suite.

Retraction d’une nappe liquide

Il semble que Taylor (1959) et Culick (1960) soient les premiers à s’être intéressés à la vitesse de rétraction d’une nappe liquide. En faisant un bilan de quantité de mouvement sur l’extrémité de la nappe et en supposant que les effets visqueux sont négligeables, ils obtinrent indépendament la vitesse atteinte par l’extrémité du film en régime stationnaire, u₌√ 2γ

ρ1R, où R correspond à la demi épaisseur de la nappe. Keller (1983) considère le cas de la rétraction d’une colonne axisymétrique et a obtenu la même vitessea. Plus récemment Brenner et Gueyffier (1999) se sont intéressés aux déformations de la nappe se rétractant dans le cas visqueux. Des ondes capillaire se développent pour de petits nombres d’Ohnesorge tandis que pour de très grands nombres d’Ohnesorge l’extrémité de la goutte emportée s’aplatit. A l’aide d’un bilan de quantité de mouvement, Savva et Bush (2009) ont montré que la prise en compte de la viscosité ne changeait pas la vitesse stationnaire atteinte par l’extrémité de la nappe, mais que le transitoire pour l’atteindre était fortement influencé par la viscosité et la géométrie étudiée (nappe bidimensionnelle ou sphérique). A notre connaissance, seule l’étude de Song et Tryggvason (1999) prend en compte la présence d’un fluide extérieur. A l’aide d’une méthode numérique de suivi de front ("Front Tracking"), ils évaluent l’influence du rapport de viscosités sur la dynamique de rétraction d’une nappe bidimensionnelle. Pour λ_{≪ 1 ils n’observent pas d’effets notables de ce rapport.}

a_{. Il semble cependant, comme noté par Hoepffner et Paré (2013), que le résultat donné par Keller (1983) surestime la}

vitesse de retraction d’un facteur√2 (ce point est discuté plus en détail dans l’annexe E.1).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 12 ug z₋ Taylor-Culick E1 E2 E3 S

Figure 6.2. Vitesse normalisée de l’extrémité de la colonne en fonction de sa position pour la situation considérée sur

la figure 6.1. Les points correspondent aux résultats expérimentaux et numériques. Les frontières de la zone grisée correspondent aux vitesses de Taylor-Culick obtenues en considérant le plus petit et le plus grand rayon de la colonne durant le processus de rétraction.

La vitesse de l’extrémité est plus grande que celle de Taylor-Culick aussi bien expérimentalement que nu-mériquement (figure 6.2). Il y a également un bon accord entre les résultats numériques et expérimentaux. Numériquement nous pouvons observer des fluctuations de la vitesse, qui sont principalement dues à l’émission de petites gouttes par la colonne se rétractant qui viennent polluer la procédure de post-traitement. Plusieurs points permettent d’expliquer les différences observées entre nos résultats et la vitesse théorique :

• les effets de flottabilité modifient le bilan de quantité de mouvement de la colonne qui n’est plus uniquement contrôlée par la force capillaire (annexe E.2). Avec la présence d’un gradient de pression hydrostatique, il n’y a aucune raison pour que le fluide dans la colonne soit au repos. Il y a donc a priori un flux de liquide au niveau de la base de la colonne. Le volume de celle-ci n’est donc pas intégré en totalité dans la goutte attachée. De plus ce mouvement de fluide, ne permet pas d’affirmer que la colonne a un rayon fixe dans le temps et l’espace.

• la prise en compte du cisaillement dû au fluide extérieur vient aussi modifier le bilan de quantité de mouvement de la colonne (annexe E.2).

6.1.1.2 Etude de la configuration de la sous-section 5.2.9.1

Nous étudions ici la remontée de la colonne suite à la chute d’une sphère de polyacetal de 14 mm de diamètre au travers du même couple de fluides que précédemment. Les paramètres sans dimension associés à cette configuration peuvent être trouvés dans la sous-section 5.2.9.1.

(a) 1 -1 0 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figure 6.3. Remontée de la colonne après passage d’une bille de polyacetal de 7 mm de rayon au travers de l’interface

séparant une couche d’huile de silicone 47V500 d’une couche d’eau. (a)-(c)-(e)-(g) : séquence expérimentale. (b)-(d)-(f)-(h) : séquence numérique. Le pas de temps entre deux images, adimensionné par√Rp/(gζ∗), est

de 4.7.

La séquence d’images de la figure 6.3 indique que la colonne remonte sans pincer, et que son extrémité prend une forme de goutte. Le rayon de la colonne reste à peu près constant durant la remontée tandis que la goutte entraînée grossit de manière importante. De plus le base de la colonne ne se meut que très faiblement. Toutes ces observations vont dans le sens d’une possible comparaison avec la théorie.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 2 4 6 8 10 ug z− Taylor-Culick E1 E2 E3 S

Figure 6.4. Légende identique à celle de la figure 6.2 pour la situation considérée dans la figure 6.3.

La figure 6.4 montre que l’accord entre théorie, expériences et simulations est correct même si plusieurs remarques peuvent être faites. La marge d’erreur sur la vitesse de Taylor-Culick est importante à cause de l’incertitude sur le rayon de la colonne. Enfin on observe expérimentalement que la vitesse de l’extrémité n’est pas constante et décroit de manière importante (surtout pour le lâcher E2). Cela est du au fait que la colonne pince à sa base avant que la goutte n’ait eu le temps de remonter totalement.

6.1.2

Cas de la traversée d’une bulle

6.1.2.1 Le cas des bulles

γ . γb1 γb2 ρ1, µ1 ρ2, µ2 Rb g

Figure 6.5. Schéma représentant une bulle sphérique traversant une interface liquide-liquide.

Avant d’analyser cette situation en détail, il est nécessaire de rapeller les différents paramètres physiques qui apparaissent quand une bulle traverse une interface liquide-liquide. Il y a 9 paramètres physiques pertinents pour ce cas : les densités et viscosités des deux liquides, les 2 tensions de surface liquide-gaz, la tension interfaciale entre les deux liquides, le rayon de la bulle et la gravité (figure 6.5). Il est donc possible de définir 6 paramètres sans dimension indépendants :

Bo= (ρ1−ρ2)gR 2 b γ λ= µ2 µ1 ζ=ρ1−ρ2 ρ1 Ar= Rbρ1 µ1 √ gRb I= γ γb1 S= γ γb2 (6.1) où I et S désignent deux rapports de tension de surface (Bonhomme et al., 2012). Pour ce cas, les vitesses seront normalisées par√gRb, les distances par Rb, et le temps par√Rb/g. Le rayon de la bulle Rb est un rayon équivalent obtenu à partir du volume Vbde la bulle : Rb_{= (3V}b/(4π))1/3.

6.1.2.2 Passage d’une bulle de rayon 8.5mm avec λ_{≪ 1}

Nous étudions le passage d’une bulle de rayon 8.5mm au travers de l’interface entre un mélange glycérine (95%) - eau (5%) et une huile de silicone 47V10. Les paramètres sans dimension associés à cette configuration

sont : Bo_{= 7.94, λ = 0.0175, ζ = 0.251, Ar = 5.54, I = 0.615 et S = 0.45.}

Figure 6.6. Retour de la colonne après passage d’une bulle de rayon 8.5mm au travers de l’interface entre un mélange

glycérine (95%) - eau (5%) et une huile de silicone 47V10 (images issues de la thèse de Bonhomme (2012)). L’intervalle de temps entre deux images consécutives est de 1. La bulle n’est plus visible sur ces images, elle a déjà quitté le fluide du haut.

La figure 6.6 montre que lors du processus de rétraction, la colonne s’écarte légèrement de l’axisymétrie. La goutte emportée prend une forme d’ovoide, tandis que la partie cylindrique garde un rayon constant.

L’accord entre la solution expérimentale et la vitesse théorique est très bon dans cette configuration (figure 6.7). Cet accord s’explique par les remarques précédentes sur la géométrie du système (rayon de la colonne

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ug z₋ Taylor-Culick E

Figure 6.7. Légende identique à celle de la figure 6.2 pour la situation considérée dans la figure 6.6.

constant) et le fait que λ et Boc(nombre de Bond basé sur le rayon de la colonne) soient très faibles (Boc_{= 0.1).} De plus, on voit clairement apparaître la phase transitoire de la goutte attachée avant qu’elle atteigne sa vitesse terminale (Savva et Bush, 2009).

6.1.2.3 Passage d’une bulle de rayon 8.5 mm avec λ_{≈ 1}

Nous étudions cette fois le passage d’une bulle de rayon 8.5 mm au travers d’une interface entre un mélange glycérine (85%) - eau (15%) et une huile de silicone 47V100. Les paramètres sans dimension associés à cette configuration sont : Bo_{= 6, λ = 1.1, ζ = 0.2, Ar = 29, I = 0.62 et S = 0.43.}

Figure 6.8. Rétraction de la colonne après passage d’une bulle de rayon 8.5 mm au travers d’une interface entre un

mélange glycérine (85%) - eau (15%) et une huile de silicone 47V100 (images issues de la thèse de Bonhomme (2012)). L’intervalle de temps entre deux images est de 1.

La figure 6.8 montre qu’une large colonne se rétracte sans pincer. Sur la première image de la séquence, la base de la colonne est bien plus basse que la position initiale de l’interface. Ce phénomène de descente de l’interface a été étudié dans le chapitre précédent, et s’explique par le mouvement descendant de fluide dans la colonne qui entraîne la partie la plus basse de l’interface. La partie haute de la goutte attachée, qui dans les premières images est de forme sphérique, s’aplatit au fur et à mesure. Ce phénomène est caractéristique des cas où Oh≫ 1 pour les nappes bidimensionnelles (Brenner et Gueyffier, 1999). Ici 0.26 < Oh < 0.34, donc cet aplatissement ne provient pas de la viscosité du fluide interne, mais probablement des effets de flottabilité qui sont non négligeables ainsi que de la viscosité du fluide extérieur. La vitesse de la goutte attachée augmente de manière linéaire durant son retour à la position initiale de l’interface puis chute de manière importante (figure 6.9). La vitesse prédite par la loi de Taylor-Culick sous-estime fortement les observations expérimentales. Pour ce cas où λ_{≈ 1 et Bo}c≈ 1, ce désaccord n’est pas surprenant.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ug z₋ Taylor-Culick E

Figure 6.9. Légende identique à celle de la figure 6.2 pour la situation considérée dans la figure 6.8.

6.1.2.4 Passage d’une bulle de rayon 6 mm avec λ_{≈ 1}

Nous considérons ici le passage d’une bulle de rayon 6 mm au travers d’une interface entre un mélange glycérine (85%) - eau (15%) et une huile de silicone 47V100. Les paramètres sans dimension associés à cette configuration sont : Bo_{= 3, λ = 1.1, ζ = 0.2, Ar = 17, I = 0.62 et S = 0.43.}

Figure 6.10. Rétraction de la colonne après passage d’une bulle de rayon équivalent 6 mm au travers d’une interface

entre un mélange glycérine (85%) - eau (15%) et une huile de silicone 47V100 (images issues de la thèse de Bonhomme (2012)). L’intervalle de temps entre chaque image est de 1.2.

La rétraction de la colonne dans cette configuration n’est pas complète, mais on remarque la formation d’une goutte attachée de forme sphérique, alors que le reste de la colonne reste cylindrique (figure 6.10). La forme de la colonne est semblable à celle observée dans les simulations de Gordillo et al. (2011), pour une nappe liquide se rétractant dans un gaz. La base de la colonne semble pincer au fur et à mesure.

Dans cette situation, l’accord entre les expériences et la vitesse de Taylor-Culick est très mauvais (figure 6.11). Si la vitesse déterminée expérimentalement est constante, elle est deux à trois fois plus faible que la vitesse théorique. Cette différence s’explique probablement par le frottement induit par le fluide extérieur (λ_{≈ 1).}

6.1.3

Discussion

Les 5 situations de rétraction colonnaire présentées montrent les diverses géométries que peut prendre la goutte attachée (ovoïde, sphérique, aplatie, ...). L’accord entre la vitesse terminale de cette goutte et celle de Taylor-Culick n’est pas toujours bon. Cela s’explique en partie par la géométrie initiale du système (déterminée par le passage de l’obstacle au travers de l’interface), qui conditionne le rapport entre les effets gravitationnels et capillaires. De plus, la présence d’un autre fluide influence la dynamique de la rétraction notamment quand

λ≈ 1. Il serait donc pertinent d’évaluer précisément l’impact des effets de flottabilité et du rapport de viscosités

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 9 9.5 10 10.5 11 ug z₋ Taylor-Culick E

Figure 6.11. Légende identique à celle de la figure 6.2 pour la situation considérée dans la figure 6.10.

6.2

Fragmentation de la colonne en gouttelettes

L’étude de Maru et al. (1971) a mis en évidence le développement d’une instabilité capillaire le long de la colonne entraînée. Cette instabilité qui apparaît après pincement de la colonne, engendre la fragmentation de celle-ci en gouttelettes. Ces auteurs montrent le bon accord entre les longueurs d’ondes observées et les résultats de stabilité linéaire de Meister et Scheele (1967). Cependant, l’accord avec la théorie n’est pas aussi bon pour le volume des gouttes créées du fait de l’apparition de gouttes satellites. Celles-ci résultent d’effets non-linéaires et ne peuvent donc être prédites par la théorie linéaire (Tjahjadi et al., 1992). Nous étudions ici des configurations où la colonne se fragmente en gouttelettes après pincement. Quand cela est possible, nous comparons la taille des gouttes obtenues aux prévisions théoriques issues des relations de dispersions du chapitre 4. Nous privilégions ce type de comparaison à celui des longueurs d’ondes, car les gouttes tout comme la colonne peuvent être mobiles et il est difficile d’en extraire des distances pertinentes. Par ailleurs, même avec les moyens expérimentaux actuels, la mesure des taux de croissance de l’instabilité demeure extrêmement délicate (González et García, 2009).

6.2.1

Cas de la chute d’une sphère solide

6.2.1.1 Étude de la configuration de la sous-section 5.2.5

Nous étudions ici la chute d’une sphère de teflon de 10 mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone 47V50 / glycérine (79%) - eau (21%). Les paramètres sans dimension associés à cette configuration peuvent être trouvés dans la sous-section 5.2.5.

La figure 6.12 montre que la colonne entraînée est longue et cylindrique. Après pincement à ses deux extrémités, elle se fragmente en gouttelettes. D’un point de vue qualitatif, l’accord entre les résultats expérimentaux et numériques est très bon4_{. La croissance de l’instabilité est relativement uniforme comme le montrent les ondes} capillaires visibles sur la figure 6.12 (e). Il apparaît donc pertinent d’appliquer à ce cas l’analyse de stabilité temporelle développée dans le chapitre 4. La relation de dispersion 4.19 donne, avec un algorithme de recherche de zéro, la longueur d’onde correspondant au taux d’amplification maximal5_{. En supposant qu’un pan de la} colonne de longueur λo donne lieu à une goutte, on obtient une relation entre le rayon Rg des gouttes et celui de la colonne :

Rg= (3/4λoR2)1/3 (6.2)

4. Des différences apparaissent néanmoins. Pour la goutte retenue sous l’interface sur les figures 6.12 (e) et (f), la coalescence est plus rapide dans la simulation numérique, car le film est sous résolu et l’on observe un pincement purement numérique (Bonhomme, 2012, p. 104).

5. Cette relation a été obtenue pour λ ≪ 1, mais nous avons vu qu’elle était en bon accord avec la relation de dispersion exacte jusqu’à λ ≈ 1.

(a) 1 -1 0 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

Figure 6.12. Fragmentation de la colonne en gouttelettes après passage d’une sphère de teflon de 5 mm de rayon au

travers de l’interface séparant une couche d’huile de silicone 47V50 d’une couche glycérine (79%) - eau (21%). (a)-(c)-(e)-(g) : séquence expérimentale. (b)-(d)-(f)-(h) : séquence numérique. Le pas de temps normalisé entre deux images est de 7.4.

La figure 6.13 montre l’évolution du rayon des gouttes en fonction du celui de la colonne. Pour les besoins du post-traitement, nous supposons que le rayon de la colonne, avant que des ondes capillaires ne se forment, évolue linéairement entre l’interface et le point le plus bas (cette hypothèse sera aussi utilisée dans les cas suivants). Les expériences et les simulations sont en bon accord avec la théorie malgré la présence de gouttes satellites de rayon plus faible, qui ne sont pas prises en compte par l’étude de stabilité linéaire (Tjahjadi et al., 1992).

6.2.1.2 Chute d’une sphère d’alumine de 10mm de diamètre avec λ_{≈ 0.1}

Nous considérons la chute d’une sphère d’alumine de 10 mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone 47V500 / glycérine (79%) - eau (21%). Les paramètres sans dimension associés à cette situation ont pour valeur : Ar_{= 3.6, Bo = 1.9, λ = 0.12, ζ = 0.24 et ζ}∗_{= 3.}

La séquence 6.14 montre qu’après s’être fortement amincie, la colonne se fragmente en gouttes. On observe des différences notables entre les simulations numériques et les expériences. Numériquement la fragmentation a lieu depuis le bas de la colonne jusqu’en haut, tandis que des ondes capillaires apparaissent sur toute la colonne dans la séquence expérimentale. De plus, le temps total de fragmentation est plus court expérimentalement. Ces différences proviennent probablement du faible nombre de points utilisés dans la simulation pour décrire la colonne (de l’ordre de 5 par rayon). La figure 6.14 (g) montre un ligament sous l’interface, moins long que la colonne initiale, qui remonte d’un seul tenant. Cela souligne l’impact du rapport d’aspect sur l’apparition de l’instabilité. Par ailleurs ce phénomène n’était pas observé dans la configuration précédente. Il s’explique ici par le fait que le nombre d’Ohnesorge est dix fois plus grand (Oh_{= 3.46).}

La figure 6.15 montre le rayon des gouttes en fonction de celui de la colonne. L’accord entre les expériences, la simulation et la théorie est bon même si l’on note encore une fois la présence de gouttes satellites.

6.2.1.3 Étude de la configuration de la sous-section 5.2.7

Dans cette sous-section nous étudions la chute d’une sphère de verre de 7 mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone 47V5 / glycérine (79%) - eau (21%). Les paramètres sans dimension associés peuvent être trouvé dans la sous-section 5.2.7.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Rg R S E1 E2 E3 T

Figure 6.13. Evolution du rayon des gouttes en fonction du rayon de la colonne pour la situation considérée dans la

figure 6.12. La courbe en trait plein correspond au rayon de la goutte donné par la relation de dispersion 4.19. Les points expérimentaux sont donnés avec une incertitude de −3 pixels, les points numériques avec une incertitude de ±∆x.

La figure 6.16 montre le pincement et la fragmentation de la colonne. Celle-ci prend une forme sphérique à ses extrémités puis pince ensuite en gouttes. La croissance de l’instabilité ne semble pas être spatialement uniforme et l’on voit le déplacement d’un front depuis les extrémités (Powers et al., 1998). Ce pincement par les extrémités ("end pinching") a été étudié et expliqué par Stone et al. (1986). La présence d’un col plus fin entre la goutte attachée et la partie cylindrique de la colonne crée un gradient de pression capillaire, qui vient drainer le fluide. Dans cette situation il parait difficile de comparer nos résultats à ceux de la théorie pour une instabilité absolue (uniforme spatialement) du fait de la remarque précédente, mais aussi de la géométrie du système. Le rayon de la colonne dépend fortement de la profondeur, mais aussi du temps. La fragmentation en gouttes est en effet accompagnée d’un mouvement ascendant de la colonne (caractérisé par des valeurs positives de vorticité), dues à la force de flottabilité (ζ_{= 0.3).}

6.2.2

Cas d’une bulle

6.2.2.1 Passage d’une bulle de rayon 4.5mm pour λ_{≈ 1}

Nous considérons ici le passage d’une bulle de rayon 4.5mm au travers d’une interface entre un mélange glycérine (85%) - eau (15%) et une huile de silicone 47V100. Les paramètres sans dimension associés à cette configuration sont : Bo_{= 1.7, λ = 1.1, ζ = 0.2, Ar = 11.1, I = 0.62 et S = 0.43. La figure 6.17 montre l’évolution} de la colonne après pincement. La colonne est fine et cylindrique, ses extrémités prennent des formes sphériques, puis pincent. Sur la septième image de la séquence, on distingue des ondes capillaires. Il y a donc compétition entre le mécanisme de pincement par les extrémités et l’instabilité capillaire. Il est intéressant de noter que ce cas correspond au même couple de liquides que dans les sous-sections 6.1.2.4 et 6.1.2.3 où on n’observait pas de fragmentation. Cela signifie que la géométrie de la colonne, et plus particulièrement son rapport de forme, joue un grand rôle dans l’apparition de l’instabilité. En effet le nombre d’Ohnesorge de la configuration de la sous-section 6.1.2.3 est plus faible que celui du cas présent, ce qui devrait favoriser l’apparition de l’instabilité. L’accord entre les prédictions théoriques et le rayon des gouttes mesuré expérimentalement est correct (figure 6.18). Cependant, on note comme pour les traversées de sphères la présence de gouttes satellites.

6.2.2.2 Passage d’une bulle de rayon 6.5 mm pour λ≈ 0.2

Nous examinons maintenant le passage d’une bulle de rayon 6.5 mm au travers d’une interface entre un mélange glycérine (95%)- eau (5%) et une huile de silicone 47V100. Les paramètres sans dimension associés sont : Bo_{= 4.3, λ = 0.2069, ζ = 0.251, Ar = 3.7, I = 0.6 et S = 0.46.}

La colonne entraînée par la bulle est très longue et fine (figure 6.19). Malgré la propagation d’un front de bas en haut, on voit nettement le développement d’ondes capillaires. Les gouttes résultantes sont uniformément

(a) −0.1₀ 0.1 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Figure 6.14. Fragmentation de la colonne en gouttelettes après passage d’une sphère d’alumine de 5 mm de rayon

au travers de l’interface séparant une couche d’huile de silicone 47V500 d’une couche glycérine (79%) -eau (21%). (a)-(c)-(e)-(g)-(i) : séquence expérimentale. (b)-(d)-(f)-(h)-(j) : séquence numérique. Le pas de temps normalisé entre deux images est de 19.

espacées, tout comme les gouttes satellites.

La comparaison avec la théorie linéaire n’est pas concluante (figure 6.20). La formation de gouttes satellites diminue le rayon des gouttes mères (par conservation de la masse) qui ne suivent plus la théorie linéaire.

6.2.3

Discussion

6.2.3.1 Validité de la comparaison avec la théorie linéaire

Le dispositif expérimental et les maillages utilisés n’ont pas été bâtis pour étudier précisément la fragmentation de la colonne liquide. Par ailleurs, le rayon de la colonne est généralement non-uniforme, et le fluide intérieur à celle-ci est mobile du fait du mouvement induit par la sphère et des effets de flottabilité. La comparaison avec les résultats de stabilité linéaire s’avère donc périlleuse. Toutefois, cette dernière partie a montré que les rayons des gouttes obtenus aussi bien numériquement qu’expérimentalement étaient généralement en bon accord avec cette théorie malgré la présence de gouttes satellites.

6.2.3.2 Onde capillaire ou pincement par les extrémités ?

Dans leurs expériences portant sur la rétraction de gouttes préalablement étirées, Stone et al. (1986) n’ob-servent pas l’apparition d’ondes capillaires. Le mécanisme de fragmentation est un pincement par les extrémités. Il n’apparaît cependant que pour λ_{≫ 1, le cas opposé λ ≪ 1 correspondant à la rétraction de la goutte sans} pincement. Powers et al. (1998) se sont penchés sur les mécanismes expliquant ce type de fragmentation. A l’aide d’un critère de stabilité marginal, appliqué à la relation de dispersion obtenue par Tomotika (1935), ils montrent que le mécanisme de pincement par les extrémités apparaît préférentiellement pour λ ≫ 1. Dans nos expériences les deux mécanismes de fragmentation (ondes capillaires et pincement par les extrémités) se superposent. Toutefois, le second apparaît de manière privilégiée pour λ≫ 1 (figure 6.16) et λ ≈ 1 (figure 6.20).

Néanmoins la géométrie de la colonne joue probablement un grand rôle dans la sélection d’un des mécanismes. Ainsi si elle est évasée, on peut s’attendre à ce que le pincement qu’elle qu’en soit l’origine, apparaisse dans la zone la plus fine. Cela induit donc un décalage spatial dans l’apparition de l’instabilité, ce qui s’oppose aux hypothèses faites dans l’étude de stabilité temporelle. Par ailleurs, le mécanisme de pincement par les extrémités apparaît si l’échelle de temps associée est plus faible que celle d’apparition des ondes capillaires (Stone et al., 1986). Cependant le temps de fragmentation par les extrémités augmente avec la longueur de la colonne et il est donc probable que les deux processus se cumulent quand cette longueur est suffisante.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Rg R E1 E2 E3 S T

Figure 6.15. Evolution du rayon des gouttes en fonction du rayon de la colonne pour la situation considérée dans la

figure 6.14. La courbe en trait plein correspond au rayon de la goutte donné par la relation de dispersion 4.19. Les points expérimentaux sont donnés avec une incertitude de −3 pixels, les points numériques avec une incertitude de ±∆x. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l)

Figure 6.16. Chute d’une bille de verre de 3.5 mm de rayon au travers de l’interface séparant une couche d’huile de

silicone 47VHS5 d’une couche constituée d’un mélange eau (20%)-glycérine (80%). (a)-(c)-(e)-(g)-(i)-(k) : séquence expérimentale ; (b)-(d)-(f)-(h)-(j)-(l) : résultats de la simulation aux mêmes instants. Le pas de temps normalisé entre deux images est de 4.2.

Enfin les résultats de cette section montrent que la taille des gouttes obtenues par le processus de pincement par les extrémités est en bon accord avec les prédictions de la théorie linéaire.

Figure 6.17. Evolution de la colonne après le passage d’une bulle de rayon 4.5mm au travers d’une interface entre

un mélange glycérine (85%)- eau (15%) et une huile de silicone 47V100 (images issues de la thèse de Bonhomme (2012)). L’intervalle de temps entre deux images est de 2.7.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6 8 10 12 Rg z T E

Figure 6.18. Evolution du rayon des gouttes en fonction de la position verticale pour la situation considérée dans la

figure 6.17. La zone grisée correspond aux rayons des gouttes données par la relation de dispersion 4.19 en considérant les rayons minimum et maximum de la colonne observée avant fragmentation. Les points expérimentaux sont donnés avec une incertitude de −3 pixels.

Figure 6.19. Evolution de la colonne après le passage d’une bulle de rayon équivalent 6.5mm au travers d’une interface

entre un mélange glycérine (95%) - eau (5%) et une huile de silicone 47V100 (images issues de la thèse de Bonhomme (2012)). L’intervalle de temps entre deux images est de 6.6.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Rg R E1 T

Figure 6.20. Evolution du rayon des gouttes en fonction du rayon de la colonne pour la situation considérée dans la

figure 6.19. La courbe en trait plein correspond au rayon de la goutte donné par la relation de dispersion 4.19. Les points expérimentaux sont donnés avec une incertitude de −3 pixels.

6.3

Rétraction vs. fragmentation : éléments de compréhension

Dans l’industrie métallurgique, le problème générique de traversée d’une interface liquide-liquide par un solide est d’un haut intérêt pour éliminer les impuretés des bains d’acier (Shannon et al., 2008). Une problématique associée est l’entraînement de liquide lourd (acier) dans le laitier par une inclusion (bulle ou particule solide). Se-lon le contexte, cet entraînement peut être souhaitable ou indésirable (Bonhomme et al., 2012; Han et Holappa, 2003; Kobayashi, 1993). La présence de gouttes d’acier dans le bain peut favoriser les transferts thermiques entre les deux liquides mais affecte le rendement du procédé (Han et Holappa, 2003).

Il est donc crucial de savoir si le liquide entraîné va revenir d’un seul tenant ou se fragmenter et dans ce dernier cas, quelle sera la taille des gouttes entraînées. Dans cette section nous discutons dans un premier temps du passage d’un processus de rétraction sans pincement à un processus de fragmentation. Puis nous revenons sur la question de la taille des gouttes quand il y a fragmentation.

6.3.1

Passage d’une configuration de rétraction à une configuration de fragmentation

Présentation Pour une situation physique donnée, comment savoir quelle configuration apparaît

préférentiel-lement ? Des éléments de réponse ont été donnés dans le chapitre 4. Augmenter Oh et λ a un effet stabilisant vis-à a-vis des ondes capillaires. Ce n’est cependant pas le seul ingrédient à prendre en compte. Le temps d’appa-rition de l’instabilité doit être comparé à un temps de rétraction pour conclure sur le mécanisme prépondérant. Ainsi, l’augmentation du rapport de forme (qui tend à augmenter le temps de rétraction) favorisera l’apparition d’instabilités, en accord avec les observations de la section précédente.

Pour un ligament liquide dans de l’air (λ_{= 0) il apparaît que le passage d’un comportement à l’autre est} entièrement contrôlé par le rapport de forme initial (noté Γ0 _{= L}0/R0, où L0 et R0 désignent respectivement la longueur initiale du ligament et son rayon) et le nombre d’Ohnesorge (Notz et Basaran, 2004). L’étude expérimentale de Castrejón-Pita et al. (2012) a permis de cartographier ces configurations pour une gamme très importante de valeurs de Oh et Γ0. Driessen et al. (2013) ont récemment proposé une loi permettant d’obtenir le rapport de forme critique en fonction du nombre d’Ohnesorge. Toutefois leur raisonnement se basant sur la comparaison entre le temps de rétraction de Taylor-Culick et un temps capillaire issu de l’analyse de stabilité linéaire d’une colonne visqueuse dans un gaz, il est nécessaire de supposer une valeur pour l’amplitude de la perturbation. Une loi d’échelle a aussi été proposée par Hoath et al. (2013), qui donne le rapport de forme critique en fonction de Oh : Γc= 1 + 33√2Oh.

Diagramme (Γ,Oh) pour λ ≈ 1 Pour la situation liquide-liquide que nous considérons, nous effectuons le

même type d’analyse. Nous avons choisi λ_{≈ 1, situation peu étudiée dans la littérature et pour laquelle nous} possédons une importante quantité de résultats expérimentaux.

La figure 6.21 montre les différents comportements obtenus expérimentalement dans un plan (Γ0, Oh). Deux

cas de rétraction apparaissent pour Oh_{≈ 0.3 et Γ}0≈ 30. Dans la même gamme de nombre d’Ohnesorge mais pour de plus grands rapports de forme on constate la fragmentation. Il est intéressant de noter que pour Oh_{≈ 3.5} et Γ0_{≈ 75 il y a toujours fragmentation. Par ailleurs, les résultats}6 _{de Stone et al. (1986) montrent qu’il y a} fragmentation pour Oh_{≈ 100 et Γ ≈ 4 ! Ainsi, contrairement aux prédictions de Hoath et al. (2013), pour un} ligament liquide se rétractant dans l’air, le rapport de forme critique serait quasiment indépendant de Oh voire même inversement proportionnel à cette quantité. Pourquoi une si grande différence entre notre situation et celle de Hoath et al. (2013) ? Même s’il est possible d’obtenir un ordre de grandeur du temps d’apparition de l’instabilité capillaire à l’aide de la théorie linéaire dans le cas λ≈ 1, le processus de rétraction lui n’obéit pas à la vitesse de Taylor-Culick. Il est probable que pour λ≈ 1 la vitesse dépende de la viscosité des fluides, ce qui pourrait modifier la loi d’échelle. De plus le processus de rétraction étant plus lent (cela est confirmé dans le prochain paragraphe), l’instabilité capillaire a plus de temps pour apparaître.

Discussion sur le rôle du rapport de viscosités Même s’il est difficile de séparer l’influence du nombre

d’Oh-nesorge de celle du rapport de viscosités dans les travaux de Stone et al. (1986), leur conclusions sont riches d’enseignements. Ainsi, ils observent que le rapport de forme critique minimal de la colonne est obtenu pour

100 1 Γ0 Oh F HS50G79 F G85HS100 R G85HS100 F G95HS500 Hoath et al. (2013)

Figure 6.21. Rapport de forme initial en fonction du nombre d’Ohnesorge pour λ ≈ 1. Les cas désignés par la lettre

F correspondent à une fragmentation du ligament, ceux désignés par la lettre R à une rétraction d’un seul tenant. HS50g79 désigne l’évolution de la colonne après chute d’une sphère au travers d’une interface huile de silicone 47V50 / glycérine (79%) - eau (21%), G85HS100 le passage d’une bulle au travers d’une interface glycérine (85%) - eau (15%) / huile de silicone 47V100 et G95HS500 le passage d’une bulle au travers d’une interface glycérine (95%) - eau (5%) / huile de silicone 47V500. La courbe en trait plein désigne la loi d’échelle donnée par Hoath et al. (2013) pour le rapport de forme critique.

λ≈ 1. Pour λ ≪ 1 et λ ≫ 1 ce rapport est beaucoup plus élevé.

La figure 6.22 illustre le fait que pour des valeurs de Oh et Γ0 proches, le comportement du ligament est différent selon le rapport de viscosités. Pour λ_{= 0.002, la colonne pince au-dessus de la sphère puis à sa base et} se rétracte ensuite rapidement. On note le détachement d’une gouttelette, mais le processus de rétraction est si rapide qu’il n’y a pas d’autre pincement. Pour λ_{= 1, le processus de rétraction est beaucoup plus lent, et des} instabilités capillaires ont le temps d’apparaître. Ainsi, malgré le fait que la théorie linéaire prédise un taux de croissance plus faible quand λ augmente, la colonne se fragmente car le temps de rétraction est beaucoup plus grand.

Connaître le rapport de forme en pratique ? Jusqu’ici nous avons volontairement occulté la question suivante :

pour une situation de traversée d’interface donnée, comment connaître le rapport de forme de la colonne quand elle pince ? Il semble malheureusement que nous ne puissions conclure sur ce point. En effet, puisque le volume contenu dans la colonne varie dans le temps, et que celle-ci est mobile, il apparaît très délicat de connaître sa géométrie tout comme le lieu du pincement. Dans des cas simples où le détachement est quasi-statique et si les effets capillaires dominent, la longueur de la colonne est de l’ordre de lc. Mais pour les cas plus généraux il s’avère difficile de répondre.

Validité de l’approche Enfin, gardons à l’esprit que le processus de rupture dépend probablement de l’histoire

de l’écoulement menant à l’extension de la colonne. De plus les ligaments qui se forment peuvent rester liés ou non à l’interface ce qui induit une difficulté supplémentaire. Il serait donc pertinent d’évaluer ce rapport de forme critique dans un dispositif expérimental ou à l’aide de simulation numérique prévus à cette effet.

6. Les résultats tirés de l’article de Stone et al. (1986), son donnés approximativement car il est difficile de déterminer le rayon initial des ligaments et donc le nombre d’Ohnesorge.

(a) (b)

Figure 6.22. A gauche : évolution de la colonne après passage d’une sphère de polyacetal de 10 mm de diamètre au

travers d’une interface H47V500 / eau (λ ≈ 0.002, Oh ≈ 4.9, Γ0 = 150). L’intervalle de temps entre deux

images est de 0.05 s. A droite : évolution de la colonne après passage d’une bulle de rayon équivalent 5 mm au travers d’une interface glycérine (95%) - eau (5%) / huile de silicone 47V500 (λ ≈ 1, Oh ≈ 3.5, Γ0≈ 76).

L’intervalle de temps entre deux images est de 0.2 s. L’échelle spatiale des deux images est identique.

En résumé

• L’augmentation du rapport de forme du ligament tend à favoriser la fragmentation de celui-ci. • Si l’augmentation du nombre d’Ohnesorge semble inhiber le pincement quand λ_{≪ 1, l’influence de}

ce nombre est moins nette pour λ_{≈ 1.}

• Une étude spécifique serait nécessaire pour conclure sur l’influence du rapport de viscosités, sur la vitesse de rétraction.

6.3.2

Taille des gouttes donnée par l’analyse de stabilité linéaire

Face à cette incertitude sur le comportement aux temps longs de la colonne, une attitude pragmatique est d’envisager la fragmentation en gouttes et de tenter de déterminer le rayon des gouttes correspondantes. Fort heureusement la théorie linéaire se compare raisonnablement bien avec les expériences. Cela nous autorise à réaliser un diagramme Rg_{/R(Oh) pour différents λ à l’aide de la relation 6.2. Pour λ ≫ 1, la longueur d’onde} correspondant au taux d’amplification maximal est connue analytiquement (cf chapitre 4), mais pas pour λ_{≪ 1,} situation dans laquelle nous utilisons un algorithme de recherche de zero.

La figure 6.23 montre que pour λ modéré (_{∈ [0.1;10]), le rayon des gouttes dépend peu du nombre d’Ohnesorge} et est compris entre 1.8R et 2.4R (le minimum sera rediscuté dans la suite). Pour λ_{= 10}−2, ce rayon augmente fortement avec le nombre d’Ohnesorge avant d’atteindre un plateau. Pour λ_{≫ 1, deux modèles ont été utilisés.} Celui correspondant à une colonne en écoulement potentiel immergée dans un fluide visqueux n’est valable que jusqu’à son intersection avec l’autre modèle sans inertie cette fois, qui donne un rayon de goutte indépendant du nombre d’Ohnesorge. Ce dernier prédit d’ailleurs que la taille des gouttes divergent comme λ1/12quand λ_{→ ∞.} Par ailleurs nous pouvons voir que pour Oh suffisamment petit quel que soit le rapport de viscosités, il existe un minimum pour la taille de la goutte. Celui est aisément obtenu à partir de la relation donnant kmaxpour une colonne en écoulement potentiel immergée dans un fluide visqueux : _(Rg/R)min= (3π/√2)1/3≈ 1.8819. Cette borne n’est toutefois pas utilisable en pratique du fait de la présence de gouttes satellites.

Le lecteur aura déjà identifié le point où le bât blesse : le rayon de la colonne est à priori inconnu. Toutefois contrairement à la profondeur de pincement qui est particulièrement difficile à déterminer de prime abord, le rayon de la colonne lui peut être estimé comme étant O_(Rp).

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0.01 0.1 1 10 100 Rg /R Oh Eq 4.19 λ_{= 10}−2 Eq 4.19 λ_{= 10}−1 Eq 4.19 λ_{= 1} Eq 4.22 λ_{= 10} Eq 4.22 λ_{= 100} Eq 4.24 λ= 10 Eq 4.24 λ_{= 100}

Figure 6.23. Rayon des gouttes normalisé par le rayon de la colonne en fonction du nombre d’Ohnesorge. Les différentes

courbes correspondent aux valeurs obtenues à partir des résultats de stabilité linéaire développés dans le chapitre 4, pour différents λ. Les sigles Eq font référence au taux d’amplification correspondant à chaque modèle. Par exemple pour λ = 10−2_{, le modèle dérivé dans l’approximation d’onde longue pour λ ≪ 1 est}

utilisé. Pour λ ≫ 1, deux modèles sont employés : l’un correspond à une colonne en écoulement potentiel immergée dans un fluide visqueux, l’autre à une colonne sans inertie dans un fluide visqueux. Ces modèles ne sont respectivement valables que pour Oh ≪ 1 et Oh ≫ 1.

7

Conclusion

Sommaire

7.1. Conclusion . . . 150 7.2. Perspectives . . . 151

7.1

Conclusion

Ce travail porte sur la traversée d’une interface liquide-liquide par une sphère.

Méthodologies mises en place

Un dispositif expérimental a été élaboré dans le but d’étudier, à l’aide d’une caméra haute fréquence, l’évolu-tion du système sphère et interface. En faisant varier les propriétés des sphères et des liquides, les comportements correspondant à une large gamme de paramètres sans dimension ont pu être cartographiés.

En parallèle, une méthode de frontières immergées a été mise en place et validée dans le but de simuler le mouvement d’une particule dans un système de deux fluides superposés. Pour ce faire, l’ample littérature sur ce sujet a été revisitée de manière à analyser les propriétés de convergence de quelques-unes de ces approches. La méthode de frontières immergées choisie a ensuite été couplée à une approche Volume of Fluid, qui a permis de simuler avec précision l’interaction entre une sphère et une interface.

Des modèles théoriques ont aussi été établis, avec pour objectif d’expliquer certains phénomènes physiques observés. Les équations décrivant l’évolution du film intercalé entre la sphère et l’interface ont été dérivées dans l’approximation de lubrification. Il s’avère que pour λ_{≪ 1, des lois de décroissance typiques des cas statiques,} où la sphère est à l’équilibre à l’interface, peuvent être retrouvées. Pour λ_{≈ 1, la décroissance est bien plus} rapide (exponentielle). L’analogie entre le problème considéré dans ce travail et celui de la dérive de Darwin a permis d’évaluer l’influence du nombre d’Archimède quand l’interface peut être assimilée à un plan de particules fluides. D’autre part, des modèles de colonne liquide ont été dérivés dans l’hypothèse d’onde longue pour λ_{≫ 1} et λ _{≪ 1. Ceux-ci ont permis d’étudier la stabilité linéaire d’une colonne liquide immergée dans un autre} liquide. Il apparaît que le taux de croissance de l’instabilité diminue quand Oh et λ augmentent. Par ailleurs un bilan des forces statiques sur une sphère déposée à une interface dans la limite Bo_{≪ 1 ou Bo ≫ 1 a permis} d’établir des conditions nécessaires de flottaison. A l’aide des résultats établis dans chacune de ces sous-parties, un modèle de forces a été proposé pour une sphère traversant une interface dans la limite λ_{≪ 1. Chacune des} contributions, qu’elles soient statiques (force d’Archimède et capillaire) ou dynamiques (force visqueuse due à la colonne entraînée, traînée, ...) a été identifiée. Des comparaisons effectuées avec les résultats de Geller et al. (1986) ont permis de valider ce modèle de forces.

Principaux résultats obtenus

Les deux approches expérimentale et numérique se sont avérées très complémentaires. Expérimentalement nous avons identifié des chutes de sphères aux trajectoires pleinement tridimensionnelles (régimes inatteignables numériquement à l’heure actuelle). Parfois même, pour des situations suffisamment inertielles, la colonne se fragmente en gouttelettes. La taille de ces gouttes dépend fortement du rapport de viscosités et du nombre de Weber. Par ailleurs le nombre important de situations physiques étudiées, a permis de caractériser le volume de la goutte entraînée par la sphère. Un critère statique simple donnant le volume maximal emporté a été établi et confronté aux expériences. Des configurations de flottaison et d’entraînement colonnaire ont été observées expé-rimentalement pour une large gamme de paramètres. Il s’est avéré que la transition entre ces deux configurations est bien décrite par les modèles statiques.

Différentes situations ont ensuite été étudiées aussi bien numériquement qu’expérimentalement. Dans la plu-part des cas, l’approche numérique reproduit avec fidélité les résultats expérimentaux. Ces confrontations nous ont permis d’analyser le phénomène de rebond étudié dans un autre contexte par Abaid et al. (2004). Les instabi-lités de la colonne entraînée observées par Dietrich et al. (2011) ont aussi été examinées. Les ondes apparaissent seulement lorsque λ_{≪ 1. Le mécanisme d’apparition est donc essentiellement visqueux et sélectionne les grandes} longueurs d’ondes (Yih, 1967). D’autres configurations d’entrainement colonnaire ont été étudiées ainsi qu’une configuration de détachement quasi-statique. Cette dernière nous a permis de déterminer la loi d’échelle de décroissance du film aussi bien numériquement qu’expérimentalement et de montrer qu’elle se comporte comme

t−1/2. Néanmoins, contrairement aux cas statiques ou à ceux à vitesse imposée, la décroissance de l’épaisseur du

film est beaucoup plus rapide quand la sphère traverse l’interface à force fixée. Cela est dû à l’accélération de la sphère qui impacte directement la dynamique du film. Le modèle de forces a aussi été confronté aux résultats expérimentaux et numériques pour λ_{≪ 1. L’accord est qualitativement bon.}

Il est très difficile d’identifier l’influence de chaque paramètre sans dimension à l’aide des seules données expérimentales. Nous avons donc effectué une étude paramétrique numérique dédiée à caractériser leurs effets. L’influence de chacun de ces paramètres est résumée dans le tableau 7.1. Il apparaît que le paramètre clé est le

contraste de densité qui contrôle aussi bien le volume entraîné que les déformations de l’interface ainsi que la dynamique de la sphère.

Paramètres Flottaison / Chute Volume entraîné Déformation de l’interface Epaisseur du film

λ 7 7 3 3

Ar 7 7 31 3

Bo 3 7 ∼2 73

ζ 3 3 3 3

ζ∗ 3 3 3 ∼4

Tableau 7.1. Influence de chaque paramètre sans dimension sur différents aspects liés à la traversée. Le sigle 3 signifie

que le paramètre influence beaucoup la manifestation, ∼ que son influence est modérée ou discutable et 7_{que l’influence est faible voir nulle.}

1. Notamment les déformations initiales de l’interface.

2. Ne contrôle les déformations que lorsque les effets capillaires dominent sur les autres effets, flottabilité notamment. Cependant la tension interfaciale joue un grand rôle dans la dynamique aux temps longs de la colonne.

3. Le gradient de pression capillaire peut contrôler le drainage mais cela ne semble pas être le cas dans des configurations dynamiques.

4. L’étude paramétrique n’indique pas que ce paramètre influence la vitesse de drainage. Mais nous avons vu que l’accélération de la sphère, directement liée à sa densité, pouvait avoir un impact sur l’évolution de l’épaisseur du film.

Nous avons aussi étudié la dynamique de la colonne entraînée aux temps longs, c’est-à-dire après pincement. A l’aide des résultats obtenus expérimentalement par Bonhomme (2012) ainsi que des nôtres, deux situations ont pu être identifiées :

• la première correspond à la remontée de la colonne d’un seul tenant. La situation similaire d’une nappe liquide se rétractant dans un gaz (λ_{= 0) affiche un comportement intéressant : son extrémité peut atteindre} une vitesse stationnaire appelée vitesse de Taylor-Culick (Culick, 1960; Taylor, 1959). Cette vitesse, qui est donnée par un bilan de quantité de mouvement sur l’extrémité de la nappe, n’est contrôlée que par les effets capillaires (Savva et Bush, 2009). Dans la situation liquide-liquide cette loi ne décrit bien la vitesse de l’extrémité que si λ_{≪ 1 et Bo ≪ 1. Deux effets expliquent cette limitation. D’une part le rapport de} viscosités λ, s’il n’est pas très petit, modifie la forme de l’écoulement dans la colonne ainsi que la traînée de la goutte attachée. D’autre part la flottabilité, en créant un gradient de pression le long de la colonne, peut modifier sa forme et la vitesse de son extrémité.

• la seconde configuration correspond à la fragmentation de la colonne sous forme de gouttelettes. Deux types de pincement ont été identifiés : un pincement par les extrémités (Stone et al., 1986) ainsi qu’une rupture résultant des instabilités capillaires (Tomotika, 1935). Le premier correspond à l’amincissement rapide du col reliant la colonne à la goutte attachée. Ce type de pincement est non-uniforme spatialement et résulte de la propagation d’un front depuis les extrémités de la colonne jusqu’à son centre (Powers et al., 1998). Le second est caractérisé par l’apparition d’ondes capillaires le long de la colonne. Il s’avère que le pincement par les extrémités se manifeste préférentiellement pour λ _{≫ 1, même si une étude spécifique} (expérimentale ou numérique) serait nécessaire pour confirmer ce point.

La fragmentation apparaît quand le temps d’apparition du pincement, quel qu’il soit, est inférieur au temps de rétraction. Le premier dépend de Oh et λ tandis que le second est directement proportionnel au rapport de forme de la colonne. Ainsi le rapport de forme critique pour un ligament liquide dans un gaz (λ_{= 0) augmente avec} le nombre d’Ohnesorge (Castrejón-Pita et al., 2012; Driessen et al., 2013). Cependant, pour λ_{≈ 1, ce rapport} de forme critique diminue avec le nombre d’Ohnesorge ! Même si le taux de croissance de l’instabilité est plus faible, le temps de rétraction est lui beaucoup plus grand. Enfin les résultats de stabilité linéaire ont été utilisés pour prédire la taille des gouttes entraînées. Pour λ_{= O(1), le rayon de ces gouttes est d’environ deux fois celui} de la colonne.

7.2

Perspectives

Perspectives proches du sujet d’étude

Expérimentalement, il serait intéressant de mettre en place un système de visualisation avec deux camé-ras afin d’obtenir une vision tridimensionnelle de l’écoulement (Bonhomme, 2012). Toutefois, pour étudier les trajectoires pleinement 3D, il faudra probablement utiliser une cuve plus grande et espacer en temps les enre-gistrements pour permettre à la sphère d’atteindre un régime "stationnaire" et à la vorticité résiduelle de se

dissiper (Horowitz et Williamson, 2010). Il serait aussi très intéressant d’adapter l’indice optique des liquides pour pouvoir étudier plus précisément le drainage du film dans des configurations dynamiques. Enfin, pour étudier l’impact du démouillage liquide-liquide sur la traversée, une situation "simple" à mettre en œuvre consis-terait à lâcher des billes moins denses que les liquides et ayant une affinité pour l’huile, en-dessous de l’interface. Au point de vue numérique, la description du film mince ayant d’importantes répercussions sur la dynamique de la sphère, il pourrait être pertinent d’implémenter une méthode de frontières immergées totalement conser-vative (de type cut-cell par exemple). Cependant un modèle de sous-maille devra nécessairement être introduit si l’épaisseur du film approche la taille de la maille (une discussion détaillée de ce point peut être trouvée chez Bonhomme et al. (2012, p. 134)). Le modèle de film développé dans l’approximation de lubrification pourra éventuellement être utilisé. L’implémentation d’une méthode conservative, ou tout du moins prenant en compte une interface raide, a un autre intérêt1_{. Ce n’est qu’à ce prix qu’il sera possible d’utiliser un modèle de ligne} triple. Un module lié au mouillage est déjà disponible dans JADIM (Dupont et Legendre, 2010), mais il n’a pas à ce jour été couplé avec une méthode de frontières immergées.

Le modèle théorique de film peut être complété en bien des points. Il serait judicieux d’étudier numériquement la forme des solutions aussi bien aux temps courts qu’aux temps longs. Par ailleurs l’effet du gradient de pression capillaire sur le drainage ne pourra être appréhendé qu’en effectuant le raccordement entre la solution dans la colonne et celle dans le film. Cela pourrait être réalisé avec une procédure proche de celle employée par Keller et al. (1995), même si à ce jour rien n’a été entrepris pour vérifier cette affirmation.

L’analyse menée sur la dérive de Darwin dans la limite de Stokes pourrait être perfectionnée en travaillant à partir de l’approximation d’Oseen. Cette approximation donnée par Oseen lui-même, correspond à la solution composite c’est-à-dire au raccordement entre le développement extérieur (d’Oseen) et intérieur (de Stokes) à l’ordre O_{(Re) (Van Dyke, 1964, p. 158). Il serait judicieux d’étudier les solutions extérieures et intérieures à} l’ordre suivant qui sont aussi disponibles dans la littérature (Chester et al., 1969).

En fonction du rapport de forme de la colonne, les forces capillaire et de flottabilité ne prennent plus la même expression pour λ_{≪ 1 et λ ≫ 1. Le modèle de forces pourrait donc être amélioré en analysant précisément la} transition entre les différentes expressions. Par ailleurs le contraste de densité entre les deux fluides joue un rôle clé à la fois sur la dynamique de la sphère et sur la forme de la colonne entraînée. Il serait donc pertinent de s’intéresser théoriquement et/ou numériquement à la situation où une sphère traverse de manière normale une discontinuité de densité. Cette situation a été étudiée par Camassa et al. (2010) en écoulement de Stokes, dans le cas où le domaine fluide est borné par des parois cylindriques. Toutefois cette analyse ne donne pas accès à une expression facilement utilisable de la force hydrodynamique et pourrait être étendue à des domaines infinis. Dans le régime opposé des écoulements de fluide parfait Eames et Hunt (1997) ont étudié l’interaction entre une particule de forme quelconque et un fluide linéairement stratifié, mais il ne paraît pas exister d’étude pour une stratification bi-couche.

Enfin la profondeur à laquelle le pincement se produit, doit encore être analysée pour pouvoir prédire à la fois le rapport de forme de la colonne (qui pilote la dynamique aux temps longs) et le volume de la goutte entraînée par la sphère. Une situation modèle est celle d’une colonne liquide étirée entre deux cylindres (Vincent et al., 2014). Des lois d’échelle donnant la masse de liquide entraînée par le cylindre en mouvement peuvent alors être obtenues. Cependant la situation considérée ici n’est pas à volume fixé et il est nécessaire de prendre en compte le flux de masse à la base de la colonne. Une configuration expérimentale plus proche de la notre et qui offrirait peut être des clés de compréhensions est celle mise en place par Marmottant et Villermaux (2004a) et Seiwert (2010). Elle consiste à retirer un cylindre d’une surface libre. Cette situation pourrait être étendue au cas d’une interface liquide-liquide, même si il est probable que l’écoulement généré par le cylindre perturbe celui de la colonne.

Perspectives plus larges

Le mécanisme d’apparition de la collerette qui se forme dans certains cas au dessus de la sphère nécessite une étude approfondie. Les travaux récents de Matas (2015) montrent en effet que la frontière entre instabilité visqueuse et non-visqueuse est ténue. Par ailleurs, il est encore difficile à ce stade de savoir si cette instabilité se développe dans le cas où la sphère solide est remplacée par une bulle. Théoriquement, l’analyse de Yih (1967) pourrait être étendue au cas où la paroi inférieure peut être modélisée par une condition de cisaillement nul et non une condition de non-glissement. Finalement, l’évolution non-linéaire de l’instabilité devrait aussi être

1. Toutefois un des avantages majeurs de la méthode utilisée actuellement dans JADIM vient de la facilité avec laquelle la force hydrodynamique est calculée. Dans le cas d’une méthode conservative, il est nécessaire de calculer cette force de manière directe, c’est-à-dire en interpolant la pression et les contraintes visqueuses sur l’objet (Bouchon et al., 2012). Cela peut être problématique quand le film est sous-résolu et que les points nécessaires à l’interpolation se situent dans deux fluides différents !

étudiée de manière à comprendre les mécanismes successifs à l’origine de la collerette (instabilité de Rayleigh-Taylor par exemple).

Concernant les modèles de types onde longue pour la colonne liquide, il serait utile dans un premier temps de comparer en détail notre dérivation à celle de Booty et al. (2013). Subséquemment des études numériques du comportement d’un ligament liquide pour λ_{≪ 1 et λ ≫ 1 pourraient être réalisées à partir de ces modèles.} La majeure partie de la littérature portant sur la rétraction de nappes liquides (et/ou de ligaments) se plaçant dans l’hypothèse où l’interface est assimilable à une surface libre (Brenner et Gueyffier, 1999; Notz et Basaran, 2004; Savva et Bush, 2009), une telle étude serait très enrichissante. Bien entendu, il faudra valider ces modèles 1D à l’aide d’expériences ou d’un code de calcul 3D. Le module Volume of Fluid de JADIM est suffisamment précis pour effectuer ce type d’étude. L’impact de la force de flottabilité pourra aussi être étudié à l’aide de ces modèles.

Un autre problème captivant est l’apparition de gouttes satellites lors de la fragmentation de ligaments (Eggers, 1997; Tjahjadi et al., 1992). Ce problème a été abordé numériquement (Ashgriz et Mashayek, 1995; Eggers, 1997), expérimentalement (Tjahjadi et al., 1992) et théoriquement (Eggers, 1997; Nayfeh, 1970). Théoriquement, l’étude faiblement non-linéaire de l’évolution d’une colonne liquide au sein d’un gaz a été la source de nombreuses controverses qui sont clarifiées dans la revue de Eggers (1997). Celui-ci montre par ailleurs que le modèle d’onde longue donne des résultats très satisfaisants aussi bien numériquement que théoriquement. A notre connaissance il n’existe pas d’étude faiblement non-linéaire pour des situations liquide-liquide. Les modèles développés pour

λ≪ 1 et λ ≫ 1 pourraient donc être analysés sous cet angle.

La situation dans laquelle une goutte où une particule est enrobée d’un liquide a beaucoup été étudiée dans la limite des petits nombres de Reynolds (Johnson, 1981; Johnson et Sadhal, 1985; Rushton et Davies, 1983; Sadhal et Oguz, 1985). Une façon élégante d’étudier ce problème dans cette limite serait d’utiliser le théorème de minimum de dissipation de l’énergie (Kim et Karrila, 2013, p. 15). Ce théorème a été étendu à des suspensions d’inclusions fluides (Keller et al., 1967; Skalak, 1970) et pourrait peut-être être employé pour évaluer les bornes des forces s’exerçant sur la particule. Il existe cependant peu d’études dans la limite des nombre de Reynolds modérés, notamment quand l’objet se déplace sous l’effet d’une force constante et que l’interface est mobile. Ce problème pourrait être appréhendé par un couplage entre une méthode de frontière immergée et une approche Volume of Fluid, comme dans le présent travail. Néanmoins nous avons constaté que la dynamique du film mince joue un rôle critique dans la dynamique de ce problème. Il est donc crucial de bien la décrire, ce qui n’est pas réalisable avec les maillages cartésiens utilisés. Une autre méthode très précise et déjà disponible dans le code JADIM, permet le suivi d’une particule mobile, en se plaçant dans le référentiel de celle-ci (Auguste, 2010; Mougin et Magnaudet, 2002). L’avantage de cette approche est que le maillage est fixe et peut donc être adapté aux contours de l’objet. Le couplage de cette méthode avec le module Volume of Fluid semble très prometteur pour étudier cette situation.

A

Détails liés au dispositif

expérimental et au matériel de

mesure

Caractéristiques techniques du dispositif expérimental

Sommaire

A.1. Verre optique B 270 Superwite®_{. . . 158}

A.2. Caractéristique des billes données par la fabricant . . . 158 A.3. Caméra PCO.Dimax S4 . . . 158 A.4. Objectif télécentrique TC4M120 . . . 158

A.1

Verre optique B 270 Superwite

Épaisseur (mm) Norme CIE D65 (%) Illuminant A (%)

Transmittance, dépendante 2.0 91.7 91.7

de l’épaisseur du verre 4.0 91.6 91.6

et de la norme CIE 15.0 91.0 91.0

A.2

Caractéristique des billes données par la fabricant

Type de bille Acier Inox AISI 304 Alumine Verre Teflon Polyacetal

Grade 100 AFBMA 24 AFBMA - 2 2

Tolérance sur le diamètre (µm) ±2.5 ±0.6 ±20 ±50,8 ±50,8

Erreur de sphéricité (µm) 2.5 0.6 - max 25.4 max 25.4

Rugosité (µm) 0.125 0.025 - -

-A.3

Caméra PCO.Dimax S4

Résolution 2016×2016 pixels Fréquence d’acquisition 1279 fps

Temps d’exposition 1,5µs-40ms

A.4

Objectif télécentrique TC4M120

Magnification 0.143 +/ − 3% Taile d e champs Distance de travail 336.5 +_{/ − 10 mm} F 16 Telecentricité < 0.1 degrés Distortion _{< 0.1%} Profondeur de champ 56 mm

B

Détails concernant la méthodologie

numérique

Sommaire

B.1. Equation de Poisson 1D . . . 162

B.1.1. Présentation du problème . . . 162 B.1.2. Résultats . . . 162

B.2. Écoulement de Poiseuille plan . . . 165

B.2.1. Le problème . . . 166 B.2.2. Méthode "originelle" de frontière immergée . . . 166 B.2.3. Modification de la vitesse près de la sphère . . . 167

B.3. Influence du forçage explicite . . . 168

B.3.1. Modèle 1D . . . 169 B.3.2. Cylindre en rotation libre . . . 172

B.1

Equation de Poisson 1D

B.1.1

Présentation du problème

Dans cette annexe nous nous intéressons à une équation de Poisson monodimensionnellle à coefficients constants :

∂2u

∂x2 = f(x) (B.1)

L’équation B.1 est discrétisée à l’aide d’une approche en différences finies, avec un schéma centré d’ordre 2. On Frontiere immergee

u_i−1● ui ●

u_i+1●

∆x Θ∆x

Figure B.1. Maillage utilisé

obtient le système suivant :

ui+1+ui−1−2ui= ∆x2fi (B.2)

Les points u sont placés sur chaque bord de maille (figure B.1). Le système est inversé avec le solveur tridiagonal de Matlab. La fonction f_{(x) est prise égale à x}4 _{et la vitesse de la frontière immergée est nulle (up = 0). Le} domaine a une longueur de 1, comprend n points et la frontière immergée est placée en x_{= 0.639 de manière} à ce qu’elle ne coïncide pas avec la frontière d’une maille. La condition de non-glissement est implémentée de différentes manières, dans le but d’étudier la précision du schéma numérique obtenu.

B.1.2

Résultats

Solution naturelle Des développements de Taylor au point ui donnent :

u_i−1= ui−∆x(∂u ∂x)i +∆x 2 2 ( ∂2_u ∂x2) i −∆x 3 6 ( ∂3_u ∂x3) i + O(∆x4) (B.3) up= ui+Θ∆x( ∂u ∂x)i +Θ 2_∆x2 2 ( ∂2u ∂x2) i +Θ 3_∆x3 6 ( ∂3u ∂x3) i + O(∆x4) (B.4)

La solution la plus naturelle est de combiner les deux équations pour prendre en compte l’objet. On a dans ce cas :

(∂_∂x2u2) i

= 2up+2Θui_(Θ2₊−1_Θ−)∆x2ui(Θ + 1)2 + O(∆x) (B.5) Ce qui conduit au système matriciel :

1 ∆x2 ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ −2 1 0 1 −2 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 −2 1 2 Θ+1 −2Θ 0 0 1 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ u1 u2 ⋮ u_i−1 ui ui+1 ⋮ un−1 un ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ f1 f2 ⋮ fi−1 fi−_(Θ2+Θ)∆x2up 2 up ⋮ up up ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ (B.6) 162