Réponse d un dipôle R-C à un échelon de tension

Électricité : Leçon 1

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Réponse d’un dipôle R-C à un échelon de tension

1- Définitions :

 L’association d’un condensateur et d’un résistor s’appelle : dipôle RC.

 Lorsque la valeur de la tension aux bornes du dipôle bascule instantanément d’une valeur constante à une autre constante aussi, on dit qu’il a été soumis à un échelon de tension.

 Échelon de tension ascendant : Exemple :

La valeur de la tension de 0 à E à l’instant t = 0.

 Échelon de tension descendant : Exemple :

La valeur de la tension bascule de E à 0 à l’instant t = 0.

2- Réponse d’un dipôle R-C à un échelon de tension ascendant : 2-1- Activité (Page …) :

2-2- Conclusion :

Lorsqu’on applique brusquement un échelon de tension ascendant, la tension aux bornes du condensateur augmente lentement de façon exponentielle.

2-3- Étude théorique :

En fermant l’interrupteur K sur la position  à un instant choisi comme origine des dates (t = 0), on soumet le dipôle R-C à un échelon de tension ascendant de 0 à E.

a- Équation différentielle :

On a : E  u_R  u_c  R i  u_c  Avec :

duc

i dq C

dt dt

 

Étude de la charge du condensateur

 Équation différentielle relative à u

:

On remplace uR dans  par :

c R

u R i RC du

  dt On trouve:

c 1

c

du E

dt  RC u  RC

Droite de pente (-1/RC)

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 Équation différentielle relative à q :

On remplace uR et uC dans (1) par : u_R R i R ^dq

  dt et _c q

u  C On trouve: dq 1 E

dt  RC q  R

 Équation différentielle relative à i :

Par dérivation de l’équation différentielle relative à q , on trouve :

1 0

di i

dt  RC 

 Équation différentielle relative à u

:

En multipliant par R les deux membres de l’équation différentielle relative à i , on trouve :

1 0

 

R

R

du u

dt RC

b- Solution de l’équation différentielle :

On se contentera de la résolution de l’équation différentielle suivante :

c 1

c

du E

dt  RC u  RC

La solution de cette équation s’écrit sous la forme :

t

u ( t )c  A e^  B Avec :  , B et A sont des constantes à déterminer .

Méthode de résolution à suivre :

 Remplacer l’expression de uC dans l’équation différentielle.

t 1 t E

Ae ( Ae B )

RC RC

 

 ^{ }

   

Donc : _t 1 E B

Ae ( )

RC RC

 

    

 et A doivent être non nulles.

 Pour que cette égalité se réalise entre un terme variable et un autre constant, il faut :

1 0

 RC

   et :

E B 0

RC

  D’où :

1

  RC et B  E

 Pour déterminer A, on utilise les conditions initiales : À t = 0 on a u_c  0 :

On remplace dans la solution : 0  A e⁰  B

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La solution s’écrit donc sous la forme :

(1 )

t RC

u ( t )c E e

  

Question :

Montrer que le produit RC est homogène au temps.

Réponse :

Relation Équation aux dimensions

UR i

   

 I U q

 C

   

 

C  U

          

U q I T

RC R C T

I U I

   

On pose :   RC Et on l’appelle : constante de temps.

La solution de l’équation différentielle deviendra :

(1 )

t

u ( t )c  E e^

c- Tracé des courbes :

 Courbe uC(t) : Question :

Trouver l’expression de uC à l’instant t = .

Réponse :

uC = 0,63 E = 63% E.

Question :

Trouver l’expression de du^c

dt à l’instant t = 0.

Réponse :

0

 

  

 

c t

du E

dt 

Conclusions :

La courbe met en évidence l’existence de deux régimes :

Courbe u_C(t)

 Régime « transitoire » au cours duquel u_C varie.

 Régime « permanent » au cours duquel u_C reste constante.

 est la durée au bout de laquelle la tangente la courbe à t = 0 coupe son asymptote horizontale.

Elle correspond aussi à la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint 63 % de sa valeur maximale.

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La valeur de  augmente avec R et C.

 Courbe q(t) : Question :

Trouver l’expression de q(t)

Réponse : 1

t

q( t )C u ( t )c  CE ( e^ )

 La courbe q(t) a la même allure que celle de uC(t) ;

 En régime permanent : q(∞) = EC.

 Courbe i(t) : Question :

Trouver l’expression de i(t).

Réponse :

 dq( t )  ₀ ^t

i( t ) I e

dt

;

avec : ₀=E I R

Courbe i(t)

Remarque :

L’intensité du courant i(t) est décroissante au cours de la charge du condensateur.

Question :

On considère que le régime permanent est atteint lorsque : u_C ≈ 99 % E.

Trouver l’instant de début du régime permanent.

Réponse :

En partant de : 0 99, E  E (1e^t) On trouve : t ≈ 5  .

3- Réponse d’un dipôle R-C à un échelon de tension descendant :

En basculant l’interrupteur K à la position  à un instant choisi comme nouvel origine des dates (t = 0), on soumet le dipôle R-C à un échelon de tension descendant de E à 0.

3-1- Activité (Page …) : 3-2- Conclusion :

Lorsqu’on annule brusquement la tension aux bornes du dipôle RC, la tension aux bornes du condensateur diminue lentement de façon exponentielle.

Étude de la décharge du condensateur

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3-3- Étude théorique :

a- Équation différentielle :

 Équation différentielle relative à u

:

On a :

R c c 0

u  u  R i  u  Avec :  du^C

i C

On trouve : dt

1 0

c

c

du u

dt  RC 

Question :

Trouver les équations différentielles relatives à q(t) et i(t).

Réponse :

Droite de pente (-1/RC)

1 0

dq q

dt  RC 

et 1

di 0

dt  RC i 

 Équation différentielle relative à Ee :

On a :

1 0

c

c

du u

dt  RC 

On multiplie les deux membres par C u_C :

1 2 c 0

c C

C u du C u

dt  RC 

On déduit : 2

e 0

e

dE E

dt  RC 

b- Solution de l’équation différentielle :

Considérons l’équation :

1 0

c

c

du u

dt  RC 

Sa solution s’écrit sous la forme : u ( t )_c  A e^t  B Question :

Trouver l’expression de  , B et A.

Réponse :

On suit la même méthode suivie en cas de la charge du condensateur.

1 0

t t

Ae ( Ae B )

RC

 

 ^  ^  

Électricité : Leçon 1

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Ou :

t 1 B

Ae ( )

RC RC

 

    

Pour que cette égalité se réalise à tout instant, il faut :

1 0

 RC

   et B 0

RC  D’où : 1

  RC et B  0 . En considérant les conditions initiales :

À t = 0 , u_c  E

On trouve : A  E Donc :

t

u ( t )c  E e^ Avec :   ^RC

c- Tracé des courbes :

 Courbe uC(t) : Question :

Trouver l’expression de uC à l’instant t =  . Réponse : uC = 0,37 E .

Question :

Trouver l’expression de du^c

dt à l’instant t = 0.

Réponse :

0 c

t

du E

dt ^

 

   

   .

Courbe u_C(t)

La courbe met en évidence l’existence de deux régimes :

 Régime « transitoire » au cours duquel uC varie.

 Régime « permanent » au cours duquel uC reste constante.

 Courbe i(t) : Question :

Trouver l’expression de q(t) et de i(t) . Réponse :

t

q( t )C u ( t )c CE e^

et

dq( t ) E t

i( t ) e

dt R



  

Remarque :

La valeur absolue de i(t) est décroissante au cours de la décharge du condensateur.

Courbe i(t)

 est la durée au bout de laquelle la tangente la courbe à t = 0 coupe son asymptote horizontale.

Électricité : Leçon 1

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On considère que le régime permanent est atteint lorsque le condensateur a perdu 99 % de sa charge initiale, càd uC ≈ 1 % E.

Trouver l’instant de début du régime permanent.

Réponse : t ≈ 5  .

 Courbe E_e(t) : Question :

Trouver l’expression de Ee(t) Réponse :

2 2

2 2

1 1

2 2 ^{- τt} ^{- τt}

e C max

E = C u = C E e Ee e

Question :

Trouver l’expression de dE^e

dt à l’instant t = 0 . Réponse :

0

2



   

 

 

e emax

t

dE E

dt  .

Question :

Soit τ’ l’instant où la tangente à la courbe à t = 0 coupe son asymptote horizontale. Trouver la relation entre τ’ et τ.

Réponse :

Graphiquement : ^ ^ _0  

 

e emax

t

dE E

dt '

Courbe Ee(t)

On déduit : '

2



4- Charge et décharge sans changement d’origine des dates :

On considère le montage représenté ci-contre constitué d’un condensateur de capacité C et de deux résistors de résistances respectives R₁ = R₂.

 On charge le condensateur en fermant l’interrupteur K en position  à l’instant t = 0 ;

 Après avoir atteint le régime permanent, on

bascule K à la position  à un instant t = t1 . Charge et décharge

 On enregistre de façon continue les variations de u_C au cours du temps, on obtient le graphe reproduit sur le schéma suivant :

La durée nécessaire après le début de la décharge, pour que la tangente à la courbe d’énergie électrique, coupe l’asymptote horizontale est :

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Question :

L’équation horaire de variation de uC au cours de la charge s’écrit sous la forme : (1 ^)

  ^t

u ( t )c E e avec : τ = RC.

Cette équation au cours de la décharge s’écrit :

t

u ( t )c  Ae^.

Trouver l’expression de A et en déduire l’expression de uC à un instant t pendant la décharge.

Réponse :

L’instant t1 est commun aux deux régimes et uC (t = t1) = E

Donc :

t1

E  A e^{ } Càd :

t1

A  E e ^ L’équation au cours de la décharge s’écrit :

( t t )1

u ( t )c E e

 

 