Stratégies numériques avancées pour la simulation de modèles définis sur des géométries de plaques et coques : solutions 3D avec une complexité 2D

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modèles definis sur des geometries de plaques et coques :

solutions 3D avec une complexite 2D

Brice Bognet

To cite this version:

Brice Bognet. Strategies numeriques avancees pour la simulation de modèles definis sur des geometries

de plaques et coques : solutions 3D avec une complexite 2D. Modélisation et simulation. Ecole Centrale

de Nantes (ECN), 2013. Français. �tel-01021762�

Brice BOGNET

!"#$%&'()&"*'+,"('+(-.'(/'(01$2,'+,%$+(du

grade de Docteur de

!"#$%!&'(&)*+,!&'-&'.,)*&/

sous 0'(032'0(/'(415niversité Nantes Angers Le Mans

École doctorale : !"#$%"$&'()*&+,-%./%#$)*0&1/(2"#$%"$20&3*"4#5$"5)*$

Discipline : Génie mécanique, productique transport

Unité de recherche : Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique - UMR CNRS 6183

Soutenue le 16/04/2013

Stratégies numériques avancées pour la

simulation de modèles définis sur des

géométries de plaques et coques : solutions

3D avec une complexité 2D

JURY

Président

:

Pierre LADEVEZE, Professeur des Universités, École Normale Supérieure de Cachan

_!

Rapporteurs :

Philippe BOISSE, Professeur des Universités, INSA Lyon

Aziz HAMDOUNI, Professeur des Universités, Université de La Rochelle

Examinateurs :

Alain CIMETIÈRE, Professeur des Universités, Université de Poitiers-ENSMA

Invités :

Sylvain CHATEL, Ingénieur R&D, EADS France Innovation Works

Adrien LEYGUE, Chargé de recherche CNRS, École Centrale Nantes

Directeur de Thèse :

Francisco CHINESTA, Professeur des Universités, École Centrale Nantes

Co-directeur de Thèse :

Arnaud POITOU, Professeur des Universités, École Centrale Nantes

!

Enpremierlieu,jetiensàremer iertoutparti ulièrement mondire teurdethèseF

ran- is o (Pa o) Chinesta, Professeur à l'É ole Centrale de Nantes pour m'avoir guidé dans

e travail de re her he. Le simple remer iement à titre professionnel n'est pas susant

tant les qualités humaines, l'énergie, la disponibilité et la bonne humeur ommuni ative

de Pa o sont pré ieuses dans un laboratoire. Je remer ie parti ulièrement Arnaud Poitou

o-dire teurde ettethèse,dire teurdulaboratoireGeM,puisdire teurdel'É oleCentrale

Nantes,poursesinterventionsextrêmementbénéquesetsavisiontrès lairedesproblèmes

traitésau oursde ettethèse.Jeremer ieaussi haleureusementAdrienLeygue,Chargéde

Re her hesCNRS auGeMeten adrant de e travail,pour sasympathie, sadisponibilité,

sagrandeexpérien edanslarésolution deproblèmes numériques,etsonaidepré ieuse au

quotidien.Je remer ie laFondation EADSqui ànan éma thèsevia laChaire Advan ed

Modelling ofComposites Manufa turing Pro esses.

Je remer ie MessieursAziz Hamdouni et Philippe Boisse professeursrespe tivement à

l'université de La Ro helle et à l'INSA de Lyon pour leur ex ellente analyse du rapport

etleur remarques tout aussi onstru tives lors de laprésentation orale. Je remer ie aussi

Monsieur Alain Cimetière, professeur à l'université de Poitiers-ENSMA d'avoir parti ipé

au jury,ainsiqueMonsieurPierre Ladevèzed'avoirassurélaprésiden e dujury.

Je tiens aussià remer ier Patri e Cartraud, professeur à l'É ole Centrale Nantes pour

ses interventions au début de ma thèse, ainsi qu'Eugenio Giner, professeur à l'Université

Polyte hnique de Valen e pour notre ollaboration quia engendré un arti le,sans oublier

FelipeBordeu sansquilavisualisationdesrésultatsdessimulationsdenotregroupe serait

beau oup pluslaborieuse.

Je remer ie bien haleureusement l'ensemble desmembres de l'équipe pour avoir posé

des questions, émis des interrogations et proposé de nouvelles pistes lors de nos réunions

d'équipe, ou tout simplement au détour d'un ouloir ou autour d'un afé. J'ai

parti uliè-rement appré iélabonne ambian e quirègne aulaboratoire, et je remer ie l'ensembledes

membres de l'équipe tant pour leurs qualités humaines que s ientiques. Je remer ie

par-ti ulièrement Anaïs,Chady,Thomas, Fabien, José-Vi ente, Loï etévidement Felipe pour

lesmomentsquenousavonspasséàtravaillerensemble.Je remer ieaussiparti ulièrement

Ni olas,FelipeetAdrienquim'ontinitiéauxlogi ielsetsystèmesd'exploitationlibresdont

jene peuxplus mepasseràl'heurea tuelle,sans oublierlesautres personnesave qui j'ai

ohabitédanslebureau:Hajer,Xiaoli,Ni olas,FabienetPrabu.J'exprimeégalement ma

gratitude envers Pierre-Émannuel et Éri qui font toujours leur maximum pour répondre

état de fon tionnement. Je remer ie bien sur les autres membres de l'équipe ave qui j'ai

passédutempsaulaboratoireetàl'extérieurdulaboratoire:Chrystelle,Anne-Sophie,

Em-manuelle, Violette, Pierre, Sébastien, Christophe, Bertrand, Erwan, Mi hel, Jean-Mi hel,

Jean-Christophe, Domeni o, Benedi t, Thibault,Raphaël ettous eux que j'ai oublié qui

mepardonneront j'espère.

Enn,jeremer iel'ensembledemafamille,quim'atoujoursen ouragéettrès

spé iale-mentmafemme Gabriellequim'aaidéà orrigerlesinnombrables oquillesprésentesdans

Introdu tion i

1 Résolution de problèmes 2D 1

1.1 Contexte. . . 3

1.2 Résolutiond'unproblème 2D . . . 3

1.2.1 Formulation duproblème . . . 3

1.2.2 Séparationdesvariables d'espa e . . . 5

1.2.3 Résolution . . . 8

1.2.4 Résultats . . . 11

1.2.5 Convergen e. . . 12

1.3 Appli ationsetlimitations . . . 15

2 Résolution de problèmes 3D 17 2.1 Diérentes séparationspossibles. . . 19

2.1.1 Séparationdu 3Dvers3 problèmes 1D . . . 19

2.1.2 Séparationdu 3Den2D/1D . . . 21

2.2 3Dséparé en2D/1D pour les plaques. . . 24

2.2.1 Formulation duproblème . . . 24

2.2.2 Résolution . . . 27

2.2.3 Exempleetvalidation . . . 27

2.2.4 Performan es . . . 30

2.2.5 Appli ation des onditions auxlimites . . . 32

2.2.6 Exemples . . . 35

2.3 AnalysedesmodesPGD . . . 38

2.4 Con lusion. . . 42

3 Problèmes 3D omplexes 43 3.1 Représentation enplusieurs modes . . . 45

3.1.1 Miseen équationdu problème. . . 45

3.1.2 Résolution . . . 47

3.1.3 Exemplesdesimulations dénies surdesdomaines omplexes . . . . 48

3.2 Pénalisation . . . 51

3.2.1 Présentation delaméthode . . . 51

3.2.2 Exemple . . . 53

3.3.1 Formulationetrésolution duproblème dethermoélasti ité . . . 55

3.3.2 Optimisation d'une ornière omposite . . . 56

3.3.3 Dis ussion . . . 59

4 Géométries 3D oques 61 4.1 Introdu tion :3Dséparé en2D/1D pourles oques . . . 63

4.1.1 Appro he fa etisée . . . 63

4.1.2 Appro he ontinue . . . 63

4.2 Paramétrage de lagéométrie . . . 64

4.2.1 Paramétrage de lasurfa e moyenne . . . 64

4.2.2 Paramétrage du volume etséparationdes variables . . . 64

4.3 Formulationdu problèmemé anique . . . 65

4.4 Résolution ave laPGD . . . 65

4.5 Expression dutenseur d'élasti ité pour les matériaux omposites stratiés . 67 4.6 Exemples . . . 69

4.6.1 Exemple de validation . . . 69

4.6.2 Exemple de piè e ompositestratiée. . . 72

4.6.3 Exemple de simulation surune géométrie omplexe . . . 74

4.7 Con lusion. . . 75

5 Abaques numériques 77 5.1 Paramétrisation d'uneorientation d'unpli . . . 79

5.2 Paramétrisation d'uneépaisseur . . . 82

5.3 Paramétrisation d'un oe ient matériau . . . 84

5.4 Autresparamètres additionnels . . . 86

5.5 Exemplesmulti-paramètres/Abaques numériques . . . 86

5.5.1 Piè e en matériau isotrope quel onque . . . 87

5.5.2 Étude paramétrique d'uneéprouvetteentaillée . . . 89

5.6 Post-traitement etre onstru tion . . . 91

5.6.1 Enveloppe . . . 91

5.6.2 Constru tion d'unpoint surunespa e paramétrique . . . 92

5.6.3 Re onstru tion àla voléesurune plateforme légère . . . 92

5.6.4 Optimisation . . . 93

5.7 Limitations -Con lusions . . . 94

Con lusionet dis ussion 95

Développement des opérateurs en 2D 99

Développement des opérateurs en 3D 105

Détaildes modes sur un problème de plaque 111

Bases de géométrie diérentielle 119

.1 Diérentes bases . . . 119

.1.1 Basesde lasurfa emoyenne . . . 119

.1.2 Basesdanslevolume . . . 121

.2 Formesfondamentales . . . 123

.2.1 Formesfondamentales de lasurfa e moyenne . . . 123

1 Stru tured'unavionsimpliée à extrême . . . ii

2 Diérentes é hellesde modélisation . . . ii

3 Piè evolumique etmaillages1Det2Dasso iés . . . iv

1.1 Présentation du problème àrésoudre . . . 3

1.2 Domainede résolution en variables d'espa eséparées 1D/1D . . . 5

1.3 Algorithmede résolution d'unproblème envariables séparées . . . 11

1.4 Problèmeet onditions auxlimites . . . 12

1.5 Solutionduproblème dénien 1.4 . . . 12

1.6 Erreurentre laréféren eetlasolution al ulée pour

ε

résidu

= 10

−1

. . . 13

1.7 Erreurentre laréféren eetlasolution al ulée pour

ε

résidu

= 10

−2

. . . 13

1.8 Erreurentre laréféren eetlasolution al ulée pour

ε

résidu

= 10

−3

. . . 13

1.9 Erreurentre laréféren eetlasolution al ulée pour

ε

résidu

= 10

−4

. . . 14

1.10 Erreurentre laréféren eetlasolution al ulée pour

ε

résidu

= 10

−5

. . . 14

1.11 Erreuren densitéd'énergie de déformation enfon tion de

ε

résidu . . . 14

1.12 Erreuren densitéd'énergie de déformation enfon tion du nombrede modes 15 2.1 Séparationd'unproblème 3Den3 problèmes 1D . . . 19

2.2 Séparationd'unproblème 3Den2D/1D . . . 21

2.3 Séparationd'unproblème 3Den2D/1D surune poutre . . . 22

2.4 Séparationd'unproblème 3Den2D/1D surune plaque . . . 23

2.5 Problème3D . . . 24

2.6 Géométrie3D etles maillages 2Det1Dasso iés. . . 25

2.7 Dénitiondu problèmeutilisé pour lavalidation. . . 28

2.8 Erreurrelative en densitéd'énergie de déformation . . . 29

2.9 Erreurrelative en ontrainte de Von Mises . . . 29

2.10 Dis rétisationsdesproblèmes 3D, 2Det1D . . . 30

2.11 Comparaisondestemps de résolution . . . 31

2.12 Nombrede modesdanslasolution . . . 32

2.13 Contrainte de VonMisessurlaplaque . . . 32

2.14 Conditionsauxlimites detype Neumann surune fa esupérieure . . . 33

2.15 Conditionsauxlimites detype Neumann surune fa elatérale . . . 33

2.16 Conditionsauxlimites detype Neumann surune fa elatérale . . . 34

2.18 Premier mode pour imposerune ondition deDiri hlet . . . 35

2.19 Dénition du problèmede mé anique surlaplaque trouée . . . 36

2.20 Dépla ement en

x

et ontrainte

σ

zz

surlaplaque trouée . . . 37

2.21 Contrainte

σ

zz

au voisinagedu trou. . . 37

2.22 Stru ture raidie . . . 38

2.23 Maillage 2Dpourrésoudre leproblèmede lagure2.22 . . . 38

2.24 Dénition du problèmesurlaplaque en forme deL . . . 39

2.25 Mode 1 . . . 40

2.26 Mode 2 . . . 41

2.27 Mode 3 . . . 41

2.28 Évolution del'angle entreune bre etlasurfa e moyenne . . . 42

3.1 Représentation 3Dre onstruite de

K

i

ij

(x, y, z)

. . . 45

3.2 Valeursde omposantesdes

K

i

xy

ij

et

K

i

z

ij

. . . 46

3.3 Stru ture 3Denforme de aisson . . . 48

3.4 Indi atri e utilisée pour dénir laraideur . . . 48

3.5 Champ de ontrainte 3Dsurlastru ture en aisson . . . 49

3.6 Maillage 2Dpourle problèmede plaque raidie. . . 49

3.7 Maillage 2Dpourle problèmede plaque raidiepar raidisseur ourbe . . . . 49

3.8 Déformée de laplaque raidie. . . 50

3.9 Déformée de laplaque raidiepar unraidisseur ourbe. . . 50

3.10 Maillage 3Dre onstruitd'une ellulede nidd'abeille . . . 50

3.11 Déformée de laplaque ensandwi h ompositeet nidd'abeille . . . 51

3.12 Condition de Diri hlet surun domaine quel onque . . . 52

3.13 Dénition de problème . . . 54

3.14 Contrainte de Von Misessurlapiè e déformée. . . 54

3.15 Cornière omposite . . . 57

3.16 Détail du maillage2Dutilisé pour l'optimisation de la ornière . . . 57

3.17 Déformée de la ornièreà

90

◦

. . . 59

4.1 Représentation dis rétisée de la oque . . . 63

4.2 Paramétrage de lasurfa e moyenne . . . 64

4.3 Paramétrage du volume . . . 65

4.4 Dénition d'unese tion duproblème onsidéré . . . 69

4.5 Représentation 3Ddes troismaillagesutilisés . . . 70

4.6 Dépla ementradialenfon tiondurayonpourles3maillages(2D/1Det3D) etpour lasolution analytique . . . 71

4.7 Mode 1pour la omposante

u

al ulée surleMAILLAGE3 . . . 71

4.8 Mode 1pour la omposante

v

al ulée surleMAILLAGE 3 . . . 72

4.9 Mode 1pour la omposante

w

al uléesur leMAILLAGE3 . . . 72

4.10 Base lo ale orthonormée . . . 73

4.11 Dépla ement radialle longd'unrayon . . . 73

4.12

ε

rr

le longd'unrayon . . . 74

4.14

ε

xx

surlapiè e . . . 75

4.15 Dépendan e en

ζ

de la omposante

u

du dépla ement pour les trois points dénissur lagure4.14 . . . 76

5.1 Exemplede astraité :plaque stratiéeparamétrée . . . 79

5.2 Coe ients dutenseur des oe ients élastiquesen fon tion de l'angle

θ

l

. . 81

5.3 Coe ients dutenseur des oe ients élastiquesen fon tion de l'angle

θ

l

. . 81

5.4 Déforméede lapiè e enfon tion de l'empilement . . . 82

5.5 Présentation du problème àépaisseur paramétrée . . . 83

5.6 Déforméede l'éprouvetteentaillée pour 3valeursde l'épaisseur . . . 84

5.7 Coe ients dutenseur des oe ients élastiques

K

ν

en fon tion de

ν

. . . . 85

5.8 Déforméede l'éprouvetteentaillée pour 3valeursdu oe ient de poisson . 86 5.9 Géométriede lapiè e utilisée . . . 87

5.10 Des riptiondu hargement surlapiè e paramétrée . . . 88

5.11 Optimisationde lapiè e par post-pro essing . . . 88

5.12 Piè eoptimisée pour deux matériauxdiérents . . . 89

5.13 Extension virtuelledu segment

∆

s

de lassure pourl'intégration de

J(s)

. 90 5.14 Inuen edu oe ient de Poisson surl'intégrale

J

. . . 91

5.15 Inuen edel'épaisseur sur l'intégrale

J

. . . 91

5.16 Enveloppe desdéforméesde lapiè e . . . 92

5.17 Dépla ement d'un oinpourtout l'espa eparamétrique

(θ

1

, θ

4

)

. . . 92

5.18 Re onstru tionà lavoléed'une solutionparamétrique . . . 93

5.19 Diérentes sousstru turations pour l'optimisation . . . 96

20 Mode 3 . . . 111 21 Mode 4 . . . 111 22 Mode 5 . . . 112 23 Mode 6 . . . 112 24 Mode 7 . . . 112 25 Mode 8 . . . 113 26 Mode 9 . . . 113 27 Mode 10 . . . 113

28 Représentationdel'élémentparentainsiquedesfon tionsdeformeséléments nis . . . 116

29 Représentation delabase ovariante surun quart detore . . . 120

30 Représentation delabase ontravariantesur unquart de tore . . . 120

31 Représentation delabase lo aleorthonormée surun quart de tore . . . 121

32 Champ métriquesurune portion de ylindre. . . 124

2.1 Paramètres géométriques et oe ientsmatériau . . . 36

3.1 Coe ients matériauutilisés pour un pli omposite . . . 58

3.2 Paramètres géométriques utiliséspourla ornière . . . 58

4.1 Paramètres géométriques et oe ientsmatériau . . . 69

4.2 Nombre d'éléments dans les diérentes dire tions pour les trois maillages utilisés . . . 70

4.3 Coe ients matériaud'unpli omposite . . . 72

4.4 Valeursdesdimensionsgéométriques . . . 75

5.1 Dimensions del'éprouvette etintervallesde valeurs . . . 84

Les matériaux omposites, dont lafaible masseest un atout, représentent une part de

plus en plusimportante en massedans la on eption desaéronefs a tuels, et plus

généra-lementdanslestransports(transportnaval, ferroviaire,aéronautique, ...)etledomaine de

l'énergie(éolienne,...).Auseindesmatériaux omposites,lesmatériauxstratiés omposés

de plis de matri e thermoplastique ou thermodur issable renfor és par des bres longues

(deverre oude arbone)gurent parmi les plusutilisés.

L'utilisationmassivede esmatériauximpliquedenombreux hangementsauniveaude

la haînede on eptiondesproduitsparrapportauxsolutions métalliques,historiquement

pluslargement déployées.

 Le nombre de variables de on eption augmente très largement : en plus du

tradi-tionnel hoix dumatériau,vient s'ajouterle hoixdesorientationsdesplis,ainsique

leurséquen ed'empilement.Deplus, pourlastrati ation d'unepiè e onstituée de

plusieurs zones entre lesquellesl'empilement évolue, la omplexité de l'optimisation

de l'agen ement desempilements entre eux ombinée à lare her he de lafa ilité de

miseen ÷uvre omplique davantage le problème de la détermination de la solution

optimale,qui n'estde plus pasunique.

 Le omportementdesmatériauxest omplexe:l'étatde ontrainterésidueldespiè es

fabriquées dépend de nombreux fa teursdépendant desvariablesde on eption, des

paramètresetdesvariabilitésdanslepro édédefabri ation.Deplus,lesmé anismes

dedégradationetdevieillissementdumatériauinuen ent ensuitefortementle

om-portement de lapiè e pendant sesdiérentesphases de vie.

Un autre hangement majeurindépendant del'essordes matériaux ompositesauquel

nous assistons est la né essité de réduire le oût et le temps de on eption des produits.

Pour ette raison, les nombreux essais sur prototypes de piè es, assemblages, et même

produits omplets, extrêmement oûteux en temps, en argent et en matériel doivent être

rempla és par des simulations numériques. Il s'agit don de onserver uniquement des

essaissuréprouvettes pour ara tériser lesmatériaux, etee tuer dessimulations pour les

piè es et les stru tures. La stratégie de on eption s'oriente vers le virtual testing. Par

onséquent, ilestné essaire dedévelopperdesoutilsde simulations performants etables

an de substituer les optimisations à base de simulations aux essais-erreur sur piè es et

stru turesréelles.

L'objet de ette thèse est de mettre en pla e des stratégies de al ul e a es pour

répondreà ette né essité.

plaques,de oquesoud'assemblages deplaquesetde oques.C'estd'autant plusvraidans

le as de piè es pour l'aéronautique. La gure 1 illustre de façon extrêmement simpliée

maisnéanmoinsvrai etaspe t.

Figure 1  Stru ture d'unavion simpliée à extrême :grande majorité de plaques etde oques

L'obje tifdes travaux développés i iest triple:

 être apable d'ee tuer des simulations pertinentes pour la fabri ation etle

dimen-sionnement de plaquesetde oquesen matériaux omposites,

 proposer des outils de hoix des variables de on eption et d'optimisation de es

piè es,

 prendre en ompte les sour es de variabilité du pro édé pour en évaluer les

onsé-quen es entermes detoléran e géométrique et derésistan e despiè es.

Les phénomènes qui entrent en jeu lors de la mise en forme des piè es omposites (à

matri e thermoplastique ou thermodur issable) sont susamment onnus pour permettre

desimuler lafabri ationde tellespiè es. L'obje tifde e travailne portepassurla

modé-lisation de es phénomènes, maisplutt surles moyensde les prendreen ompte de façon

e a e.Cependant esphénomènes(prin ipalement himiques,thermiquesetmé aniques)

interviennentlo alementsurdesstru turespossédantdeslongueurs ara téristiquesd'ordre

degrandeur très diérentspour despiè es omme desplaques etdes oques.

PSfragrepla ements

É helle desbres

É helle desplis

É helle de lapiè e

Figure 2  Diérentes é hellesde modélisation

Pour prendre en ompte de façon pertinente les phénomènes quiinterviennent lors de

lamiseen forme,ilfaut utiliserune modélisation àl'é helle adéquate.

La modélisation à l'é helle des bres (gure 2) semble inenvisageable pour une piè e

va-riabilités sont extrêmement nombreuses à ette é helle (distribution des bres aléatoire,

présen esde vides, ...).

Lamodélisationàl'é helledelastru tureesttropgrossière, arlaspé i itédu

ompor-tement desmatériaux omposites qui provient de l'asso iation deplusieurs plis fortement

anisotropesorientésdiéremmentseretrouvetotalement masquée:leseetsde ontraintes

internes inter-laminaires, essentiellespour déterminerles ontrainteset ladéformation

ré-siduelle d'unepiè e sont indisponiblesà etteé helle.

Finalement, la modélisation à l'é helle des plis semble idéale pour la on eption de

piè es omposites. Ave ette appro he, haque pli du stratié est modélisé omme un

milieu ontinu,on a don a ès à tousles hamps par plis ainsique l'évolution de eux- i

dansl'épaisseur même desplis.

Par ailleurs, nous souhaitons introduire des paramètres additionnels dans les

simula-tionspourprendreen onsidérationdiérentsparamètres de on eptionsoudessour esde

variabilités.Ce ientraîneuneaugmentationdeladimensiondel'espa esolution,etdénit

ainsi e quel'on appelle une abaque numérique.

Méthodes numériques

L'obje tif estd'ee tuer dessimulationsnumériquessurdespiè es ompositesde type

plaques ou oques. La littératureest très ri he dans e domaine. Un état del'art omplet

surles méthodesde résolution des problèmes mé aniquesn'est pasenvisagé i i. Seules les

méthodes lesplus largement utilisées sont mentionnées i-dessous.

Parmi lesméthodesexistantes, ilexiste :

 les appro hes analytiques [Pagano, 1970, 1969; Timoshenko et Woinowsky-Krieger,

1959℄. Ces méthodes fournissent des solutions analytiques à des problèmes simples,

maisselimitent à dessolutions pour desplaques re tangulaires ou ir ulaires. Elles

manquent deexibilitéetsontpar onséquentinadaptéespourle al uldestru ture.

 lesméthodesnumériquesutilisantlaméthodedesélémentsnis3D[Zienkiewi zetal.,

2005; Ramtekkar, 2003℄. In onvénient majeur : es méthodes sont très gourmandes

enressour es arla3Dimpliqueuneexplosionrapide dunombrededegrésdeliberté

quandlataille duproblème augmente.

 les méthodes numériques utilisant la méthode des éléments nis 2D basés sur des

théories de plaques : ave ou sans isaillement, ave ou sans ontrainte normale :

Love-Kir hho, Reissner-Mindlin, Timoshenko, Woinowsky-Krieger [Timoshenko et

Woinowsky-Krieger, 1959; Hildebrand et al., 1949; Reissner, 1977, 1979℄... Les

mé-thodes basées sur les théories de plaques peuvent être anées dans le adre des

stratiéspour prendre en ompte l'eet de l'empilement. Parmi elles- i,on trouve

lesméthodeszig-zagetleurs dérivées [Xiaoet al.,2008;Carrera,1996;Reddy,2004;

O hoa et Reddy, 1992; Pandit et al., 2008; Semedogar ao et al., 2004; Umasree et

Bhaskar, 2006℄, sinus [Vidal et Polit, 2009℄, et autres méthodes multi ou hes : [

Vi-dalet Polit, 2009; Ugrimov, 2002℄. Ces solutions peuvent être enri hies pour mieux

prendreen ompte les eetsde bords ou autressingularités [Sheng, 2002;Vel,2000;

Les méthodesbasées surdes théories de plaques reposent généralement sur une

hy-pothèse surle hamp de dépla ement et/ou de ontrainte, elle- i pouvant être plus

ou moins pertinente selon les as et l'empla ement du point onsidéré sur la piè e

(eets de bords, ...). De plus, si l'on souhaite enri hir lasolution pour apturer des

eets 3Ddus à une singularité, il faut dé ider à priori où les pla er, e qui pénalise

larobustessede laméthode.

Les di ultés majeures pour les méthodes 2Drésident dans ladi ulté d'assemblage

entrestru tures,lareprésentationdeseetslo auxainsiquelapossibilitédereprésenterdes

physiques ri hes. Pour ela, nousavons hoisiune appro he 3D : elle- i estextrêmement

robustedufaitdel'absen ed'hypothèsesetd'enri hissement àpla er àpriori.Leseetsde

bords, singularités... sont automatiquement apturés arle modèle estde type mé anique

desmilieux ontinus 3D.

Cependant, les modèles 3D sont très gourmands en temps de al ul. Ainsi, nous

uti-liserons une méthode de rédu tion de modèle : la séparation des variables d'espa e et la

résolution parlaméthodePGD(ProperGeneralizedDe omposition) [Ammaretal.,2006;

Chinestaet al.,2010℄.

Introdu tion à la PGD (Proper Generalized De omposition)

L'appro he retenue est d'ee tuer des simulations 3D et d'utiliser la méthode de

ré-du tionde modèle PGD(ProperGeneralized De omposition) [Ammaret al.,2006℄. Cette

méthode onsiste à her her la solution du problème en l'exprimant sous la forme d'une

sommeniede produits defon tions desdiérentesvariables duproblème.

Le as de géométries de type plaquesest parti ulièrement adapté pour une telle

sépa-rationdevariables.Eneet,lamajorité desplaquesstratiéessontd'épaisseur onstante:

l'empilement desplis estidentique surtoutela surfa ede laplaque.

Cette ara téristique autorise don à her her la solution sur la plaque sous la forme

d'une somme de produits de fon tions du plan etde fon tions de l'épaisseur. La solution

re her hée sera don de laforme :

u(x, y, z) =

PN

i=1

u

i

xy

(x, y) ◦ u

i

z

(z)

où

u

i

xy

(x, y)

estune fon tion ve torielle dénie dans le plan (gure 3), et

u

i

z

(z)

est une fon tion ve torielle déniedansl'épaisseur.

Figure 3 Piè e volumique etmaillages1Det2Dasso iés

Unetelleappro he estintéressante, arlasolution3Dest obtenueenrésolvant

unique-ment desproblèmes 1Det 2D.Ce formalisme rappelle nalement les théories des plaques

originelles(Love-Kir hho,Reissner-Mindlin),quidénissentlasolution ommeleproduit

Eneet esthéoriesdeplaquessontbaséessurune hypothèse inématique dedépla ement

linéaire dansl'épaisseur. L'avantage majeurde larédu tion de modèles en variables

sépa-rées, 'est que la forme des fon tions de

(x, y)

et de

z

n'est pas dénie à priori. Au une hypothèse inématique n'est don réalisée.

Les al uls3Dréalisésenvariablesséparéesprésentent don uneapproximation

supplé-mentaire par rapport à de véritables al uls 3D, ar leur solution est représentée par une

sommeniedeproduitsdefon tionsduplanetdel'épaisseur.L'espa edessolutions dela

PGD est une proje tion de l'espa e dessolutions éléments nis 3Dsur un sous-espa e de

dimension inférieure.

Cependant, ommeilseramontrédans edo ument,lapré isiondelasolution al ulée

par la méthode proposée est ontrlée via ertains paramètres. Notons que l'espa e des

solutions PGD tendversl'espa e des solutions éléments nis 3Dsi lenombre de produits

defon tionstendversleproduittensorieldesbases onsidéréesdans haquedimension.En

pratique,surunmodèledis rétisé,lasolution PGDtendassezrapidement verslasolution

élémentsnis 3Ddis rétisée demanière équivalente.

La te hnique de la séparation des variables permet de réduire la dimensionnalité des

problèmes à résoudre. Des paramètres additionnels pourront don être ajoutés dans des

dimensionsparamétriques sansfaire exploser le oûtde résolution du problèmedu fait de

ette représentation séparée. Ce iande onstruire desabaquesnumériques.

Organisation du do ument

Pour des raisons de simpli ité des notations et pour ne pas alourdir ex essivement

les é ritures, la méthode de résolution en variables d'espa e séparées sera tout d'abord

expli itée en détail pour des problèmes 2D, séparés en deux sous-problèmes 1D dans le

hapitre 1.À lasuite d'une brève présentation desdiérentes manières dedé omposer un

problème 3D, le hapitre 2 est onsa ré à larésolution de problèmes 3Ddé omposés sous

la forme 2D/1D. L'ensemble des développements à propos des problèmes 3D, plus lourds

au niveau desnotations, seront présentés en annexe5.7.

Le hapitre 3 fournit quelques ompléments et te hniques supplémentaires pour la

ré-solutionde problèmes 3Dsousla forme2D/1D.

Dansle hapitre5,le on eptd'abaquenumériqueseraprésenté,ainsiqu'uneextension

de la méthode PGD permettant de onstruire es abaques ontenant une solution dénie

dansunespa e spatio-paramétrique de dimension élevée.

La méthode de séparation des variables plan/hors plan sera enn étendue au as des

piè esdetype oques dansle hapitre 4,avant deprésenterles on lusionsetperspe tives

Résolution de problèmes mé aniques

2D ave la méthode PGD en

variables d'espa e séparées

Sommaire

1.1 Contexte. . . 3

1.2 Résolution d'un problème2D . . . 3

1.2.1 Formulationduproblème . . . 3

1.2.2 Séparationdesvariablesd'espa e . . . 5

1.2.3 Résolution. . . 8

1.2.4 Résultats . . . 11

1.2.5 Convergen e . . . 12

Dans ettepartie,nousétudierons omment résoudreunproblème d'élasti itéplaneen

utilisant une méthode de résolution de type PGD, basée sur la séparation des variables

d'espa e. Les détails de laméthode sont présentés i i de façon à introduire le on ept de

laséparationdes variables d'espa esur les asles plussimples.

Nousverronsdon dans e hapitre ommentrésoudreunproblème2Denespa e

(x, y)

sousformed'une su essiondeproblèmes 1Dsuivant haque oordonnée. Le problème2D

enespa e sera dé ritpar le produittensoriel de deuxproblèmes 1D. Le problème2Dsera

don dé omposéen 1D/1D.

La formulationdu problèmede mé anique sera toutd'abord présentée, elle serasuivie

de l'introdu tion de la séparation des variables d'espa e dans la stru ture du problème.

Uneméthodederésolution adaptéeau problèmeenvariablesséparéesseraensuitedé rite,

elle- i est basée sur l'utilisation de la PGD. Enn, les résultats seront présentés ainsi

qu'une analyse de la onvergen e et de la pré ision de la méthode, avant de on lure sur

1.1 Contexte

Le adre général est elui de la mé anique des milieux ontinus, plus pré isément de

lamé anique des solides. Ausein de la mé anique des solides déformables,on se pla e i i

dansle adrede l'élasti ité linéaire isotherme[Timoshenko et Woinowsky-Krieger,1959℄.

La résolutionde problèmesmé aniquesestbasée surlarésolution del'équation

d'équi-libre1.1.Larésolutiondeproblèmes d'élasti itépeutsefairedefaçonnumériqueou

analy-tique[Pagano,1970℄.Larésolutionanalytiqueestréservéàdesproblèmesdontlagéométrie

esttrèssimple.Larésolutionnumériquepermetderésoudredesproblèmesplus omplexes,

maispeutné essiter defaire un ertain nombred'hypothèsesselon letype et laspé i ité

de lastru ture onsidérée (poutres,plaques, piè esaxisymétriques, piè esmassives).

Parmi les te hniques de résolution numérique adaptées à la résolution de problèmes

mé aniques, gure la méthode des éléments nis (MEF) [Zienkiewi z et al., 2005℄.

L'en-semble des travauxprésentés dans ette thèse se pla e dansle ontextede l'utilisation de

la méthode des éléments nis pour la résolution de problèmes d'élasti ité. Les bases de

la méthode des éléments nis seront don onsidérées omme a quises et ne seront pas

expli itéesdans e do ument.

1.2 Résolution d'un problème 2D en variables d'espa e

sépa-rées

1.2.1 Formulation du problème

Considérons un domaine plan

Ω

(gure 1.1), tel que

(x, y) ∈ Ω

. La résolution d'un problèmeplan enmé anique onsiste à trouver

u(x, y)

vériant l'équation d'équilibre :

∇ · σ(u(x, y)) + f

d(x, y) = 0,

_{∀(x, y) ∈ Ω,}

(1.1) etsatisfaisant les onditions auxlimites :

σ

_{(u(x, y)) · n(x, y)= F}

d(x, y),

_{∀(x, y) ∈ ∂2}

Ω,

u(x, y)= Ud

_{(x, y), ∀(x, y) ∈ ∂1}

Ω,

(1.2)

où

n(x, y)

estlanormaleau ontour

∂

2

Ω

dirigéeversl'extérieur,et

σ

estletenseurdes ontraintes.

Ω

∂

2

Ω

∂

1

Ω

U

d

F

d

f

d

Onsedonne laloi de omportement élastique:

σ

= ˜

K

_{: ε,}

(1.3)

où

K

˜

estletenseur d'élasti ité et

ε

estladéformation linéarisée déniepar :

ε

=

1

2

(∇u + (∇u)

T

).

(1.4)

Dans la suite, pour simplier l'é riture des équations, les notations de Voigt seront

préférées.La relation de omportement 1.3 s'é ritdon omme suit:







σxx

σyy

σ

xy





 =

K

·







εxx

εyy

2.ε

xy





 ,

(1.5)

K

seraalors letenseur d'élasti itégénéralisé(d'ordre2).

Dans ettepartieessentiellementdestinéeàprésenterlaméthodedefaçonlaplussimple

possible, le matériau sera onsidéré homogène et isotrope. Le tenseur d'élasti ité

K

ne dépend don pasde l'espa e.

La résolution d'un problème mé anique 2D onduit à faire une hypothèse sur la

iné-matiqueou lastatique:

 dansle as del'hypothèse de ontraintes planes,on obtient :

K

₌

E

(1 − ν

2

₎







1 ν

0

ν

1

0

0 0

(1−ν)

₂







(1.6)

 dansle as del'hypothèse de déformationsplanes,on obtient:

K

₌

E

(1 + ν)(1 − 2ν)







1 − ν

ν

0

ν

_{1 − ν}

0

0

0

(1−2ν)

₂







(1.7)

où

E

et

ν

sont respe tivement lemodulede Young etle oe ient dePoissondumatériau onsidéré.

Pour onserver lagénéralité sans alourdir les notations, nous utiliserons dans la suite

lanotation généralesuivante:

K

₌







A B

0

B A

0

0

0

C







(1.8)

L'équation 1.1 n'est pasadaptée pour la résolution par éléments nis, nousutiliserons

partiesl'équation :

Z Z

Ω

u

⋆

_{· ∇ · σ(u(x, y)) + f}

d(x, y)

dΩ = 0,

_{∀(x, y) ∈ Ω,}

(1.9)

Aprèsutilisation duthéorèmedeladivergen eetdespropriétésde symétriesdestenseurs,

laformulation faibleasso iée àl'équation d'équilibre 1.1estimmédiatement déduite:

Z Z

Ω

(ε(u

⋆

_{) · K · ε(u))dΩ =}

Z Z

Ω

(u

⋆

_{· f}

d)dΩ +

Z

∂

2Ω

(u

⋆

_{· F}

d

)dΓ, ∀u

⋆

∈ U

⋆

.

(1.10)

Onre onnaît i il'expression duprin ipe destravauxvirtuels, oùlemembredegau he

représenteletravailvirtueldeseortsintérieursetlemembrededroitereprésenteletravail

virtuel deseortsextérieurs.

1.2.2 Séparation des variables d'espa e

La résolution en variables séparées à l'aide de la PGD [Ammar et al., 2007℄ onduit

à exprimer l'ensemble des grandeurs du modèle sous la forme de sommes de produits de

fon tions des variables que l'on a hoisi de séparer. Dans le as 2D, les variables sont les

oordonnéesspatiales

x

et

y

.Ledomainederésolution

Ω

seradon lere tanglededimension

L × H

:

Ω = [0 : L] × [0 : H]

(voirgure1.2).

PSfragrepla ements

Ω

∂

1

Ω

∂

2

Ω

Figure 1.2 Domainede résolution en variablesd'espa e séparées1D/1D

Onexprime les domainessous forme deproduits tensoriels :

Ω = Ω

x

⊗ Ωy

(1.11)

∂1

Ω = ∂1Ωx

_{⊗ ∂}

1

Ωy

(1.12)

∂

2

Ω = ∂

2

Ωx

⊗ ∂2

Ωy

(1.13)

ainsiqueles élémentsde surfa iquesetlinéiques élémentaires :

dΩ = dΩx

_{⊗ dΩ}

y

(1.14)

Onexprimera alors

u

sous laformeséparée en

x

et

y

de lafaçon suivante:

u(x, y) =

u(x, y)

v(x, y)

!

≈

N

X

i=1

u

i

_{x(x) · u}

i

y

(y)

v

i

_{x(x) · v}

i

y

(y)

!

=

N

X

i=1

u

i

_{x(x) ◦ u}

i

_y

(y),

(1.16) où 1 :

u

i

_x

(x) = u

i

x

=

u

i

x

(x)

v

i

x

(x)

!

=

u

i

x

v

i

x

!

u

i

_y

(y) = u

i

_y

=

u

i

y

(y)

v

i

y

(y)

!

=

u

i

y

v

i

y

!

Ilestégalementné essairededisposerd'unereprésentationséparéepourl'ensembledes

grandeurs dumodèle :

 Les for essurfa iques :

fd

(x, y) =

f

d u

(x, y)

f

_{d v}

(x, y)

!

≈

N

_fd

X

i=1

f

i

dux

(x) · f

duy

i

(y)

f

_dvx

i

_{(x) · f}

_dvy

i

(y)

!

.

(1.17)

An de ne passur harger l'ensembledes développements, noussupposerons dansla

suitequelesfor esdevolumiques(surfa iquesdansle as2D)etlesfor essurfa iques

(linéiquesdansle as2D)s'exprimentsouslaformed'ununiqueproduitdefon tions

de

x

et

y

.Onsedonne don lareprésentation suivante:

fd(x, y) =

f

dux

· fduy

f

dvx

· fdvy

!

= f

_{d x(x) ◦ fdy}

(y) = f

_dx

_{◦ fdy}

,

(1.18)

 Les for eslinéiques :

F

d

(x, y) =

F

_du

(x, y)

F

_dv

(x, y)

!

≈

N

_Fd

X

i=1

F

i

dux

(x) · F

duy

i

(y)

F

i

dvx

(x) · F

dvy

i

(y)

!

.

(1.19)

Onsupposeégalement, sansperte degénéralité,queles for eslinéiquespeuvent être

séparées en unseul mode:

Fd(x, y) =

F

dux

· Fduy

Fdvx

_{· F}

dvy

!

= F

_{dx(x) ◦ Fdy}

(y) = F

_{d x}

_{◦ Fdy}

.

(1.20)

 Les oe ients matériau :

Dans le as où

K

dépend del'espa e, il doitêtre exprimé sous forme deproduits de fon tions de

x

et

y

:

K

_{(x, y) ≈}

N

K

X

i=1

K

i

_{(x) ◦ K}

i

_(y)

(1.21)

Il estfa ilede trouverlesfon tions

K

i

_(x)

et

K

i

_(y)

pour des assimples.Dans le as

d'une dépendan e plus omplexe des oe ients matériau par rapport à l'espa e, il

1 . Lesymbole

◦

représenteleproduitd'Hadamardouproduit omposantepar omposante.Ilserautilisé defaçonusuelleparlasuite.

serané essaired'ee tuer unedé omposition ompatibleave leformalismede

repré-sentationséparée.Surlemodèledis rétisé,uneDé ompositionenValeursSingulières

(SVD)[Drma£etVeseli¢,2008a,b℄de

K

(x, y)

estpossible. Danslasuite,noussupposeronsque

K

nedépendpasdel'espa e.Onaalors

K

_{(x, y) =}

K

_x

_{◦ K}

_y

_{= K}

.Puisqu'il ne dépend pas de l'espa e, il sera alors possible de sortir le oe ient

K

desintégrales surles oordonnées spatiales.

Lapropagationduformalismedereprésentationséparéedansl'é rituredudépla ement

onduit àl'expression deladéformation linéarisée sousforme séparée

ε

suivante:

ε(u(x, y)) =

N

X

i=1







u

i

x,x

· u

i

y

v

i

x

· v

y,y

i

u

i

x

· u

i

y,y

+ v

x,x

i

· v

i

y





.

(1.22)

La résolutiond'unproblèmeen variables séparéesàl'aidedelaméthodePGD onsiste

à her her de façon itérative les ouples de produits de fon tions (modes) représentant la

solution(voirl'équation 1.16) [Ammaret al.,2006℄.

La méthode d'enri hissement d'unmode supplémentaire est la suivante: on onsidère

quel'on onnaît déjàles

N

premiers produits de fon tions, et l'on her he le

(N + 1)

e

.

uN

(x, y)

satisfait les onditions de Diri hlet. Le nouveau mode

R

◦ S

est don un enri hissement duproblèmeave des onditions de Diri hlet homogènessur

∂

1

Ω

.

Ona alors :

u

N

+1(x, y) =

N

X

i=1

u

i

_{x(x) · u}

i

y

(y)

v

i

_{x(x) · v}

i

y

(y)

!

|

{z

}

u

_N(x,y)

+

ru

(x) · s

u(y)

rv

_{(x) · s}

v(y)

!

,

(1.23)

soit, ené riture plus ompa te :

u

N+1

(x, y) = u

N

(x, y) + R(x) ◦ S(y)

(1.24) Où:

R(x) = R =

ru(x)

r

v

(x)

!

=

ru

r

v

!

,

S(y) = S =

s

u

(y)

sv

(y)

!

=

s

u

sv

!

.

Comptetenu delalinéaritéduproblème, oné ritladéformationde lafaçonsuivante:

ε(uN+1(x, y)) = ε(uN

_{(x, y)) + ε(R(x) ◦ S(y))}

(1.25)

ave :

ε

_{(R(x) ◦ S(y)) =}







ru,x

_{· s}

u

rv

_{· s}

v,y

r

u

· su,y

+r

v,x

· sv





.

(1.26)

Onintroduit également le hamptest suivant :

u

⋆

(x, y) =

r

⋆

u(x) · su

(y) + r

_{u(x) · s}

⋆

u

(y)

r

⋆

v

(x) · s

v(y) + rv

(x) · s

⋆

v

(y)

!

= R

⋆

_{◦ S + R ◦ S}

⋆

(1.27) Onobtient naturellement :

ε(u

⋆

(x, y)) =







r

⋆

u,x

· s

u+

ru,x

· s

⋆

u

r

⋆

v

· s

v,y

+

rv

· s

⋆

v,y

r

⋆

u

· su,y

+r

v,x

⋆

· sv

+r

u

· s

⋆

u,y

+r

v,x

· s

⋆

v





.

(1.28)

En inje tant e i danslaformulation faible 1.10, onobtient :

Z Z

Ω



ε



u

⋆

(x, y)



_{· K · ε}



uN+1

(x, y)



dΩ =

Z Z

Ω

(u

⋆

_{(x, y) · f}

d

) dΩ +

Z

∂2

Ω

(u

⋆

_{(x, y) · F}

d

) dΓ

(1.29)

Dans le as présent, nous onsidérons que le matériau est homogène, don que

K

ne dépend pas de l'espa e. Il est bien sûr possible de dé rire un matériau hétérogène en se

donnant une représentation plus ri he de

K

(voir l'équation1.21).

Larésolution duproblèmedéniparl'équation1.29peutsefaireenvariablesséparées,

'estd'ailleurs dans e but quel'on a déni l'ensemble des grandeurs du modèle sous des

formesséparées.

L'inje tion de laforme du hamp de dépla ement à enri hir déni par l'équation 1.23

et du hamp test déni par l'équation 1.27 dans la formulation faible 1.29 du problème

onduità laforme suivante:

Z Z

Ω



ε



u

⋆

(x, y)



_{· K · ε}



R

_{(x) ◦ S(y))}



dΩ =

−

Z Z

Ω



ε



u

⋆

(x, y)



_{· K · ε}



uN

(x, y)



dΩ

+

Z Z

Ω

(u

⋆

_{(x, y) · f}

d

) dΩ +

Z

∂2

Ω

(u

⋆

_{(x, y) · F}

d

) dΓ

(1.30)

Le membre de gau he ontient le terme in onnu au moment de l'enri hissement du

mode

N

,etlemembre de droite ontient uniquement destermes onnus.

1.2.3 Résolution

L'ensemble des problèmes traités i i sont résolus par la méthode des éléments nis.

La résolution du problème déni par l'équation 1.30 onsiste à trouver lemeilleur ouple

{R, S}

pour enri hir la solution. Le problème en

{R, S}

est non-linéaire, une stratégie

adaptée doit don être mise en pla e. Pour résoudre e problème, une méthode de point

xe est utilisée : les sous-problèmes en

R

et en

S

sont alternativement résolus jusqu'à onvergen e.

En pratique,lesitérations ausein du point xe sedéroulent omme e i:

 on suppose

S

onnue, et on her he à déterminer

R

. Pour la première itération on initialisedon

S

àunevaleurquel onquefautedemieux.Pourlesitérationssuivantes, onutilise lavaleur de

S

al ulée àl'itération pré édente.

Lafon tion test 1.27devient alors :

u

⋆

(x, y) =

r

⋆

u(x) · s

u(y)

r

⋆

v

(x) · sv

(y)

!

= R

⋆

_{◦ S.}

(1.31)

Ensubstituantdansl'équation1.30l'ensembledesexpressionsdétailléesdesdiérents

termes, onobtient l'équationsuivante :

Z Z

Ω







r

⋆

u,x

· s

u

r

⋆

v

· sv,y

r

⋆

u

· s

u,y+r

v,x

⋆

· s

v





 ·







AB 0

BA 0

0 0 C





 ·







ru,x

_{· s}

u

r

v

· sv,y

ru

_{· s}

u,y+rv,x

_{· s}

v





dΩ

= −

Z Z

Ω

ε(R

⋆

_{◦ S) · K · ε(u}

N

)



dΩ

+

Z Z

Ω



(R

⋆

_{◦ S) · f}

d



dΩ +

Z

∂

1Ω



(R

⋆

_{◦ S) · F}

d



dΓ,

(1.32)

qu'ilest né essairede développerpour intégrer leproblème. Le développement pour

le al ulde

R

est déporté enannexe 5.7pour nepasalourdir ette partie.

Onobtient alors un problèmeelliptique que l'onpeutrésoudrepar élémentsnis.

 Ensuite,on suppose

R

onnue,eton her heà déterminer

S

.Onutilise lavaleur de

R

al ulée aupaspré édent pour al uler l'ensembledesintégrales.

Lafon tion test 1.27devient alors :

u

⋆

(x, y) =

ru

(x) · s

⋆

u

(y)

r

v

(x) · s

⋆

v

(y)

!

= R ◦ S

⋆

.

(1.33)

Laformulationfaible pour le al ul de

S

devient :

Z Z

Ω







r

u,x

· s

⋆

u

rv

_{· s}

⋆

v,y

ru

_{· s}

⋆

u,y

+rv,x

· s

⋆

v





 ·







AB 0

BA 0

0 0 C





 ·







r

u,x

· su

rv

_{· s}

v,y

ru

_{· s}

u,y+rv,x

_{· s}

v





dΩ

= −

Z Z

Ω

ε

_{(R ◦ S}

⋆

_{) · K · ε(uN}

)



dΩ

+

Z Z

Ω



(R ◦ S

⋆

) · f

d



dΩ +

Z

∂1Ω



(R ◦ S

⋆

) · F

d



dΓ,

(1.34)

qui unefoisdéveloppée laisseapparaîtreleproblèmeen

S

(développé enannexe 5.7) que l'onrésout également paréléments nis.

 La résolution alternée des problèmes en

R

et en

S

ontinue jusqu'à atteindre la onvergen e.Celle- i esttestéesurleproduit

R

i

_{◦ S}

i

ave unepré ision

εpoint

xe

.Le

ritère

εpoint

xe

est généralement hoisi voisindelapré ision ma hine.

En d'autres termes, si on appelle

R

1

et

S

1

les fon tions respe tivement de

(x)

et

(y)

al ulées à la première itération de point xe pour le

N

è mode, et

R

i

et

S

i

les

fon tions de

(x)

et

(y)

al ulées à l'itération

i

, on sort de la bou le du point xe lorsque :

Z Z

Ω

R

i

_{(x) ◦ S}

i

_{(y) − R}

i−1

_{(x) ◦ S}

i−1

(y)

2

dΩ < ε

pointxe

.

(1.35)

Une foislenouveau mode

R

◦ S

onvergé, il estajoutéà lasolution:

u

N+1

(x, y) = u

N

(x, y) + R

i

(x) ◦ S

i

(y).

Lapro édured'enri hissementdelasolution ontinuejusqu'à equelanormedurésidu

relatifde l'équationdevienne négligeable :

−

RR

Ω



ε



u

⋆

(x, y)



_{· K · ε}



u

N

+1(x, y)



dΩ +

RR

Ω

(u

⋆

_{(x, y) · f}

d

) dΩ

RR

Ω

(u

⋆

_{(x, y) · f}

_{d) dΩ}

<

εrésidu

(1.36) où

ε

résidu

∈ [10

−8

_{; 10}

−2

_]

selonlapré ision désirée.

N

= 1

u

₀

(x, y) = 0

Initialisationde

S

0

i=1 Cal ulde

R

i

Cal ulde

S

i

i

= i + 1

N

= N + 1

Testde onvergen e :

Z Z

Ω

R

i

_{◦ S}

i

_{− R}

i

−1

◦ S

i

₋₁

2

_dΩ

< ε

pointxe

Ajoutdumodeàlasolution:

u

_N+1

(x, y) = u

N

(x, y) + R

i

(x) ◦ S

i

(y)

Testsurlerésiduglobal:

−

Z Z

Ω



ε



u

⋆



· K · ε



u

N

+1



dΩ +

Z Z

Ω

u

⋆

· f

d

dΩ

Z Z

Ω

u

⋆

· f

d

dΩ

< ε

résidu Solutionduproblème:

u

_{(x, y) ≈}

N

X

i=1



u

i

x

(x) · u

i

y

(y)

v

x

i

(x) · v

i

y

(y)



Figure 1.3Algorithme derésolution d'un problèmeen variables séparées

1.2.4 Résultats

Considérons le problème en ontraintes planes déni sur la gure 1.4. Le matériau

est isotrope ave E=200 GPa, et v=0,3. Le hargement est un eort imposé sur la fa e

supérieure, telque:

Fd(x, y = 1) =

0

−1000

!

.

Lesfa es degau he etde droite sont en astrées :

Ud

_{(x = (−4, 4), y) =}

0

0

!

.

PSfragrepla ements

Fd

x

y

−1

1

−4

4

Figure 1.4 Problèmeet onditions auxlimites PSfragrepla ements

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

3

3

4

4

−1

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

0.5

0.5

−0.5

−0.5

−1.5

−1.5

u

v

0.03

0.02

0.01

−0.03

−0.02

−0.02

−0.01

−0.04

−0.06

−0.08

−0.1

−0.12

−0.14

Figure 1.5 Solution du problèmedénien 1.4

La solution est al ulée en utilisant la méthode dé rite pré édemment. La gure 1.5

montre le résultat du al ul ave le paramètre

ε

résidu

= 10

−2

qui onduit à une solution

expriméeen

9

modes.

1.2.5 Convergen e

Un al ul de référen eest réalisé en utilisant laméthode des éléments nis 2Dsur un

maillagede quadrangles équivalent.

Lesgures1.6,1.7et1.8représentent les artesd'erreurs relativesendensitéd'énergie

de déformation entre la solution de référen e al ulée ave la méthode des éléments nis

2Detlasolution al uléeave laméthodePGDpourdiérentesvaleursde

εrésidu

.L'erreur lo aleen énergiede déformation estdénie omme:

Erreur lo ale

= 100 ·

σ(u

MEF2D

− u

P GD) : ε(u

MEF2D

− u

P GD)

σ(uMEF

2D) : ε(uMEF2D)

.

(1.37) Comme pour toutes les méthodes itératives, ilexiste un ompromisentrela qualitéde

lasolutionetletempsderésolution:pluson hoisitun ritère

ε

résidu

petit,pluslasolution

estpré iseet ontient demodes,etplus le oûtde al ulaugmente.

Pour une valeur de

εrésidu

= 10

−2

d'in-1.2. RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME 2D 13

génierie standard (inférieure à 1% partout), par ailleurs, ette erreur dépend du nombre

de modesque ontient lasolution PGD.Elle est dire tement ontrléepar l'intermédiaire

du paramètre

ε

résidu

. La onvergen e de la méthode établie par [Fal ó et Nouy, 2011℄ est

illustréesur lesgures 1.6,1.7,1.8,1.9et1.10.

Nous proposons i i de représenter en é helle logarithmique l'erreur relative en densité

d'énergiededéformationentrelasolution al uléeparlaméthode desélémentsnis2Dde

référen eetlaméthode proposée i i enfon tion du ritère

εrésidu

.

1

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

0

0

1

1

2

3

4

−1

−1

−2

−3

−4

0.5

−0.5

−1.5

Erreur relative en densitéd'énergie dedéformation (%)

Figure 1.6 Erreur relative entrelasolution de référen e 2Detlasolution al ulée ave laméthodePGD pour

εrésidu

= 10

−1

(6 modes) PSfragrepla ements

1

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

0

0

1

1

2

3

4

−1

−1

−2

−3

−4

0.5

−0.5

−1.5

Erreur relativeen densitéd'énergie de déformation (%)

Figure 1.7 Erreur relative entrelasolution de référen e 2Det lasolution al ulée ave laméthodePGD pour

ε

résidu

= 10

−2

(9 modes) PSfragrepla ements

1

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

0

0

1

1

2

3

4

−1

−1

−2

−3

−4

0.5

−0.5

−1.5

Erreur relativeen densitéd'énergie de déformation (%)

Figure 1.8 Erreur relative entrelasolution de référen e 2Det lasolution al ulée ave

laméthodePGD pour

εrésidu

= 10

−3

14 CHAPITRE1. RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 2D

1

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

0

0

1

1

2

3

4

−1

−1

−2

−3

−4

0.5

−0.5

−1.5

Erreurrelative en densitéd'énergie dedéformation (%)

Figure 1.9 Erreur relative entre lasolution de référen e2Det lasolution al uléeave laméthode PGD pour

εrésidu

= 10

−4

(13modes) PSfragrepla ements

1

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

0

0

1

1

2

3

4

−1

−1

−2

−3

−4

0.5

−0.5

−1.5

Erreurrelative en densitéd'énergie de déformation (%)

Figure1.10Erreur relativeentrelasolutionderéféren e2Detlasolution al uléeave laméthode PGD pour

εrésidu

= 10

−5

(15modes)

La onvergen e de la méthode est résumée sur les gures 1.11 et 1.12, qui indiquent

lavaleurde l'intégrale sur

Ω

de l'erreur relative en densitéd'énergie de déformation entre la référen e éléments nis 2D et la solution en variables d'espa e séparées en fon tion

respe tivement de

εrésidu

etdunombrede modes

N

.

PSfragrepla ements

10

−1

10

−1

10

−2

10

−2

10

−3

10

−3

10

−4

10

−4

10

−5

10

−5

10

−6

10

−6

10

−7

10

−7

10

−8

10

−9

ε

résidu In tégrale de l'erreur relativ e en densité d'énergie de déformation (%)

Figure1.11Intégraledel'erreurrelativeendensitéd'énergiededéformationenfon tion

1.3. APPLICATIONS ETLIMITATIONS 15

10

1

10

3

10

−1

10

−3

10

−5

10

−7

10

−9

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nombre de modes

N

In tégrale de l'erreur relativ e en densité d'énergie de déformation (%)

Figure1.12Intégraledel'erreurrelativeendensitéd'énergiededéformationenfon tion

dunombre demodes

1.3 Appli ations et limitations

La représentation de lasolution d'un problème 2D sous forme de produit tensoriel de

2fon tions 1Daun ertainnombre de onséquen es:

 unerédu tion du oût de résolution duproblème en termes d'impa tmémoire et de

temps de al ul, du fait de la séparation de l'espa e 2D en deux espa es 1D ( et

aspe tseradéveloppé dansle hapitre 2sur desproblèmes 3D).

 une restri tion sur le type de problèmes qui peuvent être résolus : l'ensemble des

grandeursdoiteneetêtreexprimésousformedeproduittensorieldegrandeurs1D,

en parti ulier lagéométrie. En 2D,les seules géométries quel'on peut dénir par le

produit tensoriel de deux fon tions 1Dsont les géométries de type re tangles. Ce i

limitedon onsidérablementlesproblèmesquel'onpeutrésoudrepar etteméthode.

Malgré la ontrainte sur la forme du domaine d'étude présentée i-dessus, il existe

de nombreux problèmes 2D dénis dans des domaines re tangulaires (homogénéisation,

orrélation d'images,...) qu'il peut être intéressant de résoudre rapidement à l'aide le la

séparation des variables d'espa e. En eet, l'émergen e des nouveaux moyens de mesure

(tomographie,analysed'image,...)quifournissentdesimagesenpixels(dontlenombreest

généralementimportant)sonttoutàfaitadaptéspourfournirdesproblèmesàrésoudreave

etypedeméthode[Passieux etPérié,2012℄.Eneet,detellesmesurespeuventné essiter

derésoudreunproblèmeinverse,par exemple,pour êtrepost-traitées.Leproblèmeinverse

peut alors être résolu ave la PGD en variables d'espa e séparées. De plus, es moyens

nes(jusqu'àplusieurs milliers depixels dans haquedire tion). Siun degréde liberté est

asso ié à haque pixel, lataille du problème peut atteindre plusieurs dizaines de millions

de degrés de liberté, e qui même en 2D est lourd à traiter, surtout si l'on souhaite par

Résolution de problèmes mé aniques

3D ave la PGD en variables

d'espa e séparées

Sommaire

2.1 Diérentes séparations possibles . . . 19

2.1.1 Séparationdu3Dvers3problèmes1D . . . 19

2.1.1.1 Présentation . . . 19 2.1.1.2 Coûtderésolution . . . 19 2.1.1.3 Appli ationset limitations . . . 20 2.1.2 Séparationdu3Den2D/1D. . . 21 2.1.2.1 Présentation . . . 21 2.1.2.2 Coûtderésolution . . . 23 2.1.2.3 Appli ationset limitations . . . 23

2.2 3D séparéen 2D/1D pour lesplaques . . . 24

2.2.1 Formulationduproblème . . . 24

2.2.2 Résolution. . . 27

2.2.3 Exemple etvalidation . . . 27

2.2.4 Performan es . . . 30

2.2.5 Appli ationdes onditionsauxlimites . . . 32

2.2.5.1 ConditionsauxlimitesdetypeNeumann . . . 32

2.2.5.2 ConditionsauxlimitesdeDiri hlet. . . 34

2.2.6 Exemples . . . 35

2.2.6.1 Plaquetrouéestratiée . . . 35

2.2.6.2 Casdesplaquesraidies . . . 37

2.3 Analyse des modesPGD . . . 38

Lesbasesdelaséparationdesvariablesd'espa edénies au hapitre1vontmaintenant

êtreutilisées pour résoudredes problèmes3D enespa e.

Contrairement aux problèmes 2D qui ne possèdent que deux oordonnées, en 3D

plu-sieurs ombinaisons de séparationsdesvariablesd'espa e sont possiblespour séparerles3

oordonnées. Une brève dis ussion à e sujet sera présentée, suivie du développement de

laméthode pour résoudredesproblèmes3Dséparésen 2D/1D.En eet,leslimitationsde

l'appro he utilisant une séparation de l'espa e 3Dentrois sous-espa es1Dseront miseen

éviden epar rapportà l'obje tif re her hé.

Nousnous on entrerons don ensuitesurl'étudede problèmes 3Ddont la

représenta-tion sera 2D/1D. La démar he de résolution sera tout d'abord présentée, suivie de

l'ana-lysede sesperforman es en termesde pré ision etde rapiditéd'exé ution. Enn quelques

exemplesd'illustration seront traités.

Une brève analyse omparative entre la méthode présentée et les théories de plaques

2.1 Diérentes séparations possibles

Dans ettepartie,lesdiérentesfaçonsdeséparerlesvariablesd'espa eserontexposées:

toutd'abord laséparation d'unproblème 3Den 3 problème1D, puisla séparation du3D

en desproblèmes 1Det2D.

2.1.1 Séparation du 3D vers 3 problèmes 1D

2.1.1.1 Présentation

La séparation d'unproblème 3Den trois problèmes 1D onduit aux mêmesavantages

et in onvénients que la séparation d'un problème 2D en deux problèmes 1D exposée au

hapitre 1. L'utilisation d'une telle séparation permet de résoudre à très faible oût un

problème3Ddéni dansunparallélépipède.

On her hera alors lasolutiondu problème3Den l'exprimant ainsi:

u(x, y, z) =

N

X

i=1







u

i

_{x(x) · u}

i

y

(y) · u

i

z

(z)

v

i

_{x(x) · v}

i

_{y(y) · v}

z

i

(z)

w

i

_{x(x) · w}

i

_{y(y) · w}

i

z

(z)





 =

N

X

i=1

U

i

_{x(x) ◦ U}

i

_y

_{(y) ◦ U}

i

_z

(z).

(2.1) PSfragrepla ements Problème 1Den(

x

) Problème 1Den (

y

) Problème1Den (

z

)

=

_⊗

⊗

Problème 3Den (

x

,

y

,

z

)

Figure 2.1 Séparationd'unproblème 3Den3 problèmes 1D

La gure 2.1illustre la dé omposition du problème 3Den trois problèmes 1D qui

gé-nèrent lasolution 3Dparproduit tensoriel.

2.1.1.2 Coût de résolution

La résolutionde etypedeproblèmeesttrès similaireà equiestprésentéau hapitre

1,elle n'est don pasdéveloppée i i.Cependant,unebrèvedis ussionàproposdel'impa t

mémoire etdutemps de al ulestexposée i-après.

Considérons pour simplier qu'ilyaautant de degrés delibertédans haquedire tion