Développement d'une méthode hybride RANS-LES temporelle pour la simulation de sillages d'obstacles cylindriques

(1)

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Développement d’une méthode hybride RANS-LES

temporelle pour la simulation de sillages d’obstacles

cylindriques

Thanh Tinh Tran

To cite this version:

Thanh Tinh Tran. Développement d’une méthode hybride RANS-LES temporelle pour la simulation

de sillages d’obstacles cylindriques. Autre. ISAE-ENSMA Ecole Nationale Supérieure de Mécanique

et d’Aérotechique - Poitiers; Institut Polytechnique (Ho Chi Minh-Ville, Vietnam), 2013. Français.

�NNT : 2013ESMA0007�. �tel-00823281�

(2)

Pour l'obtention du Grade de

DOCTEUR DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE

DE MÉCANIQUE ET D'AÉROTECHNIQUE

(DiplmeNational - Arrêté du 7 août 2006)

É ole Do torale : S ien es et Ingénierieen Matériaux,

Mé anique, Énergétique et Aéronautique

Se teur de Re her he : Mé aniquedes milieuxuides

Présentépar :

TRAN Thanh Tinh

Développement d'une méthode hybride

RANS-LES temporelle pour la simulation

de sillages d'obsta les ylindriques

Dire teur de thèse : Rémi MANCEAU

******************************

Soutenue le 28Mars 2013

Devant laCommission d'Examen

******************************

JURY

M. Ja quesBORÉE Professeur, InstitutPprime/ENSMA Président MmeMarianna BRAZA Dire tri e dere her he, Institutde Mé anique

desFluides de Toulouse/ CNRS

Rapportri e

M. Azeddine KOURTA Professeur, Labo.PRISME, Univ. Orléans Rapporteur

M. SylvainLARDEAU Ingénieur, CD-adap o Examinateur

M. Anh ThiNGUYEN Maître de Conféren e, Viet Nam National Univ. HoChi Minh ity

Examinateur

M. Eri LAMBALLAIS Professeur, InstitutPprime/ENSMA Examinateur M. RodolphePERRIN Maître de Conféren e, Institut Pprime/

ENSMA

Examinateur

M. Rémi MANCEAU Chargé de Re her he, Institut Pprime/ CNRS/ ENSMA

(3)

(4)

Cette thèse s'est déroulée au sein de l'équipe Aérodynamique, Turbulen e,

A ous-tique&Contrle (ATAC) du départementFluides, Thermique,Combustion(FTC) de

l'InstitutPprime àPoitiers,Fran e età l'InstitutPolyte hnique de H Chi Minhville

(IPHCM), Vietnam.

Mesremer iementsvont d'abord àRémiMan eaupour sadisponibilité,les

dis us-sions intéressantes pendant mes séjours en Fran e et les nombreux ourriels é hangés

durant mes séjours au Vietnam, qui m'ont inspiré dans mon travail de re her he et

surtoutdans la façond'aborderles problèmes.

Jevoudraiségalementremer ier haleureusementJa quesBoréepouravoira epté

ma andidature à ettethèse, pour son grandsoutien,son ours de turbulen eetpour

m'avoira ueilli dans lelaboratoire.

Ma gratitude va également à Nguyen Anh Thi qui m'a amené au domaine de la CFD,m'aen ouragéetm'aapportéungrandsoutienpendantmesséjoursauVietnam.

Je voudrais exprimer mes remer iements à Rodolphe Perrin pour les dis ussions

intéressantesquej'aieuesave lui,etpourm'avoirfournidiérentsoutils,enparti ulier

lesroutines pour laDES dans ode Saturne et eux né essaires à l'initialisationet au

post-traitement du as de turbulen e homogène isotrope; ainsi qu'à AlainFar y pour

avoira epté d'être dire teur de thèse pendant ladeuxième etla troisièmeannée.

Je remer ie Marianna Braza et Azeddine Kourta pour avoir a epté de jugermon

travail;ainsique SylvainLardeau,etEri Lamballais pour avoira epté de parti iper

aujury.

Cettethèse a été soutenue nan ièrementpar une bourseEvariste-Galois de

l'Am-bassade de la Fran e au Vietnam, un nan ement omplémentaire de l'équipe ATAC

de Pprime etdu onseil s ientique de l'ENSMA pour les séjours en Fran e, ainsi que

parleNAFOSTED(Vietnam'sNationalFoundationforS ien eand Te hnology

Deve-lopment)dans le adreduprojetnuméro107.03.30.09pendantlesséjoursauVietnam.

En e qui on erne les simulations numériques, ette thèse a été possible grâ e à

l'utilisationdes moyens de al ul de l'équipe ATAC (stations de al uls),de l'institut

(5)

Cal ulIntensif,projet2010-020912).Jevoudraiségalementremer ierlesinformati iens Fran is Boissonneauet Pierre-FrançoisLapla eta du site SP2MI-H2 de Pprime.

Mare onnaissan e vaégalementauCROUSde Poiriers,àlas olaritéde l'ENSMA, et auxresponsables du site SP2MI-H2 de Pprime.

J'aieu grand plaisir à é hanger ave les personnels te hniques de Pprime, ave les

thésards de Pprime au SP2MI et à l'ENSMA, et ave les membres du département

aérote hnique à IPHCM. Je vous remer ie tous pour toutesles journées agréables.

La famille a une pla e très importante, et je onsa re un grand hommage à mes parentsTran VanGia ,NguyenThiPhiYen quim'onttoujourstoutdonnéetsoutenu.

J'adresse également une pensée aux familles de mes frères Thuong-The, Tuong-Hanh et leurs petits enfants Toan, Tam, Thu.

(6)

1 Introdu tion 1

1.1 Contexte de lamodélisationde laturbulen e . . . 1

1.2 Présentation de l'étude . . . 3

1.2.1 Contexte etobje tifs . . . 3

1.2.2 Organisation de l'ouvrage . . . 3

2 Bibliographie 5 2.1 Introdu tionà laphysique des é oulements turbulents . . . 6

2.1.1 La as ade d'énergie turbulente etles hypothèses de Kolmogorov 6 2.1.2 Le spe tre d'énergie turbulente . . . 7

2.2 ModélisationRANS . . . 9

2.2.1 Moyenne de Reynolds, dé ompositionRANSetproblème de fer-meture . . . 9

2.2.2 Modèles linéairesà vis osité turbulente . . . 11

2.2.3 Modèles auxtensions de Reynolds . . . 12

2.2.4 Modèles non-linéaireset algébriques . . . 13

2.2.5 Modélisationdes eets de paroi . . . 14

2.3 La simulationdes grandes é helles . . . 15

2.4 Appro hes instationnairesintermédiaires . . . 15

2.5 Appro hes hybrides RANS/LES . . . 17

2.6 Con lusion du hapitre . . . 21

3 Introdu tion des formalismes LES et hybrides RANS/LES 23 3.1 Formalisme . . . 23

3.1.1 Moyenne etdé omposition . . . 23

3.1.2 Appro he LESspatiale . . . 25

3.1.3 Appro he LEStemporelle . . . 30

3.2 Modèles hybrides RANS/LES lassiques . . . 32

(7)

3.2.2 Modèle PITM . . . 35

3.2.3 Modèle TPITM . . . 40

4 Développement d'une nouvelle appro he hybride RANS-TLES 47 4.1 Introdu tion . . . 48

4.2 Analyse en perturbation des systèmes d'équations du TPITM et de la DES . . . 49

4.2.1 Système TPITM . . . 49

4.2.2 Système DES . . . 52

4.3 Appro he DESéquivalente . . . 54

4.3.1 DES équivalentebasée sur une é helle de longueur . . . 54

4.3.2 DES équivalentebasée sur une é helle de temps . . . 55

4.3.3 Comparaison des deux appro hes . . . 55

4.4 Le ratio énergiemodélisée sur énergieu tuante totale (

r

) . . . 56

4.5 Calibration en turbulen e homogène isotrope . . . 58

5 Méthodes numériques 63 5.1 La méthode des volumes nis . . . 64

5.2 Dis rétisation temporelle . . . 65

5.3 Dis rétisation spatiale . . . 66

5.3.1 Terme de onve tion . . . 66

5.3.2 Terme de diusion . . . 70

5.4 Cal ul des gradients etinterpolations . . . 70

5.5 Conditions aux limites . . . 71

6 Simulation de l'é oulement autour de ylindres 73 6.1 Revue des études portant sur les é oulements autour de ylindres re -tangulaires . . . 74

6.2 Cylindre arré . . . 81

6.2.1 Conguration et maillage. . . 81

6.2.2 Conditions aux limites . . . 82

6.2.3 Convergen e . . . 83

6.2.4 Comparaison des versionsde laHTLES . . . 86

6.2.5 Inuen e du maillage . . . 94

6.2.6 Inuen e de la tailledu domainedans la dire tiontransverse . . 98

(8)

6.3.1 Cara téristiques des é oulements autour de ylindres

re tangu-laires de faiblerapportd'aspe t . . . 103

6.3.2 Simulations des as de ylindresre tangulaires . . . 106

6.3.3 Analyse de l'é oulementpour lerapportd'aspe t

R = 0, 4

. . . 109

6.3.4 Analyse de l'é oulementpour lerapportd'aspe t

R = 0, 2

. . . 117

6.3.5 Re tangulaire rapport d'aspe t

R = 0, 6

. . . 124

7 Con lusions 127

A URANS 131

A.1

k

-

ω

-SST . . . 131

B HTLES 133

B.1 HTLES baséesur une é helle de longueur . . . 133

(9)

(10)

2.1 La as ade d'énergie [93℄ . . . 7

2.2 Trois zones dans lespe tre d'énergie turbulente [93℄ . . . 9

2.3 Illustrationdes grandes atégories de modèles de turbulen e [103℄ . . . 9

3.1 Séparationentreé hellesdetourbillonsdansl'espa ephysiqueetl'espa e de Fourier[119℄ . . . 25

3.2 Dé oupage du spe tre turbulent en PITM [53℄ . . . 35

4.1 Évolution du spe tre d'énergie sur le maillage

32

3

. . . 60

64

3

. . . 61

128

3

. . . 61

5.1 Conguration générale de 2 ellulesadja entes

I

et

J

internesaudomaine 67 5.2 Conguration générale d'une ellule

I

au bord . . . 71

5.3 É hange des donnesde la ondition périodique et al ul parallèle[2℄ . . 72

6.1 Coe ient de pression sur la surfa e arrière

C

pb

en fon tion le nombre de Reynolds

Re

pour un ylindre ir ulaire[160℄ . . . 75

6.2 Nombre de Strouhal

St

en fon tiondu nombre de Reynolds

Re

pourun ylindre ir ulaire[160℄ . . . 76

6.3 Mode A et mode B du ylindre ir ulaire[160℄ . . . 77

6.4 Formationdu mode A derrièreun ylindre arré [86℄ . . . 78

6.5 Formationdu mode B derrière un ylindre arré [86℄. . . 79

6.6 Coe ient de traînée

C

d

etnombre de Strouhal

St

[127℄ . . . 80

6.7 Conguration du ylindre arré . . . 82

6.8 Maillage

M1

du ylindre arré . . . 82

6.9 Évolution de la moyenne temporelle

U ˜

˜

U /U

2

0

en fon tion du nombre de période utilisées,auxtrois apteurs situésen

(x/D, y/D, z/D)

: apteur 1 (1,5, 2,0), apteur 2 (2,5, 2,0), apteur 3(1,5, 2, 2).Modèle HTLES 3. Maillage

M1

. . . 83

(11)

6.10 Prolsde

U/U

0

,

U ˜

˜

U /U

2

0

,

u

rms

/U

0

et

v

rms

/U

0

surlaligne entrale.Modèle

HTLES 3. Maillage

M1

. . . 84

6.11 Prols de

U/U

0

,

U ˜

˜

U /U

2

0

,

u

rms

/U

0

et

v

rms

/U

0

en

x/D = 1

. Modèle HTLES 3. Maillage

M1

. . . 85

6.12 Prols de

U/U

0

sur la ligne entrale. Maillage

M1

. . . 90

6.15 Prols de

U/U

0

,

u

rms

/U

0

,

v

rms

/U

0

et

w

rms

/U

0

sur la ligne

x/D = 5

. Maillage

M1

. . . 91

6.16 Iso-surfa es

Q =

0,1 données par les appro hes URANS, DES, HTLES 1, HTLES 2,HTLES 3et HTLES 4. Maillage

M1

. . . 92

6.17 Évolution des tourbillons identiés par iso-surfa es

Q =

0,1, oloré par la norme de la vitesse pour l'appro he HTLES 3, ave

t

1 /T =

46,809. Maillage

M1

. . . 93 6.18 Prolsde

U/U

0

,

u

rms

/U

0

v

rms

/U

0

sur la ligne

x/D = 1

. . . 96

6.20 Critère

Q =

0,5(gau he) etvorti itélongitudinalesur lasurfa e

x/D =

1

(droite)pour trois maillagesM1,M2, M3 . . . 97

6.21 Prols de

U/U

0

,

u

rms

/U

0

et

v

rms

v

rms

/U

0

sur la ligne

x/D = 1

. . . 100

6.23 Prols de

U/U

0

,

u

rms

/U

0

et

v

rms

/U

0

sur la ligne

x/D = 5

. . . 101

6.24 Iso-surfa es

Q =

0,1pour les trois tailles de domainedans la dire tion transverse :

W/D = 2

,

W/D = 4

,

W/D = 8

. . . 102

6.25 L'é oulement à

Re = 20000

autourd'un ylindre re tangulaire[23℄ . . . 104

6.26 Vorti ité instantanée. É oulement à

Re = 22000

autour d'un ylindre re tangulaire de rapport d'aspe t orrespondant au maximum du oef- ient de portan e[127℄ . . . 104

6.27 (a)Évolutions temporelles des oe ients de traînée et de portan e du ylindre re tangulaire à

R =

0,2 et

Re = 10000

; (b, ) Deux états du sillage à

tU

0 /D = 779

(b) et

tU

0 /D = 767

( ) [149℄ . . . 105

C

d

en fon tion du rapportd'aspe t

R

. . . 107

6.29 Coe ient de pression à la surfa e arrière

−C

pb

en fon tion du rapport d'aspe t

R

. . . 107

6.30 Nombre de Strouhal

St

en fon tion du rapportd'aspe t

R

. . . 108

(12)

6.32 Convergen e statistique du oe ient

C

d

en fon tion du temps d'a u-mulation etspe tres . . . 112 6.33

k

m

/U

2

0

et

U ˜

˜

U /U

2

0

au apteur

(x/D, y/D, z/D)

= (2,5, 2,0) . . . 112 6.34 Prols de

k

m

/U

2

0

et

w

2 _/U

0

sur laligne

x/D = 1

. . . 114

6.37 Lignesde ourantmoyenneset hampdu oe ientdepressionmoyenne

C

p

. . . 115

6.38 Iso-surfa es de ritère

Q =

0,5, oloré par la vitesse, et vorti ité longi-tudinale dans le plan

x/D =

0,6à deux instants diérents ave

t

1 /T =

430,832,

t

2 /T =

450,057.Mode haut à gau he, mode bas à droite . . . 116

6.39 Évolution temporelle

C

d

et vorti itédans le plan médian . . . 119

6.40 Convergen e statistique du oe ient

C

d

en fon tion du temps d'a u-mulation etspe tres . . . 120 6.41

k

m

/U

2

0

et

U ˜

˜

U /U

2

0

au apteur

(x/D, y/D, z/D)

= (2,5, 2,0) . . . 120 6.42 Prols

k

m

/U

2

0

et

. . . 122

6.45 Iso-surfa es ritère

Q =

0,5, oloré par la vitesse, et vorti ité longitu-dinale dans le plan

x/D =

0,5 à deux instants diérents ave

t

1 /T =

232,238,

t

2 /T =

240,089.Mode haut à gau he, mode bas à droite . . . 123

6.46 Évolution temporelle de

C

d

. . . 125

6.47 Prols de

k

m

/U

2

(13)

(14)

3.1 Dénition de ltres homogènes . . . 26

3.2 La ompatibilitéde laLES etde la TLES ave des limites RANS etDNS 32

4.1 Les quatre versionsde laDES équivalente . . . 59

4.2 Calibration du oe ient

β

. . . 60

6.1 Étudesde sillaged'obsta les ylindriques,ave rapportd'aspe t

R = L/D

78

6.2 Étudesdesillagesde ylindre arré,ave longueurtransversedudomaine

de al ul

W/D

. . . 79

6.3 Coe ientdetraînée

C

d

, oe ientdepression

C

pb

,etnombrede Strou-hal

St

dans le as

R =

1,0 . . . 88

6.4 Inuen e du maillagesur lesgrandeurs globales . . . 96

6.5 Inuen e de la tailledu domainedans la dire tiontransverse . . . 99

C

d

, oe ient de pression sur la surfa e arrière

−C

pb

, nombre de Strouhal

St

et longueur de lazone re ir ulation

l

c

/D

pour le as du ylindre re tangulaireave

R =

0,4 . . . 110

C

d

−C

pb

St

l

c

/D

R =

0,2 . . . 118

C

d

−C

pb

St

l

c

/D

R =

0,6 . . . 124

(15)

C

d

Coe ientde traînée

E helle de longueur des modèlesRANS

P

ij

Termede produ tion

Q

Critère Q

r = r

k

= k

m

/k

Ratio énergie modélisée/énergie u tuantetotale

r

ε

= ε

m

/ε

Ratio dissipation modélisée/dissipationtotale

R

ij

Tenseurde Reynolds

Re

Nombre de Reynolds

S

ij

Tenseurde déformationbasé sur le hamp moyen RANS

St

Nombre de Strouhal

t

Temps

i

Flu tuation de vitesse en dé omposition RANS(

u, v, w

)

˜

u

i

= ˜

U

i

− U

i

Vitesse u tuante à grandeé hele en URANS ouLES (

u, ˜

˜

v, ˜

w

)

u

′′

i

= u

∗

i

− ˜

U

i

Vitesse résiduelle en dé omposition URANS ouLES (

u

′′

, v

′′

, w

′′

)

u

η

Vitesse ara téristiqueà l'é helle de Kolmogorov

y

+

_{= yu}

τ

/ν

Distan e à la paroi en unités pariétales

Symboles Gre s

β

Coe ient du modèle DESéquivalent

∆

S

Largeur du ltre spatial

∆

T

Largeur du ltre temporel

∆

m

= max (∆

x

, ∆

y

, ∆

z

)

Taillelo ale de maille

δ

ij

Symbolede Krone ker

(18)

ε =

1

2 ε

ii

Tenseur de sous-maille

Φ

∗

ij

Corrélationvitesse-gradientde pression

ω

Vorti ité oufréquen e

ω

c

,

ω

d

Fréquen e de oupure

ADM Approximate De onvolution Model

DES Deta hed Eddy Simulation

DDES Delayed Deta hed Eddy Simulation

DNS Dire tNumeri al Simulation

EASM Expli it Algebrai Stress Model

EVM Eddy Vis osity Model

IDDES Improved Delayed Deta hed Eddy Simulation

IP Isotropization of Produ tion

LES Large Eddy Simulation

LEVM Linear EddyVis osity Model

LNS Limited Numeri alS ales

LRR Launder, Ree e, Rodi

NLEVM Non-LinearEddy Vis osity Model

OES Organized Eddy Simulation

PANS PartiallyAveraged Navier-Stokes

PITM PartiallyIntegrated TransportModel

PRNS Partially-Resolved Numeri alSimulation

RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes

rms Root Mean Square

RSM Reynolds Stress Model

SDM Semi Deterministi Model

SAS S ale Adaptive Simulation

(21)

SGS Sub-GridS ale

SSG Speziale,Sarkar,Gatski

TLES TemporalLarge EddySimulation

TPITM TemporalPartiallyIntegrated TransportModel

TRANS Transient Reynolds AveragedNavier-Stokes

TRRANS Turbulen e-Resolving Reynolds Averaged Navier-Stokes

URANS Unsteady Reynolds AveragedNavier-Stokes

VLES VeryLarge Eddy Simulation

WMLES Wall-ModelledLarge EddySimulation

(22)

Introdu tion

Sommaire

1.1 Contexte de la modélisation de la turbulen e . . . 1

1.2 Présentation de l'étude . . . 3

1.2.1 Contexteetobje tifs . . . 3

1.2.2 Organisation de l'ouvrage . . . 3

1.1 Contexte de la modélisation de la turbulen e

La modélisation des é oulements turbulents est un des grands problèmes dans la

mé aniquedeuides.Malgrédetrèsnombreuses étudesquiont ontribuéà edomaine, ilreste beau oup de hallenges à relever, en parti ulier dans le adre des appli ations

industrielles.D'après la théoriede Kolmogorov [74℄, l'agitationturbulentese ompose de stru tures tourbillonnairesdont les tailles ouvrent ontinûment toute une gamme

d'é helles de longueur. L'é helle maximaleest limitéepar lataille ara téristiquede la

géométrie de l'é oulement, tandis que l'é helle minimale, l'é helle de Kolmogorov, est xée par la dissipation et la vis osité du uide. Diérentes appro hes sont proposées

dans lalittérature pour la simulationde laturbulen e à diérents niveaux de des rip-tion,quisont lassiquementdé rites entroisaxesprin ipaux:lasimulationnumérique

dire te,la simulationdes grandes é helles etla modélisationstatistique.

La simulation numérique dire te (ou DNS pour Dire t Numeri al Simulation)

ob-tient expli itement toutes les é helles de la turbulen e en résolvant numériquement

les équations de Navier-Stokes, sans au une modélisation. Elle fournit des

informa-tions pré ises, permettant une analyse ne et able de la topologie de l'é oulement,

(23)

oût du al ul est proportionnelà

Re

3

pour les é oulements libres[105,119℄et à

Re

4 τ

,

soit environ

Re

3,6

pour les é oulements en présen e de parois [72℄. On a don besoin de puissan es des al ul et de apa ités mémoire onsidérables pour faire des al ul

d'é oulements en ongurations industrielles, et est don limitée dans e adre à des é oulementsàbasnombredeReynolds[105℄.Elleestdon plusadaptéeàdesre her hes

fondamentalessurlaturbulen eetàlafournituredebasesdedonnéesimportantespour

la validationet la alibration d'autreappro hes moins oûteuse en temps de al ul.

La simulationdes grandes é helles (ou LES pour Large Eddy Simulation) onsiste

à résoudre les équations Navier-Stokes ltrées. Les stru tures tourbillonnaires aux

grandesé helles sont résoluestandisque lespetites é helles,qui ontun omportement

plus universel, sont modélisées. Le oût de al ul de ette méthode est proportionnel

à environ

Re

1,8

[105, 104℄ ave résolution pariétale ou à

Re

0,5

en utilisant des lois de

paroi [105℄.La LES est à mi- hemin entre la DNS et lamodélisationstatistique en e

qui on erne les résultatsobtenues etle oût de al ul.

Lamodélisationstatistiquemodélisetouteslesé hellesde laturbulen een

onsidé-rant l'agitationturbulente ommeun pro essus purement aléatoire.La dé omposition

proposée par Reynoldsest utiliséepour séparerlesgrandeurs instantanéesen une

par-tie moyenne et une partie u tuante. Les équations RANS (pour Reynolds Averaged

Navier-Stokes) sont obtenues par l'appli ation de ette dé omposition aux équations

de Navier-Stokes. LaméthodeRANS estpeudépendante dunombre deReynolds etle

temps de al ul est onsidérablement réduit par rapport à la DNS et la LES. Malgré

le fait que lesrésultats obtenus fournissent une informationlimité, laméthode RANS

reste largementutiliséedanslemondeindustrielpour desé oulementsàgrandnombre

de Reynolds grâ eà son faible oût de al ul.

De manière à proposer une appro he plus pré ise que l'appro he RANS et moins

hère que la LES, de multiples appro hes instationnaires intermédiaires entre RANS

etLES ontvule jour:VLES (Very Large Eddy Simulation),LNS(Limited Numeri al

S ales), DES (Deta hed Eddy Simulation), DDES (Delayed DES), IDDES (Improved

DDES),SDM (SemiDeterministi Modeling),OES (OrganizedEddy Simulation),SAS

(S ale Adaptive Simulation), PANS (Partially Averaged Navier-Stokes), PITM

(Par-tiallyIntergratedTransportModel),TPITM(TemporalPITM),ltreadditif,et .Parmi

es appro hes, ertaines sont qualiées d'hybride RANS/LES : une simulationRANS

est ee tuée en zone pariétaleoudansles zonesdans lesquelles onn'a pas besoin faire

de la LES; une simulationLESest ee tuée loindes paroioudans leszones dominées

par des stru tures ohérentes à grandes é helles qui a ont un impa t important sur

(24)

1.2 Présentation de l'étude

1.2.1 Contexte et obje tifs

L'axeAérodynamique,Turbulen e,A oustique&Contrle(ATAC)dudépartement

Fluides, Thermique, Combustion (FTC) de l'institut Pprime onsidère des appro hes instationnairesintermédiairesentre les méthodes RANS etLESdepuis de nombreuses

années. À la suite des thèses de Carpy [34℄,de Fadai [49℄ etde Friess [53℄, ette thèse

s'est orientée dans la dire tiondes appro hes hybrides RANS/TLES (TemporalLES).

Ces appro hes proviennent d'une analyse théorique et surmonte les in onsistan es du

ra ordement ontinu du RANS etde laLES.

L'obje tifde ettethèseestledéveloppementd'uneappro hehybrideRANS/TLES

ombinant les avantages de l'appro he TPITM (formalisme onsistant, justi ation

théorique des oe ients) et l'appro he DES (fa ilité de mise en ÷uvre). Cette

ap-pro he, initiéelorsde lathèse de Friess[53℄,va êtredéveloppée dans ettethèse, eten

parti ulier, une nouvelle version basée sur une é helle temporelle va être proposée et

validée dans le adre d'é oulements en géométrie omplexe.

1.2.2 Organisation de l'ouvrage

Ce manus rit ommen e par le présent hapitre d'introdu tion qui présente le

ontexte de la modélisation,ainsi queles obje tifs de l'étude.

Ensuite,le hapitre2présente labibliographieave une introdu tionà laphysique

des é oulements turbulents et une brève revue d'ensembledes modèles de turbulen e,

omprenant les modèles RANS, LES, et les modèles instationnaires intermédiaires et

lesmodèles hybrides RANS/LES.

Le formalisme et les modèles hybrides RANS/LES utilisés dans ette thèse (DES,

PITM)sont présentés de manièreplus détailléedans le hapitre3.

Le hapitre 4 est onsa ré au développement de la nouvelle appro he hybride

RANS/TLES(HTLES).Ilfournit desargumentspour l'interprétationdumodèle DES

ommeune appro he hybride TLES. Quatreversionssont présentées et alibréesdans

le as turbulent homogène isotrope.

Les méthodes numériques utilisées sont présentées au hapitre 5 : dis rétisation

spatialeet temporelle du ode Saturne.

Lesé oulementsautourde ylindresre tangulairesave desrapportsd'aspe tallant

de1,0( arré)à0,2sontutiliséspourvaliderlanouvelleappro he.Lesrésultatsobtenus

sont omparés ave lesrésultats expérimentauxet numériques disponibles dans la

(25)

re tangulaire àpetits rapports d'aspe t est dévoilée dans e hapitre.

(26)

Bibliographie

Sommaire

2.1 Introdu tion à la physique des é oulements turbulents . . 6

2.1.1 La as ade d'énergieturbulente etles hypothèsesde

Kolmo-gorov . . . 6

2.1.2 Le spe tre d'énergie turbulente . . . 7

2.2 Modélisation RANS . . . 9

2.2.1 Moyenne deReynolds, dé omposition RANSetproblème de

fermeture . . . 9

2.2.2 Modèles linéairesà vis ositéturbulente. . . 11

2.2.3 Modèles auxtensionsde Reynolds . . . 12

2.2.4 Modèles non-linéaires etalgébriques . . . 13

2.2.5 Modélisationdeseetsde paroi . . . 14

2.3 La simulation des grandes é helles . . . 15

2.4 Appro hes instationnaires intermédiaires . . . 15

2.5 Appro hes hybrides RANS/LES . . . 17

2.6 Con lusiondu hapitre . . . 21

Ce hapitre fait une brève revue de la modélisation de laturbulen e ainsi que des

avantages, in onvénients, et des hamps d'appli ation de haque modèle. La

lassi- ation est basée sur la apa ité des modèles à résoudre les diérentes é helles de la

turbulen e. C'est pourquoi un bref rappel de la physique des é oulements turbulents

(27)

2.1 Introdu tion à la physique des é oulements

tur-bulents

2.1.1 La as ade d'énergie turbulente et les hypothèses de

Kol-mogorov

Lanotionde as ade d'énergie turbulente, introduitepar Ri hardson [113℄,est une

idée essentielle pour omprendre les é oulements turbulents. La turbulen e omprend

des tourbillons en trois dimensions de diérentes é helles. La plus grande é helle est

xée par la géométrie de l'é oulement (par exemple la tailledu anal, le diamètre du

ylindre, ...) tandis que la plus petite é helle, l'é helle de Kolmogorov, est déterminée

par lavis ositédu uideetladissipation.Laplupartdel'énergieest ontenue dans les

tourbillons aux plus grandes é helles.

Letransferténergievers lespluspetitesé hellesestdûàl'étirementtourbillonnaire,

qui apparaîtdans l'équation de transport de la vorti ité [105℄

ω = rot (u)

Dω

Dt

= ν∇

2 ω + ω · ∇u

(2.1) où

ν∇

2 _ω

est leterme diusion visqueuse,et

ω · ∇u

est l'étirementtourbillonnaire.En onsidérant un tube tourbillonnaire qui est étiré par exemple en dire tion

z

, son in-tensité tourbillonnaireest augmentée. En même temps,à ause de l'in ompressibilité,

les tubes adja ents en dire tion

x

ou

y

sont étirés. D'après Bradshaw, e mé anisme faituneréa tionen haînetridimensionnelle.Dans e pro essusde as ade,lesgrandes

é helles reçoivent l'énergie de l'é oulement moyen, puis transfèrent ette énergie aux

plus petites é helles, qui, à leur tour la transfèrent aux plus petites é helles. Ce

pro- essus ontinue jusqu'à atteindre l'é helle oùl'énergie est dissipée en haleur.

Kolmogorov pré ise la as ade d'énergie turbulente en ajoutant trois hypothèses,

quipermettentd'obtenir desinformationsimportantes ommelatailledes pluspetites

é helles etles ara téristiques du transfert d'énergie turbulente à travers des é helles.

On onsidèrequelesplus grostourbillonssont ara térisésparune é hellede longueur

intégrale

l

0

et une vitesse

u

0

.

Hypothèse d'isotropie lo ale : À nombre de Reynolds susamment élevé, les

mou-vements turbulents àpetites é helle

(l ≪ l

0 )

sontstatistiquement isotropes.

Première hypothèse de similitude de Kolmogorov : Dans un é oulement turbulent

à nombre de Reynolds susamment élevé, les statistiques des mouvements à petite

é helle ont des ara téristiques universelles uniquementdéterminées par

ν

et

ε

.

Les plus petites é helles sont alors ara térisées par l'é helle de Kolmogorov

l

η

≡

(ν

3 _/ε)

1/4

et lavitesse

u

η

≡ (νε)

1/4

(28)

Deuxième hypothèse de similitude de Kolmogorov : Dans un é oulement turbulent

à nombre de Reynolds susamment élevé, les statistiques des mouvements à é helle intermédiaire (

l

0 ≫ l ≫ l

η

) ont des ara téristiques universelles qui sont uniquement déterminéespar

ε

.

Don ,lazoned'équilibreuniverselest subdiviséendeux sous-zones:lazonede

dis-sipationdominéepar deseets visqueux,etlazoneinertielleoùleseets visqueuxsont

négligeables. Pope [105℄ propose de pla er la frontière entre es deux zones à environ

60l

η

,etlazoneénergétique danslagamme

1

6 l

0 ≪ l ≪ 6l

0

.Un s hémareprésentant es régionsde la as ade d'énergie est présenté sur la gure 2.1.

Figure2.1 La as ade d'énergie [93℄

2.1.2 Le spe tre d'énergie turbulente

Le spe tre d'énergie turbulent représente la répartition de l'énergieturbulente sur

uneplage ontinuede nombresd'onde(dansle as duspe trespatial)oude fréquen es

(dans le as spe tre temporel). Il omprend don trois zones : zone énergétique, zone

inertielleetzone dissipative omme montré sur la gure2.2.

La zone énergétique ontient les grandes stru tures les plus énergétiques générées

parl'é oulementmoyen,dontl'énergieesttransféréeauxé hellespluspetitesàuntaux

ε

0

:

ε

0 ≈

u

2

0 l

0 /u

0 =

u

3

0 l

0

(2.2)

(29)

Lazone inertielle estasso iée auxé hellesintermédiaires

l

I

, ave

l

0 ≫ l

I

≫ l

η

.Elle est appeléeainsi ar l'énergiey as ade indépendammentdelavis osité molé ulaireet des mé anismes de produ tion. Cette région est d'autant plus étendue que le nombre

de Reynoldsturbulentestélevé.Conformémentàl'hypothèsedeKolmogorov,ellen'est régie que par le taux moyen de transfert d'énergie aux plus petites é helles,

ε

I

. Dans une situationd'équilibre,

ε

I

est onstanteet vaut

ε

I

≈ ε

0

(2.3)

La zone dissipative orrespond aux stru tures ae tées par lavis osité, qui dissipe

leur énergie en haleur. Le tauxde dissipation

ε

peut-être estimé par :

ε ≈ νs

2

(2.4)

ave

s ≈

u

η

l

η

Dansle as d'une turbulen e en équilibre, laprodu tion

P

est égale à

ε

, et ona

P = ε

0 = ε

I

= ε

(2.5)

Dans la région inertielle, le spe tre est régi par e qu'on appelle ommunément le

spe tre de Kolmogorov

E

S

(κ) = C

K

ε

2/3

κ

−

5/3

(2.6)

où

C

K

= 1, 5

est la onstante de Kolmogorov.

D'aprèsTennekes[151℄,enl'absen e d'é oulementmoyen, lespe tretemporel

eulé-rien d'uneturbulen e àl'équilibrepeut être obtenuàpartir du spe trede Kolmogorov

en supposant que,dansla zoneinertielle,lesfréquen es observées en un pointxe

or-respondent au passage des stru tures qui sont onve tées par les grandes é helles. La

vitesse de onve tion est alors estimée par

U

c

=

√

k

(vitesse de balayage ou sweeping velo ity), e qui onduità

dk = E

S

(κ) dκ = E

T

(ω) dω

(2.7)

ave

ω ∝ κ

√

k

(2.8)

On obtientdon le spe tre temporel eulérien

(30)

Figure2.2 Troiszones dans lespe tred'énergie turbulente [93℄

Les se tionssuivantes de e hapitre présentent les grandes atégories de modèles. Leur lassementprovientdeleur apa itéàreprésenterlesdiérentesé hellesduspe tre

d'énergie, ommeillustré par lagure 2.3.

Figure2.3 Illustration des grandes atégories de modèles de turbulen e [103℄

2.2 Modélisation RANS

2.2.1 Moyenne de Reynolds, dé omposition RANS et problème

de fermeture

La turbulen e est tridimensionnelle et instationnaire. En modélisation RANS, es

(31)

une moyenne d'ensemble pour dé omposer l'é oulement en partie moyenne et partie

turbulente. Lamoyenne d'ensembleest dénie par

f

∗

_{(x, t) = lim}

N →∞

1 N

N

X

n=1

f

∗

n

(x, t)

!

(2.10)

'est-à-dire al ulée en haque point et à haque instant en répétant l'expérien e un

grand nombre de fois. Les propriétés prin ipalesde et opérateur sont :

βf

∗

_{= βf}

∗

f

∗

_{+ g}

∗

_{= f}

∗

_{+ g}

∗

∂f

∗

∂φ

=

∂f

∗

∂φ

f

∗

_g

∗

_{= f}

∗

_g

∗

_{+ f g}

,où

f = f

∗

− f

∗

Unegrandeur instationnairetellequelavitesse

u

∗

i

est alorsé rite

u

∗

i

= U

i

+ u

i

,ave la partie moyenne

U

i

= u

∗

i

etla partieu tuante

u

i

= u

∗

i

− U

i

.

Leséquations de Navier-Stokes pour un é oulement de uide newtonien s'é rivent

∂u

∗

i

∂t

+ u

∗

j

∂u

∗

i

∂x

j

= −

1 ρ

∂p

∗

∂x

i

+ ν

∂

2 _u

∗

i

∂x

j

∂x

j

(2.11)

ave , pour un é oulement in ompressible

∂u

∗

i

∂x

i

= 0

(2.12)

Ces équationsdeviennent, en appliquantla moyenned'ensemble,

∂U

i

∂t

+ U

j

∂U

i

∂x

j

= −

1 ρ

∂P

∂x

i

+ ν

∂

2 _U

i

∂x

j

∂x

j

−

∂τ

ij

∂x

j

(2.13)

∂U

i

∂x

i

= 0

(2.14)

où

τ

ij

= u

i

u

j

est letenseur de Reynolds.

Par soustra tion des équations du hamp instantané et du hamp moyenné, on

obtientl'équation des u tuations de vitesse

∂u

i

∂t

+

∂

∂x

k

(u

i

u

k

+ U

i

u

k

+ U

k

u

i

) = −

1 ρ

∂p

∂x

i

+ ν

∂

2 _u

i

∂x

k

∂x

k

(2.15)

∂u

i

∂x

i

= 0

(2.16)

Àpartir deséquations (2.15),onobtientles équationsde transportdes tensionsde

(32)

∂u

i

u

j

∂t

+ U

k

∂u

i

u

j

∂x

k

|

{z

}

C

ij

= −u

i

u

k

∂U

j

∂x

k

− u

j

u

k

∂U

i

∂x

k

|

{z

}

P

ij

−

_ρ

1 u

i

∂p

∂x

j

−

1 ρ

u

j

∂p

∂x

i

|

{z

}

φ

∗

ij

+ν

∂

2 _u

i

u

j

∂x

k

∂x

k

|

{z

}

D

ν

ij

−

∂u

_∂x

i

u

j

u

k

|

{z

}

D

T

ij

− 2ν

_∂x

∂u

i

k

∂u

j

∂x

k

|

{z

}

ε

ij

P

ij

et

ε

ij

sont les termesde onve tion, de diusion molé ulaire, detransportturbulent,de orrélationvitesse-gradientde pression, de produ tionde la

turbulen eetdedissipationvisqueuse,respe tivement.L'équationdel'énergie inétique

u tuante

k =

1

2 u

i

u

i

sedéduit de l'équation (2.17).

LeséquationsRANSfontapparaîtredes orrélationsin onnuesquisontlestensions

de Reynolds

τ

ij

. On adon besoin d'un modèle de fermeture. Les modèles aupremier ordre sont basés sur la notion de vis osité turbulente. La se onde lasse de modèle de

turbulen e résout les équations de transport des tensions de Reynolds. Ces modèles

sont qualiés de modèlesaux tensionsde Reynolds oumodèles au se ondordre.

2.2.2 Modèles linéaires à vis osité turbulente

Lesmodèles linéairesàvis ositéturbulente (ouLEVM pour Linear Eddy Vis osity

Model) sont des modèles au premier ordre basés sur la relation de Boussinesq, qui

exprimelestensionsdeReynolds proportionnellementautenseur des tauxde

déforma-tions du hamp moyen :

τ

ij

= −ν

t

∂U

i

∂x

j

+

∂U

j

∂x

i

+

2

3 kδ

ij

(2.18)

La détermination de la valeur de la vis osité turbulente

ν

t

, qui est dimensionnel-lement le produit d'une vitesse

u

∗

et d'une longueur

l

∗

est né essaire pour fermer les

équations. Les modèles algébriques ou modèles à zéro équation omprennent les

mo-dèles de type longueur de mélange (mixing-length model) omme Cebe i-Smith [35℄

ou Baldwin-Lomax [12℄. La dénomination zéro équation signie qu'au une équation

diérentielle n'estutilisé enplus des équations(2.13)et(2.14).Lavis ositéturbulente

dans tous es modèles est don uniquement déterminée par l'é oulement moyen.

Les modèles à une équation proposés par exemple par Prandtl [159℄ ou

Baldwin-Barth [13℄ résolvent l'équation de l'énergie turbulente

k

et utilisent la relation

ν

t

=

ck

1/2

_l

m

oùlavaleur

l

m

dépenddel'é oulement.SpalartetAllmaras[137℄ontdéveloppé unmodèleàune équationportantsur lavis ositéturbulente

ν

t

quiéliminele ara tère

(33)

in ompletdes modèlesàzéroetuneéquation, 'est-à-direéliminelebesoin depres rire

une quantité, telle qu'une é helle de longueur, qui dépend de l'é oulement onsidéré.

Dans la progression naturellede la démar he de modélisation, les modèles à deux

équations ommele

k −ε

[79℄,le

k −ω

[159℄,le

k −τ

[145℄ou

q −ζ

[58℄,parmibeau oup d'autres, utilisent deux équations pour déterminer les é helles de vitesse

u

∗

et d'une

longueur

l

∗

quiinterviennentdans lavis ositéturbulente. Lemodèle

k − ε

proposé par Launder et Spalding[79℄ a été largement utilisé dans l'industrie pour sarobustesse et

sa simpli ité.

En raison de l'utilisation de l'hypothèse d'une relation linéaire entre tensions de

Reynolds et déformation moyenne, tous les modèles de la atégorie LEVM ont

beau- oupd'in onvénientsénumérésparexempleparLes hziner[84℄.Ilsnedonnentpas

or-re tementl'anisotropiedes tensionsde Reynolds normales,ne prennent pas en ompte

le transport des tensions de Reynolds (eet mémoire)et supposent un alignement des

axes prin ipaux des tenseurs de Reynolds et de déformation moyenne. Par exemple,

dans le adre d'uné oulementinstationnairesen moyenne, Carpy etMan eau [33℄ ont

montré l'eet néfaste de ette dernière hypothèse sur la dynamique de l'é oulement.

Ils sont par ailleurs in apables de prendre en ompte orre tement les eets dus à la

rotation. Lesmodèles LEVM sont en revan he bien adaptés aux é oulements qui sont

dominés par une tension de isaillementunique.

2.2.3 Modèles aux tensions de Reynolds

Leslimitationdes modèles àvis osité turbulente onduit à re her her des solution

plusnes.LesmodèlesauxtensionsdeReynolds(ouRSMpourReynoldsStressModel)

résolventdire tementlessixéquationsdetransport(2.19)pour letenseur deReynolds

qui ontiennent d'importantmé anismes pour l'évolutionde laturbulen e

Du

i

u

j

Dt

= P

ij

− ε

ij

+ φ

ij

+ D

ij

(2.19)

Comme ils ne supposent pas de relation lo ale entre le tenseur de Reynolds et

le isaillement, es modèles sont don apables de représenter les eets mémoires de

l'é oulement.De plus,lestermes de produ tionetde onve tion,quipermettent

d'ex-pliquer beau oup de phénomènes, et sont représentés de manière exa te, 'est-à-dire,

n'ont pas besoin d'être modélisés. A grand nombre de Reynolds et loindes parois, les

petitesé hellesde l'é oulementsont onsidérées ommeisotropes,don letermede

dis-sipationestsouventé ritsousformeisotrope,parlemodèledeKolmogorov

ε

ij

=

2

3 εδ

ij

. En e qui on erne letermede redistribution,de nombreux modèlesquasi-homogènes,

(34)

LRR[80℄,modèle des Jones etMusonge [73℄, modèle SSG [146℄, et .

Par rapport aux modèles à vis osité turbulente, les modèles RSM reproduisent

mieux l'anisotropie de la turbulen e et l'inuen e des eets omplexes, omme eux

dusàunerotationd'ensembleouàlaottabilité.Cependant,ilspeuventêtreàl'origine

deproblèmesde stabiliténumériqueet onduireàune augmentationdu oûtde al ul.

2.2.4 Modèles non-linéaires et algébriques

Les di ultés de mise en ÷uvre des modèles RSM ont motivé des eorts de

déve-loppement des modèles plus simples, basés sur une vis osité turbulente, mais gardant

ertainesbonnespropriétésdu RSM,notammenten equi on ernelareprodu tionde

l'anisotropie.Cesmodèles omprennentlesmodèlesnonlinéairesàvis ositéturbulente

et les modèles dits algébriques expli ites. Ces deux types de modèles, de forme assez

pro hes,sedistinguentessentiellementpar ladémar he utiliséepourlesobtenir, e qui

ades onséquen es importantes sur leurs oe ients.

Lesmodèlesnonlinéaireàvis ositéturbulente(ouNLEVM pour Non-Linear Eddy Vis osity Model)sontune généralisationdes modèlesLEVM. Ilssontbasés sur

l'intro-du tiond'unerelationnon-linéaires[84,37℄entre letenseur deReynoldsetlestenseurs destaux de déformationetdes taux de rotation(loide omportement).Ilsne font

ap-paraîtreengénéralquedestermesquadratiquesoudestermes ubiques.Les oe ients

quiapparaissentdans ette loide omportement doiventalors être déterminés par

a-libration. Ces modèles donnent de meilleurs résultats que les modèles LEVM en e

qui on erne lareprodu tionde l'anisotropieet la prise en ompte d'eets omplexes,

ommepar exemple l'intera tion entre diérents isaillements oul'inuen e des eets

de Coriolis.Ils sont par ailleursplus fa ileà mettreen ÷uvre queles modèles RSMet né essitent moins de ressour es.

Les modèles algébriques expli ites sont obtenus par une démar he diérente. En

é rivantleséquationsde transportdutenseur d'anisotropie

b

ij

=

u

i

u

j

2k

−

1

3 δ

ij

,eten fai-santdeshypothèsesd'équilibrefaible,qui onsistentànégligerlestermesde onve tion

etde diusion dans ette équation, les équationsde transports deviennent de simples

équations algébriques. Elles donne dire tement le tenseur d'anisotropie, et don ,

as-so iées à des équations de transport pour les é helles turbulentes, on peut obtenir le

tenseur de Reynolds sans résoudre d'équations diérentielles pour e dernier.On peut

résoudre esystèmed'équationsalgébriquesimpli ites(non-linéaireset ouplées)[114℄,

mais ette idée onduit à de gros problèmes numériques. Ces di ultés peuvent être

levées en onsidérant la méthode dite algébrique expli ite (ou EASM pour Expli it

(35)

e système impli ite en utilisant la théorie de la représentation des hamps de

ten-seurs (théorie des invariants [143℄), qui prend la forme d'une loi de omportement non-linéaire, mais dont les oe ients, en général non onstant, dérivent du modèle

RSM.Ce typed'appro he est un domainede re her he trèsa tifquiaattiré beau oup d'auteurs, ommeparexemple:Pope[106℄,Taulbee[150℄,GatskietSpeziale[55℄,Wall

et Taulbee [157℄, Apsley etLes hziner [8℄, Rung et al.[117℄, O eniet al.[100℄.

2.2.5 Modélisation des eets de paroi

Laplupart des modèles sont développés et alibréspour des é oulements à grands

nombresdeReynoldsturbulentsetquasi-homogènes,don appli ablesuniquementdans

leszonesloindesparois.Laprésen edelaparoiadenombreuxeetssurlaturbulen e,

qui sont listés par exemple, par O eni [101℄. De nombreuses méthodes ont alors été

proposées pour traiter leszones pariétales.

Dans les modèles haut-Reynolds, pour éviter de résoudre l'équation de la vitesse

moyenne jusqu'à la paroi, on utilise des lois de paroi qui demande le pla ement du

premierpointde al ulen

y

+

_{> 30}

.Cetteappro hefa ilitela onstru tiondu maillage et donne de bons résultatsdans des onditions idéales, en parti ulier pour les ou hes

limites parallèles à la paroi, mais ne s'applique pas dans de nombreuses situations ren ontréesenpratique,parexempleauxpointsd'arrêt,dansleszonesdere ir ulation,

et .

Pour éviter l'utilisationdesloisde parois,ilfautintégrerlesmodèlesjusqu'àla

pa-roi.Les modèles dits bas-Reynolds introduisent des termes sour essupplémentaires et

des fon tions d'amortissements dans les équations des modèles lassiques. Ce type de

modèles existe aussi bien dans le adre du premier ordre que du se ond ordre [64℄.

Cependant, l'appro he bas-Reynolds manque d'universalité par e que les fon tions

d'amortissement sont très empiriques.

D'autres appro hes, plus originales,ont également été proposées :

LemodèleSSTdeMenter [90℄qui ombinelesavantagesdumodèle

k −ε

loindes parois etlemodèle

k − ω

en pro he paroi.Ce modèle aupremierordre linéairea été appliqueave su ès dans beau oup de ongurations.

LarelaxationelliptiquequiutiliselathéorieproposéeparDurbin[42℄pourré rire

le terme de redistribution. Ce terme est alors obtenu par une équation

diéren-tielle, nommée équation de relaxation elliptique. Cette appro he reproduit bien

(36)

2.3 La simulation des grandes é helles

La simulation des grandes é helles (ou LES pour Large Eddy Simulation) est une

méthode intermédiaire entre RANS et DNS. La méthode LES résout des stru tures

tourbillonnairesaux grandes é helles, tridimensionnelles etinstationnaires,qui

orres-pondentauxnombresd'onde

κ < κ

c

dansl'espa espe tral,où

κ

c

estunnombred'onde de oupure. Les petites é helles, qui sont quasi-isotropes, sont modélisées. LaLES est

pluspré ise quel'appro he RANS par equeleproblème de lamodélisationne sepose

que pour les petites é helles qui sont plus fa ilesà modéliser que les grandes é helles.

Le oûtde al ulde LESest moinsélevéque elui delaDNS, maisbien plusélevéque

eluidu RANS.

EnLES,l'appli ationd'unopérateurdeltrageauxéquationsdeNavier-Stokesfait

apparaîtreletenseurdesous-ltre

τ

ijSGS

quireprésenteleseetsdespetitesé hellessur lesgrandes é helles oules eets de stru tures ex lues par le ltrage sur lesstru tures

résolues. Lesdeux lasses prin ipales d'approximation du tenseur de sous-ltresont la

LES impli ite [61℄ et la LES expli ite. La méthode LES impli ite utilise des s hémas

numériques appropriés pour bien représenter la dissipation d'énergie due aux é helles

non-résolues.Elleades in onvénientsdanslesrégionsdepro he paroietne fournitpas

l'amplitudedu tenseur de sous-ltre [93℄.

LaLES expli iteutilise un modèle physiquepour représenter l'eet des é helles de

sous-maille, omme par exemple : le modèle de Smagorinsky [119℄, le modèle

dyna-mique[56℄,lemodèle de Yoshizawaave une équation de transport[163℄,lemodèle de

similarité d'é helles [14℄, le modèle ADM (Approximate De onvolution Model) [147℄,

et .Pruettetal.[108,109℄ontégalementproposélaTLES(pourTemporalLargeEddy

Simulation),basée sur un ltrage temporel.

Les méthodes LES donnent les résultats souvent plus pré is que la RANS, mais

au prix d'un oût de al ul très élevé, surtout dans les zones pariétales, où la LES

est quasiment équivalente àune DNS [140℄.Et mêmeen utilisantdes méthodes moins

hères pour traiter leszones à té des parois [22,130℄,les oûts de al ulrestent très

supérieurs à eux de l'appro he RANS. De plus, ondoit porter une attention

parti u-lière à l'inuen e du s héma numérique sur le résultat et l'adaptationaux géométries

omplexespeut s'avérer déli ate.

2.4 Appro hes instationnaires intermédiaires

Dans ette se tion, on fait une brève revue de quelques appro hes instationnaires

(37)

d'appro hes,quinedépendentpasexpli itementdelatailledesmailles,etlesappro hes

hybride RANS/LES, qui,elles, en dépendent.

Appro hes à dé omposition triple. Certains auteurs [43, 128, 71℄ ont montré

que l'appro he RANS est inadéquate pour simuler des é oulements en fort

déséqui-libre omme, par exemple, les sillages du ylindre. On a alors besoin d'une appro he

permettant de résoudre les u tuations ohérentes, tandis que les u tuations

rési-duelles sont dé rites par un modèle lassique de type RANS. On est alors amené à

introduire une dé omposition triple de l'é oulement, telle qu'introduite initialement

par Reynolds et Hussain [112℄, dans laquelle la vitesse instantanée

u

∗

i

est dé omposée en

u

∗

i

= U

i

+ ˜

u

i

+ u

′′

i

, où

U

i

= u

∗

i

est la moyenne temporelle,

u

˜

i

= hu

∗

i

i − U

i

la partie ohérente et

u

′′

i

= u

∗

i

− hu

∗

i

la partie in ohérente. L'opérateur

h.i

peut prendre dif-férentes formes selon les as, omme par exemple une moyenne de phase dans le as

d'un é oulement statistiquement périodique, ou, dans un adre général, même s'il est

di ilededénirunformalismepré is,onpeutsupposerqu'on appliqueimpli itement

un ltre spatio-temporel apabled'extraire lestourbillons à grandeé helle [82℄.

L'appro he laplussimpleest nomméeURANS(pour Unsteady RANS)ouTRANS

(pour Transient RANS) et onsiste à résoudre les équations d'un modèle RANS

las-sique en onservant un terme instationnaire en

∂/∂t

. Grâ e au fait que l'URANS est moins hère que la LES et la DNS et est apable de donner des informations

intéres-santes dansquelquesdomaines d'appli ation,parexemplel'intera tionuide-stru ture

[70℄,la onve tionnaturelleetmixte[66℄,l'énergétique[24℄oudes as omplexes omme

un ompresseur[60,99℄,dessillages[71℄,desmar hesdes endantes [40,49℄,desjets

o-axiaux ompressibles[111℄,des jetssynthétiques [33℄,elleest largementutiliséeetjoue

un rle importantdans industrie. Cependant,dans les as d'é oulementsmassivement

dé ollés, ommeparexemplelessillagesde ylindres,l'URANSnepermetpasd'obtenir

les ara téristiquesde l'é oulementdansladire tiontransverse [142℄.Dansl'ensemble,

l'URANS ore une alternative intéressante par rapport à la LES dans ertains as,

omme lemontrentles omparaisonsde Travin etal. [153℄.

Dansl'appro he SDM (pourSemi-Deterministi Modelling)proposée par HaMinh

et Kourta [63℄, la dé omposition triple est basée sur l'idée d'une séparation entre la

partie déterministe ou quasi-déterministe et la partie aléatoire de l'é oulement. Les

propriétés de l'opérateur de dé omposition étant elles d'une moyenne de phase, les

équations sont formellement identiques à elles utilisées en URANS, mais lesmodèles

sontadaptéspourprendre en omptelefaitquelemodèlene représentepas l'ensemble

des stru tures instationnaires, mais seulement la partie résiduelle

u

′′

i

. En parti ulier,

(38)

reprodu tiondes stru tures ohérentes de l'é oulement [18, 10℄.

Cependant, l'intera tion entre les stru tures ohérentes résolues et la turbulen e

résiduelleest susamment omplexepour qu'on puisse her her à s'aran hirde

l'hy-pothèse de proportionnalité entre tensions de Reynolds et tenseur des taux de

défor-mation.En parti ulier,l'instationnaritéintroduit un déphasage entre lesaxes propres

de es deux tenseurs, qui onduità unesurestimationde laprodu tionpar lesmodèles

LEVM [68, 33℄. Dans le adre de l'appro he dite OES (pour Organized Eddy

Simula-tion) [4℄, qui introduit également une dé omposition entre stru tures ohérentes (ou

organisées)et turbulen erésiduelle, Bourguet etal.[28, 27℄ ontproposé un modèle de

vis ositéanisotrope, qui permetde prendre en omptel'inuen e de e déphasage.

SAS (pour S ale Adaptive Simulation). Menter etal.[89℄proposent l'appro he

SAS qui est basée sur un modèle à vis osité turbulente linéaire ave des équations

de transport sur l'énergie et l'é helle de longueur. La SAS est apable de résoudre

des stru tures turbulentes instationnaires omme la DES (présentée plus bas), mais

au lieu de faire apparaître de manière expli ite la taille des mailles dans le modèle,

elle dépend de l'é helle de longueur

(∂U/∂y)/(∂

2 _U/∂y

2 ₎

, qui permet d'identier, au

ours de la simulation, les é helles turbulentes que le al ul est apable d'obtenir. Ce

modèle a donné des résultats intéressants, par exemple dans une avité a oustique et

une hambre ombustion[91,92, 44℄.

TRRANS (pour Turbulen e-Resolving RANS). En se basant sur le modèle

k − ω

[158℄, Travin et al. [153℄ ont proposé l'appro he TTRANS, qui ne dépend pas nonplusdelatailledesmailles,maisfaitintervenirdansletermededissipationlestaux

dedéformation

S = S

ij

S

ij

etderotation

O = O

ij

O

ij

,qui, ommepour laSAS,permet d'identier au ours du al ul quelle est la tailledes plus petits tourbillons résolus et

d'adapter le modèle en onséquen e. Le modèle TRRANS a donné des résultatsaussi

bon la DES pour les as d'é oulement autour de prol NACA0012 et autour d'un

ylindre ir ulaire[153℄.

2.5 Appro hes hybrides RANS/LES

L'appro he RANS ne donne que des informations stationnaires, et l'URANS est

limitée à des informations sur les stru tures résolues à grande é helle, omme dans le

asd'é oulementsmassivementdé ollés.LaLESfournit enrevan he beau oup

d'infor-mationsinstationnaireetrempla edon demanièretrèsavantageuselaRANSdans es

(39)

l'é oule-mentave pré ision,tandisquelaLESest extrêmement oûteuse entempsCPUpar e

qu'elle abesoind'un maillagetrès n dans ette zone. C'estpourquoi des modèles hy-bride, qui onjuguentles avantages de haque type de simulation,sont apparues : une

simulation RANS est ee tuée en zone pro he paroi oudans les zones dans lesquelles on n'a besoin que des hamps moyens et des statistiques de la turbulen e; une

simu-lation LES est ee tuée loindes parois oudans leszones dominées par des stru tures

ohérentes àgrandes é helle qui ontun impa timportantsur l'é oulement.

Il existe deux grandes lasses de méthodes en e qui on erne la séparation des

zones traitées par RANS et par LES. Tout d'abord, il y a les appro hes hybrides

RANS/LES dites zonales [120, 39℄, qui onsistent en un dé oupage de l'é oulement

en sous-domaines (respe tivement RANS et LES), qui ne sont ouplées que par les

onditions auxinterfa es.Cetteappro he estdi ileàmettreen ÷uvredans les

on-gurations omplexes. Deplus,leproblèmede l'é hanged'informationàl'interfa eoùla

LESdonnedes valeursinstationnairestandisquelaRANSdonnedes valeursmoyennes

est trèsdi ile.Ladeuxième lasse estl'appro henon-zonale(ou ontinue)oùla

tran-sition entre RANS et LES est faite ontinûment, dans un domaine unique. Quelques

appro hes appartenantà ette lasse sontprésentées i-dessous.

VLES (pour Very Large Eddy Simulation). Speziale [144℄ propose l'appro he

VLESqui al ulelestensionsdeReynoldsparunmodèleRANS lassiqueetlespondère

par une fon tionempirique

f

k

∈ [0, 1]

.Lafon tion

f

k

dépend du rapportentre lataille lo ale de maille

∆

et l'é helle de Kolmogorov

L

η

(

β

et

n

sontdes onstantes) :

R

ij

= f

k

R

RAN S

ij

=

1 − exp

−β

∆

L

η

n

R

RAN S

_ij

Lorsque la taille de maille est de l'ordre de l'é helle de Kolmogorov, les tensions

de Reynolds

R

ij

tendent vers zéro et le modèle tend vers une DNS. Si la taille de maille est grande,on retrouve lemodèleRANS. Ellea été appliquéepour al ulerdes

é oulementsdans des ma hines hydrauliques[31, 118, 62℄.

LNS (pour Limited Numeri al S ales). LaLNS est basée sur lamême idée que

la VLES, mais la forme de la fon tion de pondération

f

k

est diérente. Batten et al. [20,21℄utilisentune fon tionquidépenddurapportdelavis ositédesous-maille

ν

LES

t

donnée par un modèleLES etde lavis osité turbulente

ν

RAN S

t

donnée par un modèle

RANS :

f

k

= min

1,

ν

LES

t

ν

RAN S

t

(40)

PRNS(pourPartially-Resolved Numeri al Simulation). Uneautreappro he,

laPRNS[32,126℄,estdanslaformetrèspro hedesdeuxpré édentes,maisestprésentée omme une appro he basée sur un ltrage temporel des équations de Navier-Stokes.

Elleutiliseunparamètre

F

rcp

(oùr psignieresolution ontrolparameter)quiamortit lavis osité turbulente

ν

t

= F

rcp

C

µ

k

2 ε

(2.20)

où

F

rcp

est imposé onstant [126℄ ou omme une fon tion de la tailledes mailles [85℄.

Méthodes de pondération (blending method). Plusieurs auteurs ont proposé

des appro hes basées sur une pondération entre un modèle LES et un modèle RANS,

par une fon tion de pondération

f

qui vaut zéro dans les zones LES et un dans les zonesRANS :

τ

ij

−

2

3 kδ

ij

= − [(1 − f) ν

t

+ f ν

R

] S

ij

(2.21) où

ν

t

est lavis ositéturbulentedumodèle Smagorinsky,

ν

R

est elledu modèleRANS, et

S

ij

est tenseur de déformationdu hamp résolu.La fon tion

f

peut dépendre de la distan e à laparoi [11℄, oud'é helles turbulentes [50,51℄.

DES(pourDeta hed Eddy Simulation). L'appro he DES,proposéeen1997par

Spalartetal.[139℄(désignéeaujourd'huiparDES97),résoutenmodeRANSlesrégions

atta hées et en mode LES les régions dé ollées. La hangement entre les deux modes

estréalisé grâ eàune omparaisond'é helles de longueur.Lesrelationsdétailléessont

présentées aux hapitre 3. Cette version d'origine utilise le modèle Spalart-Almaras

[137℄ et a ensuite été étendue à d'autres modèles RANS [148, 155℄. Le modèle DES

est très simple à mettre en ÷uvre et a montré sa apa ité à apturer les stru tures

instationnaires à grande é helle dans de nombreuses ongurations [1, 129, 155, 148,

54, 67, 30,93, 3℄.

Le modèle DES97 présente ependant un omportement in orre t dans les régions

oulemaillageest ambiguë.Pour surmonter e problème,Spalartetal.[138℄proposent

unenouvelleméthodebaséesurlemodèleSpalart-Almaras[137℄,nomméeDDES(pour

Delayed DES), qui interdit à la DES de passer en mode LES en pro he paroi,

indé-pendamment du maillage.Cette appro he DDES a également été adaptée au modèle

k − ωSST

[89℄, ouà un modèleRSM [107℄.

Travin et al. [154℄ puis Shur etal. [130℄ ont également proposé l'appro he IDDES

(pour Improved DDES), qui permet d'utiliser également la DES omme un modèle

WMLES(pour wall-modelled LES) [6℄, 'est-à-dire, un modèlequi transitionnevers la