T D 10 : CI-6 M ODÉLISER LES ACTIONS MÉCANIQUES PUIS PRÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFORMANCES DE SYS -
TÈMES SOUMIS À DES ACTIONS MÉCANIQUES STATIQUES .
Exercice 1 : Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)
Le radar météorologique bande X est un outil d’aide à l’analyse et à l’observation des masses nuageuses. En France on en compte 14 répartis sur l’ensemble du territoire. Le principe de fonctionnement est basé sur l’émission/réflexion: à intervalles de temps réguliers, le radar émet dans l’atmosphère des ondes électromagnétiques de forte puissance, de durée très brève et de fréquence très élevée. L’énergie contenue dans cette onde est concentrée par une antenne directive. Les cibles qui se trouvent à l’intérieur du faisceau interceptent l’onde émise, une partie de la puissance incidente est alors absorbée, et rayonne dans toutes les directions.
La fraction du signal qui retourne vers l’antenne est le signal utile à la détection. Ainsi, en fonction de l’orientation de l’antenne et du temps écoulé entre l’émission de l’onde et le retour de la puissance réfléchie, on pourra localiser la direction et la distance de la cible. L’antenne balaye l’atmosphère suivant deux axes de rotation : une rotation d’axe vertical nommée
" azimut " et une rotation d’axe horizontal nommée " site ". L’étude proposée portera sur l’équilibrage statique de l’axe de "
site " correspondant à l’axe #»x1du schéma.
• Hypothèses de calcul :
◦ Tous les solides sont considérés comme indéformables et les liaisons comme parfaites,
◦ Le repèreR (O,#»x0,#»y0,#»z0) est considéré comme galiléen,
◦ L’angle d’azimut est nulα=0 etβ=cste,
◦ Seules les masses de la parabole (MP) et de3(M3) sont prises en compte, toutes les autres sont négligées,
◦ La parabole est soumise à l’action du vent, modélisé par un glisseur de résultante # »
FV =−FV.#»y0appliquée enP,
◦ Le pilotage de la rotation de l’angle du siteβest obtenu par un moteur dont le couple estCms.
• Modélisation et paramétrage cinématique :
Q - 1:Donner la forme du torseur des actions mécaniques transmissibles par la liaison entre1et2.
F1→2=
(#»x1,−,−)
X12 0 Y12 M12 Z12 N12
A
Q - 2:Exprimer les actions mécaniques de pesanteur et l’action du vent sous la forme de torseurs.
Fg→P =
P
( −MP.g.#»z0
#»0 )
; Fg→3 =
B
( −M3.g.#»z0
#»0 )
et FV→P =
P
( −FV.#»y0
#»0 )
Q - 3:Écrire tous les torseurs au point A.
M#»(A,g→P) = M#»(P,g→P)+AP# »∧#»Rg→P=(a.#»z2+c.#»y2)∧(−MP.g.#»z1)=MP.g.(a.sin(β)−c.cos(β)).#»x1 M#»(A,g→3) = #»
M(B,g→3)+ # » AB∧#»
Rg→3=(a.#»z2−b.#»y2)∧(−M3.g.#»z1)= M3.g.(a.sin(β)+b.cos(β)).#»x1 M#»(A,V→P) = #»
M(P,V→P)+ # » AP∧#»
RV→P =(a.#»z2+c.#»y2)∧(−FV.#»y0)=−FV.(a.#»z2+c.#»y2)∧(cos(α).#»y1−sin(α).#»x1)
= FV.cos(α).(a.cos(β)+c.sin(β)).#»x1+sin(α).(a.#»x2−c.#»z2)
Q - 4:En appliquant le principe fondamental de la statique à l’émetteur-récepteur2+ Masse3, exprimer le couple Cmsainsi que les actions mécaniques transmises par la liaison pivot.
• On isole l’émetteur-récepteur2+ Masse3
• On fait le BAME appliquées à l’ensemble émetteur-récepteur
◦ Action de g sur P :Fg→P
◦ Action de g sur 3 :Fg→3
◦ Action du vent sur P :FV→P
◦ Action de 1 sur 2 :F1→2
◦ Action du moteur sur 2 :Fms→2=
∀M
( #»
0 Cms.#»x1
)
• l’ensemble émetteur-récepteur étant à l’équilibre dans le repère galiléen lié au sol, on lui applique le théorème du moment statique au pointAet en projection sur #»x1:
0 = #»
M(A,2+3→2+3).#»x1= #»
M(A,g→P).#»x1+ #»
M(A,g→3).#»x1+ #»
M(A,V→P).#»x1+
#»
M(A,1→2).#»x1+ #»
M(A,ms→2).#»x1
= g.a.sin(β).(MP+M3)−c.cos(β).MP+b.cos(β).M3+FV.cos(α).(a.cos(β)+c.sin(β))+sin(α).a+Cms
Q - 5:L’émetteur-récepteur2est équilibré en modifiant la masse M3du contrepoids3pour obtenir un couple Cmsnul pourβ=0. L’équilibrage est obtenu par vent nul. Déterminer l’expression de la masse M3permettant d’obtenir l’équilibrage de l’émetteur-récepteur2.
En absence de vent et pourβ=0, l’équilibre de l’émetteur-récepteur par rapport au référentiel terrestre se traduit par : 0 = g.[−c.MP+b.M3]+Cms ⇒ M3= c
b.MPpour obtenirCms=0
Q - 6:L’émetteur-récepteur2est équilibré. En utilisant l’expression trouvée dans la question précédente, et en considérant toujours FV =0, simplifier l’expression du couple Cms. Tracer l’évolution du couple pour un angle β∈[0, π/4]. Quelle modification géométrique du radar permettrait d’obtenir un équilibrage pour tout angleβ? Cms =−g.a.sin(β).
1+ c b
.MPforce de rotation qui devient nulle sia=0.
Le centre de gravité de l’ensemble émetteur-récepteur doit être sur l’axe entre 1 et 2.
Exercice : Equilibre d’un barrage
Un barrage en béton repose sur le sol. L’eau exerce sur la paroi verticale du barrage une action mécanique de pression hydrostatique définie par la pression :p(z)=ρ.g.(h−z)
avec :
• ρmasse volumique de l’eau
• gaccélération de la pesanteur
• zaltitude du pointM La longueur suivant #»y estL.
La masse volumique du barrage est notéeρbbarrage.
Q - 1 :Déterminer au point O le torseur d’action mécanique de l’eau sur le barrage.
Fe→b =
O
( !
S p(z).#»x.dS
!
S
# »
OM∧p(z).#»x.dS )
=
O
R L2
y=−L
2
Rh
z=0ρ.g.(h−z).#»x.dy.dz R L2
y=−L
2
Rh
z=0z.#»z ∧(ρ.g.(h−z).#»x).dy.dz
=
O
ρ.g.L.Rh
z=0(h−z).dz.#»x ρ.g.L.Rh
z=0z.(h−z).dz.#»y
Or Z h
z=0
(h−z).dz=
"
h.z− z2 2
#h 0
= h2
2 et et Z h
z=0
z.(h−z).dz=
"
h.z2 2 −z3
3
#h 0
= h3 6
⇒ Fe→b=
O
ρ.g.L.h2 2 .#»x ρ.g.L.h3
6 .#»y
Q - 2 :Montrer que ce torseur est un glisseur et rechercher son axe central. En déduire la position du centre de poussée.
Un torseur est un glisseur si le vecteur résultant est non nul et que l’automoment du torseur est nul. Comme l’automoment ne dépend pas du point de calcul, il suffit de vérifier les conditions précédentes en un point.
Dans le cas présent, avec l’expression du momentM#»(O,e→b), nous avons bien #»F(e→b),0 et #»F(e→b).M#»(O,e→b)=0.
Déterminons l’axe central du torseur, sachant qu’il est composé de l’ensemble des points pour lesquels le moment est nul.
Calculons donc #»
M(M,e→b)avec pour coordonnées deM(x,y,z) dans le repèreR(O,#»x,#»y,#»z).
M#»(M,e→b) = #»
M(O,e→b)+ # » MO∧#»
F(e→b)=ρ.g.L.h3
6.#»y −(x.#»x +y.#»y +z.#»z)∧ρ.g.L.h2 2 .#»x
= ρ.g.L.h3
6 .#»y +ρ.g.L.h2
2.(y.#»z −z.#»y)=ρ.g.L.h2 6 .
(h−3.z).#»y +y.#»z
On vérifie bien que quelque soitM, l’automoment est nul puisque le vecteur résultant#»F(e→b)est porté par#»x quandM#»(M,e→b) appartient au plan (M,#»y,#»z).
M#»(M,e→b)= #»
0 ⇒ ρ.g.L.h2
6.
(h−3.z).#»y +y.#»z= #»
0 ⇒
x ∈ R y = 0 z = −h
3 L’axe central du torseur est donc une droite portée par #»x situé à l’altitude h
3 du barrage.
Q - 3 :Déterminer le poids du barrage et la position de son centre de gravité.
Pour déterminer le poids du barrage en connaissant la masse volumiqueρbde ce dernier, il suffit de connaitre son volume.
mb =ρb.Vb=ρb.a+b 2 .h.L En effet:
Vb=
$
M∈Vb
ρb(M).dV=Z h z=0
Z L2
y=−L2
Z l(z) x=0
ρb(x,y,z).dx.dy.dz
Déterminons l’expression del(z), la largeur du barrage à l’altitudez. L’évolution de la largeur de barrage étant linéaire, nous avons
l(z) = α.z+β l(0) = b l(h) = a
⇒ l(z)= a−b
h .z+b. Puisqueρbest constant l’intégrale volumique se met sous la forme:
Vb = ρb.Z L2
y=−L2
dy.Z h z=0
Z a−b h .z+b
x=0
dx.
.dz=ρb.L.Z h z=0
a−b
h .z+b.dz
= ρb.L.
"
a−b h .z2
2 +b.z
#h
0
=ρb.L. a−b h .h2
2 +b.h
!
=ρb.a+b 2 .h.L Par définition du centre de gravitéGde coordonnées (xg,yg,zg):
$
M∈Vb
ρb(M).GM.dV# » = #»
0 ⇒
Z h z=0
Z L
2
y=−L2
Z l(z)
x=0
ρb(x,y,z).h
(x−xg).#»x +(y−yg).#»y +(z−zg).#»zi
.dx.dy.dz= #»
0
Z L
2
y=−L
2
dy.
Z h z=0
Z l(z) x=0
h(x−xg).#»x +(z−zg).#»zi
.dx.dz+ Z h
z=0
Z l(z) x=0 dx.dz.
Z L
2
y=−L
2
(y−yg).#»y.dy = #»
0 L.Z h
z=0
(x−xg)2
2 .#»x +(z−zg).x.#»z
l(z)
0
.dz+ a+b 2 .h.
(y−yg)2 2
L 2
−L2
.#»y = #»
0
L.
Z h z=0
l(z)−xg2
−x2g
2 .#»x +(z−zg).l(z).#»z
.dz+ a+b 2 .h.
L
2 −yg 2
2 −
−L 2 −yg
2
2
.#»y = #»
0
L.
Z h z=0
l(z)2−2.l(z).xg
2 .#»x +
z.l(z)−zg.l(z) .#»z
.dz+ a+b 2 .h.
−yg.L 2
.#»y = #»
0
l(z)= a−b
h .z+b ⇒ l0(z)= a−b
h ⇒ l(z)n= h a−b
l(z)(n+1) n+1
L.
h a−b
l(z)3
6 − l(z)2.xg
2
.#»x + a−b
3.h .z3+b.z2
2 − h
a−b.zg.l(z)2 2
! .#»z
h
0
− a+b 2 .h.yg.L
2.#»y = #»
0 L.
h a−b
a3−b3
6 − (a2−b2).xg
2
.#»x + a−b
3.h .h3+b.h2
2 − h
a−b.zg.a2−b2 2
! .#»z
h
0
− a+b 2 .h.L
2.yg.#»y = #»
0 L.h.
"
a2+a.b+b2
6 −(a+b).xg
2
!
.#»x + a−b
3 .h+b.h
2 −zg.a+b 2
! .#»z
#
− a+b 2 .h.L
2.yg.#»y = #»
0
⇒
a2+a.b+b2
6 − (a+b).xg
2 = 0
−a+b 2 .h.L
2.yg = 0 a−b
3 .h+b.h
2 −zg.a+b
2 = 0
⇒
xg = a2+a.b+b2 3.(a+b) yg = 0
zg = 2.a+b a+b .h
3
Voilà pour la méthode lourde à partir de la définition sous forme intégral du centre de gravité. On peut lui préférer la méthode suivante en décomposant le trapèze en deux formes géométriques simples que sont un rectangle et un triangle.
• Rectangle.
Vr=a.h.L et OG# »r= a 2.#»x + h
2.#»z
• Triangle rectangle.
Vt= b−a
2 .h.L et # »
OGt = a+ b−a 3
! .#»x + h
3.#»z
puisque le centre de gravité est situé au deux tiers des médianes (en partant du sommet pour aller au milieu du côté opposé).
• Barrage.
Vb= a+b
2 .h.L et Vb.# »
OGb =Vr.# »
OGr+Vt.# » OGt
# »
OGb = 2
(a+b).h.L.
"
a.h.L. a 2.#»x + h
2.#»z
!
+ b−a
2 .h.L.
a+ b−a 3
! .#»x + h
3.#»z
!#
= 1
3.(a+b).3.a.(a.#»x +h.#»z)+(b−a).((3.a+(b−a)).#»x +h.#»z)
= 1
3.(a+b).h
3.a2+3.a.(b−a)+b2−2.a.b+a2
.#»x +h.(3.a+(b−a)).#»zi
= 1
3.(a+b).h
a2+a.b+b2
.#»x +h.(2.a+b).#»zi
ce qui est bien conforme à ce que nous avions trouvé avec la première méthode.
Q - 4 :Etudier l’équilibre du barrage, et en déduire la valeur minimale du coefficient de frottement entre le barrage et le sol pour que le barrage ne glisse pas.
? On isole le barrage.
? On fait le bilan des actions mécaniques appliquées au barrage
◦ Action de l’eau sur le barrage Fe→b=
O
ρ.g.L.h2 2.#»x ρ.g.L.h3
6.#»y
◦ Action de la gravitation sur le barrage Fg→b=
Gb
( −mb.g.#»z
#»0 )
◦ Action du sol sur le barrage Fs→b=
O
( X.#»x +Z.#»z M.#»y
)
? Nous cherchons juste une relation entreXetZ. Le barrage étant à l’équilibre, appliquons le théorème de la résultante statique au barrage dans le repère galiléen (O,#»x,#»y,#»z).
#»F(e→b)+ #»
F(g→b)+ #»
F(s→b) = #»
0 ⇒
X = −ρ.g.L.h2 2 Z = mb.g
Pour que le barrage ne glisse pas sur le sol, le coefficient de frottementµdoit vérifier:
µ >
X Z
= ρ.g.L.h2
2 ρb.a+b
2 .h.L.g = ρ
ρb
. h
a+b
Une étude complète devrait permettre de vérifier que le barrage ne bascule pas non plus. Il faudrait vérifier que si le barrage n’était qu’en liaison pivot d’axe (A,#»y) avecAde coordonnées (b,0,0) dans le repèreR, les moments de l’action de l’eau et de la gravitation sur le barrage conduirait à plaquer ce dernier au sol.
#»
M(A,e→b)+ #»
M(A,g→b) .#»y ≤? 0 M#»(A,e→b)+M#»(A,g→b)
.#»y = M#»(O,e→b)+AO# »∧#»F(e→b)+M#»(G,g→b)+AG# »∧#»F(g→b) .#»y
= ρ.g.L.h3
6 .#»y −b.#»x ∧ρ.g.L.h2 2.#»x +
(xg−b).#»x +zg.#»z
∧(−mb.g.#»z)
! .#»y
= ρ.g.L.h3
6 −(b−xg).mb.g
= ρ.g.L.h3
6 − b− a2+a.b+b2 3.(a+b)
!
.ρb.a+b
2 .h.L.g
= g.h.L 6 .h
ρ.h2−ρb.
2.b.(a+b)−a2i
≤ g.h.L 6 .ρb.h
µ.(a+b).h−
2.b.(a+b)−a2i
Exercice 2 : Lève bateau
Le système ci-contre est en équilibre. Le bateau est main- tenu par l’action du vérin hydraulique. Le problème sera supposé plan, et les liaisons pivot en A, B, C et D par- faites. L’action du poids sera négligée sauf pour le bateau (glisseur #»g passant parG).
AC# » = cx.#»x +cy.#»y
# »
AD = d.#»x
# »
DB = λ.#»yb
# »
GC = łG.#»y
θ = (#»x,#»xb)=(#»y,#»yb)
−
→x
−
→y
−
→zb →−z
−
→xb
−
→yb
θ θ
Q - 1 :Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.
Sol (S) Vérin (V)
Portique (P)
Bateau (B)
Rotule (D) Pivot
(A,#»z)
Rotule (B)
Rotule (C) g Q - 2 :Déterminer les actions mécaniques dans les
liaisons en A, B, C et D par une étude ana- lytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.
L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ou groupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nous déterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler les solides soumis à 3 glisseurs.
2.1 Statique analytique
Pour déterminer toutes les actions de liaisons, nous devons faire p −1 isolements indépendants, p étant le nombre de
"pièces". Le sol n’étant pas isolable, isolons chacun des solides.
• Isolement du bateau (S) V
(P) (B)
Rotule (D) Pivot
(A,#»z)
Rotule (B)
Rotule (C) g
• Isolons le bateauB
• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:
◦ Action de la gravitation sur le bateauFg→B =
G
( −m.g.#»y
#»0 )
◦ Action du portique sur le bateauFP→B=
C
XPB 0 YPB 0 ZPB 0
(#»x,#»y,#»z)
• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au bateau dans le repère galiléen
lié au sol.
FB→B=0 ⇒ Fg→B+FP→B =0 ⇒ FP→B=−Fg→B=
G
( m.g.#»y
#»0 )
• Pour déterminer les inconnues de liaisons de la rotule enC, déplaçons le torseurFP→Bau pointC:
M#»(C,P→B) = #»
M(G,P→B)+ # » CG∧#»
F(P→B)=((((((((
−lG.#»y ∧m.g.#»y = #»
0 FP→B =
G
( m.g.#»y
#»0 )
=
C
( m.g.#»y
#»0 )
=
C
XPB 0 YPB 0 ZPB 0
(#»x,#»y,#»z)
⇒
XPB = 0 YPB = m.g ZPB = 0
• Isolement du vérin
(S) V
(P) (B)
Rotule (D) Pivot
(A,#»z)
Rotule (B)
Rotule (C) g
• Isolons le vérinV
• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:
◦ Action du sol sur le vérinFS→V =
D
XS V 0 YS V 0 ZS V 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
◦ Action du portique sur le vérinFP→V =
B
XPV 0 YPV 0 ZPV 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.
FV→V =0 ⇒ FS→V +FP→V =0
• Pour déterminer les inconnues de liaisons des rotules enBet enD, plaçons les torseursFS→V etFP→V au même point (D):
M#»(D,P→V) = #»
M(B,P→V)+ # » DB∧#»
F(P→V)
= λ.#»yb.∧(XPV.#»xb+YPV.#»yb+ZPV.#»zb)=λ.(ZPV.#»xb−XPV.#»zb)
0 =FS→V+FP→V =
D
XS V 0 YS V 0 ZS V 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
+
D
XPV λ.ZPV
YPV 0 ZPV −λ.XPV
(#»xb,#»yb,#»zb)
⇒
XS V+XPV = 0 YS V +YPV = 0 ZS V+ZPV = 0
0+λ.
ZPV = 0 0+0 = 0 0−λ.
XPV = 0
Choisissons YS V comme paramètre
⇒
FS→V =
B
0 0
YS V 0
0 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
FP→V =
D
0 0
−YS V 0
0 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
• Isolement du portique (S) V
(P) (B)
Rotule (D) Pivot
(A,#»z)
Rotule (B)
Rotule (C) g
• Isolons le portiqueP
• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:
◦ Action du sol sur le portiqueFS→P =
A
XS P LS P
YS P MS P ZS P 0
(#»x,#»y,#»z)
◦ Action du vérin sur le portiqueFV→P =−FP→V =
B
( YS V.#»yb
#»0 )
◦ Action du bateau sur le portiqueFB→P=−FP→B =
C
( −m.g.#»y
#»0 )
• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au portique dans le repère galiléen lié au sol.
FP→P=0 ⇒ FS→P+FV→P+FB→P =0
• Pour déterminer les inconnues des dernières liaisons, plaçons les torseursFS→P,FV→P etFB→P au même point (A):#»
M(A,V→P) = #»
M(B,V→P)+# » AB∧#»
F(V→P) =(d.#»x +λ.#»yb)∧YS V.#»yb =d.YS V.cos(θ).#»z M#»(A,B→P) = #»
M(C,B→P)+ # » AC∧#»
F(B→P)=
cx.#»x +cy.#»y
∧ −m.g.#»y =−m.g.cx.#»z
A
XS P LS P
YS P MS P
ZS P 0
(#»x,#»y,#»z)
+
A
( YS V.#»yb
d.YS V.cos(θ).#»z )
+
A
( −m.g.#»y
−m.g.cx.#»z )
=0
⇒
XS P −YS V.sin(θ) +0 =0 YS P +YS V.cos(θ) −m.g =0 ZS P +0 +0 =0 LS P +0 +0 =0 MS P +0 +0 =0 0 +d.YS V.cos(θ) −m.g.cx =0
⇒
YS V = cx
d.cos(θ).m.g XS P = cx
d.tan(θ).m.g YS P =
1− cx
d .m.g
donc au final:
FP→B =
C
( m.g.#»y
#»0 )
FS→P =
A
cx
d.tan(θ).m.g 0 1− cx
d
.m.g 0
0 0
(#»x,#»y,#»z)
FP→V =
B
0 0
− cx
d.cos(θ).m.g 0
0 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
FS→V =
D
0 0
cx
d.cos(θ).m.g 0
0 0
(#»xb,#»yb,#»zb)
2.2 Statique graphique
#»F(g→B)
#»F(P→B)
dir #»
F(P→V)
dir #»
F(S→V)
#»F(B→P)
dir #»F(B→P)
dirF#»
(V
→ P)
dirF#»
(S→ P)
#»F(B→P)
#»
F(V
→ P)
F#»
(S→ P)
#»
F(V
→ P)
F#»
(S→ P)
Exercice 3 : Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)
Objectif : trouver les actions mécaniques due au frottement mutuel des disques1et2
On appellepla pression surfacique supposée constante et f le coefficient de frottement entre les deux disques.RextetRint les rayons extérieurs et intérieurs des disques.
Q - 1 :Exprimer les composantes de l’effort local d#»
F2→1en un point M du disque.
d#»
F2→1 =−p.dS.#»z + f.p.dS.#»v = p.(−#»z + f.#»v(θ)).r.dr.dθ= p.(−#»z − f.sin(θ).#»x + f.cos(θ).#»y).r.dr.dθ Q - 2 :Calculer la résultante du torseur des actions mécaniques de2→1 #»
F2→1
#»F2→1 =
"
dF#»2→1= Z Rext
r=Rint
Z 2.π
θ=0 d#»F2→1= Z Rext
r=Rint
Z 2.π
θ=0 p.(−#»z − f.sin(θ).#»x + f.cos(θ).#»y).r.dr.dθ
= p.Z Rext r=Rint
r.dr.Z 2.π θ=0
(−#»z − f.sin(θ).#»x + f.cos(θ).#»y).dθ= p.
"
r2 2
#Rext
Rint
.−θ.#»z + f.cos(θ).#»x + f.sin(θ).#»y2.π 0
= −2.π.p.R2ext−R2int
2 .#»z = p.π.
R2ext−R2int .#»z
Q - 3 :Calculer le moment en O du torseur des actions mécaniques de2→1 #»
M(O,2→1)
d#»
M(O,2→1) =d#»
M(M,2→1)+ # » OM∧d#»
F2→1=r.#»u ∧(p.(−#»z + f.#»v(θ)).r.dr.dθ)= p.(#»v(θ)+ f.#»z).r2.dr.dθ Q - 4 :En déduire la relation entre le couple de frottement Cf2→1et l’effort normal FN2→1
Cf2→1 = M#»(O,2→1).#»z =
"
dM#»(O,2→1).#»z = Z Rext
r=Rint
Z 2.π
θ=0 p.(#»v(θ)+ f.#»z).r2.dr.dθ.#»z
= f.p.Z Rext r=Rint
r2.dr.Z 2.π θ=0
dθ= f.p.
"
r3 3
#Rext
r=Rint
.[θ]2.π0 = 2
3.π.f.p.
R3ext−R3int
= 2
3.f.R3ext−R3int R2ext−R2int.FN2→1
