Détection de ruptures dans les signaux non stationnaires et transmission photonique

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE

TH`

ESE

Pr´esent´ee pour obtenir le diplˆome de

Doctorat d’Etat

(Sp´ecialit´e Traitement de Signal)

D´

etection de ruptures dans les signaux

non stationnaires et transmission

photonique

Pr´esent´ee et soutenue publiquement

le 25 d´

ecembre 2007

par

Abderraouf MESSAI

devant le

JURY

Pr´esident:

F. SOLTANI

Professeur `

a l’Universit´e Mentouri de Constantine

Rapporteur:

A. BENNIA

Professeur `

a l’Universit´e Mentouri de Constantine

Examinateurs:

D. BENATIA

Professeur `

a l’Universit´e de Batna

A. FAROUKI

Maˆıtre de Conf´erence `a l’Universit´e Mentouri de Constantine

L. SAIDI

Maˆıtre de Conf´erence `

a l’Universit´e de Batna

Avant tout,Mer i àDieu leTout Puissant.

Ce travail a été réalisé au département d'Ele tron ique , Fa ulté des S ien es de l'Ingénieur de l'UniversitéMentouri de Constantine, à sa dire tion Monsieurle Professeur Khamaja, à qui j'adressemes remer ieme nt s.

J'exprimemagratitudeàMonsieurleProfesseurA.Benniapour avoira eptéd'en adrer e travail.

J'adresse mes remer iement s à Monsieur le Professeur F. Soltani pour l'honneur qu'il m'a faiten présidant lejuryde masoutenan e.

Je remer ie également Messieurs D. Benatia, Professeur de l'Université de Batna, L. Saidi, Maîtrede onféren e del'Université deBatnaet A.Farouki,Maître de onféren e àl'Université Mentouri de Constantine d'avoir tous a epté d'examiner e travail de thèse et de leur parti i-pationau juryde soutenan e.

Je remer ie aussi mes ollègues enseignants Messieurs N. Merabtine et S. Arris pour leurs aideset en ouragem ent s.

Je n'oublis pasmes amiset Do teurs R.Hadj Mokhne he et A.Drif de l'Université d'Evry-Val-d'Essone enFran epour leurs idéesde développement et l'aide qu'ilsm'ont apportée.

Enn, je remer ie vivement Monsieur le Professeur S. Bououd, vi e re teur hargé de la re her he et de laPost-graduati on pour sonappui et sespré ieux onseils.

Table des gures ix

Liste des tableaux xi

Introdu tion 1

Chapitre 1 État de l'art : Observateurs pour les systèmes dynamiques et

diag-nosti de pannes 5

1.1 Introdu tion . . . 5

1.2 Observateurs pour les systèmesdynamiques . . . 5

1.2.1 Observateurs et observabilité . . . 5

1.2.2 Observateurs pour les systèmeslinéaires . . . 6

1.2.3 Observateurs pour dessystèmes non linéaires . . . 6

1.2.4 Filtrage dansle adresto hastique . . . 7

1.3 Observateurs adaptatifspour dessystèmesparamétriques . . . 8

1.3.1 Observateurs adaptatifspour dessystèmeslinéaires invariant dansletemps 8 1.3.2 Observateurs adaptatifspour lessystèmes linéarisables . . . 9

1.3.3 Observateurs adaptatifsbasés surl'existen ed'une fon tion deLyapunov 9 1.3.4 Observateurs adaptatifspour lessystèmes linéairesvariantdansle temps. 10 1.4 Diagnosti depannes . . . 10

1.4.1 Génération derésidus . . . 11

1.4.2 Evaluationde résidus. . . 16

1.5 Con lusion. . . 19

Chapitre 2 Te hniques de déte tion de rupture 21 2.1 Introdu tion . . . 21

2.2 Analyse de ladéte tionde rupture . . . 21

2.3 Tests d'hypoyhèses . . . 22

2.3.1 Testde Bayes . . . 24

2.3.3 Test d'hypothèsesmultiples . . . 25

2.3.4 Test d'hypothèses omposites . . . 26

2.4 Intervalle de onan e . . . 28

2.4.1 Pour la régionde rejet d'hypothèse

E

r

. . . 28

2.4.2 Pour la régiond'a eptation del'hypothèse

E

a

. . . 29

2.4.3 Puissan edu test . . . 29

2.5 pro édurede déte tion derupture. . . 29

2.5.1 Choixdu signalinformation SI . . . 30

2.5.2 Etablirletest de dé ision . . . 35

2.5.3 Estimer l'amplitude delarupture . . . 39

2.5.4 Compensationde rupture . . . 40

2.6 Tests et Résultats . . . 45

2.7 Con lusion. . . 47

Chapitre 3 Cara térisation de ruptures et observateur pré is 49 3.1 Introdu tion . . . 49

3.2 Cara térisation de rupturepour ladéte tion . . . 50

3.2.1 Position du problème. . . 50

3.2.2 Comportement d'un observateuret signal résiduel. . . 51

3.2.3 Dénitions pourla ara térisationde rupture . . . 53

3.2.4 Typesde déte tion . . . 56

3.2.5 Propriétés . . . 59

3.2.6 Résolution del'observateur dansladéte tionde rupturesmultiples . . . . 60

3.3 Observateur pré ispour ladéte tion de multiples ruptures . . . 60

3.3.1 L'observateur usuel . . . 61

3.3.2 Observateur pré is . . . 63

3.3.3 Appli ation . . . 66

3.3.4 Tests et résultats . . . 68

3.3.5 - Déte tion deruptures nondistinguées . . . 71

3.4 Con lusion. . . 75

Chapitre 4 Transmission photonique 79 4.1 Introdu tion . . . 79

4.2 Théorie del'information . . . 80

4.3 Mesurequantitative del'information . . . 80

4.5 La Cryptographie Classique(Les hiresà lésprivées) . . . 84

4.5.1 Prin ipe général . . . 84

4.5.2 Les méthodes de hirement par substitution . . . 85

4.5.3 Le DES "Data En ryptions Standard" . . . 85

4.5.4 Prin ipes Généraux duDES . . . 86

4.5.5 Ar hite turegénérale duDES . . . 86

4.6 Les autres algorithmesà lés privées . . . 86

4.6.1 Triple DES . . . 86

4.6.2 IDEA(International Data En ryption Algorithm). . . 86

4.7 La Cryptographie Classique(Les hiresà lésPubliques) . . . 86

4.7.1 Système RSA . . . 88

4.7.2 Faiblesse del'algorithme RSA . . . 89

4.7.3 Faiblesse del'algorithme DES . . . 89

4.8 Le proto ole BB84 . . . 89

4.9 Les sour esde bruit . . . 90

4.9.1 La sour e de lumière . . . 90

4.9.2 Les appareils demesure . . . 90

4.9.3 Le anal de ommuni at ion . . . 90

4.9.4 Bruit dephotons . . . 90

4.10 Les limitespratiquesde la ryptographie quantique . . . 93

4.11 Les méthodespour la orre tion d'erreurquantique . . . 94

4.11.1 La méthode del'opérateur "OR" . . . 94

4.11.2 La méthode del'opérateur "XOR" . . . 97

4.11.3 Considérations d'ordre théorique . . . 98

4.11.4 Les avantagesdes méthodesproposées . . . 98

4.12 Con lusion. . . 99 Con lusionet Perspe tives 101

2.1 Espa e d'observation divisé en

n

sousespa es

E

i

. . . 22

2.2 Testd'hypothèse. . . 23

2.3 Espa es de dé ision (testd'hypothèsesmultiples) . . . 25

2.4 Intervalle de onan e. . . 28

2.5 Puissan e dutest . . . 29

2.6 Système en rupture . . . 30

2.7 Constru tion du signaltest auto-régressif. . . 45

2.8 Estimationdeparamètresbaséesurladéte tionderupture:Testdeladistribution Page-Hinkleyave omme ompensation lamatri ede ovarian e. . . 46

3.1 Observationdu signalde sortiedu système. . . 51

3.2 Système ave observationde signal. . . 51

3.3 Signal résiduel : observationd'un paramètre. . . 51

3.4 Signal résiduel montrant desrupturesse produisant à desinstantspro hes(a) et très pro hes(b). . . 52

3.5 Cara térisation de rupture danslesignalrésiduel de l'observateur. . . 53

3.6 Durée de l'o urren e dela rupture

F ID

(FaultIn iden e Duration). . . 54

3.7 Durée minimale de l'o urren ede larupture

M DI

(Minimum Duration of In i-den e) en présen ededeux rupturessu essives. . . 55

3.8 Signal résidu présentant plusieurs ruptures. . . 56

3.9 Limite d'unedéte tion omplète derupture. . . 57

3.10 Déte tion partielle d'unerupture. . . 58

3.11 Déte tion biaisée d'unerupture. . . 58

3.12 Système onne té à unobservateur. . . 62

3.13 Signal observateur ave déte tion deplusieurs ruptures ( aslinéaire). . . 62

3.14 Signal observateur ave déte tion deplusieurs ruptures ( asnon linéaire). . . 64

3.15 Signal résiduel ave deuxruptures omplètes déte tées. . . 64

3.16 Signal résiduel ave deuxrupturesbiaisées déte tées. . . 65

3.17 Laréponsefréquentielled'unltrePID(a)etd'unltrepasse-basasso iéaultre PID (b). . . 66

3.18 Système asso iéà unobservateur. . . 67

3.19 Système multi-ruptur es asso iéà unobservateur. . . 68

3.20 Observateur usuel : signal apteur

x

2

en absen e de bruit (a)et signal résidu

x

r

en absen e de bruit(b). . . 69

3.21 Signal durésidu enprésen edebruit: observateurusuel(a)et observateur pré is (b). . . 69

3.22 Signaldurésiduenprésen edequatreruptures(deuxpardeux):observateurusuel enabsen e debruit (a),observateurusuelen présen edebruit(b)et observateur

pré isen présen ede bruit( ). . . 70

3.23 Signal durésidu en présen edequatrerupturessu essives(l'une après l'autre): observateurusuel en absen e debruit (a), observateurusuel en présen ede bruit (b)et observateurpré isen présen ede bruit ( ). . . 71

3.24 Signal du résidu en présen e de deux ruptures à des instants très pro hes, en absen e debruit, orrespondant à une déte tionpartielle(

M DI < SF D < F ID

). 72 3.25 Lestroistypesdedéte tion-présen edetroisrupturesàdesinstantstrèspro hes: asd'absen ede bruit. . . 73

3.26 Lestroistypesdedéte tion-présen edetroisrupturesàdesinstantstrèspro hes: asde présen ede bruit. . . 74

3.27 Résolution del'observateur danslesdeux asd'absen eet de présen ede bruit. . 76

4.1 Le hirement et ledé hirement. . . 84

4.2 L'ar hite t ure généraleduDES. . . 87

4.3 Le proto ole BB84. . . 90

4.4 Ampli ateurbruit de photons. . . 92

4.5 Variationdelatensione a e debruitdephotons enfon tiondelara ine arrée du ourant moyen photoniqueauxbornesde larésistan e de harge

R

c

. . . 93

4.6 Élimination dubitde parité. . . 97

4.7 re onstitution de la lé. . . 97

LaTransmissiond'un signaladetouttemps onstitué un hampde re her he trèsvarié.Il a ététoujoursaspiréàlapossibilitéderéaliserdes ommuni at ionssanserreursmalgrélaprésen e desbruitset perturbations pouvantae ter labonne ré eption dusignal.

Ce que nousproposons dans ette thèse est un ouplage entre les te hniques du traitement designalenvuedu onditionne ment d'un signalavant satransmissionpar utilisationde anaux quantiques.Nousproposeronsalorsdesméthodesde orre tiond'erreurtrèse a espourobtenir unebonne prote tionet une bonneré eption de l'information.

Lestroispremiers hapitres on ernerontladéte tionderuptures,diagnosti despannesetla ara térisationderupturesparledéveloppementd'observateursperformantsetpré is.Ledernier hapitre on ernera latransmissionphotoniqueave utilisation deste hniquesde ryptographie oùnousproposeronsde nouvelles méthodes de odage.

La ommande et la supervision d'un système dynamique (pro édé de produ tion, ma hine, installation,et .)requièrentsouventla onnaissan e degrandeursphysiquesnon-mesurées. D'où lané essitédedisposerd'un algorithme( apteur logi iel) pour estimer esgrandeurs in onnues àpartirdessignauxmesurés.La on eptiond'un telalgorithmesupposel'existen ed'un modèle mathématiquedé rivantd'une ertainemanièrelesrelationsentreslesgrandeursin onnuesetles signaux mesurés. L'estimation de grandeurs onstantes ou ayant peu d'évolution, appelées des paramètres,relèveprin ipalem entdudomainedel'identi at ion[1,2℄.Al'opposédesparamètres, les variables sont les grandeurs qui évoluent signi ativement. Dans les études d'estimation de variables sont typiquement onsidérées les variables d'état dans une modélisation sous forme d'état. Les algorithmes pour estimer les variables d'état portent le nom d'observateur [3℄ dans un adredéterministe et deltre [4℄ dansun adre sto hastique.

Dans ettethèse,nousnousintéressonsàl'estimation onjointe deparamètresetdevariables dans un système dynamique. Les algorithmes que nous onsidérons sont onnus sous le nom d'observateurs adaptatifs.

L'estimation onjointed'étatetdeparamètresaététraditionnel lementmotivéeparlesétudes surla ommandeadaptative.Eneet,sidansunsystèmelesin ertitudessontmodéliséespardes paramètres qui varient lentement, l'estimation des variables d'état et des paramètres en temps réelpermet d'ajuster en ligne laloide ommande.

Dans le adre de ette thèse, les études ont été motivées par la déte tion et le diagnosti de pannes dans des systèmes dynamiques non linéaires. De e fait, après avoir exposé notre ontribution à la on eptiond'observateurs adaptatifs pour une lasse de systèmes dynamiques non-linéaires, nous montrons omment elle peut être appliquée à la génération de résidus per-mettant de résoudre le problème de la déte tion et du diagnosti de pannes formulé dans un adreoriginal.

Endehors du adredessystèmeslinéaires, peuderésultatsgénérauxsont onnuspour l'esti-mation de paramètres tout omme pour l'estimation de variables d'état. L'estimation onjointe d'état et de paramètres ne peut qu'être un problème plus di ile. Les premières études sur la on eption d'observateurs adaptatifs datent des années 70 [5,6℄. Ellesont d'abord porté surles systèmeslinéairesinvariant dansletemps,puissurlessystèmesnonlinéairesdontladynamique est linéarisable par un hangement de oordonnées ave inje tion de sortie [7,8℄. Plus ré em-ment ont étéétudiésdessystèmesnon linéairesqui ne sontpaslinéarisables par hangement de variables [9,10℄. Ces travaux supposent l'existen e d'une fon tion de Lyapunov dont la on ep-tion n'est pas onstru tive. Tous es résultats permettent de démontrer la onvergen e globale desobservateurs adaptatifs sous deshypothèsesappropriées. Onpeut également iter lesltres de Kalman étendus [11,12℄ qui permettent d'estimer onjointement des variables d'état et des paramètres, typiquement ave des onvergen eslo ales démontrées.

La ontribution prin ipale de ette thèse est de proposer des méthodes onstru tives de on eption d'observateurs adaptatifs à onvergen e globale pour une lasse de systèmes réelle-ment non linéaires, 'est à dire, qui ne sont pas linéarisables par hangement de variable. Le développement de es nouveaux résultats est basé, d'une part, sur les te hniques d'observateur à grand gain [3,13℄ et, d'autre part, sur un résultat on ernant la on eption d'observateurs adaptatifs pour dessystèmes linéairesvariant dansletemps [14℄.

Pour ladéte tion et lediagnosti de pannes, la ontribution de ettethèse est le développe-mentdesméthodesdegénérationderésidusbaséessurdesobservateursadaptatifs,d'abordpour dessystèmeslinéairesvariant entemps,puispourdessystèmesnon-linéaires.Lesoriginalitésde es méthodes sont, d'une part, lapossibilitéd'isoler omplètement un nombre de pannesélevé, grâ e à des hypothèses sur le prol des pannes et sur l'ex itation persistante, d'autre part, la on eptionsystématique de résiduspour une lasse de systèmesnon-linéaires.

Au début des années 1970, Stephen Wiesner de l'université de Columbia é rit un rapport présentantdesidéestoutàfaitnouvelles[15℄.Wiesnerproposed'utiliserlamé aniquequantique pour oderdesbilletsdebanquesdontl'infalsiabilité seraitgarantieparleprin iped'in ertitud e d'Heisenberg. De plus, il propose aussi d'utiliser la mé anique quantique pour onstruire un anal multiplexeur permettant d'entremêle r deux messages d'une façon qu'on ne puisse en lire qu'un seul et qu'en le lisant, on rende l'autre illisible. Bien que les idées de Wiesner ne fussent nalement publiées qu'en 1983 danslarevue Sigat News, ellesinspirèrent Charles H.Bennetdu laboratoire de re her he IBM T.J Watson et Gilles Brassard de l'université de Montréal, qui, au ourant de es idées bien avant 1930 à la suite de dis ussions ave Wiesner, proposent en 1984 un proto ole de distribution de lés se rètes [16℄. Bennett et Brassard savaient que leur système tel queprésenté en 1984 était totalement imprati abl e et telleétait aussil'opinion des gensdudomaine.Toutefois,lesranementsapportés durantlesannéessubséquentesontpermis la onstru tion du premier prototype omplètement opérationne l. Les expérien es onduites à partirde eprototypefaitaulaboratoiredere her heIBMT.JWatsonontpermisdemontrerqu 'il étaitpossiblegrâ eau analquantiquedetransmettre des lésse rètes deplusieurs entaines de bitsà une vitessede10 bit/s,entredeux pointsdistants de32 m, et e même si e analest espionné toutau longde latransmission.

Ils'agissaitvraimentd'untrèsgrandévénementetlespartisansdela ryptographiequantique deseréjouir ar etteréussiteamenaunengouementdeplusenplusgrandpourla ryptographie quantique. Voi i deux lignes du temps : la première montre les idées introduites en ryptogra-phie quantiquedepuis le rapport de Wiesner en 1970 jusqu'aumoment ou, en 1989,Bennett et

apportés à la ryptographiede 1990 à1997.

En omparant esdeuxlignesdutemps,onremarquequedepuisqueBennettetBrassardont permisàla ryptographiequantiquedepasserdela tionàlaréalité,les her heursontdéployé deseortsnonseulementpourl'avan ementdesproto olesdedistributiondes lésse rètes,mais aussipour donnernaissan e àplusieurs autres appli ations [17℄.

Ave les ré ents progrès en te hnologie quantique, beau oup de questionsrestent ependant poséessurleslimitespratiquesdansla ryptologiequantique[18℄.Enpremierlieu ertaines onsi-dérationsd'ordrepratique ompliquentledéroulementduproto oleBB84,mêmes'ilapporteune amélioratio n onséquente on ernant les déte teurs, ilfaut aussi assurerleur ompatibili té ave les télé ommuni ations à bres optiques. En se ond lieu, proposer des méthodes de orre tion d'erreurspour quela ryptographiequantiquepuissedevenirunete hniquee iente ave appli- ationàlargeé helle.Ces pointspré is onstitueront,ainsi,lebutessentieldenotreétude.Nous essayeronsde mettreen reliefles limitespratiquesde la ryptographie quantique.

État de l'art : Observateurs pour les systèmes dynamiques et diagnosti de

pannes

1.1 Introdu tion

Pour re onstruire l'état des systèmes non linéaires sans paramètre in onnu, il existe des méthodesthéoriquementjustiéesmaisdi ilementappli ables,ouappli ablesenpratiquemais non justiées théoriquement. Entre les deux se situent les observateurs à grand gain ave une appli abilit é raisonnable et dont la onvergen e a ététhéoriquement justiée. Ces dernierssont parti ulière ment importantsdansle troisième hapitre de ette thèse.

Pour estimer onjointement l'état et les paramètres des systèmes paramétriques linéaires variant dansle temps, la nouvelle appro he de [14,19℄ a permis de relâ her les hypothèses des algorithmes pré édents qui sont réservés aux systèmes invariant dans le temps et mono-sortie. C'estunautreélémentimportantpourledéveloppement dedutroisième hapitrede ettethèse.

1.2 Observateurs pour les systèmes dynamiques 1.2.1 Observateurs et observabilité

La ommandeet lasurveillan e d'un pro édédynamiquerequièrent souvent la onnaissan e de variables non-mesurées. D'où la né essité de disposer d'un algorithme pour estimer es v a-riablesin onnuesà partir de variables mesurées. Dans une représentation sous forme d'état, on suppose que les variables in onnues sont l'ensemble ou une partie des états du système onsi-déré, et les variables mesurées sont les entrées et sorties du système. On hoisit habituellement omme notations

u(t)

et

y(t)

respe tivement pour les entrées et les sorties, et on notera pour lesétats

x(t)

,

z(t)

ou

ς(t)

et . selon les as. En pratique,lenombre de sorties mesuréesest sou-ventinférieur à elui desétats du système. La on eptiond'un estimateur d'état dansun adre déterministe,appelé généraleme nt observateur, sefait souvent par unalgorithme ré ursif (pour é onomiserlamémoire de al ul),telquel'erreurd'estimation onvergeasymptotiquement (par-foisexponentiellement )verszéroquand

t → ∞

[2022℄.Typiquement,lesystèmedynamiqueest dé ritparunmodèlesousformed'équationdiérentielleoudediéren ed'étatetd'uneéquation algébriqued'observation. Considérons lemodèle dynamiquegénéral suivant :



˙x = f (x, u)

y = h(x, u)

(1.1)

on her he à on evoir unestimateur del'état

x(t)

dusystème auvude la onnaissan e des entrées

u(t)

et des sorties

y(t)

. Plus pré isément, on désire é rire et algorithme sous la forme d'un systèmedynamique:



˙

w = W (w, u, y)

ˆ

x = ψ(w, u, y)

(1.2)

tel que l'erreur d'estimation

x(t) = ˆ

˜

x(t) − x(t)

onverge asymptotiquement vers zéro quand

t → ∞

Pour les systèmes linéaires, la propriété d'observabilité, ara térisée par une ondition de rang,garantit eneetlapossibilitéde on evoirunobservateur. Au ontraire,pourlessystèmes non linéaires, l'observabilité n'est pas susante pour la on eption d'un algorithme ré ursif permettant d'estimer l'état. Il en résulte que la on eption d'observateurs pour les systèmes non linéaires est souvent menée pour des lasses spé iques.Généralement, l'observabilité d'un système non linéaire dépend des entrées appliquées. On dit que le système est uniformément observableouobservablepourtouteentréesi ettepropriétéestvériéepourtoutuappartenant à un ensemble de ommande

U

. D'un point de vue mathématique, ette propriété est bien évidemmentnon-générique.Cependantdenombreuxsystèmesnonlinéairesphysiqueslavérient. 1.2.2 Observateurs pour les systèmes linéaires

Pourlessystèmeslinéaires,l'observabiliténedépendpasdel'entréeappliquée

u(t)

.En onsé-quen e, siun systèmeest observable pour l'entrée nulle (

u(t) = 0∀t ≥ 0

),alors il est observable pour toute entrée. Pour e as bien étudié, il existe des algorithmes parfaitement développés, dits observateurs detype Kalman-Luenberger.

Ce type d'estimateurs s'applique aux systèmes linéaires observables entièrement, ou obser-vables partielleme nt mais tels que tous les ples de la partie inobservable sont stables. On dit alors que le système est déte table. Dans un adre déterministe, le hoix du gain (qui règle la dynamique de l'observateurpar retour de sortie) n'est pasunique. En pratique,le hoix sefait en fon tionde lavitessede onvergen e désirée.Par ontre, dansun adresto hastique, oùl'on suppose que ladynamique du système et les mesures sont ae tées par desbruits entrés dont on onnaît les statistiques,il existe ungain optimal unique qui minimise lavarian e de l'erreur d'estimation. L'estimateur ainsiobtenu porte lenomde ltre deKalman.

1.2.3 Observateurs pour des systèmes non linéaires

Pour lessystèmes non linéaires,il n'existepasde solutiongénérale. Une desdi ultés théo-riques de la synthèse d'observateurs est due à l'existen e d'entrées rendant le système inob-servable, qui est un phénomène typique dans un adre non linéaire. Les premières solutions théoriques proposées pour les systèmes non linéaires onsistaient souvent à se ramener d'une façon ou d'une autre aux systèmes linéaires et à appliquer des estimateurs de type Kalman-Luenberger [7,8,23,24℄. Pluspré isément,il s'agitde :

 revenirparun hangementde oordonnéesnonlinéaireouparuneimmersionàunsystème linéaire moduloune inje tionde sortie.

 revenirparun hangement de oordonnéesnonlinéaireouparuneimmersionàunsystème bilinéaire, ou linéaire variant dansletemps, moduloune inje tionde sortie.

Leprin ipalin onvénientde esméthodesestqu'ellesnes'appliquentquesousdes onditions très restri tives, notamment la linéarisabilité par hangement de oordonnées non linéaire. On peutnotamment onsulter[8℄pourles onditionsdelinéarisationetle hangementde oordonnées orrespondant. Ces méthodes nesont pasappli ablesà laplupart dessystèmes nonlinéaires.

Aussiutilise-t-onenpratiqueleltredeKalmanétenduetsesvariantes[4,11,12℄. Rappelons-lebrièvement,étantdonné lesystèmedynamiquenon linéaire (1.01),leltrede Kalmanétendu orrespondant s'é rit :







˙ˆx = f(ˆx, u) − Sh

∗

_(ˆ

_{x, u)}

T

_R

−1

_(ˆ

_{y − y)}

˙

S = Sf

∗

_(ˆ

_{x, u)}

T

_{+ f}

∗

_(ˆ

_{x, u)S − Sh}

∗

_(ˆ

_{x, u)}

T

_R

−1

_h

∗

_(ˆ

_{x, u)S + Q}

ˆ

y = h(ˆ

x, u)

(1.3) où

f

∗

(x, u) =

∂f (x, u)

∂x

(1.4) et

h

∗

_{(x, u) =}

∂h(x, u)

∂x

(1.5)

Les matri es

Q

et

R

sont des paramètres de on eption qui s'interprètent respe tivement ommelesvarian esdesbruitsdedynamiqueet d'observation. Pourunsystèmelinéaire,leltre deKalmanétendu oïn ideave leltredeKalmanoptimal.Leprin ipalin onvénientdultrede Kalmanétenduestlemanquederésultats on ernantsastabilité.Deplus,surleplanpratique,il divergeparfois.Cependant,dansdenombreusesappli ations, ildonnedesrésultatssatisfaisants. Entrelesméthodesquisontthéoriquementjustiéesmaisdi ilement appli ables,ou appli- ablesenpratiquemaisnonjustiéesthéoriquement,J.P. Gauthier,H.Hammouriet S.Othman ont proposé dans [13℄ un algorithme raisonnableme nt appli able, dont la onvergen e est prou-véethéoriquement,appeléobservateuràgrandgain,pourdessystèmesnonlinéairesobservables pour toute entrée. Il existe aussi des observateurs impli ites sous forme d'équations algébro-diérentielles[25℄.

1.2.4 Filtrage dans le adre sto hastique

Leproblèmedultrage onsiste àestimerl'étatd'un systèmedynamiqueau vud'une modé-lisation et desobservations bruitées. Les ontribution s de [26,27℄ ont révolutionné lathéorie de l'estimation en fournissant le premier algorithme de ltrage ré ursif. Le ltre de Kalman-Bu y permet en eet le al ul e a e du ltre optimallorsque les modèles d'état et d'observation ne fontintervenirquedesfon tionslinéairesenl'étatetdesbruitsadditifsgaussiens.Pourleltrage nonlinéaire,iln'yapasdesolutiongénérale.Enpratique,lesingénieurs ontinuentàutiliserdes versionsdérivéesdu ltre de Kalman-Bu y, omme leltre de Kalman étendu, qui est basésur lalinéarisationdumodèleautourdel'estimée ourante[4,11,12℄. Ilestpeu oûteuxentemps de al ul et donne de bonnes performan es pour des systèmes à non linéarités modérées.Mais dès queles non-linéarit és deviennent trop fortesou s'il estmal initialisé, leltre deKalman étendu peut fournir desrésultatsaberrants.

Dans les appli ations du ltrage, on requiert souvent l'approximation de quelques moments et la lo alisation des modes de la densité de l'estimée. Dans e ontexte moins ambitieux, les méthodes de Monte Carlo, basées sur la simulation d'un grand nombre de variables aléatoires, semblent intéressantespourtraiter leproblèmede ltrage.Leurutilisationestjustiéepar laloi des grands nombres qui permet d'appro her une mesure de probabilité lorsque l'on en onnaît un grand nombre d'é hantillo ns. Il existe aussi des méthodes dites parti ulaire s, basées sur le prin ipe deMonte Carlo. L'idée estd'appro her laloi onditionne lle de l'étatsa hant les obser-vations à l'aide d'une mesure dis rète pour pondérer un é hantillon de points qui hange après haque instant d'observation. L'ensemble de tous esé hantillons de points est appelé système departi ules. Cesméthodesparti ulaire s onsistent àfaireévoluer,dansletemps, lesystèmede parti ulesenfon tiondeladynamiquedupro essusd'état etdesobservations.Pourleltre par-ti ulaireave intera tions, lesparti uleslesplusvraisemblablessontrégulièreme nt séle tionnées alors queles autres sont éliminées[28℄.

1.3 Observateurs adaptatifs pour des systèmes paramétriques Pour les systèmes faisant intervenir des phénomènes bien onnus, les lois physiques sont utilisées pour la modélisation, telles que les lois de Newton et d'Ohm, ou en ore les lois de onservations de l'énergie et de lamatière. Les modèles ainsiobtenus sont souvent paramétrés, par exemple,par desvaleursde masseou derésistan e éle trique.

La lassedemodèles orrespondantàdiérentesvaleursdeparamètres estditeparamétrique. Pour les modèles paramétriqueson aparfoisbesoin d'estimer onjointement l'étatet les pa-ramètres in onnus.Untelalgorithmeportelenomd'observateuradaptatif [68,10℄.Onsuppose souventqueles paramètres in onnus sont onstants[29℄, e qui estraisonnable dansdeux situa-tions pratiques: soitles paramètres varientlentement,soitils sont onstantspar mor eauxave de rares sauts.

Uneidéenaturellepour on evoirunobservateuradaptatifestde onsidérerlesystèmeétendu en rajoutant les paramètres dans leve teur d'état. Onpeut alors appliquer le ltre de Kalman (ou le ltre de Kalmanétendu dansle asnon linéaire) dansle adre sto hastique [4,11,12℄ou desobservateurs dansle adre déterministe.L'in onvénient prin ipalde etteappro he estqu'il estdi ile d'analyserla onvergen e de l'algorithme.

1.3.1 Observateurs adaptatifs pour des systèmes linéaires invariant dans le temps

La on eption d'observateurs adaptatifs est étudiée depuis les années 70 pour des systèmes linéairesinvariantdansletemps.Dans[5℄,unobservateuradaptatifestproposéave une adapta-tiondesparamètresintégrantl'erreurdesortie.Puisilaétéproposétroisobservateursadaptatifs à onvergen e exponentielle [6℄, ha unbasé surlaminimisation d'un ritèrespé ique.

Les appro hes plus ré entes né essitent de transformer les systèmes en une ertaine forme anonique, typiquement :



˙z(t) = A

0

z(t) + Bu(t) + γξ

T

(t)θ

y(t) = c

0

z(t)

(1.6) ave la matri e

A

0

et le ve teur ligne

c

o

(lasortie

y(t)

étant supposée s alaire) sous une forme spé ique,

γ

unve teur olonne,

ξ

T

_{(t) ∈ R}

p

Notonsqueleve teurdeparamètres

θ

ae tel'équationd'état parleproduits alaire

ξ

T

_(t)θ

,i.e. l'équationd'état estlinéaire en leparamètre.

Cette forme anonique ne semblepas appropriéepour étendre les algorithmes aux systèmes linéairesvariant dansletemps ou non linéairesnon-linéarisables.

1.3.2 Observateurs adaptatifs pour les systèmes linéarisables

Desrésultatsexistants on ernant dessystèmesnon linéairessont intrinsèquementasso iésà uneforme anonique( ommelesméthodespré édentespourdessystèmeslinéairesinvariantdans letemps), éventuellement aprèsunetransformation de oordonnées nonlinéaire etune inje tion desortie [7,8,10℄. Typiquement,pour dessystèmes mono-sortie, le systèmetransformé est sous laformesuivante :



˙z(t) = A

0

z(t) + φ(u(t), y(t), t) + γξ

T

(t)θ

y(t) = c

0

z(t)

(1.7) où

φ

estune fon tion nonlinéaire onnue de

u(t)

,

y(t)

et

t

.

Dans [30℄, desrésultats sur la on eption d'observateurs adaptatifs à onvergen e exponen-tiellesont présentéset l'observateur de [30℄est revisitédans[31℄ quant à sarobustesse.

1.3.3 Observateurs adaptatifs basés sur l'existen e d'une fon tion de Lyapu-nov

Dans [9,10℄, des algorithmes ont été proposés pour estimer asymptotiquement l'état malgré les paramètres in onnus. Deplus, siune ertaine onditiond'ex itation persistante est vériée, ilspermettent aussil'estimation desparamètres.

Leur on eptionsupposel'existen ed'unefon tiondeLyapunov.Pluspré isément,dans[10℄, aété onsidéré lesystèmenon linéaire général anepar rapport auxparamètres :



˙x = f (x, u, t) + g(x, u, t)θ

y = h(x)

(1.8)

ave

θ

un ve teur deparamètres onstants in onnus. Supposons que

x = [y z]

T

pour un ertainve teur olonne

z

,éventuellement aprèsun han-gement de oordonnés. Pour e système, s'il existe dans

C

1

une fon tion positive dé roissante

V (t, e)

,etunefon tion

k(e

y

, t)

bornéeparrapportà

t

etave

k(0, t) = 0

,tellesque

∀u ∈ U

(l'en-semble desentrées admissibles),

∀e = [e

y

e

z

]

T

∈ R

n

ave

e

y

∈ R

p

,

∀y ∈ R

p

_{, ∀σ ∈ R}

n−p

_{, ∀t ≥ 0}

:

(1)

∂V

∂t

+

∂V

∂e





f (y, σ, u, t) − f(y, σ − e

z

, u, t)+

(g(y, σ, u, t) − g(y, σ − e

z

, u, t))θ+

k(e

y

, t)





≤ −α kek

2

,

α > 0

(1.9)

et,pour une ertainefon tion

φ

,

(2)

∂V

∂e

g(y, σ, u, t) = φ(e

y

, y, σ, u, t)

(1.10) et

(3)

g

est globalement bornée,

f

et

g

sont globalement lips hitziennes par rapport à

z

, pour tout

(u, y, t)

alors

d

dt



ˆ

y

ˆ

z



= f (y, ˆ

z, u, t) + g(y, ˆ

z, u, t)ˆ

θ + k(ˆ

_{y − y),}

x =

ˆ



ˆ

y

ˆ

z



(1.11) et

˙ˆθ = −Λφ

T

_(ˆ

y − y, y, ˆz, u, t),

Λ

T

= Λ > 0

(1.12) représentent un observateurasymptotique d'état.Deplus, si

g(x, u, t)

est telque

Z

t+T

t

g

T

_{(x(τ ), u(τ ), τ ) · g(x(τ), u(τ), τ)dτ ≥ α}

0

I

d

(1.13) pour des onstantes positives

α

0

,

T

et tout

t ≥ 0

, et si

g

estbornée, alors

lim

t→∞

θ(t) − θ

ˆ

= 0

(1.14)

En pratique, une telle fon tion de Lyapunov, sur laquelle repose ette méthode, n'est pas fa ileàtrouver, equi limite sonappli ation.La on eptiond'observateurs adaptatifsbasée sur l'existen ed'une fon tionde Lyapunova aussiétéétudiée dans[9℄.

1.3.4 Observateurs adaptatifs pour les systèmes linéaires variant dans le temps

Dans [14,19℄, a étéproposée une nouvelle méthode de on eptiond'observateurs adaptatifs pourlessystèmeslinéairesvariablesdansletempsetmulti-entréemulti-sortie.C'estuneméthode on éptuell ement simple et e a e enterme de al ul.

Dansle asoùlesystème onsidéréestsansbruitet sesparamètres in onnus sont onstants, la onvergen e globale et exponentielle pour l'estimation onjointe de l'état et des paramètres est établie[3235℄. En présen e d'erreurs de modélisationet de bruitsde mesures,bornés et de moyenne nulle, il est démontré que les erreurs d'estimation onjointe sont bornées et que leurs moyennes onvergent exponentiellement verszéro.

Par rapportauxméthodespré édentes, elle- ine demande au une forme spé iquedu sys-tème et s'applique naturelleme nt aux systèmes linéaires variant dans le temps et multi-sortie. Nousle rappellerons plus loin et plusen détails, omme un desrésultatsde basené essaire aux études de ette thèse.

1.4 Diagnosti de pannes

La omplexité et la produ tivité roissantes des ma hines et installations modernes font roître lapossibilitéd'apparition de pannes, qui sont ara tériséespar des hangements plusou moins ritiques et imprévus dans le omportement des systèmes. La surveillan e de pro édés industriels peut aider à améliorerl'e a ité et laabilité par desmesures deprévention.

Les méthodes desurveillan e de systèmesdynamiques peuvent être lasséesendeux atégo-ries: ellesdudomainedel'intelligen earti ielleet ellesbaséessurlesméthodesanalytiquesde

l'automatique, du traitement du signalet de lastatistique. Dans ette thèse nousnous on en-trons sur la se onde, dite aussi méthode basée sur des modèles, ar elle né essite un modèle mathématique dusystèmesurveillé.

Laplupartdesméthodesdesurveillan esedé omposentendeuxétapes:générationet évalua-tionderésidus.Unrésiduestunsignalgénéréàpartirdesmesuresetd'unmodèlemathématique. Idéalement,unrésidu doitresterà zéroenl'absen e depanneset s'éloignersigni ativement de zéroenprésen edepannes.Ce in'estpossiblequesilamodélisationdusystèmeestextrêmement pré ise. Ave des erreurs de modélisation et de bruitsde mesures,un résidu ne peut pas rester identiquementàzéroenl'absen edepannes.Ilenrésultequel'évaluationderésidu n'estpasune tâ hetrivialeetuneappro hepossibleestdelaformulerdansun adrestatistique.L'appli ation de méthodes statistiques né essite des modèles sto hastiques dé rivant les in ertitudes on er-nées. Typiquement, ladéte tion et lediagnosti depannes additivesdansles systèmes linéaires sont onsidérés dans un adre entièrement sto hastique ave une théorie assez omplète. Dans d'autres situations, en parti ulier en présen ede nonlinéarités, l'appro he entièrement sto has-tiqueestextrêmement di ile,ladéte tionetlediagnosti depannessont alorssouventétudiés dansun adre déterministe.

1.4.1 Génération de résidus

La générationde résidusexploite d'une ertainemanière laredondan e analytiqueentredes variables mesurées et dé rites par unmodèle mathématique.Pour un modèled'état ou d'autres modèles faisant intervenir des variables non dire tement mesurées, l'existen e de es variables in onnuesest ladi ulté prin ipale dansla on eptionde générateurde résidus.

a) Pour les pannes additives dans les systèmes linéaires

Nous résumons quelques résultats bien établis pour les systèmes linéaires invariant dans le temps.Lesméthodesexistantes, quisontappli ablesetn'ont pasbesoind'autreshypothèsessur le omportement despannes qued'être bornées,peuvent être lasséesen deux atégories : elle basée sur les équations de parité [36℄ et elle basée sur les observateurs [37℄. Il en existe aussi baséessur lesfon tions detransfert quisont équivalentesauxdeux atégories i-dessus[38℄.

1.Méthode basée sur les équations de parité

Nousexpliquonsbrièvementl'idéeprin ipaledesrelationsdeparité.Supposonsquenvariables physiques représentées par

x ∈ R

n

sont mesurées par m apteurs représentés par

x ∈ R

m

ave larelation onnue

y = Cx

(1.15)

où

C

est une matri e

m × n

de rang olonne plein. Si

m > n

, il y a des redondan es entre les apteurs.Nouspouvonsdon trouverunematri e

V

dedimension

(m − n) × m

derangligne pleinqui satisfait

V C = 0

. Alorslarelation

y = Cx

impliqueque, pour tout

x ∈ R

n

,

V y = 0

(1.16)

Laviolationde etteéquationparlesmesures

y

impliquel'apparitiond'unepanne.Ave ette matri e

V

, lerésidu

r = V y

peut être onçu pour déte terles pannes, et larelation

V y = 0

est appelée équationde parité.

Quand ilya plusieurs pannes

y = Cx + E

1

f

1

+ · · · + E

p

f

p

(1.17) où

f

1

, · · · , f

p

représentent les pannes possibles,

E

1

, · · · , E

p

sont des matri es onnues, alors les degrésde liberté dansle hoixde

V

peuvent êtreutiliséspour on evoirdesrésidusqui sont insensibles à ertaines pannes, e qui permet de réaliserl'isolationde pannes.

Pourlessystèmeslinéairesdynamiques,enplusdelaredondan e instantanéeentre apteurs, on peut aussiutiliserla redondan etemporelledé rite par desmodèles dynamiques[36,39℄.

2. Méthode basée sur les observateurs

L'idée fondamentale des appro hes basées sur les observateurs ou ltres est de prédire la sortie du système à partir des variables mesurées (ou une partie de es variables) soit par un observateurdeLuenbergerdansle adredéterministesoitparunltredeKalmandansle ontexte sto hastique.Unrésidupeutêtre onçu ommel'erreurdesortiepondérée(oul'innovationdansle adresto hastique).Laexibilitéde esappro hesrésidedansle hoixdugaindesobservateurs. Il est utile de formuler la on eption d'observateurs dans un adre général an d'exploiter les degrés de liberté dans la on eption pour générer des résidus robustes aux perturbation s. Considérons lemodèled'état ontinuen temps :



˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.18)

Pour la surveillan e, e qui nous intéresse est d'estimer la sortie par un observateur; par ontre, l'estimation du ve teur d'état n'est pas né essaire. Il en résulte qu'un observateur fon -tionnelestappropriépour ette tâ he.Onveut estimerune fon tionlinéairedel'état, i.e.

Lx(t)

, en utilisant unobservateurde Luenberger fon tionnel (ou généralisé)sous laforme



˙z(t) = F z(t) + Ky(t) + Ju(t)

w(t) = Gz(t) + Ry(t) + Su(t)

(1.19)

où

z = T x

ave une ertaine matri e de transformation

T

. Pour que

w(t)

soit une estimée asymptotiquede

Lx(t)

enl'absen e de pannes, i.e.

lim

t→∞

[w(t) − Lx(t)] = 0

(1.20) Les onditions né essaires et susantes sur les matri es de on eption

F, K, J, G, R, S

et

T

sont [39,40℄ :























F

eststable

T A − F T = KC

J = T B − KD

RC + GT = L

S + RD = 0

(1.21)

Dans le but de générer des résidus, posons

L = C

et

y(t) = w(t) + Du(t)

ˆ

. Alorsles résidus sont obtenus par :

r(t) = Q [y(t) − ˆy(t)]

(1.22) où

Q

estune matri e de pondération hoisie.

3.Isolation de pannes

La déte tion de pannes est souvent suivie d'une pro édure d'isolation de pannes, qui sert à distinguer (isoler) une panne parti ulière . Un seul résidu peut sure pour déte ter les pannes, ependant plusieurs résidus (ou un ve teur de résidus) sont souvent requis pour l'isolation de pannes.

Ilest lairquelesrésidusprésentés i-dessusdépendent engénéraldetouteslespannes.Pour isoler des pannes, il est possible d'exploiter les degrés de liberté dans le hoix des matri es de on eption pour réaliser des résidus qui ne sont ae tés que par un sous-ensemble despannes. Delamême manière, onpeut aussi on evoirdesrésidus robustesauxperturbations.

-Résidusdire tionnels Plusgénéraleme nt, pourisolerlespannes,ilestpossiblede on evoir pour haquepanneparti ulière desrésidusdire tionnelsquirestentdansunedire tionspé ique del'espa edesrésidus. Ave lesrésidusdire tionnels,leproblèmedel'isolationde pannesestde déterminer elledontlesrésidusgénéréssontlespluspro hesparmitouslesrésidusdire tionnels. Commealgorithmes on rets,lesltresde déte tiondepannes[41℄,reformulésplustardpar [42℄,àl'aided'uneappro hematri ielle,sontune lasseparti ulièred'observateursdeLuenberger d'ordre omplet ave un gain spé ial tel que l'erreur de sortie a une dire tion unique asso iée à ertaines dire tions de pannes onnues. Plus pré isément, lerésidu d'un ltre de déte tion de pannes est xé selon une dire tion prédétermin ée pour une panne d'a tionneur ou reste dans unespa e spé iquepour une panne de apteur. Puisquel'information importante requise pour isolerlespannesest omprisedansladire tiondurésidupluttquedanssavariationtemporelle, les ltres de déte tion de pannes de Beard ne requièrent au une onnaissan e sur les prols temporelsdepannes. Le problèmedel'isolationde pannesseramène à omparerladire tion de résidusave lesdire tions depannes prédénies.

-Résidus stru turés Uneautreappro hepourisolerlespannesestde on evoirunensemble derésidusstru turés, haquerésidu étant onçupour êtresensibleàun sousensembledepannes maisreste insensible auxautres. Une telle on eption onsiste en deux étapes: lapremière est de spé ier la relation de sensibilité et insensibilité entre résidus et pannes d'après la tâ he d'isolation désirée, et la se onde est de on evoir un ensemble de générateurs de résidus selon ette relation de sensibilité et insensibilité. L'avantage est que l'analyse du diagnosti revient simplement à déterminer lesquelsde esrésidus sont non-nuls.

Par une interprétation géométrique,Massoumnia [43,44℄a redéni leproblèmefondamental degénérationderésiduspourlessystèmeslinéairesinvariantsdansletemps.Une ondition né es-saireetsusantepour résoudre e problèmeestétablie. Unefoisque ette onditionestvériée, unalgorithme onstru tif peut s'appliquer au diagnosti de pannes. Defaçonsimilaire, sousdes onditions exprimées en terme de géométrie diérentielle, pour des systèmes non linéaires ave despannesadditives,lamême pro édureaétéétudiée[24℄.Pour essystèmes,uneméthodolog ie omplète de on eption est di ile à obtenir du fait qu'un observateur asymptotique ne peut

être onçu que pour des lasses spé iques de systèmes. Dans [45℄, pour le as des systèmes bilinéaires, les auteurs ont déterminé la ondition né essaire et susante pour l'existen e des générateurs de résidus, quiest unegénéralisation de [44℄.

b) Pour des pannes non-additives

La déte tionetlediagnosti depannesnon-additives,même danslessystèmes linéaires,sont plusdi iles qu'ave lespannes additives. Peude résultatsexistent pour de tels problèmes.

1. Méthode par l'estimation de paramètres

Les pannesnon-additives sont souvent modélisées omme des hangements de paramètres du système. Une idée naturelle est d'utiliser des méthodes d'estimation de paramètres [46,47℄, par l'identi at ion de système en-ligne ou par des observateurs adaptatifs. Nous pouvons ee tuer la surveillan e en omparant les valeurs de paramètres estimées en-ligne ave leurs valeurs no-minales, qui sont supposées onnues et ara térisent le mode sain (en absen e de pannes) de fon tionnement dusystème.

Les in onvénientsprin ipaux sont les suivants:

1. l'estimation de paramètres demande souvent une ertaine ondition d'ex itation persis-tante.Durant lefon tionnement normal dusystème, ette ondition peut ne pasêtre tou-jours satisfaite, e qui peut rendre inappli able l'appro he d'estimation des paramètres in onnus,

2. en présen e des bruits de modélisation et d'observation, il n'est pas fa ile de déterminer parmi les paramètres lesquelsont ee tivement hangé,

3. lesalgorithmesd'identi ationen-lignesontsouvent onçuspourdesmodèlesentrée-sortie. Au as où la modélisation est dans l'espa e d'état, où des variables d'état ne sont pas dire tement mesurées, la on eptiond'un algorithme pour estimer en-ligne les paramètres devient beau oup plusdi ile.

Il est extrêmement di ile d'étudier les systèmes non linéaires dans le adre sto hastique. La plupart desméthodes onnues de génération derésidus sont don développées dansle adre déterministe, equientraînelemanquede onnaissan esurlespropriétésstatistiquesdesrésidus générés.

Une des di ultés pour générer desrésidus est due à l'existen e de variables non mesurées dans des systèmes surveillés. Typiquement, il y a deux appro hes pour traiter es in onnues : élimination et estimation. Nousles présentonsséparément.

2. élimination des variables in onnues

La relation de parité pour les systèmes dynamiques linéaires est en eet obtenue par l'élimi-nation desvariables d'état non-mesurées. Il estnaturel de l'étendre auxsystèmes non linéaires. On sait que l'élimination des variables in onnues peut être réalisée systématiquement pour les systèmes nonlinéaires polynmiaux [4850℄.

Cetteméthodepermetdetraiterunensembled'équationsalgébro-diére nt iellespolynmiales sousforme :

f

i

(x(t), u(t), y(t), θ, p) = 0,

i = 1, 2, · · · , r

(1.23) où

u(t)

estl'entrée,

y(t)

lasortie,

x(t)

lesvariablesinternesin onnues,

p

l'opérateurdiérentiel temporel,et

f

i

unpolynmeparamétré par

θ

en

x(t)

,

u(t)

,

y(t)

et

p

.

Le problèmeprin ipal estd'éliminer lesvariables in onnues

x(t)

pardesmanipulatio ns d'al-gèbrediérentielle.Selon[50℄,aprèséliminationde

x(t)

, lemodèlepré édent estéquivalent àun modèleentrée-sortie :

g(u(t), y(t), θ, p) = 0

(1.24)

ave

g

un polynme, s alaire ou ve toriel. On peut générer des résidus omme

r(t) =

g(u(t), y(t), θ, p)

. Toutefois, e résidu n'est e a e que si les pannes paraissent dans le modèle omme des termes additifs. Pour les pannes non-additives, il est re ommandé de générer des résiduspar :

r(t) =

1

2

∂

∂θ



g

T

_{(u(t), y(t), θ, p) · g(u(t), y(t), θ, p)}



(1.25) soit

r(t) =

 ∂g(u(t), y(t), θ, p)

∂θ



T

g(u(t), y(t), θ, p)

(1.26) Les résidus ainsiobtenus ont l'avantage d'être de lamême dimension que

θ

, quelle quesoit ladimension de

g

.

L'éliminat iondesvariablesin onnuesestsouvent obtenueau prixde dérivéesd'ordresélevés de

u(t)

et

y(t)

. Sesavantages onsistent en sonappli abilit é àune large lasse de systèmes non linéairesd'unepart;eten son ara tèresystématiqued'autre part.Sesin onvénientsprin ipaux sont : l'algorithme d'élimination génère souvent des polynmes extrêmement volumineux; la dérivation numérique esttrès sensibleauxbruitsdemesures; ennles résidusainsigénéréssont souvent mal onditionné s numériquement à ause despolynmes dedegrés élevés.

3.Estimation des variables in onnues

Au lieu d'éliminer lesvariables in onnues, nous pouvons lesestimer à l'aide d'un observateur dansle asdéterministe [5153℄ou d'unltredansle assto hastique[54℄pourla on eptionde résidus. On onsidèrelemodèle d'état général :



˙x = f (θ, x, u)

y = h(θ, x, u)

(1.27)

ave

f

et

h

deuxfon tionsnon linéairesparamétrées par

θ

.

Onsupposequ'unobservateurestdisponible(bienque esoitloind'êtrele aspourlaplupart dessystèmesnon linéaires) :

˙ˆx = ˆ

f (θ, K

0

, ˆ

x, u(t), y(t))

(1.28) ave

ˆ

f

une fon tion non linéaire et

K

0

ontenant tous les paramètres de réglage de l'obser-vateur. L'observateur est onçu pour assurerla onvergen e asymptotique de l'estimée d'état

x

ˆ

vers le vrai état

x(t)

quand

t → ∞

. Une prédi tion de sortie à partir de l'estimée d'état

x

ˆ

est alors donnée par

ˆ

y = h(θ, ˆ

x, u)

(1.29)

On peut naturelleme nt générer desrésidus omme

r(t) = ˆ

_{y(t) − y(t)}

(1.30)

il estre ommandé de générer lesrésidus omme [55℄ :

r(t) =

1

2

∂

∂θ

h

(y(t) − ˆy(θ))

T

(y(t) − ˆy(θ))

i

(1.31) ou

r(t) = −

 ∂ˆy(θ)

_∂θ



T

(y(t) − ˆy(θ))

(1.32)

Le al ul desrésidus requiert ladérivée

∂ ˆ

y(θ)

∂θ

qui satisfait

∂ ˆ

y(θ)

∂θ

=

∂

∂ ˆ

x

h (θ, ˆ

x, u)

∂ ˆ

x

∂θ

+

∂

∂θ

h (θ, ˆ

x, u)

(1.33) ave

∂ ˆ

x

∂θ

al uléepar

d

dt

 ∂ˆx(θ)

∂θ



=

∂

∂ ˆ

x

f (θ, K

ˆ

0

, ˆ

x, u, y)

∂ ˆ

x

∂θ

+

∂

∂θ

f (θ, K

ˆ

0

, ˆ

x, u, y)

(1.34) Cette dernière est obtenue en dérivant l'observateur. La dérivée

∂ ˆ

x(θ)

∂θ

doit être bornéepour quel'algorithme soitutilisable en pratique.Cependant, ilest di ile degarantir théoriquement ettestabilité.Dansle asoùlesystèmeestlinéaire,l'analysedelastabilitédevientunproblème lassique.

En omparaisonave laméthoded'élimination, etteméthodeal'avantaged'êtreplusrobuste auxbruitsd'observation, et elle permet également de on evoirsystématiquement desrésidusà partir d'unobservateur. Sonin onvénient prin ipalestdûau manquedeméthodegénéralepour la on eption d'observateur. Puisque l'observateur est basé sur le modèle nominal, les résidus ainsigénérés possèdentun ara tère lo al.

1.4.2 Evaluation de résidus

Bienqu'ilsoit onnuqueleproblèmedeladéte tionetdudiagnosti depannessedé ompose endeuxétapes(lagénérationetl'évaluationderésidus),beau oupdepubli ationssur esujetse fo alisent surlapremière étape.Nousrésumons i ideuxméthodesstatistiques pour l'évaluation derésidus:lapremières'appliqueauxrésidusave des ara téristiquesstatistiquesbien onnues et lase onde ave trèspeude onnaissan e statistique.

a) Pour les résidus ave les propriétés statistiques bien onnues

Typiquement,pourlessystèmeslinéairesave pannesadditives,onpeut on evoirdesrésidus ave les propriétés statistiques bien onnues. L'évaluation de es résidus s'ee tue souvent en temps dis ret. Supposonsqu'une suite de valeursdesrésidus

r(t)

,

t = 1, 2, 3, · · ·

;est disponible, qui peut être générée par un modèle en temps dis ret ou par unmodèle en temps ontinu puis

é hantillonn é. An d'appliquerles testsd'hypothèse, il faut onnaîtreladensité de distribution deprobabilité desrésidus.Noussupposonsd'abordqueladensitéest onnuepourlemodèlesans panneet ave pannes, puisseulement pour le modèlesans panne.

1.Densité de probabilité onnue pour le modèle sans panne et ave pannes Notons

H

0

l'hypothèse sans panneet

H

1

l'hypothèse ave une panneparti ulière.

Notons

r

k

1

laséquen ederésidusdel'instant1jusqu'àl'instant

k

,àsavoir

r(1), r(2), · · · , r(k)

. Notons aussi

p

0

(r

k

1

)

et

p

0

(r

k

1

)

lesdensités sous

H

0

et

H

1

respe tivement.

Supposons qu'une de es deux hypothèses est vraie pour tous les instants

t = 1, 2, · · · , k

. Nouspouvonsalors formuler letest dulog-rapportde vraisemblan e

S



r

₁

k



= log

p

1

r

k

1

p

0

r

k

1

(1.35) Il aété démontréque

E

h

S



r

k

₁



_|H

0

i

=

Z

S



r

₁

k



p

0



r

₁

k



dr

k

₁

< 0

(1.36)

E

h

S



r

k

₁



_|H

1

i

=

Z

S



r

₁

k



p

1



r

₁

k



dr

k

₁

< 0

(1.37) évidemment,ladé isionentreleshypothèse

H

0

et

H

1

peutsefaireselonlesignede

S(r

k

1

)

.En pratique,ladé isionestfaiteenle omparantàunseuil hoisi

λ

: si

S(r

k

1

) ≥ λ

,alors l'hypothèse

H

1

est dé idée; sinon 'est l'hypothèse

H

0

. Le hoix d'un seuil

λ

est lié au ompromis entre la probabilité de fausses alarmes

P

F

et la probabilité de déte tion

P

D

dénies respe tivement omme :

P

F

(S, λ) =

Z

S

(

r

k

1

)

≥λ

p

0



r

k

₁



dr

₁

k

(1.38)

P

D

(S, λ) =

Z

S

(

r

k

1

)

≥λ

p

1



r

₁

k



dr

k

₁

(1.39) Un grand seuil onduit en général à une petite probabilité de fausses alarmes, et également unepetite probabilité de déte tion.

2.Densité de probabilité onnue seulement pourle modèle sans panne

Il est plus réaliste de supposer que la densité de probabilité est onnue seulement pour les modèles sans panne du fait qu'en pratique, ladensité est rarement omplètement onnue pour lesmodèlesave pannes.Supposonsqueladensitédesrésidussoitparamétréepardesparamètres in onnus. Pour une séquen e

r

k

1

, notons

p

θ

(r

k

1

)

la densité de distribution paramétrée, et

θ

0

la valeurnominale de

θ

.Dans e ontexte,nouspouvonsappliquerlelog-rapportdevraisemblan e généralisé

S



r

k

₁



= max

θ

log

p

θ

r

1

k

p

θ

0

r

k

1

(1.40)

Il est omparé à un seuil pour prendre une dé ision entre les hypothèses

H

0

(θ = θ

0

)

et

b) Pour les résidus ave peu de propriétés statistiques onnues

Endehorsdu asdessystèmeslinéairesave pannesadditives,lesrésidussontsouventgénérés ave peudepropriétés statistiques onnues.Lesméthodespré édentesd'évaluationderésidusne fon tionnent plus, ilestdon trèsimportant dedévelopper uneméthoded'évaluationderésidus plusappli able. D'oùl'utilité de laméthode lo aleasymptotique.

Supposons ungénérateur derésidus souslaforme :

 ˙ξ(t) = φ (θ

0

, ξ(t), u(t), y(t))

r(t) = ψ (θ

0

, ξ(t), u(t), y(t))

(1.41) où

ξ(t)

estunve teurdevariablesauxiliaires,parexemple,l'estiméedel'étatpourlesmodèles d'état.

Poursimplier, notons

Z(t)

l'ensembledessignaux

ξ(t)

,

u(t)

et

y(t)

.Nousré rivonslerésidu

r(t) = γ (θ

0

, Z(t))

(1.42)

où

γ

esten généralune fon tionnonlinéaire. Supposonsque e résidu possède peu de ara -tères statistiques onnus.

é hantillonnons

Z(t)

àl'instant

t = 1, 2, · · · , N

et dénissons

ζ

N

(θ)

=

∆

1

√

N

N

X

t=1

γ (θ, Z(t))

(1.43)

ζ

N

(θ)

est appelé un ve teur de résidus normalisé, qui a de bonnes propriétés statistiques [56,57℄, tandis que

r(t)

est unrésidu primaire.

Nous rappelonsles hypothèsessurlesquellesrepose laméthode lo ale asymptotique. On supposequeles résidusé hantillonn és

r(t)

sont stationnaires et que

E (γ (θ

0

, Z(t)) |θ = θ

0

) = 0

(1.44)

E (γ (θ

0

, Z(t)) |θ ∈ U (θ

0

) \ {θ

0

}) 6= 0

(1.45) ave

U (θ

0

)

un voisinagede

θ

0

. L'espéran e mathématique dépend desparamètres

θ

, par qui

Z(t)

estgouverné. Ceshypothèses impliquent queles résidus

r(t)

doivent en moyenne êtrezéro en l'absen e depannes, maiss'éloignent de zéroen présen ed'unepanne faible.

Nous supposonsaussiquela matri ede sensibilité

M (θ

0

)

= E

∆



∂

∂θ

γ (θ, Z(t))



θ=θ

0

|θ = θ

0

!

(1.46) existe et est derang olonne plein,et que lamatri e de ovarian e

X

θ

0

= lim

∆

N →∞

E ζ

N

(θ

0

) ζ

T

N

(θ

0

) |θ = θ

0

(1.47) existe et est déniepositive.

Considéronsdeux hypothèses

(

H

0

: θ = θ

0

H

1

: θ = θ

0

+

√

η

_N

(1.48) où

η

est unve teur in onnu demême dimension que

θ

.

H

0

estl'hypothèsesans panneet

H

1

l'hypothèse de pannesfaiblespour unegrande longueur d'é hantillo n

N

. La diéren e entre es deuxhypothèsesestsupposéeproportionnelleà

1/

p

(N )

and'établirlethéorèmelimite entrale. Sousleshypothèsespré édentesetdes onditionste hniquesdemélange,quand

N → ∞

,lerésidu normalisé

ζ

N

(θ

0

)

tend vers unve teur aléatoire gaussien

1 :

ζ

N

(θ

0

) →



N (0,

P (θ

0

))

sousH

0

N (−M (θ

0

) η,

P (θ

0

)) sousH

1

(1.49) Il est à noter que sous les deux hypothèses

H

0

et

H

1

, la distribution limite de

ζ

N

(θ

0

)

est gaussienne ave la même matri e de ovarian e, mais de moyennes diérentes. Le problème de ladéte tion et dudiagnosti de pannes est asymptotiquement équivalent à la véri ation de la moyenne d'un ve teur aléatoire gaussien. Il en résulte que, peu importe omment le résidu est généré,sileshypothèsespré édentessontsatisfaites,alorsl'évaluationderésiduspourladéte tion etlediagnosti depannesfaiblespeutêtrerésolue ommeunproblèmedetestd'hypothèsesdans le adregaussien.

Le résultat pré édent est obtenu dans le as où le système est dé rit omme un pro essus de Markov stationnaire et observable omplètement [58℄. Pour le as de diusions observables partielleme nt, [59℄traiteleproblèmedegénération derésiduset proposeuneapproximationdes résidus à l'aide du ltre parti ulaire . Son évaluation, ave les petits bruits asymptotiques, est largement étudiée dans[60℄.

1.5 Con lusion

Pour la on eption d'observateurs adaptatifs pour une lasse de systèmes dynamiques non linéaires,nousavonsmontré ommentellepeutêtreappliquéeàlagénérationderésidus permet-tantainside résoudreleproblème de ladéte tionet du diagnosti depannes.

Pour la surveillan e de systèmes dynamiques, déterministes ou sto hastiques, il existe une grandevariétédeméthodespourgénéreretévaluerdesrésidus.Pourlespannesadditivesdansles systèmesd'état linéairesinvariant dansletemps,lagénérationet l'évaluationde résidusont été largement étudiées, tant dupoint de vue déterministe que sto hastique.En revan he, en e qui on erne lespannes non-additives, même pour les systèmesd'état linéaires, lesrésultats onnus sontmoins abondants. La situationest en oremoins orissante pour lessystèmes nonlinéaires. Toutefois,quelquesméthodesexistent pour générerdesrésidusdans e as,et laméthode lo ale asymptotiquepermet d'évaluer esrésidussous l'hypothèse de faible amplitude despannes.

1

Te hniques de déte tion de rupture

2.1 Introdu tion

Depuis les années 70, la déte tion de rupture ou hangement brusque a donné lieu à de nombreux travaux [46,6164℄ dansdes domaines d'appli atio ns très variées omme exemple, le ontrle des systèmes dynamiques [21,6572℄, la déte tion de défauts ou pannes des systèmes ontrlés [68,7385℄, le diagnosti biomédi al [86℄, letraitement de laparole pour la re onnais-san e[87℄,letraitement d'image [88,89℄ et letraitement adaptatif dusignal [61,62,90101℄.

Le but poursuivi dans l'ensemble de es travaux est d'ee tuer un diagnosti . La stratégie d'implantation de l'outil de diagnosti est un hoix entreles te hniquesanalytiques et les te h-niquesbasées surlemodèle de onnaissan e faisantappelauxsystèmesexpertsetàl'intelligen e arti ielle.Cesdiérenteste hniquesontpourbutdegénéreretévaluerlesrésidusetdoivent satisfaireauxexigen esde robustessepar rapportauxin ertitudes de modèle.

Ces te hniques de diagnosti de défaut pour la modélisation et/ou le ontrle de systèmes fortement non stationnaires et/ou non linéaires omprenant de fortes in ertitudes de modélisa-tion et/ou de biais importants de apteurs, peuvent se faire par diérentes appro hes, parfois omplément aires, dans les domaines fréquentiel et paramétrique omme, lathéorie des graphes (graf etet réseauxdePétri),lalogiqueoue,l'intelligen earti ielle,les réseauxneuronaux,les systèmes experts, laredondan e analytique, l'optimisation par multi ritere, l'appro he logique, lathéorie

H

∞

,lathéoriedesobservateursadaptatifsnonlinéairesin onnus,l'identi at ion para-métriqueet lestestsstatistiques.Dans e qui suit,lapro édurede déte tionestétablie, ensuite deste hniquesde déte tion derupture sont présentées...

2.2 Analyse de la déte tion de rupture

Pour réaliseree tivement une déte tion, il faut toutd'abord dénir un événement porteur de l'information de rupture, qui sera l'indi ateur de ette dernière. Cet événement onstitue le signalInformationSI.Etpourprendreen ompteee tivement etterupture,la onnaissan ede l'instantdesonarrivéeouinstantderupture estné essairepourpro édersoitàune ompensation par adaptation ( as denouveau omportement : non stationnarité), soit àune re ti ation ( as de défaut). La dé ision de l'existen e ou non d'une rupture né essite un test de dé ision établi selonunerègleà onstruire, equirevientàee tueruntestd'hypothèse,quidansun assimple, peut seramenerà :

H

1

: il y a rupture

L'environnem entautourde esdeuxhypothèsesn'étantpas ertain,onpeutnoterquelaprisede dé isionsurl'existen eounondelaruptureetl'in ertitudeautourde etteinformationjustient l'utilisation d'un environnement probabiliste. Comme nousne onnaissons pasàpriori l'instant derupturenoté

t

r

etl'amplitudede larupture,nousdevonsprendreen ompte laprobabilité de leur o urren e. On dénit alors un intervalle de onan e pour la prise de dé ision et le hoix entre lesdeux hypothèsesde rupture ou de non rupture.Ce qui permet d'établir des méthodes statistiques de déte tionde rupture[102℄.

Nous présentons le test d'hypothèse et l'intervalle de onan e , puis nous développons les inq étapesprin ipales qui onstituent ladéte tionde rupture,à savoir :

1. établir le test d'hypothèse, 2. générer lesignal information SI, 3. déte ter l'instant derupture, 4. estimer l'amplitude derupture, 5. ompenser la rupture.

2.3 Tests d'hypoyhèses

Pour extraire les informations et ee tuer les inq étapes pré édentes, nous avons à notre disposition une série d'observations qui peuvent être ables ou non. Ces observations

y

N

sont ellesd'uneréalisationd'unsignalaléatoire.Lesproblèmesdedéte tionsontbasésessentiellement surdestestsd'hypothèses. Soit

H

0

, ..., H

n

,

n

hypothèseséquiprobablesou nonintervenant dans lefon tionnementd'unsystème.Ondisposed'uneséried'observations

y

i

etdesloisdeprobabilité desobservations onditionné es par les hypothèses

H

i

(gure2.1).

Fig. 2.1: Espa ed'observationdivisé en

n

sousespa es

E

i

.

L'apparten an e à une lasse

E

i

(hypothèse

H

i

) est déterminée par l'observation

y

i

et le positionnementde epointdansl'espa e

E

.Si

yi ∈ Ei

,l'hypothèse

H

i

est hoisie.Ce hoixest-il bon ou mauvais? Comme à haque instant

k

, une seule mesure

y

i

est disponible, on ompare

y

i

ou une fon tion de

y

i

à un seuil qui dépend de

P (y

i

/H

i

)

, la probabilité onditionne lle de l'observation

y

i

à l'hypothèse

H

i

.

Un problème detest estdit identiablesi

Si le hoix

H

i

est bon,la déte tion est orre te, si le hoix

H

i

est mauvais,on est en présen e soitd'unefausse alarme,soit d'unerupturenon déte tée.Pour xerlesidées, onsidérons le as dedeux hypothèses

H

0

et

H

1

. Déte ter une rupturerevient àee tuer letest d'hypothèse :

H

0

: il n′ y a pas de rupture

H

1

: il y a rupture

A eshypothèses,sontasso iéeslesprobabilités onditionnelles

p(y/H

0

)

et

P (y/H

1

)

;suivant quele hoix sefait surl'une ou l'autredeshypothèsesalors qu'une seule desdeuxest vraie, les quatresituationssuivantes peuvent seprésenter:

 Cas

A

00

:

H

0

vraie,

H

0

hoisie, pasderupture, bonne dé ision;

 Cas

A

10

:

H

0

vraie,

H

1

hoisie, il existe une rupture, mauvaise dé ision, fausse alarme (FA); erreur detype I;

 Cas

A

11

:

H

1

vraie.

H

1

hoisie, ilexiste une rupture,bonne dé ision;

 Cas

A

01

:

H

1

vraie,

H

0

hoisie, pasderupture,mauvaisedé ision, pasdedéte tion(ND); erreur de type II.

Ces quatre as admettent respe tivement les Probabilit és Conditionne lles (P.C.) de l'obser-vation :

P =

R

_E

0

p (y/H

0

) dy

P

F A

=

R

E

1

p (y/H

0

) dy

P

D

=

R

_E

2

p (y/H

1

) dy P

N D

=

R

E

3

p (y/H

1

) dy

(2.2) et peuvent être illustréspar lagure (2.2):

Fig. 2.2:Testd'hypothèse.

Lesquatre as

C

ij

pré édentsmontrentquelesperforman esdudéte teurvontêtreobtenues parl'intermédiairede ompromisentreletauxdefaussesalarmes,lavitessededéte tion,la sen-sibilitéauxrupturesoutauxde nondéte tion.L'optimalitédutest estobtenuepourdeserreurs de type I et II, asymptotiquement nulles. Il existe plusieurs façons de traiter les tests d'hypo-thèses. Parmi elles, on peut iter le test de Bayes, le test de Neyman Pearson, les hypothèses multiples et leshypothèses omposites.