ENSIM 4A Statique des poutres ( résistance des matériaux )

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ENSIM 4A Statique des poutres ( résistance des

matériaux )

Jean-Michel Génevaux, Hugo Dujourdy

To cite this version:

Jean-Michel Génevaux, Hugo Dujourdy. ENSIM 4A Statique des poutres ( résistance des matériaux

). École d’ingénieur. France. 2013. �cel-00611692v13�

ENSIM 4A

M´ecanique :

Statique des poutres (r´esistance des mat´eriaux) .

.

http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=2860

Jean-Michel G´enevaux et Hugo Dujourdy

avec les complicit´es des ´etudiant-e-s qui m’ont d´etect´e

les (trop) nombreuses autant qu’originales fautes d’orthographe et de grammaire.

Chaque fois que je me plante, je pousse.[1]

7 mai 2020

Table des mati`

eres

1 M´ethode de travail 4

1.1 Les objectifs . . . 4

1.2 La p´edagogie de la CRAIEM . . . 4

1.2.1 Les phases de travail . . . 4

1.2.2 Conseils aux r´ef´erents . . . 7

1.3 L’´evaluation des comp´etences et objectifs p´edagogiques. . . 7

1.4 Absence . . . 10

2 Comp´etences, note. 12 2.1 Comp´etences . . . 12

2.2 Note . . . 12

3 Rappels de physique pour l’ing´enieur : homog´en´eit´e, unit´es et dimensions 14 3.1 Objectifs . . . 14

3.2 Homog´en´eit´e, adimensionalisation . . . 14

3.3 Adimensionalisation . . . 15

3.4 Unit´es logarithmiques relatives ou absolues . . . 15

3.5 Ordres de grandeurs . . . 15

3.6 Brevets d’acquisition de connaissance . . . 16

3.7 Brevets de v´erification de connaissance . . . 16

4 Rappel de m´ecanique du solide : liaisons - chargement - isostaticit´e - hypersta-ticit´e 18 4.1 Liaisons parfaites normalis´ee - torseur des efforts transmissibles . . . 18

4.2 Torseurs de chargement . . . 20

4.3 isostaticit´e - hyperstaticit´e . . . 21

5 Cours de th´eorie des poutres 26 5.1 Les Outils . . . 29

5.1.1 De l’´elasticit´e `a la th´eorie des poutres . . . 29

5.1.2 Notion de poutre . . . 34

5.1.3 Efforts int´erieurs . . . 37

5.1.4 Description de la section droite . . . 42

5.1.5 Annexe 1 . . . 48

5.2 Lois de comportement de la poutre . . . 48

5.2.1 Objectif . . . 48

5.2.2 1`ere cin´ematique . . . 51

5.2.3 2nd cin´ematique . . . 55

5.2.4 3i`eme cin´ematique . . . 59

5.2.5 Exemple d’utilisation : sollicitation de traction . . . 60

5.2.6 flexion simple autour de l’axe H~z . . . 60

5.3 Dimensionnement . . . 63

5.3.1 Cercle de Mohr des contraintes . . . 63

5.3.3 M´ethode de calcul . . . 65

5.3.4 Exemple de calcul . . . 66

5.3.5 Formules de Bresse . . . 69

5.4 R´esolutions de probl`emes . . . 71

5.4.1 R´esolution par superposition . . . 72

5.4.2 M´ethodes ´energ´etiques . . . 74

5.4.3 R´esolution de syst`emes hyperstatiques . . . 76

5.4.4 Syst`emes articul´e . . . 84

Si vous ˆetes l’une des 208 personnes qui t´el´echargent annuellement ce polycopi´e sur http ://www.archives-ouvertes.fr, et que vous passez par Le Mans, venez m’offrir un caf´e (sans sucre)... et on en profitera

pour parler du contenu afin de l’am´eliorer.

Chapitre 1

M´

ethode de travail

1.1

Les objectifs

Cet enseignement sera dispens´e pendant les s´eances de CRAIEM (”Coop´erons `a notre Rythme d’Apprentissage Individualis´e en Ecole Mutuelle”). Pour que vous puissiez organiser vos appren-tissages, pour chacun des enseignements, un plan de travail personnel et pour l’ann´ee r´esume :

— les ´etapes de formation (brevets) (Fig. 1.1), — les objectifs de formations (ceintures ou examen). — le nombre de s´eances qu’il vous faut suivre.

1.2

La p´

edagogie de la CRAIEM

Les groupes ´etudiants entrent progressivement en formation (Fig. 1.2) : un groupe td commence la formation pendant 3 s´eances, puis est rejoint par un second groupe pendant 3 s´eances, puis l’ensemble des deux groupes est rejoint par le troisi`eme groupe pour 10 s´eances. Chaque groupe arrˆete progressivement lorsqu’il a atteint son cota de 16 s´eances.

1.2.1

Les phases de travail

Les s´equences d’enseignement th´eoriques en pr´esentiel (CRAIEM) sont divis´ees en six parties : 1. Lecture d’une partie du polycopi´e, visualisation de vid´eos, sont faites `a la maison en dehors

des s´eances.

Figure_{1.1 – Parcours de formation : les num´eros repr´esentent les brevets, les tuiles inclin´ees les} ceintures/COP, les briques vertes les consignes temporelles de lecture, les briques jaune bleu rouge les positions des ´etudiants dans l’apprentissage.

Figure_{1.2 – Entr´ee progressive des groupes pour la mise en place d’une ´ecole mutuelle.} 2. En entrant dans la salle, vous donnez `a l’enseignant votre fiche 1.3 et vous allez vous asseoir

en cercle.

3. L’enseignant classe les questions par num´ero de page, lit chacun `a haute voix et y r´epond. Les r´eponses sont enregistr´ees en vid´eo, puis sont index´ees dans le polycopi´e aux lieux ad´equats ce qui permet de les consulter en diff´er´e. La prise d’image est assur´ee par un ´etudiant-cameraman. Un ´etudiant-secr´etaire, note les questions dans un fichier texte pour faciliter la mise `a disposition ult´erieure. Pendant cette phase de question-r´eponse, un ´etudiant fait circuler une feuille d´emargement : le nombre de signature doit correspondre au nombre de pr´esents.

4. Un second temps peut ˆetre consacr´e au d´ebat d’une dur´ee maximale de 15 minutes. L’image du jour est affich´ee. Il vous est pos´e une question `a laquelle vous r´epondrez en 3 temps : 2 minutes de r´eflexion personnelle, 4 minutes de confrontation d’id´ees par groupe de 4, mise en commun collective sous le format : ”Je pense que ... et mes raisons sont les suivantes ...”. 5. Une phase d’exercices (brevets) est alors, `a votre rythme. La banque de brevet regroupe l’en-semble des exercices. Afin que chacun puisse se concentrer sur son travail, si vous ´echangez avec vos voisins, merci de le faire en chuchotant. Pour cette phase vous pouvez avoir deux rˆoles : apprenant ou r´ef´erent.

— Si vous avez re¸cu un m´el pour ˆetre expert d’un brevet, en entrant dans la salle, vous regardez combien d’´etudiants sont inscrits pour le brevet dont vous ˆetes l’encadrant, vous mettez autours du cou votre badge 1.4, vous pr´eparez un ou plusieurs pˆoles de 4 personnes. Apr`es participation `a la phase de question/r´eponse, vous r´ecup´erez une brique Lego de la couleur de votre groupe, vous vous tenez `a disposition des ´etudiants qui travaillent sur votre brevet. Vous les aidez en respectant les r`egles d’aide not´ees au dos de votre badge. Attendez qu’ils appellent `a l’aide pour intervenir : pendant ce temps continuer de travailler (seul) sur votre brevet d’apprenant. Si vous avez une difficult´e pour expliquer, venez en parler `a l’enseignant qui vous donnera un ”coup de pouce”. Parmis les apprenants avec lesquels vous travaillez pendant une s´eance, demandez `a l’un d’entre eux de prendre ce rˆole de r´ef´erent pour ce brevet pour la s´eance suivante. Il note son m´el sur le badge, et vous barrez le votre. Vous remettez les tables en position si nous sommes dans la salle d’examen de l’IUT ou la C05 de l’Ensim. Vous rendez le badge `a l’enseignant.

— Si vous ˆetes apprenant, vous r´ecup´erez une brique Lego de la couleur de votre groupe. Ils ont ´et´e ´ecrits suite aux erreurs rencontr´ees les plus fr´equemment dans les copies d’examen. Cette banque de brevets concerne l’ensemble des trois ann´ees de formation `a l’ENSIM et certaines formations `a l’UFR. Vous serez aid´e soit par un r´ef´erent, soit par l’enseignant s’il n’y a pas encore de r´ef´erent. Pour un brevet que vous avez bien compris, vous pouvez en devenir le r´ef´erent : votre rˆole est alors d’aider les autres `a l’obtenir. Un syst`eme de badge, que vous mettez autour du cou lors des s´eances suivantes, permets aux ´etudiants de vous identifier et de venir chercher de l’aide. Vous notez votre m´el sur le badge, et le r´ef´erent barre le sien.

6. Les trois derni`eres minutes d’une s´equence sont utilis´ees pour poser votre brique Lego sur le graphe de progression a proximit´e de la tuile comportant le num´ero du brevet sur lequel vous ˆetes en train de travailler. Ce plateau permet `a l’enseignant de pr´eparer la salle pour la s´eance suivante et de vous accompagner plus particuli`erement si vous ˆetes derri`ere le peloton ou `a galoper devant. Vous d´eposerez aussi une fiche de retour sur la s´eance 1.5 qui permet de mesurer si le fonctionnement est ad´equat.

Figure_{1.3 – Fiche de travail personnel `a compl´eter avant d’entrer dans la salle.}

Figure_{1.5 – Fiche de retour d’information en fin de s´eance.}

1.2.2

Conseils aux r´

ef´

erents

Si vous ˆetes ”expert”, merci de veillez `a respecter ces conseils. Si vous ˆetes ”apprenant”, merci de signaler `a l’expert qu’il ne respecte pas ces conseils : vous l’aiderez `a prendre la bonne posture afin que vous appreniez le plus efficacement possible.

Quelques conseils `a l’expert :

— Commence par demander ”Tu en es o`u ? Qu’est ce que tu as d´ej`a fait ? A quoi ¸ca te fait penser ? Raconte ce que tu as compris du probl`eme”. Essaye de parler moins de 10% du temps. Cela permet de l’aider juste l`a o`u il en a besoin.

— Fais ´ecrire l’´etudiant plutˆot que de le faire `a sa place.

— Si tu dois faire l’exercice car l’´etudiant n’´ecrit pas, essaye de le faire travailler sur un exer-cice jumeau : changer les fonctions, les conditions aux limites, les valeurs num´eriques... Par exemple en math, si l’´etudiant doit d´eriver f (x) = 2x cos(x), lui faire d´eriver g(x) = 5x sin(x).

— Quand tu as expliqu´e quelque chose, demande `a l’´etudiant de r´eexpliquer ce que tu viens de faire.

— Se taire quand ils ont red´emarr´e pour les laisser faire.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une des questions sur cette partie. Les fichiers sont nomm´es 069 Comment va-t-on utiliser les triaides ?, 062 Est-ce que vous allez faire cours ?, 249 Quand ferez-vous un cours magistral ?, 292 Comment s’abonne-t-on `a la chaine ”statique des poutres” ?.

1.3

L’´

evaluation des comp´

etences et objectifs p´

edagogiques.

L’´evaluation est faite par la validation de comp´etences et objectifs p´edagogiques (COP). Le chaˆınage des COP test´ees est indiqu´e figure 1.1.

La validation des COP est faite soit par un examen, soit par des ceintures. Chacun choisi son type d’´evaluation lors de la seconde s´eance d’enseignement de cette mati`ere.

— Si vous optez pour une ´evaluation par un examen classique de 1h30, pour vous entraˆıner `a manipuler les concepts, `a prendre un peu de hauteur et vous approprier la d´emarche globale, des sujets de travaux dirig´es, des sujets d’examens et leur corrig´es sont disponibles sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=403. Vous aurez `a composer sur chacune des COP. Un taux de r´eussite t(i) est associ´e `a chaque COP i.

— Si vous optez pour une ´evaluation par ceintures, une COP n’est pas acquise si l’une des conditions suivantes est fausse :

— vous avez d´etaill´e la d´emarche,

— vous avez d´etaill´e quelques r´esultats interm´ediaires chiffr´es (avec les unit´es pr´ecis´ees), — vous trouvez le(s) r´esultat(s) (avec les unit´es pr´ecis´ees),

— toutes vos ´equations sont homog`enes, — les scalaires sont ´egaux `a des scalaires, — les vecteurs sont ´egaux `a des vecteurs, — les torseurs sont ´egaux `a des torseurs, — les tenseurs sont ´egaux `a des tenseurs,

— votre copie de r´eponse `a cette comp´etence utilise des ´ecritures compl`etes, bases, points d’expression d’un torseur,

— vos r´esultats chiffr´es sont suivis par des unit´es,

— si vos deux copies (rendu `a la maison et surveill´ee) sont diff´erentes.

Insistons : une COP n’est pas acquise par la m´ethode ceintures, si la d´emarche est juste, mais le r´esultat faux (erreur de calcul lors de cette COP, ou lors des COP parentes). Le taux de r´eussite t est donc soit 0% soit 100%. Vous pouvez tenter d’obtenir une ceinture lorsque vous vous sentez prˆet-e `a le faire. Vous ne pouvez tenter qu’une ceinture `a la fois. Vous pouvez tenter une ceinture au maximum 3 fois. Si au bout de 3 tentatives, vous ne la d´etenez pas, vous pouvez tenter la ceinture n + 1 suivante (3 fois). L’obtention de la ceinture de niveau n + 1 vous attribue alors les ceintures de niveaux n + 1 et n.

Le passage d’une ceinture se fait en deux phases :

— phase continue : Vous passez des ceintures en autonomie, `a votre rythme, jusqu’au jour de l’examen.

— vous envoyez un m´el `a jmgenev@univ-lemans.fr avec comme titre : ”ensim, sdp, couleur-de-la-comp´etence”,

— l’enseignant vous envoi par m´el le sujet,

— Sur votre copie (fournie), `a cot´e de la d´eclaration suivante : ”Je m’engage sur l’honneur `

a n’´evoquer avec personne le contenu du sujet de passage de cette ceinture. Cependant, dans le cas o`u je ne r´eussirais pas `a l’obtenir, j’ai compris pouvoir discuter de mon travail avec les ´etudiants ayant acquis cette ceinture. Si l’enseignant `a la preuve que je n’ai pas respect´e mon engagement (j’ai admis le non-respect, je suis incapable de refaire la ceinture en mode surveill´e...), un rapport de fraude est fait par l’enseignant et transmis au directeur de l’´ecole ou au directeur de l’UFR qui transmets `a la commission de discipline de l’universit´e. L’enseignant y demandera que je ne puisse plus passer de ceintures en autonomie dans la mati`ere concern´ee pour l’ann´ee universitaire en cours.”, vous ´ecrivez ”lu et approuv´e” et vous signez. Cela permet `a vos camarades de faire une mesure ”libre et non fauss´ee” de leurs savoirs scientifiques et non de leur COP de m´emorisation... ou de (risqu´ee) recopie.

— vous composez de fa¸con individuelle en dehors des s´eances d’enseignement,

— vous rendez votre copie, sujet et brouillon, le tout agraf´e dans cet ordre `a l’enseignant au d´ebut d’une de ses s´eances d’enseignement `a l’Ensim ou `a l’UFR Sciences. Pour trouver les heures et salles o`u le trouver, consultez ADSOFT filtre ”genevaux”,

— l’enseignant jette un d´e,

— si vous ne poss´edez pas de jeton ”non dop´e”, si le jet de d´e correspond `a un nombre anti-dopage qui d´epend du niveau de la ceinture,

alors vous recomposez imm´ediatement en mode surveill´e en n’ayant `a votre disposition que un polycopi´e vierge.

— vous rendez votre nouvelle copie `a l’enseignant.

— Si l’enseignant estime que votre erreur est minime, apr`es consultation de votre copie en sa pr´esence, il peut vous proposer d’utiliser un ”jocker”. Si vous l’utilisez, la ceinture est valid´ee. Vous ne disposez que d’un jocker par an.

— phase terminale : le jour de l’examen, vous ˆetes convoqu´e pour passer les ceintures res-tantes surveill´ees pendant une dur´ee de 1h15, en mˆeme temps que les ´etudiants qui ont choisi une ´evaluation par examen. Les sujets vous sont fournis `a l’entr´ee dans la salle. La validation se fait alors avec un taux de r´eussite de 0% `a 100%. En cas d’absence, les proc´edures sont les mˆemes que pour un examen. Si vous ˆetes d´etenteur de toutes les ceintures en autonomie, venez juste ´emarger.

— La date et l’heure de l’examen closent les rendus de ceintures. Vos validations/´echecs aux comp´etences vous seront transmises via

http ://perso.univ-lemans.fr/∼jmgenev/comp.

Au premier ´echec, la bulle deviendra rouge, au second orange, au troisi`eme rouge. Si elle est r´eussie, elle deviendra verte.

En cas d’´echec ou de r´eussite, le sujet suivant vous sera envoy´e par m´el.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous

pou-vez visualiser la r´eponse `a une des questions sur cette partie. Les fichiers sont nomm´es 602 Peut-on choisir entre examen et valida-tion de comp´etences comme en 2015-2016 ?, 603 Recevrons-nous en une fois les 4 sujets de comp´etences si l’on souhaite les faire de fa¸con anticip´ee ? , 604 Avant la date d’examen, est-il possible d’avoir valid´e les 4 comp´etences ?, 607 Les modalit´es de contrˆole ne peuvent pas etre unique car dans chaque cours elles diff`erent. Comment le CA a-t-il pu voter cela ?.

ˆ

Etre d´etenteur d’une comp´etence, implique qu’en tant qu’expert de celle-ci, vous aidiez vos camarades `a l’obtenir. Votre dialogue doit porter sur un exemple similaire propos´e par le demandeur d’aide. Il ne doit pas porter sur l’exemple qu’il a `a r´esoudre. Vous l’orientez sur les brevets aff´erents, en r´epondant `a leur questions sur ces brevets, en insistant sur des points qui vous ont ´eventuellement fait rater cette comp´etence dans des tentatives pr´ec´edentes. Vous ne d´evoilez pas le contenu du sujet de la comp´etence ni les r´eponses.

”C’est arriv´e pr`es de chez vous” : L’exemple d’´etudiants qui ”travaillent `a 3 pour r´esoudre un sujet de comp´etence, recopie chacun sur une feuille la r´eponse qu’ils ont ´elabor´ee collectivement, rendent le mˆeme jour `a la mˆeme heure leur feuilles en esp´erant ne pas faire 6”, ne respectent pas les r`egles. En cas de d´etection par l’enseignant, le passage par comp´etences est arrˆet´e pour eux et dans le reste de leur scolarit´e, ils feront des examens dans les modules `a venir.

L’interfa¸cage avec les modalit´es de contrˆole des connaissances n´ecessite, h´elas, une note... (Relire l’invariant p´edagogique 19 de C´elestin Freinet [13]). Le cumul de vos points vous fourni la note. Nous transmettrons les comp´etences que chacun d’entre vous a valid´ees, aux coll`egues des enseignements `

a venir qui ont comme pr´erequis des comp´etences de ce module.

Attention, une comp´etence est attribu´ee en ”tout ou rien”. Il n’est pas possible de r´epondre `a des petits bouts de chaque comp´etence pour grappiller quelques points.

Figure_{1.6 – Ch`eque d’absence.}

Nous vous souhaitons une bonne d´ecouverte, une int´eressante confrontation des mod`eles que nous d´evelopperons lors de cette formation `a la r´ealit´e des essais effectu´es en travaux pratiques, et bien sˆur... une bonne coop´eration entre vous, sauf lors de la validation de comp´etences.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une des questions sur cette partie. Les fichiers sont nomm´es 073 Je n’ai pas fini de lire le polycopi´e. Est-ce grave ?, 060 Doit-on connaitre toutes les formules du

poly ?, 078 Comment concr`etement passer une comp´etence anticip´ee ? , 085 Qu’est-ce qu’un ´etudiant r´ef´erent d’un brevet ?, 086 Le jet de d´e est un syst`eme super-hasardeux..., 087 Com-ment fonctionnent les triaides ?, 223 A quelle vi-tesse doit-on avancer dans le polycopi´e, dans les exercices... ?, 272 Quelle est la cause de la men-tion ”bof”, pour la comp´etence ”homog´en´eit´e des ´equations” ?, 273 Existe-t-il un polycopi´e pour les brevets ?, 290 Pour la formation `a l’Ensim, si on ´echoue 3 fois `a la comp´etence orange, et que l’on valide la comp´etence rouge, cela valide-t-il la comp´etence orange et donc on r´ecup`ere les points de celle-ci ?, 288 Comment r´ecup`ere-t-on les ceintures ´echou´ees et corrig´ees ?.

1.4

Absence

Le conseil d’administration a vot´e l’obligation d’ˆetre pr´esent en cours. Il nous semble plus pertinent que l’obtention des comp´etences de base soit obligatoire pour justifier les 14 000 euros par an que la nation verse pour vous former grˆace aux impˆots. Ne pas venir `a une s´eance de 1h1/4, repr´esente donc un gaspillage de 23 euros... sauf si vous travaillez `a la maison et que vous atteignez les comp´etences de base.

Pour concr´etiser ceci aupr`es des ´etudiants non alternants, la m´ethode suivante est utilis´ee : — en d´ebut de s´eance, une feuille d’´emargement circule : le nombre de signatures doit

corres-pondre au nombre de pr´esents,

— l’enseignant d´etecte les ´etudiants qui r´eapparaissent apr`es une ou des absences et leur de-mande de compl´eter un ch`eque de 23 euros de ensim-banque par absence (Fig. 1.6), — le 10 avril 2020, les comp´etences acquises par chaque ´etudiant sont fig´ees,

— pour un ´etudiant qui a donn´e un ou plusieurs ch`eques, s’il a les comp´etences de base, l’enseignant d´echire les ch`eques,

— pour un ´etudiant qui a donn´e un ou plusieurs ch`eques, s’il n’a pas les comp´etences de base, l’enseignant lui rend les ch`eques et l’invite `a faire un vrai ch`eque de remboursement du montant total au Tr´esor Public (ou `a une association de son choix : ing´enieur sans fronti`ere par exemple...).

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr,vous pouvez visualiser la r´eponse `a une des questions sur cette partie. Les fichiers sont nomm´es 255 Que sont les ch`eques de 23 euros ?, 256 Je m’´etonne que vous osiez demander de l’argent `a un ´etudiant, par un ch`eque de 23 euros !, 257 Quand on est malade, doit-on aussi payer 23 euros ?.

Chapitre 2

Comp´

etences, note.

2.1

Comp´

etences

L’enchaˆınement des comp´etences est visible sur

http ://perso.univ-lemans.fr/∼jmgenev/comp.

1. blanche de physique pour l’ing´enieur, 0 pts, anti-dopage ”5 et 6” : savoir d´eterminer si une ´equation est homog`ene ou la dimension d’une variable `a partir de l’homog´en´eit´e.

2. jaune de m´ecanique, 0 pts, anti-dopage ”5 et 6” : d´eterminer si un syst`eme est isostatique, hypostatique ou hyperstatique de degr´e n et exprimer les r´eactions aux liaisons en fonction du chargement et des ´eventuelle inconnues hyperstatiques.

3. orange, 4 pts, anti-dopage ”6” : d´eterminer les composantes d’un torseur d’efforts int´erieurs et les exprimer en fonction du chargement et des ´eventuelles inconnues hyperstatiques. 4. bleue, 4 pts, anti-dopage ”5 et 6” : d´eterminer le chargement maximal admissible d’une

structure isostatique.

5. verte 4 pts, anti-dopage ”4, 5 et 6” : d´eterminer un ´el´ement du torseur de d´eplacement d’un point d’une structure isostatique et les exprimer en fonction du chargement.

6. marron, 4 pts, anti-dopage ”3, 4, 5 et 6” : r´esoudre un probl`eme hyperstatique ext´erieurement. 7. noire, 4 pts, anti-dopage ”2, 3, 4, 5 et 6” : r´esoudre un probl`eme hyperstatique int´erieurement. 8. rouge, 6 pts : En ´equipe de 4 ´etudiants d´etenteurs des comp´etences bleue et verte, concevoir,

dimensionner, fabriquer un jardin suspendu `a ´epices qui respecte un cahier des charges. Les comp´etences qui sont un pr´erequis de ce cours et que vous auriez dˆu valider les ann´ees pr´ec´edentes, ne rapportent pas de points. Par contre, il est obligatoire de les d´etenir pour acc´eder aux comp´etences de ce cours (orange `a rouge).

2.2

Note

Votre note `a ce cours sera le cumul des points acquis.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 084 Dans quel cas, une validation de comp´etence est surveill´ee ou en autonomie ?, 088 A quoi correspondent les cou-leurs blanche, jaune, etc. Cela correspond-t-il `a quelque chose ?.

.

Chapitre 3

Rappels de physique pour

l’ing´

enieur : homog´

en´

eit´

e, unit´

es

et dimensions

3.1

Objectifs

— Homog´en´eit´e d’une relation — ´Equation aux dimensions — Unit´es adimensionnelles.

Unit´es angulaires : radian = unit´e physique. minutes et secondes d’arc.

— Unit´es logarithmiques relatives ou absolues, dimensionn´ees ou adimensionn´ees : dB, dBm, dBm - dBm = dB, dB/km, pH, octave, magnitude et niveau (visuelle, sismique), etc ... — Ordres de grandeurs, ´echelles : de taille ; de masse ; de temps ; de puissance acoustique ; de

puissance lumineuse ; d´ebit d’informations...

— Conversions des principales unit´es entre syst`eme m´etrique et syst`eme imp´erial

3.2

Homog´

en´

eit´

e, adimensionalisation

Les grandeurs de part et d’autre d’une ´equation sont g´en´eralement de natures diff´erentes. Par exemple, le principe fondamental de la dynamique en terme de r´esultante

~

F =m~ΓG,S/R0, (3.1)

exprime une relation entre un effort F , une masse m et l’acc´el´eration du centre de gravit´e d’un solide Γ (voir cours de ”M´ecanique G´en´erale”). Cette ´ecriture est intrins`eque : elle ne d´epend pas du rep`ere dans lequel les grandeurs sont exprim´ees (rep`ere cart´esien, cylindrique, sph´erique, curviligne...). Vous vous devez de v´erifier pour chaque loi, que l’´equation est homog`ene : que les dimensions sont les mˆemes de part et d’autre d’un signe ´egalit´e. Dans l’exemple pr´ec´edent, l’´equation est homog`ene `a une masse fois une longueur divis´ee par un temps au carr´e :

M LT−2. (3.2) Les ´equations sont donc ind´ependantes de l’unit´e prise pour chaque grandeur (pour la longueur L : le m`etre, le centim`etre, le pouce...). Il suffit de choisir les mˆemes unit´es de part et d’autre de l’´equation. Lorsque vous sommez deux termes, ils doivent aussi ˆetre homog`enes. Ajouter une carotte et un chou ne fera pas deux quelque chose, mais juste un d´ebut de pot-au-feu. Essayez d’additionner des km/h et des kg pour vous en convaincre. La norme internationale ISO 1000 (ICS 01 060) d´ecrit les unit´es du Syst`eme International et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unit´es. Le Syst`eme International compte sept unit´es de base : le m`etre, le kilogramme, la seconde, l’amp`ere, le kelvin, la mole et la candela, cens´ees quantifier des grandeurs physiques ind´ependantes.

Lorsqu’une grandeur est d´efinie par une d´eriv´ee, une d´eriv´ee partielle ou une int´egrale, l’´equation aux dimensions est construite comme si les d´eriv´ees correspondaient `a une division et l’int´egrale `a une multiplication. Par exemple,

— si f (s) = dg(s)_ds avec g(s) en m et s en kg, alors f (s) s’exprime en m/kg, — si k(t1) =R

t1

t0 g(t)dt avec g(t) en V et t en s, alors k(t1) s’exprime en V.s.

3.3

Adimensionalisation

Des grandeurs sont sans dimension. Vous n’ignorez pas que le p´erim`etre d’un cercle de rayon r est p = 2πr. Si on ne d´ecrit qu’une partie du cercle une relation similaire lie la longueur de l’arc de cercle c au rayon : c = αr. L’angle est donc α = c/r un rapport de deux longueurs : l’angle, exprim´e en radian est sans dimension. De mˆeme, l’´ecoulement d’un fluide visqueux d´epend du rapport entre les effets dynamiques et les effets visqueux. Lorsque l’on souhaite faire une maquette `a ´echelle r´eduite, il faut conserver ce rapport entre les diff´erentes forces : on conservera le nombre de Reynolds Re = vd_ν =ρvd_η , avec d une dimension caract´eristique de l’´ecoulement, v une vitesse caract´eristique de l’´ecoulement, ν la viscosit´e cin´ematique, ρ la masse volumique et η la viscosit´e dynamique. L’adimensionalisation des ´equations est tr`es utilis´ee en m´ecanique des fluides, h´elas beaucoup moins en m´ecanique des solides. Ceci n’est en fait dˆu qu’`a des habitudes diff´erentes au sein des deux communaut´es. Adimensionaliser les ´equations a l’avantage de faire apparaˆıtre les groupements adimensionels de param`etres qui r´egissent le comportement, mais pr´esente l’inconv´enient, en cas d’erreur de calcul par une omission d’un terme adimensionnel, de laisser l’´equation homog`ene (ce ne sont que des multiplications/additions/divisions de nombres sans dimension), et donc enl`eve un moyen de v´erifier le r´esultat final.

3.4

Unit´

es logarithmiques relatives ou absolues

Des capteurs, comme nos oreilles par exemple, ne sont pas sensibles de fa¸con lin´eaire au signal re¸cu, pour nos oreilles, au bruit. Il est donc int´eressant de ne pas mesurer le niveau acoustique sur une ´echelle lin´eaire, mais logarithmique. De plus, prendre en compte le seuil d’audibilit´e pour d´efinir l’´echelle logarithmique am`ene `a consid´erer un niveau de r´ef´erence de pression de Pref = 2 10−5Pa.

On construit alors Lp = 10 log

_p2 ef f p2 ref  = 20 logpef f pref 

dont l’unit´e est alors le d´ecibel not´e dB, avec pef f la pression efficace en Pa. Le choix d’une ´echelle logarithmique dans la repr´esentation

graphique d’une relation entre deux grandeurs a et b peut ˆetre justifi´ee par : — des r´epartitions des valeurs de a ou b de fa¸con g´eom´etrique

— pour d´eterminer des coefficients lorsque la fonction liant a et b est non lin´eaire.

Prenons par exemple une relation th´eorique du type b = a0.34_{. Si l’on cherche `a v´erifier exp´erimentalement}

l’exposant de cette relation, il est plus judicieux de tracer log b en fonction de log a : la fonction th´eorique (log b = 0.34 log a) est une droite passant par l’origine, les points exp´erimentaux per-mettent de leur cˆot´e de d´eterminer la pente exp´erimentale (avec son incertitude) qui donne la valeur exp´erimentale du coefficient (avec son incertitude).

3.5

Ordres de grandeurs

Il ne suffit pas que votre mesure soit donn´ee dans des unit´es coh´erentes, par exemple si votre capteur mesure la vitesse du cycliste en descente par la rupture de deux faisceaux lasers distants de 1 cm dans un intervalle de temps de 12.3 10−2 _{s, encore faut-il que la valeur soit r´ealiste. Dans}

le cas de votre cycliste, il roule `a 0.29 km/h ! On compte sur votre exp´erience.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une des questions sur cette partie. Les fichiers sont nomm´es 268

Com-bien de chiffres significatifs dans 1340,40 ?, 270 Pourquoi 1340 a trois chiffres significatifs alors

que 13,40 en a quatre ?.

3.6

Brevets d’acquisition de connaissance

Pour v´erifier que vous avez assimil´e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 155, 212, 228 et 808.

Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=403.

3.7

Brevets de v´

erification de connaissance

Pour v´erifier que vous savez r´einvestir cette connaissance sur un autre cas, je vous invite `a ob-tenir les brevets 211, 213, 224 et 099. Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent

.

Chapitre 4

Rappel de m´

ecanique du solide :

liaisons - chargement - isostaticit´

e

- hyperstaticit´

e

Ce chapitre concerne les ´etapes mises en gras dans le synopsis figure 4.1.

4.1

Liaisons parfaites normalis´

ee - torseur des efforts

trans-missibles

Dans ce cours, la r´esultante du torseur des efforts transmissibles sera not´ee ~R, le moment sera not´e ˘M . La liaison ´etant consid´er´ee parfaite, la puissance d´evelopp´ee dans cette liaison doit ˆetre nulle quels que soient les d´eplacements et rotations ´eventuels possibles. Ceci implique que le travail d’une liaison soit nul. Il est calcul´e par le comoment des deux vecteurs :

 ˘ ω ~uA  A ⊗  _~ R ˘ MA  A = 0, (4.1) qui se d´eveloppe en ˘ ω. ˘MA+ ~uA. ~R = 0. (4.2)

Ci-dessous, sont donn´es les torseurs d’efforts transmissibles. On peut les retrouver `a partir des formules ci-dessus, en ´ecrivant pour la liaison choisie le torseur cin´ematique associ´e (mouvements de translation et de rotation autoris´es par la liaison), puis choisir un torseur d’inter-effort qui a a priori toutes les composantes en r´esultante et en moment, et ´ecrire que le comoment est nul quelle que soit l’amplitude des mouvements possibles.

Les liaisons associ´ees `a un probl`eme tridimensionnel sont normalis´ees. La symbolique est donc la mˆeme que celle que vous utilisez pendant la formation de Technologie-M´ecanique. Utilisez les dessins associ´es !

— liaison tridimensionnelle encastrement : {τ }_A=  Ri~i + Rj~j + Rk~k Ci˘i + Cj˘j + Ck˘k  A , — liaison tridimensionnelle pivot d’axe A~i : {τ }_A=

 Ri~i + Rj~j + Rk~k Cj˘j + Ck˘k  A , — liaison tridimensionnelle glissi`ere d’axe A~i : {τ }_A=

 Rj~j + Rk~k Ci˘i + Cj˘j + Ckk˘  A , — liaison tridimensionnelle h´elico¨ıdale d’axe A~i de pas p : {τ }_A=

( −2πCi p ~i + Rj~j + Rk~k Ci˘i + Cj˘j + Ckk˘ ) A , — liaison tridimensionnelle pivot glissant d’axe A~i : {τ }_A=

 Rj~j + Rk~k Cj˘j + Ck˘k  A ,

Figure_{4.1 – Les concepts utiles `a la d´etermination du degr´e d’hyperstatisme et des r´eactions aux} liaisons.

Figure <sub>4.2 – La symbolique des liaisons 2d utilis´ee dans ce cours (non normalis´ee) de gauche `a</sub> droite : encastrement 2d, appui simple 2d, appui sur rouleau 2d, glissi`ere 2d

— liaison tridimensionnelle sph´erique `a doigt d’axe A~i et A~j : {τ }_A=  Ri~i + Rj~j + Rk~k Ck˘k  A , — liaison tridimensionnelle sph´erique en A : {τ }_A=

 Ri~i + Rj~j + Rk~k ˘ 0  A , — liaison tridimensionnelle appui plan de normale A~i : {τ }_A=

 Ri~i Cj˘j + Ck˘k  A , — liaison tridimensionnelle lin´eaire rectiligne de normale A~j de direction A~i : {τ }A=

 Rj~j Ckk˘  A , — liaison tridimensionnelle lin´eaire annulaire d’axe A~i : {τ }_A=

 Rj~j + Rk~k ˘ 0  A , — liaison tridimensionnelle ponctuelle d’axe A~i : {τ }_A=

 Ri~i ˘ 0  A .

Les liaisons associ´ees `a un probl`eme bidimensionnel ne sont pas normalis´ees. Faites attention `a la signification de chaque symbole en fonction de l’ouvrage. Pour notre part, la symbolique pr´esent´ee dans la figure 4.2 sera utilis´ee. Pour un probl`eme dans le plan (A,~i,~j) :

— liaison bidimensionnelle encastrement : {τ }_A=  Ri~i + Rj~j Ck˘k  A , — liaison bidimensionnelle appui simple : {τ }_A=

 Ri~i + Rj~j 0˘k  A , — liaison bidimensionnelle appui sur rouleaux de normale A~j : {τ }_A=

 Rj~j 0˘k  A , — liaison bidimensionnelle glissi`ere d’axe A~i : {τ }A=

 Rj~j Ckk˘  A .

tridimensionnelles (et inversement).

• Erreur classique : Lorsque 2 poutres (ou plus) de directions diff´erentes se raccordent en un point B, il ne faut pas rajouter une liaison encastrement entre ce point B et le r´ef´erentiel Galil´een : le point B peut se d´eplacer, tourner... et toutes les poutres aboutissant `a ce point B se d´eplacent et tournent au point B de la mˆeme valeur.

Pour v´erifier que vous avez assimil´e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir les brevets 037 et 038. Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur https ://lite.framacalc.org/lemans-sdp-1819.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous

pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 089 Que repr´esente l’´equation avec le comoment pour la comp´etence jaune de sdp ?, 090 Les liaisons 2D ne sont pas normalis´ees. Doit-on normaliser par rapport aux forces ?, 091 Que signifie le fait que la puis-sance d´evelopp´ee est nulle pour une liaison par-faite ?, 092 Les liaisons bidimensionnelles sont dessin´ees, mais on ne sait pas `a quoi elles cor-respondent..

4.2

Torseurs de chargement

Dans ce cours, la r´esultante sera not´ee ~F , le moment sera not´e ˘C. Les diff´erents torseurs de chargements sont :

— force concentr´ee au point A de direction ~i {τ1} =  _~ F ˘ 0  A , (4.3)

— couple concentr´e au point A de direction ~i {τ2} =  _~0 ˘ C  A , (4.4)

— densit´e lin´eique de force p~i sur un segment de longueur ds au point P {dτ3} =  p~ids ˘0  P , (4.5)

— densit´e lin´eique de couple c˘i sur un segment de longueur ds au point P {dτ4} =  _~0 c˘ids  P , (4.6)

— torseur ´equivalent exprim´e au point C, d’un chargement lin´eique sur un segment AB : {τ5} = Z B A  ~ pds ˘ cds  P = Z B A  ~ pds ˘ cds + ~pds ∧ ~P C  C = ( _RB A ~pds RB A (˘c + ~p ∧ ~P C)ds ) C . (4.7) Attention dans la derni`ere ´egalit´e ci-dessus d’avoir exprim´e ~p et ˘c dans une base fixe qui ne d´epend pas de l’abscisse curviligne.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 219 Peut-on avoir en un mˆeme point, une liaison et un char-gement ?, 222 Comment trouve-t-on les termes non nuls des liaisons d’inter-effort ?, 250 Un torseur a une r´esultante et un moment... com-ment les utiliser ?, 251 C’est quoi un pseudo-vecteur ?, 252 Comment calculer la somme de charges r´eparties ?.

Pour v´erifier que vous avez assimil´e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir les brevets 039 et 090. Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur https ://lite.framacalc.org/lemans-sdp-1819.

4.3

isostaticit´

e - hyperstaticit´

e

Avant de rechercher les efforts int´erieurs `a une poutre, il est parfois n´ecessaire de calculer les r´eactions qui transitent par les liaisons qui maintiennent cette poutre en contact avec les autres solides voisins.

d´emarche La proc´edure suivante est `a suivre 1. Isolement du solide. Pour ce faire :

— vous d´efinissez le solide ou l’ensemble de solides que vous souhaitez isoler (pour nous ce sera la poutre consid´er´ee),

— par la pens´ee, vous entourez ce domaine isol´e par une fine peau,

— `a chaque endroit o`u cette fine peau intersecte une liaison, ou un chargement, un torseur doit ˆetre ´ecrit

2. Bilan des actions. En chaque point o`u doit ˆetre ´ecrit un torseur, vous ´ecrivez : le point, le type de liaison (´eventuellement pr´ecisez de quel axe), le torseur (d’effort transmissible ou de chargement). Vous rajoutez `a cette liste les torseurs de chargement `a distance (pesanteur, forces ´electromagn´etiques, ...)

3. Principe fondamental de la statique. Si le domaine isol´e est en ´equilibre, la somme de ces tor-seurs est nulle. En pr´esence d’un chargement lin´eique ou surfacique, l’´ecriture de l’´equilibre doit faire apparaˆıtre l’int´egration de ce torseur sur le domaine d’int´egration (int´egrale simple ou double).

4. ´Ecriture du syst`eme d’´equations. Dans le cas d’un probl`eme tridimensionnel, l’´equilibre se traduit par l’´ecriture de 6 ´equations (trois de r´esultante, trois de moment). Dans le cas d’un probl`eme bidimensionnel, l’´equilibre se traduit par l’´ecriture de 3 ´equations (deux de r´esultante, une de moment autour d’un axe perpendiculaire au plan du probl`eme).

5. D´etermination du nombre d’inconnues hyperstatiques. Attention, le calcul (nombre d’in-connues - nombre d’´equations = degr´e d’hyperstatisme) est faux ! En effet, tout d´epend comment les inconnues sont positionn´ees dans les ´equations. La m´ethode est la suivante :

— Vous entourez en rouge les chargements. Ce sont les donn´ees du probl`eme.

— Parmi les r´eactions aux liaisons (les inconnues), vous entourez en bleu celles qui peuvent ˆetre d´etermin´ee en fonction des chargements.

— Si toutes les inconnues ne peuvent pas ˆetre d´etermin´ees (deux inconnues sur une mˆeme ´equation, et qui n’apparaissent pas ailleurs par exemple), le syst`eme est hyperstatique vis-`a-vis de ce degr´e de libert´e. Vous choisissez l’une de ces inconnues que nous appellerons inconnue hyperstatique, vous l’encadrez en vert, et vous la supposez connue (au mˆeme titre que les chargements en rouge) pour recherchez toutes les inconnues qui peuvent de ce fait ˆetre maintenant d´etermin´ees (vous les entourez en bleu). Vous pouvez ˆetre amen´e `

a choisir plusieurs inconnues hyperstatiques.

— Le degr´e d’hyperstatisme est le nombre minimal d’inconnues (entour´ees en vert) qui ont dues ˆetre choisies comme hyperstatiques.

6. Vous ´ecrivez l’expression de chaque inconnue d´etermin´ee (en bleu), en fonction du char-gement (en rouge) et des inconnues hyperstatiques (en vert). Dans la suite du probl`eme, chaque fois qu’une inconnue bleu apparaˆıt, elle sera remplac´ee par son expression rouge et verte.

Exemples L’exemple de d´etermination du degr´e d’hyperstatisme d’un syst`eme tridimensionnel est pr´esent´e figure 4.3.

L’exemple de d´etermination du degr´e d’hyperstatisme d’un syst`eme bidimensionnel est pr´esent´e figure 4.4. On remarquera que l’´equilibre est ´ecrit au point D, mais qu’il aurait pu ˆetre ´ecrit en un autre point, les ´equations qui auraient alors ´et´e obtenues seraient une combinaison lin´eaire des ´equations pr´esent´ees dans l’exemple. L’inconnue hyperstatique choisie est l’inconnue R2. Il aurait

´et´e possible de choisir R3ou C2. Quelque soit ce choix, le nombre d’inconnues hyperstatique reste

de 1.

Syst`eme isostatique associ´e On appelle syst`eme isostatique associ´e, le syst`eme identique g´eom´etriquement, mais dont les liaisons aux points o`u des inconnues hyperstatiques ont ´et´e choisies, doivent ˆetre modifi´ees :

1. si l’inconnue hyperstatique est une force dans la direction ~i, le degr´e de libert´e associ´e, la translation dans la direction ~i, est lib´er´ee. La liaison est donc remplac´ee par la liaison qui bloque les mˆemes degr´es de libert´e sauf ce degr´e de libert´e. Par exemple, si le probl`eme est tridimensionnel, une liaison encastrement, sera transform´ee en une liaison glissi`ere d’axe ~i. Si le probl`eme dans le plan (A,~i,~j), une liaison appuis simple sera remplac´ee par une liaison appuis sur rouleau de normale ~j.

2. si l’inconnue hyperstatique est un couple dans la direction ~i, le degr´e de libert´e associ´e, la rotation dans la direction ~i, est lib´er´ee. La liaison est donc remplac´ee par la liaison qui bloque les mˆemes degr´es de libert´e sauf ce degr´e de libert´e. Par exemple, si le probl`eme est tridimensionnel, une liaison encastrement, sera transform´ee en une liaison pivot d’axe ~i. Ce syst`eme isostatique associ´e est consid´er´e comme charg´e par

1. le mˆeme chargement ext´erieur que le syst`eme initial,

2. auquel on ajoute les inconnues hyperstatiques, qui sont alors consid´er´ees comme un charge-ment connu.

´

Equation associ´ee `a une inconnue hyperstatique Le probl`eme isostatique associ´e peut donc ˆetre r´esolu compl`etement en fonction des donn´ees de chargement et des inconnues hyperstatiques. Appelons cette solution solution 1.

Pour retrouver le probl`eme initial, l’inconnue hyperstatique assurait que le d´eplacement associ´e `a celle-ci ´etait nul. Il faut donc rajouter une ´equation cin´ematique par inconnue hyperstatique :

1. si l’inconnue hyperstatique est une force R~i au point B, le d´eplacement dans cette direction en ce point doit ˆetre nul : ~uB.~i = 0.

2. si l’inconnue hyperstatique est un couple C~i au point B, la rotation dans cette direction en ce point doit ˆetre nulle : ˘ωB.~i = 0.

Ces ´equations suppl´ementaires, fournissent des relations entre les inconnues hyperstatiques et les chargements. Elle permettent donc de d´eterminer les inconnues hyperstatiques en fonction du chargement.

Figure<sub>4.3 – D´etermination du degr´e d’hyperstatisme pour un syst`eme 3D. (Num´erisation fournie</sub> par Nicolas Pajusco. Merci `a lui.)

Figure<sub>4.4 – D´etermination du degr´e d’hyperstatisme pour un syst`eme 2D.(Num´erisation fournie</sub> par Nicolas Pajusco. Merci `a lui.)

La solution compl`ete du probl`eme qui v´erifie les conditions aux limites du probl`eme de d´epart, exprim´ee en fonction uniquement du chargement du probl`eme de d´epart, est alors connue en rem-pla¸cant les inconnues hyperstatiques par leur expressions en fonction du chargement dans la solution 1.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 003 Qu’est-ce qu’un tenseur ?, 237 Quelle conc´equenQu’est-ce a le choix d’une inconnue hyperstatique ?, 238

Qu’est-ce que le principe des travaux virtuels ?, 240 Pourquoi les coefficient de correction de sec-tion d´ependent du mod`ele utilis´e ?, 218 Lorsque l’on choisi une inconnue hyperstatique, on la consid`e-re connue... mais alors, comment peut-on la d´eterminer ?, 220 Comment identifie-t-peut-on une force dans une certaine direction, lorsque l’on choisi une inconnue hyperstatique ?, 221 Les torseurs sont ´ecrits en certains points. A quel moment doit-on effectuer le changement de point et comment le choisir ?, 267 le calcul du ”nombre d’inconnus - nombre d’´equations = degr´e d’hy-perstatisme” est faux, pourquoi ? Un exemple ?, 271 Comment d´eterminer les inconnues hyper-statiques ?.

Pour v´erifier que vous avez assimil´e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir les brevets 013, 014, 015, 016, 091, 092 et 031. Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur https ://lite.framacalc.org/lemans-sdp-1819.

Chapitre 5

Bibliographie

[1] M. Guez, La communication non violente, stage 1

[2] J.M. G´enevaux, Introduction aux tenseurs, cours de l’Ensim niveau L3, http ://www.archives-ouvertes.fr

[3] Albig`es R´esistance des mat´eriaux [4] Courbon

[5] Feodossiev

[6] Laroze R´esistance des mat´eriaux et structures (tome 2) ´ed. : Masson-Eyrolle [7] Germain Introduction `a la m´ecanique des milieux continus ´ed. : Masson [8] Timoshenko

[9] Techniques de l’ing´enieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes)

[10] JM G´enevaux, Base de l’acoustique, cours de Licence Professionnelle Vibration Acoustique, http ://www.archives-ouvertes.fr

[11] JM G´enevaux, Mod´elisation, cours de 4i`eme ann´ee de L ?´Ecole Nationale Sup´erieure d’Ing´enieurs du Mans, http ://www.archives-ouvertes.fr

[12] S Durand, M´ecanique des solides d´eformables, cours de 4i`eme ann´ee de L ?´Ecole Nationale Sup´erieure d’Ing´enieurs du Mans

[13] J.M. G´enevaux A. Pelat, Une p´edagogie participative en ´ecole d’ing´enieur (alias Freinet 5CH), formation p´edagogique de l’Universit´e du Maine, mars 2014, https ://cel.archives-ouvertes.fr/ ? ? ?

.

Formation `a la comp´etence orange de statique des poutres.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser une pr´esentation des cette comp´etence. Le fichier sont nomm´e 208 Comp´etence orange de statique des poutres : d´etermination du torseur des efforts int´erieurs..

Figure_{5.1 – Les diff´erents concepts n´ecessaires `a la th´eorie des poutres.}

5.1

Les Outils

5.1.1

De l’´

elasticit´

e `

a la th´

eorie des poutres

Le synopsis de la d´emarche associ´ee `a la th´eorie des poutres est pr´esent´e figure 5.1.

Nous travaillons ici dans un rep`ere local `a un point. Nous noterons les vecteurs de ce rep`ere local ~x, ~y, ~z.

La th´eorie des poutres est une simplification de la th´eorie de l’´elasticit´e. Elle peut ˆetre envisag´ee lorsque le corps solide d´eformable poss`ede une dimension bien plus grande que les deux autres. Un solide de ce type sera appel´e poutre. Si l’on fait une section dans le plan des petites dimensions, le barycentre de cette section sera not´e H. Si vous lisez d’autres livres de th´eorie des poutres, ce point est g´en´eralement appel´e G. Pour ´eviter que vous ne le confondiez avec le centre de gravit´e de la poutre compl`ete (erreur devenue classique ces derni`eres ann´ees, mais extrˆemement ´enervante pour l’enseignant), nous choisirons de l’appeler par la lettre H. L’ensemble des barycentres de la poutre d´efini la ligne moyenne. Si la section est perpendiculaire `a la ligne moyenne, elle sera appel´ee section droite. La position sur cette ligne moyenne est rep´er´ee par une abscisse s. Cette ligne moyenne peut ˆetre continue, discontinue, ˆetre continuement d´erivable par rapport `a la variable s ou non.

La th´eorie des poutres fournie des solutions en d´eplacement et contraintes qui ne sont pas n´ecessairement valables en tout point. Mais loin des points d’application des chargements, des liaisons (blocages cin´ematiques) et des variations brusques de section, elle est tout `a fait suffisante. Ces conditions sont pr´esentes en de nombreux points de ce type de structures.

Nous rappelons les grandeurs et relations utiles en ´elasticit´e tridimensionnelle : (voir tableau 5.1)

Le mˆeme jeu de relations est pr´esent dans le cas de la th´eorie des poutres, seules les gran-deurs utilis´ees sont d´ecrites `a l’aide d’objets que l’on appelle torseur. Ce sont les mˆemes ˆetres math´ematiques que ceux que vous avez utilis´es en m´ecanique des solides ind´eformables pour d´ecrire leur mouvement. Ils seront ici simplement associ´es aux d´eplacement et rotation d’une section droite, aux d´eformations d’une section droite et aux efforts g´en´eralis´es (r´esultante et moment) sur cette section.

Analyse `a l’´echelle locale 3D

Nous ne rappellerons que quelques d´efinitions de l’´elasticit´e lin´eaire isotrope.

— Les diff´erentes possibilit´es de d´eformations d’un volume ´el´ementaire (dx dy dz). On d´efinit les 3 d´eformations d’allongement (ou de contraction) ǫxx, ǫyy, ǫzz, ainsi que les 6 d´eformations

de cisaillement ǫxy, ǫyz, ǫzx, ǫyx, ǫzy, ǫxz.

d´eplacements d´eformations contraintes

~u ¯¯ǫ σ¯¯

condition aux limites ~u = ~ud sur Γu

en d´eplacement

passage + ´eq. compatibilit´e + ´eq. compatibilit´e d´eplacements ǫik,jl− ǫkj,il= ¯¯ǫ = 1/2

 _¯ ¯

grad ~u +T_{grad ~u}¯_¯  _(Beltrami)

ǫil,jk− ǫlj,ik (1 + ν)∆σij+∂ 2 (trace¯σ)¯ ∂xi∂xj = 0 si ¯ ¯ gradf = 0 d´eformations pour i 6= j et l 6= k loi de comportement ¯¯ǫ = 1+ν E ¯¯σ − ν Etrace(¯σ) ¯¯ I¯d σ = 2µ¯¯¯ ǫ + λtrace(¯¯ ¯ǫ) ¯I¯d ~ div¯σ + ρ ~¯ f = 0

´equations ´eq. de Navier : ∂σxx

∂x + ∂σxy ∂y + ∂σxz ∂z + fx= 0 d’´equilibre (λ + µ) ~grad(div~u) ∂σxy ∂x + ∂σyy ∂y + ∂σyz ∂z + fy= 0

(statique) +µdiv( ¯grad~u) + ρ~u = 0¯ ∂σxz

∂x + ∂σyz

∂y + ∂σzz

∂z + fz= 0

condition aux limites T (P, ~n) = ¯~ σ~n = ~¯ Fd sur Γf

en contraintes N =R SσxxdS passage Ty=R_SσxydS contrainte Tz=R_SσxzdS torseur Mx=R_SσθxrdS Mf y=R_SσxxzdS Mf z= −R_SσxxzdS

Table _{5.1 – ´Equations de la m´ecanique des solides d´eformables dans le cas d’une mod´elisation tridimensionnelle}

3

torseur des torseur des torseur des d´eplacements d´eformations efforts int´erieurs

{U } = {Def } = {τint} =  ˘ ω ~u  H  αxx + α˘ yy + α˘ zz˘ ǫx~x + γy~y + γz~z  H  N ~x + Ty~y + Tz~z Mxx + M˘ f yy + M˘ f zz˘  H

condition aux limites {U } = {U }_d en d´eplacement au point Pd

passage

d´eplacements formules de Bresse d´eformations (fonction de ǫx, γy, ...)

αx= Mx/GI0c Mx= αxGI0c

αy= Mf y/EIHy Mf y = αyEIHy

loi de comportement formules de Bresse αz= Mf z/EIHz Mf z= αzEIHz

(fonction de N, Ty, ...) ǫx= N/ES N = ǫxES γy = Ty/GSy Ty= γyGSy γz= Tz/GSy Tz= γzGSz px+dN_ds = 0 py+dT_dsy = 0 ´equations pz+dT_dsz = 0 d’´equilibre cx+dM_dsx = 0 (poutre droite) cy+dM_dsf y − Tz= 0 cz+dM_dsf z + Ty = 0

condition aux limites − {τs+} + {τs−} = {τd}

en chargement au point Pf σxx= N/S +M_IHyf yz˜−M_IHzf z˜y passage σyx =Tygy_S(˜y,˜z) σzx=Tzgz_S(˜y,˜z) torseur σyy= 0 contrainte σyz = 0 σzz= 0 σθx= Mxrg˜_Iθ₀(˜y,˜z)

Table_{5.2 – ´Equations de la m´ecanique des solides d´eformables dans le cas d’une mod´elisation unidimensionnelle.}

3

associ´ee au tenseur des d´eformations ¯¯ǫ. Ce tenseur est sym´etrique de part sa construction. Il y a donc 6 composantes ind´ependantes.

— Tenseur des contraintes. Il est associ´e aux contraintes agissant sur chaque facette d’un parall´el´epip`ede. La facette de normale ~x subit les contraintes σxx, σyx, σzx. Nous appellerons

E le module de Young du mat´eriau (en Pa). Nous appellerons ν le coefficient de Poisson du mat´eriau (sans unit´e). Nous appellerons G = E

2(1+ν) le module de Coulomb du mat´eriau (en

Pa). La loi de comportement permettant de passer du tenseur des d´eformations au tenseur des contraintes est,

¯ ¯ ǫ = 1 + ν E σ −¯¯ ν Etrace(¯σ) ¯¯ I¯d, (5.1) ou ¯ ¯ σ = 2µ¯¯ǫ + λtrace(¯¯ǫ) ¯I¯d, (5.2)

avec les deux coefficients de Lam´e donn´es par, µ = E

2(1+ν) = G, (5.3)

λ = Eν

(1+ν)(1−2ν). (5.4)

On rappelle que la trace d’une matrice est la somme des termes sur la diagonale de celle-ci. Tableau 1 : Caract´eristiques de plusieurs mat´eriaux.

mat´eriau Mod. de Young Coeff. lim. ´elas. trac. lim. ´elast. compr. masse vol. 109 _{Pa de Poisson 10}6_{Pa lim. ´elas. traction kg/m}3

acier 210 0.285 200 `a 600 1 7800 aluminium AU4G 75 0.33 300 1 2800 b´eton 14 `a 21 0.3 300 11 1900 bronze 100 0.31 24 30 8400 cuivre 100 0.33 18 13 8900 fonte 100 0.29 18 `a 25 33 7100 laiton 92 0.33 20 14 7300 marbre 25 0.3 50 150 2800 plexiglas 2.9 0.4 8 12 1800 titane 100 0.34 20 `a 47d 10 4510 verre 60 0.2 `a 0.3 3 `a 8 100 2530

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 053 Qu’est ce que la trace d’un tenseur ?, 058 Qu’est-ce qu’un ten-seur ?, 074 Pourquoi parle-t-on de tenten-seur ?.

Analyse `a l’´echelle 1D

On doit d´efinir des grandeurs ”´equivalentes” `a celles utilis´ees en 3D, au point de la section droite appartenant `a la fibre moyenne. Cette fibre moyenne est la ligne qui relie l’ensemble des barycentres des sections droites de la poutre. Une section droite est une coupure de la poutre dans le plan qui contient les deux plus petites dimension. Nous utiliserons des torseurs : torseur de chargement, de mouvement possible `a une liaison, de d´eplacement, d’inter-effort, de d´eformation, d’effort int´erieur. Un torseur est toujours compos´e d’un vecteur appel´e r´esultante ~R et d’un pseudo-vecteur appel´e moment ˘M , et il est exprim´e n´ecessairement en un point A. Pour ceux qui ne se souviennent plus de ce qu’est un pseudo-vecteur, consultez le cours sur les tenseurs de 3A [2]. Dans le cas d’un

Figure_{5.2 – Un vecteur et un pseudo-vecteur ne sont pas transform´es de la mˆeme fa¸con par un} plan de sym´etrie.

torseur de chargement, la figure 5.2 illustre que les forces Fi et les couples Ci en un point A ne

subissent pas les mˆemes transformations par un plan de sym´etrie : la force est un vecteur, le couple, un pseudo-vecteur.

Pour changer d’un point A `a un point B, la formule de changement de point d’un torseur est `a connaˆıtre.

Pour un torseur de chargement, d ?inter-effort ou d’effort int´erieurs : {τ } =  ~ R ˘ MA  A =  ~ R ˘ MB  B =  ~ R ˘ MA+ ~R ∧ ~AB  B . (5.5) Un moyen mn´emotechnique pour retenir la formule de changement de point, est de vous souvenir de votre h´ero de jeunesse ”BABAR” : ˘MB = ˘MA+ ~BA∧ ~R.

Pour un torseur de d´eplacement : { U } =  ˘ ω ~uA  A =  ˘ ω ~uB  B =  ˘ ω ~uA+ ˘ω ∧ ~AB  B . (5.6)

• Erreur classique : Il ne faut pas oublier de pr´eciser, pour tout torseur, en quel point il est exprim´e.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 002 Pourquoi parle-t-on de pseudo-vecteur, pour l’un des termes du torseur ?, 241 Qu’est-ce que le moment d’une force ?, 242 Dans les premi`eres pages, comment trouve-t-on les r´ef´erences bibliographiques ?, 015 Que repr´esentent dans la table 3.1, les ´equations

de compatibilit´e ?, 016 Que repr´esentent dans la table 3.1, les ´equations de Beltrami ?, 017 Que repr´esentent dans la table 3.2, les formules de Bresse ne sont pas d´etaill´ees. Est-ce nor-mal ?, 018 Que repr´esente le module de Coulomb not´e ”G” ?, 019 Les couples sont repr´esent´es par des pseudo-vecteurs car ils n’ob´eissent pas aux m ?mes r`egles en cas de plan de syn´etrie. La figure est peu claire pour le comprendre., 054 Qu’est-ce que la fibre moyenne d’une poutre ?, 057 Pourquoi fait-on la th´eorie des poutres avant de faire l’´elasticit´e ?, 253 Que signifient les 2 barres au dessus du terme epsilon ?, 254 Pour la d´eformation d’un solide, vous avez parl´e de cisaillement, mais pas de torsion et de rotation. Pourquoi ?, 258 Comment diff´erienciez-vous un tenseur et une matrice ?, 259 A quoi sert le ta-bleau 4.1 p.28 ? Comment s’en sert-on ?.

Pour v´erifier que vous avez assimil´e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le bre-vets 078.Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur https ://lite.framacalc.org/lemans-sdp-1819.

5.1.2

Notion de poutre

Nous travaillons ici,

— soit dans dans un rep`ere global associ´e `a l’ensemble de la poutre. Nous noterons les vecteurs de ce rep`ere global ~i,~j, ~k,

— soit dans dans un rep`ere local `a un point H. Nous noterons les vecteurs de ce rep`ere local ~x, ~y, ~z. Le vecteur ~x sera toujours choisi parall`ele `a la fibre moyenne. Les vecteurs ~y et ~z orthogonaux `a ~x, seront dans les directions principales de la section droite (voir paragraphe 5.1.4).

• Erreur classique : Il ne faut pas oublier de pr´eciser, pour tout torseur, dans quel rep`ere il est exprim´e.

Principes et lois

Nous d´evelopperons une th´eorie lin´eaire, donc nous v´erifierons le principe de superposition : si un chargement 1 implique un champ de torseurs de d´eplacement 1, un chargement 2 implique une champ de torseurs de d´eplacement 2, alors appliquer la somme des deux chargements implique un champ de d´eplacement somme des deux champs pr´ec´edents.

Le principe de St Venant, exprime que la solution de la th´eorie des poutres fournie est admissible loin des points de chargement, de liaison, des discontinuit´es de fibre moyenne et de sa d´eriv´ee et des variations brusques de section.

Le mouvement d’un point M de la poutre sera associ´e au mouvement du point H de la section droite `a laquelle il appartient. Il est donc n´ecessaire de d´efinir le type de lien cin´ematique entre le point M et le point H. Diff´erentes hypoth`eses de cin´ematique de section droite sont possibles :

— de Bernoulli : une section plane reste plane et normale `a la fibre moyenne. Nous la nomme-rons plus tard, cin´ematique num´ero 2,

— de Timoshenko : une section plane reste plane,

— de Bernoulli g´en´eralis´ee : une section plane peut se voiler. Nous la nommerons plus tard, cin´ematique num´ero 3.

La rigidit´e ´equivalent de la section droite sera d´ependante de la cin´ematique choisie. Cin´ematique d’un point de la fibre moyenne

Ce paragraphe concerne les ´etapes mises en gras dans le synopsis figure 5.3. — Le torseur des d´eplacements du barycentre d’une section peut ˆetre ´ecrit

{U } =  ˘ ω ~u  H , (5.7)

avec ˘ω l’angle dont `a tourn´e la section droite, ~u le d´eplacement du point H. Les unit´es S.I. de ω est le radian qui est sans dimension, celles de u est le m.

— Le torseur des d´eformations entre deux points H(s) et H(s + ds) ´eloign´es l’un de l’autre de ds qui peut ˆetre pris infiniment petit, est d´efini par :

{Def }H = lim ds → 0 1 ds  {U }H(s+ds)− {U }H(s)  . (5.8) Tout calculs faits (voir figure 5.4), on obtient,

{Def }_H=  d˘ω ds d~u ds− ˘ω ∧ ~x  H . (5.9)

Figure_{5.3 – Les concepts `a la description du mouvement de la fibre moyenne.}

Pour cette d´emonstration, vous noterez qu’est effectu´e un d´eveloppement de Taylor des variables et que seuls les termes d’ordre 2 sont conserv´es. Si entre deux points H et H′_,

le mouvement est celui d’un solide rigide, les deux torseurs sont reli´es par la formule de changement de point, alors le torseur des d´eformations est nul.

Attention ! Dans ce cours,

— ˘ω d´esigne un angle de rotation (en radian), et non une vitesse de rotation (dans le torseur cin´ematique d’un solide, elle ´etait not´ee ~ΩS2/S1).

— ~u d´esigne un d´eplacement (en m`etre)

— Ils sont donn´es par rapport au rep`ere global (O,~i,~j,~k)

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 001 Qu’est-ce qu’une poutre ?, 244 Qu’est ce qu’un mat´eriau orthotrope ?.

Pour v´erifier votre assimilation de ce paragraphe, je vous invite `a faire le brevet 012. Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur https ://lite.framacalc.org/lemans-sdp-1819.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une question sur cette partie. Le fichier est nomm´e 056 Qu’est-ce qu’un torseur des d´eplacements ?.

Figure_{5.5 – Les concepts utiles `a la d´etermination du degr´e d’hyperstatisme et des r´eactions aux} liaisons.

Figure_{5.6 – D´efinition du torseur des efforts int´erieurs.}

5.1.3

Efforts int´

erieurs

Calcul du torseur des efforts int´erieurs

Ce paragraphe concerne les ´etapes mises en gras dans le synopsis figure 5.5.

Dans ce cours, pour le torseur des efforts int´erieurs, la r´esultante sera not´ee ~Rint, le moment

sera not´e ˘Mint.

On oriente la poutre. Soit le point H d’abscisse s. On notera seg+ la demi poutre dont les abscisses sont sup´erieures `a s. On notera seg− la demi poutre dont les abscisses sont inf´erieures `a s.

Si le param´etrage est donn´e, on veillera pour la simplicit´e des calculs, `a orienter la poutre dans le mˆeme sens que les param`etres sont croissants (s croissants ou θ croissant).

Prenons comme d´efinition que le torseur des efforts int´erieur repr´esente les actions de la partie seg+ sur la partie seg- (voir figure 5.6).

Si l’on isole le segment seg-, celui-ci est sollicit´e par des torseurs ext´erieurs (de chargement ou de liaison) sur le segment seg- et par le torseur des efforts int´erieurs. Ce segment ´etant `a l’´equilibre, la somme des torseurs doit ˆetre nulle, donc on obtient l’´egalit´e,

{τef f.int.} = −

X

seg−

{τext−→seg−}. (5.10)

Nous aurions aussi pu isoler le segment seg +. Celui-ci est sollicit´e par des torseurs ext´erieurs (de chargement ou de liaison) sur le segment seg+ et par un torseur qui est l’oppos´e du torseur des

efforts int´erieurs par le principe d’action et de r´eaction. Nous faisons ici l’hypoth`ese qu’au point de coupure H il n’y a pas de force concentr´ee. Ce segment ´etant `a l’´equilibre, la somme des torseurs doit ˆetre nulle, donc on obtient l’´egalit´e,

{τef f.int.} =

X

seg+

{τext−→seg+}. (5.11)

On note donc que nous disposons `a chaque fois de deux mani`eres de calculer le torseur des efforts int´erieurs, en utilisant soit la partie seg+ soit la partie seg-. Les deux m´ethodes donnent le mˆeme r´esultat, car la poutre, dans sa globalit´e seg+ U seg- est en ´equilibre. C’est `a vous de choisir le segment qui implique le moins de calcul. Par exemple, si sur l’un des segments il y a des liaisons et des chargements, et sur l’autre que des chargements (par d´efinition connus), c’est ce dernier segment qu’il faut utiliser car cela vous ´evite d’avoir `a calculer les inconnues aux liaisons, et donc de faire l’´equilibre global de la structure, d´eterminer son degr´e d’hyperstatisme, and so on....

En g´en´eral, la connaissance du torseur des efforts int´erieurs est n´ecessaire sur l’ensemble de la poutre. Plusieurs cas doivent ˆetre ´etudi´es en faisant varier le point H, car lorsque s croˆıt, `a chaque passage d’un chargement, le torseur de chargement passe du segment seg+ au segment seg-.

• Erreur classique : Si vous oubliez de d´efinir l’orientation de la poutre par une phrase (”La poutre est orient´ee de A vers D”) ou par une fl`eche sur le dessin du syst`eme, alors, le correcteur ne pourra ˆetre sˆur que votre d´emarche est correcte : cela peut entraˆıner un ´echec `a la tentative de ceinture.

Exemple Dans le premier exemple (figure 5.7, le calcul du torseur des efforts int´erieurs ne n´ecessite pas la d´etermination des inconnues aux liaisons. On remarquera dans cet exemple que deux cas sont `a ´etudier en fonction de la position du point H.

Composantes du torseur des efforts int´erieurs La d´etermination du torseur des efforts int´erieurs en un point H est g´en´eralement faite dans le rep`ere global (O,~i,~j,~k). Son expression peut mˆeme ˆetre donn´ee en un point diff´erent de H. N´eanmoins, si le type de sollicitation vous est demand´e, et c’est toujours le cas, il est n´ecessaire

1. d’exprimer ce torseur au point H

2. de l’exprimer dans le rep`ere local au point H qui prenne en compte l’orientation locale de la poutre et de la forme de sa section droite.

En effet, si par exemple le torseur des efforts int´erieur comporte une force F~j la r´eponse en d´eformation de la poutre sera diff´erente si la direction ~j est parall`ele `a la fibre moyenne ou per-pendiculaire.

Soit (H,~x,~y,~z) le rep`ere local tel que, — H~x tangent `a la fibre moyenne,

— H~y et H~z axes principaux de la section droite, {τH} =  _~ R ˘ M  =  N ~x + Ty~y + Tz~z Mxx + M f˘ yy + M f˘ zz˘  H , (5.12) avec, — N : effort normal,

— Ty : effort tranchant suivant la direction ~y,

— Tz: effort tranchant suivant la direction ~z,

— Mx : moment de torsion,

— M fy : moment fl´echissant autour de l’axe H ˘y,

— M fz : moment fl´echissant autour de l’axe H ˘z.

On ´ecrira donc le torseur des efforts int´erieurs, au point H et dans ce rep`ere local, afin de pouvoir identifier les types de sollicitation que la poutre subit.

Exemple Si l’on reprend le cas tridimensionnel pr´ec´edemment trait´e, la d´etermination des com-posantes

— au point H1 donne un effort normal N1 = −F1, un effort tranchant dans la direction ~y

Ty1 = F2, et un moment fl´echissant autour de l’axe H~z Mf z1= F1(l2) + F2(l1/2 − s1). En

effet, rep`ere local et global sont confondus : ~x = ~i,~y = ~j et ~z = ~k.

— au point H2 compris entre B et D, donne un effort normal N2 = −F1, et un moment

fl´echissant autour de l’axe H~z Mf z2= F1l2. En effet, rep`ere local et global sont confondus.

— au point H2 compris entre D et E, donne un effort tranchant dans la direction ~y Ty2= F1,

et un moment fl´echissant autour de l’axe H~z Mf z2 = F1(l2− s3). En effet, rep`ere local et

global ne sont plus confondus : ~x = ~j, ~y = −~i et ~z = ~k.

• Erreur classique : Pour d´eterminer les composantes d’un torseur des efforts int´erieurs, il ne faut pas oublier avant identification, d’exprimer ce torseur dans le rep`ere local au point H.

• Erreur classique : Il ne faut pas confondre le moment M `a une liaison, et un moment fl´echissant Mf ou de torsion Mx : l’un traduit les efforts et moments transmissibles (qui peuvent

ˆetre exprim´es dans n’importe quel rep`ere), l’autre des efforts et moments `a l’int´erieur de la poutre (qui ne peuvent ˆetre exprim´es que dans le rep`ere local au point H de cette poutre.)

• Erreur classique : Les composantes du torseur des efforts int´erieurs doivent ˆetre exprim´ees en fonction des chargements et des inconnues hyperstatiques. Si vous les laissez en fonction des inconnues aux liaisons, vous ne trouverez pas les contraintes, d´eplacements et rotations en fonction du chargement.

Pour v´erifier que vous avez assimil´e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir les brevets 002, 005, 018, 001 et 803.Si vous avez des difficult´es, je vous invite `a contacter le r´ef´erent du brevet correspondant, dont le m´el est disponible sur https ://lite.framacalc.org/lemans-sdp-1819.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pou-vez visualiser la r´eponse `a une des questions sur cette partie. Les fichiers sont nomm´es 303 Pour-quoi est-il indispensable de calculer le torseur des efforts int´erieurs dans une base locale ?.

´

Equations d’´equilibre

Elles ne sont pas vues dans ce cours bien que figurant dans le second tableau du paragraphe 5.1.1. Elles ne sont pas indispensables `a la r´esolution de probl`eme. R´ef´erez-vous `a la bibliographie.

.

Formation `a la comp´etence bleue de statique des poutres.

Sur http ://umotion.univ-lemans.fr, vous pouvez visualiser une pr´esentation de cette comp´etence. Le fichier est nomm´e 210 Comp´etence bleue de statique des poutres : d´etermination du chargement maximal.