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Jean-Cyrille Massicot
To cite this version:
Jean-Cyrille Massicot. Groupes approximatifs en théorie des modèles. Théorie des groupes [math.GR]. Université de Lyon, 2018. Français. �NNT : 2018LYSE1164�. �tel-01912992�
No d’ordre NNT : 2018LYSE1164
THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE LYON
opérée au sein de
l’Université Claude Bernard Lyon 1 École Doctorale ED512
InfoMaths
Spécialité de doctorat : Mathématiques
Soutenue publiquement le 28 septembre 2018, par :
Jean-Cyrille MASSICOT
Groupes approximatifs en Théorie des
modèles
Devant le jury composé de :
Mme. BOUSCAREN Elisabeth DR CNRS, Université Paris 11 Examinatrice
M. MACPHERSON Dugald Professeur, University of Leeds Rapporteur
Mme. POINT Françoise DR FNRS, Université de Mons-Hainaut Examinatrice
M. WAGNER Frank Professeur, Université Lyon 1 Directeur de thèse
M. ZAMBONI Luca Professeur, Université Lyon 1 Examinateur
Après avis des rapporteurs :
M. MACPHERSON Dugald Professeur, University of Leeds
Groupes approximatifs en Théorie des modèles
Jean-Cyrille Massicot
Thèse de doctorat
Contents
Remerciements vii
Résumé de la thèse xi
Contenu de la thèse . . . xiv
Introduction xxi 1 A combinatorial discussion 1 1.1 Equivalence . . . 1
1.2 Approximate multimorphisms . . . 2
2 Model-Theoretic Setting 13 2.1 Model Theory and Lie representation . . . 13
2.2 Connected component . . . 18
3 The Stabilizer Theorem 25 3.1 Simple theories . . . 25
3.2 Ideals . . . 29
3.3 Stabilizer Theorem . . . 31
4 Sander’s Theorem and definability 37 4.1 Definable amenability . . . 37
4.2 A type-definable version of Sanders’s theorem . . . 38
4.3 Comparison with Hrushovski’s Stabilizer . . . 42
4.4 What the general case might look like . . . 45
5 Independance from the base language 47 5.1 Beth’s definability . . . 47
5.2 Schlichting’s Theorem and LK-definability . . . 49 5.3 A characterisation of approximate subgroups with a connected component 54
Remerciements
Il m’aura fallu près de cinq ans pour effectuer cette thèse. Cinq ans passés à Lyon, riches de rencontres, de découvertes et d’expériences qui m’ont façonnées. Années difficiles, aussi, à me battre contre des sentiments de solitude et d’incapacité bien connus des thésards. Une période importante, donc, intimement liée à ma thèse et qui et en train de prendre fin.
Il n’est pas lieu ici de remercier chaque personne que j’ai pu croiser ces dernières années. Je tiens cependant à exprimer ma reconnaissance envers tous ceux qui ont permis à cette thèse de voir le jour, que ce soit d’un point de vue mathématique, administratif ou pratique, ou tout simplement à ceux dont la présence et l’attention m’ont aidées à ne pas baisser les bras. Le nombre de personnes que cela représente est tout bonnement énorme, et je ne pourrai pas citer chacun nommément. Dès maintenant, je veux vous dire à tous : merci.
Merci tout d’abord à mes parents, pour m’avoir entouré et soutenu toutes ces années, et pour m’avoir donné le goût du savoir. Merci à tous mes enseignants de Grand-Lebrun, de Montaigne et de l’ENS et Université de Rennes pour avoir su développer ce goût et m’avoir fait découvrir tant de choses passionnantes.
Merci à Frank Wagner d’avoir accepté d’encadrer ma thèse, et pour tout le temps qu’il m’a consacré. Merci pour tes conseils, ta disponibilité et ta patience dans les moments plus difficiles. Merci d’avoir guidé ainsi ma réflexion, partagé ton expérience, et de m’avoir assuré de passer ma thèse dans les meilleures conditions possibles.
Merci à tous les théoriciens des modèles et plus généralement aux chercheurs que j’ai pu rencontrer, à Lyon ou ailleurs. Thanks to Dugald Macpherson for kindly accepting to review this thesis and for paticipating to my thesis commitee. Merci à Pierre Simon d’avoir accepté le rôle de rapporteur, mais aussi pour m’avoir aidé à comprendre le théorème du Stabilisateur de Hrushovski et pour son cours sur les théories NIP. Merci à Elisabeth Bouscaren et Françoise Point d’avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse et de s’être déplacées pour m’entendre. Merci enfin à Luca Zamboni d’avoir bien voulu être membre de mon jury de thèse, mais aussi pour m’avoir écouté et encouragé lorsque j’en ai eu besoin.
Merci à Amador de m’avoir enseigné les bases de la théorie des modèles et à tous les théoriciens des modèles Lyonnais, Itaï ben Yaacov, Bruno Poizat, Tuná Altinel, Julien
Melleray, Thomas Blossier, ainsi qu’à Dario, Benjamin D., Nadja, Tomás, Haydar, Isabel, Christian et Tingxiang1 pour tant d’heures de séminaire et de groupe de travail passées dans une excellente ambiance. Merci à Emmanuel Breuillard, Ehud Hrushovski, Martin Ziegler, Katrin Tent, Lou van den Dries, Artem Chernikov et beaucoup d’autres pour tout ce que j’ai pu apprendre en les écoutant et en lisant leur travail.
Merci aux organisateurs des différentes conférences auxquelles j’ai pu assister, et à tous ceux que j’ai rencontré à Berkeley, Istanbul, Leeds, Luminy, et tout particulièrement lors du Model theory Month in Münster, en avril-mai 2016. Merci à Pedro, Omer, Nadav, Esther, Lovkush, Samaria, Franziska et à tous les autres. Grâce à vous, je garde de merveilleux souvenirs de ces moments. Merci aussi à Hartwig Bouillon et au père von Steinitz de m’avoir accueilli dans leur foyer d’étudiants pendant toute la durée du séjour. Merci à tout le personnel administratif et technique de l’Université de Lyon 1 et de l’Institut Camille Jordan, ainsi qu’au personnel de la Domus. Merci pour leur travail discret mais indispensable, et pour la bonne humeur que j’ai souvent remarqué chez eux. Merci particulièrement à Vincent Farget pour avoir réinstallé mon ordinateur et trouvé un moyen de rédiger ma thèse sur un écran en négatif.
Merci à tous les doctorants et doctorantes de Lyon 1 pour tant de bons moments passés ensemble. Merci à Maxime de m’avoir si souvent conseillé sur les questions ad-ministratives, de m’avoir fourni un modèle et de nombreux conseils pour ma rédaction, et plus généralement pour sa disponibilité et sa bienveillance. Merci notamment à Coline, ainsi qu’à Glawdys et Marion, pour leurs convictions souvent très différentes des miennes ayant donné lieu a des discussions amicales et passionnantes.
Merci à Xiaolin, Tania, Nils, Colin et Maxime H., la "génération pokémon", à Ben-jamin C., Simon B. et à tous les membres assidus du "groupe de travail des doctorants". Merci à Cécile, Corentin et aux autres choristes de la doua. Merci à tous ceux qui ont rejoint puis remplacé les membres fondateurs du bureau 100, Mélanie, Maxime, Pan, Samuel2, Rémy, Lola et Vincent, qui m’a appris à jongler avec l’aide de Mickaël et Théo. Merci à Blanche, François, Hugo, Ariane, Luigia, Simon A., Simon Z, Benjamin D, et à tous les autres.
Merci à tous ceux qui m’ont aidé à dépasser le stress et la fatigue qui m’ont entravés tout au long de la thèse. Merci à Yannick Blanche, Yann-Yves du Repaire, au père Luc Gindre et à Jean Delobel de m’avoir écouté et soutenu et tant que responsable ou ac-compagnateur. Merci à mmes Aubineau, Chmakov et Farjas pour leur accompagnement psychologique, et à Charles-Henri Delloye pour son coaching.Merci à Grégoire, Thomas et aux autres coworkers du Simone pour les moments passés avec eux au printemps dernier ainsi que ces dernières semaines, et aux sœurs de l’abbaye Notre-dame de Fidélité de m’avoir accueilli le temps de rédiger ma thèse.
Merci à mes colocataires, Amaury, Alexandre, Timothée, Jean et Clément. Merci à Camille, Étienne, Louis et Tiffany, François-Xavier , Marie et bien d’autres pour leur
1Merci à eux deux d’avoir organisé mon pot de thèse ! 2Merci encore pour l’invitation en Ardèche !
ix amitié, ainsi qu’à Grégoire, Camille, Jean-Baptiste et Océane de m’avoir fait renouer avec le jeu de rôle. Merci aux amis de longues date, Paul, Antoine, Pierre-Antoine , Jean-François, mais aussi Emmanuel, François, Bertrand, Grégoire et Ola, Marie-Sophie et tous ceux de l’ESM.
Et à Celui qui a permis que toutes ces rencontres se fassent, et m’a donné de pouvoir écrire cette thèse, merci.
Résumé de la thèse
Cette thèse a pour sujet l’étude des groupes approximatifs, et plus particulièrement de l’utilisation que l’on peut faire de la Théorie des modèles pour trouver des conditions permettant de représenter ceux-ci dans un groupe localement compact.
Soit G un groupe et X, Y ⊆ G, on note XY = {xy, x ∈ X, y ∈ Y } et X−1 =
{x−1, x∈ X}. Un ensemble X contenant 1
G et tel que X−1= X est dit symétrique. Si
de plus X2 = X, X est un sous-groupe de G.
Définition 1 (Groupes Approximatif, T.Tao, 2005).
Soit K ∈ N et X ⊂ G symétrique, X est un sous-groupe K-approximatif si il existe un ensemble fini E⊂ G de taille au plus K tel que X2 ⊂ EX.
Grâce à cette définition, on peut voir immédiatement que si X2 ⊂ EX, alors Xn+1⊂
EnX et X2n ⊂ EnXn pour tout entier n. Toute puissance de X est donc encore un groupe approximatif de taille comparable à X.
De même, un produit direct de groupes respectivement K- et L-approximatifs sera un groupe KL-approximatif, et l’image directe ou inverse d’un groupe K-approximatif par un morphisme de groupe sera encore K-approximatif. Enfin, on peut définir une notion de généricité comme dans les groupes habituels :
Définition 2. Un sous-ensemble Y ⊂ X ⊂ G est générique dans X si X est contenu dans un nombre fini de translatés de Y .
On peut préciser que Y est L-générique si L translatés suffisent à recouvrir X. Soit alors un sous-groupe K-approximatif X ⊂ G et Y ⊂ X L-générique dans X, alors Y est un sous-groupe KL-approximatif.
Définition 3 (Equivalence). Deux sous-groupes approximatifs de G sont equivalents si chacun d’eux peut être recouvert par un nombre fini de translatés de l’autre.
Là encore, on pourra dire que X et Y sont L-equivalents si l’on veut préciser un nombre de transaltés suffisant de chaque côté.
Le principal exemple de groupe approximatif fini est un parallélépipède [Ni, Ni] dans Zd, qui est un sous-groupe 2d-approximatif quelle que soit la taille des Ni. On
appelle progression arithmétique généralisée l’image d’un tel ensemble par un morphisme deZd dans un groupe abélien.
Dans un cadre non-abélien, les progression arithmétiques sont remplacées par des ob-jets plus généraux appelés nilprogressions, définies pas exemple dans [Bre14] ou [BGT12]. Un théorème de Breuillard, Green et Tao [BGT12] datant de 2011 montre que tout groupe approximatif fini est essentiellement équivalent à une nilprogression. Plus pré-cisément :
Théorème 4 (Breuillard-Green-Tao, 2011). Soit X un groupe K-approximatif fini. Alors
il existe un sous-ensemble générique P ⊂ X4 et un sous-groupe distingué fini H P tel que P/H est une nilprogression de rang r et de pas s, avec L, r, s ne dépendant que de K.
Ce résultat répond positivement à une conjecture proposée indépendamment par Helfgott et Linderstrauss quelques années auparavent, et fait suite à un certain nombre d’études sur le sujet et de résultats intermédiaires ( voir par exemple le récapitulatif d’Emmanuel Breuillard [Bre14]). Sa principale inspiration, cependant, vient d’un article de Hrushovski [Hru12] paru deux ans auparavant.
Cet article utilise pour la première fois la théorie des modèles pour l’étude des groupes approximatifs. La définition d’un groupe approximatif étant définissable et adaptée aux ensembles infinis, on peut en effet considérer une ultralimite de groupes K-approximatifs finis, qui devient alors un groupe K-approximatif pseudofini X.
On peut alors considérer une structure M définie sur un langage
LK= (G, X, 1,∗,−1, e
1, ..., eK)
et telle que X⊂ G est un sous-groupe K-approximatif, avec X2 ⊂eiX. Tout au long
de cette thèse, les ensembles définissables considérés seront relatifs à cette structure, ou à un enrichissement de celle-ci.
En utilisant des résultats venant de la Théorie de la Stabilité, et notamment le
Théorème du Stabilisateur [Hru12, Théorème 3.5], Hrushovski montre qu’il existe dans X un véritable sous-groupe H contenu dans X4 et qui est type-définissable et d’indice
borné. Il en déduit l’existence d’une représentation localement compacte de X :
Définition 5. Soit G un groupe localement compact à base dénombrable. Une
repre-sentation de X ⊂ G dans G est la donnée d’un morphisme surjectif π : X → G tel
que :
• Il existe un voisinage U de 1 dans G et m < ω tels que π−1(U ) ⊂ Xm. En particulier, ker π⊂ Xm.
• π(X) est compact dans G.
• Pour tout U ⊂ G ouvert et C ⊂ G compact tels que C ⊂ U, il existe un ensemble définissable Y ⊂ G tel que π−1(C)⊂ Y ⊂ π−1(U ).
xiii Théorème 6 (Representation par un groupe localement compact). Soit X un groupe
approximatif. Supposons qu’il existe un sous-groupe distingué H X d’indice borné et défini comme une intersection dénombrable d’ensemble définissables. Alors X/H est un groupe localement compact à base dénombrable et la projection canonique π : X → X/H est une représentation de X.
Pour cela, Hrushovski définit une topologie logique sur X/H en disant qu’un sous-ensemble F est fermé si π−1(F ) est localement type-définissable.
Pour arriver au même point, Breuillard, Green et Tao utilisent un résultat combi-natoire de Sanders [San10] pour construire une suite décroissante (Xn) de sous-groupes
approximatifs génériques les uns dans les autres, avec X0 = X4. Ils construisent alors directement une topologie localement compacte dans X32à l’aide d’une pseudométrique, puis quotientent par le sous-groupe H des éléments à distance 0 de l’identité, qui n’est autre que l’intersection des (Xn).
Pour que ce sous-groupe H corresponde au sous-groupe type-définissable et d’indice borné du Théorème 6, il suffit alors que les (Xn) soient définissables. Cela est vérifié par van den Dries [vdD15] dans sa présentation récapitulative sur le sujet.
Dans les deux cas, on peut alors utiliser les résultats de Gleason et Yamabe autour du cinquième problème de Hilbert et montrer qu’il est possible de trouver un groupe approximatif équivalent à X ayant une représentation par un groupe de Lie :
Proposition 7. Il existe un sous-ensemble générique Y ⊂ X4 contenant H tel que Y possède une représentation dans un groupe de Lie connexe H, dont le noyau est contenu dans Y .
Remarque : Ce morphisme est appelé un "modèle de Lie" dans [BGT12] ou [vdD15]. Dans une thèse de Théorie des modèles, il a semblé préférable d’utiliser à la place le terme "représentation".
Le fait de trouver un morphisme depuis un groupe a priori quelconque vers un groupe de Lie a déjà été utilisé par Gromov [Gro81] pour montrer son théorème sur les groupes à croissance polynomiale. En suivant la même idée, Hrushovski obtient un théorème qui permet entre autres de retrouver directement celui de Gromov :
Proposition 8 (Cf [Hru12], 7.1). Soit G un groupe de type fini. Supposons qu’il existe
dans G une famille (Xi) de groupes K-approximatifs finis tels que toute partie finie de
G est contenue dans l’un des Xi (on a donc G =Xi). Alors G est nilpotent-par-fini.
La preuve utilise notamment une induction sur dimH pour se ramener à un cas déjà traité par Breuillard-Green [BG11] et Tao [Tao10].
Pour prouver le Théorème 4, et en particulier pour trouver une nilprogression, Breuil-lard, Green et Tao reprennent plus en détail les travaux de Gleason et Yamabe. Ils
utilisent aussi une induction sur la dimension du groupe de Lie, mais doivent quotien-ter par des progressions géométriques finies. Pour cela, ils se placent dans le cadre des
groupes locaux et montrent que la totalité du raisonnement se généralise à ce cadre. En
particulier, ils utilisent la généralisation aux groupes locaux par Goldbring [Gol10] du théorème de Gleason et Yamabe.
Ces résultats suffisent pour classifier tous les groupes approximatifs pseudo-finis, et montrer qu’ils sont essentiellement équivalents à des nilprogressions. Il existe cependant d’autres exemples de groupes approximatifs infinis.
DansR, par exemple, tout intervalle de la forme [−a, a] avec a ∈ R est un sous-groupe 2-approximatif. Pus généralement, on peut montrer que tout voisinage symmétrique de l’identité dansRd qui est convexe et borné est 5d-approximatif [Car15]. Cette propriété s’étend naturellement aux groupes de Lie. Ces exemples peuvent être vus comme des équivalents continus des nilprogressions, la principale différence étant qu’ils n’ont aucune raison d’engendrer un groupe nilpotent.
En 2015, Carolino, un étudiant de Tao, a montré dans sa thèse une généralisation du Théorème 4 :
Théorème 9. Soit G un groupe localement compact et X un sous-groupe K-approximatif
ouvert et relativement compact de G. Pour tout > 0, il existe L(K, ), un sous-ensemble Y L-generique dans X4 et un sous-groupe distingué compact H Y contenu dans Y tel queY /H est un groupe de Lie de dimension d(K, ).
De plus, il existe un ensemble convexe Z contenu dans l’algèbre de Lie associée à Y /H tel que (Y/H)/ exp(Z) est un sous-groupe local L-approximatif fini.
Ainsi, dans un groupe localement compact, les groupes approximatifs s’obtiennent tous à partir des exemples déjà connus. Cela va dans le sens d’une généralisation de la conjecture d’Helfgott et Linderstrauss à tous les groupes approximatifs, en ajoutant les ensembles convexes bornés d’un groupe de Lie aux nilprogressions en tant que groupes approximatifs de référence.
Pour résoudre complètement cette question, il suffirait de montrer que tout groupe approximatif admet une représentation localement compacte. Ou encore :
Conjecture 10 (Wagner). Soit X un groupe K-approximatif définissable. Alors il ex-iste L, m ∈ N, un sous-ensemble L-générique définissable Y ⊂ Xm et un sous-groupe distingué H Y type-definissable et d’indice borné contenu dans Y .
Les constantes L et m ne dépendent que de K. En fait, il devrait être possible de trouver une valeur fixe pour m, voire même m = 4.
Contenu de la thèse
Cette thèse s’intéresse donc principalement à la précédente conjecture. L’introduction et le chapitre 2 donnent plus de détails à propos des points évoqués ci-dessus. Le chapitre
xv 2 introduit notamment la notion de composante connexe, qui est définie comme le plus petit sous-groupe type-définissable d’indice borné du groupe X, à condition qu’un tel sous-groupe existe. Par compacité, la composante connexe est contenue dans un Xm.
Pour X quelconque, on montre que si X a une composante connexe, alors Xm est un groupe approximatif, ce qui est une forme de réciproque à la Conjecture 10.
Le chapitre 1, lui, est consacré à une étude purement combinatoire des
multimor-phismes approximatifs. Intuitivement, il s’agit des multifonctions Γ de G dans H telles
que le graphe de Γ est un sous-groupe approximatif de G× H. On montre qu’il existe quatre caractérisations équivalentes et un peu plus générales.
Proposition 11 (Multimorphismes Approximatifs). 1.10
Soit Γ une multifonction de taille maximale l. Sont équivalents : 1. Γ31, la fibre de Γ3 en 1, est finie.
2. Γ2 est contenu dans un nombre fini de translatés de Γ par des éléments de la forme
(1, h).
3. Γ2 ⊂ (E × B)Γ avec E ⊂ G, B ⊂ H finis ( Si Γ est symétrique, c’est un groupe approximatif ).
4. Pour tout n∈ N∗, Γn est une multifonction, ce qui signifie que la taille maximale de ses fibres reste finie.
En particulier, la définition ne demande pas que Γ soit symétrique, mais on montre qu’il est alors équivalent à son symétrisé.
On étudie alors les propriétés de l’équivalence sur les multimorphismes approximatifs symétriques et on montre que si Γ et Γ∗ sont équivalents, alors Γ∗ peut être recouvert par un nombre fini de translatés de Γ par des éléments de la forme (1, h) tels que hIm(Γ) est fini, et réciproquement. On dit que Γ et Γ∗ sont verticalement co-dominés.
L’avantage de la co-domination par rapport à l’équivalence simple est que si une multifonction F et un multimorphisme approximatif Γ sont co-dominés, alors F est lui-même approximatif. On montre que c’est en particulier le cas de toute multifonction
F ⊂ Γ, ce qui permet de trouver facilement des exemples.
Le théorème du Stablisateur de Hrushovski
Le chapitre 3 est consacré au Théorème du Stabilisateur de Hrushovski [Hru12, Théorème 3.5]. Le début du chapitre présente les notions importantes dans le cadre des théories simples, en adaptant aux groupes approximatifs les résultats correspondants du livre de Wagner [Wag00, Section 4.1] sur le sujet. On donne ensuite une présentation complète du théorème inspirée d’un article récent de Montenegro, Onshuus et Simon [MOS16].
Le théorème repose sur la notion d’idéal S1. Ici, un idéal I est un ensemble de type partiels invariant par union finie et par passage à un sous-ensemble. Un exemple typique
est l’idéal des ensembles de mesure 0 dans un ensemble mesurable. Les éléments de l’idéal seront donc considérés comme "petits", et on dit qu’un type partiel est large s’il n’appartenant pas à l’idéal.
Définition 12. Soit π un type partiel sur un ensemble de paramètres A. Un idéal
A-invariant I est dit S1 sur π si pour tout type partiel π(x, a) π et toute suite
A-indiscernable (ai) de même type que a sur A,
π(x, a0) est large⇒ π(x, a0)∧ π(x, a1) est large. On dit alors que π est un support deI.
Lorsque un idéal invariant par translations (à gauche, par convention) admet des supports, la propriété S1 permet de montrer l’existence de relations stables :
Définition 13. Soit R(a, b) une relation binaire A-invariante. On dit que R est stable s’il n’existe pas de suite indiscernable (aibi) telle que R(ai, bj) soit vérifiée si et seulement si i≤ j.
Lemme 14. Soit M un modèle de paramètres, I un idéal invariant par translations et
M -invariant, et p, q des types sur M . Si p et q sont des supports, alors la relation R(a, b) : ap∧ bq est large
est stable.
On peut alors utiliser une propriété importante :
Proposition 15. Soit p et q des types complets sur M et R(x, y) une relation stable
M -invariante, alors R(a, b) est constante pour tout a|= p et b |= q, tant que b |
Aa ou
que a |
Ab. 3.
Soient alors p et q des supports, on définit
St(p, q) :={g ∈ X, gp ∧ q est large },
et on appelle stabilisateur de p le groupe Stab(p) :=St(p, p).
On montre alors le théorème du Stabilisateur [Hru12, Théorème 3.5], en s’inspirant directement de sa version dans [MOS16, Théorème 2.10]. La formulation choisie souligne les différentes utilisations de chaque hypothèse. En particulier, la propriété S1 est ex-primée directement en terme de supports.
Théorème 16 (Théorème du Stabilisateur 3.26). Soit I un idéal dans X invariant
par translations et M -invariant, tel que tout type partiel large puisse être complété en un type large. Soit p un type sur M , large et contenu dans X. Alors :
3Dans toute la thèse, le symbole |
xvii
1. Si on suppose que p−1p−1p et p2 sont des supports, alors Stab(p) = (pp−1)2 et Stab(p) est large.
2. Si on suppose à la place que I est aussi invariant par translations à droite et que p−1pp−1 est un support, alors on a encore Stab(p) = (pp−1)2 et Stab(p) est large. 3. Si p−1p est un support, Stab(p) est contenu dans tout sous-groupe type-définissable
d’indice borné dans p.
4. Si l’on suppose (1) ou (2) et que de plus Stab(p) est un support, alors toute com-plétion large de Stab(p) est déjà contenue dans St(p) et p2p−1 est un translaté de Stab(p). Avec (2), p−1pp−1 est un translaté de Stab(p).
Si X est un groupe approximatif, on montre que si X est un support, alors toutes les puissances de X le sont aussi. Toutes les hypothèses sont alors vérifiées et on montre que
H = Stab(p), qui est déjà type-définissable, est aussi d’indice borné. D’après le point (3),
c’est donc le plus petit sous-groupe type-définissable d’indice borné de X. On dit que
H est la composante connexe sur M du groupe engendré par X, et l’on note H =X00M. On a donc montré que si un groupe approximatif X est le support d’un idéal S1, alors X possède une composante connexe. Par ailleurs, si il existe un sous-groupe type-définissable d’indice borné dans X, donc une composante connexe, tout ensemble définissable de X contenant H est un groupe approximatif générique dans X. En revanche, il n’existe pas forcément d’idéal S1.
Le cas définissablement moyennable
Le chapitre 4 est consacré à l’article [MW15] que j’ai co-écrit avec Frank Wagner au début de mon travail avec lui. Il s’agissait de reprendre le travail de van den Dries [vdD15] sur la définissabilité de la construction du sous-groupe H dans [BGT12]. Nous avons donc suivi la preuve du théorème de Sanders dans [BGT12] en utilisant au maximum des propriétés définissables pour construire les différents objets. Cela permet d’obtenir une version du théorème qui fonctionne dès que le groupe engendré par X est définissablement
moyennable :
Définition 17. Un groupe approximatif X est definissablement moyenable si il existe une mesure μ définie sur les ensembles définissables de X qui soit finiment additive, invariante par translations à gauche et telle que μ(X) = 1.
Théorème 18 (M.-Wagner, 2014 4.8). Soit X un groupe K-approximatif
définissable-ment moyennable, alors il existe un sous-groupe distingué H X contenu dans X4 qui est type-définissable et d’indice borné. De plus, H est construit comme une intersection dénombrable d’ensembles définissables génériques dans X.
Cela signifie que X possède une composante connexe, mais aussi que le quotient
X/H est directement une représentation de X. C’est un peu différent du théorème du
Stabilisateur qui construit explicitement une composante connexe, mais ne permet pas toujours de construire directement une représentation. En effet, si le langage ambiant n’est pas dénombrable, la topologie logique construite à partir de la composante connexe n’est pas à base dénombrable.
On montre aussi que ce théorème et le théorème du Stabilisateur ne sont pas com-parables en termes d’hypothèses. En effet, on pourrait croire que la propriété S1 sur les idéaux propose une forme de régularité comparable à celle des idéaux provenant d’une mesure. Elles sont en effet identiques dans de nombreux cas, mais les deux propriétés semblent diverger dans le cas général.
Enin, on s’intéresse à la type-définissabilité du groupe H construit dans les deux cas : le théorème du Stabilisateur de Hrushovski suppose l’existence d’un langage L et d’un petit modèle de paramères M pour définir un idéal S1, et cette propriété dépend fortement du langage choisi. Le sous-groupe H est alorsL(M)-type-définissable.
Notre théorème, en revanche, propose une construction plus combinatoire, n’utilisant que le langage LK, ainsi que des paramètres venant d’un modèle M qui doit être au moins ω+-saturé. Le sous-groupe H est doncLK(M )-type-définissable.
Indépendance par rapport au langage choisi
Le dernier chapitre montre que le choix du langage de base n’a finalement pas d’impact si l’on recherche une composante connexe. En effet, si l’on trouve une composante connexe dans une structure puis qu’on réduit le langage sur lequel elle est définie, alors il existe encore une composante connexe dans la structure réduite :
Théorème 19. 5.2
Soit L ⊂ L∗ et X un sous-groupe approximatif L-definissable dans une L∗-theory T . On suppose qu’il existe un sous-groupe L∗-type-definissable H d’indice borné dans X, tel que H⊂ Xm.
Alors il existe un sous-groupeL-type-definissable H d’indice borné dans X, tel que
H⊂ X2m.
Pour montrer ce théorème, on utilise une construction initialement due à Schlicht-ing pour construire à partir de H un sous-groupe H ⊂ X2m qui est toujours type-definissable (dans un langage encore plus grand) et d’indice borné, mais qui est de plus
AutL-invariant. On suit pour cela les généralisations du théorème de Schlchting par Wagner [Wag16], puis par Ben Yaacov et Wagner [BYW17].
Pour obtenir l’invariance par AutL, on a besoin de considérer une suite croissante de modèles saturés, en ajoutant à chaque fois au langage tous les automorphismes du nouveau modèle, puis on construit H dans le modèleM obtenu. On ne peut pas montrer
que H est AutL(M)-invariant, mais on montre que l’on peut déjà le définir dans l’un des modèles Mi de la suite, dans lequel il est bien AutL(Mi)-invariant.
xix Pour conclure, on adapte un théorème de Beth, à partir de sa formulation dans [Hod97], de façon à pouvoir l’appliquer à un ensemble type-définissable et à pouvoir travailler dans un unique modèle saturé :
Théorème 20 (Théorème de définissabilité de Beth 5.1). Soient L ⊂ L∗ et T∗ une L∗-theorie. Soit π un type partiel dans L∗ et κ > |T∗|, |L∗|, |π| un cardinal régulier.
On suppose que T∗ admet un modèle L∗-saturaté M∗ |= T∗ de taille κ tel que πM∗ est AutL(M∗)-invariant. Alors π est L-type-definable dans M∗.
Introduction
Let G be a group and X, Y ⊆ G. Define XY = {xy, x ∈ X, y ∈ Y }, XY ={y−1xy, x∈ X, y∈ Y }. and X−1={x−1, x∈ X}. Say that X is symmetric if 1G∈ X and X−1= X. Then X is a subgroup of G if and only if it is a symmetric subset such that X2 = X, and normal if furthermore XG= X.
More generally :
Definition 0.1 (Approximate subgroups, T.Tao, 2005).
Let K be an integer. A subset X of G is a K-approximate subgroup if it is symmetric and there is E⊂ G with |E| ≤ K such that X2 ⊂ EX.
Example : InR, any subset of the form [−a, a] with a ∈ R is a 2-approximate subgroup.
Multiplicative combinatorics
The notion of approximate groups was introduced in [Tao08] for the study of the Freiman
inverse problem. Roughly speaking, this is the idea that a purely combinatorial condition
on subsets of a group could yield structural results.
For example, if X is finite and X2 ≤ 32|X|, then an early result of Freiman assures
that it is very close to a coset of a group, in the sense that there exists a finite subgroup
H of G with|X| > 23|H| and a ∈ G with Ha= H such that X ⊂ aH.
Tao introduced the notion af approximate group as an alternative to the existing notion of set with small doubling, i.e. such that X2 ≤ K|X| with K much smaller
than|X|. Being an approximate subgroup is strictly stronger. However, if X has small doubling then there exists an approximate subgroup which is "close enough" to X and with a constant K "close enough" to the doubling constant of X. See [Bre14] for more on the subject and [Tao08] for full details.
The definition of approximate subgroups have several advantages. First of all, the definition makes sense for infinite sets. And from a model theoretic point of view, it is also a definable condition. As we will see, these two properties proved crucial for even the study of finite approximate subgroups.
Furthermore, the property is easily iterated : if X2 ⊂ EX, then Xn+1 ⊂ EnX for
all n. Similarly, X2n ⊂ EnXn so if X is a K-approximate subgroup, then Xn is a
Kn-aproximate subgroup for all n. Also, we immediately have :
Fact 0.2. Let X ⊂ G (resp. Y ⊂ H) be a K(resp. L)-approximate subgroup. Then : xxi
• (Product) X× Y is a KL-approximate subgroup of G × H And for φ : G→ H a surjective homomorphism :
• (Direct image) φ(X) is a K-approximate subgroup of H • (Extension) φ−1(Y ) is a L-approximate subgroup of G.
Finally, it is possible to pass to "large" subsets of an approximate subgroup : Definition 0.3 (Genericity). Let Y ⊂ X ⊂ G. We say that Y is generic in X if a finite number of translates of Y covers X.
If L translates are enough, we will often say that Y is L-generic in X.
Fact 0.4. Let X ⊂ G be a K-approximate subgroup and Y ⊂ X be L-generic in X.
Then Y is a KL-approximate subgroup.
The idea of taking a finite power or a generic subset appears everywhere in the study of Freiman’s problem. Indeed, its purpose is to determine a "coarse-scale" structure of the set, which typically is not changed by such a modification. Our study of approximate subgroups will prove true to this idea.
Since Freiman’s problem was originally concerned with finite sets, the first approxi-mate subgroups to be studied were finite. As a first example, a box [Ni, Ni] inZd is immediately a 2d-approximate subgroup. The same goes for its image by a morphism
into an abelian group. Such images are called arithmetic progressions.
Remark : Notice that the constant 2d does not depend of the bounds Ni, which can be taken arbitrarily large. Since any finite set X is trivially an|X|-approximate subgroup, the study of finite approximate subgroups is precisely about this kind of behaviour.
We already gave an example of an infinite approximate subgroup, namely a symmetric interval inR. More generally, any precompact symmetric convex subset in Rd will be a 5d-approximate subgroup, see [Car15]. Notice that the box [Ni, Ni] is nothing more than a discrete analog of a compact convex set.
So far4, the study of approximate subgroups remarkably failed to provide any example that could not be related to these in some way. To begin with, Freiman himself [Fre73] solved the problem for G =Z. In modern terminology, we could state his result like this : Theorem 0.5. [Freiman, 60’s - Rusza, 90’s]
Let X be a finite K-approximate group of Z. Then there exists C, L, d depending only on K, a d-dimensional box P and a morphism φ :Zd→ Z such that
• X is contained in the union of L translates of φ(P ) • |P | ≤ C |X|.
xxiii This was latter improved in the 90’s by Green and Rusza [GR07] to all abelian groups, after Rusza [Ruz94] gave a simpler proof of Freiman’s Theorem that yielded polynomial bounds for L and d ( and exponential for C).
After that, the study of finite approximate subgroups developed quickly, aiming al-ways to show the existence of a nearby progression. Outside of an abelian group, this needed the more general notion of a nilprogression, which is still roughly a "box", but in a nilpotent group. See for example [Bre14] or [BGT12].
Since then, the goal in the study of approximate subgroups could be stated as such : Conjecture 0.6 (Helfgott-Linderstrauss).
Every finite K-approximate subgroup can be obtained from a symmetric nilprogres-sion by direct image, extennilprogres-sion with finite kernel, taking a finite number L of translates and/or passing to an L-generic subset. Moreover L depends only on K, and so do the rank and step of the nilprogression.
And for a generalisation to all approximate subgroups :
Conjecture 0.7. Any K-approximate subgroup can be obtained from symmetric nilpro-gressions and compact symmetric convex subsets of a finite-dimensional connected real Lie group by the following operations : applying a homomorphism or taking the inverse image of one, taking a finite number of translates, a generic subset, or a finite power, and making direct products. Moreover, every finite number involved in the process depends only on K.
Notice that we consider convex subsets in Lie groups, again as a natural generalisation of those inRd.
This whole thesis was motivated by this general conjecture, and notably the deep link it proved to have with model theory.
The link with Model theory : Hrushovski’s work and consequences
In 2009, a preprint of Hrushovski [Hru12] introduced a new method to tackle the general classification of (finite, then general) approximate subgroups. In a nutshell, it was based on the following :
• First, because the notion of an approximate subgroup is definable and adapted to infinite sets, the ultralimit of a sequence of finite K-approximate groups will still be a K-approximate subgroup which enjoys several good properties as a pseudofinite set.
• Second, it is possible to transpose some results from Stability theory to this setting. This leads to the Stabilizer Theorem, which can be viewed very roughly as : Theorem 0.8 (Hrushovski’s Stabilizer, simplified). Let X be a pseudofinite approximate
subgroup. Then there exists a genuine normal subgroup H ofX contained in X4 which is type-definable and with bounded index.
• Third, compactness yields the existence of a supergroup H∗ ⊂ X4 of H which is a countable intersection of nested generic definable sets. Then the so-called logic
topology onX/H∗ turns the quotient into a locally compact group. In particular, this means :
Proposition 0.9 (Locally compact representation, simplified). Any pseudofinite
approx-imate subgroup X can be "modelled" by a morphism into a locally compact group whose kernel lies in X4.
• From there, one uses the deep body of results and techniques around Hilbert’s fifth problem, and notably Gleason-Yamabe theorem, which we state here as in [Car15] (see also [vdD15]) :
Theorem 0.10 (Gleason-Yamabe). Let U be a precompact neighbourhood of 1 in a locally
compact group G. Then there is an open subset U ⊂ U and a compact subgroup H ⊂ U normal inU such that U/H is a Lie group.
Notice that since U is precompact, finitely many translates of Ucover U . This allows us to replace the locally compact group by a Lie group in our previous statement, at the cost of passing to a generic subset in a small power of X :
Proposition 0.11 (Hrushovski’s Lie representation, also simplified). Let X be a
pseud-ofinite approximate subgroup. Then there exists a generic subset Y in X4 which can be "modelled" by a morphism into a connected Lie group and whose kernel lies in Y . Remark : The various references use the term "Lie model" for this theorem.5 Since our focus is on Model theory, we reserve the term "model" for a structure satisfying a given theory. We decided to use the term "representation" instead.6
• The situation is then very similar7 to the original proof of the celebrated theorem of Gromov [Gro81] about groups of polynomial growth. And indeed, following a similar proof, we obtain :
Proposition 0.12 (Cf [Hru12] 7.1). Let G be a finitely generated group. Suppose there
is a family (Xi) of finite K-approximate subgroups in G such that every finite subset of
G is contained in an Xi (in particular G =Xi). Then G is nilpotent-by-finite.
This allows to retrieve Gromov’s theorem as an immediate corollary, and proves that finite approximate subgroups do tend to generate nilpotent groups
The full proof involves every preceding step to find a Lie representation H. Then it notably proceeds with an induction on dimH (when Gromov used the growth exponent)
5This was introduced in [BGT12] as an analog of "Freiman models" in additive combinatorics. 6Hopefully, this should not compete with the group-theoretic notion of representation. As it turns
out, our representations are not so different !
xxv to reduce to a particular case, already treated by Breuillard-Green [BG11] and Tao [Tao10] .
Notice this does not quite prove the original Helfgott-Linderstrauss conjecture. But it did pave the way for Breuillard, Green and Tao [BGT12] to do exactly this two years later.
Theorem 0.13 (Breuillard-Green-Tao, 2011). Let X be a finite K-approximate group.
Then there is an L-generic subset P in X4 and a finite normal subgroup H of P such that P/H is a nilprogression of rank r and step s, with L, r, s depending only on K.
The proof follows the same outline, but some steps are treated quite differently. Instead of constructing a stabilizer, they use a combinatorial result of Sanders [San10] to construct a nested sequence of generic approximate subgroups in X. Using these, they are able to directly construct a left-invariant pseudometric on X32 that generates a locally compact topology. Then the natural quotient to obtain a metric yields the desired locally compact representation.
Also, to obtain an explicit nilprogression at the last step, they do not follow Gromov’s proof. Instead, they bring more tools from Gleason’s work about Hilbert’s fifth problem, the same which was already used to obtain a Lie representation. The proof still relies on an induction on the dimension of the Lie group, but one has to make quotients by finite geometric progressions (which will form the desired nilprogression) instead of true subgroups.
Since such quotients form local groups instead of genuine groups, they need to gen-eralize the whole construction to this setting. As anything took place in an explicit finite power of X, this turns out to be possible. Crucially, they are able to replace the Gleason-Yamabe theorem by an extension to local groups by Goldbring [Gol10].
Developments
Hrushovski’s article, together with the classification of Breuillard, Green and Tao, opened the way to further work. That most directly concerned with our story of approximate subgroups is the 2015 thesis [Car15] of Pietro K. Carolino, a student of Tao, which generalized Theorem 0.13 to classify all locally compact approximate subgroups : Theorem 0.14. Let X be an open precompact K-approximate group inside a locally
compact group G. Then for every > 0, there exists L(K, ), an L-generic subset Y in X4 and a normal compact subgroup H ⊂ Y of Y such that Y /H is a Lie group of dimension d(K, ).
Moreover, there exists a convex set Z in the Lie algebra ofY /H such that (Y/H)/ exp(Z) is a finite L-approximate local group.
This answers positively our generalized Helfgott-Linderstrauss conjecture in the con-text of locally compact groups : any approximate subgroup in a Lie group admits a
finite+convex decomposition , and any approximate subgroup in a locally compact group
is an extension of those, up to taking a generic subset in a small power.
Carolino’s result is all the more important as locally compact groups proved central in the study of approximate groups. In fact, this means one could tackle the entire problem by showing that every approximate subgroup admits a locally compact representation.
This last question proved to be directely associated to Model theory. Indeed, in his presentation at the Bourbaki seminar [vdD15] on the subject, Lou van den Dries showed that the locally compact representation of Breuillard, Green and Tao could be made in a definable way, in the sense that the subgroup H of elements at distance 0 of the identity can be defined as a nested intersection of definable generic approximate subgroups.
This is exactly what we need to show that the quotient is locally compact using the logic topology, which is equivalent to the one originally constructed by Breuillard, Green and Tao.
In fact, finding a subgroup H type-definable and with bounded index inX is enough to prove the existence of a locally compact representation using the logic topology, and thus link the original approximate subgroup to a finite+convex decomposition.
This leads to the following conjecture :
Conjecture 0.15 (Wagner, 2013). Let X be a definable K-approximate subgroup. Then there exists L, m∈ N, an L-generic definable subset Y in Xmand a type-definable normal subgroup H ofY of bounded index and contained in Y .
The constants L, m depends only on K. In fact, m should have an absolute value, and it might even be that m = 4 is enough.
We were not able to give a definitive answer to this conjecture. Developing the approach of van den Dries and understanding the link it has to Hrushovski’s Stabilizer proved to be more than enough for my understanding on the subject. However, we do provide useful insight and improvements of these results.
Before turning to more precise statements, we must add that Hrushovski’s Stabilizer was studied for its own sake from a model-theoretic point of view. Hrushovski himself gave generalisations to metrically approximate subgroup[Hrub] and approximate
equiva-lence relations[Hrua] that can be found as notes on his web personal page.
Also, a recent preprint [MOS16] by Montenegro, Onshuus and Simon uses two vari-ations of the Stabilizer Theorem as a key tool to construct an isomorphism between the connected component of a group G and a type-definable subgroup of an algebraic group, provided that G admits f-generics. This is then used to study the structure of bounded PRC fields, an example of fields with an NTP2 theory.
Contributions
The backbone of our work was a comprehensive generalisation of van den Dries approach, namely keeping trace of definablity in the construction of the locally compact represen-tation by Breuillard, Green and Tao [BGT12] using Sander’s Theorem. In particular, we
xxvii avoid using the (pseudofinite) counting measure to define the successive nested generic subsets. This naturally extends the construction to definably amenable approximate groups :
Definition 0.16. A definable approximate subgroup X is definably amenable if there is a left-invariant finitely additive measure μ on the definable subsets of X with μ(X) = 1.
We obtain :
Theorem 0.17 (M.-Wagner, 2014). Let X be a definably amenable K-approximate
sub-group. Then there exists a type-definable normal subgroup H ⊂ X4 with bounded index in X.
This is a direct generalisation of the version of the Stabilizer Theorem we gave in this introduction, namely Theorem 0.8. However, Hrushovski’s Stabilizer Theorem in [Hru12] is much more general and gives a more precise statement. At first, we thought that it was possible to retrieve the hypothesis of the Stabilizer from definable amenability, at the cost of expanding the base language, say from L to L∗. This would make Hrushovski’s Theorem the more general statement on the subject.
However, this meant that the resulting stabilizer would not be type-definable in the original language L. So one could ask if it is possible to retrieve an L-type definable subgroup with bounded index from an L∗-type-definable one.
As it appeared, extending the language is not enough, so one should see our result and Hrushovski’s Stabilizer Theorem as two closely related but independent results.On the other hand, the question of changing the base language received a positive answer : Theorem 0.18 (Type-definability in a reduct). Let L ⊂ L∗ and X be an L-definable approximate subgroup in anL∗-theory T . Suppose there is anL∗-type-definable subgroup H of bounded index in X, with H ⊂ Xn.
Then there exists an L-type-definable subgroup H of bounded index inX, with H ⊂ X2n.
This means that the existence of a locally compact representation does not depend on the choice of a base language. In particular, if X admits a representation relative to the language L∗, then it is possible to find one in the minimal language of K-approximate subgroup and/or without parameters.
These question are already addressed in Hrushovski’s work. Indeed, [Hru12, Lemma 4.5] is about constructing a stabilizer which is type-definable without parameters in order to find a canonical Lie representation. However, it does not give an explicit power m in which this new stabilizer lies. Theorem 0.18 shows that m = 8 is enough. After that, also in [Hru12, part 6], it is stated that this canonical Lie group can be associated to X using a finite reduct. Again, Theorem 0.18 gives a precise statement of this idea.
The proof of [Hru12, Lemma 4.5] first shows that, given parameters A and an A-type-definable stabilizer H, H ∩ σH has a uniformly bounded index for any automorphism
construct a type-definable subgroup H which is invariant under all automorphisms. But
this means that H is type-definable without parameters.
This is precisely the way we prove Theorem 0.18, which is in fact a wide generalisation. Interestingly, the corresponding intuition was not taken from Hrushovski, but retrieved after Wagner gave a presentation about his work [Wag16] on Schlichting’s theorem at the local seminar. Using an even later work of Ben Yaacov and Wagner [BYW17] , together with the much older Beth’ definability theorem to pass to a reduct (see for example [Hod97] or [Poi85] ), we were able to derive Theorem 0.18. The combination of Schlichting’s Theorem with Beth’s definability seems quite powerful as a tool, but it only could be used because of the properties of approximate subgroups. We do not know if it might be extended to another context.
0.0.1 Introducing the different chapters
Chapter 1 makes combinatorial considerations on approximate subgroups. We address in particular the subject of approximate homomorphism, introducing the more appropri-ate setting of multimorphisms, and lappropri-ater quasi-morphisms. We then give a combinato-rial caracterisation of approximate multimorphisms, Proposition 1.10, and discuss about equivalence.
Chapter 2 introduces the model-theoretic setting relative to approximate subgroups, recalls the definitions we will need, and settles notations. We define more precisely the various notions presented in this introduction, such as pseudofinite sets or representa-tions. In particular, we discuss what it means to be a type-definable subgroup with bounded index and introduce the notion of connected component.
Chapter 3 is about Hrushovski’s Stabilizer Theorem. We present the notion on the particular and earlier case of groups with a simple theory, following the book of Wagner [Wag00]. Then we give a precise statement of the Stabilizer Theorem 3.26, complete with proof. We take inspiration from [MOS16] in addition to the original [Hru12], and give in particular detailed hypotheses.
Chapter 4 presents Theorem 0.17 in full detail as Theorem 4.8, and compares its hypotheses to those of the Stabilizer. This led to the publication of an article [MW15] which we closely follow. We end with a discussion about the differences between this theorem and Hrushovski’s stabilizer, justifying the fact that these theorems cannot be compared. Also, we introduce a non definably amenable approximate subgroup, and the kind of difficulties one could expect while dealing with general approximate subgroups.
To finish, Chapter 5 proves Theorem 0.18 as Theorem 5.2, with a Schlichting-type argument adapted from [BYW17], after providing an appropriate version of Beth’s The-orem 5.1. This was not made into an article, mostly because of time issues.
I did not want to end this introduction without acknowledging how much it owes to the various introductory works on the subject, notably the Bourbaki seminar presentation
xxix of van den Dries [vdD15]8, the introduction of Kreitlon Carolino’s thesis [Car15] and the introduction to approximate subgroups by Emmanuel Breuillard [Bre14]. These helped me a lot to handle the subject of multiplicative combinatorics, and to give precise and accurate statements.
Chapter 1
A combinatorial discussion
1.1
Equivalence
Consider an approximate subgroup X in an ambiant group G. As we said in the intro-duction, we want to say that a generic subset of X is an approximate subgroup equivalent to X, and similarly that all the Xnare equivalent.
Definition 1.1 (Equivalence). We say that two approximate subgroups are equivalent if each one is contained in a finite number of translates of the other.
Once again, if L translates are enough on both side, we often precise that they are
L-equivalent.
Notice that equivalent approximate subgroups need not to be contained in one an-other, and the same goes for the groups they generate. However, if X and X∗ are both approximate subgroups, it is always possible to consider the group X ∪ X∗.
Lemma 1.2. If X and X∗ are equivalent approximate subgroups, then Y = XX∗X is an approximate subgroup in which both X and X∗ are generic.
The equivalence we just defined is thus precisely the equivalence relation generated by the operation of passing to a generic subset.
Proof: Suppose X2 ⊂ EX, X∗2 ⊆ E∗X∗, X ⊆ DX∗and X∗⊆ D∗X where E, E∗, D and D∗ are finite. Then Y = XX∗X is a symmetric set containing X and X∗. Furthermore
Y = XX∗X⊆ DX∗X∗X ⊆ DE∗X∗X ⊆ DE∗D∗XX ⊆ DE∗D∗EX
⊆ DE∗D∗EDX∗
so X and X∗ are generic in Y . Moreover
Y2 ⊆ DE∗D∗EXY = DE∗D∗EXXX∗X ⊆ DE∗D∗E2XX∗X = DE∗D∗E2Y
so Y is also an approximate subgroup.
More generally, this definition makes sense for any two subsets of G and still gives an equivalence relation, but a subset can be equivalent to an approximate subgroup while not being approximate itself, even if it is symmetric. In particular, a superset Y of X such that X is generic in Y might not be approximate.
We can consider a refinement :
Definition 1.3. Say that Y is dominated by Z if Y ⊂ DZ with DZ finite. Say that Y and Z are co-dominated if both are dominated by the other. The following properties of domination are easy to check :
Proposition 1.4. Let X, Y ⊂ G be symmetric, with X an approximate subgroup. We
have the following :
• Suppose Y is a superset of X dominated by X ( in particular X is generic in Y ). Then Y is an approximate subgroup equivalent to X.
• More generally, suppose Y ⊂ G is dominated by X and equivalent to X. Then Y is an approximate subgroup.
Notice than domination is not transitive ! However, if X is dominated by Y and Y, Z are co-dominated, then X is dominated by Z. So we do have :
Corollary 1.5. Co-domination is an equivalence relation on subsets of G which refines
the previous equivalence. Moreover, co-domination discriminates between approximate subgroups and other symmetric subsets.
Indeed, if Y is co-dominated with an approximate subgroup, then Y2 is contained in a finite union of translates of Y . Symmetry could fail, however, typically if one considers a translate of an approximate subgroup by a central element. Also, say that Y ⊂ F X witness domination, then we might ask for some control over the size of FX.
Another major hindrance is that the powers Xn have no need to be dominated by
X. In general, there is no obvious reason for two equivalent approximate subgroups to
be co-dominated.
However, it can be the case for particular approximate subgroups, for example for approximate multimorphisms, the matter of our next section.
1.2
Approximate multimorphisms
The notion of an approximate homomorphism has been discussed from at least 2004 in a paper [Gre04] of Ben Green. In a commutative setting, he calls a map f : G→ H a
K-approximate homomorphism if
1.2. APPROXIMATE MULTIMORPHISMS 3 The definition appears for G =Fm
2 as one of the equivalent forms of the Freiman-Rusza
structure theorem[Gre04, Proposition 2.2] on sets of small doubling (see 0.5)
It seemed natural to look at the properties of approximate homomorphisms in a non-commutative setting. The results obtained are essentially preliminary work that does contain some useful tools to understand approximate multimorphisms, opening the door for further research. This section in thus independent from the other chapters.
We discuss several ways to define an approximate multimorphism in the sense of Green, and show that most of them, but not all, are equivalent to another natural defini-tion, that is that the (symmetrized )graph of f is an approximate group. Symmetrizing a graph and taking translates hints to the more natural setting of multifunctions, and it turns out that the equivalence relations defined earlier behave well in this case.
We thus consider a map f : G→ H. Transposing the definition we got from additive combinatorics, we want to say that f is an approximate homomorphism if the set A1 =
{f(xy)f(y)−1f (x)−1 : x, y∈ G} is finite. However, this is not the only possibility. We
define :
• A1 ={f(xy)f(y)−1f (x)−1 : x, y∈ G} • A2 ={f(x)−1f (xy)f (y)−1 : x, y∈ G} • A3 ={f(y)−1f (x)−1f (xy) : x, y∈ G}
• A ={f(xy)f(y−1)f (x−1) : x, y ∈ G} = {f(x)f(y)f(z) : xyz = 1}
Also, one may think about the inverse property of morphisms, thus considering the set
• C ={f(x)f(x−1) : x∈ G} = {f(x−1)f (x) : x∈ G}
It turns out that A1,A3 and A give an equivalent definition of approximateness, but that the definition using A2 is weaker ! Indeed, we have the following correspondences between our five sets :
Lemma 1.6. We have : • C⊂ A−11 f (1) • C⊂ f(1)A−13 • A2 ⊂ C−1A−11 • A1 ⊂ A−12 C−1 • A2 ⊂ A−13 C−1 • A3 ⊂ C−1A−12 • A⊂ CA2C • C ⊂ Af(1)−1 • C ⊂ f(1)−1A • A1⊂ CA−1 • A3⊂ A−1C • A2⊂ C−1AC−1
This means that :
• A1 is finite
• C and A2 are finite
• A3 is finite • A is finite
Furthermore, if the sets A1, A3, A, or C and A2 have cardinality no greater than K, then no one of the five sets A1, A2, A3, A and C has cardinality greater than K4.
The proofs are mere group calculations. For example, let f (x)f (x−1)∈ C, one can write it as f (x)f (x−1)f (xx−1)−1f (1), thus f (x)f (x−1)∈ A−11 f (1).
An element of A2 will be of the form
f (x)−1f (xy)f (y)−1= f (x)−1f (x−1)−1f (x−1)f (xy)f (y)−1 and one has f (x)−1f (x−1)−1∈ C−1 and f (x−1)f (xy)f (y)−1∈ A−11 . In the same way, write
f (x−1)f (xy)f (y−1) = f (x−1)f (x)f (x)−1f (xy)f (y)−1f (y)f (y−1) to obtain A⊂ CA2C.
To show that the definition using A2 is weaker, consider the map fα : G → G
defined by fα(x) = αx. Then A2 ={α−1} but A1 ={[α, x]α−1, x∈ G}. Thus fα is an approximate homomorphism in the sense of A2, but not for the other definitions as soon as α has infinitely many conjugates in G.
We will not consider approximate homomorphisms in the sense of A2. Instead, we will use the set A for our definition, which turns out to be more natural in a non-commutative setting than the equivalent choice of A1. So we have :
Definition 1.8. A map f : G→ H is K-approximate homomorphism if
{f(x)f(y)f(z) : x, y, z ∈ G, xyz = 1} ≤ K.
Let f be a function from G to H. We know that its graph is a subgroup of G× H if and only if f is a morphism between G and H. Can we say similarily that f is an approximate homomorphism from G to H if and only if its graph is an approximate subgroup of G× H ?
To say that f is an approximate subgroup, we need to consider finite unions of translates of f , which are no longer functions. So we will first extend our definitions to a more appropriate setting.
1.2.1 Approximate multimorphisms
Let F ⊂ G × H, the fibre of F at x ∈ G is Fx⊂ H defined by
1.2. APPROXIMATE MULTIMORPHISMS 5 We say that F is a multifunction of size l if each fibre of F is nonempty and has cardinality bounded by l.
Let F be a multifunction, then lmax(F ) will be the maximal cardinality of a fibre in
F , and lmin(F ) the minimal cardinality of those fibres. By definition, 1 ≤ lmin(F ) ≤
lmax(F ) < +∞
Inverse and product of multifunctions are defined from the corresponding group op-erations in G× H. For F, F∗ two multifunctions and z∈ G, one has (F−1)x = (Fx−1)−1
and
(F F∗)z =
xy=z
FxFy∗.
In particular,
lmin(F F∗)≥ max (lmax(F ), lmax(F∗)) (1.1) Notice that F F∗ can no longer be a multifunction. For example, let f : (Z, +) → (Z, +) which maps −N to 0 and is the identity on N. Then for n ≥ 0, (f + f)(−n) = N and (f + f )(n) ={n, +∞}.
We will use the notation FxN to represent (FN)x rather than (Fx)N, for all N ∈ Z.
For X ⊂ G finite, we will also denote by FX ⊂ H the union of the fibres Fx for x∈ X. We say that a multifunction is symmetric if its graph is a symmetric subset of G×H,
i.e. F−1 = F . If F is a multifunction of size l, we can consider the symmetrisation of F defined by
FS := F ∪ {(1, 1)} ∪ F−1 which is a symmetric multifunction of size bounded by 2l + 1.
If Φ is a multifunction which is a subgroup of G× H, we say that it is a
multimor-phism1. In particular, it is symmetric and since Φ2 = Φ and lmin(Φ2) ≥ lmax(Φ) by equation 1.1, all the fibres of Φ have the same cardinality.
Notice that the fibre at identity Φ1 is a finite subgroup of H, which is often denoted coker(Φ). Since for all x, Φx−1Φ1Φx ⊂ Φ31 = Φ1, coker(Φ) is a normal subgroup in
Im(Φ). It is thus possible to view Φ as a single homomorphism from G to a quotient
of Im(Φ).
To define approximate multimorphisms, let Γ be a multifunction of size l. Define the sets Ai, A and C as for a function, for example A1 ={ΓxyΓ−1y Γ−1x : x, y ∈ G}. Then
one immediately retreives the relation from lemma 1.6 with f (1) replaced by the fibre Γ1.
Lemma 1.9. We have :
1In this chapter,Φ, Γ and F denote respectively a multimorphism, an approximate multimorphism
• C ⊂ A−11 Γ1 • C ⊂ Γ1A−13 • A2⊂ C−1A−11 • A1⊂ A−12 C−1 • A2 ⊂ A−13 C−1 • A3 ⊂ C−1A−12 • A⊂ CA2C • C ⊂ AΓ−11 • C⊂ Γ−11 A • A1 ⊂ CA−1 • A3 ⊂ A−1C • A2 ⊂ C−1AC−1
The cardinalities of the Ai, A and C are now bounded one another by polynomials in K, l, where K denote the size of one of the sets Ai, A or C and l is the size of the
multifunction.
Remark : By definition A = Γ31. Also, suppose that Γ is symmetric, then
A1 ={ΓxyΓ−1y Γ−1x : x, y∈ G} = {ΓxyΓy−1Γx−1 : x, y∈ G} = Γ31.
We obtain that A = A1= A2 = A3 and similarly C = Γ21.
Now we can characterize approximate multimorphisms. To shorten notations, we write BΓ instead of ({1} × B)Γ for B ⊂ H. We have (BΓ)x = BΓx for all x∈ G. Proposition 1.10 (Definition of approximate multimorphisms). Let Γ ⊂ G × H be a
multifunction of size l and define the sets Ai, A and C as usual. The following conditions are equivalent :
1. Γ31 is finite.
2. A1, A3 or A2 and C are finite.
3. Γ2 is contained in a finite number of translates of Γ by elements from H. 4. Γ2⊂ (E × B)Γ with E ⊂ G, B ⊂ H finite.
5. For all n∈ N∗, Γn is a multifunction.
We say that Γ is a K-approximate multimorphism if Γ31 has size at most K. Proof :
We already have the equivalence between (1) and (2). (2)⇒ (3) :
By definition of A1, we have Γ2 ⊂ A−11 Γ. Indeed, for all x, y and z = xy, we have ΓxΓyΓ−1z ⊂ A−11 , thus ΓxΓy ⊂ A−11 Γz−1.
(3)⇒ (4) is trivial. (4)⇒ (5) :
Let Γ2 ⊂ (E × B)Γ, then Γn⊂ (En−1× Bn−1)Γ. More precisely, Γxn⊂ Bn−1Γ(E−1)n−1x,
