Estimation paramétriques et tests d'hypothèses pour des modèles avec plusieurs ruptures d'un processus de poisson

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modèles avec plusieurs ruptures d’un processus de

poisson

Alioune Top

To cite this version:

Alioune Top. Estimation paramétriques et tests d’hypothèses pour des modèles avec plusieurs ruptures d’un processus de poisson. Statistiques [math.ST]. Université du Maine; Université de Saint-Louis (Sénégal), 2016. Français. �NNT : 2016LEMA1014�. �tel-01400781�

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Alioune TOP

Mémoire présenté en vue de l’obtention du

grade de Docteur de l’Université Gaston Berger et de l'Université du Maine

sous le sceau de l'Université Bretagne Loire

École doctorale : Sciences et Technologies de l’Information, Mathématiques Discipline : Mathématiques et leurs interactions

Spécialité : Mathématiques Appliquées

Unité de recherche : Laboratoire Manceau de Mathématiques (LMM)

Soutenue le 20 juin 2016

Estimation Paramétriques et Tests d’Hypothèses pour des

Modèles avec Plusieurs Ruptures d’un Processus de Poisson

JURY

Rapporteurs : Delphine BLANKE, Professeur, Université d’Avignon (France)

Gennady MARTYNOV, Directeur de Recherche, Institut des problèmes de transmission d’information(Russie)

Examinateurs : Aboubakary DIAKHABY, Professeur, Université Gaston Berger (Sénégal)

Abdou Ka DIONGUE, MCF-HDR, Université Gaston Berger (Sénégal) Saïd HAMADENE, Professeur, Université du Maine (France)

Claude DEPOLLIER, Professeur Emérite, Université du Maine (France)

Directeur de Thèse : Yury A. KUTOYANTS, Professeur Emérite, Université du Maine (France)

Co-directeur de Thèse : Ali Souleymane DABYE, Professeur, Université Gaston Berger (Sénégal)

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Remerciements

Voici enfin une page sans mathématiques, une occasion pour remercier et saluer tout ceux ou celles qui, par leurs réflexions, leurs remarques, ou juste par leurs présences, m’ont aidé au bon déroulement de ce modeste travail.

Je tiens tout d’abord à remercier mes directeurs de thèse Yury A. Kutoyants et Ali Souleymane Dabye, pour leurs soutiens constants, leurs encouragements et pour leurs disponibilités. J’ai pu bénéficier de leurs compétences, de leurs qualités humaines et de leurs conseils précieux tout au long de ces années de thèse. Je tiens à remercier vivement le Professeur Yury A. Kutoyants de m’avoir accueilli au Mans pour des séjours de recherches et d’avoir fourni les efforts nécessaires pour la réalisation de ce projet malgré la difficulté du travail à distance et son emploi du temps chargé. Mention spéciale au professeur Ali Souleymane Dabye qui, en plus d’être un encadreur, est devenu aujourd’hui un parent à moi. Merci infiniment mes chers Professeurs. Je profite de cette occasion pour remercier tous les membres du Laboratoire Manceau de Mathématiques de l’Université du Maine et ceux du Laboratoire d’Etude et de Recherche en Statistique et Développement de l’Uni-versité Gaston Berger. Un grand merci à tous les membres des deux laboratoires (doctorants, docteurs, MCF, professeurs, personnels administratifs et techniques) pour service rendu, pour leur soutien moral, pour les échanges fructueux lors des séminaires et discussions.

Je remercie l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF) pour avoir par-ticipé grandement au financement de cette thèse. Leur soutien a été vraiment de taille. Je remercie également le Professeur Claude Lishou, président du comité de pilotage de l’Horizon Francophone et l’ensemble des membres de son équipe.

Je remercie également le comité CEA-MITIC qui a aussi participé au finance-ment de cette thèse. Je suis très reconnaissant aux efforts fournis par Professeur Moussa Lô, le coordonnateur du comité CEA-MITIC et les membres de son équipe pour m’avoir accordé un soutien financier très conséquent pour l’aboutissement de ce modeste travail.

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de leurs nombreuses contraintes (et nul ne peut contester la difficulté de la vie de chercheur avec les contraintes scientifiques, pédagogiques, familiales et autres) m’ont accordé une partie de leur précieux temps pour lire et commenter mon manuscrit de thèse. Je remercie le Professeur Delphine Blanke. Cela m’a fait un énorme plaisir qu’il ait accepté de rapporter mon travail. Je remercie, en outre, le Professeur Gennady Martynov d’avoir accepté aussi de rapporter ma thèse. J’étais très ravi qu’il ait accepté cette tâche sans aucune hésitation. Je le remercie énormément de l’intérêt qu’il a porté à mes travaux de recherches.

Je tiens à exprimer ma grande gratitude aux Professeurs Aboubakary Diakhaby, Said Hamadène, Claude Dipollier et Abdou Kâ Diongue qui m’ont fait l’honneur et le plaisir d’être membre de mon jury de thèse.

Mes plus profonds remerciements vont à l’endroit de mes parents. Tout au long de mon cursus, ils m’ont toujours soutenu, encouragé et aidé. Ils ont su me donner toutes les chances pour réussir. Qu’ils trouvent, dans la réalisation de ce travail, l’aboutissement de leurs efforts ainsi que l’expression de ma plus affectueuse gratitude. Je remercie mes frères, mes sœurs, cousins, mes cousines et tous mes amis pour m’avoir fait partager leur joie de vivre et m’avoir ainsi soutenu dans mes efforts.

Merci à tous ceux qui ont contribué, de près ou de loin, à l’aboutissement de ce travail.

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R´

esum´

e

Ce travail est consacré aux problèmes d’estimation paramétriques, aux tests d’hy-pothèses et aux tests d’ajustement pour les processus de Poisson non homogènes. Tout d’abord on a étudié deux modèles ayant chacun deux sauts localisés par un paramètre inconnu. Pour le premier modèle la somme des sauts est positive. Tandis que le second a un changement de régime et constant par morceaux. La somme de ses deux sauts est nulle. Ainsi pour chacun de ces modèles nous avons étudié les propriétés asymptotiques de l’estimateur bayésien (EB) et celui du maximum de vraisemblance(EMV). Nous avons montré la consistance, la convergence en distribution et la convergence des moments. En particulier l’estimateur bayésien est asymptotiquement efficace. Pour le second modèle nous avons aussi considéré le test d’une hypothèse simple contre une alternative unilatérale et nous avons décrit les propriétés asymptotiques (choix du seuil et puissance ) du test de Wald (WT) et du test du rapport de vraisemblance généralisé (GRLT).

Les démonstrations sont basées sur la méthode d’Ibragimov et Khasminskii. Cette dernière repose sur la convergence faible du rapport de vraisemblance nor-malisé dans l’espace de Skorohod sous certains critères de tension des familles de mesure correspondantes.

Par des simulations numériques, les variances limites nous ont permis de conclure que l’EB est meilleur que celui du EMV. Lorsque la somme des sauts est nulle, nous avons développé une approche numérique pour le EMV.

Ensuite on a considéré le problème de construction d’un test d’ajustement pour un modèle avec un paramètre d’échelle. On a montré que dans ce cas, le test de Cramér-von Mises est asymptotiquement ”parameter-free” et est consistent. Mots clés

Estimateur bayésien, estimateur du maximum de vraisemblance, processus de Pois-son non homogènes, modèle de rupture, rapport de vraisemblance, test d’hypo-thèse, test d’ajustement.

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Abstract

This work is devoted to the parametric estimation, hypothesis testing and goodness-of-fit test problems for non homogenous Poisson processes.

First we consider two models having two jumps located by an unknown para-meter. For the first model the sum of jumps is positive. The second is a model of switching intensity, piecewise constant and the sum of jumps is zero. Thus, for each model, we studied the asymptotic properties of the Bayesian estimator (BE) and the likelihood estimator (MLE). The consistency, the convergence in distribution and the convergence of moments are shown. In particular we show that the BE is asymptotically efficient. For the second model we also consider the problem of a simple hypothesis testing against a one- sided alternative. The asymptotic proper-ties (choice of the threshold and power) of Wald test (WT) and the generalized likelihood ratio test (GRLT) are described.

For the proofs we use the method of Ibragimov and Khasminskii. This method is based on the weak convergence of the normalized likelihood ratio in the Skorohod space under some tightness criterion of the corresponding families of measure.

By numerical simulations, the limiting variances of estimators allows us to conclude that the BE outperforms the MLE. In the situation where the sum of jumps is zero, we developed a numerical approach to obtain the MLE.

Then we consider the problem of construction of goodness-of-test for a model with scale parameter. We show that the Cram´er-von Mises type test is asympto-tically parameter-free. It is also consistent.

Key Words.

Bayesian estimator, maximum likelihood estimator, non homogenous Poisson process, change-point model, likelihood ratio, hypothesis testing, goodness-of-fit test.

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Introduction

La fréquence des changements de situation dans plusieurs domaines scientifiques explique l’intérêt porté à l’analyse statistique des points de rupture et de l’estimation. En effet, dans la pratique, lorsque les structures de contrôle révèlent qu’il y’a des ruptures quelque part dans l’évolution du phénomène étudié, il est naturel que l’on veuille localiser la position de ces ruptures qui est à l’origine du changement de régime. Ainsi, cette localisation va permettre aux décideurs de modifier le prob-lème initial pour assurer une meilleure interprétation des données et éventuellement faire des prévisions. Du point de vue statistique, une rupture est un lieu ou un temps de sorte que les observations suivent une distribution jusqu’à ce point et suivent une autre distribution après celui-ci. Plusieurs problèmes peuvent être définis similairement. Ainsi l’approche est double: on peut se contenter de vérifier s’il y’a rupture (souvent considérer comme un problème de test d’hypothèse) ou bien de localiser le point de rupture s’il y’a lieu (vu parfois comme un problème d’estimation).

Par ailleurs les processus de Poisson modélisent des jets de points aléatoires sur des ensembles mesurables très généraux qui peuvent représenter la projec-tion d’étoiles sur la voute céleste, les posiprojec-tions d’arbres dans une forêt, des sites archéologiques ou des commutateurs téléphoniques. Les points semblent être dis-tribués au hasard dans le plan et on remarque une forme d’inhomogénéité dans leur répartition. Des situations pareilles peuvent se produire dans d’autres di-mensions ou dans d’autres géométries plus compliquées. Les processus ponctuels modélisent de tels phénomènes en tant que répartitions de points au hasard et permettent de d’écrire leurs propriétés à l’aide de la théorie des probabilités. Il existe de nombreux processus ponctuels adaptés aux divers formes de modélisa-tion. Parmi eux, nous avons les processus d’inhibition (par exemple processus de Gibbs ) qui permettent de modéliser des phénomènes de répulsion entre des particules, les processus de cluster (par exemple processus de Cox ) qui four-nissent des modèles adaptés à l’étude des phénomènes d’attraction entre points, les processus de Poisson . . ..

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Ces derniers, en plus d’être des processus ponctuels, possèdent des propriétés similaires à celles des processus de comptage d’évênements espacés par des durées indépendantes et équidistribuées de loi exponentielle. Ils modélisent des réparti-tions aléatoires sur R+. Ainsi donc les processus de Poissson non homogènes mod-élisent tous les processus ponctuels dont les évênements sont localisés de manière indépendante. Ils sont entièrement caractérisés par leur mesure d’intensité et sont utilisés dans beaucoup de problèmes appliqués notamment en télécommunication optique, en astronomie, en biologie, en médecine, en analyse d’image, en fiabilité.

Les premières études concernant les modèles de ruptures remontent aux an-nées 1950. Depuis cette date jusqu’à nos jours, plusieurs articles et livres ont été publiés dans de nombreux journaux. Plusieurs d’entre eux traitent les prob-lèmes d’estimations dans le cas de variables aléatoires identiquement distribuées. Un autre sujet très populaire de ce genre est l’étude des modèles de régression tels que la régression linéaire et l’auto regression. Dans cette même perspective, plusieurs résultats intéressants ont ét enrégistrés en théorie asymptotique des pro-cessus stochastiques avec des modèles de ruptures notamment les propro-cessus de Poisson, les processus de diffusion et les équations différentielles. Les méthodes utilisées sont souvent basées sur le rapport de vraisemblance.

Conjoncture

On sait que le nombre d’appels dans une centrale téléphonique peut être modéliser par un processus de Poisson.

Ainsi admettons les hypoth`eses suivantes:

• dans une ville il y’a k > 1 centrales téléphoniques C1, C2,· · · , Ck et que le nombre d’appel dans chacune d’entre elles suit une loi de Poisson de paramètre λ1, λ2,· · · , λk respectivement entre 8H et 12H,

• de 8H `a 10H toutes les k centrales fonctionnent et chacune re¸coit l’appel de ses clients,

• de 10H `a 11H, pour des raisons diverses, les centrales C1, C2,· · · , Ck−1 ne fonctionnent plus et que leurs clients utilsent pendant cette dur´ee la centrale Ck,

• de 11H à 12H la situation est revenue à la normale comme entre 8H et 10H. Ainsi dans Ck l’intensité du processus qui la caractérise est λk entre 8H et 10H et entre 11H et 12H. Elle vaut λ0 entre 10H et 11H (λ0(t) lorsqu’elle dépend du temps) différente de λk. Cette différence est due à la rupture opérée au niveau des centrales C1, C2,· · · , Ck−1 à partir de 10H.

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Figure 1: Sch´ematisation de la centrale Ck

Question: Si l’instant de rupture t=10H n’est pas connu i.e. t=θ, comment l’estimer?

Cette thèse tente d’apporter entre autres des résolutions aux problématiques similaires à la question susvisée. Il faut noter aussi qu’il y’a plusieurs types de modèles de rupture et que le choix dépend en général du contexte pratique de la problématique en question. Mais il peut dépendre aussi par le fait de vouloir améliorer les propriétés des estimateurs qui sont mis en jeux. Typiquement nous allons considérer plusieurs modèles particuliers d’un processus de Poisson non ho-mogène avec deux ruptures localisées par le paramètre inconnu θ. Ainsi, le travail repose sur l’estimation de ce paramètre. Le rapport de vraisemblance normalisé de chaque modèle converge vers une fonction exponentielle composée de la dif-férence entre deux processus de Poisson affectés des coefficients. La pièce maitresse des méthodes utilisées est la convergence faible du rapport de vraisemblance nor-malisé dans un espace métrique adapté. En particulier, nous allons vérifier la convergence des distributions finies dimensionnelles et les critères de tension des familles de mesures correspondantes dans la métrique de Skorohod. Ces résultats nous permettront de prouver que l’estimateur bayésien et celui du maximum de vraisemblance construits à partir de n réalisations d’un processus de Poisson, sont consistants , convergent en loi et leurs moments aussi convergent avec une vitesse égale à n. Des simulations seront proposées pour illustrer les résultats théoriques obtenus et comparer les performances de l’estimateur bayesien par rapport à celles de l’estimateur du maximum de vraisemblance.

Pour le second modèle (deux ruptures dont la somme des sauts est nulle), nous avons considéré les tests d’hypothèses avec une alternative unilatérale. Ainsi nous avons étudié les propriétés asymptotiques (optimalité pour une classe de niveau asymptotique fixée et puissance suivant le critère de Neyman-Pearson) des tests du rapport de vraisemblance (GRLT) basé sur le maximum de la fonction de

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vraisemblance et le test de Wald (WT) basé sur l’estimateur du maximum de vraisemblance. Les propriétés de ces tests dépendent entièrement des propriétés asymptotiques du rapport de vraisemblance normalisé.

Toutes les démonstrations reposent sur les méthodes d’Ibragimov-Khasminski [32] dans le cadre de l’estimation de la densité discontinue de variables et celles de Kutoyants [41] dans le cadre de l’estimation paramétrique pour un modèle d’intensité d’un processus de Poisson non homogène.

Par ailleurs on a étudié les tests d’ajustements d’hypothèses paramétriques composées pour la statistique de Cramér-von Mises. Pour un modèle avec un paramètre d’échelle, nous avons proposé un test de type Cramér-von Mises qui est asymptotiquement ”parameter free” i.e. la statistique limite ne dépend pas du paramètre inclus dans le modèle. Ce test est aussi consistent.

Voici le résumé des différents résultats obtenus dans cette thèse.

0.1 Estimation param´

etriques pour les

proces-sus de Poisson: Cas d’un mod`

ele avec deux

ruptures dont la somme est nulle

Dans leChapitre 2on étudie un modèle ayant deux sauts localisés par un paramètre inconnu et dont la somme des sauts est positive.

On suppose que les observations X(n) _{= (X}

1, . . . , Xn) sont des processus de Poisson non homogènes indépendants Xj=Xj(t), 0≤ t ≤ T , j = 1, . . . , n avec la même fonction d’intensité

λ (θ, t) = λ0+ λ1(t)1I{θ≤t≤θ+τ0}, 0≤ t ≤ τ. Ici

θ∈ Θ = (α, β), τ = T − τ0, 0 < α < β < β + τ0 < τ.

Sous cette condition la fonction d’intensit´e admet deux sauts sur l’intervalle des observations et ceci pour tout θ∈ Θ. Rappelons que

EθXj(t) = Λ (θ, t) = Z t

0

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Figure 2: comportement de la fonction d’intensit´e λ (θ, t) .

Ce modèle est souvent utilisé en statistique de la radiophysique: la fonction λ1(t)1I{θ≤t≤θ+τ0} est un signal de longueur τ0 et λ0 > 0 est un bruit Poissonnien. Il est aussi utilisé en télécommunication optique: le paramètre (l’information) θ est transmis à travers un canal optique avec une intensité λ1(t)1I{θ≤t≤θ+τ0} et λ0 représente l’intensité du bruit.

Le paramètre θ est supposé être inconnu et nous devons l’estimer par les ob-servations Xn_{. Ainsi on s’intéresse au comportement asymptotique (n} _{→ ∞) de} l’estimateur bayésien (BE) et celui du maximum de vraisemblance (MLE).

Notons par P(n)_θ la mesure induite dans l’espace des observations de n réalisa-tions d’un processus de Poisson de fonction d’intensité λ (θ, t), 0_{≤ t ≤ τ. Comme} λ0 > 0 et λ1(t) est bornée les mesures P(n)_θ sont équivalentes et la fonction de rapport de vraisemblance L θ, θ1, X(n) = dP (n) θ dP(n)_θ1 (X (n)₎ est L θ, θ1, X(n) = exp ( _n X j=1 Z τ 0 ln λ0+ λ1(t)1I{θ≤t≤θ+τ0} λ0+ λ1(t)1I{θ1≤t≤θ1+τ0} dXj(t) −n Z τ 0 λ1(t)1I{θ≤t≤θ+τ0}− λ1(t)1I{θ1≤t≤θ1+τ0} dt ) . Puisque le rapport de vraisemblance L θ, θ1, X(n)

est une fonction discontinue de θ, nous définissons le MLE ˆθn comme étant la solution de l’équation suivante:

maxnLθˆn+, θ1, X(n) , Lθˆn−, θ1, X(n) o = sup θ∈Θ L θ, θ1, X(n) .

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Ici θ1 est une certaine valeur fixée et L ˆ θn+, θ1, X(n) , Lθˆn−, θ1, X(n) sont respectivement les limites à gauche et à droite de la fonction L θ, θ1, X(n) au point ˆθn.

Pour introduire l’estimateur bayésien, nous supposons que le paramètre inconnu est une variable aléatoire avec une densité p(θ) θ∈ Θ, connue, positive et continue. Ainsi le BE eθn est une espérance conditionnelle qui peut être écrite comme suit:

e θn = E θ/X(n) = Z β α θp(θ)L θ, X(n) dθ Z β α p(θ)L θ, X(n) dθ !−1 .

Pour décrire les propriétés des estimateurs nous avons besoin des notations suiv-antes: Zθ0(u) =        exp ρ1 X+(u) + ρ2 Y+(u)− ru u≥ 0 exp −ρ1 X−(−u) − ρ2 Y−(−u) − ru u < 0,

o`u X+₍_{·), X}−₍_{·), Y}+₍_{·) et Y}−₍_{·) sont des processus de Poisson sur R}

+d’intensit´es respectives λ0+ λ1(θ0), λ0, λ0 et λ0+ λ1(θ0+ τ0) et ρ1 = ln λ0 λ0+ λ1(θ0) , ρ2 = ln λ0+ λ1(θ0+ τ0) λ0 , r = λ1(θ0+ τ0)− λ1(θ0). Notons u = v r, X ± 1 (v) = X±(vr) et Y ±

1 (v) = Y±(vr). Ainsi par un changement de temps lin´eaire , nous obtenons

Z_ρ∗(v) :=        exp ρ1X1+(v) + ρ2Y1+(v)− v v ≥ 0 exp −ρ1X1−(−v) − ρ2Y1−(−v) − v v < 0 (1)

où X₁+(_{·), X}₁−(_{·), Y}₁+(_{·) et Y}₁−(_{·) sont des processus de Poisson indépendants sur} R₊ _{d’intensités respectives} λ0

reρ1, λ0_r , λ0_r et λ0e ρ2 r .

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Introduisons les variables aléatoires eu, ˆ_{u e}uρ et ûρ définies par e u = Z +∞ −∞ uZθ0(u) du Z +∞ −∞ Zθ0(u) du !−1 ,

max_{Zθ0(û−), Zθ0(û+)} = sup u∈R Zθ0(u) e uρ= Z +∞ −∞ vZ∗ ρ(v) dv Z +∞ −∞ Z∗ ρ(v) dv !−1 et maxZ_ρ∗(ûρ−), Zρ∗(ûρ+) = sup v∈R Z_ρ∗(v).

Nous avons également û≡ uρˆ_r et eu≡ uρe_r . Notre objectif maintenant est de trouver les propriétés asymptotiques des estimateurs eθn et ˆθn de θ lorsque n−→ +∞.

Introduisons la condition C0

1. Les constantes λ0 and τ0 sont connues et strictement positives.

2. La fonction λ1(·) est strictement positive, strictement croissante et continue pour tout t_{∈ [0, τ].}

Les principaux r´esultats de cette partie sont les suivants.

Tout d’abord, on établit une borne inférieure du risque moyenne quadratique pour tous les estimateurs de ce modèle.

Si la condition C0 est satisfaite, alors lim

δ→0_n→+∞lim inf_θn _{|θ−θ0|<δ}sup n 2_E θ θn− θ 2 ≥ Eθ0eu2 = Eθ0 eu2ρ r2 (2)

où la borne inf est prise sur tous les estimateurs possibles θn du paramètre θ. L’inégalité (2) nous permet d’introduire un estimateur asymptotiquement effi-cace pour ce problème.

On dit que l’ estimateur θn est asymptotiquement efficace si pour tout θ0 ∈ Θ nous avons lim δ→0n→+∞lim _{|θ−θ0|<δ}sup n 2_E θ θn− θ 2 = Eθ0 eu 2 ρ r2

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Le premier estimateur étudié est l’estimateur baysien eθn et ses propriétés sont décrites comme suit

Si la condition C0 est satisfaite, alors l’estimateur Bayésien eθn vérifie uniformé-ment en θ0 ∈ K (K un compact dans Θ) les relations:

la consistence Pθ0 − lim n→+∞θen= θ0, la convergence en loi Lθ neθn− θ0 ⇒ L e uρ r

et le polynˆome des moments converge lim n→+∞Eθ0|n e θn− θ0 |p = Eθ0|euρ| p |r|p pour tout p > 0. Il est aussi asymptotiquement efficace.

Le second est l’estimateur du maximum de vraisemblance et ses propri´et´es sont les suivantes:

Si la condition C0 est satisfaite, alors l’estimateur du maximum de vraisem-blance ˆθn v´erifie uniform´ement en θ0 ∈ K les relations:

la consistance Pθ0 − lim n→+∞ ˆ θn= θ0, la convergence en loi Lθ nθˆn− θ0 ⇒ L ˆ uρ r

et le polynˆome des moments converge lim n→+∞Eθ0|n ˆ θn− θ0 |p = Eθ0|ˆuρ| p |r|p

pour tout p > 0. Les simulations nous montrent que dans ce cadre l’estimateur bayésien est meilleur que celui du maximum de vraisemblance car pour les moyennes empiriques basées sur N = 104 _{réplications, nous avons la relation suivante}

σ_{M LE}2 = 1 N N X l=1 ˆ u2_l > σ2_BE = 1 N N X l=1 e u2_l.

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0.2 Un mod`

ele avec deux sauts dont la somme

est nulle

Dans le Chapitre 3nous avons considéré un modèle avec un changement de régime et constant par morceaux ayant deux sauts localisés par un paramètre inconnu. La somme des sauts est nulle. Ainsi on se donne n réalisations de processus de Poisson indépendants X(n) _{= (X} 1, . . . , Xn) où les Xj= Xj(t), 0 ≤ t ≤ T , j= 1, . . . , n des processus de Poisson

EθXj(t) = Λ (θ, t) = Z t

0

λ (θ, s) ds. La fonction d’intensit´e est

λ (θ, t) = λ0+ λ11I{θ≤t≤θ+τ0} o`u

θ _{∈ Θ = (α, β), τ = T − τ}0, 0 < α < β < β + τ0 < τ.

L’importance de ce modèle réside au fait que la résultante des sauts est nulle; ce qui laisse entendre que les deux sauts sont en opposition de phase. Par conséquent, on note une amélioration des qualités des estimateurs offrant ainsi des résultants plus intéressants en pratique.

0.2.1 Estimation param´

etriques

Le paramètre θ aussi bien que θ + τ0 correspond chacun à la localisation d’un saut dans la fonction d’intensité λ (θ, t). Ainsi, les instants de sauts sont inconnus et nous devons estimer la vraie valeur correspondant au paramètre θ. La vraisem-blance du modèle est donnée par

L θ, X(n)= exp ( _n X j=1 Z τ 0 ln λ0+ λ11I{θ≤t≤θ+τ0} dXj(t) −n Z τ 0 λ0+ λ11I{θ≤t≤θ+τ0}− 1dt ) .

Pour décrire les propriétés des estimateurs nous avons besoin des notations suiv-antes:

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Introduisons le processus Z(v) :=        exp ρ (Y+_(u)_{− X}+_(u)) u_{≥ 0} exp ρ (Y−_(u)_{− X}−_(u))) u < 0

où ρ = lnλ0+λ1_λ0 . Les processus de Poisson X+₍_{·), X}−₍_{·), Y}+₍_{·) et Y}−₍_{·) sont} indépendants R+ d’intensités respectives λ0+ λ1, λ0, λ0 et λ0+ λ1.

Soient eu, û des variables aléatoires telles que : e u = Z +∞ −∞ uZ(u) du Z +∞ −∞ Z(u) du !−1 , Z(û) = sup u∈R Z(u) où ûl < û < ûr. L’intervalle [ûl, ûr] est l’intervalle le plus élevé Z(u).

Admettons la condition B0

• a. La constantes λ0 et λ1 sont t connues et strictement positives. Les r´esultats obtenus dans cette partie sont les suivants:

lim

δ→0_n→+∞lim inf_θn _|θ−θ0sup_|<δn 2_E θ θn− θ 2 ≥ Eθ0ue2 = Eθ0 ue2 (3) o`u la borne inf est prise sur tous les estimateurs possibles θn du param`etre θ.

On dit que l’ estimateur θn est asymptotiquement efficace si pour tout θ0 ∈ Θ nous avons lim δ→0n→+∞lim _{|θ−θ0|<δ}sup n 2_E θ θn− θ 2 = Eθ0 ue2 L’estimateur baysien eθn :

Si la condition B0 est satisfaite, alors l’estimateur bayésien eθ_n vérifie uniformé-ment en θ0 ∈ K (K un compact dans Θ) les relations:

la consistance Pθ0 − lim n→+∞θen= θ0, la convergence en loi Lθ nθen− θ0 ⇒ L (eu)

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et le polynˆome des moments converge lim n→+∞Eθ0|n e θn− θ0 |p = Eθ0|eu|p pour tout p > 0. Il est aussi asymptotiquement efficace.

l’estimateur du maximum de vraisemblance

Si la condition B0 est satisfaite, alors l’estimateur du maximum de vraisem-blance ˆθn v´erifie uniform´ement en θ0 ∈ K les relations:

Pθ0 − lim n→+∞ ˆ θn= θ0, Lθ nθˆn− θ0 ⇒ L (ˆu) lim n→+∞Eθ0|n ˆ θn− θ0 |p _{= E} θ0|ˆu|p pour tout p > 0.

0.2.2 Tests d’hypoth`

eses

Dans cette partie, on reconduit le même modèle d’observation et on s’intéresse au schéma de test suivant

H₀ _: _{θ = θ}₁_, et l’alternative

H₁ _: _{θ > θ}₁_,

où θ _{∈ Θ = [θ}1, β). On considère ainsi comme alternatives une suite de modèles statistiques indexée par n et on utilise le changement de variable pour le paramètre θ = θ1+u_n où u∈ Un= [0, n(β− θ1)]. Le problème initial devient

H₀ _: _{u = 0,}

H₁ _: _{u > 0.}

Fixons ε _{∈ [0, 1]. On note K}ε la classe des fonctions Ψn(Xn) de niveau asympto-tique ε i.e. Kε = n Ψn: lim n→∞Eθ1Ψn= ε o ;

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et la fonction de puissance βn de la statistique de test est β Ψn, u = Eθu Ψn , θu = θ1 + u n

où Eθ1 and Eθu sont respectivement les espérances mathématiques sous les hy-pothèses H0 and H1. L’estimateur du maximum de vraisemblance ˆθn est définie comme une solution de l’équation

Lθˆn, θ1, X(n)

= sup θ∈[θ1,β)

L θ, θ1, X(n).

Par ailleurs pour u, u∗ > 0, on introduit X(·), Y (·), X∗(·) et Y∗(·) quatre processus de Poisson ind´ependants tels que

EX(u) = (λ0+ λ1)u, EY (u) = λ0u EX∗(u∗) = λ0u∗ EY∗(u∗) = (λ0+ λ1)u∗. D´efinissons les processus al´eatoires

Z(u) = exp ρ (Y (u)_{− X(u))} , Z∗(u∗) = exp ρ (Y∗(u∗)− X∗(u∗)) et e Z(u, u∗) = Z∗_(u ∗) Z∗_(u)1I{u≤u∗}+ Z(u) Z(u∗) 1I{u>u∗}. On pose ˆ Gn = L ˆ θn, θ1, X(n) = sup θ∈[θ1,β) L θ, θ1, X(n).

Ainsi le test du rapport de vraisemblance généralisé (GRLT) est donné par la fonction de descision suivante

Ψn = 1I_{{ ˆ}_Gn>cε} et le test de Wald (WT) par celle-ci

ˆ

Ψn = 1I_{n(ˆ_θn−θ1_)>bε}.

Les seuils cε and bε sont choisis respectivement selon la condition Ψn ∈ Kε et ˆ

(23)

Test de GRLT:

Supposons que la valeur cε est une solution de l’´equation P_{sup

u>0

Z(u) > cε} = ε. Alors le test

Ψn ∈ Kε et sa fonction de puissance converge

β Ψn, u∗ −→ P{sup u>0 Z∗(u∗) eZ(u, u∗) > cε}. Test de Wald:

Supposons que la valeur bε est une solution de l’´equation P_{{ˆu > b}ε} = ε.

Alors le test

ˆ

Ψn ∈ Kε et sa fonction de puissance converge

βΨˆn, u∗

−→ P{ûu∗ > bε}. Les variables aléatoires û et ûu∗ sont telles que

Z(ˆu) = sup u∈R+

Z(u), Z(ˆe uu∗, u∗) = sup u∈R+

e

Z(u, u∗).

0.3 Test de type Cram´

er-von Mises pour un

processus de Poisson non homog`

ene avec un

param`

etre d’´

echelle

Dans leChapitre 4, nous présentons un test d’ajustement asymptotiquement ”parameter-free”et consistent dans le cas d’un processus de Poisson non homogènes. L’hypothèse de base est paramétrique composée. La statistique de Cramér-von Mises avec le paramètre remplacé par l’estimateur du maximum de vraisemblance est considérée. Ainsi nous montrons que dans le cas d’un paramètre d’échelle, la distribution limite de la statistique de test ne dépend pas du paramètre inconnu.

(24)

Introduisons la fonction d’intensit´e Λ0(t, θ) = θ Z t −∞ λ0 s θ ds θ = θΛ0 t θ . et une famille param´etrique

L (Θ) = Λ0(t, θ) = θΛ0 t θ , θ∈ Θ = (α, β)

où Λ0(·) est une certaine fonction croissante avec les propriétés suivantes:

Λ0(−∞) = 0, Λ0(∞) < ∞, Λ0(t) = Z t

−∞

λ0(s) ds.

Nous observons n processus de Poisson non homogènes indépendants X(n) ₌ (X1, . . . , Xn), Xj = Xj(t), t ∈ R avec la même fonction moyenne Λ (·). Le paramètre inconnu θ est remplacé par son estimateur du maximum de vraisem-blance ˆθn et notre statistique est définie comme suit:

∆n= n ˆ θ2 n Z +∞ −∞ h b Λn(t)− Λ0 t, ˆθn i2 λ0 t ˆ θn dt = ∆en ˆ θ2 n . Ainsi le test de type Cram´er-von Mises est:

ˆ

Ψn(Xn) = 1I{∆n>cε}.

Le seuil cε doit ˆetre choisi de sorte que ce test appartiendra `a la classe des tests de niveau asymptotique ε Kε= n Ψn : lim n→∞EθΨn= ε, θ ∈ Θ o .

Comme nous utilisons le MLE ˆθn, nous avons besoin des conditions de régularité. Supposons que la fonction d’intensité λ0(·) est strictement positive et suffisamment régulière. Sous ces conditions le MLE est asymptotiquement normal et le polynôme des moments converge (voir [41]).

Celà étant, nous devons tester l’hypothèse paramétrique composée H₀ _: _Λ(_{·) ∈ L (Θ)}

contre l’alternative

(25)

Plus pr´ecis´ement nous supposons sous l’alternative que inf

θ∈ΘkΛ(·) − Λ0(·, θ)k > 0.

Ici et dans tout le reste du travail la notation k·k est la norme L2 suivante kfk2θ = Z ∞ −∞ f (t)2λ0 t θ dt.

Nous montrerons que pour de telles alternatives le test est consistant. Il sera aussi consistant pour une autre classe d’alternative

Hρ 1 : Λ(·) ∈ Fρ= Λ(_{·) : inf} θ∈ΘkΛ(·) − Λ0(·, θ)kθ > ρ . Ici ρ > 0 est un nombre donn´e. Nous supposons aussi que Fρ est telle que

sup Λ∈Fρ

Λ (_{∞) < ∞.} Introduisons la variable al´eatoire suivante:

∆0 = Z ∞ −∞ " W (Λ0(t)) + (Λ0(t)− tλ0(t)) Z ∞ −∞ I0−1s ˙λ0(s) λ0(s) dW (Λ0(s)) #2 dΛ0(t) o`u W (_{·) est un processus de Wiener standard. La constante c}ε est la solution de l’´equation

P_{∆0 > cε} = ε. Conditions A.

• a1. La fonction pλ0(·) ∈ L2(R) est strictement positive et trois fois con-tinument diff´erentiable.

• a2. Ces dérivées appartiennent à l’espace L2(R) . L’information de Fisher I(θ) = 1 θ Z +∞ −∞ t2 ˙λ 2 0(t) λ0(t) dt > 0. • a3. La condition ˙λ0(·) ∈ L1(R) .

A la lumière de tout ce qui précède nous avons les résultats principaux suivants: - Sous la condition A nous avons le test

ˆ

(26)

appartient à la classeKεc’est-à-dire le test de Cramér-von Mises avec un paramètre d’échelle est asymptotiquement de niveau ε. Ainsi pour tout ε > 0, on peut calculer cε.

- Sous la condition A le test ˆ

Ψn = 1I{∆n>cε}

est consistant sous l’alternative H1, c’est-`a-dire, pour tout Λ6∈ L (Θ) nous avons: βΨˆn, Λ

−−−→_n→∞ 1,

et il est uniform´ement consistant sous les alternatives H1ρ,c’est-`a-dire, inf Λ(·)∈Fρβ ˆ Ψn, Λ −−−→ n→∞ 1.

Les r´esultats de ces chapitres ont fait l’objet de publications et de pr´esentations orales.

Articles:

1. Dabye, A.S., Tanguep, D.W. and Top, A., On the Cram´er-von Mises test for Poisson process with scale parameter. Far East Journal of Theoritical statistics, accept´e avec ”minors revision”.

2. Chernoyarov, O.V., Kutoyants, Yu.A. and Top, A., On multiple change point estimation for Poisson process: case of non zero jumps sum. Soumis pour publication.

3. Dabye, A.S., Dachian, S., and Top, A., On multiple change point estimation for Poisson process: case of zero jumps sum. Soumis pour publication. 4. Dabye, A.S., Tanguep, D.W. and Top, A., On Asymptotically Parameter free

test of the Kolmogorov-Smirnov type stattistic for Poisson process.Soumis pour publication.”non inclus dans la th`ese”

Posters et Communications orales:

1. On the Cramér-von Mises test for Poisson process with scale parameter. Conférence en Probabilités et Statistiques à l’Université Gaston Berger de Saint-louis (Sénégal), mars 2014

2. Dabye, A.S., Tanguep, D.W. and Top, A., On Asymptotically Parameter free test of the Kolmogorov-Smirnov type stattistic for Poisson process.”Dakar In-ternational Conference on Recent Development in Applied Statistics ”(DIC-DAS) à l’université Cheikh Anta Diop de Dakar (Sénégal), mars 2014.

(27)

3. On the Cramér-von Mises test for Poisson process with scale parameter. Con-grès de l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF) sur les sciences fon-damentales (Mathématiques ,Informatiques) à Antananarivo (Madagascar), octobre 2014.

4. On multiple change point estimation for Poisson process: case of non zero jumps sum. Conf´erence internationale sur la th´eorie asymptotique des pro-cessus stochastiques, Le Mans (France), mars 2015.

5. On multiple change point estimation for Poisson process: case of non zero jumps sum. Congrès de l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF) sur les sciences fondamentales (Mathématiques ,Informatiques), à Cotonou, ( Benin), octobre 2015.

6. On multiple change point estimation for Poisson process: case of non zero jumps sum. Statistical Methods For Dynamical Stochastic Models, DYN-STOCH 2016 June at Rennes (France).

(28)

(29)

Chapter 1 Auxiliary results

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous commen¸cerons par étudier les processus de Poisson non homogènes. Nous donnerons ensuite les définitions et propriétés liées à l’intégrale stochastique et au rapport de vraisemblance au sens des processus de Poisson. Ces résultats seront utilisés dans les chapitres suivants. Enfin, nous ferons un rappel de certains resultats déjà obtenus sur l’estimation paramétrique des pro-cessus stochastiques dans le cas regulier comme dans le cas singulier et des tests d’ajustements.

1.2 Processus de Poisson non homog`

enes

Processus ponctuel et fonction al´eatoire de comptage.

Un processus ponctuel sur [0,T] se décrit, pour entier M, par la donnée d’une suite croissante de points aléatoires 0 < t1 < t2 <· · · < tM ≤ · · · dans [0,T] qui sont des variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Ω,_{F, P).}

Posons s1 = t1 s2 = t2 − t1 ... sM = tM − tM −1, ... 19

(30)

t0 = 0 et les variables aléatoires ti, 1 ≤ i ≤ M, sont les instants où se produisent un événement. Les si, 1 ≤ i ≤ M, sont les délais ou les temps d’attente entre deux événement successifs. On dit que (ti)1≤i≤M définit un processus ponctuel. Désignons par Xt le nombre d’événement qui se sont produits au cours de la période de temps [0, t] et supposons que X(0) = X0 = 0. On définit la fonction aléatoire de comptage XT₌_{X t, 1≤ t ≤ T } du processus ponctuel {ti, 1≤ i ≤ M} de la fa¸con suivante: Xt= M X j=1 1I{tj≤t},

Xt est ainsi le nombre d’´ev´enements qui se sont produits avant l’instant t

- Notons que X0=0 puisque t1 > 0, XT <∞. S’il n’y pas de point (d’´ev´enement) dans l’intervalle [0,T], alors on pose M=0 et Xt=0, 1 ≤ t ≤ T . Bien entendu, M=XT.

- Pour 0_{≤ s ≤ t, X}t− Xs est le nombre d’´ev´enements qui se sont produits dans l’intervalle de temps ]s, t].

- La trajectoire XT _{est continue à droite et admet une limite à gauche. C’est} une fonction croissante, constante par morceaux avec des sauts de hauteur 1 c’est-à-dire Xt= Xt−+(1 ou 0).

-Notons que la donnée _{Xt, 1 ≤ t ≤ T } est équivalente à celle de la suite {ti, 1≤ i ≤ M}, et que pour tout entier n, l’on a les relations suivantes:

1) {Xt≥ n} = {tn≤ t}

2) {Xt= n} = {tn ≤ t ≤ tn+1} 3) {Xs < n≤ Xt} = {s < tn ≤ t}. Processus de Poisson homog`ene

On dit que le processus ponctuel{ti, 1≤ i ≤ M} ou sa fonction aléatoire comp-tage XT _{est un processus de Poisson homogène si X}T _{est une fonction aléatoire à} accroissements indépendants et stationnaires c’est-à-dire si

a) X0=0 p.s.;

b) quels que soient 0 ≤ s0 < s1 < · · · < sN ≤ T , les accroissements Xs2 − Xs1, · · · , XsN − XsN−1 du processus sur des intervalles disjoints [s1, s2],· · · , [sN, sN −1] sont des variables al´eatoires ind´ependantes;

c) pour 0 _{≤ s < t, X}t− Xs ∼ L(P oisson) et cette loi ne d´epend de s et de t que par la diff´erence t− s

(31)

La propriété b) est appelée la stationnarité des accroissements de {Xt}. La défi-nition du processus de Poisson est justifiée par la proposition:

Soit XT ₌_{X

t, 0≤ t ≤ T } la fonction aléatoire de comptage d’un processus de Poisson homogène. Il existe λ > 0 tel que pour tous 0 ≤ s < t, la loi de Xt− Xs est la loi de Poisson de paramètre λ(t_{− s), c’est-à-dire}

P(Xt− Xs = k) = e−λ(t−s)

[λ(t− s)]k

k , k∈ N

Nous remarquons également que ce paramètre λ est appelé l’intensité du processus de Poisson homogène _{Xt, 0≤ t ≤ T }. Il est égal au nombre moyen d’événements qui se produisnet pendant un intervalle de temps de longueur unité, ce qui signifie:

E_(X_t+1_{− X}_t_{) = λ.} Processus de Poisson non homog`ene

Soit (Ω,_{F, P) un espace de probabilité. Un processus stochastique X}T ₌ {Xt, 0 ≤ t ≤ T } défini sur cet espace est un processus de Poisson non homogène de mesure d’intensité Λ(_{·, ·) si les conditions suivantes sont satisfaites:}

- X0=0 p.s.

- Pour tout i _{∈ N et pour tout 0 ≤ t}0 < t1 < . . . < ti = T , les variables al´eatoires Xt0, Xt1 − Xt0,· · · , Xti − Xti−1 sont ind´ependantes.

- Pour tout 0 _{≤ s < t ≤ T il existe une fonction Λ(s, t) ≥ 0 telle que pour} tout k _{∈ N on ait:}

P(Xt− Xs = k) = e−Λ(t,s)

Λk_{(t, s)} k . On remarque ´egalement que

1. la mesure d’intensit´e Λ(·, ·) est absolument continue, si elle est de la forme Λ(t, s) =

Z t s

λ(u)du,

où λ(u), u _{≥ 0 est une fonction non négative. La fonction λ(·) est alors} appelée fonction d’intensité.

2. Le processus de Poisson_{Xt, 0≤ t ≤ T } de mesure d’intensit´e Λ(·, ·) v´erifie E_(X_t_{) = Λ(t) et V ar(X}_t_{) = Λ(t)}

(32)

3. Si λ(u) est une constante c’est-`a-dire λ(u) = λ > 0, on a un processus de Poisson homog`ene

P(Xt− Xs= k) = e−λ(t−s)

[λ(t− s)]k

k , k ∈ N Processus de Poisson dans le cadre g´en´eral:

Soit (Ω,_{F, P) un espace de probabilité et (X, ρ) un espace métrique complet (ρ} une métrique) muni de la tribu des boréliens. Notons parM l’espace des mesures σ-finies définies sur (X, ρ) et par M0 le sous-espace des mesures σ-finies définies sur (X, ρ) et prenant ses valeurs dans N, c’est-à-dire que:

X _{∈ M}0 ⇐⇒ X = X

i δti o`u ti ∈ X et δt est la mesure de Dirac au point t.

Notons par B(X) la plus σ-alg`ebre des sous-ensembles de _{M telle que:} ΠB :M0 → N,

avec ΠB(X) = X(B), B ∈ B soit mesurable. Soit Λ ∈ M. Une variable aléatoire X définie sur (Ω,F, P) et à valeurs dans M0 est un processus de Poisson de mesure d’intensité Λ si et seulement si on a:

- Pour chaque choix des ensembles finis disjoints B1, B2,· · · , Bm ∈ B, les vari-ables al´eatoires X(B1), X(B2),· · · , X(Bm) sont ind´ependantes.

- Pour tout B ∈ B avec Λ(B) < ∞, X(B) est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre Λ(B) c’est-à-dire que

P(X(B) = k) = e−Λ(B)Λ(B) k

k , k ∈ N Exemples.

Voici quelques exemples d’applications de processus de Poisson non homogènes. Pour une présentation exhaustive des processus de Poisson non homogènes voir Kutoyants [41].

La désintégration radioactive. L’émission de photons par une source ra-dioactive peut être considérée comme un processus de Poisson de fonction d’intensité

(33)

où a > 0 dépend de la quantité et du type de la source et b > 0 est la moyenne de survie de la source.

La théorie de la fiabilité. La suite d’échecs λ(t) = atb, t≥ 0,

où b > 1, correspond au cas où les échecs deviennent de plus en plus fréquents. Un processus de Poisson avec une telle intensité est appelé processus de Weibull.

La détection optique. le flux de photons produit lorsque un rayon de lumière est concentré sur une surface photosensible peut être modélisé par un processus de Poisson non homogène (voir Mandel [45]). Il existe trois cas particuliers intéres-sants pour les télécommunications optiques et les systèmes de radar:

- Modélisation d’amplitude. La fonction d’intensité du processus de Poisson est définie par

λ(ϑ, t) = ϑg(t) + λ0, t≥ 0

où g(·) est une fonction positive connue et le paramètre λ > 0 supposé connu est appelé courant d’obscurité.

- Modélisation de phase, télémétrie optique. Le processus de Poisson décrivant la vitesse de génération des électrons à la sortie d’un photon détecteur est défini par

λ(ϑ, t) = g(t_{− ϑ) + λ}0, t≥ 0 où g(_{·) et λ}0 sont définis comme précédemment.

- Modélisation de fréquence, vitesse de télémétrie optique. Dans une démarche visant à mesurer la vitesse d’un objet, l’intensité d’un faisceau de lumière dirigée vers celui-ci est modulée sinuso¨ıdalement. La lumière réfléchie a toute sa fréquence décalée en raison de l’effet du Doppler, la fréquence de modulation est décalée par une quantité proportionnelle à la modulation de fréquence et à la mesure des variations des taux de la lumière réfléchie de l’objet. La vitesse de génération des électrons à la sortie d’un photo-détecteur utilisé pour observer la lumière réfléchie est alors de la forme

λ(ϑ, t) = α_{{1 + m cos[2π(ω}m+ ϑ)t]} + λ0, t ≥ 0,

o`u α et m sont des constantes (α > 0,_{| m |< 1), ω}mest la modulation de fr´equence, et ϑ est l’effet de Doppler.

La diversité des modèles suppose aussi la diversité d’études de problèmes statis-tiques d’identification de ces modèles.

(34)

1.3 Int´

egrale stochastique et rapport de

vraisem-blance

Int´egrale stochastique

Soient (Ω,F, P) un espace probabilis´e et XT ₌_{{X(t), 0 ≤ t ≤ T } un processus} de Poisson de mesure d’intensit´e Λ(_{·) sur R}+.

Si la mesure d’intensit´e du processus de Poisson Λ(_{·) est absolument continue,} alors il existe une fonction λ(·) telle que

Λ([a, b]) = Z b

a

λ(t) dt.

La fonction λ(_{·) est appel´ee fonction d’intensit´e du processus de Poisson. Cette} fonction est positive ou nulle.

Notons Lp(Λ), p≥ 1, l’ensemble des fonctions mesurables f : [0, T ] → R telles que Z T 0 |f(t)|p_{Λ(dt) < +}_∞. Soit f _{∈ L}1(Λ), on d´efinie I(f ) = Z T 0 f (t) dX(t)

comme l’int´egrale de Lebesgue–Stieltjes car la fonction_{{X(t), 0 ≤ t ≤ T } est} crois-sante et `a variation finie. Si t1,· · · , tm sont les instants du processus de Poisson alors

I(f ) = X 0≤ti≤T

f (ti).

On peut définir l’intégrale stochastique par rapport au processus de Poisson centré Π(t) = X(t)_{− Λ(t) sur l’intervalle [0, T ] par}

I⋆(f ) = Z T 0 f (t) dΠ(t) = I(f )− Z T 0 f (t)Λ(dt). ´

Enon¸cons quelques propriétés de ces intégrales qui joueront un rôle important dans la suite.

(35)

Proposition 1 Soit f (·) ∈ L1(Λ), alors les intégrales stochastiques I(f ) = Z T 0 f (t) dX(t), I⋆(f ) = Z T 0 f (t) dΠ(t) sont bien définies et vérifient

EI(f ) = Z T

0

f (t) Λ(dt), EI⋆(f ) = 0. Les fonctions caract´eristiques sont

φ(µ) = E exp_{{iµI(f)} = exp} Z T

0

[exp_{{iµf(t)} − 1] Λ(dt)}

et

φ⋆(µ) = E exp{iµI⋆(f )} = exp Z T

0

[exp{iµf(t)} −1−iµf(t)] Λ(dt)

Si les fonctions f (·), g(·) ∈ L1(Λ)TL2(Λ) alors EI⋆(f )2 = Z T 0 f (t)2_Λ(dt), _{E I} ⋆(f ) I⋆(g) = Z T 0 f (t)g(t) Λ(dt). Pour toute fonction f (·) ∈ L1(Λ) telle que ef (·)− 1 − f(·) ∈ L1(Λ), nous avons

E exp Z T 0 f (t) Π(dt) = exp Z T 0 ef (t)_{− 1 − f(t)}_Λ(dt)

Preuve : voir Kutoyants [41]

Le polynôme des moments de I⋆(f ) peut être majoré à l’aide de la proposition suivante

Proposition 2 Soit f (·) ∈ L2p(Λ), alors il existe une constante Cp > 0 ind´epen-dante de f (_{·) et de Λ(·) telle que :}

E Z T 0 f (t) Π(dt) 2p ≤ Cp Z T 0 f (t)2pΛ(dt) + Z T 0 f (t)2Λ(dt) p

Preuve : Voir Kutoyants [41, Lemme 1.2, page 21]

Sur la filtration naturelle (Ft)_{t∈[0,T ]} définie par Ft = σ{Xs|s ≤ t}, les processus Π(t) = X(t)− Λ(t) et M(t) = X(t)2_{− Λ(t) possèdent les propriétés suivantes:}

(36)

Proposition 3

1. Π(t) est une Ft–martingale réelle de carré intégrable, continue à droite et possédant une limite à gauche.

2. M (t) est une Ft–martingale. 3. Si f (_{·) ∈ L}1(Λ), le processus ηt= Z t 0 f (u)Π(du) = Z T 0 1{u<t}f (u)Π(du) est une Ft–martingale.

4. Si f (_{·) est une fonction born´ee, alors pour tout N > 0, nous avons:} P sup 0≤t≤T ηt> N ≤ exp −N + 1 2 Z T 0 ef (t)_{− 1 − f(t)}_Λ(dt) et P sup 0≤t≤T|ηt| > N ≤ exp −N + 1 2 Z T 0 ef (t)_{− 1 − f(t)}_Λ(dt) + + exp −N +1 2 Z T 0 e−f (t) − 1 + f(t) Λ(dt) . Rapport de vraisemblance

Considérons (D[0, T ],_DT) l’espace mesurable des fonctions continues à droite, admettant une limite à gauche, ayant au plus des discontinuités de première espèce, définies sur l’intervalle [0, T ] et munie de sa tribu borélienne _DT.

Soient X1 et X2 deux processus de Poisson de mesure d’intensit´e Λ(1) =Λ(1)(t), 0_{≤ t ≤ T}

et

Λ(2) =Λ(2)(t), 0≤ t ≤ T satisfaisant les conditions suivantes

Z T 0 Λ(1)(t)dt <∞, Z T 0 Λ(2)(t)dt <∞.

Soient Λ1(·) et Λ2(·) les deux mesures d’intensités correspondantes sur l’espace ([0, T ],BT) où BT est la σ-algèbre de Borel. Les deux processus de Poisson ainsi

(37)

définis apparetiennent à (D[0, T ],DT) et induits des mesures de probabilités notées respectivement P1 et P2. Notons respectivement E1 et E2 les espérances mathé-matiques par rapport à ces probabilités.

Notons P1⊥P2 la singularité des mesures, P1 ≪ P2 l’absolue continuité des mesures et P1 ∼ P2 l’équivalence des mesures.

Si Λ1 ≪ Λ2, alors il existe une d´eriv´ee de Radon-Nykodim λ(t) = dΛ1 dΛ2 (t). Proposition 4 Si Λ1 ≪ Λ2 et Λ2([0, T ]) < +∞ alors P1 ≪ P2. De plus dP1 dP2 (X) = exp Z T 0 ln λ(t) X(dt)− Z T 0 [λ(t)− 1] Λ2(dt) . Enfin si Λ1 ∼ Λ2 alors P1 ∼ P2.

Preuve : Voir Brown [6]

Soient X, X1 et X2 trois processus de Poisson d’intensité respectives Λ0, Λ1 et Λ2 et définissant les mesures de probabilité respectives P0, P1 et P2. Si les mesures Λ1 et Λ2 sont équivalentes à la mesure Λ0 i.e. Λ1 ≪ Λ et Λ2 ≪ Λ, alors la proposition précédente implique l’existence des rapports de vraisemblance

Z1 = dP1 dP0 (X) et Z2 = dP2 dP0 (X).

Les mesures Λi, i = 1, 2 sont d´efinies pour tout bor´elien B dans R de sorte que Λi(B) =

Z B

λi(u) Λ(du) où λi(·) est la fonction d’intensité associée à Λi.

Nous avons alors la proposition suivante

Proposition 5 Si Λ1 ∼ Λ2 sur l’intervalle [0, T ], alors E0 Z 1 2 1 − Z 1 2 2 ≤ Z T 0 p λ1(t)− p λ2(t) 2 Λ(dt)

(38)

et E0Z 1 2 1 ≤ exp −1₂ Z T 0 p λ1(t)− 1 2 Λ(dt)

où E0(·) est l’espérance mathématique par rapport à la mesure de probabilité P0. De plus pour tout p > 1, nous avons

E0 Z 1 2p 1 − Z 1 2p 2 p ≤ ap Z T 0 l2(t) Λ1(dt) p + Z T 0 l2(t) Λ2(dt) p + + Z T 0 l2p(t) Λ1(dt) + Z T 0 l2p(t) Λ2(dt) + + (2p)−2p Z T 0 l2(t) Λ1(dt) + Z T 0 l2(t) Λ2(dt) , o`u ap = 1₂p−2pCp et la fonction l(t) = ln (λ2(t) λ1(t)−1).

Preuve : Grâce à la proposition4, la première inégalité s’obtient en écrivant E0 Z 1 2 1 − Z 1 2 2 2 = E1 (Z2Z1−1) 1 2 − 1 2 = 2− 2E1(Z2Z1−1) 1 2 = = 2− 2 exp 1 2 Z T 0 (λ1(t)− λ2(t)) Λ(dt) E₁_exp (Z T 0 ln λ2(t) λ1(t) 1 2 X(dt) ) = 2− 2 exp 1 2 Z T 0 2pλ1(t)λ2(t)− λ1(t)− λ2(t) Λ(dt) = 2_{− 2 exp} −1 2 Z T 0 p λ1(t)− p λ2(t) 2 Λ(dt) ,

où E1(·) et E2(·) représentent respectivement les espérances mathématiques par rapport aux mesures de probabilités P1et P2. Compte tenu de l’inégalité 1−e−x ≤ x pour tout x≥ 0, il s’en suit

E_Z12 1 − Z 1 2 2 2 ≤ Z T 0 [pλ1(t)− p λ2(t)]2Λ(dt),

(39)

La deuxième inégalité découle de la première en posant Λ2 = Λ. Pour établir la dernière inégalité, nous utilisons l’inégalité suivante valable pour tout p et tout x positifs : x2p1 − 1 2p ≤ (2p)−2p_{(ln x)}2p (1 + x). En effet, nous avons

E Z 1 2p 1 − Z 1 2p 2 2p = E1 (Z2Z1−1) 1 2p − 1 2p ≤ ≤ (2p)−2p_E 1 n ln(Z2Z1−1) 2p (1 + Z2Z1−1) o = = (2p)−2pE1 ln(Z2Z1−1) 2p + (2p)−2pE2 ln(Z2Z2−1) 2p En utilisant l’in´egalit´e x_{− 1 − ln x ≤} 1 2(ln x) 2_{(1 + x)}

et la proposition 2, la dernière inégalité peut être estimée de la fa¸con suivante

E2 ln(Z2Z1−1) 2p = E2 Z T 0 ln λ1(t) λ2(t) M (dt) − − Z T 0 λ1(t)− λ2(t)− λ2(t) ln λ1(t) λ2(t) Λ(dt) 2p ≤ ≤ 22p−1_E 2 Z T 0 ln λ1(t) λ2(t) M (dt) 2p + + 22p−1 Z T 0 λ1(t)− λ2(t)− λ2(t) ln λ1(t) λ2(t) Λ(dt) 2p ≤ ≤ 22p−1Cp Z T 0 l2p(t) Λ2(dt) + Z T 0 l2(t) Λ2(dt) p + + 1 2 Z T 0 l2(t) Λ2(dt) + Z T 0 l2(t) Λ1(dt) 2p

(40)

1.4 Estimation param´

etrique: Cas r´

egulier et non

r´

egulier

L’inférence statistique en théorie asymptotique repose sur deux branches fonda-mentales. La première est la théorie de l’estimation et la seconde est la théorie des tests. La théorie de l’estimation est caractrisée par trois approches: l’approche paramétrique, semi paramétrique ou non paramétrique.

Estimation paramétrique pour les modèles réguliers

En estimation paramétrique, les études sont orientées en fonction de la régularité du modèle. Autrement dit, dans les situations où la fonction d’intensité présente des points de discontinuités(sauts) ou non. En situation régulière, dans le cas i.i.d ([32]) comme dans le cas des processus stochastiques (voir [40], [41]), les familles de mesure sont localement asymptotiquement normales. De ce fait, il a été démontré que les estimateurs tels que celui du maximum de vraisemblance, Bayesien et de la distance minimale sont consistants, asymptotiquement normaux et sous certaines conditions, asymptotiquement efficaces. Par exemple dans le i.i.d., si on considère ϕ(ǫ), (ϕ(ǫ) > 0, _{|ϕ(ǫ)| → 0 lorsque ǫ → 0) une certaine matrice de normalisation,} ˆ u et eu vérifiant Z(û) = max u Z(u) u =e R Rkl(u)Z(u)du R RkZ(u)du

l(·) étant une certaine fonction de perte et Z(·) le processus limite du modèle. Ainsi, sous certaines conditions les estimateurs Bayésien eθǫ et du maximum de vraismeblance ˆθǫ vérifient les relations suivantes: la convergence en distribution

ϕ−1(ǫ)(ˆθǫ− θ) ⇒ ˆu, ϕ−1(ǫ)(eθǫ− θ) ⇒ eu et la convergence des moments

lim ǫ→0E (ǫ) θ w ϕ−1(ǫ)(ˆθǫ− θ)

⇒ Ew (ˆu) , lim_ǫ→0E(ǫ)_θ wϕ−1(ǫ)(eθǫ− θ)

⇒ Ew (eu) ; ceci uniform´ement dans θ_{∈ K (K un compact de l’ensemble des param`etres Θ et} w(·) une fonction de perte).

En théorie asymptotique, plusieurs résultats ont été aussi obtenus. On peut citer par exemple un modèle issu des télécommunications optiques. Le flux de photons produit quand un rayon de lumière est concentré sur une surface photosensible peut être modélisé par un processus de Poisson non homogène (voir Mandel [45]), avec une fonction d’intensité de la forme:

(41)

où g(·) est une fonction positive connue et le paramètre λ > 0 supposé connu est appelé courant d’obscurité. Hoversten et Snyder [31], Bar David [3] et Ku-toyants [39] ont étudié le problème d’estimation de l’amplitude θ. On obtient pour ces types de modèles des résultats assez proches de la statistique classique des variables aléatoires. Sous certaines conditions, l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV), l’estimateur Bayésien (EB) et celui de la distance minimale (EDM) du paramètre θ du modèle sont consistants, asymptotiquement normaux et leurs moments d’ordre p convergent. C’est-à-dire pour l’estimateur θn

Pθ− lim n→+∞θn = θ, Lθ I12(θ) (θ_n− θ) ⇒ L{ζ} lim n→+∞E|I 1 2(θ) (θ_n− θ) |p = E|ζ|p, o`u I(θ) est l’information de Fisher du mod`ele

I(θ) = Z A ∂λ(θ, t) ∂θ ∂λ(θ, t)T ∂θ λ(θ, t) −1_dt

A est la fenˆetre d’observation du processus, J est une matrice unit´e, et _{L{ζ} =} N_{(0, J).}

Estimation param´etrique pour les mod`eles de ruptures

La situation est différente dans le cas i.i.d. comme dans le cas d’un processus stochastique car le modèle est caractérisé par une fonction d’intensité discontinue et la famille de mesure correspondante n’est pas localement asymptotiquement normale. Dans ce cas les propriétés du MLE et du BE sont différentes de celles décrites dans le cas régulier. En plus le MLE n’est pas asymptotiquement efficace. Par ailleurs, des études sont faites sur les modèles de ruptures pour les processus de Poisson avec un saut de taille fixe. Kutoyants, dans ([41] a considéré un modèle où l’intensité modulée S(t), t≥ 0 a une discontinuité (un saut) à un certain point τ0 de la période et le récepteur détecte les photons correspondant au processus de Poisson d’une certaine intensité. Ainsi, il montre que cette forme de modulation de phase est essentiellement meilleure que la transmission avec la modulation de fréquence avec une fonction périodique régulière ( voir Exemple 2.2 dans [41]). Les vitesses de convergences dans les problèmes de modulation de phase et de fréquence avec une intensité discontinue sont plus grandes que les vitesses dans

(42)

les cas réguliers. C’est-à-dire les exemple 2.2 et 2.3 dans [41]. Dans la même op-tique, Dabye dans [10] a considéré plusieurs problèmes d’estimation paramétriques bidimensionnelle pour des modèles particuliers d’un processus de Poisson non ho-mogène. Pour ces modèles, le rapport de vraisemblance limite est un log-processus de Poisson. Nous notons également des modèles de rupture pour les processus de diffusion. Ainsi pour le modèle de signal dans un bruit blanc gaussien, le rap-port de vraisemblance limite est un log-processus de Wienner. L’estimation des positions de singularités (singularités de type cusp, type ”0” et type ”_{∞”) a été} con-sidéré dans plusieurs cas d’étude notamment dans le cas i.i.d. (voir Ibragimov et Khasminskii [32]) mais aussi dans le cas des processus stochastiques avec Dachian dans ([14],[16] [15] et [19]), en collaboration avec Kutoyants ou avec Negri pour la plupart(dénégéresecnce, explosions, explosions de la dérive).

1.5 Tests d’ajustements

Le problème des tests d’ajustements est l’un des thèmes centraux en pratique et en théorie statistique. Il est important de vérifier le degré de correspondance entre les résultats observés et les résultats attendus car étant le fondement de la statis-tique classique. L’approche non paramétrique classique liée ces problèmes de tests d’hypothèses peut être trouvée dans Durbin [24] , Greenwood and Nikulin [30], Lehmann et Romano [44]. Les tests les plus connus sont: le test de Kolmogorov-Smirnov, le test Cramér-von Mises et le test du Chi-deux. L’avantage de ces tests classiques s’explique par leur caractère ”distribution-free”, c’est-à-dire la dis-tribution limite de la statistique en question ne dépend pas du modèle de base choisie. Cette propriété nous permet d’obtenir un seuil universel qui peut être utilisé pour n’importe quel modèle. Dans [34], Insgter et Kutoyants ont étudié un test d’hypothèse non paramétrique pour une intensité d’un processus de Poisson. Leur travail est une extension de celui de Insgter [33] aux processus de Poisson. En effet, Insgter et Suslina [35] avaient fait les tests identiques mais pour un modèle de bruit blanc gaussien. Dans le même champs Dachian et Kutoyants dans [18] avaient présenté plusieurs résultats concernant les tests de Kolmogorov-Smirnov et de Cramér-von Mises pour quelques processus à temps continue. Comme mod-èles, ils considèrent une équation différentielle avec un petit bruit, un processus de diffusion ergodique, un processus de Poisson ”self-exciting” et un processus Pois-son. Pour chaque modèle ils proposent un test qui fournit de niveau asymptotique α∈ (0, 1) et décrivent le comportement asymptotique de la fonction de puissance sous des alternatives locales. Par exemple:

Supposons qu’on observe n processus de Poisson ind´ependants X(n)_{= (X}

(43)

o`u Xj = (Xj(t) , t∈ R) sont les trajectoires d’un processus de Poisson avec la fonction moyenne Λ (t) = EXj(t). Rappelons que si l’hypoth`ese de base(nulle) est simple i.e.

H₀ _: _{Λ (}_{·) = Λ}₀₍_{·) ,}

o`u Λ0(·) est une fonction connue avec Λ0(∞) < ∞ et l’alternative H₁ _: _{Λ (}_{·) 6= Λ}₀₍_{·) ,}

alors la statistique de type Cram´er-von Mises est d´efinie comme suit: e ∆n= n Λ0(∞)2 Z +∞ −∞ h b Λn(t)− Λ0(t) i2 dΛ0(t) . Ici b Λn(t) = 1 n n X j=1 Xj(t)

est la moyenne empirique du processus de Poisson. Ainsi ils ont d´emontr´e entre autres que la statistique converge vers la limite suivante:

e

∆n=⇒ ∆ ≡ Z 1

0

W (s)2ds. o`u W (s) , 0_{≤ s ≤ 1 est processus de Wienner standard.}

Par cons´equent le test e

ψn(Xn) = 1I{∆n>cεe }, P{∆ > cε} = ε,

est asymptotiquement ”distribution-free”. La valeur ε _{∈ (0, 1) est la taille ou} niveau du test.

Cependant, en pratique, les hypothèses à tester sont parfois de nature plus complexes. Les premiers travaux orientés aux problèmes de tests d’ajustement avec des hypothèses composées en statistique classique sont dus à Rao (voir aussi Durbin [24]). Ce dernier avait proposé un test d’hypothèse composée dans le cas où la fonction de distribution dépend des paramètres inconnus multidimensionnels. Ainsi, l’hypothèse de base devient composée, c’est-à-dire qu’elle ne détermine pas la distribution de l’échantillon d’une manière unique. Lorsque les paramètres sont estimés, les tests de Kolmogorov-Smirnov et de Cramér-von Mises ne sont pas ”distribution-free”. Il s’en suit que les valeurs critiques changent d’une hypothèse à une autre. Différentes valeurs du paramètre entrainent différentes valeurs critiques souvent au sein d’une même famille paramétrique. La propriété de ”distribution-free” devient alors cruciale puisque les valeurs critiques sont calculées une seule fois

(44)

pour n’importe quelle distribution définie sous l’hypothèse. Pour surmonter cette difficulté plusieurs méthodes ont été développées. Rao (voir aussi Durbin [24]) a suggéré la méthode de l’échantillon divisé. Le problème de Durbin entraine une transformation martingale du processus empirique qui fût proposé par Khamaladge [36]. L’approche martingale de Khamaladge [36] permet de construire des tests d’hypothèses asymptotiquement ”distribution- free”. Cette approche est utilisée par différents auteurs dont Bai [4] dans les modèles de régression, Koenker et Xiao [37]. D’autres méthodes (méthodes de translation) ont été développées pour étudier le caractère asymptotiquement ”parameter-free” c’est-à-dire la distribution limite de la statistique de test sous l’hypothèse de base ne dépend pas du parmètre inconnu.

(45)

Chapter 2 On Multiple change-point

estimation for Poisson process:

case of non zero jumps sum

2.1 Introduction

This work is devoted to the problem of parameter estimation by the observa-tions of n independent of inhomogeneous Poisson processes. It is supposed that these processes have the same intensity function and this intensity function has two points of discontinuity(jumps). The positions of these jumps depends on the unknown one-dimensional parameter and we have to estimate the value of this parameter. Our goal is to describe the asymptotic behavior of the maximum like-lihood estimator(MLE) and the Bayesian estimator (BE). We show that the rate of convergence of these estimators is n and the limit distributions are different. We propose a lower bound on the mean-square risk of all estimators and then we show that the BE is asymptotically efficient in the sense of this bound. We realize the program of the study of such estimators developed by Ibragimov and Khaminski [32]. Therefore we show that the normalized likelihood ratio process converges to some random process, which is exponential functional of four Pois-son processes with constant intensities. The statistical estimation problems with discontinuous intensity function are in some sense close to the similar problem of parameter estimation by independent observations of the random variables with discontinuous density function. Such study was initiated in the work of Chernov and Rubin [8](discontinuous density with one jump). The case of many disconti-nuities was studied in the work of Rubin [52], see as well Ermakov [27]. Further

Estimation paramétriques et tests d'hypothèses pour des modèles avec plusieurs ruptures d'un processus de poisson

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modèles avec plusieurs ruptures d’un processus de

poisson

Alioune Top

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Alioune TOP

Estimation Paramétriques et Tests d’Hypothèses pour des

Modèles avec Plusieurs Ruptures d’un Processus de Poisson

JURY

Remerciements

R´

esum´

e

Abstract

Contents

Introduction

0.1

Estimation param´

etriques pour les

proces-sus de Poisson: Cas d’un mod`

ele avec deux

ruptures dont la somme est nulle

0.2

Un mod`

ele avec deux sauts dont la somme

est nulle

0.2.1

Estimation param´

etriques

0.2.2

Tests d’hypoth`

eses

0.3

Test de type Cram´

er-von Mises pour un

processus de Poisson non homog`

ene avec un

param`

etre d’´

echelle

Chapter 1

Auxiliary results

1.1

Introduction

1.2

Processus de Poisson non homog`

enes

1.3

Int´

egrale stochastique et rapport de

vraisem-blance

1.4

Estimation param´

etrique: Cas r´

egulier et non

r´

egulier

1.5

Tests d’ajustements

Chapter 2

On Multiple change-point

estimation for Poisson process:

case of non zero jumps sum

2.1

Introduction