Le titre du message devra inclure la chaˆıne de caract` eres M1 MG TER.

Universit´ e Grenoble Alpes 2020-2021 M1 Math´ ematiques g´ en´ erales

Sujets de TER

Mode d’emploi

Envoyer au responsable du M1 un message indiquant, soit une absence de pr´ ef´ erence parmi tous les sujets propos´ es, soit les num´ eros de quatre sujets sur lesquels on souhai- terait travailler, ordonn´ es par pr´ ef´ erence d´ ecroissante.

Le titre du message devra inclure la chaˆıne de caract` eres M1 MG TER.

Date limite d’envoi du message : mardi 15 d´ ecembre 23h59.

Titres des sujets

1. Algorithme LLL de r´ eduction de r´ eseaux 2. Algorithme Zipper

3. Allumeurs de r´ everb` eres

4. Applications lipschitziennes et formules de changement de variables 5. Autour du th´ eor` eme de la repr´ esentation conforme de Riemann 6. Axiomes de G˚ arding-Wightman et th´ eorie quantique des champs 7. Cadran solaire digital

8. Comment optimiser son stationnement ?

9. Courbes elliptiques, entre alg` ebre, g´ eom´ etrie et analyse 10. Courbure des graphes et in´ egalit´ es g´ eom´ etriques 11. Course aux armements

12. Espaces de Hardy de fonctions holomorphes 13. Extensions de corps et groupes de Galois 14. Factorisation de polynˆ omes sur les corps finis 15. Formes modulaires

16. Graphes al´ eatoires, ´ emergence de la composante g´ eante 17. Graphes expanseurs et groupes finis

18. Groupes de r´ eflexion finis

19. Groupes d’homotopie des sph` eres

20. In´ egalit´ es de concentration : application au probl` eme de la d´ etection d’anomalies 21. Le h-principe

22. Loi de r´ eciprocit´ e (bi)quadratique

23. Loi de r´ eciprocit´ e quadratique 24. Marches quantiques ouvertes

25. M´ ethode de Stein et in´ egalit´ e de Berry-Esseen 26. Nombres de Hurwitz

27. Op´ erateurs d’int´ egrales singuli` eres 28. Paradoxe de Banach-Tarski

29. Percolation critique et invariance conforme 30. Produits normalement ordonn´ es de champs

31. Propri´ et´ es de sym´ etrie des solutions de certaines ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles 32. Que le meilleur gagne (ou pas...)

33. Quelques propri´ et´ es de l’op´ erateur divergence 34. Repr´ esentabilit´ e ab´ elienne

35. R´ esultant de deux polynˆ omes et applications 36. Semi-groupes dynamiques quantiques

37. Surfaces minimales et repr´ esentation de Weierstrass-Enneper 38. Tests group´ es et SARS-CoV-2

39. M´ etrique de Schwarzschild (ex-Th` eme num´ ero 1)

40. ´ Equations de Maxwell (ex-Th` eme num´ ero 2)

41. ´ Equation de Schr¨ odinger (ex-Th` eme num´ ero 3)

42. Th´ eor` eme “edge of the wedge”

1 Algorithme LLL de r´ eduction de r´ eseaux

Un r´ eseau d’un espace euclidien est un sous-groupe discret de cet espace. Il est en g´ e- n´ eral facile d’en donner une base en tant que Z -module, ce qui permet d’en d´ eduire des informations comme le d´ eterminant, qui mesure le volume d’une « maille » (domaine fon- damental) du r´ eseau. Par contre, certains probl` emes d’apparence simple, comme trouver le plus court vecteur non nul d’un r´ eseau, sont ´ etonnamment difficiles quand la dimen- sion est grande. Ils sont d’ailleurs ` a la base de protocoles cryptographiques, comme le sch´ ema de chiffrement NTRU.

Le but de ce TER est d’´ etudier et d’impl´ ementer l’algorithme de r´ eduction de r´ eseau de Lenstra-Lenstra-Lov´ asz. Assez proche de la m´ ethode de Gram-Schmidt, il permet de calculer efficacement une base d’un r´ eseau form´ ee de « petits » vecteurs. Cet algorithme LLL ne fournit pas en g´ en´ eral le vecteur le plus court d’un r´ eseau, mais il est suffisamment performant pour attaquer des probl` emes combinatoires comme le probl` eme du sac-` a-dos.

Bibliographie

Steven D. Galbraith, Mathematics of Public Key Cryptography, Cambridge, 2012. Partie IV, principalement le chapitre 17.

[www.math.auckland.ac.nz/~sgal018/crypto-book/crypto-book.html]

2 Algorithme Zipper

Le th´ eor` eme de l’application conforme assure que toutes les parties ouvertes simple- ment connexes du plan complexe qui ne sont ni vides ni ´ egales au plan tout entier sont conformes entre elles. Autrement dit, ´ etant donn´ e un domaine Ω hom´ eomorphe au disque unit´ e il existe une bijection holomorphe entre Ω et le disque unit´ e.

Le th´ eor` eme fut ´ enonc´ e, sous l’hypoth` ese plus forte d’une fronti` ere ∂Ω form´ ee d’arcs diff´ erentiables, par Bernhard Riemann dans sa th` ese en 1851. La d´ emonstration de Rie- mann d´ ependait de l’existence d’une solution du probl` eme de Dirichlet sur Ω, existence admise ` a l’´ epoque. Pourtant la m´ ethode de Riemann ne s’applique pas quand la fronti` ere

∂Ω n’est pas suffisamment lisse. Ce cas fut r´ esolu en 1900 par William Fogg Osgood.

Au d´ ebut des ann´ ees 1980, un algorithme ´ el´ ementaire pour trouver une bijection holo- morphe a ´ et´ e d´ ecouvert ind´ ependamment par Reiner K¨ uhnau et par Donald E. Marshall.

L’algorithme est rapide et pr´ ecis et relativement facile ` a programmer.

On se donne n + 1 points distincts du plan complexe et une r´ egion Ω d´ elimit´ ee par une courbe de Jordan γ passant par ces points. L’algorithme fournit une suite de bijections holomorphes explicites qui converge vers une bijection holomorphe entre le disque unit´ e et Ω. La complexit´ e de l’algorithme d´ epend de n mais pas de la courbe γ et l’algorithme converge rapidement, mˆ eme pour des courbes γ peu r´ eguli` eres comme le flocon de Koch.

On ´ etudiera la m´ ethode utilis´ ee par Marshall et Steffen Rohde pour ´ etablir la conver-

gence. En particulier on verra comment la vitesse de convergence varie selon la r´ egularit´ e de γ.

Si le temps le permet on d´ eveloppera des applications en informatique et on fera une com- paraison avec d’autres m´ ethodes num´ eriques : transformations de Schwarz-Christoffel et empilements de cercles.

Pr´ erequis

Fonctions holomorphes au premier semestre.

Bibliographie

Donald E. Marshall, Steffen Rohde, Convergence of the Zipper algorithm for conformal mapping. SIAM J. Numer. Anal., 45(6), 2577-2609, 2007.

[arXiv:math/0605532]

Eitan Sharon, David Bryant Mumford, 2D-shape analysis using conformal mapping.

International Journal of Computer Vision, 70(1) : 55-75, 2006.

[dash.harvard.edu/handle/1/3720034]

3 Allumeurs de r´ everb` eres

Il s’agit de consid´ erer un curieux objet math´ ematique : le groupe de l’allumeur de r´ ever- b` eres. On se munit de copies de Z /2 Z , not´ ees L i pour i ∈ Z , et on consid` ere

M

i∈ Z

L i

! o Z,

o` u le produit semi-direct est donn´ e par le d´ ecalage des indices.

Imaginons une rue infinie, avec des r´ everb` eres index´ es par Z . Chaque r´ everb` ere porte une lampe, allum´ ee ou ´ eteinte, et dans la rue se prom` ene un allumeur de r´ everb` ere.

L’ensemble des configurations possibles (lampes allum´ ees et position de l’allumeur) peut ˆ etre naturellement identifi´ e ` a ce groupe, le groupe de l’allumeur de r´ everb` eres.

De nombreuses curiosit´ es sont accessibles dans la g´ eom´ etrie du groupe (ou de cet espace de configurations) ou de ses variantes, comme l’existence de culs-de-sac, le lien avec certains graphes dits de Diestel-Leader, la croissance du volume des boules, voire des consid´ erations spectrales d’op´ erateurs de moyennisation.

Bibliographie

Jennifer Taback, Lamplighter Groups, chapitre 15 de Office Hours with a Geometric

Group Theorist, Princeton, ed. Matt Clay, Dan Margalit, 2017.

4 Applications lipschitziennes et formules de changement de variables

Il existe des formules de changement de variables pour les fonctions lipschitziennes de R ⁿ dans R ^m : ce sont les formules d’aire si n 6 m et de co-aire si n > m.

Le but du stage est de d´ emontrer ces formules et d’en ´ etudier des applications g´ eom´ e- triques, comme le calcul de la longueur d’une courbe ou de l’aire d’une surface.

Pr´ erequis

Cours de th´ eorie de la mesure et de calcul diff´ erentiel de L3.

Bibliographie

Lawrence Craig Evans, Ronald F. Gariepy, Measure theory and fine properties of func- tions, CRC Press, 2015.

5 Autour du th´ eor` eme de la repr´ esentation conforme de Riemann

Le th´ eor` eme de la repr´ esentation conforme de Riemann affirme que tout domaine sim- plement connexe du plan complexe diff´ erent du plan est biholomorphe au disque unit´ e.

Un domaine est simplement connexe si et seulement si les composantes connexes de son compl´ ementaire sont toutes non born´ ees ce qui ´ equivaut ` a dire que son compl´ ementaire dans la sph` ere de Riemann est connexe.

Une preuve de ce th´ eor` eme a ´ et´ e donn´ ee dans le cours de Fonctions holomorphes, utilisant la notion de famille normale. Ce n’est pas l’id´ ee de la « preuve » originale de Bernhard Riemann (1851). La premi` ere preuve rigoureuse, donn´ ee par William Fogg Osgood en 1900, utilise le principe de Dirichlet et consiste ` a construire une fonction harmonique sur un ouvert, de valeur donn´ ee sur le bord de l’ouvert, comme minimisant une int´ egrale.

Le but du stage est de comprendre et de donner une preuve rigoureuse du th´ eor` eme de la repr´ esentation conforme de Riemann en utilisant la m´ ethode de Riemann.

Pr´ erequis

Le cours d’Analyse complexe du premier semestre.

Bibliographie

Robert E. Greene, Kang-Tae Kim, The Riemann mapping theorem from Riemann’s

viewpoint, Complex Analysis and its Synergies , 3 (1), 2017. [arXiv:1604.04071]

Joseph L. Walsh, History of the Riemann Mapping Theorem, The American Mathema- tical Monthly, 80 (3), 1973, 270-276.

6 Axiomes de G˚ arding-Wightman et th´ eorie quantique des champs

Les axiomes de G˚ arding-Wightman ont ´ et´ e propos´ es par Lars G˚ arding et Arthur Wight- man en 1964. Ils donnent un cadre th´ eorique pour ´ etudier la th´ eorie quantique des champs (QFT). On se propose d’´ etudier la formalisation de la QFT au moyen de ces axiomes, en accordant une attention sp´ eciale aux th´ eories libres.

Bibliographie

Pierre Deligne, Pavel Etingof, Daniel S. Freed, Lisa C. Jeffrey, David Kazhdan, John W.

Morgan, David R. Morrison, Edward Witten (eds.), Quantum fields and strings : a course for mathematicians, Volumes 1 and 2, American Mathematical Society, Providence, 1999.

Walter Rudin, Functional analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

Raymond F. Streater, Arthur S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that, Prin- ceton Landmarks in Physics, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2000. Corrected third printing of the 1978 edition.

7 Cadran solaire digital

En 1987, Kenneth Falconer a montr´ e qu’il existe une fa¸ con de construire un objet phy- sique dont l’ombre ` a chaque heure est cette heure ´ ecrite en chiffres.

Plus math´ ematiquement, ´ etant donn´ ee une famille (θ i ) i∈I de directions dans l’espace de dimension 3 et une famille (A _i ) i∈I d’ensembles mesurables dans le plan, il montre l’existence d’un ensemble mesurable A dans l’espace tel que, pour tout i ∈ I , la projection orthogonale de A sur un plan dans la direction θ i est exactement A i (` a des « presque partout » pr` es).

Il existe plusieurs constructions d’un tel objet en plus de celle de Falconer, et le but du TER est d’en explorer quelques unes. Par exemple, on peut passer par la g´ eom´ etrie fractale, ou sous des hypoth` eses additionnelles sur les projections, r´ ealiser A de mani` ere explicite « par couches ». (C’est d’ailleurs ainsi que sont fabriqu´ es les cadrans solaires que l’on trouve dans le commerce.)

Si tout se passe bien, il sera possible de fabriquer pour de vrai un tel objet, et d’en faire

la d´ emonstration le jour de la soutenance.

Pr´ erequis

Selon la m´ ethode, un peu de th´ eorie de la mesure, de la g´ eom´ etrie euclidienne en di- mension 3, et (si tout se passe bien, donc) un peu de programmation et de travaux manuels.

Bibliographie

Kenneth Falconer, Fractal Geometry : Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 2003.

Ian Stewart, What in heaven is a digital sundial ?. Scientific American, vol. 265, issue 2, 104-106, 1991.

Un exemple : http://www.fransmaes.nl/genk/en/gk-zw08-e.htm

8 Comment optimiser son stationnement ?

Imaginez que vous vous rendez en voiture dans un endroit tr` es int´ eressant (l’Institut Fourier par exemple) et que vous arrivez au bout du parking qui est une (tr` es) longue all´ ee au bout de laquelle se trouve votre destination. Vous vous demandez quelle est la strat´ egie optimale pour perdre le moins de temps : devez-vous vous arrˆ eter ` a la premi` ere place libre qui se pr´ esente ` a vous puis marcher (longtemps du coup), ou bien esp´ erer trouver une place au plus pr` es, quitte ` a recommencer depuis le d´ ebut du parking si besoin ?

Pour aborder cette question, on ´ etudiera l’article en r´ ef´ erence, qui propose une simulation bas´ ee sur des processus de Poisson afin de comparer diff´ erentes strat´ egies possibles.

Un des buts du stage sera de s’approprier la th´ eorie des processus de Poisson afin de red´ emontrer les r´ esultats de l’article, et de proposer des simulations pour les v´ erifier empiriquement.

Mots-clefs

Processus de Poisson, optimisation, simulations.

Bibliographie

Pavel L. Krapivsky, Sydney Redner (2019). Simple parking strategies. Journal of Statis- tical Mechanics : Theory and Experiment, 2019(9), 093404. [arXiv:1904.06612]

Dominique Foata, Aim´ e Fuchs (2002). Processus stochastiques : Processus de Poisson,

chaˆınes de Markov et martingales, Dunod, Paris.

9 Courbes elliptiques, entre alg` ebre, g´ eom´ etrie et analyse

La courbe elliptique complexe est un objet multiforme puisque c’est ` a la fois (une com- pactification du) lieu lisse des z´ eros d’un polynˆ ome cubique en deux variables, une surface de Riemann topologiquement ´ equivalente ` a un tore, et un groupe ab´ elien alg´ ebrique.

Le but du stage est de d´ emontrer que ces trois descriptions sont en fait ´ equivalentes et d’examiner le probl` eme des modules, c’est-` a-dire la construction d’un espace g´ eom´ etrique dont les points sont en bijection naturelle avec toutes les courbes elliptiques possibles.

Le p´ erim` etre du travail sera adapt´ e aux connaissances de l’´ etudiant. Notamment, si l’´ etudiant suit le cours de magist` ere au second semestre, on ira plus loin que dans le cas contraire.

Pr´ erequis

Le cours de Fonctions holomorphes du premier semestre.

Bibliographie

Frances Kirwan, Complex algebraic curves, London Mathematical Society Student Texts 23, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

C. Herbert Clemens, A scrapbook of complex curve theory , University Series in Mathe- matics, Springer, 1980.

10 Courbure des graphes et in´ egalit´ es g´ eom´ etriques

Un graphe (discret) est la donn´ ee d’une famille de points (les sommets) et d’une famille d’arˆ etes, joignant certains sommets. Par exemple, le graphe associ´ e ` a un groupe finiment engendr´ e s’appelle le graphe de Cayley du groupe. Par ailleurs, un graphe peut ˆ etre muni d’une structure naturelle d’espace m´ etrique mesur´ e. Sous des conditions g´ eom´ etriques de type courbure, il est alors possible de faire de l’analyse sur ces espaces.

Un des buts du stage sera de d´ emontrer des in´ egalit´ es g´ eom´ etriques sur les graphes ` a courbure positive.

Pr´ erequis

Th´ eorie de la mesure et topologie de L3. Pas de connaissance requise en g´ eom´ etrie riemannienne.

Bibliographie

Thierry Coulhon, Laurent Saloff-Coste, Isop´ erim´ etrie pour les vari´ et´ es et les groupes, Revista Matematica Iberoamericana 9 (1993), 293-314.

[pi.math.cornell.edu/~lsc/papers/iso-rev.pdf]

11 Course aux armements

Une population de parasites ou de virus soumise ` a un traitement, ou une population de virus qui infecte un nouvel hˆ ote auquel elle n’est pas adapt´ ee, peut rapidement d´ ecroˆıtre, voire s’´ eteindre. Un moyen cependant pour cette population d’´ eviter l’extinction est d’acqu´ erir de nouvelles mutations lui permettant de r´ esister au traitement ou de s’adapter

`

a son nouvel hˆ ote. La valeur du taux de mutation est alors cruciale, car si cette valeur est trop faible, la population n’aura pas le temps de s’adapter et elle s’´ eteindra.

Pour mieux comprendre les dynamiques possibles dans un tel contexte, on partira d’un mod` ele simple. On supposera que les parasites meurent et se divisent de mani` ere ind´ epen- dante et qu’ils ´ evoluent suivant un processus de branchement, initialement sous-critique.

On fera ´ egalement l’hypoth` ese que les individus peuvent muter pour s’adapter ` a leur environnement.

On commencera par consid´ erer un cas simple avec seulement deux types possibles dans la population : un type « non adapt´ e », et un type « adapt´ e », le premier type pouvant muter vers le second type. On pourra ensuite s’int´ eresser ` a des mod` eles plus riches, dans lesquels plusieurs mutations successives peuvent ˆ etre n´ ecessaires pour qu’un individu devienne adapt´ e.

Bibliographie

Maria Concei¸c˜ ao Serra. On the waiting time to escape, Journal of Applied Probability, 43.1 (2006) : 296-302. [doi.org/10.1239/jap/1143936262]

Serik Sagitov, Maria Concei¸ c˜ ao Serra, Multitype Bienaym´ e-Galton-Watson processes escaping extinction, Advances in Applied Probability, 41.1 (2009) : 225-246.

[www.math.chalmers.se/~serik/Papers/SagitovSerra.pdf]

Jasmine Foo, Kevin Leder, Dynamics of cancer recurrence, The Annals of Applied Pro- bability, 23.4 (2013) : 1437-1468. [projecteuclid.org/euclid.aoap/1371834034]

12 Espaces de Hardy de fonctions holomorphes

On note D := {z ∈ C ; |z| < 1} et T := ∂ D . Si 1 6 p < ∞ et si f : D → C est une fonction holomorphe, on dit que f ∈ H ^p ( D ) si et seulement si

sup

06r<1

Z 2π

0

f (re ^it )

p dt < +∞.

Les espaces H ^p ( D ) s’appellent les espaces de Hardy. Ce stage sera consacr´ e ` a l’´ etude des propri´ et´ es des fonctions de ces espaces.

On verra en particulier que les fonctions de H ^p ( D ) admettent une limite radiale en

presque tout point de T, et que cette limite appartient ` a L <sup>p</sup> (T). On consid` erera aussi

des applications de ces espaces ` a des th´ eor` emes de Paley-Wiener, qui relient le support

d’une fonction au comportement de sa transform´ ee de Fourier.

Pr´ erequis

Le contenu des cours de Fonctions holomorphes au premier semestre du M1 et de Calcul int´ egral en L3.

Bibliographie

Walter Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1986.

13 Extensions de corps et groupes de Galois

Nous ´ etudierons les extensions alg´ ebriques et leur groupe de Galois, ce qui nous m` e- nera ` a la correspondance de Galois. Nous nous pencherons sur des exemples et nous appliquerons la th´ eorie ` a la r´ esolubilit´ e par radicaux des ´ equations polynomiales.

Pr´ erequis

Le cours d’Alg` ebre 1 du M1.

Bibliographie

Jean-Pierre Escofier, Th´ eorie de Galois, Dunod, 1997.

14 Factorisation de polynˆ omes sur les corps finis

Un r´ esultat classique d’alg` ebre commutative est que tout polynˆ ome ` a coefficients dans un corps se d´ ecompose de fa¸con unique en un produit de polynˆ omes irr´ eductibles. Mais calculer une telle d´ ecomposition en pratique n’est pas toujours ´ evident.

Le but de ce TER est d’´ etudier deux m´ ethodes dans le cas des corps finis : l’algorithme de Berlekamp et l’algorithme de Cantor-Zassenhaus. Dans les deux cas, une premi` ere

´ etape, non sp´ ecifique aux corps finis, consiste ` a ´ eliminer les facteurs carr´ es. La compr´ e- hension th´ eorique de ces algorithmes et de leur complexit´ e sera compl´ ement´ ee par une impl´ ementation, par exemple en SageMath.

Pour aller plus loin, il sera possible de regarder comment le cas des corps finis peut servir pour factoriser dans Q[X].

Bibliographie

Joachim von zur Gathen, Daniel Panario, Factoring Polynomials Over Finite Fields : A Survey, Journal of Symbolic Computation, Volume 31, Issues 1-2, 3-17, 2001.

[doi.org/10.1006/jsco.1999.1002]

Page Wikipedia Factorization of polynomials over finite fields (tr` es d´ etaill´ ee et avec de nombreuses r´ ef´ erences).

[en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials_over_finite_fields]

15 Formes modulaires

Les formes modulaires sont des fonctions holomorphes d´ efinies sur le demi-plan sup´ erieur et invariantes sous l’action du groupe modulaire. On compte parmi elles les c´ el` ebres fonctions thˆ eta associ´ ees ` a des r´ eseaux dans R ⁿ . Les formes modulaires ont de jolies propri´ et´ es qu’on explorera, et sont devenues incontournables en physique th´ eorique.

L’objectif de ce stage sera donc d’´ etudier ces fonctions et de comprendre comment elles interviennent en math´ ematiques et en physique. On pourra mˆ eme tenter de s’approcher de l’´ equation d’anomalie holomorphe en th´ eorie des cordes.

Pr´ erequis

Ne pas avoir peur du cours sur les fonctions holomorphes.

16 Graphes al´ eatoires, ´ emergence de la composante g´ eante

Les mod` eles de graphes al´ eatoires sont utilis´ es pour ´ etudier le comportement des r´ eseaux dans de nombreux domaines tels que l’informatique (r´ eseaux informatiques), l’´ epid´ emio- logie (r´ eseaux de contacts sociaux) et la chimie (r´ eseaux d’atomes). Dans le mod` ele le plus simple, on consid` ere un graphe G(n, p(n)) sur un nombre n de sommets tel que chaque arˆ ete entre deux sommets distincts se forme avec une probabilit´ e p(n), les formations d’arˆ etes ´ etant ind´ ependantes les unes des autres.

Il est fr´ equent dans ce mod` ele d’observer des ruptures dans le comportement macrosco- pique du graphe al´ eatoire G(n, p(n)) quand n devient grand, en fonction des probabilit´ es p(n). Plus pr´ ecis´ ement, pour beaucoup de propri´ et´ es P du graphe al´ eatoire G(n, p(n)) (comme le fait d’ˆ etre connexe, de poss´ eder une composante de grande taille, etc.), il existe une fonction seuil f _P telle que :

— si p(n)/f _P (n) → c avec c < 1, alors la probabilit´ e que G(n, p(n)) poss` ede la propri´ et´ e P converge vers 0 ;

— si p(n)/f P (n) → c avec c > 1, alors la probabilit´ e que G(n, p(n)) poss` ede la propri´ et´ e P converge vers 1.

Dans ce stage, on examinera les fonctions seuils f _P de la propri´ et´ e P : « poss´ eder une composante g´ eante ». Plus pr´ ecis´ ement, pour chaque λ > 0, on ´ etudiera le comportement asymptotique de la probabilit´ e que G(n, p(n)) poss` ede une composante de taille au moins λn, dont on identifiera les fonctions seuils.

Si le temps le permet, on pourra ´ etudier le cas critique p(n)/f P (n) → 1 plus en d´ etail,

ou s’essayer ` a des simulations informatiques.

Pr´ erequis

Une bonne maˆıtrise de la combinatoire ´ el´ ementaire et des probabilit´ es ´ el´ ementaires.

Bibliographie

B´ ela Bollob´ as, Random Graphs, Cambridge University Press, 1985.

17 Graphes expanseurs et groupes finis

Un graphe fini (donn´ e par un ensemble fini de sommets S, et un ensemble d’arˆ etes, reliant certains de ces sommets) est un -expanseur lorsque, pour toute partie A de S, soit A contient plus que la moiti´ e des sommets, soit l’ensemble des sommets connect´ es

`

a A mais hors de A est de cardinal au moins |S|.

On s’int´ eresse, ` a fix´ e, ` a des graphes -expanseurs. Nous les souhaitons tr` es grands, mais sans faire exploser le nombre de voisins de chaque sommet. Dans ce TER, nous verrons sur des exemples qu’il n’est pas si facile d’en construire. Nous verrons aussi quelques propri´ et´ es remarquables de ces graphes, en termes d’op´ erateur du Laplacien ou de comportement de marches al´ eatoires.

Une construction c´ el` ebre de graphes expanseurs arbitrairement grands, due ` a Gregory Margulis, provient de la th´ eorie des repr´ esentations unitaires du groupe SL ₃ ( Z ), et de ses quotients finis. Selon le temps et les pr´ ef´ erences, on s´ electionnera des aspects abordables de cette approche.

Bibliographie

Alexander Lubotzky, Expander Graphs in Pure and Applied Mathematics, Bulletin of the AMS (New Series), 49 (1), 113-162, 2012. [arXiv:1105.2389]

Alain Valette, Graphes de Ramanujan et applications, Ast´ erisque no. 245 (1997), Expos´ e no. 829, 247-276. [www.numdam.org/article/SB_1996-1997__39__247_0.pdf]

18 Groupes de r´ eflexion finis

Les groupes di´ edraux en dimension 2, comme le groupe des permutations des coordonn´ ees dans R ⁿ euclidien, sont des exemples de groupes finis engendr´ es par des r´ eflexions. Soit E un espace euclidien, l’´ etude g´ en´ erale des sous–groupes finis W de O(E) engendr´ es par des r´ eflexions est intimement li´ ee ` a celle de leur action sur les syst` emes de racines de E, d´ efinies comme des configurations finies de vecteurs satisfaisant certaines propri´ et´ es g´ eom´ etriques, comme l’invariance par les r´ eflexions de W .

L’´ etude g´ eom´ etrique correspondante nous am` enera ` a d´ ecrire le groupe W comme en-

gendr´ e par ses r´ eflexions simples s _α , les seules relations entre ces r´ eflexions ´ etant les

relations de Coxeter (s α s β ) ^m(α,β) = 1.

Cette pr´ esentation du groupe W est cod´ ee par le graphe de Coxeter de W . On asso- ciera ` a ce graphe une forme bilin´ eaire qui permet de classifier les groupes de r´ eflexion ` a isomorphisme pr` es. On d´ ecrira ainsi les syst` emes de racines associ´ es et l’ordre de W . Pr´ erequis

Alg` ebre bilin´ eaire de L2, cours d’Alg` ebre de L3 sur les groupes.

Bibliographie

James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, CSAM 29, 1990, chapitres 1 et 2.

19 Groupes d’homotopie des sph` eres

Les groupes d’homotopie π _k X d’un espace topologique X sont des invariants qui g´ en´ era- lisent le groupe fondamental, obtenu pour k = 1. Pour k > 2, ces groupes sont ab´ eliens mais leur calcul reste difficile. D´ ej` a pour la sph` ere S ⁿ de dimension n le calcul n’est pas envisageable pour k et n quelconques.

On tentera de comprendre quelques calculs des groupes π _k S ⁿ , la propri´ et´ e de stabi- lit´ e (quand n est grand par rapport ` a k − n) et aussi le lien avec certains groupes de cobordisme de vari´ et´ es grˆ ace ` a l’isomorphisme de Thom-Pontryagin.

Le travail propos´ e est donc l’occasion de rencontrer des notions cl´ es en topologie alg´ e- brique et en topologie diff´ erentielle. Il serait pr´ ef´ erable d’avoir suivi le cours de magist` ere sur le groupe fondamental.

Bibliographie

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge, 2002.

[pi.math.cornell.edu/~hatcher]

John W. Milnor, Topology from the differential viewpoint, 1965.

20 In´ egalit´ es de concentration : application au probl` eme de la d´ etection d’anomalies

Les in´ egalit´ es de concentration fournissent des majorants de la probabilit´ e qu’une va- riable al´ eatoire X s’´ eloigne d’une certaine valeur prescrite (g´ en´ eralement sa moyenne ou sa m´ ediane). Un exemple simple est l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev bien connue, qui stipule que, pour toute variable al´ eatoire X de carr´ e int´ egrable et de variance σ ² et pour tout a > 0,

P (|X − E [X] | > a) 6 σ ² /a ² .

Le premier but du stage sera d’´ etudier plusieurs in´ egalit´ es de concentration : in´ egalit´ e de Hoeffding, in´ egalit´ e de Bernstein, in´ egalit´ e de concentration gaussienne, etc. Puis on

´ etudiera l’article d’Addario-Berry et al. donn´ e en r´ ef´ erence, qui s’int´ eresse au probl` eme de la d´ etection d’un sous-´ echantillon « contamin´ e » au sein d’un ´ echantillon gaussien.

Pr´ erequis

Le contenu d’un cours de L3 en probabilit´ es et le cours de M1 de statistique.

Bibliographie

St´ ephane Boucheron, G´ abor Lugosi, Pascal Massart (2013). Concentration inequalities : A nonasymptotic theory of independence, Oxford University Press. Chapitres 1 et 2.

Louigi Addario-Berry, Nicolas Broutin, Luc Devroye, G´ abor Lugosi (2010). On combi- natorial testing problems, Annals of Statistics , 38 (5), 3063-3092.

[projecteuclid.org/euclid.aos/1283175989]

21 Le h-principe

Comment retourner une sph` ere sans la d´ echirer mais en permettant qu’elle s’auto- intersecte ? Stephen Smale a d´ emontr´ e en 1957 que c’´ etait th´ eoriquement possible et on trouve facilement de nos jours des vid´ eos expliquant comment le faire effectivement. Il s’agit en fait ici de classifier les immersions S <sup>2</sup> → R <sup>3</sup> de la sph` ere dans l’espace euclidien.

Le probl` eme se g´ en´ eralise aux immersions M → N entre deux vari´ et´ es quelconques, il est

« r´ esolu » (au sens de, ramen´ e ` a un autre probl` eme) dans le cas o` u M est de codimension au moins 1 dans N .

Cette question et bien d’autres qui lui sont reli´ ees ont ´ et´ e abord´ ees par Mikhail Gromov

`

a la fin des ann´ ees 60 sous l’angle de ce que Gromov a baptis´ e « h-principe ». Quand ce principe s’applique, un probl` eme g´ eom´ etrique (difficile, ou en tout cas perturbant) est ramen´ e ` a un probl` eme plus simple (de nature plutˆ ot alg´ ebrique).

L’objectif sera de comprendre la formulation du h-principe ainsi que le th´ eor` eme de Gromov selon lequel le h-principe est valide pour toute relation diff´ erentielle invariante et ouverte. On suivra la d´ emonstration de Yakov Eliashberg et Nikola Mishachev, bas´ ee sur la m´ ethode dite d’approximation holonome. Enfin, on ´ etudiera des applications de ce th´ eor` eme, en particulier concernant les immersions.

Pr´ erequis

Un attrait pour la g´ eom´ etrie et la topologie (et la marche en montagne) serait bienvenu.

Bibliographie

Yakov Eliashberg, Nikola Mishachev, Introduction to the h-principle, Graduate studies

in Matematics, AMS, 2002.

Vincent Borrelli, Introduction au h-principe, notes de cours.

[math.univ-lyon1.fr/homes-www/borrelli]

22 Loi de r´ eciprocit´ e (bi)quadratique

Il est connu que pour p nombre premier impair qui ne divise pas l’entier a, la congruence x ² ≡ a mod p admet une solution si et seulement si a

≡ 1 mod p. Vue dans F p , cette puissance de a est la valeur d’un caract` ere (c’est-` a-dire, un morphisme dans C ^× ) d’ordre 2 du groupe F ^× _p : le symbole de Legendre. Inversant le point de vue, la loi de r´ eciprocit´ e quadratique permet de savoir, a ´ etant fix´ e, pour quels premiers p la congruence x ² ≡ a mod p admet une solution. D’abord formul´ ee par Euler et Legendre, ce fut Gauss qui en donna la premi` ere preuve en 1801, la baptisant le th´ eor` eme d’or.

Cette loi a par la suite ´ et´ e tr` es largement g´ en´ eralis´ ee, par ´ etapes successives. Dans ce TER il s’agira ainsi d’´ etudier ´ egalement la loi de r´ eciprocit´ e biquadratique ´ enonc´ ee par Gauss : la consid´ eration des carr´ es modulo un nombre premier y est remplac´ ee par celle des puissances quatri` emes modulo un irr´ eductible de l’anneau Z[i]. On consid` erera pour cela un caract` ere biquadratique, g´ en´ eralisation ad´ equate du symbole de Legendre. On montrera ´ egalement une version rationnelle de cette loi, qui relie les deux propri´ et´ es, pour p et q nombres premiers distincts congrus ` a 1 modulo 4, que l’un soit ou non une puissance quatri` eme modulo l’autre.

Pour mener ` a bien cette ´ etude, on d´ eveloppera les propri´ et´ es des sommes de Gauss puis des sommes de Jacobi associ´ ees ` a diff´ erents caract` eres sur F p . Suivant Andr´ e Weil, on ´ etudiera leurs applications arithm´ etiques au d´ enombrement de solutions d’´ equations polynomiales sur F p , d´ ecouvrant au passage une seconde preuve de la loi de r´ eciprocit´ e quadratique.

Pr´ erequis

Anneaux et corps au premier semestre du M1.

Bibliographie

Kenneth Ireland, Michael Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer, 1990, 2d ed., chapitres 6, 8 et 9, partiellement.

23 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

En th´ eorie des nombres, la loi de r´ eciprocit´ e quadratique ´ etablit des liens entre les

nombres premiers ; plus pr´ ecis´ ement, elle d´ ecrit la possibilit´ e d’exprimer un nombre pre-

mier comme un carr´ e modulo un autre nombre premier. Conjectur´ ee par Leonhard Euler

et reformul´ ee par Adrien-Marie Legendre, elle a ´ et´ e correctement d´ emontr´ ee pour la pre- mi` ere fois par Carl Friedrich Gauss en 1801. Elle permet de r´ esoudre les deux probl` emes de base de la th´ eorie des r´ esidus quadratiques, est consid´ er´ ee comme un des th´ eor` emes les plus importants de la th´ eorie des nombres, et donne lieu ` a de nombreuses g´ en´ eralisations.

Rappelons-la.

Th´ eor` eme fondamental. ´ Etant donn´ es deux nombres premiers impairs distincts p et q :

— si p ou q est congru ` a 1 modulo 4, alors p est un carr´ e modulo q si et seulement si q est un carr´ e modulo p.

— si p et q sont congrus ` a 3 modulo 4, alors p est un carr´ e modulo q si et seulement si q n’est pas un carr´ e modulo.

Les premi` eres d´ emonstrations aujourd’hui consid´ er´ ees comme compl` etes sont publi´ ees par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Aujourd’hui on compte plus de 200 d´ emonstrations de ce r´ esultats, dont une preuve de Don Zagier remarquable car tenant en une ligne.

On va ´ etudier trois preuves de ce r´ esultat, bas´ ees respectivement sur les propri´ et´ es de la division euclidienne dans les entiers de Gauss, sur les modules libres de rang 2 suivant Lucas, et sur l’involution de Zagier et son interpr´ etation en termes de la combinatoire des moulins ` a vents d´ ecouverte par Alexander Spivak en 2006. On mettra en avant la g´ eom´ etrie sous-jacente ` a ces preuves.

Pr´ erequis

L’UE Alg` ebre 1 au premier semestre du M1.

Bibliographie

Christian Elsholtz, A combinatorial approach to sums of two squares and related pro-

blems, Additive Number Theory : Festschrift in Honor of the sixtieth birthday of Melvyn

B. Nathanson, Springer Verlag, 2010, pages 115-140.

[www.math.tugraz.at/~elsholtz/WWW/papers/papers.html]

Stan Wagon, The Euclidean algorithm strikes again. Amer. Math. Monthly 97(2) (1990), 125–129.

Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p = 1 (mod 4) is a sum of two squares, Amer. Math. Monthly 97(2) (1990), 144.

[people.mpim-bonn.mpg.de/zagier]

Zagier’s one-sentence proof of a theorem of Fermat, page du site MathOverflow.

[mathoverflow.net/questions/31113]

24 Marches quantiques ouvertes

La notion de marche al´ eatoire en probabilit´ e poss` ede des g´ en´ eralisations non commuta- tives inspir´ ees de la physique, appel´ ees marches quantiques. Parmi celles-ci, figurent les marches quantiques ouvertes, d´ efinies par analogie avec les chaˆınes de Markov classiques.

Plus prosa¨ıquement, une marche quantique, ouverte ou non, est un syst` eme dynamique lin´ eaire discret sur des suites de matrices poss´ edant certaines propri´ et´ es alg´ ebriques.

Dans ce stage, on se concentrera sur le comportement asymptotique des syst` emes dy- namiques d´ efinis par certaines marches quantiques ouvertes. Plus pr´ ecis´ ement, apr` es familiarisation avec certains aspects du formalisme g´ en´ eral, on consid` erera des marches quantiques ouvertes dites invariantes par les translations, dont on ´ etudiera les propri´ e- t´ es spectrales au moyen de la th´ eorie des s´ eries de Fourier. On s’inspirera des exemples num´ eriques de la litt´ erature.

Bibliographie

Robert Alicki, Mark Fannes, Quantum Dynamical Systems, Oxford University Press, 2001.

Michael M. Wolf, Mathematical Introduction to Quantum Information Processing. Notes de cours disponibles sur le web, 2019.

St´ ephane Attal, Francesco Petruccione, Christophe Sabot, Ilya Sinayskiy, Open Quantum Random Walks, Journal of Statistical Physics, 147, 832-852 (2012).

[hal.archives-ouvertes.fr/hal-00581553v2]

25 M´ ethode de Stein et in´ egalit´ e de Berry-Esseen

Pour Z une variable al´ eatoire et f une fonction r´ eelle, notons A _f (Z ) := E

f ⁰ (Z ) − Zf (Z ) .

Le lemme de Stein stipule que A _f (Z) = 0 pour toute fonction f continue C ¹ par mor-

ceaux, si et seulement si Z suit la loi gaussienne centr´ ee r´ eduite.

A partir de ce constat, l’id´ ` ee de la m´ ethode de Stein consiste ` a consid´ erer A _F (W ) := sup

f∈F

A _f (W )

et ` a remarquer que si, pour F un ansemble convenable de fonctions, A _F (W ) est proche de 0, alors la loi de W doit ˆ etre proche de la loi gaussienne. Plus pr´ ecis´ ement, un contrˆ ole de A _F (W ) permet d’obtenir un contrˆ ole de la “distance” entre la loi de W et la loi gaussienne centr´ ee r´ eduite.

Le but du stage sera d’´ etudier cette m´ ethode (pour la loi gaussienne et pour d’autres) et comment elle permet d’obtenir une in´ egalit´ e de Berry-Esseen (cette derni` ere donnant la vitesse de convergence du th´ eor` eme de la limite centrale).

Pr´ erequis

Le contenu d’un cours de L3 en probabilit´ es.

Bibliographie

Vydas ˇ Cekanaviˇ cius (2016). Approximation methods in probability theory, Springer, Uni- versitext. Chapitre 11.

Erik Thomas (2020), L’in´ egalit´ e de Berry-Ess´ een par la m´ ethode de Stein et une version quantitative du th´ eor` eme central limite. [erikthomasmaths.com]

26 Nombres de Hurwitz

Les nombres de Hurwitz ´ enum` erent les revˆ etements ramifi´ es holomorphes de la sph` ere.

Ces nombres peuvent se calculent par des m´ ethodes combinatoires. Les s´ eries g´ en´ eratrices correspondantes poss` edent des propri´ et´ es ´ etonnantes provenant tout droit de la th´ eorie des cordes en physique, notamment du ph´ enom` ene appel´ e sym´ etrie miroir.

L’objectif de ce stage sera de d´ ecouvrir ces nombres, leurs propri´ et´ es et leurs relations avec le monde des surfaces de Riemann. On pourra mˆ eme introduire le formalisme d’Eynard-Orantin pour les g´ en´ eraliser et ainsi aller plus loin dans l’´ etude du sujet.

Pr´ erequis

Un peu de groupe sym´ etrique, de fonctions holomorphes, de g´ eom´ etrie et de combina- toire.

Bibliographie

Renzo Cavalieri, Eric Miles, Riemann surfaces and algebraic curves : A First Course in

Hurwitz Theory, Cambridge, 2016.

27 Op´ erateurs d’int´ egrales singuli` eres

Voici un th´ eor` eme : Soit p > 1 fini. Si la fonction f : R ⁿ → R est de classe C ² et si

∆f ∈ L ^p ( R ⁿ ), alors ∂ ² f

∂x _i ∂x _j ∈ L ^p ( R ⁿ ) pour tous 1 6 i, j 6 n.

Un aspect remarquable de ce r´ esultat est qu’une information sur le laplacien suffit ` a en obtenir sur toutes les d´ eriv´ ees partielles d’ordre 2.

Dans ce stage, on verra comment d´ emontrer ce r´ esultat. Pour cela, on ´ etudiera des op´ erateurs T : f 7→ T f de la forme

T f (x) = Z

R

K(x, y)f (y)dy,

o` u K est une fonction mesurable sur R <sup>n</sup> × R <sup>n</sup> , appel´ ee le noyau de K, v´ erifiant certaines hypoth` eses de taille et de r´ egularit´ e. On montrera que, sous certaines hypoth` eses, les op´ erateurs T sont continus sur L ^p (R ⁿ ), pour p > 1 fini. On donnera aussi des applications

`

a l’´ etude de certaines ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.

Pr´ erequis

Le contenu d’un cours de L3 en th´ eorie de la mesure.

Bibliographie

Yves Meyer, Ondelettes et op´ erateurs II , Hermann, 1990.

28 Paradoxe de Banach-Tarski

Le paradoxe de Banach-Tarski est c´ el` ebre sous la forme suivante : une boule dans R ³ peut ˆ etre divis´ ee en un nombre fini de morceaux (non mesurables) avec lesquels on peut reconstruire deux boules de la mˆ eme taille. L’´ enonc´ e initial du paradoxe est bien plus fort : dans R ⁿ , tous les ensembles A et B d’int´ erieurs born´ es et non vides sont

´ equi-d´ ecomposables, en d’autres termes, on peut d´ ecomposer A en un nombre fini de morceaux ` a partir desquels on peut reconstruire B.

Le but principal du TER sera de comprendre la d´ emonstration du paradoxe de Banach- Tarski ` a partir des articles originaux de Stefan Banach et Alfred Tarski, que ces deux math´ ematiciens polonais ont ´ ecrits en fran¸ cais. Le cas ´ ech´ eant, on pourrait s’aventurer ` a examiner l’´ echec du paradoxe en dimension 2, ou bien le nombre minimal de morceaux n´ ecessaires ` a un d´ edoublement de la boule, ou encore le rˆ ole de l’axiome du choix dans la validit´ e du th´ eor` eme.

Pr´ erequis

De l’alg` ebre et de la topologie de L3, et une absence d’aversion pour la logique math´ e-

matique.

Bibliographie

Stefan Banach, Alfred Tarski (1924), Sur la d´ ecomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Mathematicae.

Felix Hausdorff (1914), Bemerkung ¨ uber den Inhalt von Punktmengen, Mathematische Annalen (optionnel).

Casimir Kuratowski (1924), Une propri´ et´ e des correspondences biunivoques, Fundamenta Mathematicae.

Stan Wagon (1985), The Banach Tarski Paradox , Cambridge University Press.

29 Percolation critique et invariance conforme

La percolation est un des mod` eles de m´ ecanique statistique les plus simples ` a d´ efinir, mais elle reste dans l’ensemble assez mal comprise. Une version est la suivante : sur le r´ eseau hexagonal dans le plan, on colorie ind´ ependamment chaque face en bleu avec probabilit´ e p et en jaune avec probabilit´ e 1 − p ; on s’int´ eresse ` a la g´ eom´ etrie des composantes connexes bleues. Il n’est pas difficile de prouver que pour p petit, toutes ces composantes sont born´ ees avec probabilit´ e 1, alors que pour p proche de 1, il existe une composante non born´ ee, et on sait que la transition entre ces deux r´ egimes se fait pour p = 1/2.

Dans le r´ egime critique p = 1/2, toutes les composantes connexes bleues sont encore finies mais la plus grande composante dans une r´ egion de taille L est elle aussi de taille d’ordre L (il n’y a pas d’´ echelle caract´ eristique). Un des r´ esultats les plus marquants dans ce domaine, qui a (entre autres) valu en 2010 ` a Stanislav Smirnov la m´ edaille Fields, est la preuve de la convergence, quand n → ∞, de la probabilit´ e qu’il existe une composante bleue traversant le rectangle [0, λn] × [0, n] dans le sens de la largeur, vers une fonction explicite de λ donn´ ee par une formule dite formule de Cardy.

On a en fait un r´ esultat beaucoup plus frappant. Si Ω est une r´ egion simplement connexe du plan complexe, et I et J sont deux intervalles du bord de Ω, on peut regarder la probabilit´ e pour que dans le domaine nΩ (zoom´ e d’un facteur n), il existe une composante bleue reliant nI ` a nJ : quand n → ∞, cette probabilit´ e converge vers une limite π(Ω, I, J ) (c’est le r´ esultat de Smirnov), et cette limite est invariante par transformation conforme, ce qui signifie que, si Φ : Ω → Φ(Ω) est une transformation conforme, alors

π(Φ(Ω), Φ(I ), Φ(J)) = π(Ω, I, J ).

L’extension de ce r´ esultat ` a d’autres r´ eseaux reste une question ouverte majeure.

Le but du TER sera de comprendre suffisamment les bases de la th´ eorie de la percolation

pour ˆ etre en mesure de lire la preuve (elle-mˆ eme tr` es courte) du r´ esultat de Smirnov.

Pr´ erequis

Le cours de variable complexe du premier semestre Bibliographie

Stanislav Smirnov, Critical percolation in the plane : conformal invariance, Cardy’s for- mula, scaling limits, Comptes Rendus de l’Acad´ emie des Sciences S´ erie I - Math´ ema- tiques, 333 (2001), 239-244. [www.unige.ch/~smirnov]

Gregory F. Lawler, Conformally Invariant Processes in the Plane, American Mathema- tical Soc., 2008.

30 Produits normalement ordonn´ es de champs

Le but du projet est d’´ etudier la construction du produit normalement ordonn´ e de champs en th´ eorie quantique de champs, en montrant qu’il s’agit d’une sym´ etrisation du produit externe de distributions. On ´ etudiera d’abord les aspects basiques de la th´ eorie des distributions, puis on les appliquera au cas de la construction de produits normale- ment ordonn´ es en th´ eorie quantique des champs.

Bibliographie

Danielle Pesenti, Produit de Wick des formes sesquilin´ eaires, S´ eminaire de Th´ eorie du Potentiel (Paris, 1972), Springer, Berlin, 1976, pp. 120-143. Lecture Notes in Mathema- tics, Volume 518.

Walter Rudin, Functional analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

31 Propri´ et´ es de sym´ etrie des solutions de certaines ´ equa- tions aux d´ eriv´ ees partielles

Soient B = {x ∈ R ⁿ ; kxk < r} une boule euclidienne de R ⁿ et u ∈ C ² (B). On suppose que u > 0 dans B, que u = 0 sur ∂B, et qu’il existe une fonction f de classe C ¹ telle que, pour tout x ∈ B ,

∆u(x) + f (u(x)) = 0.

Alors la fonction u est radiale au sens o` u u(x) ne d´ epend que de la norme euclidienne kxk de x.

Dans ce TER, on ´ etudiera la preuve de ce r´ esultat, dˆ u ` a Gidas, Ni et Nirenberg, et on

en examinera diverses extensions.

Pr´ erequis

Des notions ´ el´ ementaires de calcul diff´ erentiel, niveau L3.

Bibliographie

Basilis Gidas, Wei Ming Ni, Louis Nirenberg, Symmetry and related properties via the maximum principle, Comm. Math. Phys. 68, 209-243, 1979.

32 Que le meilleur gagne (ou pas...)

En ´ ecologie, le principe d’exclusion comp´ etitive postule que quand deux esp` eces sont en comp´ etition pour une mˆ eme ressource, la « meilleure » comp´ etitrice va finir par ex- clure l’autre esp` ece. La diversit´ e que l’on observe dans certaines communaut´ es d’esp` eces, pourtant en comp´ etition pour peu de ressources, semble cependant contredire ce principe.

Une hypoth` ese pour expliquer ce ph´ enom` ene est que les variations de l’environnement permettraient ` a la « meilleure » esp` ece de varier au cours du temps.

On essayera de mieux comprendre ce ph´ enom` ene en s’int´ eressant ` a un mod` ele simple, dans lequel deux esp` eces ´ evoluent suivant un syst` eme de Lotka-Volterra comp´ etitif de dimension 2, dont les param` etres peuvent prendre deux ensembles de valeurs et changent

`

a des temps al´ eatoires. Des comportements contre-intuitifs peuvent alors apparaˆıtre, par exemple le syst` eme peut fluctuer entre deux ´ etats favorables ` a la mˆ eme esp` ece, et pourtant conduire ` a la disparition de cette esp` ece.

On s’appuiera sur l’article donn´ e en r´ ef´ erence, qui pr´ esente une ´ etude exhaustive de ce type de syst` emes.

Bibliographie

Michel Bena¨ım, Claude Lobry, Lotka-Volterra with randomly fluctuating environments, or : How switching between beneficial environments can make survival harder, The An- nals of Applied Probability, 26.6 (2016), 3754-3785.

[projecteuclid.org/euclid.aoap/1481792599]

33 Quelques propri´ et´ es de l’op´ erateur divergence

Pour toute fonction u : R ⁿ → R ⁿ diff´ erentiable, la divergence de u est d´ efinie par div u :=

n

X

i=1

∂u ⁱ

∂x _i .

Ce TER est consacr´ e ` a l’´ etude des ´ equations div u = f et div u = µ, o` u f ∈ L ^p ( R ⁿ ) est

une fonction et µ est une mesure bor´ elienne sur R ⁿ .

Par exemple, on montrera que, si u ∈ L ^p (R ⁿ , R ⁿ ) est de classe C ¹ avec 1 6 p 6 _n−1 ⁿ et si div u = µ, alors µ = 0. Plus g´ en´ eralement, on examinera les liens entre les propri´ et´ es de f ou de µ, et les propri´ et´ es de la solution u.

Pr´ erequis

Le contenu d’un cours de L3 en th´ eorie de la mesure et en calcul diff´ erentiel.

Bibliographie

Eduard Curc` a, On the existence of vector fields with nonnegative divergence in rearran- gement invariant spaces, Indiana Univ. Math. J. 69 (1), 119-136, 2020.

Nguyen Cong Phuc, Monica Torres, Characterizations of the existence and removable singularities of divergence-measure vector fields, Indiana Univ. Math. J. 57 (4), 1573- 1597, 2008.

34 Repr´ esentabilit´ e ab´ elienne

Dans le cadre de la th´ eorie de l’information pour les r´ eseaux, on associe ` a chaque n-uplet de variables al´ eatoires discr` etes un vecteur d’entropie ` a valeurs dans l’espace euclidien de dimension 2 ⁿ − 1, et on souhaite d´ ecrire la r´ egion Γ ^∗ _n form´ ee par tous ces vecteurs.

Or, chaque groupe fini G muni de n sous–groupes G ₁ , G ₂ , . . ., G _n , d´ etermine un tel n-uplet de variables, dont le vecteur d’entropie correspond ` a la donn´ ee des indices dans G des diff´ erentes intersections des G i . Il a ´ et´ e montr´ e que la r´ egion d’entropie associ´ ee aux groupes finis suffit ` a d´ eterminer l’adh´ erence de Γ ^∗ _n , alors que si n > 4 la r´ egion d’entropie associ´ ee aux seuls groupes ab´ eliens finis est strictement plus petite.

En vue notamment de comprendre les strat´ egies de codage non lin´ eaire pour le codage en r´ eseau, on souhaite pr´ eciser quels groupes ont un vecteur d’entropie « ab´ elien ». On appelle ainsi Ab -repr´ esentable tout groupe fini G tel que pour tout choix de n sous–

groupes G ₁ , G ₂ , . . .,G _n de G, il existe un groupe ab´ elien fini A muni de n sous–groupes A 1 , A 2 , . . .,A n , qui donne lieu au mˆ eme vecteur d’entropie que G muni des sous-groupes G 1 , G 2 , . . .,G n .

La nilpotence pour un groupe est une propri´ et´ e qui g´ en´ eralise la commutativit´ e ; tout p–

groupe fini est nilpotent. On montrera dans ce TER que les groupes finis Ab -repr´ esenta- bles sont nilpotents, et inversement on ´ etablira la repr´ esentabilit´ e ab´ elienne de certaines classes de 2–groupes finis, ainsi que de la classe des p–groupes de degr´ e de nilpotence strictement inf´ erieur ` a p. Il s’agira pour cela d’´ etablir des correspondances entre les diff´ erentes structures de sous-groupes.

Pr´ erequis

Cours d’Alg` ebre de L3 sur les groupes.

Bibliographie

Pirita Paajanen, Finite p–groups, entropy vectors, and the Ingleton inequality for nil- potent groups, IEEE Trans. Inform. Theory 2014, 60 (7) :3821-3824. [arXiv:1308.2069]

Eldho K. Thomas, Nadya Markin, Fr´ ed´ erique Oggier, On abelian group representability of finite groups, Adv. Math. Comm. 2014, 8 (2) :139-152. [arXiv:1212.1298]

35 R´ esultant de deux polynˆ omes et applications

Nous ´ etudierons le lien entre le r´ esultant de deux polynˆ omes et leurs racines communes.

Nous appliquerons cette ´ etude au th´ eor` eme de Bezout en donnant une majoration du nombre de points d’intersection de deux courbes alg´ ebriques planes. Nous verrons aussi comment utiliser le r´ esultant pour montrer le th´ eor` eme de Pascal sur les coniques.

Pr´ erequis

Le cours d’Alg` ebre 1 du M1.

Bibliographie

Daniel Perrin, R´ esultant et discriminant.

[www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Sevres.html]

Jo¨ el Brian¸con, Philippe Maisonobe, El´ ´ ements d’alg` ebre commutative, Ellipses, 2004.

36 Semi-groupes dynamiques quantiques

La dynamique d’un syst` eme quantique est convenablement approch´ ee, sous certaines conditions, par une ´ equation diff´ erentielle ordinaire lin´ eaire donnant lieu ` a ce qu’on ap- pelle un semi-groupe dynamique quantique, ou semi-groupe markovien quantique. L’in- connue, solution de l’EDO, est une matrice dont des consid´ erations physiques exigent qu’elle soit compl` etement positive en tout temps et de trace un. Ces conditions im- posent une structure particuli` ere sur le g´ en´ erateur de l’EDO, comme l’ont montr´ e Gorini- Kossakowski-Sudarshan et Lindblad dans un contexte plus g´ en´ eral.

L’objectif de ce TER est de se familiariser avec les notions et avec le formalisme menant

`

a ce r´ esultat de structure dans le cas matriciel et d’en ´ etudier certaines propri´ et´ es.

On analysera ´ egalement la dynamique de cas particuliers de semi-groupes dynamiques quantiques.

Bibliographie

Robert Alicki, Mark Fannes, Quantum Dynamical Systems, Oxford University Press,

2001.

Michael M. Wolf, Mathematical Introduction to Quantum Information Processing. Notes de cours disponibles sur le web, 2019.

Teiko Heinosaari, Mario Ziman, The mathematical language of quantum theory : From uncertainty to entanglement, Cambridge University Press, 2012.

37 Surfaces minimales et repr´ esentation de Weierstrass- Enneper

D’apr` es Wikipedia : « En g´ eom´ etrie diff´ erentielle ´ el´ ementaire, une surface minimale est une surface ferm´ ee et born´ ee d’un espace affine r´ eel euclidien de dimension 3 ` a bord r´ egulier minimisant l’aire totale ` a contour fix´ e. La d´ efinition se g´ en´ eralise en g´ eom´ etrie diff´ erentielle : une surface minimale dans une vari´ et´ e riemannienne donn´ ee est le plon- gement d’une vari´ et´ e compacte ` a bord minimisant le volume riemannien ` a bord fix´ e.

Intuitivement, une surface minimale est une surface dont l’aire ou le volume ne peut qu’augmenter lorsqu’on lui applique une perturbation suffisamment petite. Les surfaces minimales forment donc l’analogue en dimension sup´ erieure des g´ eod´ esiques (courbes dont la longueur ne peut qu’augmenter sous l’effet d’une perturbation assez petite et as- sez localis´ ee). La surface d’Enneper est une surface non plong´ ee de courbure nulle.

D´ ecrire les surfaces minimales n’est pas un probl` eme math´ ematique simple. La premi` ere approche est d’effectuer un calcul des variations sur l’aire ou le volume riemannien vu comme une fonctionnelle d’´ energie. Cette m´ ethode permet d’en d´ ecrire les points cri- tiques : il s’agit des surfaces dont la courbure moyenne est nulle, ou des sous-vari´ et´ es dont la courbure sectionnelle est nulle. Cette propri´ et´ e est parfois pr´ esent´ ee comme une d´ efinition des surfaces minimales. Les deux d´ efinitions ne sont pas ´ equivalentes.

Certaines surfaces minimales peuvent ˆ etre mat´ erialis´ ees par des bulles de savon s’ap- puyant sur un contour, car le film de savon tend ` a minimiser son ´ energie, donc sa su- perficie. Elles sont utilis´ ees justement en ing´ enierie pour minimiser la surface de contact et donc par exemple les pertes d’´ energie. »

On peut montrer que toute surface minimale r´ eguli` ere peut-ˆ etre repr´ esent´ ee par deux fonctions m´ eromorphes, c’est la repr´ esentation de Weierstrass-Enneper. Le travail de- mand´ e pour ce TER sera de donner plusieurs d´ efinitions des surfaces minimales dans R ³ puis, au minimum, de montrer qu’une repr´ esentation de Weierstrass-Enneper est bien une surface minimale et d’´ etudier quelques exemples.

Pr´ erequis

Le cours d’analyse complexe du premier semestre. On utilisera aussi des notions du cours de g´ eom´ etrie diff´ erentielle.

Bibliographie

Celso Costa, Surfaces minimales dans R ³ , S´ eminaire de Th´ eorie spectrale et g´ eom´ etrie,

tome 7 (1988-1989), 53-91.

[www.numdam.org/article/TSG_1988-1989__7__53_0.pdf]

Surface minimale, page web mathcurve.com/surfaces/minimale/minimale.shtml Roshan Sharma (2012), The Weierstrass representation always gives a minimal surface.

[arXiv:1208.5689]

38 Tests group´ es et SARS-CoV-2

De nombreux tests ont ´ et´ e mis en place pendant l’´ epid´ emie de SARS-CoV-2 pour d´ etecter les personnes malades. Malheureusement, l’approvisionnement en tests n’a pas toujours

´ et´ e suffisant pour tester suffisamment de personnes et endiguer l’´ epid´ emie. Afin de contrer ce probl` eme, plusieurs chercheurs fran¸ cais proposent de recourir aux tests group´ es. Le principe est de regrouper les pr´ el` evements dans un seul test : si le test est n´ egatif alors on suppose que toutes les personnes sont n´ egatives mais s’il est positif, cela veut dire qu’au moins une personne est contamin´ ee et diff´ erentes strat´ egies sont alors possibles. Le but est ainsi de diminuer le nombre de tests r´ ealis´ es tout en testant une grande population.

Le but du TER est d’explorer plusieurs strat´ egies de tests group´ es et de r´ efl´ echir ` a l’in- fluence des faux positifs et des faux n´ egatifs sur ces strat´ egies. On s’int´ eressera ´ egalement

`

a leur adaptation au cas du virus SARS-CoV-2, avec notamment une ´ etude de la charge virale dans la population.

Mots-clefs

Probabilit´ e, statistique, simulations.

Bibliographie

Vincent Brault, Bastien Mallein, Jean-Fran¸ cois Rupprecht (2020). Group testing as a strategy for the epidemiologic monitoring of COVID-19 . [arXiv:2005.06776]

39 M´ etrique de Schwarzschild (ex-Th` eme num´ ero 1)

La m´ etrique de Schwarzschild d´ ecrit des trous noirs ` a sym´ etrie sph´ erique. C’est une solution exacte des ´ equations d’Einstein dans le vide. De nombreuses pr´ edictions de la relativit´ e g´ en´ erale sont bas´ ees sur une ´ etude d´ etaill´ ee de cette m´ etrique.

Pendant ce TER, l’´ etudiant(e) devra d’abord apprendre les bases de la g´ eom´ etrie lorent-

zienne. On examinera ensuite plus en d´ etail la m´ etrique de Schwarzschild. On comprendra

en particulier la notion de trou noir et l’existence d’une sph` ere de photons qui est une

sph` ere sur laquelle des photons peuvent tourner sans aller ` a l’infini.

Bibliographie

Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984.

Barrett O’Neill, Semi-Riemannian Geometry, With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press 1983.

40 Equations de Maxwell (ex-Th` ´ eme num´ ero 2)

Les ´ equations de Maxwell sont des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles fournissant les postu- lats de base de l’´ el´ ectromagn´ etisme. Elles sont tr` es proches des ´ equations des ondes et en partagent certaines propri´ et´ es comme l’existence d’une vitesse maximale de propagation.

Une de leurs caract´ eristiques fondamentales est d’ˆ etre invariantes par transformations de Lorentz. La th´ eorie de Maxwell est donc en accord avec la relativit´ e restreinte.

Pendant ce TER, l’´ etudiant(e) ´ etudiera les propri´ et´ es fondamentales de ces ´ equations.

Pr´ erequis

Le cours d’EDO-EDP au premier semestre.

Bibliographie

Michael E. Taylor, Partial Differential Equations 1 (Basic theory), Applied mathematical Sciences 115, Springer 1996.

41 Equation de Schr¨ ´ odinger (ex-Th` eme num´ ero 3)

L’´ equation de Schr¨ odinger est une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles. C’est l’´ equation fon- damentale de la m´ ecanique quantique.

Pendant ce TER, l’´ etudiant(e) ´ etudiera certains aspects fondamentaux de cette ´ equation et rencontrera dans ce cadre certains concepts fondamentaux de la th´ eorie spectrale.

Pr´ erequis

Le cours d’EDO-EDP au premier semestre.

Bibliographie

Michael Reed, Barry Simon, Methods of modern mathematical Physics 1, Academic

Press, 1983.

42 Th´ eor` eme “edge of the wedge”

Le but du projet est d’´ etudier la preuve du th´ eor` eme “edge of the wedge”, qui permet d’exprimer une distribution comme une valeur au bord d’une fonction holomorphe. On

´ etudiera d’abord les aspects basiques de la th´ eorie des distributions, pour ´ eventuellement ensuite ´ etudier les applications du th´ eor` eme ` a la th´ eorie quantique des champs.

Bibliographie

Felix E. Browder, On the “edge of the wedge” theorem. Can. J. Math., 18 (1963), 125-131.

[doi.org/10.4153/CJM-1963-015-4]

Walter Rudin, Functional analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

Raymond F. Streater, Arthur S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that, Prin-

ceton Landmarks in Physics, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2000. Corrected

third printing of the 1978 edition.